Mathematics

MMaatthheemmaattiiccss 11 ooff 1100

MMaatthheemmaattiiccss:: PPaappeerr –– IIIIIILLIINNEEAARR AALLGGEEBBRRAA AANNDD VVEECCTTOORR CCAALLCCUULLUUSS

PPaarrtt AA:: LLiinneeaarr AAllggeebbrraa

UUnniitt--II:: ((2255 HHoouurrss))

VVeeccttoorr ssppaacceess,, GGeenneerraall pprrooppeerrttiieess ooff vveeccttoorr ssppaacceess,, VVeeccttoorr ssuubbssppaacceess,, AAllggeebbrraa ooffssuubbssppaacceess,, lliinneeaarr ccoommbbiinnaattiioonn ooff vveeccttoorrss.. LLiinneeaarr ssppaann,, lliinneeaarr ssuumm ooff ttwwoo ssuubbssppaacceess,,LLiinneeaarr iinnddeeppeennddeennccee aanndd ddeeppeennddeennccee ooff vveeccttoorrss,, BBaassiiss ooff vveeccttoorr ssppaaccee,, FFiinniitteeddiimmeennssiioonnaall vveeccttoorr ssppaacceess,, DDiimmeennssiioonn ooff aa vveeccttoorr ssppaaccee,, DDiimmeennssiioonn ooff aa ssuubbssppaaccee..LLiinneeaarr ttrraannssffoorrmmaattiioonnss,, lliinneeaarr ooppeerraattoorrss,, RRaannggee aanndd nnuullll ssppaaccee ooff lliinneeaarr ttrraannssffoorrmmaattiioonn,,RRaannkk aanndd nnuulllliittyy ooff lliinneeaarr ttrraannssffoorrmmaattiioonnss,, LLiinneeaarr ttrraannssffoorrmmaattiioonnss aass vveeccttoorrss,, PPrroodduucctt oofflliinneeaarr ttrraannssffoorrmmaattiioonnss,, IInnvveerrttiibbllee lliinneeaarr ttrraannssffoorrmmaattiioonn..

UUnniitt--IIII:: ((2200 HHoouurrss))

TThhee aaddjjooiinntt oorr ttrraannssppoossee ooff aa lliinneeaarr ttrraannssffoorrmmaattiioonn,, SSyyllvveesstteerr’’ss llaaww ooff nnuulllliittyy,,cchhaarraacctteerriissttiicc vvaalluueess aanndd cchhaarraacctteerriissttiicc vveeccttoorrss,, CCaayylleeyy-- HHaammiillttoonn tthheeoorreemm,,DDiiaaggoonnaalliizzaabbllee ooppeerraattoorrss.. IInnnneerr pprroodduucctt ssppaacceess,, EEuucclliiddeeaann aanndd uunniittaarryy ssppaacceess,, NNoorrmm oorrlleennggtthh ooff aa vveeccttoorr,, SScchhwwaarrttzz iinneeqquuaalliittyy,, OOrrtthhooggoonnaalliittyy,, OOrrtthhoonnoorrmmaall sseett,, ccoommpplleetteeoorrtthhoonnoorrmmaall sseett,, GGrraamm -- SScchhmmiiddtt oorrtthhooggoonnaalliissaattiioonn pprroocceessss..

PPrreessccrriibbeedd tteexxtt bbooookk::LLiinneeaarr AAllggeebbrraa bbyy JJ..NN..SShhaarrmmaa aanndd AA..RR..VVaassiissttaa,, KKrriisshhnnaa PPrraakkaasshhaamm MMaannddiirr,, MMeeeerruutt--225500000022..

