-23- III MATRICE Definicije: 1. Neka je Nk= {1,2, .,., k}⊂ N, k∈N, tada svako preslikavanje

A: NmxNn → K, (n, m∈N), (1) gdje je K obično neko polje, nazivamo matricom A formata (ili tipa) (m, n) iz polja K. Tu činjenicu zapisujemo kraće sa: A∈Mm,n (K), tj. Mm,n (K) je skup svih matrica (istog) formata (m,n) iz polja K. Kažemo da je matrica A realna (ili kompleksna) već prema tome da li je K=R (ili je K=C). 2. Matrica se obično zadaje kao pravougaona šema svojih vrijednosti:

( )i 1,m; j 1,n∀ = = A(i,j) = aij , tj.

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a aa a a

A

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

M M M

L

, ili

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a aa a a

A

a a a

=

L

L

M M M

L

ili kraće: A = (ai})m,n ili A=||aij||m,n, gdje je aij elemenat matrice A, koji leži u i-toj vrsti(redu) i j-toj koloni (stupcu).

Dakle, uobičajeno je da se matrice označavaju sa velikim slovima a njihovi elementi istim malim slovima latinice. Tako a11= (A)11 znači da je a11 elemenat matrice A koji leži u prvoj vrsti i prvoj koloni. Opčenito

(∀A∈Mm,n (K)) ( )i 1,m; j 1,n∀ = = ai,j = (A)ij.

3. Ako je m ≠ n kažemo da je matrica pravugaona. Za m = n kažemo da je matrica A = (ai})n,n kvadratna matrica reda n ili kraće da A∈Mn (K).

Elemente: a11, a22, ..., ann sačinjavaju glavnu dijagonalu matrice A∈Mn (K); tragom matrice nazivamo

zbir dijagonalnih elemenata n

iii

;trA a=

=∑1

elementi: a1n, a2,n-1, ...,an1 leže na sporednoj dijagonali.

4. Transponovanu matricu matrice A označavamo sa AT ili A’ . Transponovanje matrice je ‘’unarna’’ operacija koja se definiše na slijedeći način:

(∀A∈Mm,n (K)) (∃!B∈Mn,m(K)) B= AT df⇔ ( )i 1,m; j 1,n∀ = = bji = aij,

tj. i-ta vrsta u A je i-ta kolona u AT.

Vježba. Zapisati matrice A i AT ako je A∈Mm,n.

5. Vektor matrice su matrice koje imaju samo jednu vrstu [x1 x2 …xn] ili krače X=[xi]1,n , te matrica kolona koja im samo jednu kolonu, napr. Y=[yk]n,1. Sem toga, ako je Y matrica kolona onda je njena transponovana matrica YT matrica vrsta (i obrnuto). Tako je naprimjer vektor [1 - 4 2 0]T ustvari vektor kolona formata (4, 1).

Neka je A = (aij)m,n , tada se matrica A može zapisati kao:

(ii) matrica kolona: A= (A1. A2. …Am.)T, gdje je Ai .= (ai1 ai2 …ain) i-ta vrsta matrice A,

(ii) matrica vrsta: A=(A.1 A.2…A.n), gdje je A.k= (a1k a2k …amk)T k-ta kolona matrice A.

6. Navodimo nekoliko matrica posebnog oblika:

Nula matrica, označavamo je sa O (∈Mm,n (K)), je matrica čiji su svi elementi nula, tj O= (0)m,n;

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi van dijagonale jednaki nuli; ona se

-24-

zapisuje u obliku

( )1 1

2 21 2 n

n n

d 0 dd d

ili ili diag d ,d , ,d

0 d d

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

LO O

ili kraće [di δij]n,n , gdje je δij Kroneckerov delta simbol definisan sa: {ij1, i j,0, i j.

=δ = ≠

Jedinična matrica je dijagonalna matrica čiji su dijaginalni elementi jednaki 1, tj. matrica diag(1,…,1). Označavamo je sa E, ili En kad želimo da istaknemo da je njen red n.

Dakle, En= [ δij]n,n .Umjesto E u upotrebi je i oznaka I.

