Mathematical tools: Denavit, Hartenberg and Screws ... · operaciones por ciclo de trabajo. ... cálculos en el uso de matrices para representar las diferentes transformaciones (rotaciones

UNIVERSIDAD DON BOSCO – ROBÓTICA INTEGRADA A LA MANUFACTURA

Mathematical tools: Denavit, Hartenberg and Screws,applied to direct cinematic analysis of the Mitsubishi

Robot RV-3SBSergio Miguel García Perez, Master Student

Computer Integrated Manufacturing, Don Bosco University, El Salvador, [email protected]

Abstract –- This paper includes the direct cinematic analysis ofa robot serial, RV-3SV, of the Mitsubishi Electrical Automation, bytwo methods, one of them is the Denavit and Hartenberg algorithmand the other one is the theory of Screws. Describing the mostimportant features of the robot, including its length dimension,identifying links and the location of the joints, which are animportant data to consider in the respective analysis. Thefundamental theoretical ideas of both methods are shown and therespective application to the robot analyzed, describes the way inwhich has been used Matlab for the matrix solution and compareexperimental results obtained in the laboratory (iCIM at DonBosco University) with the data obtained from the solutions raisedin both methods.

Index Terms –- Denavit and Hartenberg algorithm, Directcinematic, Homogeneous transformation matrix, Matlab, MatrixAlgebra, Reference systems, Theorem of Chasles, Theory ofScrews, Unit vector.

I. INTRODUCCIÓNn el campo de la robótica, el análisis de los diferentescasos, tipos de robots, métodos a utilizar, requieren eldominio de un nivel avanzado de matemáticas, que le

da importancia a los diferentes software de cálculo y desimulación que existen hoy en día. Los modelos se realizanpor medio de: (1) procedimientos basados en relacionesgeométricas (trigonometría); (2) procedimientos basados en eluso de las matrices de transformación homogénea (MTH); (3)teoría de Screws; (4) métodos numéricos.

E

Uno de los objetivos al analizar un robot, es conocer lalocalización del extremo final del mismo, es decir, obtener enforma conjunta la representación de la posición y de laorientación del mismo. Existen métodos que al aplicarlos,generan resultados de posición o resultados de orientación. Elproblema en robótica, se solventa por medio de laintroducción de las coordenadas homogéneas y las matriceshomogéneas. Definida entonces la herramienta, se estudia elmovimiento del robot con respecto a un sistema de referencia.Se establece la relación entre la posición, orientación yvariables articuladas, para identificar si el robot será analizadopor medio de la cinemática directa o por medio de lacinemática inversa.

El artículo considera como variables de entrada lasvariables articuladas y como variables de salida, la posición yorientación del extremo del robot, es decir, se enfocará en elanálisis por medio de la cinemática directa. Se presenta una

breve descripción del Robot RV-3SB de Mitsubishi, al cual serealiza el análisis cinemático por los métodos de Denavit yHartenberg y por medio de la Teoría de Screws. Se muestra unabreve explicación teórica de los métodos antes mencionados.Finalmente se muestran los resultados obtenidos medianteambos métodos y se comparan con los resultados reales quemuestra el Robot RV-3SB, dicho robot se encuentra en el iCIMde la Universidad Don Bosco, El Salvador.

II. DESCRIPCIÓN DEL ROBOTMitsubishi Electric, empresa líder en innovación y

tecnología, con más de 75 años de experiencia, sabedora de laacelerada presencia de los robots en los diferentes camposrelacionados a procesos de producción de las empresas, en1997, da origen a Mitsubishi Electric Automation, dependenciaenfocada a todo negocio relacionado con productos deautomatización.

Figura 1. Robot RV-3SB, Laboratorio iCIM, UniversidadDon Bosco, El Salvador

El robot de la serie RV-3S es un 57% más veloz que lasseries anteriores, su velocidad máxima y su precisión deposicionamiento resulta valiosa en la reducción de tiempo enoperaciones por ciclo de trabajo. Dispone de freno en cada unode sus ejes, lo que significa que mantiene su posición en casode corte de energía o de un paro de emergencia. Esta equipadocon codificadores de valor absoluto, lo que permite conocer laposición actual sin necesidad de regresar al punto de


referencia.En cuanto a sus datos técnicos, (a) El Robot RV-3SB posee 6 ejes.(b) Una carga máxima de 3.5kg (nominal 3kg).(c) Velocidad de 5.5mm/s.(d) Tipo de control CR2B.(e) Rango de movimiento de:

340º (en Cuerpo, articulación 1).225º (en Hombro, articulación 2).191º (en Codo, articulación 3).320º (en Giro de Antebrazo, articulación 4).240º (en Inclinación de Muñeca, articulación 5).720º (en Giro de Muñeca, articulación 6).

