MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM

By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd

Standar kompetensiMemahami dan dapat

membuktikan teorema/rumus dengan cara induksi matematika

Menerapkan teorema binomial pada penjabaran bentuk perpangkatan(a+b)n

MATHEMATICS INDUCTIONSalah satu metode pembuktian

yang absah dalam matematika.Banyak digunakan untuk

membuktikan kebenaran teorema-teorema yang berlaku untuk semua bilangan bulat atau lebih khusus untuk setiap bilangan asli.

Induksi Matematika• merupakan teknik pembuktian yang

sangat penting

• dipergunakan secara luas untuk membuktikan pernyataan yang berkaitan dengan obyek diskrit.(kompleksitas algoritma, teorema mengenai graf, identitas dan ketidaksamaan yang melibatkan bilangan bulat, dsb).

• tidak dapat digunakan untuk menemukan rumus atau teorema, tetapi hanya untuk melakukan pembuktian.

Induksi MatematikaTeknik untuk membuktikan proposisi dalam

bentuk n P(n), dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan bulat positif.Suatu bukti dengan menggunakan induksi

matematika bahwa “P(n) benar untuk setiap n bilangan bulat positif “

terdiri dari tiga langkah:

1.Langkah basis: Tunjukkan bahwa P(1) benar.

2.Langkah induktif: Diasumsikan bahwa P(k) benar, maka dapat ditunjukkan bahwa P(k + 1) benar untuk setiap k.P(k) untuk suatu k tertentu disebut hipotesa induksi.

3.Konklusi: n maka P(n) bernilai benar.

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah sebagai berikut:

Misalkan p(n) adalah suatu proporsi / pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli.

Langkah (1) : ditunjukkan bahwa p(1) benar.

Langkah (2) : diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.

Apabila langkah (1) dan langkah (2) telah dilakukan dengan benar, maka dapat disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Langkah (1) sering disebut basis (dasar) untuk induksi,

sedangkan langkah (2) disebut langkah induktif.

Contoh 1 Dengan menggunakan induksi

matematika buktikan bahwa 1+2+3+…+n= n(n+1) untuk setiap bilangan asli n

Bukti :Misalkan p(n) menyatakan

1+2+3+…+n= n(n+1)

2

1

2

1

(i) p(1) adalah 1 = . 1. (2) yaitu 1 = 1, (ii) jelas benar(iii)Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk

suatu bilangan asli k, yaitu 1+2+3+… +k = k(k+1)

benar

Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p(k+1) benar, yaitu :

1+2+3+… +k + (k+1) = (k+1) (k+2)

2

1

2

1

2

1

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut :1+2+3+… +k + (k+1) = (1+2+3+…+k) +

(k+1) = k(k+1)+(k+1) = (k+1) ( k+1) = (k+1) (k+2)

Jadi 1+2+3+… +k + (k+1) = (k+1) (k+2)berarti p(k+1) benar.Sehingga p(n) benar untuk setiap bilangan

asli n

2

1

2

1

2

1

2

1

Contoh 2 :

Tunjukkan bahwa n < 2n untuk setiap bilangan bulat positif n.

Solusi:

Misalkan P(n): proposisi “n < 2n.”

1.Langkah basis: P(1) benar, karena 1 < 21 = 2.

2.Langkah induktif: Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semua k bil bulat positif, yaitu

k < 2k.Kita perlu menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu

k + 1 < 2k+1

Kita mulai dari k < 2k

k + 1 < 2k + 1 2k + 2k = 2k+1

Jadi, jika k < 2k maka k + 1 < 2k+1

P(k+1) benar3.Konklusi:

Jadi, n < 2n benar untuk setiap n bilangan bulat positif. Akhir dari bukti.

Basis induksi tidak mesti diambil n=1, tetapi diambil sesuai dengan permasalahan yang dihadapi atau pernyataan yang ingin dibuktikan.

Misalkan akan dibuktikan bahwa p(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ t. Maka langkah-langkah pembuktiannnya dengan induksi matematik sebagai berikut.

Langkah (1) : ditunjukkan bahwa p(t) benar

Langkah (2) : diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k ≥ t, dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.

Teorema Binomial

Kombinasi r objek yang diambil dari n objek diimbalkan dengan C(n,r) atau dan dirumuskan sebagai:

r

n

)!(!

!

knr

n

r

n

Contoh

Misalkan terdapat 5 objek, yaitu a,b,c,d, dan e. apabila dari 5 objek tersebut diambil 3 objek, maka banyaknya cara pengambilan 3 objek tersebut adalah

carar

n10

)1.2.3)(1.2(

1.2.3.4.5

!3!2

!5

Sifat-sifat Koefisien Binomial

n

n

n

nnnnjadi

n

nnnni

2...210

...210

11

)(

!)!(

!

)!(!

!)(

simetriksifatkn

n

k

njadi

kkn

n

kn

ndan

knk

n

k

nii

1

11

,)(

k

n

k

n

k

n

makakndanaslibilanganbilangankdannJikaiii

mk

mn

m

n

m

k

k

n

makamkndanaslibilanganbilangankdanmnJikaiv ,,,)(

1

1

,)(

k

nn

k

nk

maka

kndenganaslibilanganbilangankdannJikav

1

1...

2

2

1

1

0

1

1...

21

r

rk

r

rkkkk

k

n

k

n

k

k

k

k

k

kvi

n

n

n

nnnnvii

2...

210)(

2222

BUKTI SEBAGAI LATIHAN !!!

THANK YOU