Trougaone matrice (donja trouagona, tj. gornja trougaona) su kvadratne matrice:

( ) ( )11 11 12 1n

21 22 22 2nij n,n ij ij ijn,n

n1 n2 nn nn

a 0 a a aa a a a

, ili a a 0, i j ; tj. , ili a a 0, i j .

a a a 0 a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= > = <⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L

M O O

7. Neka su A = (aij)m,n, B = (bij)p,q , C = (cij)r,s tri matrice nad poljem K i neka je λ∈K. Tada vrijede slijedeće definicije:

( ) ( )( )

0df

0ij ij

1 m,n p,q ,(i) A B 2 i 1,m;j 1,n a b ,

⎧ =⎪= ⇔⎨ ∀ = = =⎪⎩

tj. matrice su jednake akko su jednakog formata i imaju jednake odgovarajuće elemente. (Dokazati da je = relacija ekvivalencije u skupu Mm,n (K)).

( ) ( ) ( ) ( )( )

0def

0ij ij ij

1 m,n p,q r,s ,ii A B C 2 i 1,m; j 1,n a b c ,

⎧ = =⎪+ = ⇔⎨ ∀ = = + =⎪⎩

tj. matrice se mogu sabirati akko su matrice sabirci istog formata; tada je i njihov zbir istog formata, a elementi zbira se dobiju sabiranjem odgovarajućih elemenata matrica sabiraka.

( ) ( ) ( )( )

0df

0ij ij

1 m,n p,q ,iii A B 2 i 1,m; j 1,n a b ,

⎧ =⎪λ = ⇔⎨ ∀ = = λ =⎪⎩

ili matrica se množi skalarom tako da joj se svaki element pomnoži skalarom;

( )( ) ( )

( )0

dfn

0ij ik kj

k 1

1 n p, r,s m,q ,iv AB C

2 i 1,m;j 1,q c a b ,=

⎧ = =⎪= ⇔⎨ ∀ = = =⎪⎩

∑

tj. proizvod AB dvije matrice postoji akko su matrice ¸¸ulančene’’ , tj. akko je broj n kolona prvog faktora

A jednak broju p vrsta drugog faktora B, tj. broj elemenata u vrsti matrice A mora biti jednak broju

elemenata u koloni druge matrice B. Sem toga, elementi matrice proizvoda dobiju se prema:

1j n

ij i . . j i1 in ik kjk 1

nj

b

c A B a a : a bb =

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑L M

-25-

gdje je uzeto, po definiciji, da je dobijeni rezultat skalar a ne matrica formata (1, 1).

8. Osobine operacija sa matricama (matrice kao algebarske strukture).

Koristeći prethodne definicije lako se dokazuju stavovi:

1. Algebarska struktura (Mm,n (K), +) je Abelova grupa. (Ovdje je Mm,n (K) familija matrica istog formata (m,n) nad poljem K (= C ili R) ,a sabiranje matrica je definisano sa 7.(ii); nula matrica je O ∈Mm,n (K), tj. O= (0)m,n je neutralni element za sabiranje, dok je matrica - A = (- aij)m,n suprotan elemenat matrici A u odnosu na sabiranje.

2. Mm,n (K) je vekiorski prostor nad poljem K, (gdje je množenje matrice skalarom dato sa 7.(iii)) . Dimenzija tog prostora dim(Mm,n (K)) = mn.

Primjedba. Kako sve matrice tipa n x n čine vektorski prostor, to će vektorski prostor činiti i sve dijagonalne matrice, sve gornje ili donje trougaone matrice itd., jer je linearna kombinacija dvije takve matrice ponovo matrica istoga oblika (viditi stav 2.1.).

3. Množenje matrica, definisano sa 7. (iv), ima slijedeće osobine:

(i) (∀A∈Mm,n (K); B∈Mn,p(K)); C∈Mp,r (K)) A(BC) = (AB)C, (ii) (∀A∈Mm,n (K); B,C∈Mn,p(K)) A(B + C) = AB + AC, (iii) (∀A, B∈Mm,n (K); C∈Mn,p(K)) (A + B)C = AC + BC (iv) (∀A∈Mm,n (K)) A En = A = Em A, (v) (∀A∈Mm,n (K); B∈Mn,m(K)) (AB)T = BT AT.

