Upload
elizabeth-jones
View
87
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών στο Λύκειο. Πολλές λυμένες ασκήσεις
Citation preview
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 1
2014
4
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 2
, ,
, , ,
,
, ,
, , ,
, lafkasd
:
1
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 3
2787
AB M B
A E . , Z
E , AB A , :
) EB . ( 5 )
) , BE Z E . ( 8 )
) 0A E ABE 180 . ( 12)
:
) EB ,
B .
) , BE Z E
EB E E EZ (
).
)
1 2E E (1) .
: 0 2A E 90 E 0 1ABE 90 E
( EB ).
: (1)
0 02 1
A E ABE 90 E 90 E 0A E ABE 180 .
2788
0( 90 ) AB A 050B , A E
, E B . Z .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 4
) :
i) . ( 6)
ii) 0AE 10 . ( 10)
) . ( 9)
:
.i) ,
A .
.ii) 0B 50 , AB
, :
0 40 0 50AE .
AE AE , :
AEB AE 0 10 AE .
) 0 90Z , 0 50 EZ ( AE ),
, 0 40 E Z .
2792
AB
, A B . O
AB O A O B .
) :
i. 0O 60 ( 9)
ii. OA ,OB 030 . ( 9)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 5
) AB,
2OM OA . ( 7)
:
) O
)
OA ,OB
,
0O O 60 , .
) OM , ,
MOA 0A 30 , OA
OM OA 2OM2
.
2794
AB AB/ / 2AB . Z,H,E
A ,B . ZH AE,BE , I
.
) , AB E .
) , , I AE,BE .
) 3
ZH AB2
.
:
) E 12
E
1
AB/ / AB/ / E2
,
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 6
AB E
.
) ZH
AB ,
ZH/ /AB/ /
AB
ZH 22
.
A E Z
A Z / / E , AE .
, B E H B HI / / E , I
BE.
) 2ABAB AB 2AB 3AB
2 ZH ZH ZH2 2 2
.
2796
O AB ,
. B (
B ) E BE A .
) :
i) , A BE . ( 8 )
ii) E . ( 8 )
)
, E . ( 9 )
:
. i) ,
A B 0A 90 B .
, A BE :
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 7
A B
A BE ( )
A EB (
).
(--).
. ii) .
0 E A A 90 B B E .
) 0E 90
,
E .
2797
A 2B A BE
Z.
) :
i. 0B 60 AZ BZ . ( 10)
ii. 3
A BZ2
( 8)
) AZE ,
AB . ( 7)
:
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 8
) i. 0 0 A 2B A B 3B 3B 180 B 60 .
AB ,
01A 30
00
160
B 302
,
ABZ
,
AZ BZ .
ii. AZ BZ
BZ 02B 30 , : BZ
Z2
,
: BZ 3
A AZ Z BZ BZ2 2
.
) ZE , 02A 60 ,
0 0 0A 30 60 90 . 0B 60 , 0 30 .
2799
A ,B , Z, H,ZK,H
A,B, , , ,E,M,H,K, ,Z . ,
A B E
Z H , :
) HZ .
) B, ,Z .
) A Z .
:
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 9
) HZ
E .
) AB , :
B Z 90 90 180 B, ,Z .
) A, ,H ,
A / / Z 1 .
E
, E .
A EZ :
A E ZE A EZ
E . A Z 2 .
1 , 2 A / / Z A Z .
2802
( ) ,
( ) . , ( ) ,
. ) , ( ) ,
i) , , , : 1) . ( 4) 2) . ( 4) ii) ,
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 10
. ( 6) ) ( )
(, , ) , . . ( 9+2)
:
) i) 1) , / /
. / /
.
.
.
2)
/ / , .
0 90 .
ii) 1)
2
.
2) .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 11
) / / . , .
1) 0 90 .
2) .
3) 1 2 ,
.
.
, .
, , .
2804
AB , B E
H M B .
) :
i) M ME . ( 10)
ii) B AH,
AB . ( 5 )
) . ( 10)
:
.i. , B EB ,M EM .
