Embed Size (px)
Citation preview
- 1 -
ELN3052 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - 1 LAPLACE VE TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ UYGULAMALARI: Symbolic Math Toolbox içinde tanımlı olan laplace ve ilaplace komutları ile Laplace ve Ters Laplace dönüşümlerinin doğrudan sembolik çözümlerini yapmak mümkündür. 1) Laplace Dönüşümü: F=laplace(f) komutu Matlab ortamında tanımlanmış bir f fonksiyonunun sembolik Laplace dönüşümünü yapar. Burada Laplace dönüşümünde kullanılan s ve t değişkenleri ile varsa a,b gibi parametrelerin sym veya syms komutları ile önceden tanımlanması gerekir.
Örnek 1: tetetf tt sincos3)( 55 −− −= fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz. >> syms s t >> f=3*exp(-5*t)*cos(t)-exp(-5*t)*sin(t) f = 3*exp(-5*t)*cos(t)-exp(-5*t)*sin(t) >> F=laplace(f) F = (3*s+14)/(s^2+10*s+26)
>> pretty(F) 3 s + 14 -------------- 2 s + 10 s + 26 Örnek 2: )10(4 610cos2)( −−− +−= tt ettetf fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz. >> syms s t >> f=2*exp(-t)*cos(10*t)-t^4+6*exp(-t+10) f = 2*exp(-t)*cos(-10*t)+t^4+6*exp(-t+10) >> F=laplace(f) F = 1/50*(s+1)/(1/100*(s+1)^2+1)-24/s^5+6*exp(10)/(s+1) >> pretty(F) s + 1 24 exp(10) 1/50 ------------------ - ---- + 6 ------- 2 5 s + 1 1/100 (s + 1) + 1 s
- 2 -
Örnek 3: tbtattuttf ωδ sin)3(2)()( 2 ++−+= fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz. >> syms s t a b w >> f=dirac(t)+2*heaviside(t-3)+a*t^2+b*t*sin(w*t) f = dirac(t)+2*heaviside(t-3)+a*t^2+b*t*sin(w*t) >> F=laplace(f) F = 1+2*exp(-3*s)/s+2*a/s^3+2*b*s*w/(s^2+w^2)^2 >> pretty(F) exp(-3 s) a b s w 1 + 2 --------- + 2 ---- + 2 ---------- s 3 2 2 2 s (s + w ) 2) Ters Laplace Dönüşümü: f=ilaplace(F) komutu Matlab ortamında tanımlanmış bir F fonksiyonunun sembolik ters Laplace dönüşümünü yapar. Burada Laplace dönüşümünde kullanılan s ve t değişkenleri ile varsa a,b gibi parametrelerin sym veya syms komutları ile önceden tanımlanması gerekir.
Örnek 1: 654)( 2 ++
+=
ssssF fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
>> syms s t >> F=(s+4)/(s^2+5*s+6) F = (s+4)/(s^2+5*s+6) >> f=ilaplace(F) f = -exp(-3*t)+2*exp(-2*t)
Örnek 2: 1065)( 2 ++
+=
ssssF fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
>> syms s t >> F=(s+5)/(s^2+6*s+10) F = (s+5)/(s^2+6*s+10) >> f=ilaplace(F)
- 3 -
f = exp(-3*t)*(cos(t)+2*sin(t))
Örnek 3: 2)2)(4(10)(
++=
sssF fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
>> syms s t >> F=10/((s+4)*(s+2)^2) F = 10/(s+4)/(s+2)^2 >> f=ilaplace(F) f = 5/2*exp(-4*t)+5/2*exp(-2*t)*(-1+2*t) 3) Kısmi Kesirlere Ayırarak Ters Laplace Dönüşümü: [r p k]=residue(pay,payda) komutu ile, bir fonksiyonun kısmi kesirlerinin çarpanları, kutupları ve kalanları hesaplanabilir. Sonra elde edilen kısmi kesirlerin ters Laplace dönüşümü alınarak toplam fonksiyonun ters Laplace dönüşümü hesaplanabilir.
