MATHÉMATIQUESEXPÉRIMENTALES IREM-Reims 3 Mai 17perso.numericable.fr/patrperrin/doc/diajeddi.pdf · 2017. 5. 7. · Introduction Méthodologiedelarecherchescientiﬁque Historique

IntroductionMéthodologie de la recherche scientifique

HistoriqueMathématiques expérimentales

Conclusion

MATHÉMATIQUES EXPÉRIMENTALESIREM-Reims 3 Mai 17

Ahmed JEDDI

Université de Lorraine - Archives H. Poincaré

5 mai 2017

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Conclusion

Table des matières

1. Introduction

2. Méthodologie de la recherche scientifique

3. Historique

4. Mathématiques expérimentales

5. Conclusion

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Conclusion

1. Introduction


3. HistoriqueAbû’l-WafaGauss

4. Mathématiques expérimentalesArnold - BorweinBorel - Bkouche

5. Conclusion

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Conclusion

Motivation - Contexte

Choix du sujet de la conférenceExpérience personnelle de l’enseignement des mathématiquesen France et au MarocQuestionnements sur la pratiqueComment j’ai appris les mathématiques : mathématiquesmodernes (raisonnement abstrait) vs jeux et activitésmanuelles

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Conclusion

What is experimental Mathematics ?

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Conclusion

Source principale

le livreJonathan Borwein, David Bailey

Mathematics by ExperimentLes références des citations ci-dessus :

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Conclusion

1. Introduction




5. Conclusion

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Conclusion

Méthodologie de la recherche scientifique

Comment invente-t-on et/ou découvre-t-on enmathématiques ?Apprendre c’est chercher une réponse à une question donnée :Quelles sont les méthodes de la recherche en sciences engénéral ? En mathématiques en particulier ? Différence etanalogie ?Abdul-Rahman BADAWI (1917-2002), Scientific ResearchMethodology, Cairo, 1963 (en arabe de 240 pages) :

(a) méthode déductive (b) méthode expérimentale(c) méthode rétrospective.

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Conclusion

Cycloïde

y

xx

a

a θ

y θ

(πa, 2a)

x = a(θ − sin θ)y = a(1− cos θ)

(écriture moderne)

2πa

Galilée (1564-1642) : pesée (1599,Roberval (1602-1675) : méthode des indivisibles

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Conclusion

Roberval

Méthode des indivisibles

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Conclusion

Abû’l-WafaAbû’l-Wafa

1. Introduction




5. Conclusion

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Conclusion


Abû’l-Wafa (théorie vs pratique)

- Dans la tradition grecque, en particulier chez Platon, la théorie est laconnaissance comtemplative, abstraite et désintéressée qui tire lesconséquences à partir des principes par un raisonnement rigoureux. Ausens courant, une théorie est un ensemble de thèses, sur un sujet donné,organisées de façon plus ou moins systématique. Une théorie scientifique"est l’hypothèse vérifiée après qu’elle a été soumise au contrôle duraisonnement et de la critique expérimentale" (Claude Bernard).- Chez les Grecs aussi, la pratique est ce qui concerne l’action (praxis)par opposition à la production (poesis) et à la théorie (theôria). Au sensordinaire, la pratique est l’exercice d’une activité appliquée à la réalité.Au sens philosophique moderne, la pratique est tout ce qui concernel’action concrète des hommes d’une part dans sa dimension technique etd’autre part dans sa dimension éthique.

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Conclusion


Abû’l-Wafa (Trisection du carré)

La question de décomposition du carré en d’autres figures commepuzzle précède de celle que pose :

Abû’l-Wafa al- Buzjâani (939-998)

à savoir, décomposer un carré en un certain nombre de piècesformant trois carrés isométriques dont la somme des aires est égaleà l’aire du carré de départ :

Trisection du carré.Cette formulation (nombre de sous-carrés égal à trois) ne semble

pas avoir été énoncée avant ce mathématicien ( ?),arabo-musulman, né en Iran, a vécu à Bagdad.