: B
M ME2
.
. ii) H AB ,
H . , AH B .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 12
, AH AZ ,
1A .
: AH.
)
. (
).
2806
( , ),( , )K R A , B .
A , :
) 0AB 90 ( 5 )
) , , B . ( 10)
) , , , K .
( 10)
:
) ( , )
,
90
.
) 0AB 90 (
( ) .
0B 180 , , , B
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 13
) ,K , A A ,
A . || K K2
. ,
, , , K ( ,
K).
2808
AB , , , A B
, , , A B , ( ) .
) ( )
3, 2, 5 AA BB , :
i) O
( ) 4 . ( 8 )
ii) . ( 9 )
) ( )
,
, , , AA BB ; . ( 8 )
:
. i) ' O ( ) .
AA
(
AA )
( A
|| || OO AA ). :AA 3 5
OO2 2
4 OO
. ii) BB
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 14
OO . : BB 2
OO 42 2
6 .
) .
, ( )
,AB .
, ,
.
2810
AB
O . Z
B . H
Z , :
) ZB . ( 7 )
) A ZB . ( 8 )
) B H B BZ 2 H B .
( 10)
:
) 0B Z BZ 60 (
0A 60 ).
ZB .
) AB ZB ,
A ZB
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 15
, .
) AZ B ( ) AZ H
( ). || B H ,
B H ,
, B H A . M
A ZB,
B ,
,B ,A AH
, A H . :
2 H B B AB A BZ .
O ,
E , .
3691
( , )K ( ,3 ) A .
B
K E .
K .
) B K . ( 9)
) K 30o . ( 8)
) 6E , ( , )K .
( 8)
:
) BK .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 16
B 90 oB .
K ( ) ,
K . 90 o .
B K
.
) ) BK
. , 3 2 .
( 90 ) o K , 22
K .
, 1 30o .
) 2 1 30 o ,
K E . E ,
2 30 o . 2 6
2
EE .
3693
( 90
), B.
. :
() E .
() BEZ .
() B AE Z .
() AE Z .
:
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 17
() AB EB B
AB EB . BA BE ,
ABE .
() BEZ : BA BE ( ()
) ABE .
.
() ABE
B B , B
AE ,
,
.
BEZ
( () ),
B BZ
B Z B .
B Z .
() ,AE Z B. K
,E ZA ( )
AE Z . :
B BZ BE BA .
: E AZ ,
.
3694
( B ) . B
E A H . M
B :
) ABH . ( 9)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 18
) / / EM H . ( 8)
) 2
. ( 8)
:
) AE ,
) ABH AE ,
BH . , BH / / EM H .
) 2 2 2
, AH AB , ABH
.
3695
BE
A AB . :
: AB=A ,
.
) .
( 10)
)
. ( 10)
) .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 19
( 5)
:
) BE .
B EB
E 90 o B B ( AB
B),
( - )
.
, BE .
) : B ,
BE
.
B . B
EB E 90 o B BE ,
( - )
. , B
.
) :
.
3696
xOy 1( , )O 2( , )O
1 2 , x K , A y ,B .
:
) A BK . ( 8)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 20
) APB , P A BK .
( 8)
) O xOy . ( 9)
:
) O K B O A . :
1
2
OK O
OB OA OKB OA
O O
(--). ,
A BK 1 2 (1).
) KAP PB . :
2 1
1 2
1 1(*)
AK B
KAP PB
K
(--).
(*) (1), 1 2P P () 180o .
PA PB (2), . PAB .
) OAP OBP . : 2
(2)
OB OA
PA PB OAP OBP
OP
(--). , 1 2 . xOy .
3697
)
. ( 8)
)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 21
i. . ( 8)
ii. . ( 9)
:
) , ,
( ) :
E,Z A ,B
,Z AB,B
ABEZ/ /
2
A
/
Z /2
AB A
EZ Z
. .
) i. , , ,
:
ABEZ/ /
2E,Z A ,BA
,Z AB,B Z/ /2
,E AB,AB
E / /2
AB A B
EZ Z E
.