Örnek 1: )4)(2)(1(199)(
2
+++++
=sss
sssF fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü kısmi kesirlere
ayırarak bulunuz. >> pay=[1 9 19]; >> payda=conv([1 1],conv([1 2],[1 4])) payda = 1 7 14 8 >> [r p k]=residue(pay,payda) r =
-0.1667 -2.5000 3.6667
p =
-4.0000 -2.0000 -1.0000 k = []
- 4 -
Açıklama:
ttt eeetf
sss
psr
psr
psr
ssssssF
−−− +−−=+
++
−+
+−
=
+−
+−
+−
=+++
++=
6667.35.21667.0)(1
6667.325.2
41667.0
kalan)3(
)3()2(
)2()1(
)1()4)(2)(1(
199)(
24
2
Örnek 2: )5()2(2811)( 2 ++
+=
ssssF fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü kısmi kesirlere
ayırarak bulunuz. >> pay=[11 28]; >> payda=conv(conv([1 2],[1 2]),[1 5]) payda = 1 9 24 20 >> [r p k]=residue(pay,payda) r = -3.0000 3.0000 2.0000 p = -5.0000 -2.0000 -2.0000 k = [] Açıklama:
ttt teeetf
sss
psr
psr
psr
ssssF
225
2
22
233)(
0)2(
22
35
3
kalan))3((
)3()2(
)2()1(
)1()5()2(
2811)(
−−− ++−=
++
++
++−
=
+−
+−
+−
=++
+=
Örnek 3: 3
2
)1(64)(
+++
=s
sssF fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü kısmi kesirlere ayırarak
bulunuz. >> pay=[1 4 6]; payda=[1 3 3 1]; >> [r p k]=residue(pay,payda)
- 5 -
r = 1.0000 2.0000 3.0000 p = -1.0000 -1.0000 -1.0000 k = [] Açıklama:
tttt ettetetetf
sss
psr
psr
psr
ssssF
−−−− ++=++=
++
++
++
=
+−
+−
+−
=+
++=
)2321(
232)(
0)1(
3)1(
21
1
kalan))3((
)3())2((
)2()1(
)1()1(
64)(
22
32
323
2
Örnek 4: 52122)( 2 ++
+=
ssssF fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü kısmi kesirlere ayırarak
bulunuz. >> pay=[2 12]; payda=[1 2 5]; >> [r p k]=residue(pay,payda) r = 1.0000 - 2.5000i 1.0000 + 2.5000i p = -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i k = [] Açıklama:
0
215.21
215.21
kalan)2(
)2()1(
)1(52
122)( 2
+++
++
−+−
=
+−
+−
=++
+=
jsj
jsj
psr
psr
ssssF
- 6 -
tetetfss
sss
jsjsjjsjjs
tt 2sin52cos2)(2)1(
252)1(
122)1(10)1(2
]2)1][(2)1[()5.21](2)1[()5.21](2)1[(
222222
−− +=
+++
+++
=++++
=
++−++−++−++
=
Örnek 5: )22)(3(422)( 2
2
+++−−
=sss
sssF fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü kısmi kesirlere
ayırarak bulunuz. >> pay=[2 -2 -4]; >> payda=conv([1 3],[1 2 2]) payda = 1 5 8 6 >> [r p k]=residue(pay,payda) r = 4.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i p = -3.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i k = [] Açıklama:
teteetfss
sss
ss
jsjsjjsjjs
s
jsj
jsj
s
psr
psr
psr
ssssssF
ttt sin2cos24)(1)1(
121)1(
123
41)1(2)1(2
34
])1][()1[()1]()1[()1]()1[(
34
01
11
13
4
kalan)3(
)3()2(
)2()1(
)1()22)(3(
422)(
3
222
2
2
−−− −−=
++−
+++
−+
=++−+−
++
=
−+++−−−+++−++
++
=
+++−−
+−++−
++
=
+−
+−
+−
=+++
−−=
- 7 -
4) Diferansiyel Denklemlerin Laplace-Ters Laplace Dönüşümü ile Çözümü:
Örnek 1: ttytdtdy
tdtyd
+=++ 1)(2)(3)(2
2
diferansiyel denkleminin çözümünü 0)0( =y ve
1)0( =y& başlangıç koşulları altında Laplace dönüşümünü kullanarak bulunuz. Çözüm:
?)()23(
1)(1)()23(
11)(2]0
)0()([3]1
)0(0
)0()([
22
2
22
22
=⇒++
++=⇒
+=++
+=+−+−−
tysss
sssYs
ssYss
sssYyssYyyssYs &
