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Mathematik I - II
Kapitel 8: Lineare Algebra - Determinanten
Prof. Dr. Erich Walter Farkas
http://www.math.ethz.ch/∼farkasHS 2020 - FS 2021
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http://www.math.ethz.ch/~farkas
Inhaltsangabe
1. Ein einführendes Beispiel
2. Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Eigenschaften
3. Determinante einer (3 × 3)-Matrix
Berechnung der Determinante einer (3 × 3)-Matrix nach Sarrus
Rechenregeln
Laplacescher Entwicklungssatz
4. Determinante höherer Ordnung
Tipps zur praktischen Berechnung
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Literatur
Lothar Papula
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2
Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium
14. Auflage, Springer Verlag
Seiten 23 - 53,
Seiten 148 - 151 (Übungsaufgaben mit Lösungen im Anhang)
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Ein einführendes Beispiel
Ein einführendes Beispiel
Bei der Lösung naturwissenschaftlich-technischer Probleme stösst man
immer wieder auf lineare Gleichungssysteme.
Es stellt sich dabei sofort die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen
Systems.
1. Ist das vorliegende lineare Gleichungssystem überhaupt lösbar?
2. Falls ja, wie lauten die Lösungen des Systems?
Bei der Beantwortung dieser Fragestellungen erweist sich die sogenannte
Determinante als hilfreich.
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Ein einführendes Beispiel
Zur Einführung des Determinantenbegriffes betrachten wir das lineare
Gleichungssystem
a11x1 + a12x2 = c1 ,
a21x1 + a22x2 = c2 ,
wobei a11, a12, a21, a22 ∈ R sowie c1, c2 ∈ R gegeben sind, undx1, x2 ∈ R, die beide Gleichungen erfüllen, gesucht werden.
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Ein einführendes Beispiel
Es soll nun untersucht werden, unter welchen Voraussetzungen dieses
Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, also genau eine Lösung besitzt.
Dazu eliminieren wir zunächst die Unbekannte x2 in der ersten Gleichung,
und die Unbekannte x1 in der zweiten Gleichung,
(a11a22 − a12a21)x1 = c1a22 − c2a12(a11a22 − a12a21)x2 = c2a11 − c1a21 .
Falls a11a22− a12x21 6= 0 ist, dann besitzt das lineare Gleichungssystem dieeindeutige Lösung
x1 =c1a22 − c2a12a11a22 − a12a21
, x2 =c2a11 − c1a21a11a22 − a12a21
.
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Ein einführendes Beispiel
Wir bemerken, dass sich unser Gleichungssystem auch in Matrizenform
schreiben lässt,
Ax =
(a11 a12
a21 a22
)(x1
x2
)=
(c1
c2
)= c .
Die aus den vier Elementen der Koeffizientenmatrix A berechnete Grösse
D = a11a22 − a12a21
ist die Determinante von A. Mit ihr können wir Aussagen über die
eindeutige Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit zwei
Gleichungen und zwei Unbekannten machen.
Zur eindeutigen Lösbarkeit des Gleichungssystems muss gelten D 6= 0.
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Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Definition. Unter der Determinante einer (2× 2)-Matrix A = (aij)(2,2)versteht man die Zahl
detA = |A| =
∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 .
Bemerkung. Determinanten können nur aus quadratischen Matrizen
gebildet werden. Die obige Definition gilt nur für (2× 2)-Matrizen.
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Berechnung der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Der Wert der Determinante einer (2× 2)-Matrix ist gleich dem Produktder beiden Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der beiden
Gegendiagonalelemente.
a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22 − a12a21
Hauptdiagonale
Gegendiagonale
Beispiel. Betrachten Sie das folgende Beispiel,
3 5
−2 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 3 · 4− 5 · (−2) = 22 .
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Regel 1. Der Wert der Determinante ändert sich beim Transponieren der
Matrix nicht,
detA = detAᵀ.
Beweis. Durch direkte Berechnung der Determinante erhalten wir
detA =
∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
und
detAᵀ =
∣∣∣∣∣a11 a21a12 a22∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 .