RReeffeerreennccee BBooookkss::11.. LLiinneeaarr AAllggeebbrraa bbyy KKeennnneetthh HHooffffmmaann aanndd RRaayy KKuunnzzee,, PPeeaarrssoonn EEdduuccaattiioonn ((llooww pprriicceeddeeddiittiioonn)),, NNeeww DDeellhhii22.. LLiinneeaarr AAllggeebbrraa bbyy SStteepphheenn HH.. FFrriieeddbbeerrgg eett aall PPrreennttiiccee HHaallll ooff IInnddiiaa PPvvtt.. LLttdd.. 44tthh

eeddiittiioonn 22000077

PPaarrtt BB :: MMuullttiippllee iinntteeggrraallss aanndd VVeeccttoorr CCaallccuulluuss

UUnniitt--IIIIII:: ((2255 HHoouurrss))

MMuullttiippllee iinntteeggrraallss:: IInnttrroodduuccttiioonn,, tthhee ccoonncceepptt ooff aa ppllaannee,, CCuurrvvee,, lliinnee iinntteeggrraall-- SSuuffffiicciieenntt

ccoonnddiittiioonn ffoorr tthhee eexxiisstteennccee ooff tthhee iinntteeggrraall.. TThhee aarreeaa ooff aa ssuubbsseett ooff 2R ,, CCaallccuullaattiioonn ooffddoouubbllee iinntteeggrraallss,, JJoorrddaann ccuurrvvee,, AArreeaa,, CChhaannggee ooff tthhee oorrddeerr ooff iinntteeggrraattiioonn,, DDoouubbllee iinntteeggrraallaass aa lliimmiitt,, CChhaannggee ooff vvaarriiaabbllee iinn aa ddoouubbllee iinntteeggrraattiioonn.. LLeennggtthhss ooff CCuurrvveess,, ssuurrffaaccee aarreeaass,,IInntteeggrraall eexxpprreessssiioonn ffoorr tthhee lleennggtthh ooff aa ccuurrvvee,, ssuurrffaacceess,, ssuurrffaaccee aarreeaass..

9900 hhrrss((33 hhrrss// wweeeekk))


PPrreessccrriibbeedd bbooookk:: AA CCoouurrssee ooff MMaatthheemmaattiiccaall AAnnaallyyssiiss bbyy SSaanntthhii NNaarraayyaannaa aannddPP..KK..MMiittttaall,, SS.. CChhaanndd PPuubblliiccaattiioonnss.. CChhaapptteerrss 1166 aanndd 1177..

UUnniitt--IIVV:: (( 2200 HHoouurrss))

VVeeccttoorr ddiiffffeerreennttiiaattiioonn.. OOrrddiinnaarryy ddeerriivvaattiivveess ooff vveeccttoorrss,, SSppaaccee ccuurrvveess,, CCoonnttiinnuuiittyy,,DDiiffffeerreennttiiaabbiilliittyy,, GGrraaddiieenntt,, DDiivveerrggeennccee,, CCuurrll ooppeerraattoorrss,, FFoorrmmuullaaee iinnvvoollvviinngg tthheesseeooppeerraattoorrss.. VVeeccttoorr iinntteeggrraattiioonn,, TThheeoorreemmss ooff GGaauussss aanndd SSttookkeess,, GGrreeeenn’’ss tthheeoorreemm iinn ppllaanneeaanndd aapppplliiccaattiioonnss ooff tthheessee tthheeoorreemmss..

PPrreessccrriibbeedd tteexxtt BBooookk::

VVeeccttoorr AAnnaallyyssiiss bbyy MMuurrrraayy.. RR..SSppiieeggeell,, SScchhaauumm SSeerriieess PPuubblliisshhiinngg CCoommppaannyy,, CChhaapptteerrss 33,,44,,55,,66,, aanndd 77..

RReeffeerreennccee BBooookkss::

11..TTeexxtt bbooookk ooff vveeccttoorr AAnnaallyyssiiss bbyy SShhaannttii NNaarraayyaannaa aanndd PP.. KK.. MMiittttaall,,

SS.. CChhaanndd && CCoommppaannyy LLttdd,, NNeeww DDeellhhii..