Dokaz (desne jednakost u (iv)). Neka je X= Em A , tada je na osnovu definicije množenja matrica:

X = (xij) m,n= Em A ⇔ ( )m

ij ik kj ii ij ijk 1

i 1,m; j 1,n x a a a=

∀ = = = δ = δ =∑ ,

odakle na osnovu jednakosti matrica izlazi da je Em A=A.

VJEŽBE. a) Dokazati da je A En = A. b) Za dokaze ostalih tvrdnji (i) – (v) iz stava 3. (kao i stavova 1. i 2.)

vidjeti str. 74-2-prep.

Primjedbe: a) Lako se provjerava da množenje matrica u opštem slučaju nije komutativno, tj. i kad postoje oba rezultata AB i BA, oni ili nisu istog formata, istog su formata akko su obe matrice kvadratne istog reda, ali i u tom slućaju te dvije matrice ne moraju biti jednake. Napr. 1 0 0 0 0 0 0 0

A , B , te je AB BA0 0 1 0 0 0 1 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = ≠ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Iz (iv) slijedi da u skupu praugaonih matrica Mm,n postoje lijevi Em i desni En neutralni element koji su različiti, tj. da samo u skupu kvadratnih matrica Mn,n postoji neutralni element En=Em= E= ||δij||n,n za množenje matrica. c) Pošto samo kvadratne matrice imaju neutralni element za množenje, to je samo grupoid (Mn,n , ) potencijalno grupa. Potrebno je istražiti pitanje egzistencije inverznih elemenata u tom grupoidu. Dakle, promatraćemo samo kvadratne matrice (istog reda) radi toga što se samo u tom skupu definisane sve tri prije uvedene operacije:sabiranje matrica, množenje skalara i matrice te množenje matrica. 9. Determinanta matrice

Svakoj kvadratnoj matrici A∈Mn,n (K) pridružen je skalar— njena determinanta, (engl, detertninant, njem. Determinante, fr. dćterminant, rus. opredelitelj od lat. determinare -odredili. Taj skalar označavamo sa det A ili |A| ili D. Pri računanju determinanti koristit ćemo zapis

-26-

11 12 1n 11 12 1n

21 22 2n 21 22 2n

n1 n2 nn n1 n2 nn

a a a a a aa a a a a a

det ili

a a a a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L L

L L

M M M M M M

L L

.

Oznaku | | uveo je 1841. Cayley. Kako je ovaj zapis sličan onome kod matrica, govorit ćemo, kao i kod matrica , o elementima aij determinante, njenoj vrsti ili koloni, iako je ona (kad se izračuna) tek jedan skalar iz K. Determinante ćemo definsaati induktivno. Slijedi jednostavna ali neuobičajeno duga definicija determinante.

9.1. Definicija determinante

i. Za n = 1 i matricu A = [a11] definicija je: detA = |A| = |a11| = a11. Ovdje |A| ili |a11| označava determinantu, a ne apsolutnu vrijednost. To nas ne treba brinuti, jer kasnije nikad nećemo pisali determinantu matrice prvoga reda. Takođe, zapis determinante |A| ne treba dovoditi u vezu s apsolutnom vrijednošću matrice koja nije niti će biti definisana.

ii. Za n = 2, determinanta matrice drugoga reda, tj. determinanta drugog reda definše se ovako:

D =a a

: a a a aa a

= −11 1211 22 12 21

21 22. (1)

Naprimjer: aab .

b= +

−2

21

Primjedba. Što je motivisalo ovakvu definiciju determinante? Interesantno je spomenuti da je pojam determinante istorijski prethodio pojmu matrice, a javio se je pri rješavanju sistema linearnih jednačina. Zapišimo najjednostavniji sistem linearnih jednačina: ax + by = e, cx + dy=f. Njega možemo lako riješiti bilo kojom od elementarnih metoda. Napr. metodom suprotnih koeficijenata: pomnožimo prvu jednačinu brojem d, drugu brojem – b i saberimo rezultate. Dobićemo ekvivalentnu jednačinu:

(ad — bc)x = ed — bf ⇒ ed bfx .ad bc

−=−

Slično, dobijemo da za drugu nepoznanicu vrijedi

(ad — bc)y = af — ce ⇒ af cey .ad bc

−=−

Brojnik i nazivnik u ovim izrazima su determinante, tj.

e b a ef d c fed bf af cex , y .a b a bad bc ad bcc d c d

− −= = = =− −

(2)

Ova veza linearnih sistema i determinanti je utoliko važnija pošto analogne formule vrijede i za sistema višega reda. Što ćemo moći dokazati koristeći determinante.

iii. Za n=3, determinanta (matrica) trećega reda definiše sa (pomoću determinante drugog reda):

D = a a a

a a a a a aa a a : a a a

a a a a a aa a a

= − +11 12 13

22 23 21 23 21 2221 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 3231 32 33

(3).