Der Wert der Determinante hat sich dabei nicht geändert.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Regel 2. Beim Vertauschen der beiden Spalten oder Zeilen ändert die
Determinante ihr Vorzeichen,∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣a12 a11a22 a21∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣a21 a22a11 a12∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣a22 a21a12 a11∣∣∣∣∣ .
Beweis. Durch direkte Berechnung der Determinanten erhalten wir∣∣∣∣∣a12 a11a22 a21∣∣∣∣∣ = a12a21 − a11a22 = −(a11a22 − a12a21) = −
∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22∣∣∣∣∣ .
Übung. Vertauschen Sie die beiden Zeilen und zeigen Sie, dass auch dann
das Vorzeichen sich ändert.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Regel 3. Werden die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte einer
(2× 2)-Matrix mit einem reellen Skalar λ multipliziert, so wird auch dieDeterminante mit λ multipliziert.
Beweis. Sei λ ∈ R. Wir multiplizieren die Elemente der 1. Zeile mit demSkalar λ und berechnen die Determinante,∣∣∣∣∣λa11 λa12a21 a22
∣∣∣∣∣ = (λa11) · a22 − (λa12) · a21 = λ detA .Zum gleichen Ergebnis gelangen wir, wenn wir die Elemente der 2. Zeile
mit λ multiplizieren.
Übung. Zeigen Sie, dass wir zum gleichen Ergebnis kommen, wenn wir
eine Spalte mit λ ∈ R multiplizieren.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Aus Regel 3 können wir uns zwei weitere Regeln ableiten.
Regel 3a. Eine Determinante wird mit einem reellen Skalar λ
multipliziert, indem man die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte
der Matrix mit λ multipliziert.
Regel 3b. Besitzen die Elemente einer Zeile oder Spalte der Matrix einen
gemeinsamen Faktor λ, so darf dieser vor die Determinante gezogen
werden.
Beispiel.
det
(−24 7−32 1
)=
∣∣∣∣∣−8 · 3 7−8 · 4 1∣∣∣∣∣ = −8 ·
∣∣∣∣∣3 74 1∣∣∣∣∣
= −8 · (3 · 1− 7 · 4) = −8 · (−25) = 200 .
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Regel 4. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn man zu
einer Zeile bzw. Spalte der Matrix ein beliebiges Vielfaches der anderen
Zeile bzw. anderen Spalte addiert.
Beweis. Sei λ ∈ R. Dann gilt∣∣∣∣∣a11 + λa21 a12 + λa22a21 a22∣∣∣∣∣ = (a11 + λa21) · a22 − (a12 + λa22) · a21
= detA .
Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir zur 2. Zeile das λ-fache der
1. Zeile addieren.
Übung. Zeigen Sie, dass das gleiche für Spalten gilt.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Regel 5. Die Determinante einer (2× 2)-Matrix ist ungleich Null, dannund nur dann, wenn ihre Zeilen oder Spalten linear unabhängig sind. Für
eine (2× 2)-Matrix
A =
(a11 a21
a12 a22
)
bedeutet das, dass aus der Gleichung
c1(a11 a21
)+ c2
(a12 a22
)=(
0 0)
folgt, dass c1 = c2 = 0 sein müssen. Für die Spaltenvektoren erhalten wir
ähnlich,
c1
(a11
a12
)+ c2
(a21
a22
)=
(0
0
)
impliziert c1 = c2 = 0.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Übung. Wir üben kurz den Begriff der linearen Unabhängigkeit.
1. Zeigen Sie, dass der Nullvektor zu allen Vektoren linear abhängig ist.
2. Entscheiden Sie, ob a1 =(
2 3)
, a2 =(
4 6)
linear unabhängig
sind.
3. Entscheiden Sie, ob b1 =(
1 0)
, b2 =(
0 1)
linear unabhängig
sind.
Bemerkung. Sofern nicht alle Vektoren gleich Nullvektoren sind, ist
unsere Definition linearer Unabhängigkeit äquivalent dazu, dass kein
Vektor als Vielfaches des anderen Vektors geschrieben werden kann.
So sind zum Beispiel a1 und a2 linear abhängig, denn es gilt 2a1 = a2,
aber b1 und b2 sind linear unabhängig, denn es gibt kein c ∈ R, sodasscb1 = b2.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Beweis zu Regel 5. Wir zeigen die Kontraposition, also dass die
Determinante 0 ist, dann und nur dann, wenn ihre Zeilen beziehungsweise
Spalten linear abhängig sind.