22.. MMaatthheemmaattiiccaall AAnnaallyyssiiss bbyy SS..CC.. MMaalllliikk aanndd SSaavviitthhaa AArroorraa,, WWiilleeyy EEaasstteerrnn LLttdd..


Mathematics: Paper IV(a) NNUUMMEERRIICCAALL AANNAALLYYSSIISS

UNIT-I: (20 hours)

Errors in Numerical Computations: Numbers and their Accuracy, Errors and their

Computation, Absolute, Relative and percentage errors, A general error formula, Error in

a series approximation.

SSoolluuttiioonn ooff AAllggeebbrraaiicc aanndd TTrraannsscceennddeennttaall EEqquuaattiioonnss:: TThhee bbiisseeccttiioonn mmeetthhoodd,, TThhee

iitteerraattiioonn mmeetthhoodd,, TThhee mmeetthhoodd ooff ffaallssee ppoossiittiioonn,, NNeewwttoonn--RRaapphhssoonn mmeetthhoodd,, GGeenneerraalliizzeedd

NNeewwttoonn--RRaapphhssoonn mmeetthhoodd,, RRaammaannuujjaann’’ss mmeetthhoodd,, MMuulllleerr’’ss mmeetthhoodd

UNIT-II: (25 hours)

Interpolation :Errors in polynomial interpolation, Forward differences, Backward

differences, Central Differences, Symbolic relations, Detection of errors by use of

D.Tables, Differences of a polynomial, Newton’s formulae for interpolation formulae,

Gauss’s central difference formula, Stirling’s central difference formula, Interpolation

with unevenly spaced points, Lagrange’s formula, Error in Lagrange’s formula,

Derivation of governing equations, End conditions, Divided differences and their

properties, Newton’s general interpolation.

UNIT-III: (20 hours)

Curve Fitting: Least-Squares curve fitting procedures, fitting a straight line, nonlinear

curve fitting, Curve fitting by a sum of exponentials

NNuummeerriiccaall DDiiffffeerreennttiiaattiioonn aanndd NNuummeerriiccaall IInntteeggrraattiioonn:: NNuummeerriiccaall ddiiffffeerreennttiiaattiioonn,, EErrrroorrss iinn

nnuummeerriiccaall ddiiffffeerreennttiiaattiioonn,, MMaaxxiimmuumm aanndd mmiinniimmuumm vvaalluueess ooff aa ttaabbuullaatteedd ffuunnccttiioonn,,

NNuummeerriiccaall iinntteeggrraattiioonn,, TTrraappeezzooiiddaall rruullee,, SSiimmppssoonn’’ss 11//33 –– rruullee,, SSiimmppssoonn’’ss 33//88 –– rruullee,,

BBoooollee’’ss aanndd WWeeddddllee’’ss rruullee..



UUNNIITT--IIVV:: ((2255 hhoouurrss))

LLiinneeaarr ssyysstteemmss ooff eeqquuaattiioonnss,, SSoolluuttiioonn ooff lliinneeaarr ssyysstteemmss –– DDiirreecctt mmeetthhooddss,, MMaattrriixx

iinnvveerrssiioonn mmeetthhoodd,, GGaauussssiiaann eelliimmiinnaattiioonn mmeetthhoodd,, MMeetthhoodd ooff ffaaccttoorriizzaattiioonn,, IIllll--ccoonnddiittiioonneedd

lliinneeaarr ssyysstteemmss.. IItteerraattiivvee mmeetthhooddss:: JJaaccoobbii’’ss mmeetthhoodd,, GGaauussss--ssiieeddaall mmeetthhoodd,,

NNuummeerriiccaall ssoolluuttiioonn ooff oorrddiinnaarryy ddiiffffeerreennttiiaall eeqquuaattiioonnss :: IInnttrroodduuccttiioonn,, SSoolluuttiioonn bbyy

TTaayylloorr’’ss SSeerriieess,, PPiiccaarrdd’’ss mmeetthhoodd ooff ssuucccceessssiivvee aapppprrooxxiimmaattiioonnss,, EEuulleerr’’ss mmeetthhoodd,, MMooddiiffiieedd

EEuulleerr’’ss mmeetthhoodd,, RRuunnggee –– KKuuttttaa mmeetthhooddss,, PPrreeddiiccttoorr –– CCoorrrreeccttoorr mmeetthhooddss,, MMiillnnee’’ss mmeetthhoodd..