Računanje determinante može se nastaviti računanjem determinanti 2-gog reda: D = a (a a a a )−11 22 33 23 32 a (a a a a ) a (a a a a )− − + −12 21 33 23 31 13 21 32 22 31 = a a a a a a−11 22 33 11 23 32 a a a a a a a a a a a a− + + −12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 Primjedba. Za izračunavanje determinante drugog i trećeg reda može se koristiti takozvano Sarusovo pravilo (Sarrus, 1798-1861).Ono je predstavljeno slijedečom šemom:

-27-

a aa a

+

−

11 12

21 22

= a a a a−11 22 12 21,

tj. slično za determinantu trečeg reda, poslije dopisivanja sdesna njene prve dvije kolone, prema priloženoj šemi izlazi:

a a a a aa a a a aa a a a a

+ + +

− − −

=11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a11 22 33 a a a a a a a a a+ + −12 23 31 13 21 32 13 22 31 a a a a a a− −11 23 32 12 21 33

I u ovom slučaju elementi sa istim prvim i drugim indeksom obrazuju glavnu dijagonalu ( a ,a ,a11 22 33 ). Nazivamo je još i lijeva dijagonala. Elementi a , a , a13 22 31 obrazuju sporednu dijagonalu ili desnu dijagonalu. Nazovimo nepotpunom lijevom dijagonalom duž koja spaja elemente a12 i a23 i duž koja spaja elemente a21 i a32. Slično elementi a12 i a21 obrazuju nepotpunu desnu dijagonalu kao ielementi a23 i a32. Lako je vidjeti da proizvod elemenata glavne dijagonale a , a , a11 22 33 ulazi u determinantu sa znakom + (plus) a proizvod elemenata sporedne dijagonale sa znakom - (minus). Svaki od ostalih četiri sabiraka determinante je: proizvod od dva elementa sa nepotpune dijagonale i trećeg elementa iz suprotnog ugla. Proizvodi se uzimaju sa znakom plus ako se radi o lijevoj nepotpunoj dijagonali i sa znakom minus ako se radi o desnoj nepotpunoj dijagonali. Naprimjer za dijagonalu a12 i a23 suprotni elemenat iz ugla je a33, pa se proizvod ovih elemenata a a a12 21 33 mora uzeti sa znakom minus.

iv. Definiciju determinante učinićemo jednostavnijom uvodeći nove pojmove: (i) Minor (ili subdeterminanta) matrice A∈Mn (K) elementa aij naziva se determinanta (n - 1)-og reda koja se iz determinante detA n-tog reda dobije brisanjem i-te vrste i j-te kolone i označava se s Mij . (ii) Kofaktor (ili algebarske komplemente) elementa aij definiše se pomoću minora pridružujući mu predznake + ili - prema slijedećoj formuli:

( )i j ijij ij

ij

M , za i j parno,A M M , za i j neparno.

+ ⎧ +⎪⎪= − = ⎨ +⎪⎪⎩1

Uz ove oznake, definicija (3) determinante trećeg reda glasi: D = detA = a11M11 - a12Ml2 + a13M13. (4) Ista formula, zapisana preko minora, glasi D = detA = a11A11 + a12Al2 + a13A13. (5) gdje je

11 1211

21 22

a aM :

a a= , 21 23 21 22

12 1331 33 31 32

a a a aM : , M :

a a a a= = , tj.

A11 := +M11, A12 := -M12, A13 := +M13.