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Conclusion


Mathematics and Arts Medieval Islamic World

Alpay Özdural, Mathematics and Arts : Connections betweenTheory and Practice in the Medieval Islamic World, HistoriaMathematica 27 (2000), 171–201.Les artisans utilisaient une trisection empirique.

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Conclusion


Trisection de l’artisan

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géométriquement fausse

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Conclusion


solution géométrique de Abu’l-Wafa

9 pièces

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Conclusion


Livre des constructions géométriques nécessaires à l’artisan(en arabe)

"Abu’l-Wafa parle clairement de fréquents forums de discussionréunissant théoriciens et praticiens et laisse entendre l’existence d’unenseignement des règles de la géométrie développé au profit des métiersartisanaux. C’est lors de l’une de ses rencontres avec les professionnels dela céramique qui utilisent largement les figures géométriques, que l’auteurnous livre sa conception des rapports entre science et savoir artisanal :Quelques ingénieurs- géomètres et artisans, écrit-il, se sont trompés ausujet de la façon de construire ces carrés et de procéder à leurassemblage. Les premiers (les géomètres) ont commis des erreurs du faitde leur pratique limitée dans le domaine de l’architecture ; quant auxseconds, c’est à cause de l’ignorance de la science des démonstrations. "

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Conclusion


traduction : Mohammed El-Faiz

"Il en est ainsi parce que les ingénieurs, manquant généralementd’expérience de terrain, peuvent difficilement faire des approximations etles démontrer par le recours à des schémas linéaires compréhensibles parl’artisan. Ce dernier a plutôt besoin d’un procédé qui simplifie sa tâche etle conforte dans ce qu’il peut sentir et observer empiriquement, sanss’encombrer de démonstrations schématisées par des lignes A l’opposé,l’ingénieur- géomètre, une fois que la preuve est établie en théorie (parimagination, bi al-takahhun), ne se préoccupe pas de savoir si sonhypothèse peut être corroborée par le moyen de l’observation. Toutefois,nous ne doutons pas que les connaissances de l’artisan soient tributairesde l’œuvre de l’ingénieur-géomètre et de son effort de conception. Eneffet, ce qui intéresse le maître artisan et l’arpenteur, c’est le résultatobtenu et non pas le moyen permettant de l’établir correctement. D’où lerisque d’erreur et de confusion. "

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Conclusion


traduction : Mohammed El-Faiz

" Quant au géomètre, il peut démontrer ce qu’il veut lorsqu’il estlui-même le concepteur des modèles utilisés par l’ouvrier artisan etl’arpenteur. Mais il lui est difficile de passer de la théorie à la pratiquelorsqu’il manque d’apprentissage et de connaissance des métiersconcernés. "

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Conclusion


Gauss (induction vs déduction)

Dans son livre cité plus haut, Borwein et Baily donne Gauss commeexemple de mathématicien expérimentateur :

En fait Gauss était très doué pour trouver des modèles pertinentspour des données numériques. Il avait juste 14 ou 15 ans quand il aconjecturé que π(n), le nombre de nombres premiers inférieurs à n,est asymptotiquemt équivalent à nln(n) . c’est le théorème desnombres premiers , prouvé plus tard par Hadamard et Vallée Poussinen 1896. Une légende raconte aussi qu’entre 7 et 10 ans, Karl Gaussaurait trouvé une façon de calculer la somme des nombres entiers

de 1 à 100 très rapidement : 1+ 2+ 3+ · · ·+ n = n(n + 1)2

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Conclusion


Gauss : Moyenne arithmético-géométrique)

Une autre prouesse de l’expérience mentale en mathématiques deGauss ...La moyenne arithmético-géométrique a été découverteindépendamment par les mathématiciens Adrien-Marie Legendrepuis Carl Friedrich Gauss qui s’en servirent pour calculer de façonapprochée la longueur de l’arc d’ellipse quelconque, qui s’exprimecomme une intégrale elliptique, et même est à l’origine de l’intérêtpour ce domaine de l’analyse. En 1799, analysant les relations entrela moyenne arithmético-géométrique et des tables d’intégraleselliptiques de 1re espèce (proposées par James Stirling), Gauss,dans ses Cahiers mathématiques attira l’attention sur la relation(donnant la longueur d’arc d’une lemniscate de Bernoulli) :

π

2M(1,√2)

=

∫ 10

dt√1− t4

.