ilaplace komutu ile çözüm: >> syms s t >> F=(s^2+s+1)/((s^2)*(s^2+3*s+2)) F = (s^2+s+1)/s^2/(s^2+3*s+2) >> f=ilaplace(F) f = -3/4*exp(-2*t)+exp(-t)+1/2*t-1/4 residue komutu ile çözüm: >> pay=[1 1 1]; payda=[1 3 2 0 0]; >> [r p k]=residue(pay,payda) r = -0.7500 1.0000 -0.2500 0.5000 p = -2 -1 0 0 k = []
- 8 -
Açıklama:
ttueetfssss
psr
psr
psr
psr
ssssssF
tt 5.0)(25.075.0)(
05.025.01
1275.0
kalan))4((
)4()3(
)3()2(
)2()1(
)1()23(
1)(
2
2
222
2
+−+−=
++−
++
++
−=
+−
+−
+−
+−
=++
++=
−−
Örnek 2: 0)(4)(6)(4)(2
2
3
3
=+++ tytdtdy
tdtyd
tdtyd
diferansiyel denkleminin çözümünü 0)0( =y ,
0)0( =y& ve 1)0( −=y&& başlangıç koşulları altında Laplace dönüşümünü kullanarak bulunuz. Çözüm:
?)(464
1)(1)()464(
0)(4]0
)0()([6]0
)0(0
)0()([4]1)0(
0)0(
0)0()([
2323
223
=⇒+++
=⇒=+++
=+−+−−+−
−−−
tysss
sYsYsss
sYyssYyyssYsyysyssYs &&&&
ilaplace komutu ile çözüm: >> syms s t >> F=1/(s^3+4*s^2+6*s+4) F = 1/(s^3+4*s^2+6*s+4) >> f=ilaplace(F) f = 1/2*exp(-2*t)+1/2*(-cos(t)+sin(t))*exp(-t) residue komutu ile çözüm: >> pay=1; payda=[1 4 6 4]; >> [r p k]=residue(pay,payda)
r =
0.5000 -0.2500 - 0.2500i -0.2500 + 0.2500i p =
-2.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i k = []
- 9 -
Açıklama:
teteetfss
sss
ss
jsjsjjsjjs
s
jsj
jsj
s
psr
psr
psr
ssssF
ttt sin5.0cos5.05.0)(1)1(
15.01)1(
15.02
5.01)1(
5.0)1(5.02
5.0])1][()1[(
)25.025.0]()1[()25.025.0]()1[(2
5.0
01
25.025.01
25.025.02
5.0
kalan)3(
)3()2(
)2()1(
)1(464
1)(
2
222
23
−−− +−=
+++
+++
−+
=++++−
++
=
++−++−−++−−++
++
=
++++−
+−+−−
++
=
+−
+−
+−
=+++
=
Örnek 3: ttytdtdy
tdtyd sin)(4)(4)(
2
2
=++ diferansiyel denkleminin çözümünü 0)0( =y ve
0)0( =y& başlangıç koşulları altında Laplace dönüşümünü kullanarak bulunuz. Çözüm:
?)()44)(1(
1)(1
1)(4)(4)( 2222 =⇒
+++=⇒
+=++ ty
ssssY
ssYssYsYs
ilaplace komutu ile çözüm: >> F=1/((s^2+1)*(s^2+4*s+4)) F = 1/(s^2+1)/(s^2+4*s+4) >> f=ilaplace(F) f = -4/25*cos(t)+3/25*sin(t)+1/25*exp(-2*t)*(5*t+4) residue komutu ile çözüm: >> pay=1; payda=conv([1 0 1],[1 4 4]) payda = 1 4 5 4 4 >> [r p k]=residue(pay,payda) r = 0.1600 0.2000 -0.0800 - 0.0600i -0.0800 + 0.0600i
- 10 -
p = -2.0000 -2.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i k = [] Açıklama:
ttteetfss
ssss
sss
jsjsjjsjjs
ss
jsj
jsj
ss
psr
psr
psr
psr
ssssF
tt sin12.0cos16.020.016.0)(1
112.01
16.0)2(
20.02
16.01
12.016.0)2(
20.02
16.0))((
)06.008.0)(()06.008.0)(()2(
20.02
16.0
006.008.006.008.0)2(
20.02
16.0
kalan)4(
)4()3(
)3())2((
)2()1(
)1()44)(1(
1)(
22
22222
2
2
222
+−−=
++
+−
++
+=
++−
++
++
=
+−+−−+−−+
++
++
=
+++−
+−−−
++
++
=
+−
+−
+−
+−
=+++
=
−−
Örnek 4: Bir seri RLC devresinin girişine )(2)( tute −= şeklinde bir negatif basamak gerilim uygulanmaktadır. Kondansatör geriliminin zamanla değişimini, devre elemanlarının değerlerini R=1Ω, L=0.5H, C=0.2F alarak, kondansatörün başlangıçta 5 V gerilim ile dolu olması durumunda, yani V5)0( =v ve 0)0( =v& koşulları için hesaplayınız ve çiziniz.