(f) Peso de 37kg.(g) Clase de protección IP65, clase 10.

III. ANÁLISIS CINEMÁTICO, ALGORITMO DHUno de los métodos que utiliza procedimientos basados en

el uso de las matrices de transformación homogénea es elcreado por Jacques Denavit y Richard Hartenberg, en 1955, elcual, es un enfoque estándar para la selección de marcos dereferencia de los eslabones de una cadena espacial cinemáticao manipulador de robot. El método de Denavit y Hartenberg,permite el paso de un eslabón al siguiente, mediante 4transformaciones básicas, que dependen exclusivamente de lascaracterísticas constructivas del robot.

Las transformaciones básicas que relacionan el sistema dereferencia de un elemento i con el sistema del elemento i+1,son: rotación θi alrededor del eje zi-1; traslación di a lo largodel eje zi-1; traslación ai a lo largo del eje xi(i-1); rotación αialrededor del eje xi. Donde θi, di, ai, αi, son denominadoparámetros DH del elemento.

El orden en el cual se realizan las transformaciones debeconsiderarse y atender el álgebra de matrices, ya que éstastienen la particularidad que no cumplen con la propiedadconmutativa del producto.

Figura 2. Transformaciones básicas, algoritmo DH

Con lo descrito anteriormente, la matriz (denominadamatriz A), que determina el paso de un eslabón al siguiente,es:

(1)

El algoritmo de Denavit y Hartenberg, consta de 16 pasos,con los cuales se establecen las diferentes transformaciones, demanera general, dicho algoritmo se puede resumir de lasiguiente manera: (a) establecer para cada elemento del robotun sistema de coordenadas cartesiano ortonormal (xi,yi,zi)donde i=1,2,...,n (n=número de grados de libertad, GDL). Cadasistema de coordenadas corresponderá a la articulación i+1 yestará fijo en el elemento i; (b) encontrar los parámetros DH decada una de las articulaciones (joints); (c) calcular las matricesAi; (d) calcular la matriz T global:

Tn = 0A1 * 1A2 * ... * n-1An (2)

Al realizar las transformaciones con referencia a un sistemamóvil (SUVW), el orden del producto de las matrices es desde0A1 hasta n-1An. Si la referencia fuera un sistema fijo (SXYZ),el producto matricial fuera desde n-1An hasta 0A1.

Para el caso en análisis (Robot RV-3SB), se sabe que posee 7eslabones (incluyendo la base, n=6), 6 articulaciones y 6grados de libertad (calculo de GDL, con base a la Ecuación deGruebler).

IV. ANÁLISIS CINEMÁTICO, TEORÍA DE SCREWSLa Teoría de Screws es una herramienta matemática de suma

importancia, al momento de analizar la cinemática directa deun robot, sus fundamentos fueron desarrollados por Sir RobertStawell Ball, en 1876, sus ideas principales se basan en elTeorema de Poinsot (Louis Poinsot) y el Teorema de Chasles(Michel Chasles).

El Teorema de Chasles, plantea que el movimiento generalde un cuerpo rígido, puede ser descrito por una rotación entorno a un eje único y una traslación a lo largo del mismo eje,el movimiento combinado, recibe el nombre de desplazamientoScrews o twist y, el eje único es llamado eje de desplazamientoo eje Screws.

El Screw unitario se calcula de la siguiente manera:

(3)

Donde s, es un vector unitario apuntando en la dirección deleje Screw y s0, es un vector de posición de cualquier punto deleje Screw.


Figura 3. Movimiento general de un cuerpo rígido,rotación y traslación, eje Screws

V. ALGORITMO EN MATLABComo ya se ha mencionado anteriormente, tanto el

algoritmo DH como la teoría de Screws, fundamentan suscálculos en el uso de matrices para representar las diferentestransformaciones (rotaciones y traslaciones) que en lossistemas se van presentando. Por lo que, se necesita de unaherramienta capaz de realizar este análisis matricial de maneraconfiable, es por ello que en este trabajo se utiliza el softwareMatlab 7.9, R2009b.

Para el Análisis Cinemático bajo el método de Denavit yHartenberg, se crea un archivo m, en el cual se efectúan lastransformaciones sucesivas por medio de las matrices A (6 entotal), utilizando la ecuación (1) y los parámetros DH. Al finalse realiza una séptima transformación, debido a que elextremo final del robot en análisis (RV-3SB), posee un giro de45º con respecto al eje z. El producto de las 7transformaciones, es la MTH que brinda información acercade la posición y ubicación del extremo del robot, comoconsecuencia de variación de las variables articuladas.

Luego de realizar los primeros 9 pasos del Algoritmo deDH, los marcos de referencias que se han establecido y lasdimensiones (en mm) del robot, se muestran en la Figura 3.En el paso 10, se realizan las diferentes transformaciones paraconocer los parámetros DH de cada una de las 6articulaciones.

