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Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 72
Prof. Sehyug Kwon, Dept. of Statistics, HANNAM University http://wolfpack.hannam.ac.kr @2005 Spring
미분은 함수의 임의 점에서 접선의 기울기이다. 미분이 가능한 함수를 미분 가능 함수라
하고 미분 값을 구하는 과정을 미분(Differentiation)이라 한다. 일반적으로 미분 가능한 함
수로는 다항 함수, 로그 함수, 지수 함수, 삼각 함수 등이고 그리고 미분 가능한 함수들의
사칙 연산에 의해 얻어지는 함수 또한 미분 가능하다. 미분 가능하면 연속이지만 연속 함
수라고 미분 가능한 것은 아니다. 선이 꺾인 점이나 변곡점은 미분 가능하지 못하기 때문
이다.
미분이 통계학에 사용되는 예를 들어 보자. 미분은 함수의 최대값이나 최소값을 구하는
경우에 사용된다.
)(xf
0)(' =xf 을 만족하는 x값
아이 키(Y)
XbaY ˆˆ +=
아빠 키(X)
어떤 직선이 가장 적합한가? 회귀 모형 ebXaY ++= 에서 오차항의 제곱합을 최소화 하
는 2,
2,
)(min)(min bXaYebaba
−−= 회귀 계수( ba, )를 OLS(Ordinary Least Square, 최소자승법) 추정치
라 한다. 2,
)(min),( bxaYbafba
−−= 는 ),( ba 의 함수이므로 함수를 최소화 하는 (a, b)를 구한다
는 것은 ),( ba 에 대해 미분하여 0이라 놓고 방정식을 풀면 된다. 즉 0,0 =∂∂
=∂∂
bf
af 만족하는
(a, b)가 최소자승법 추정치가 된다.
Chapter 5 미분
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 73
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5.1. 함수의 규칙1
5.1.1 미분의 정의
함수 f 의 임의의 점 x에서 미분 f ′는 다음과 같이 정의한다.
hxfhxf
xfh
)()(lim)(
0
−+=′
→: Fermat’s Difference Quotient
위의 값이 존재하면 점 x에서 함수 f 는 미분 가능하다고 한다. 만약 함수 f 의 모든
정의역에서 미분 가능하면 함수 f 는 미분 가능(differentiable)하다고 한다.
5.1.2 미분 규칙
규칙1 만약 c가 상수이면 0)( =cdxd
■예제■ 5=y 의 미분 dxdy 구하시오. 0)5( =
dxd
규칙2 만약 n이 양의 정수이면 1)( −= nn nxxdxd
■예제■ 4xy = 의 미분 dxdy 구하시오. 34 4)( xx
dxd
=
규칙3 규칙2는 n이 음의 정수인 경우에도 성립한다.
■예제■ x
y 1= 의 미분
dxdy 구하시오.
2111 11)(
xxx
dxd
−=−= −−−
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 74
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■예제■ 34
xy = 의 미분
dxdy 구하시오.
443 11212)4(
xxx
dxd
−=−= −−
규칙4 )(xu 가 x의 함수이고 미분 가능하며 c가 상수이고 n이 양의 정수이면 다음이 성립
(1) )()( udxdccu
dxd
= 간편 기호: )'()'( uccu =
(2) 1)( −= nn cnxcxdxd
간편 기호: 1)()'( −= nn xcncx
(3) )()( 1 udxdcnucu
dxd nn −= 간편 기호: )()()'( 1 ′= − uucncu nn
■예제■ 23xy = 의 미분 dxdy 구하시오.
xxdxdx
dxd 6)(3)3( 22 ==
■예제■ 22 )2(5 xxy −= 의 미분 dxdy 구하시오.
)22)(2(10)22)(2(2*5))2((5))2((5))2(5( 22222222 −−=−−=−=−=− xxxxxxxxdxdxx
dxdxx
dxd
규칙5 만약 )(xu , )(xv 모두 x의 함수이고 미분 가능하다면
)()()( vdxdu
dxdvu
dxd
±=± 간편 기호 vuvudxd ′±′=± )(
■예제■ xxy 124 += 의 미분 dxdy 구하시오.