Sei also A =
(a11 a12
a21 a22
).
“⇐” : Wenn a1 =
(a11
a21
)oder a2 =
(a12
a22
)Nullvektoren sind, dann ist
die Determinante von A gleich 0. Seien also a1, a2 6= 0. Da sie linearabhängig sind, gibt es also ein c ∈ R, sodass a1 = c · a2. Durch direkteBerechnung der Determinante sehen wir, dass
detA = a11a22 − a12a21 = ca12a22 − ca12a22 = 0 .
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
“⇒” : Sei nun die Determinante gleich 0, also
a11a22 = a12a21 .
Wenn a1 der Nullvektor ist, dann sind a1 und a2 linear abhängig.
Sei also a11 6= 0 (analog kann der Fall a21 6= 0 behandelt werden). Wenna12 = 0, dann muss auch a22 = 0 und a2 ist der Nullvektor.
Wenn a12 6= 0 und a22 = 0, dann muss a21 = 0. In diesem Fall sind a1 unda2 linear abhängig mit c =
a11a22
.
Wenn a12, a22 6= 0, dann gilt auch a21 6= 0. Wir können die Gleichungumschreiben und setzen
c =a11a12
=a21a22
.
Dann gilt a1 = c · a2.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Regel 6. (Multiplikationstheorem für Determinanten) Für zwei Matrizen
A,B ∈ R2×2 gilt stets
det(AB) = det(A) det(B) ,
das heisst die Determinante des Matrizenprodukts AB ist gleich dem
Produkt der Determinanten von A und B.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Beweis. Betrachten Sie
A =
(a11 a12
a21 a22
)und B =
(b11 b12
b21 b22
).
Das Produkt berechnen wir als
AB =
(a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22
).
Die Determinanten sind gegeben durch
detA = a11a22 − a12a21 , detB = b11b22 − b12b21 , unddetAB = (a11b11 + a12b21)(a21b12 + a22b22)
− (a11b12 + a12b22)(a21b11 + a22b21)
Wir multiplizieren aus und sehen, dass detAB = detA detB.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Regel 7. Die Determinante einer (2× 2)-Dreiecksmatrix A ist gegebendurch
detA = a11a22 .
Das heisst, die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt
der Hauptdiagonalelemente.
Beweis.
Wir beweisen die Aussage für eine obere Dreiecksmatrix,
detA =
∣∣∣∣∣a11 a120 a22∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12 · 0 = a11a22 .
Übung. Beweisen Sie die Aussage für eine untere Dreiecksmatrix.
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Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix
Bemerkung. Die Einheitsmatrix I2 und die Nullmatrix 0(2,2) sind als
Diagonalmatrizen Sonderfälle der Dreiecksmatrizen.
Es gilt also
det I2 =
∣∣∣∣∣1 00 1∣∣∣∣∣ = 1 ,
det 0 =
∣∣∣∣∣0 00 0∣∣∣∣∣ = 0 .
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Determinante einer (3 × 3)-Matrix
Definition der Determinante einer (3× 3)-Matrix
Auf (3× 3)-Matrizen stösst man beispielsweise bei linearenGleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Unbekannten vom Typ
a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1 ,
a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2 ,
a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3 .
Auch hier lässt es sich in Matrixform schreiben,
Ax =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
x1x2x3
=c1c2c3
= c .
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Definition der Determinante einer (3× 3)-Matrix
Wir werden später zeigen, dass ein solches System nur dann genau eine
Lösung besitzt, wenn der aus den Elementen der Koeffizientenmatrix A
gebildete Term
D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
ungleich Null ist.
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Definition der Determinante einer (3× 3)-Matrix
Definition. Unter der Determinante einer (3× 3)-Matrix A versteht mandie Zahl
detA =
∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 .
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Berechnung der Determinante nach Sarrus
Als eine Merkhilfe benutzen wir die Regel von Sarrus. Dabei werden die
Spalten 1 und 2 rechts daneben gesetzt und dann wird addiert
bzw. subtrahiert wie in der Abbildung dargestellt.