PPrreessccrriibbeedd tteexxtt BBooookk:: SSccooppee aass iinn IInnttrroodduuccttoorryy MMeetthhooddss ooff NNuummeerriiccaall AAnnaallyyssiiss bbyy SS..SS..

SSaassttrryy,, PPrreennttiiccee HHaallll IInnddiiaa ((44tthh EEddiittiioonn..)),, CChhaapptteerr -- 11 ((11.. 22,, 11.. 44,, 11,, 11..55,, 11..66));; CChhaapptteerr -- 22

((22..22 –– 22..77));; CChhaapptteerr -- 33 ((33..22,, 33..33,, 33..77..22,, 33..99..11,, 33..99..22,, 33..1100..11,, 33..1100..22));; CChhaapptteerr -- 44.. ((44..22));;

CChhaapptteerr..-- 55((55..22 –– 55..44..55));; CChhaapptteerr -- 66 (( 66..33..22,, 66..33..44,, 66..33..77,, 66..44));; CChhaapptteerr -- 77 ((77..22--77..55;; 77..66..22))..


11.. NNuummeerriiccaall AAnnaallyyssiiss bbyy GG.. SShhaannkkaarr RRaaoo,, NNeeww AAggee IInntteerrnnaattiioonnaall PPuubblliisshheerrss,,

HHyyddeerraabbaadd..

22.. FFiinniittee DDiiffffeerreenncceess aanndd NNuummeerriiccaall AAnnaallyyssiiss bbyy HH..CC.. SSaaxxeennaa SS.. CChhaanndd aanndd CCoommppaannyy,,

NNeeww DDeellhhii


Mathematics: Paper IV(b) FOURIER SERIES AND INTEGRAL TRANSFORMS

UNIT - I: ( 20 hours)Fourier series :Fourier series, Theorems, Dirichlet's conditions, Fourier series for even and odd functions, Half range Fourier series, Other forms of Fourier seriesPPrreessccrriibbeedd tteexxtt BBooookk:: Scope as in A course of Mathematical Analysis by Shanthi Narayan and P.K Mittal, Published by S. Chand & Company, Chapter 10.

UNIT - II: (25 hours)

Laplace transforms:Definition of Laplace transform, linearity property- Piecewise continuous function.Existence of Laplace transform, Functions of exponential order and of class A. First and second shifting theorems of Laplace transform, Change of scale property- Laplace transform of derivatives, Initial value problems, Laplace transform of integrals, Multiplication by t, Division by t, Laplace transform of periodic functions and error function, Beta function and Gamma functions. Definition of Inverse Laplace transform, Linearity property, First and second shifting theorems of inverse Laplace transform, Change of scale property, Division by p, Convolution theorem, Heaviside’s expansion formula (with proofs and applications).

UNIT - III: (25 hours)

Fourier transforms : Dirichlet's conditions, Fourier integral formula (without proof), Fourier transform, Inverse Theorem for Fourier transform, Fourier sine and cosine transforms and their inversion formulae. Linearity property of Fourier transforms, Change of scale property, Shifting theorem, Modulation theorem, Convolution theorem of Fourier transforms, Parseval's identity, Finite Fourier sine transform, Inversion formula for sine transform, Finite Fourier cosine Transform, Inversion formula for cosine transform.

