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Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA
Partition élémentaire d’un ensemble de segments du planJournées de Géométrie Algorithmique 2007
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA
Triangulations d’un ensemble de points et de segments du plan
Triangulations contraintes et triangulations de Delaunay contraintes
Lee et Lin, Generalized Delaunay Triangulation for Planar Graphs, 1986
Chew, Constrained Delaunay Triangulations, 1987
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA
Plan
Partition élémentaire d’un ensemble de sites Algorithme de construction d’une partition
élémentaire Partition élémentaire de Delaunay d’un
ensemble de sites Illégalité d’une arête d’une partition
élémentaire
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Partition élémentaire
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Partition élémentaire
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Partition élémentaire
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Partition élémentaire
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Partition élémentaire
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Partition élémentaire
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Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.
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Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.
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Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.
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Forme des arêtes
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Forme des arêtes
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Forme des arêtes
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Diagramme topologique
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Diagramme topologique
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Diagramme topologique
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Diagramme topologique
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Diagramme topologique
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Diagramme topologique
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Diagramme topologique
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Diagramme topologique
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Diagramme topologique
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Diagramme topologique
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Nombres de faces et d’arêtes
3n – n’ – 3 arêtes
2n – n’ – 2 faces
n : nombre de sites n’ : nombre de côtés de conv(S) qui ne sont pas
des sites
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Algorithme de construction
Dans une triangulation contrainte, les faces dont les sommets sont sur trois sites distincts correspondent aux faces d’une partition élémentaire
Adaptation d’un algorithme de construction par balayage d’une triangulation contrainte quelconque Edelsbrunner, Triangulations and Meshes in computational
geometry, 2000
L’algorithme construit une partition élémentaire de S en temps O(nlogn) où n est le nombre de sites de S
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Partition élémentaire de Delaunay
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Partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Unicité d’une partition élémentaire de Delaunay Si les sites sont en position générale, c’est-à-
dire s’il n’existe pas de cercle tangent à plus de trois sites
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Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï
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La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï
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La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï
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La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï
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La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï La partition élémentaire de Delaunay
correspond exactement à la « triangulation de Delaunay de segments » qui a été définie par dualité Chew et Kedem, Placing the Largest Similar Copy
of a Convex Polygon Among Polygonal Obstacles, 1989
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Illégalité d’une arête d’une triangulation d’un ensemble de points
Arête légale: Arête illégale:
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Sous ensemble E de partitions élémentaires de S Les cercles circonscrits aux faces sont tangents aux
sites qui définissent les faces.
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E
Arête légale Arête illégale
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Les arêtes surfaciques d’une partition élémentaire de E sont légales
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Les arêtes surfaciques d’une partition élémentaire de E sont légales
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Les arêtes surfaciques d’une partition élémentaire de E sont légales
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La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA
La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque Pour une arête topologique donnée, on
calcule la représentation géométrique de l’arête et des deux faces adjacentes telle que les cercles circonscrits aux faces soient tangents aux sites.
Une arête topologique est illégale si la représentation géométrique calculée satisfait l’une des deux conditions suivantes :
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque1. L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est
pas le même que dans le diagramme topologique.
Représentation géométrique initiale
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque1. L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est
pas le même que dans le diagramme topologique.
Représentation géométrique initiale
Représentation géométrique calculée
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque1. L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est
pas le même que dans le diagramme topologique.
Représentation géométrique initiale
Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA
Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque1. L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est
pas le même que dans le diagramme topologique.
Représentation géométrique initiale
Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA
Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque1. L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est
pas le même que dans le diagramme topologique.
Représentation géométrique initiale
Représentation géométrique calculée
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque2. L’arête est un segment de droite et la zone
hachurée du disque coupe le quatrième site
Représentation géométrique initiale
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque2. L’arête est un segment de droite et la zone
hachurée du disque coupe le quatrième site
Représentation géométrique initiale
Représentation géométrique calculée
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque2. L’arête est un segment de droite et la zone
hachurée du disque coupe le quatrième site
Représentation géométrique initiale
Représentation géométrique calculée
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque2. L’arête est un segment de droite et la zone
hachurée du disque coupe le quatrième site
Représentation géométrique initiale
Représentation géométrique calculée
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Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque2. L’arête est un segment de droite et la zone
hachurée du disque coupe le quatrième site
Représentation géométrique initiale
Représentation géométrique calculée
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La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire sans arête illégale Preuve
Devillers et al., Checking the convexity of polytopes and the planarity of subdivisions, 1998
Algorithme qui vérifie si une partition élémentaire quelconque a la même topologie que la partition élémentaire de Delaunay, en temps O(n). Si on dispose d’un algorithme qui est censé calculer la
partition élémentaire de Delaunay, cela permet de vérifier en temps linéaire que la partition élémentaire calculée est bien celle de Delaunay.
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Conclusions et perspectives
Généralisation de la notion de triangulation à un ensemble de points et de segments: Partition élémentaire Partition élémentaire de Delaunay Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire
Algorithme de flip
Propriété équivalente à l’équiangularité
Extension aux segments non disjoints et à la dimension 3