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Conclusion



le nombre M(1,√2) est la limite commune

(≈ 1, 19814002347355922074 . . . ) des suites adjacentes (an) et(bn) (rapidement convergentes) de l’itération de la moyennearithmético-géométrique :

a0 = 1, b0 =√2, an+1 =

an + bn2

, bn+1 =√anbn.

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Conclusion



En se basant uniquement sur des observations numériques aconjecturé et a prouvé par la suite qu’effectivement l’égalité

1M(1,

√2)

=2π

∫ 10

dt√1− t4

.

est valide. C’était un résultat remarquable, à propos duquel il aécrit dans son journal que ça ouvrira tout un nouveau champd’analyse. Il avait raison, ça a orienté la vue 19-siècle sur lesfonctions modulaires et elliptiques.

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Conclusion

Arnold - BorweinBorel - Bkouche

1. Introduction




5. Conclusion

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Conclusion


Arnold

Mathématiques expérimentales par V. ARNOLDIREM-Paris7 2005

Texte en anglais, On teaching mathematics, Palais deDécouverte, Paris 7 mars 1997Sur l’éducation des mathématiques, Gazette-78, octobre 1998

Dans sa conférence à l’IREM de Paris 7, 2005, I. V. Arnold donnecomme exemple de la démarche expérimentale d’Euler (1777-1855)qui, par un procédé de comptage, puis un raisonnement de typeprobabiliste, trouve la "densité" des fractions irrésductibles parmitoutes les fractions.

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http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/la_mathematique_experimentale



Conclusion


Arnold

Cette valeur s’exprime à l’aide de la fonction ζ de Riemann ( c’estEuler qui l’a introduite en fait ainsi que les séries de Fourier, nous

précise Arnold) est égale à1ζ(2)

, avec ζ(s) =∞∑n=1

1ns, 1, et

dont il a calculé la valeur exacte6π2

.Cette recherche a permis aussi d’établir la formule, dite produiteulerien :

ζ(s) =∏p∈P

11− 1ps

,

P étant l’ensemble des entiers naturels premiers, 1.

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Conclusion


Borwein

On trouvera sur ce site des ressources et documents sur lesmathématiques expérimentales. Experimental Mathematics Web Site

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http://www.expmath.info



Conclusion


Borel ( Laboratoires de mathématiques)

Les exercices pratiques de mathématiques dans l’enseignementsecondaire, conférence faite par Émile Borel le 3 Mars 1904 aumusée pédagogique, SMF Gazette - 93 Juillet 2002, 18 pages

PrésentationPosition et intérêtDessin et construction géométriqueRôle des laboratoires mathématiquesConception des laboratoires mathématiques

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Bkouche ( Laboratoires de mathématiques)

Des laboratoires de mathématiques, Rudolf Bkouche, IREM deLille, 32 pages

Citation de KantDe l’expérience en mathématiquesLa place des laboratoires mathématiques dans l’enseignement

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Conclusion

1. Introduction




5. Conclusion

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Lombard

Les méthodes expérimentales en géométrie, Philippe Lombard, Iremde Lorraine, Repères num. 73-Oct 2008, 26 pages

Expérimentation, démarche d’investigation, logiciels degéométrie dynamiqueExpérimenter pourquoi ?Figure (et fausse) et expérimentationSynthèse

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Conclusion

Poincaré

L’avenir des Mathématiques, Henri Poincaré, Revue générale dessciences pures et appliquées, 1909, 18 pages

Intuition et rigueurPour finir :

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Mathématiques expérimentalesArnold - BorweinBorel - Bkouche

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