Ovakav način računanja determinante nazivamo razvoj determinante po elementima prve vrste. Primjer. Razvoj determinante po prvoj vrsti:

( )( ) ( )( )= − + = ⋅ ⋅ − − − + ⋅ − ⋅ − =− − − −

− −

2 0 31 0 3 0 3 1

3 1 0 2 0 3 2 1 3 0 0 3 3 2 1 1 152 3 1 3 1 2

1 2 3

-28- Pokušajmo sad poopćiti ovaj zapis.

v. Tvrdimo da vrijedi formula analogna sa (4) za razvoj po po bilo kojoj vrsti:

( ) ( )i jij ij ij ij

j ji , D det A a A a M+

= =∀ = = = = −∑ ∑

3 3

1 11 3 1 (6)

ili čak i za razvoj po bilo kojoj koloni:

( ) ( )i jij ij ij ij

i ij , D det A a A a M+

= =∀ = = = = −∑ ∑

3 3

1 11 3 1 . (7)

Na primjer, za j = 2, razvijajući determinantu trečeg reda po drugoj koloni, dobićemo:

D= 12 12 22 22 32 32

a a aa a a a a a

a a a a A + a A + a A = -a a aa a a a a a

a a a= + −

11 12 1321 23 11 13 11 13

21 22 23 12 22 3231 33 31 33 21 33

31 32 33

,

Računanje determinante može se nastaviti računanjem determinanti 2-gog reda. Dobije se D = a a a a a a−11 22 33 11 23 32 a a a a a a a a a a a a− + + −12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 . što se podudara s determinantom računatom u (3).

Vježba. Provjeriti da će se ista vrijednost za D dobiti razvojem determinante trečeg reda po po bilo kojoj vrsti ili koloni. vi. Determinanta matrice n-toga reda - Laplaceov razvoj. U općem slučaju, determinanta matrice

definše se razvojem po bilo kojoj vrsti, odnosno bilo kojoj koloni, baš kao u formulama (6) i (7). Takav se razvoj naziva Laplaceov razvoj determinante. Neka je Mij minor, a Aij kofaktor elementa aij. Tad se determinanta matrice A reda n definiše na način:

( ) ( )n n

i jij ij ij ij

j ji ,n D det A a A a M+

= =∀ = = = = −∑ ∑

1 11 1 (8),

kao razvoj po bilo kojoj i-toj vrsti, tj. kao razvoj po bilo kojoj j-toj koloni:

( ) ( )n n

i jij ij ij ij

i ij ,n D det A a A a M+

= =∀ = = = = −∑ ∑

1 11 1 . (9)

Primjedba. Bilo bi korektnije definisati determinantu razvojem samo po prvoj vrsti, a zatim dokazati da se taj razvoj podudara s razvojima po oslalim vrstama ili kolonama. Međutim dokaz ovoga stava (kojega srno provjerili za delerminante trećega reda) je složen, te ga nećemo navoditi. Preporučujemo dokaze u citiranoj literaturi ili kompletiranje dokaza indukcijom. Za definiciju determinante najveće zasluge pripadaju Laplasu (Pierre Simon Laplace (1749-1827), francuski matematičar, fizičar i astronom). Može se dokazati da je definicija determinante n-tog reda (8), tj. (9) ekvivalentna sa:

nj j njD det A a a a= = ±∑ 1 21 2 (10)

gdje se sumiranje vrši po svim permutacijama ( j1 j2, ...jn ) skupa indeksa {1, 2, ..., n}, a sabirci

nj j nja a a1 21 2 su produkt od n elemenata matrice A , od kojih bilo koja dva nisu ni iz iste vrsti ni iz

iste kolone.Predznak + ili - ovisi o permutaciji ( j1 j2, ...jn ) drugih indeksa, već prema tome da li je

permutacija parna ili neparna: + dolazi uz parne, a - uz neparne permutacije, kojih ima podjednako

mnogo. Detalje o permutacijama i ovakvoj definiciji determinante studenti mogu potražiti u literaturi.

Je li računanje determinante jednostavan posao ili nije? Kod determinariata višeg reda nastupaju poteškoće

kod njihovog efektivnog računanja. Naime, iako je teorijski moguće izračunati svaku determinantu služeći se

njezinom definicijom, to je često praktično nemoguće, jer broj osnovnih sabiraka raste astronomski s redom

determinante. Tako nap. determinanta desetog reda ima 10! == 3.6 milijuna sabiraka, pa bi samo za popisivanje