124)( 3 += xydxd
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 75
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■예제■ 5337 23 −−= xxy 의 미분
dxdy 구하시오.
xxydxd 67)( 2 −=
■예제■ 22 24 +−= xxy 는 기울기가 0인 접선을 갖는가? 그렇다면 어디인가?
044)( 3 =−= xxydxd 0)1(4 2 =−xx 2
0)1)(1(4 =+− xxx 1,1,0 −=== xxx 1
-1 1
2차 미분 이상
□2차 미분(second derivative): 2
2
dx
ydy =′′ (y double prime, d squared y dx squared)
□3차 미분(third derivative): )(ydxdy ′′=′′′ (y triple prime)
□n차 미분(nth derivative): )( )1()( −= nn ydxdy (y super n)
■예제■ 23 23 +−= xxy 에 대하여 xxy 63 2 −=′ , 66 −=′′ xy , 6=′′′y , 0)4( =y
만약 0)(,0)( <′′=′ cfcf 이면 함수 f 는 점 c에서 (local) 최대값을 갖고 0)(,0)( >′′=′ cfcf
이면 (local) 최소값, 0)(,0)( =′′=′ cfcf 이면 변곡점이다.
규칙6 만약 )(xu , )(xv 모두 x의 함수이고 미분 가능하다면
)(**)()( vdxduvu
dxduv
dxd
+= 간편 기호 vuvuuvdxd ′+′=)(
■예제■ )3)(1( 32 ++= xxy 의 미분 dxdy 구하시오.
xxxxxxxdxdy 635)3)(2()3)(1( 24322 ++=+++=
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 76
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규칙7 만약 )(xu , )(xv 모두 x의 함수이고 미분 가능하고 0≠v 이면
2)(v
dxdvuv
dxdu
vu
dxd −
=
■예제■ )1()1(
2
2
+
−=xxy 의 미분
dxdy 구하시오.
2222
22
)1(
4
)1(
)2()1()2()1(+
=+
−−+=
x
x
x
xxxxdxdy
■예제■ 4
2 )2()1(
x
xxxy −−= 의 미분 dxdy 구하시오.
3244
2
4
3
4
23 2312323xxxx
xxx
xx
xxxxy +−=+−=
+−=
432661
xxxdxdy
−+−=
HOMEWORK #12-1 DUE 5월 3일(화)
다음 함수의 1차 미분 ( )dxdy
구하시오.
842)1( 2 −−= xxy 523
)2(23−+=
xxy
)3)(1()3( 2xxy −−= )1)(1()4(x
xx
xy −+=
)2(
)1()5(2
2
−+
−=
xx
xy 12 )1)(1()6( −+−= xxy
23)7(x
y = x
y35)8( =
xxy )7()9(
3 += 21
)10(x
xy+
=
)1)(1()11( 22 xxxy −+=
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 77
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■예제■ 만약 u , v가 x의 함수이고 미분 가능, 2)0(,1)0(,3)0(,5)0( =′−=−=′= vvuu 일 경
우 0=x 에서 다음을 구하시오.
132*5)1(*3||)()1( 00 =+−−=′+′= == xx vuvuuvdxd
7)1(
2*5)1(*3||)()2( 2020 −=−
−−−=
′−′= == xx
vvuvu
vu
dxd
13)2(*2)3(*3|23|)23()3( 00 −=−−=′−′=− == xx vuvudxd
HOMEWORK #12-2 DUE 5월 3일(화)
u , v가 x의 함수이고 미분 가능이며 0)1(,5)1(,0)1(,2)1( =′==′= vvuu 일 경우 1=x 에서 함수의
미분 값을 구하시오.
)()1( uvdxd
)()2(uv
dxd
)()3(vu
dxd
)27()4( uvdxd
−
5.2 삼각 함수 미분
(1) xxdxd cossin = (2) xx
dxd sincos −=
(3) xxdxd 2sectan = (4) xx
dxd 2csccot −=
(5) xxxdxd tansecsec = (6) xxx
dxd cotcsccsc −=
HOMEWORK #12-3 DUE 5월 3일(화)
다음 함수를 미분하시오.
xxcos)1( xxcossin)2( xxx cossin)3( + x
xsin51)4( +
xcos4)5(
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 78
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5.3 미분의 응용1
5.3.1 자유 낙하 법칙
자유 낙하의 법칙에 의하면 떨어진 거리 s , 시간 t 사이에는 다음 식이 존재한다.