UNIT - IV: (20hours)

Applications of Laplace and Fourier transforms :Applications of Laplace transforms to the solution of ordinary differential equations with constant coefficients and variable coefficients, Simultaneous



ordinary differential equations, Partial differential equations. Applications of Fourier transforms to initial and boundary value problems.

PPrreessccrriibbeedd tteexxtt BBooookk:: Scope as in Integral transforms by A.R. Vasistha & Dr. R.K. Gupta Published by Krishna Prakashan Media Pvt. Ltd. Meerut. Chapter I, Chapter II: all sections except 2.3 and 2.18; Chapter III: sections 3.1, 3.2, 3.3, 3.4; Chapter VI: Sections 6.1 to 6.20 except 6.16; Chapter VII: Sections 7.1 to 7.4; Chapter VIII: Section 8.2.)RReeffeerreennccee BBooookk:: OOppeerraattiioonnaall MMaatthheemmaattiiccss bbyy RR..VV..CChhuurrcchhiill,, MMccGGrraaww HHiillll CCoommppaannyy


MMaatthheemmaattiiccss:: PPaappeerr –– IIVV(( cc ))MMEECCHHAANNIICCSS

PPaarrtt AA:: SSTTAATTIICCSS

UUnniitt--II:: ((2255 hhoouurrss))

IInnttrroodduuccttiioonn,, CCoommppoossiittiioonn aanndd rreessoolluuttiioonn ooff ffoorrcceess,, PPaarraalllleellooggrraamm llaaww ooff ffoorrcceess,,

TTrriiaannggllee llaaww ooff ffoorrcceess,, LLaammiiss tthheeoorreemm,, PPoollyyggoonn ooff ffoorrcceess,, tthheeoorreemm,, RReessuullttaanntt ooff

aa ffiinniittee nnuummbbeerr ooff ccooppllaannaarr ffoorrcceess aaccttiinngg uuppoonn aa ppaarrttiiccllee,, CCoonnddiittiioonnss ooff eeqquuiilliibbrriiuumm,,

PPaarraalllleell ffoorrcceess,, rreessuullttaanntt ooff ttwwoo ppaarraalllleell ffoorrcceess aaccttiinngg uuppoonn aa rriiggiidd bbooddyy,, MMoommeennttss,,

MMoommeennttss ooff aa ffoorrccee aabboouutt aa ppooiinntt aanndd aabboouutt aann aaxxiiss,, GGeenneerraalliizzeedd tthheeoorreemm ooff mmoommeennttss..

UUnniitt--IIII:: ((2200 hhoouurrss))

CCoouupplleess,, EEqquuiilliibbrriiuumm ooff aa rriiggiidd bbooddyy aacctteedd oonn bbyy tthhrreeee ccooppllaannaarr ffoorrcceess,, GGeenneerraall

ccoonnddiittiioonnss ooff eeqquuiilliibbrriiuumm ooff aa rriiggiidd bbooddyy uunnddeerr ccooppllaannaarr ffoorrcceess,, FFrriiccttiioonn,, LLaawwss ooff

ffrriiccttiioonn,, LLiimmiittiinngg ffrriiccttiioonn,, CCooeeffffiicciieenntt ooff ffrriiccttiioonn aanndd ssiimmppllee pprroobblleemmss..

PPaarrtt BB:: DDYYNNAAMMIICCSS

UUnniitt--IIIIII:: ((2255 hhoouurrss))

VVeelloocciittyy,, RReellaattiivvee vveelloocciittyy,, AAcccceelleerraattiioonn,, PPaarraalllleellooggrraamm llaawwss ooff aacccceelleerraattiioonn,, MMoottiioonn

uunnddeerr ggrraavviittyy,, NNeewwttoonn’’ss llaawwss ooff mmoottiioonn aanndd tthheeiirr aapppplliiccaattiioonnss ttoo ssiimmppllee pprroobblleemmss..