Çözüm:
ssVvssVvvssVs
tuLC
tvLCtd
tvdLR
tdtvd
tutvtd
tvdLCtdtvdRC
tdtvdC
tdtid
tdtvdCtidtti
Ctv
tedttiCtd
tidLtiR
20)(10]5
)0()([2]0
)0(5
)0()([
)()2(1)(1)()(
olur)(2)()()(
için)()()()()(1)(:
)()(1)()(
2
2
2
2
2
2
2
−=+−+−−
−=++
−=++
=⇒=⇒=
=++
∫
∫
&
Çıkış
- 11 -
?)()102(
20105)(20105)()102( 2
22 =⇒
++−+
=⇒−
=−−++ tvssssssV
sssVss
ilaplace komutu ile çözüm: >> syms s t >> V=(5*s^2+10*s-20)/(s^3+2*s^2+10*s) V = (5*s^2+10*s-20)/(s^3+2*s^2+10*s) >> v=ilaplace(V) v = -2+7/3*exp(-t)*(3*cos(3*t)+sin(3*t)) residue komutu ile çözüm: >> pay=[5 10 -20]; payda=[1 2 10 0]; >> [r p k]=residue(pay,payda) r = 3.5000 - 1.1667i 3.5000 + 1.1667i -2.0000 p = -1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i 0 k = [] Açıklama:
sjsjsjjsjjs
sjsj
jsj
psr
psr
psr
ssssssV
2]3)1][(3)1[(
)1667.15.3](3)1[()1667.15.3](3)1[(
0231
1667.15.331
1667.15.3
kalan)3(
)3()2(
)2()1(
)1(10220105)( 23
2
−+
++−++−++−++
=
+−
+++
++
−+−
=
+−
+−
+−
=++−+
=
)(23sin)3/7(3cos7)(
23)1(
337
3)1()1(72
3)1(7)1(7
222222
tutetetvsss
sss
s
tt −+=
−++
+++
+=
−+
++++
=
−−
- 12 -
Çıkış işaretinin şekli:
>> t=0:0.01:10; % kullanılan zaman vektörü >> v=7*exp(-t).*cos(3*t)-(7/3)*exp(-t).*sin(3*t)-2; >> plot(t,v), grid >> xlabel('zaman (saniye)'), ylabel('Kondansatör gerilimi (Volt)')
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6
-4
-2
0
2
4
6
zaman (saniye)
Kon
dans
atör
ger
ilim
i (V
olt)
Örnek 5: Aynı seri RLC devresinin girişine )2sin(10)( tte = şeklinde bir sinüsoidal gerilim uygulanmaktadır. Devreden akan akımın zamanla değişimini, devre elemanlarının değerlerinin R=1Ω, L=0.5H, C=0.2F olması durumunda sıfır başlangıç koşulları için hesaplayınız ve çiziniz. Çözüm:
?)()102)(4(
40)(2
210)()2.015.01(
)()(1)()(
)()(1)()(
2222 =⇒+++
=⇒+
=++
=++
=++ ∫
tisss
ssIs
sIs
s
sEssI
CsLsIsRI
tedttiCtd
tidLtiR
ilaplace komutu ile çözüm:
>> syms s t >> I=40*s/((s^2+4)*(s^2+2*s+10)) I = 40*s/(s^2+4)/(s^2+2*s+10) >> i=ilaplace(I) i = 60/13*cos(2*t)+40/13*sin(2*t)-20/39*exp(-t)*(9*cos(3*t)+7*sin(3*t))
- 13 -
residue komutu ile çözüm: >> pay=[40 0]; payda=conv([1 0 4],[1 2 10]) payda = 1 2 14 8 40 >> [r p k]=residue(pay,payda) r = -2.3077 + 1.7949i -2.3077 - 1.7949i 2.3077 - 1.5385i 2.3077 + 1.5385i p = -1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i k = [] Açıklama:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+−+−++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
−−−+++−++=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+−−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−
+−++−
=
+−
+−
+−
+−
=+++
=
2222
22
216.662.4
3)1(8.10)1(62.4
)2)(2()54.131.2)(2()54.131.2)(2(
]3)1][(3)1[()8.131.2](3)1[()8.131.2](3)1[(
02
54.131.22
54.131.231
8.131.231
8.131.2
kalan)4(
)4()3(
)3()2(
)2()1(
)1()102)(4(
40)(
ss
ss
jsjsjjsjjs
jsjsjjsjjs
jsj
jsj
jsj
jsj
psr
psr
psr
psr
sssssI
ttteteti
sss
sss
tt 2sin08.32cos62.43sin6.33cos62.4)(
22
216.6