-29- tih sabiraka trebalo 36 knjiga, s 1000 stranica svaka. Tu, dakako, danas pomažu računari, ali se račun može

znatno pojednostavniti koriste li se neka svojstva determinanti. Eksplicitna formula (10) izgieda da daje jednostavan algoritam, ako ne za ručno a ono barem pomoču raču-nara. Medutim, takva je pomisao daleko od istine. Da bismo odredili determinantu koristeći formulu (10) potrebno je učiniti, za zasvaki od n! sabiraka(toliko ima permutacija od n elemenata), tocno n - 1 množenje i na kraju n! - 1 sabiranje, što ukupno daje n.n! - 1 operacija. Taj je broj strahovito velik pošto faktorijeli rastu vrlo brzo (čak brže od eksponencijalnih funkcija kao sto je recimo 10n). Računajući determinante primjenom definicije, pomocu rekurzivnih formula, dobćemo tek neznatnu uštedu, potreban broj operacija ponasa se kao e. n!. Uz prctpostavku da računar izvrši 106 operacija u jednoj sekundi, dobićemo sljedeća vremena koja su potrebna za izracun determinanti, uz ne baš preveliki broj n:

Matrice reda 100 i računanje njihovih determinanti česte su u praksi što mora značiti da se velike determinante ne računaju primjenom gornjih formula. Dakako, postoje različite formule ,a neke među njima efikasnije su od drugih. Može se pokazati da je za izračunavanje determinanti prethodnim svođenjem na trougaonu formu potrebno učiniti, za determinantu n-tog reda, približno 2n3/3 operacija. Za matricu reda 25 potrebno vrijeme, računajući na taj način, iznosi 0.01 sekundu, što je prema gornjih 1018 godina ogromna ušteda u vremenu. Da bismo došli do takvog algoritma, potrebno je izučiti svojstva determinanti. Navest ćemo sada osnovna svojstva determinanti.

9.2. Svojstva determinanti n-tog reda Navešćemo nekoliko najvažnijih svojstava. Pri tom ćemo zapravo ukazati na algoritam pomoću kojega se determinante mogu jednostavno računati. S obzirom da je naša definicija determinanti bila induktivna, determinanta je definisana pomoću determinanti nižega reda , metoda matematičke indukcije bila bi osnova pri dokazivanju. Slijedeće tvrdnje bit će iskazane za vrste ili kolone determinanti. Napomenimo da potpuno identične tvrdnje vrijede i ako riječ vrsta zamijenimo sa kolona i obratno. Navodimo najvažnija svojstva determinanti. Dokazi nekih tvrdnji dati su u obliku uputa ili naznaka ili u vrlo sažetom obliku. Pri torn ćemo koristiti zapis u kojem kolone matrice (determinante) prikazujemo u obliku vektora.

Dl. Determinanta trougaone (i dijagonalne) matrice jednaka je proizvodu elemenata na dijagonali. Ako je A napr. gornja trougaona matrica, tada svi proizvodi u (10), osim a11a22...ann imaju barem jedan element iz donjeg trougla pa su jednaki nula. Na primjer, za jedinicnu rnatricu vrijedi detE = 1.

D2. det A = det AT. Jednakost vrijedi zbog formula (8) i (9). Iz ovog svojstva izlazi da svako svojstva koja vrijedi za vrste vrijedi i za kolone determinante (i obratno).

D3. Zamjenom dviju vrste (kolona) determinanta mijenja predznak.

Za n=2 osobina se jednostavno provjerava: ( )a aD a a a a D

a a= =− − =−21 22

1 11 22 12 2111 12

, te za

kompletiranje dokaza indukcijom ostaje da se dokaže da svojstvo važi i za n+1 ako važi za n.

N BROJ OPERACIJA VRIJEME RAČUNANJA5 324 3.2 . 10-4 sekunda

10 9 864 099 9.8 sekunda25 4.2 . 1025 1.3 . 1018 godina

100 2.5 . 10158 8 . 10150 godina

-30-

D4. Ako u A imamo dvije jednake vrste (kolone) onda je determinanta detA=0. Svojstvo slijedi stoga što po svojstvu D3 zamjenom dvije vrste determinanta mijenja predznak, a kako smo zamijenili iste vrste determinanta se ne mijenja. Dakle D= - D odakle slijedi D=0.