– – –
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
+ + +
Hauptdiagonalprodukte
Gegendiagonalprodukte
Somit ergibt sich also
detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 .26/45
Berechnung der Determinante nach Sarrus
Beispiel. Wir berechnen die Determinante von
A =
1 −2 70 3 25 −1 4
.Wir betrachten unsere Merkhilfe
− − −1 −2 7 1 −20 3 2 0 3
5 −1 4 5 −1+ + +
und erhalten
detA = 1 · 3 · 4 + (−2) · 2 · 5 + 7 · 0 · (−1)− 7 · 3 · 5− 1 · 2 · (−1)− (−2) · 0 · 4 = −111 .
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Rechenregeln für Determinanten von (3 × 3)-Matrizen
Für Determinanten von (3× 3)-Matrizen gelten sinngemäss die gleichenRechenregeln wie für Determinanten von (2× 2)-Matrizen, also Regel 1bis Regel 7.
Beispiel. Zum Beispiel haben wir∣∣∣∣∣∣∣4 2 1
10 5 0
−6 −3 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ,da die Spalten 1 und 2 linear abhängig sind, denn es gilt(
4 10 −6)ᵀ− 2
(2 5 −3
)ᵀ= 0 .
Nach Regel 5 ist die Determinante gleich Null.
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Rechenregeln für Determinanten von (3 × 3)-Matrizen
Beispiel. Das Multiplikationstheorem gilt auch. Seien
A =
1 0 −12 5 40 1 5
und B =−3 0 −23 2 1
1 8 1
.Die Determinanten sind detA = 19 und detB = −26. Mit demMultiplikationstheorem können wir die Determinante von AB einfach als
Produkt von detA und detB berechnen. Dies ergibt det(AB) = −494.
Übung. Berechnen Sie AB und überprüfen Sie, dass wirklich
detAB = −494 gilt.
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Entwicklung der Determinante einer (3 × 3)-Matrix
Definition. Die aus einer (3× 3)-Matrix A durch Streichen der i-ten Zeileund j-ten Spalte entstehende (2× 2)-Matrix Ai ,j ist eine Untermatrix vonA. Ein Minor (2. Ordnung) oder eine Unterdeterminante Mij ist die
Bezeichnung der Determinante dieser Untermatrix.
Die Cofaktoren (oder Kofaktoren) einer 3× 3-Matrix āij sind definiertdurch
āij = (−1)i+jMij .
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Untermatrizen, Minoren und Cofaktoren
Beispiel. Wir schreiben alle möglichen Untermatrizen der folgenden
Matrix auf,
A =
1 0 32 −1 −20 3 −1
.Die Untermatrizen sind gegeben durch
A1,1 =
1 0 32 −1 −20 3 −1
= (−1 −23 −1
), A2,1 =
1 0 32 −1 −20 3 −1
= (0 33 −1
),
A3,1 =
1 0 32 −1 −20 3 −1
= ( 0 3−1 −2), A1,2 =
1 0 32 −1 −20 3 −1
= (2 −20 −1
),
31/45
Untermatrizen, Minoren und Cofaktoren
Wir wiederholen dieses Schema und erhalten den Rest der Matrizen,
A2,2 =
(1 3
0 −1
), A3,2 =
(1 3
2 −2
), A1,3 =
(2 −10 3
)
A2,3 =
(1 0
0 3
), A3,3 =
(1 0
2 −1
).
Nun berechnen wir alle Minoren,
detA1,1 = 7 , detA2,1 = −9 , detA3,1 = 3 ,detA1,2 = −2 , detA2,2 = −1 , detA3,2 = −8 ,detA1,3 = 6 , detA2,3 = 3 , detA3,3 = −1 .
32/45
Untermatrizen, Minoren und Cofaktoren
Die Cofaktoren sind demnach gegeben als
ā1,1 = (−1)1+1 detA1,1 = 7 , ā2,1 = (−1)2+1 detA2,1 = 9 ,ā3,1 = (−1)3+1 detA3,1 = 3 ā1,2 = (−1)1+2 detA1,2 = 2 ,ā2,2 = (−1)2+2 detA2,2 = −1 , ā3,2 = (−1)3+2 detA3,2 = 8 ,ā1,3 = (−1)1+3 detA1,3 = 6 , ā2,3 = (−1)2+3 detA2,3 = −3 ,ā3,3 = (−1)3+3 detA3,3 = −1 .