Luego, en Matlab, se obtienen las matrices A y la MTHglobal del robot (incluyendo la rotación alrededor del eje z de45º que posee el extremo final del mismo).

T6= 0A1 * 1A2 * 2A3 * 3A4 * 4A2 * 5A6 (4)

MTH global = T7 = T6 * R ( z , 45º ) (5)

Para cumplir con el producto del álgebra matricial, a lamatriz de rotación R de dimensión 3x3, se le agrega el vectorde traslación q(3x1) [0 0 0]', la transformación de perspectiva

f(1x3), en el caso de robótica [0 0 0] y el factor de escalaw(1x1), 1 en el caso de robótica.

Se realizan los cálculos con variables simbólicas, para que almomento de las pruebas, la función ayude a obtener resultadosde posición y orientación, para las diferentes rotaciones(variables articuladas) que se deseen realizar.

Los parámetros DH de las transformaciones realizadas desdela base del robot hasta el extremo final del mismo, se muestrana continuación:

Joint θi di ai σi

J1 θ1 350 95 -90

J2 θ2+90 0 -245 0

J3 θi-90 0 -135 90

J4 θi+180 270 0 90

J5 θi+180 0 0 90

J6 θi 235 0 0

Tabla 1. Parámetros DH, ángulos en grados (º) ydimensiones en milímetros (mm)

La escritura de las matrices obtenidas es amplia, por lo que,con fines de presentación de resultados, se muestran, lasmatrices 1A2 y 5A6:

Una vez realizado el archivo m con su respectiva función, seprocede a la prueba del mismo y la validación de resultados.En la Tabla 1, se muestran los valores obtenidos de maneraexperimental con el Robot RV-3SB y los valores obtenidos pormedio de la función creada.

La matriz global T7, nos permite obtener la posición (x,y,z),así:

x = T7(1,4)

y = T7(2,4)

z = T7(3,4)


La orientación (psi,theta,phi), se obtiene de la siguientemanera:

theta = asin(-T7(3,1))

psi = atan2((T7(3,2)/cos(theta)),(T7(3,3)/cos(theta)))

phi = atan2((T7(2,1)/cos(theta)),(T7(1,1)/cos(theta)))

Figura 4. Marcos de referencia, algoritmo DH

Variables de entradaθ1=0º; θ2=0º ; θ3=0º ; θ4=0º ; θ5=0º ; θ6=0º

Variables desalida

DatosexperimentalesRobot RV-3SB

iCIM UDB

Datos teóricosAlgoritmo DH

realizado

x (mm) -40 -40

y (mm) 0 -150x10-6

z (mm) 1100 1100

Psi (º) 0 -150x10-6

Theta (º) 0 -496x10-6

Phi (º) 45 45


Variables desalida


iCIM UDB

Datos teóricosAlgoritmo DH

realizado

x (mm) 414.92 415.0089

y (mm) 581.22 581.179

z (mm) 540.74 540.7412

Psi (º) 134.99 135

Theta (º) -44.98 -45

Phi (º) 135.02 135

Tabla 2. Comparación de posición y orientación, datosexperimentales Robot RV-3SB y Algoritmo DH

Se analiza el Robot RV-3SB, ahora por medio de la Teoríade Screws, se trata de obtener las matrices de transformaciónque al relacionarlas, permitan conocer la localización de unpunto p2 (extremo final del robot) respecto a un marco dereferencia fijo p1 (origen del sistema), conocida la localizaciónde dicho punto en un marco de referencia móvil. La expresiónque permite relacionar lo definido anteriormente es la fórmulade Rodrigues, la cual considera el movimiento de traslación yel movimiento de rotación de manera implícita.

(6)

Con referencia en la Figura 3, (6) se obtiene a partir de lageometría y ubicación de los puntos. Si se expresa (6) de formamatricial, se obtiene:

(7)

Desde (6) a partir de geometría, hasta (7) en forma matricialy, a través de sustituciones y cambios de variable, se calcula laposición de un punto p por medio movimientos de rotación ymovimientos de traslación y sus respectivas referencias(sistema móvil y sistema fijo). El resultado obtenido de (7) esuna matriz (T) de dimensión 4x4, cuyos elementos están dados


por:

(8)

Se obtendrán seis matrices T, que nos representan las 6articulaciones del robot. Cada matriz T, será calcula a partir de(8) y con la definición de las variables s y s0 definidos en (3),así:

Articulación Eje Screw (s) Vector de posición (s0)

1 [ 0 0 1 ] [ 0 0 0 ]

2 [ 0 1 0 ] [ 95 0 350 ]