IImmppuullssee,, WWoorrkk,, EEnneerrggyy.. KKiinneettiicc aanndd ppootteennttiiaall eenneerrggiieess ooff aa bbooddyy,, PPrriinncciippllee ooff

ccoonnsseerrvvaattiioonn ooff eenneerrggyy..

Unit-IV: (20 hours)

Projectiles, Range on an inclined plane, Collision of elastic bodies, Newton’s

experimental law, Impact of sphere on a plane, Direct and oblique impact of two spheres,

Loss of kinetic energy by impact, Simple harmonic motion, Examples of simple

harmonic motion, Simple pendulum, Simple equivalent pendulum.

Prescribed text books:

1. The elements of Statics and Dynamics, Part-I – Statics by S.L. Loney, Book palace, New Delhi.2. The elements of Statics and Dynamics, Part-II-Dynamics by S.L.Loney, AITBS



Publications and distributions (Regd), Delhi Reference Book: Mechanics by P. Durai Pandian, Laxmi Durai Pandian, Muthamizh Jaya Prakasan, S. Chand and Company limited.


MMaatthheemmaattiiccss -- PPaappeerr ––IIVV((dd))

DDIISSCCRREETTEE MMAATTHHEEMMAATTIICCSS

UUNNIITT –– II:: ((1155 hhoouurrss))

SSeettss aanndd OOppeerraattiioonnss ooff sseettss,, RReellaattiioonnss aanndd ffuunnccttiioonnss,, SSoommee mmeetthhooddss ooff pprrooooff aanndd pprroobblleemmssoollvviinngg ssttrraatteeggiieess,, FFuunnddaammeennttaallss ooff llooggiicc,, LLooggiiccaall iinnffeerreenncceess,, MMeetthhooddss ooff pprrooooff ooff aanniimmpplliiccaattiioonn,, FFiirrsstt oorrddeerr llooggiicc aanndd ootthheerr mmeetthhooddss ooff pprrooooff,, RRuulleess ooff iinnffeerreennccee ffoorrqquuaannttiiffiieedd pprreeppoossiittiioonnss,, MMaatthheemmaattiiccaall iinndduuccttiioonn..

UUNNIITT –– IIII:: ((2255 hhoouurrss))

RReeccuurrrreennccee RReellaattiioonnss::

GGeenneerraattiinngg ffuunnccttiioonnss ooff sseeqquueenncceess,, CCaallccuullaattiinngg ccooeeffffiicciieennttss ooff ggeenneerraattiinngg ffuunnccttiioonnss;;RReeccuurrrreennccee rreellaattiioonnss;; SSoollvviinngg rreeccuurrrreennccee rreellaattiioonnss bbyy ssuubbssttiittuuttiioonn aanndd ggeenneerraattiinnggffuunnccttiioonnss;; TThhee mmeetthhoodd ooff cchhaarraacctteerriissttiicc rroooottss;; SSoolluuttiioonnss ooff iinn--hhoommooggeennoouuss lliinneeaarrrreeccuurrrreennccee rreellaattiioonnss..

UUNNIITT –– IIIIII:: ((2255 hhoouurrss))

GGrraapphh TThheeoorryy::

BBaassiicc ccoonncceeppttss,, IIssoommoorrpphhiissmmss aanndd ssuubbggrraapphhss,, TTrreeeess aanndd tthheeiirr pprrooppeerrttiieess,, SSppaannnniinngg ttrreeeess,,

DDiirreecctteedd ttrreeeess,, BBiinnaarryy ttrreeeess,, PPllaannaarr ggrraapphhss,, EEuulleerr’’ss ffoorrmmuullaa,, MMuullttii ggrraapphhss aanndd EEuulleerr

cciirrccuuiittss,, HHaammiillttoonniiaann ggrraapphhss,, CChhrroommaattiicc nnuummbbeerrss.. FFoouurr –– ccoolloorr pprroobblleemm..