Schön und gut, doch wieso machen wir das?
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Laplacescher Entwicklungssatz
Das schöne ist, dass wir Cofaktoren benutzen können, um die
Determinante unserer Matrix A zu berechnen. Dazu müssen wir nicht alle
Kofaktoren berechnen, das war nur eine Übung! Wir brauchen maximal 3
Cofaktoren.
Satz. (Laplacescher Entwicklungssatz) Die Determinante einer
(3× 3)-Matrix lässt sich nach jeder der drei Zeilen oder Spalten wie folgtentwickeln:
B Entwicklung nach der i-ten Zeile.
detA =3∑
j=1
(−1)i+jaij detAij =3∑
j=1
āijaij (i = 1, 2, 3)
B Entwicklung nach der j-ten Spalte.
detA =3∑
i=1
(−1)i+jaij detAij =3∑
i=1
āijaij (j = 1, 2, 3)
34/45
Laplacescher Entwicklungssatz
Führen wir unser Beispiel fort.
Zur Überprüfung berechnen wir zuerst die Determinante von
A =
1 0 32 −1 −20 3 −1
auf direktem Weg. Wir erhalten
detA = 1 + 0 + 18− 0− (−6)− 0 = 25 .
Nun entwickeln wir nach einer beliebigen Zeile, sagen wir nach Zeile 1.
Mit unserer Vorarbeit erhalten wir somit
detA =3∑
j=1
āijaij = 7 · 1 + 2 · 0 + 6 · 3 = 25 .
Tatsächlich, die Ergebnisse stimmen überein.
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Laplacescher Entwicklungssatz
Übung. Entwickeln Sie die Determinante nach anderen Zeilen und
Spalten.
Bemerkung. Bei (3× 3)-Matrizen ist es oft schneller die Determinantedirekt zu berechnen. Doch wenn wir generelle (n× n)-Matrizen betrachtenist der Laplacescher Entwicklungssatz von grossem Nutzen!
Tipp. Eine gute Wahl der Zeile oder Spalte zur Entwicklung hängt von
der Matrix ab. Im Allgemeinen versuchen wir die Zeile oder Spalte zu
nehmen, in der viele Nullen stehen. Da wir dann mit diesen Nullen
multiplizieren, müssen wir die entsprechenden Cofaktoren nicht berechnen.
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Determinante höherer Ordnung
Definition der Determinante einer (n × n)-Matrix
Definition. Formal ist die Determinante auf dem Raum der quadratischen
reellen Matrizen eine Abbildung det : Rn×n → R die multilinear,alternierend und normiert ist.
Für uns soll das bedeuten, dass die Regeln, die wir für Determinanten von
(2× 2)- und (3× 3)-Matrizen gelernt haben, weiterhin gelten.
Für A ∈ Rn×n schreiben wir weiterhin
detA =
∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n
.... . .
...
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣ .
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Definition der Determinante einer (n × n)-Matrix
Definition. Die Determinante einer Matrix A = (aij) ∈ Rn×n kann durchdie Leibniz-Formel definiert werden,
detA =∑σ∈Sn
sgn(σ)n∏
i−1ai ,σ(i) .
Doch einfachheitshalber wollen wir weiterhin den rekursiven Laplaceschen
Entwicklungssatz verwenden.
38/45
Laplacescher Entwicklungssatz
Satz. (Laplacescher Entwicklungssatz) Die Determinante einer
(n × n)-Matrix lässt sich nach den Elementen einer beliebigen Zeile oderSpalte wie gewohnt entwickeln:
B Entwicklung nach der i-ten Zeile.
detA =n∑
j=1
(−1)i+jaij detAij =n∑
j=1
āijaij (i = 1, . . . , n)
B Entwicklung nach der j-ten Spalte.
detA =n∑
i=1
(−1)i+jaij detAij =n∑
i=1
āijaij (j = 1, . . . , n)
wobei Aij die (n − 1)× (n − 1)-Untermatrix von A ist, die durch Streichender i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht und āij = (−1)i+j detAij ist derzugehörige Cofaktor.