262.4
3)1(3
38.10
3)1()1(62.4 22222222
++−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−++
+−=
−−
Çıkış işaretinin şekli:
>> t=0:0.01:12; % kullanılan zaman vektörü >> i=-4.62*exp(-t).*cos(3*t)-3.6*exp(-t).*sin(3*t)+... >> 4.62*cos(2*t)+3.08*sin(2*t); >> plot(t,i), grid >> xlabel('zaman (saniye)'), ylabel('Devre akımı (Amper)')
- 14 -
0 2 4 6 8 10 12-6
-4
-2
0
2
4
6
zaman (saniye)
Dev
re a
kımı (
Am
per)
5) Doğrusal Sistemlerin Çıkış İşaretinin Ters Laplace Dönüşümü ile Hesaplanması:
Laplace Dönüşümünün Konvolüsyon Özelliği : )()()(*)()( 1 sRsGLtrtgtc −== Bir doğrusal zamanla değişmeyen sistemin çıkış işareti )(tc , sistemin transfer fonksiyonu )(sG ile giriş işaretinin Laplace dönüşümü )(sR ’nin çarpımının ters Laplace dönüşümü alınarak hesaplanabilir. Burada tüm başlangıç koşulları transfer fonksiyonunun tanımı gereği sıfırdır.
Örnek 1: Transfer fonksiyonu )102)(2()4(10)( 2 +++
+=
sssssG olan sistemin birim ani darbe, birim
basamak ve birim rampa giriş işaretlerine verdiği cevapları Laplace dönüşümünün konvolüsyon özelliği yardımıyla hesaplayarak çiziniz. Çözüm: Birim Ani Darbe Cevabı: )()( ttr δ= için 1)( =sR ’dir. Bu durumda )()()( sRsGsC = için
?)(1.)102)(2(
)4(10)()()()( 2111 ==
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++++
=== −−− tgsss
sLsRsGLsCLtc
residue komutu ile çözüm: >> pay=[10 40]; payda=conv([1 2],[1 2 10]); >> [r p k]=residue(pay,payda) r = -1.0000 - 2.0000i -1.0000 + 2.0000i 2.0000
- 15 -
p = -1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i -2.0000 k = [] Açıklama:
ttt etetetgtcsss
sss
ssjsjs
jjsjjssjs
jjs
jps
rps
rps
rsss
ssC
2
222222
2
23sin43cos2)()(2
23)1(
33
123)1(
)1(22
23)1(12)1(2
22
]3)1][(3)1[()21](3)1[()21](3)1[(
02
231
2131
21
kalan)3(
)3()2(
)2()1(
)1()102)(2(
)4(10)(
−−− ++−==
++
+++
+++
−=+
+++++−
=
++
++−++−−++−−++
=
++
++++−
+−+−−
=
+−
+−
+−
=+++
+=
Çıkış işaretinin şekli:
>> t=0:0.01:8; % kullanılan zaman vektörü >> c=-2*exp(-t).*cos(3*t)+4*exp(-t).*sin(3*t)+2*exp(-2*t); >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (saniye)'), ylabel('Sistemin birim ani darbe cevabı')
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
zaman (saniye)
Sis
tem
in b
irim
ani
dar
be c
evabı
ilaplace komutu ile çözüm:
>> syms s t >> G=10*(s+4)/((s+2)*(s^2+2*s+10))
- 16 -
G = (10*s+40)/(s+2)/(s^2+2*s+10) >> c=ilaplace(G) c = 2*exp(-2*t)+2*(-cos(3*t)+2*sin(3*t))*exp(-t)
Birim Basamak Giriş Cevabı: )()( tutr = için ssR 1)( = ’dir. Bu durumda )()()( sRsGsC =
olduğu için
?1.)102)(2(
)4(10)()()()( 2111 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++++
=== −−−
sssssLsRsGLsCLtc
residue komutu ile çözüm: >> pay=[10 40]; payda=conv([1 2 0],[1 2 10]); >> [r p k]=residue(pay,payda) r =
-0.5000 + 0.5000i -0.5000 - 0.5000i -1.0000 2.0000
p =
-1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i -2.0000 0
k = [] Açıklama:
)(23sin3cos)(
22