)(9.421)( 22 mtgtts == (중력: sec)/(8.9 mg = Gravity)
■예제■ 자유낙하 후 15m 거리에 도달하는데 걸리는 시간은? 3초 후 도달하는 거리는?
29.415 t= 로부터 시간 75.1=t (초)이다.
2)3(9.4=s 로부터 거리 1.44=s (m)이다.
■예제■ 속력(velocity): 자유 낙하를 시작하여 t초가 경과한 후 속력은?
)()()(
lim)(0
tst
tsttstv
t′=
∆−∆+
=→∆
이고 속도(speed)는 속력의 절대값이다.
3초 후 속력은 ts 8.9=′ 로부터 4.39)3()3( =′= sv (m/sec)이다.
■예제■ 가속도(Acceleration): 물체가 얼마나 빨리 속력을 높이나 (혹은 줄이나) 측정하
는 것이 가속력인데 이는 거리 함수의 2차 미분 값이다.
거리 함수가 )(ts 인 경우 가속도는 2
2)(
dtsdtsa =′′= 이다.
■예제■ 다이너마이트 폭발 후 바위는 수직으로 216160 tts −= 에 도달한다.
(1)얼마나 높이 올라갈까?
032160 =−= tdtds
이므로 5=t (초후) 최고의 높이에 이른다.
그 때 높이는 4005*165*160)5( 2 =−=s
(2)256 높이에 있을 때 바위의 속력은?
높이가 256일 때의 시간은 25616160)( 2 =−= ttts 이므로 0)8)(2(16 =−− tt 로부터 =t 2초와 8
초이다. 속력 tdtdstv 32160)( −== 이므로 962*32160)2( =−=v , 968*32160)8( −=−=v (음의 의
미는 떨어짐)
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 79
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HOMEWORK #13-1 DUE 5월 4일(수)
달에서 바위를 수직으로 24m/sec 속력으로 던지면 t초 후 높이 28.034 tts −= 이 된다고 할 때 다음에 답하시오.
(1)바위의 속력과 가속력을 구하시오.
(2)바위가 지상에서 가장 높이 올라갈 때까지 걸리는 시간과 그 때의 높이?
(3)바위가 300m에 있을 때 순간 속력을 구하시오.
5.3.2 경제학에서의 미분
경제학에서 미분은 한계 값(marginal value)이라 불려진다. A회사에서 냉장고를 생산하는데 소요되는 비용 함수를 )(xc 라 하자. x는 제품 생산량이다. ( )(xc 나 )(xf 의 의미는 같다.
둘 다 x 의 함수라는 것이다. 비용이 cost이므로 c를 사용한 것 뿐이다.) h
xchxc )()( −+의
의미는 제품을 x 만큼 생산하고 있는 생산 라인에서 제품을 h만큼 더 생산할 때 비용의
평균 증가량이다. 0→h 일 때 이를 x서 한계 비용이라 (marginal cost) 한다.
■예제■ A회사에서 냉장고를 생산하는데 드는 비용 함수가 xxxxc 156)( 23 +−= 라 하자.
현재는 하루에 10개 생산하고 있다. 이 경우 하나를 더 생산하는데 드는 비용은 얼마
일까?(단위: 만원)
15123)156()( 223 +−=+−=′ xxxxxdxdxc
19515)10(12)10(3)10( 2 =+−=′c 즉 초과 비용은 195(만원)이다.
HOMEWORK #13-2 DUE 5월 4일(수)
책상을 만드는 회사의 수익 함수는 )30100(2000)( 2 xxxr +−= 이다. 물론 x는 생산량이다.
(1)5대 생산에서 6개 생산으로 늘리면 수익은 얼마나 증가하는가?
(2)최대 수익을 얻으려면 생산량을 얼마나?
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 80
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5.4 연쇄 규칙 (chain rule)
미분 규칙과 미분 절차를 이용하면 )sin(x , )4( 2 −x , xe 등의 함수를 미분 할 수 있다.