39/45
Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix
Bemerkung. Durch rekursive Anwendung der allgemeinen
Entwicklungsformel lässt sich eine Determinante einer (n × n)-Matrix aufDeterminanten von 3× 3-Matrizen zurückführen, deren Berechnung nachder Regel von Sarrus erfolgen kann.
40/45
Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix
Beispiel. Wir berechnen die Determinante der folgenden (4× 4)-Matrix,
A =
1 0 −5 100 1 2 5
3 0 −6 31 4 3 2
.Wir benutzen hierzu den Laplaceschen Entwicklungssatz und entwickeln
nach der ersten Zeile,
detA = 1 ·
∣∣∣∣∣∣∣1 2 5
0 −6 34 3 2
∣∣∣∣∣∣∣+ (−5) ·∣∣∣∣∣∣∣0 1 5
3 0 3
1 4 2
∣∣∣∣∣∣∣− 10 ·∣∣∣∣∣∣∣0 1 2
3 0 −61 4 3
∣∣∣∣∣∣∣= 1 · 123− 5 · 57− 10 · 9= −252 .
41/45
Rechenregeln für Determinanten von (n × n)-Matrizen
Zur Erinnerung schreiben wir nochmal die geltenden Regeln auf:
Regel 1 Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn die Matrix
transponiert wird, detAᵀ = detA.
Regel 2 Bei Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten der Matrix ändert
die Determinante ihr Vorzeichen.
Regel 3 Werden die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte
der Matrix mit einem reellen Skalar λ multipliziert, so
multipliziert sich die Determinante mit λ.
Regel 3a Eine Determinante wird mit einem reellen Skalar λ multipliziert,
indem man die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte
der Matrix mit λ multipliziert.
Regel 3b Besitzen die Elemente einer Zeile oder Spalte einen
gemeinsamen Faktor λ, so darf dieser vor die Determinante
gezogen werden.
42/45
Rechenregeln für Determinanten von (n × n)-Matrizen
Regel 4 Eine Determinante ist ungleich Null, wenn die
Zeilen oder Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
Regel 5 Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu
einer Zeile oder Spalte ein beliebiges Vielfaches einer
anderen Zeile bzw. anderen Spalte addiert.
Regel 6 Für zwei Matrizen A,B ∈ Rn×n gilt stetsdet(AB) = detA detB.
Regel 7 Die Determinante einer (n × n)-Dreiecksmatrix A besitztden Wert detA = a11 · a22 · . . . · ann.
43/45
Tipps zur praktischen Berechnung
Die Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix erfolgt nachfolgendem Schema:
1. Mit Hilfe elementarer Umformungen werden zunächst die Elemente
einer Zeile oder Spalte bis auf eines zu Null gemacht.
2. Dann wird die Determinante nach den Elementen dieser Zeile oder
Spalte entwickelt. Man erhält dann eine
(n − 1)× (n − 1)-Untermatrix und berechnet ihre Determinante.
3. Das unter 1. und 2. beschriebene Verfahren wird nun auf die
(n − 1)× (n − 1)-Matrix angewandt und führt zu einer einzigen(n − 2)× (n − 2)-Untermatrix, und so weiter.
Bemerkung. Wir werden später sehen, wie wir mit dem Gaußschen
Eliminationsverfahren eine Matrix in eine Dreiecksmatrix umformen
können. Dann ist die Determinante einfach das Produkt der
Diagonalelemente.
44/45
Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
Ein spezieller Dank geht an Alexander Smirnow, der eine frühere Version
dieser Slides aufgebessert und ergänzt hat.
Bei Fragen und Verbesserungsvorschlägen schreiben Sie bitte an
45/45
mailto:[email protected]
Ein einführendes BeispielDeterminante einer (2 2)-MatrixEigenschaften
Determinante einer (3 3)-MatrixBerechnung der Determinante einer (3 3)-Matrix nach SarrusRechenregelnLaplacescher Entwicklungssatz
Determinante höherer OrdnungTipps zur praktischen Berechnung
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