13)1(
33)1(
)1(22
13)1(3)1(
22
1]3)1][(3)1[(
)5.05.0](3)1[()5.05.0](3)1[(
022
131
5.05.031
5.05.0
kalan)4(
)4()3(
)3()2(
)2()1(
)1()102)(2(
)4(10)(
2
222222
2
tuetetetc
sssss
ssss
ssjsjsjjsjjs
ssjsj
jsj
psr
psr
psr
psr
ssssssC
ttt +−+−=
++
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+++
+−=+
+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+−
=
++−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
−−−+++−++=
+++−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−
+−++−
=
+−
+−
+−
+−
=+++
+=
−−−
- 17 -
Çıkış işaretinin şekli:
>> t=0:0.01:8; % kullanılan zaman vektörü >> c=-exp(-t).*cos(3*t)+exp(-t).*sin(3*t)-exp(-2*t)+2; >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (saniye)'), ylabel('Sistemin birim basamak cevabı')
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
1.5
2
2.5
zaman (saniye)
Sis
tem
in b
irim
bas
amak
cev
abı
ilaplace komutu ile çözüm:
>> syms s t >> G=10*(s+4)/((s+2)*(s^2+2*s+10)) G = (10*s+40)/(s+2)/(s^2+2*s+10) >> c=ilaplace(G*(1/s)) c = 2-exp(-2*t)-exp(-t)*(cos(3*t)+sin(3*t))
Birim Rampa Giriş Cevabı: )()( tuttr = için 2
1)(s
sR = ’dir. Bu durumda )()()( sRsGsC = için
?1.)102)(2(
)4(10)()()()( 22111 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++++
=== −−−
sssssLsRsGLsCLtc
residue komutu ile çözüm: >> pay=[10 40]; payda=conv([1 2 0 0],[1 2 10]); >> [r p k]=residue(pay,payda)
- 18 -
r = 0.2000 + 0.1000i 0.2000 - 0.1000i 0.5000 -0.9000 2.0000 p = -1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i -2.0000 0 0 k = [] Açıklama:
ttuetetetc
ssssss
sssss
sssjsjsjjsjjs
sssjsj
jsj
psr
psr
psr
psr
psr
ssssssC
ttt 2)(9.05.03sin2.03cos4.0)(
29.02
5.03)1(
336.0
3)1()1(4.0
29.02
5.03)1(
6.0)1(4.0
29.02
5.0]3)1][(3)1[(
)1.02.0](3)1[()1.02.0](3)1[(
029.02
5.0311.02.0
311.02.0
kalan))5((
)5()4(
)4()3(
)3()2(
)2()1(
)1()102)(2(
)4(10)(
2
22222
222
2
2
222
+−+−−=
+−+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−++
+−=
+−+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+−
=
+−
++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
−−+++++=
++−
++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−+
−++
=
+−
+−
+−
+−
+−
=+++
+=
−−−
ilaplace komutu ile çözüm:
>> syms s t >> G=10*(s+4)/((s+2)*(s^2+2*s+10)) G = (10*s+40)/(s+2)/(s^2+2*s+10) >> c=ilaplace(G*(1/s^2)) c = -9/10+1/2*exp(-2*t)+2*t+1/5*exp(-t)*(2*cos(3*t)-sin(3*t))
- 19 -
Çıkış işaretinin şekli:
>> t=0:0.01:8; % kullanılan zaman vektörü >> c=-0.4*exp(-t).*cos(3*t)-0.2*exp(-t).*sin(3*t)+0.5*exp(-2*t)-0.9+2*t; >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (saniye)'), ylabel('Sistemin birim rampa cevabı')
0 1 2 3 4 5 6 7 8-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
zaman (saniye)
Sis
tem
in b
irim
ram
pa c
evabı
Örnek 2: Transfer fonksiyonu )102)(2()4(10)( 2 +++
+=
sssssG olan sistemin tetr −= 2)( üstel giriş