그러면 함수 )4sin( 2 −x , xxe +2는 미분 할 수 있나? 이 때 필요한 규칙이 연쇄 규칙이다.
■예제■ 함수 106 −= xy 를 미분하자.
(1) )53(2 −= xy
(2) uy 2= , )53( −= xu
(3) 2=dudy , 3=
dxdu
(4)dxdy
dxdu
dudy
== 6
■예제■ 함수 )4sin( 2 −= xy 을 미분하자.
(1) )sin(uy = , )4( 2 −= xu
(2) )cos(ududy
= , xdxdu 2=
(3) xxxudxdu
dudy
dxdy )4cos(22)cos( 2 −===
5.4.1 연쇄 규칙
함수 )(ufy = , )(xgu = 가 모두 미분 가능하다면 dxdu
dudy
dxdy
= 이다. 혹은 xx dxdu
dudy
dxdy || = 이다.
■예제■ 함수 )32
cos( xy −=π
의 0=x 에서 미분 값은?
uy cos= , xu 32−=
π
3|)3)(32/sin(|)3)(sin(|| 0000 =−−−=−−== ==== xxxx xudxdu
dudy
dxdy
π
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 81
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■예제■ 함수 xy 5sin= 미분하라.
5uy = , xu sin=
xxxudxdu
dudy
dxdy cossin5)(cos5 44 ===
■예제■ 함수 3)12( −+= xy 의 미분하자.
3−= uy , 12 += xu
44 )12(6)2(3 −− +−=−== xudxdu
dudy
dxdy
■예제■ 함수 xey −= 을 미분하자.
uey = , xu −=
uedudy
= , 1−=dxdu
그러므로 xx eedxdu
dudy
dxdy −− −=−== )1(
■예제■ 함수 xxey +=2을 미분하자.
uey = , )( 2 xxu +=
uedudy
= , 12 += xdxdu
그러므로 )12()( 2+== + xe
dxdu
dudy
dxdy xx
5.4.2 안-바깥 규칙
연쇄 규칙을 사용하면 치환하는 복잡한 과정을 거친다. 이를 계산이 용이하게 함수의 형
태를 안과 바깥을 구별하고 바깥 부분을 먼저 미분하고 안 부분을 미분하여 서로 곱하는
방법을 안-바깥 규칙(inside-outside rule)이라 한다.
)())(( xgxgfdxdy ′′= o (예) )12)(2cos()sin( 22 ++=+ xxxx
dxd
안 (1)바깥 미분
바깥 (2)안 그대로 (3)안 미분
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 82
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■예제■ 함수 3)12( −+= xy 의 미분하자.
44 )12(6)2()12(3 −− +−=+−= xxdxdy
■예제■ 함수 )sin( xy −= 미분하자.
)cos()1)(cos( xxdxdy
−=−−=
■예제■ 함수 xxe +2을 미분하자.
)12()( 2+= + xe
dxdy xx
5.4.3 반복 사용
연쇄 규칙을 두 번 이상 사용할 수 있다. 예를 들어 설명하겠다.
■예제■ 함수 2)13( −= xey 미분하자.
3)13(2)])13[(22 )13(2)13( −=′−= −− xexe
dxdy xx
즉 22 )13()13( )3(63)13(2 −− −=−= xx exxe
dxdy
HOMEWORK #14-1 DUE 5월 10일(화)
다음 함수의 1차 미분을 (dxdff =′ 혹은
dxdyy =′ ) 구하시오.
9)34()()1( xxf −= 10)12
()2( −−=xy 5)
51
5()()3(
xxxf +=
)sin()4( 2xy = )(sin)5( 3 xy = 22 )1()5()6(
+
−=
xxy
))52(cos(sin)7( 2 −= xy 2)
42(3
2)8(−
−=
x
ey 4)11()9( −−+=x
xy
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 83
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HOMEWORK #15-1 DUE 5월 11일(수)
주어진 x 값에서 )())((]))(([])([ xgxgfxgfxgf ′′=′=′o 을 구하시오.
xxguuuf ==+= )(,1)()1( 5 , 1=x x
xguu
uf−
==−=1
1)(,11)()2( , 1=x
■예제■ 주어진 x에서 미분 값을 구하시오.