UUNNIITT –– IIVV:: ((2255 hhoouurrss))

BBoooolleeaann AAllggeebbrraa::RReellaattiioonnss,, PPrrooppeerrttiieess ooff ssppeecciiaall bbiinnaarryy rreellaattiioonnss,, EEqquuiivvaalleennccee rreellaattiioonnss,, OOrrddeerriinnggrreellaattiioonnss,, LLaattttiicceess aanndd eennuummeerraattiioonnss ,, BBoooolleeaann aallggeebbrraa,, BBoooolleeaann ffuunnccttiioonnss,, SSwwiittcchhiinnggmmeecchhaanniissmm,, MMiinniimmiizzaattiioonn ooff BBoooolleeaann ffuunnccttiioonnss..

PPrreessccrriibbeedd tteexxtt bbooookk SSccooppee aass iinn DDiissccrreettee MMaatthheemmaattiiccss ffoorr ccoommppuutteerr SScciieennttiissttss aannddMMaatthheemmaattiicciiaannss bbyy JJooee LL..MMootttt,, AAbbrraahhaamm KKaannddeell,, TThheeooddoorree PP..BBaakkeerr,, PPrriinnttiiccee--HHaallll ooffIInnddiiaa ((SSeeccoonndd eeddiittiioonn)) CChhaapptteerrss 11,, 33,, 44,, 55,, 66..

RReeffeerreennccee tteexxtt BBooookkss::

11.. DDiissccrreettee MMaatthheemmaattiiccaall ssttrruuccttuurreess bbyy BBeerrnnaarrdd KKoollmmaann,, RRoobbeerrtt CC.. BBuussbbyy,, SShhaarroonn RRoossss,,PPrreennttiiccee-- HHaallll ooff IInnddiiaa

22.. DDiissccrreettee MMaatthheemmaattiiccss aanndd iittss aapppplliiccaattiioonnss bbyy KKeennnneetthh HH..RRoosseenn,, TTaattaa MMccGGrraaww-- HHiillll..



MMaatthheemmaattiiccss:: PPaappeerr –– IIVV((ee))NNUUMMBBEERR TTHHEEOORRYY

UUNNIITT –– II :: ((2255 hhoouurrss))

TThhee ddiivviissiioonn aallggoorriitthhmm,, TThhee ggrreeaatteesstt ccoommmmoonn ddiivviissoorr,, TThhee EEuucclliidd aallggoorriitthhmm,, TThheeDDiioopphhaannttiinnee eeqquuaattiioonn aaxx ++ bbyy == cc,, BBaassiicc pprrooppeerrttiieess ooff ccoonnggrruueennccee,, SSppeecciiaall ddiivviissiibbiilliittyytteessttss,, LLiinneeaarr ccoonnggrruueenncciieess

UUNNIITT –– IIII :: ((2200 hhoouurrss))

TThhee LLiittttllee FFeerrmmaatt’’ss tthheeoorreemm ,, WWiillssoonn’’ss tthheeoorreemm,, TThhee ffuunnccttiioonnss ττ aanndd σσ,, TThhee MMööbbiiuussiinnvveerrssiioonn ffoorrmmuullaa,, TThhee ggrreeaatteesstt iinntteeggeerr ffuunnccttiioonn

UUNNIITT –– IIIIII :: ((2255 hhoouurrss))

EEuulleerr’’ss PPhhii--ffuunnccttiioonn,, RRuulleerr’’ss tthheeoorreemm,, SSoommee pprrooppeerrttiieess ooff tthhee PPhhii--ffuunnccttiioonn,, RRuulleerr’’ssccrriitteerriioonn,, TThhee LLeeggeennddrree’’ss ssyymmbbooll aanndd iittss pprrooppeerrttiieess,, QQuuaaddrraattiicc rreecciipprroocciittyy

UUNNIITT –– IIVV :: ((2200 hhoouurrss))

TThhee sseeaarrcchh ffoorr ppeerrffeecctt nnuummbbeerrss,, MMeerrsseennnnee pprriimmeess,, FFeerrmmaatt nnuummbbeerrss,, SSuummss ooff ttwwoo ssqquuaarreess,,SSuummss ooff mmoorree tthhaann ttwwoo ssqquuaarreess

PPrreessccrriibbeedd tteexxtt BBooookk:: SSccooppee aass iinn EElleemmeennttaarryy NNuummbbeerr TThheeoorryy –– DDaavviidd MM.. BBuurrttoonn,,

22nndd EEddiittiioonn,, UUnniivveerrssaall bbooookk SSttaallll,, NNeeww DDeellhhii..