işaretine verdiği cevabı Laplace dönüşümünün konvolüsyon özelliği yardımıyla hesaplayarak çiziniz. Çözüm:
tetr −= 2)( için 12)(+
=s
sR ’dir. Bu durumda )()()( sRsGsC = için
?1
2.)102)(2(
)4(10)()()()( 2111 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+++++
=== −−−
sssssLsRsGLsCLtc
residue komutu ile çözüm: >> pay=20*[1 4]; payda=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 2 10]); >> [r p k]=residue(pay,payda) r = -1.3333 + 0.6667i -1.3333 - 0.6667i -4.0000 6.6667
- 20 -
p = -1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i -2.0000 -1.0000 k = [] Açıklama:
tttt eetetetc
sssss
ssss
ssjsjsjjsjjs
ssjsj
jsj
psr
psr
psr
psr
ssssssC
−−−− +−−−=
++
+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−++
+−=
++
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−+−=
++
+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
−−−+++−++=
++
++−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−
+−++−
=
+−
+−
+−
+−
=++++
+=
667.643sin333.13cos667.2)(
1667.6
24
3)1(3
34
3)1()1(667.2
1667.6
24
3)1(4)1(667.2
1667.6
24
]3)1][(3)1[()667.0333.1](3)1[()667.0333.1](3)1[(
01
667.62
431667.0333.1
31667.0333.1
kalan)4(
)4()3(
)3()2(
)2()1(
)1()102)(2)(1(
)4(10)(
2
222222
2
Çıkış işaretinin şekli:
>> t=0:0.01:8; % kullanılan zaman vektörü >> c=-2.667*exp(-t).*cos(3*t)-1.333*exp(-t).*sin(3*t)-4*exp(-2*t)+6.667*exp(-t); >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (saniye)'), ylabel('Sistemin üstel giriş cevabı')
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
zaman (saniye)
Sis
tem
in ü
stel
giriş
ceva
bı
- 21 -
ilaplace komutu ile çözüm:
>> syms s t >> G=10*(s+4)/((s+2)*(s^2+2*s+10)) G = (10*s+40)/(s+2)/(s^2+2*s+10) >> c=ilaplace(G*2/(s+1)) c = -4*exp(-2*t)+4/3*(-2*cos(3*t)-sin(3*t)+5)*exp(-t)
Örnek 3: Transfer fonksiyonu )102)(2()4(10)( 2 +++
+=
sssssG olan sistemin girişine
tetr t 2sin2)( 3−= sönümlü sinüsoidal işareti uygulandığında, sitemin verdiği cevabı Laplace dönüşümünün konvolüsyon özelliği yardımıyla hesaplayınız ve çiziniz. Çözüm:
tetr t 2sin2)( 3−= için 22 2)3(22)(++
=s
sR ’dir. Bu durumda )()()( sRsGsC = için
?)(.)102)(2(
)4(10)()()()( 2111 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++++
=== −−− sRsss
sLsRsGLsCLtc
ilaplace komutu ile çözüm: >> syms s t >> G=10*(s+4)/((s+2)*(s^2+2*s+10))
G =
(10*s+40)/(s+2)/(s^2+2*s+10)
>> r=2*exp(-3*t)*sin(2*t) r = 2*exp(-3*t)*sin(2*t) >> R=laplace(r) R = 4/(s^2+6*s+13) >> c=ilaplace(G*R) c = 8/5*exp(-2*t)+4/145*(-12*cos(2*t)+59*sin(2*t))*exp(-3*t)-8/145*exp(-t)*(23*cos(3*t)+14*sin(3*t))
- 22 -
Çıkış işaretinin şekli:
>> t=0:0.01:8; % kullanılan zaman vektörü >> c=8/5*exp(-2*t)+4/145*(-12*cos(2*t)+59*sin(2*t)).*exp(-3*t)-... >> 8/145*exp(-t).*(23*cos(3*t)+14*sin(3*t)); >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (saniye)'), ylabel('Sistemin çıkış işareti')
0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
zaman (saniye)
Sis
tem
in çıkış
işar
eti