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 22
ii) , ,
, A 90 o :
(),
.
A 90Z AEA ZE# Z 90
ZE A
o
o .
3698
AB AB , O A= =90 , 2AB 3 B . B
A K A
E. AE B .
:
) O 45 . ( 8)
) B AE . ( 9)
) 1
K4
. ( 8)
:
) AB 3
180 45
B
o oB
(...).
) , 90 oBE BEA BE .
:
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 23
ABE 90 oA ( ).
AE B ( ).
, AE B . $AE$.
, E AB ( ).
E E .
BE ?1 45 . , BE E .
) AB E . AB E .
,A BE . K A .
AE ,K , 2 2 4
EK
.
3699
AB . E Z
, :
) EBZ . ( 8)
) AE BZ . ( 8)
) E A AB .
( 7)
:
) AB|| EB|| Z , EBZ .
) .
, ( ,AB
E ) ( ,AB
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 24
. ,
AE BZ .
) ,
A ,E ZB
.
AM MN N .
: E
/ / . , M . : AM MN .
M : Z ||ZN M . , N
M . : MN M .
, AM MN N .
AB 2 , 0 a a :
AE EB Z Z .
) EBZ
Z,EB
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 25
AB . Z EB .
Z / / EB EBZ
:
) E / / ZB , , ZB EB .
: 0 0
1 2 ZB EB 180 ZB 180 EB .
) ZB AB .
: ZB
. , :
Z B .
K, A E,ZB .
E,ZB, AE EB B
AK K . :
.
3700
30
. .
)
. ( 13) ) . . ( 12)
:
60
90 90 30 60
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 26
180 30
. 60
.
30
.
60
.
60
( ).
30
.
(
) 30
.
) 60
.
,
.
.
3701
E,Z AB, AB
.
AB AB A ,
:
1: EBZ .
2: AE =BZ
3: E,BZ ,B .
)
. ( 16)
) ,
.
. ( 9)
:
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 27
) 1:
: Z/ /EB Z EB
.
EBZ
,
.
2:
: AE =EBZ ( , E//BZ ) , EBZ=BZ (
/ /AB ) .
: AE =BZ .
3: E,BZ ,B .
, 1 2 AE , AE
, 1
A AE AB2
.
, A AB , .
E,BZ ,B
. BZ
) 3: , () ,
: 1
A AB2
.
3704
1 2,( ) ( )
.
) 1M 1( ) 2M
1M 2( ) , :
i. 1OM OM .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 28
ii. , 2M .
iii. 1 2MM M .
) 3M 2M 1( ) ,
1 2 3MM M M ; .
:
() (i) 1( )
1MM , ( ) ,
1OM OM .
(ii) 2( )
1 2M M 1 2OM M
.
1OMM 1 2OM M ,
. 1 2O O
3 4O O . 2 3 2 390 2 2 180 o oO O O O
1 1 2 2180 180 o oMOM M OM MOM .
2, ,M O M .
(iii) ,
2 1 M O OM OM . 2MOM 1M O
.
1 2 90oMM M .
() (ii) 3 1, ,M O M
2 3OM M .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 29
, : 3 2 1 OM OM OM OM .
1 2 3MM M M
.
3705
AB ,
, , , ABE B Z H A .
) EZH . ( 15)
) AB ,
EZH ; .
( 10)
:
) 0 0 0 0 0 H 360 A A H 360 60 90 60 0H 150 .
: 0AE ZBE Z H 150 .
: H AE EB H A BZ Z .
, , , H A E BZE ZH (--).
, EZ ZH H E .
EZH .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 30
) AB ,
, 0 H A E 15 .
0 0 0 0 H E H A A E 15 60 15 H E 90 .
EZH ,
.
3706
( ) A B ,
( ) ,
( ) . A B
( ) .
) ( ) K ,
K .
( 10)
) . ( 8)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 31
) ( )
. . ( 7)
:
) , , ( )
, , . , KA KA KB KB AB A B .
( ) . KA KB.
KA KB . K
.