3 [ 0 1 0 ] [ 95 0 595 ]

4 [ 0 0 1 ] [ -40 0 0 ]

5 [ 0 1 0 ] [ -40 0 865 ]

6 [ 0 0 1 ] [ -40 0 0 ]

Tabla 3. Eje Screw y Vector de Posición

Las matrices T obtenidas son:

(9)

Figura 5. Ubicación de Ejes Screws

La matriz de transformación por medio de Screws, vienedada por:

T7 = T1 * T2 * T3 * T4 * T5 * T6 (10)

Considerando la rotación de 45º alrededor del eje z, delextremo final del robot, se calcula una séptima transformación:

T8 = T7 * R ( z , 45º ) (11)

Donde a la matriz de rotación R de dimensión 3x3, se leagrega el vector de traslación q(3x1) [0 0 0]', la transformación


de perspectiva f(1x3), en el caso de robótica [0 0 0] y el factorde escala w(1x1), 1 en el caso de robótica. Una vezdeterminada la matriz T8, es posible encontrar la posición delextremo del robot así:

p = T7 * po (12)

Donde po= [-40 0 1100 0]', posición del punto inicial,cuando el valor de las variables articuladas es 0º (para las seisarticulaciones).

Una vez realizado el archivo m con su respectiva función,se procede a la prueba del mismo y la validación deresultados. En la Tabla 3, se muestran los valores obtenidos demanera experimental con el Robot RV-3SB y los valoresobtenidos por medio de la función creada. Para encontrar laposición (x,y,z) y orientación (psi,theta,phi), se utilizan lassiguientes expresiones:

x = p (1,1)

y = p (2,1)

z = p (3,1)

theta = asin(-T8(3,1))

psi = atan2((T8(3,2)/cos(theta)),(T8(3,3)/cos(theta)))

phi = atan2((T8(2,1)/cos(theta)),(T8(1,1)/cos(theta)))


Variables desalida


iCIM UDB

Datos teóricosTeoría de Screws

x (mm) -40 -40

y (mm) 0 0

z (mm) 1100 1100

Psi (º) 0 0

Theta (º) 0 0

Phi (º) 45 45


Variables desalida


iCIM UDB

Datos teóricosTeoría de Screws

x (mm) 414.92 415.0089

y (mm) 581.22 581.179

z (mm) 540.74 540.7412

Psi (º) 134.99 135

Theta (º) -44.98 -45

Phi (º) 135.02 135

Tabla 3. Comparación de posición y orientación, datosexperimentales Robot RV-3SB y Teoría de Screws

VI. DISCUSIÓN DE RESULTADOSSe ha realizado el análisis cinemático directo del Robot

RV-3SB de Mitsubishi Electrical Automation, por medio de dosmétodos, uno de ellos es el Algoritmo de DH y el otro es laTeoría de Screws y al revisar la Tabla 1 y la Tabla 3, losresultados obtenidos son los mismos. La única diferencia es laforma en que Matlab mostró los resultados en el método deDH, ya que genera valores negativos con potencias de 10negativas, lo que prácticamente es 0. En cambio los resultadospor medio de la Teoría de Screws no mostraba ese detalle.

VII. CONCLUSIONESLuego del análisis realizado y de los datos obtenidos, tanto

el Algoritmo de DH como la Teoría de Screws muestranresultados parecidos, por lo que les da confiabilidad a ambosmétodos. Dichos resultados, al compararlos con los datosexperimentales generados por las pruebas realizadas al robotRV-3SB, generan una diferencia de décimas e inclusocentésimas, que prácticamente son despreciables si seconsideran los factores que influyen en la toma de lasmediciones.

Este tipo de análisis, contiene una matemática avanzada, enla cual, su tratamiento, lleva a utilizar software de calculo quefaciliten las respectivas operaciones, ya que al hacerlo por losmétodos tradicionales, estaremos agregando un variable (deerror) al sistema, producto del calculo realizado y no así delanálisis propio.

REFERENCIAS[1] A. Barrientos, “Herramientas matemáticas para lalocalización espacial”, en Fundamentos de Robótica, 1ra ed.España, pp. 62-80.[2] A. Barrientos, “Cinemática del robot”, en Fundamentos deRobótica, 1ra ed. España, pp. 93-102.[3] M.N. Cardona Gutiérrez, Análisis Cinemático de RobotsParalelos Planares 3RRR”. XXIX Convención de CentroAmérica y Panamá del IEEE, CONCAPAN. San Pedro Sula,Honduras, Noviembre 2009.[4] M.N. Cardona Gutiérrez, Análisis Cinemático del RobotRV-3SB de Mitsubishi Utilizando la Teoría de Screws”.[5] Mitsubishi Electric Factory Automation, RV-3S, RobotsIndustriales MELFA.

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