x )(xf )(xg )(xf ′ )(xg′
2 8 2 3 -3
3 3 -4 2 1
)(2)( xfya = , 2=x
63*2)2(2|)(2| 22 ==′=′=′ == fxfy xx
)()()( xgxfyb = , 3=x
51*3)4(*2)3()3()3()3(|)()()()(| 33 −=+−=′+′=′+′=′ == gfgfxgxfxgxfy xx
)()()(
xgxfyc = , 2=x
815
1630
)4()3(*82*3
)2()2()2()2()2(|
)()()()()(| 22222 ==
−
−−=
′−′=
′−′=′ ==
ggfgf
xgxgxfxgxfy xx
)()( xfyd = , 2=x
233*)
81(
21)2(*))2((
21|)(*))((
21| 2/1
21
221
2 ==′=′=′−
=−
= ffxfxfy xx
)(1)( 2 xg
ye = , 3=x
3211*
)3(12)3(*)3(2|)(*)(2|)(| 3
33
33
22 =−=′−=′−==′ −
=−
=−
=g
ggxgxgxgy xxx
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HOMEWORK #15-2 DUE 5월 11일(수)
주어진 x에서 미분 값을 구하시오.
x )(xf )(xg )(xf ′ )(xg′
0 1 1 5 1/3
1 3 -4 -1/3 -8/3
)()()( 3 xgxfya = , 0=x
1)()()(+
=xg
xfyb , 1=x
))(()( xgfyc = , 0=x
)3)(()( ++= xgxfyd , 1=x
211 ))(()( −+= xfxye , 1=x
5.5 잠재 미분
함수를 )(xfy = 식으로 쉽게 표현할 수 없을 때 사용하는 미분 방법을 잠재 미분
(implicit differentiation) 이라 한다. 잠재 미분 절차를 예제 중심으로 설명하여 보자.
■예제■ 함수 yxy sin2 2 += 에 대해 dxdy를 구하시오.
함수를 x에 대해 미분한다. )sin()2( 2 yxdxdy
dxd
+= 이므로 dxdy
yxdxdy
cos22 +=
dxdy 항을 한 쪽으로 모은다. x
dxdy
ydxdy
2cos2 =−
dxdy로 인수 분해한다. x
dxdy
y 2)cos2( =−
dxdy에 대해 푼다.
)cos2(2
yx
dxdy
−=
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 85
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HOMEWORK #15-3 DUE 5월 11일(수)
다음 함수에서 dxdy을 구하시오.
6)1( 22 =+ xyyx yxyxy +=+ 22)2( 1)3( 33 =+− yxyx 32 2)3)(4( yyx =+
5.6 미분 응용2
5.6.1 상대 변화율
예제를 중심으로 상대 변화율이 어떤 개념이고 어디에 적용될 수 있는지 알아보자.
■예제■ 풍선이 하늘로 날아간 궤적을 보니 다음과 같고 min)/(14.0 raddtd
=θ
이라고 하
자. 지상 500m 지점에서 풍선의 속력은 얼마인가?
(1)무엇을 구하는 것인가 적는다. 4πθ = 일 때
dtdy을 구한다.
(2) 변수 이름을 설정한다. y= 풍선의 (현재) 높이, θ =풍선이 날아간 각도
(3)관계 수식(함수)을 구한다. 500
tany
=θ 이므로 θtan500=y
(4) 140)14.0()414.1(500)(sec500 22 ===′dtdy θθ 1분당 140의 속력으로 올라감
y
4/πθ =
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 86
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HOMEWORK #16-1 DUE 5월 24일(화)
저수통의 물이 분당 3000( min)/l 으로 빠지고 있다. 물의 높이가 얼마나 빨리 줄어들겠는
가? (세제곱 미터 당 1,000 l물이 있다)
TIP 3000=dtdV
이고 알고자 하는 것은 dtdh이다. π 와 r은 변하지 않음
5.6.2 최대값과 최소값
▣지역(local)과 절대(absolute)의 의미
절대 최소 지역최대 지역최소 절대최대 지역최소
▣1차 미분 정리
함수 f 가 일정 구간 안의 모든 점에서 미분 가능하고 구간 내 임의의 점 c에서 1차
미분이 0이면 ( 0)( =′ cf ) 함수 f 는 점 c에서 지역 최대값이나 최소값을 갖는다.