) , AA
BB . / / (1) AA BB .
1 :
AB A B .
( AB AB ).
2 :
AB A B
.
2 2
AA BBAA BB . AM BN .
AA .
, AB AA .
.
) ) , A / /( ) .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 32
) , )
.( ) ).
3708
( / / )
30 ,
.
. : ) 2 ( 10) ) ( 10) ) ;
. ( 5)
:
AB/ / 01 30 .
AB , ,K ,A AEa b x y u .
) EAB AE
030 , AB 2AE
2 (1)a u .
) E : 2AE
2( ) (2)b y u .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 33
(1) (2) : AB 2( ) 2 2 (3)b a y u u y .
()
.
(3), 2
K A2 2
b a yx y
.
) AB K a y .
:
AB K . AB / / K
a x a y ( ) . A B
A 2 4 . 2 3
AB B .
3 4 . B 060
E .
. .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 34
.
E. B E
E A .
AB K B
E B .
3709
ABCD AB/ /CD oC 30
. ,K L
,BD AC ,DA CB
E :
i) 2 .
ii) L AD .
iii) ABKL ;
.
:
i) 30DCB ABE . ABE
AE
30
AB .
22
ABAE AB AE .
ii) CDE
DE 30 2
CDDE .
)
2 2 2
iCD AB CD ABKL DE AE AD
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 35
iii) KL AB
)ii
KL AB AD AB .
AD AB .
3711
AB , A 90 . E H A.
) :
I. AH A AE . ( 6)
II. EH . ( 6)
III. , . ( 6)
) AB EH ; , . ,
;
. ( 7)
EH
(!)
,
.
,
.
(),
,
() E
A .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 36
E , A ...
, ()
( ).
.
:
) ) A, B ,
A AH . ,
A, , AE AH .
) 1 2 3 4A A , A A 2 3A A 90 ,
1 2 3 4A A A A 180 , E, A, .
) EH HA E ,
H 90 .
) ,
: " AB EH ;"
B , E . ,
, B
AH2
.
M B , H , B
AM2
.
AM , AH AM .
, AB EH , AB
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 37
3713
2
.
M A B
B N . :
) B . ( 5)
) MN . ( 10)
) AN B . ( 10)
:
)
2
B
B , B B .
) MN B , , MN B
B , .
MN
.
)
2
AMN M .
A N
.
A N AN N AN B .
3714
, 120 .
.
:
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 38
) .
) .
) .
:
) 60 120 .
60 .
) :
60 ,
30 1
30 2
60 .
30
:
180 2 30 120 .
)
( ) :
3 4 .
4 .
60 ,
5 .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 39
3 , 4 , 5
.
3715
1 2 :
1 : ,
.
2 :
, .
) 1 2
. ( 20)
) ,
. ( 5)
:
) AB ,
.
1 : .
, ABE B Z
, AB B ( )
A( ).
BE BZ , .
2 :
.
, ABE B Z ,
BE BZ ( ) A(
). AB B .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 40
,
.
)
.
3717
,
.
) ,
. / / .
) , ,
.
, .
:
) ,
/ / 1
22
.
,
/ / 3 42
.
1 , 3 / / .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 41
) :
/ / / / 52
.
/ / / /2
.
/ / 6 .
5 , 6 / / / / .
/ / / / .
,
.
3718
.
AZ AE B . :
) . ( 6)
) . ( 9)
) ,
. ( 10)
:
) ZA AEB:
Z E 90 o A ,AB (
) ,B ( ) ,
, AZ AE
ZAE .
) A,
ZE .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 42
, ) Z Z B BE E ,
ZE .
A
ZE ,
A,
ZE .
) M,N
ZA AEB, ZM,EN
. MN/ /ZE .
AB :
M,N A AB, : MN/ / B .
) ZE A
ZE / / BA B
.
MN/ /ZE .
ZM,EN
,
.
;
3720
AB 0 120 .
A B .
) :
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 43
i) E Z B . ( 8)
ii) A EZ . ( 8)
) M N A ,
. ( 9)
:
) i)
. 0 A A B 60 .