11.. AAnn IInnttrroodduuccttiioonn ttoo tthhee TThheeoorryy ooff NNuummbbeerrss –– II.. NNiivveenn aanndd HH.. ZZuucckkeerrmmaann11998800,, 44tthh EEddiittiioonn,, JJoohhnn WWiilleeyy && SSoonnss,, NNeeww YYoorrkk..

22.. EElleemmeennttaarryy NNuummbbeerr TThheeoorryy && IIttss AApppplliiccaattiioonnss –– KKeennnneetthh RRoosseenn11998877,, 22nndd EEddiittiioonn,, RReeaaddiinngg MMaassss AAddddiissoonn –– WWeesslleeyy..


Model Question Paper (Theory)

B.A/B.Sc. III Year Examination, March/April 2011

MATHEMATICS PAPER-III

Time:3Hrs Maximum Marks:100

NOTE: Answer 6 questions from Section- A and 4 questions from Section –B choosing atleast

one from each unit. Each question in Section- A carries 6 marks and each question in

Section-B carries 16 marks.

SECTION-A (6 6=36)

UNIT-I

1) Define a subspace. Prove that the intersection of two subspaces is again a subspace.

2) Define Linear transformation. Show that the mapping ( ) ( ) defined as

( ) ( ) is a linear transformation from ( )

in to ( )

UNIT-II

3) Find all eigen values of the matrix [

] .

4) Define orthogonal set. Show that any orthogonal set of non-zero vectors in an inner product

space V is linearly independent.

UNIT-III

5) Evaluate ∬ over the domain * ( ) ( ) +

6) Evaluate ∬( ) over the domain bounded by

UNIT-IV

7) Define irrotational vector. Show that ( ) ( ) ( ) is

Irrotational. Find such that

8) Evaluate ∬ where A=18zi-12j+3yk and S is that part of the plane 2x+3y+6z=12

which is located in first octant.

SECTION-B (4 16=64)

UNIT-I

9) a) Define Basis of a vector space. Prove that any two basis of a finite dimensional vector

Space ( ) have same number of elements.

b) If , are two subspaces of a finite dimensional vector Space ( ) then

( ) ( )

10) a) State and prove Rank and Nullity theorem in linear transformation.

b) Show that linear operator defined on by ( ) ( ) is invertible.

And hence find

UNIT-II

11) a) Prove that distinct characteristic vectors of corresponding to distinct characteristic of

are linearly independent.

b) Let be the linear operator on which is represented in standard ordered basis by

the matrix [

] Prove that is diagonalizable.

12) a) State and prove schwarz’s inequality .

b) Apply the Gram- Schmidt process to the vector ( ) ( )

( ) to obtain an orthonormal basis for ( ) with the standard inner product.

UNIT-III

13) a) Prove the sufficient condition for the existence of the integral.

b) Verify that ∬ ( ) ∬ ( )

where the domain R is the triangle

bounded by the lines .

14)a) Prove the equivalence if a double integra with repeated integrals.

b) Evaluate the following integral:∬

over , -.

UNIT-IV

15) a) For any vector Prove that ( ) ( )

b) If Evaluate , ( ) ( ) -

16) a) State and prove Green’s theorem in a plane.

b) Verify stoke’s theorem for ( ) where is the upper half

surface of the sphere and is the boundary.

Documents

Mathematics