▣증가 함수와 감소 함수 정의
만약 )()( 1212 xfxfxx >⇒> 이면 )(xf 는 증가 함수이다.(정의)
)()( 1212 xfxfxx <⇒> 이면 )(xf 는 감소 함수이다.(정의)
f
h rV 2000,1 π= 높이 h
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 87
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▣1차 미분과 증가 함수 관계 정리
함수 f 에 대해 0>′f 이면 증가 함수이고 0<′f 이면 감소 함수이다.
▣1차 미분 y′
1차 미분이 0인 점에서 최대, 최소 혹은 변곡이 발생한다.
▣2차 미분 y ′′
1차 미분(기울기)의 변화율이므로 기울기가 감소하면 2차 미분 값은 음이고 기울기가 증
가하면 2차 미분 값은 양이다.
▣오목성(Concavity)
만약 y ′의 기울기가 감소하면 함수 f 는 concave down ( )0<′′f , 만약 y ′의 기울기가 증
가하면 함수 f 는 concave up( )0>′′f 이라 한다. 만약 concavity가 변하는 점이 있으면 이
점을 변곡점(inflection point)이라 한다. 변곡점에서는 0=′′y 이 성립한다.
concave down concave up 변곡점
▣1차 미분과 2차 미분을 이용한 최대, 최소
만약 0)( =′ cf 이고 0)( <′′ cf 이면 함수 f 는 점 c에서 (지역) 최대값을 갖는다.
만약 0)( =′ cf 이고 0)( >′′ cf 이면 함수 f 는 점 c에서 (지역) 최소값을 갖는다.
만약 0)( =′ cf 이고 0)( =′′ cf 이면 함수 f 는 점 c에서 변곡점이다.
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 88
Prof. Sehyug Kwon, Dept. of Statistics, HANNAM University http://wolfpack.hannam.ac.kr @2005 Spring
■예제■ 함수 312
23
23+−−= xxxy 의 최대값, 최소값, 변곡점이 있는지 알아보고 있다면
))(,( xfx 를 구하시오.
(1)1차 미분이 0인 값을 구한다.
022 =−−=′ xxy 2,1−=x
(2)2차 미분을 구하고 1차 미분이 0인 곳에서 2차 미분 값의 구한다.
12 −=′′ xy
1−=x 에서 3| 1 −=′′ −=xy 이므로 최대값 2/3=y
2=x 에서 3| 2 =′′ =xy 이므로 최소값 3−=y
HOMEWORK #16-2 DUE 5월 24일(화)
다음 함수의 (local) 최대값, (local) 최소값, 변곡점이 있는지 알아보고 있다면 ))(,( xfx 을
구하시오.
34)1 2 +−= xxy 142)2 24 +−= xxy 23 32)3 xxy −= xxy −= 3)4
334)5 xxy −+= 24 2)6 xxy −= π20,sin)7 ≤≤−= xxxy
Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 89
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미분 공식 응용
HOMEWORK #16-3 DUE 5월 24일(화)
다음 함수의 미분을 dxdy 구하시오.
73)1(x
y −= x
xy 11)2( ++= )15()3( 2x
xxy ++=
12)1)(1()4( −+−= xxy )1)(1()5( +−= xxxy 120
)6(5xy =
HOMEWORK #16-4 DUE 5월 24일(화)
함수 cbxaxy ++= 2 는 점 (1,2)를 지나고 원점(0,0)에서 접선 기울기가 xy = 일 경우 cba ,,
구하시오.
HOMEWORK #16-5 DUE 5월 24일(화)
다음 함수의 Taylor 시리즈(1.5절 참고, 0=a )를 구하시오.
① xexf −=)( ② 3)1()( −+= xxf
함수 )(xf 가 미분 가능하다면 임의의 상수 a에 대해 다음이 성립한다.
...!3
))((!2
))(())(()()(32+
−′′′+
−′′+−′+=
axafaxafaxafafxf
만약 상수 0=a 이면
...!3)0(
!2)0()0()0()(
32+
′′′+
′′+′+=
xfxfxffxf
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