, A A B ,
060 ,
. ,
.
, E Z
B
.
. ii) ||EZ B ( ).
, A EZ .
) B
MN||2
( M N A ).
BEZ||
2
. MN|| EZ ,
. A B ,
EZ EM .
, .
3721
AB ( ) AB A B E .
B A Z H
B E K .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 44
:
) BZ H . ( 8)
) ZB HK . ( 9)
) ZK H . ( 8)
:
) B ,BZ H ,
ZH B .
AB , B .
ZH B .
(1)BZ H .
) 1 2
2 (2)
AE A
A AB AE A B
A A
B B 1 2 (3)Z H ( -
).
(1),(2),(3) ( ) , ZB HK .
) Z KH . ZK Z K KH K H .
3722
. :
) .
) .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 45
)
.
:
) 1 .
, 1
2 .
) ,
.
) , , , , , ,
( ).
/ / / / ,
, 90
. .
3723
AB EZ : , .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 46
() . (8 )
() E H
, :
(i.) A H . (10 )
(ii.) A H . (7 )
:
() 26 4 8 , .
890 720 . , , 720
360 .2
() (i)
(180 ) A H HZE HEZ HEZ
(180 ) 180 180 360 180 180
2
AB H 25 4 6 , .
690 540 . , 540 , H
540 ( ) 540 360 180 . H
A, 180 A H .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 47
(ii) / / A H . ,
180 , H A H / /AH .
, A H ,
.
3724
(O, )R AB 1 2,
AB. ,
E 1 2, , .
) E AB, :
i. AB .
ii. A B .
) E AB,
A B .
A B
R .
:
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 48
) i) A / / B AB.
AB , AB
, .
EO AB.
AOE ,BOE , E ,
.
ii) , : A B E E .
) (i) . 6R .
3725
. ,
.
:
) .
) .
) .
:
) , .
)
, .
.
:
,
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 49
()
45.
.
)
,
,
,
.
3726
A B
( ) AB ( ) . /A
A ( ) .
() /A B ( ) O , :
(i) ( ) /AOA .
(ii) OA OB ( ) .
() K ( ) :
(i) KA KA .
(ii) KA KB AO OB .
:
() (i) A A ( ) , ( )
AA OA OA , AOA
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 50
.
OE
,
( )
AOA .
(ii) AOE EOA ,
(i)
BOK EOA ,
.
EOA BOK .
() (i) ( ) AA ,
KA K .
(ii) : KA KB KA KB BA
KBA . : KA KB BA BO OA BO OA .
) i. '
'
' 1
'
.
' .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 51
ii. ' ,
,
: ' 2
' ' .
2
' .
) i. '
3 .
ii. ' :
3 1
4 .
: 5 .
4 , 5 ( ).
3727
.
) :
i) .
ii) .
) ,
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 52
:
) i. .
:
2 .
1 ,
2 .
ii. 3
,
.
90
.
) ,
,
.
4 5 .
1
4 , 5 .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 53
,
90 .
3728
( , )O P E
,A B .
) : i. P AP. ( 6) ii. P PE E . ( 8) ) A BE , i. P E . ( 6) ii. , . ( 5)
:
. i) , : , PA PB A E EB.
: P PA A PA . . ii) P AP PB PE BE PE E
. i) A BE
P PA A PB BE P PE
. P E . . ii) O E ( ). ( , )O
P E , A O . , PO E . , E . , , .
3729
. .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 54
. . : ) . ( 10) ) . ( 8) ) . ( 7)
:
) P P . PO APB PA PB. : APO BPO . P P
90 o P
APO BPO . , ,
P P .
) , PA PB : A PA P PB P B .
) , A,
, B , .
:
A, B
P P P P P A B P PA PB
.
3732
AB A . A
H HA HB . E A .
, B .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 55
) :
i) H B . ( 6)
ii) Z . ( 6)
iii) H . ( 6)
) ;
. ( 7)
:
) i) H B ,
HB HA
( ) BH AHZ
( ).
. ii)
(. i),
H HZ . H
A B (
H
).
H
ZH ( H H Z ). Z .
. iii) (. i),
B AZ .
B B AZ Z B A , AB .
H A B , .
) , , AZ B ,
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 56
3734
( / / ) .
) . ( 7)
) ,
. (
10)
) 120
, .
( 8)
:
) AB A
AB
, A B AB .
AB,
B ,
AB , B
.
A B B
.
)
A , E
,
ABE .
AB,
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 57
( ) ,
AB E , AB A E , ,
ABE .
A ,BE , : AB A E BE
.
) EB .
:
B A BE ,
AB EB
BE
EB , 60o , 60o
.
,
.
: O 90 o .
01 1
OB ABE EB 60 60 902 2
o o ,
B E 60 o ,
1 1
EO EB BE 60 120 1202 2
o o o .
3735
AB AB
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 58
i. A
1802 2
, A
, A
,
. ( 10)
ii. A
( ) . ( 8)
) AB A
15
, B=2. ( 7)
:
) i) A
180 1802 2 2
.
ii) B
xAB B B 180 1802 2
,
AB
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 59
) 90
15 602
,
30
2
, B=2.
3737
AB , 0A 90 , 1
AB4
1
AB A3
.
BE.
) ABE . ( 6 )
) BE .
( 10)
) ,K A , A
. ( 9)
:
) ABE .
) 4 AB , 3 BE A AB , AB E .
, 3 E E AB . ,
BE E , BE
.
) AB E
K
.
||K AB E AB 3AB AB
K2 2
K || AB .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 60
AB K M
, .
3741
AB A , 2 AB A .
E Z .
H .B :
) AEZ . ( 8)
) . ( 9)
) ZH . ( 8)
:
) AB 2A AE A EZ AZ .
AEZ
.
) H
,
ZH ZA ZE . ,
.
) ,
HEZ EHZ .
, HEZ (
, . ,
ZH .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 61
3745
. .
.
:
) .
) .
) .
:
)
.
,
)
,
.
) :
2 2
22 2
3
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 62
3747
120 45 .
, 2 .
.
:
) 30 .
) .
) , 90 .
) .
:
) 60
120 .
30 .
)
30 2
2
.
) 2
2
,
, , 90 .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 63
) :
2
.
3751
.
2
120
.
) . ( 5) ) . ( 6) ) . ( 6) ) , 2 .
( 8)
:
:
!!!
) 60
120
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 64
2
, 60 ,
60 .
) () 2
,
.
) :
1) , .
2) , .
3) 120
, 60
( --)
) .
2 2 2
, 2 .
.
AB
, ( 0B 90 ) :
3 7, ,
2 2
.
( ;)
.
.
3754
.
. , , :
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 65
) :
i. 90 .
ii. 2
.
) 30 , .
:
) i. ,
, :
2
2
, :
1
2 .
1 , 2
90 .
ii. , :
32 2
.
) 30 : 42
.
3 , 4 .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 66
3757
, 2 . ( ) . ) : i. . ( 8)
ii. . ( 9) ) , .
( 8)
:
) i. EA A B / / A EA / / B
AEB
. : EB / / A (1) .
ii.
, B
:
A B 2 (1)
( ) BE 2 .
E 2A E 2B E 2 .
EB
060 .
) EB EO
AB . EO
Z ,
Z Z EB .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 67
:
( .. . . .)
( ) .
3759
( , )O R B . A
AB . H
Z . A ,
E .
) :
i. Z AB BE ( 8)
ii. BEZ . ( 7)
) 30 , BEZ
5R , R . ( 10)
:
) i) BE, BZ, Z . O
,
AE
, AB BE .
ABZ ,
, AB Z .
ii) EZ/ /B
.
EZ B ( ),
BEZ , .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
: xr.tsif 68
) BA 90 .
A B 30 , B
AB2
R , Z R.
E 60 EZ 60
B Z , AEZ 30 AZ
EZ2
R .
BEZ = B 5 BE EZ Z R .