D5. Determinanta je multilinearna funkcija svojih kolona, tj. ako je (samo jedna) napr. j-ta kolona matrice A∈Mn linearna kombinacija

. j . j

( ) ( ). jA A A=α +β1 2 onda je

detA= α detA(1) + β detA(2) , gdje je j-ta kolona:

. j

( )A 1 u matrice A(1) i . j

( )A 2 u matrici A(2) (ostale kolone su iste kao u matrici A).

Ovo svojstvo slijedi direktno iz formule (9) za razvoj po j-toj koloni:

( )n n n

( ) ( ) ( ) ( )kj kj kj kj kj kj kj

k k k

det A a a A a A a A= = =

= α +β =α +β∑ ∑ ∑1 2 1 2

1 1 1

=αdetA(1) + β detA( 2).

Primjedba. Iskazati, tj zapisati princip superpozicije, kako se naziva osobina D5. za α=β=1.

D6. (i) Neka je A1 matrica koja se dobije tako što se svi elementi neke od kolone matrice A∈Mn pomnoze s brojem α . Tada vrijedi detA1= α detA, tj. determinanta se množi brojem tako da joj se neka (ali samo jedna kolona) pomnoži tim brojem. (ii) Ako matrica A ima vrstu sastavljen od samih nula, ondaje detA = 0. Ovo su direktne posljedice svojstva D5. Svojstvo (ii) moguće je provjeriti direktno razvojem determinante po 0-vrsti.

D7. Vrijede generalizacije formula (8) i (9):

( ) ( ) {n ni j

sj ij sj ij sij j

za i s,i ,n;s ,n a A a M D D za i t;+

= =

≠∀ = = = − = δ = =∑ ∑1 1

01 1 1 (8!),

( ) ( ) {n ni j

i t ij it ij tji i

za j t,j ,n;t ,n a A a M D D za j t.+

= =

≠∀ = = = − = δ = =∑ ∑1 1

01 1 1 . (9!)

Formule (8 !) dobiju se na osnovu D4. kao razvoj po i-toj vrsti kad umjesto i-te ponovo stoji s-ta

vrsta tako da D ima dvije jednake vrste (za i ≠ s); formule (9 !) dobiju se na osnovu D4. kao razvoj po

j-toj koloni kad umjesto j-te ponovo stoji t-ta kolona, tako da D ima dvije jednake kolone(za j ≠ t).

D8. Determinanta se ne mijenja ako jednoj koloni dodamo neku drugu kolonu pomnoženu sa nekim brojem.

Neka smo matricu A1 dobili iz matrice A tako što smo j-toj koloni A.j dodali t-tu kolonu A. t pomnoženu sa α, tada je prema formuli (9) i svojstvu D5:

( )n n n

ij i t ij ij ij it iji i i

det A a a A a A a A det A= = =

= +λ = +λ =∑ ∑ ∑11 1 1

,

pošto je n

it iji

a A=∑

1

= 0 prema (9 !) u D7, jer je to razvoj determinante po j-toj koloni, koja ima dvije

jednake kolone j-tu i t-tu.

D9. Ako je jedna kolona (ili vrsta) matrice A linearna kombinacija preostalih kolona (ili vrsta) onda je detA=0. Slijedi uzastopnom primjenom osobina D5 i D4.

Primjedba. Kasnije ćemo dokazati da je ovaj uslov i potreban, tj. detA=0 akko su njene vrste (kolone) linearno zavisne.

-31-

D10. (Binet -Cauchyjev stav; J. P. M. Binet (1786-1856), francuski malematičar). Determinanta proizvoda dviju matrica jednaka je proizvoda determinanti: (∀A, B∈ Mn) det(AB) =detAdetB.

Dokaz nećemo izvoditi.

Vježba. Uzeti dvije proizvoljne matrice reda 2 ili 3 i provjeriti da je za njih ta tvirdnja tačna. Primjer 1. Koristeći svojstva determinante i Laplasov razvoj imamo:

( )( )

II IIII IIV I

.+

− − − −⎧ +⎪− − ⎪⎪= ⋅ ⋅ +⎨⎪− − + ⋅⎪⎪⎩

− −−

−= = − − =

−

1 1

2 8 8 4 1 4 4 23 12 15 3 1 4 5 1

2 3 77 28 14 14 1 4 2 2 33 8 4 3 3 8 4 3

1 4 4 28 9 3

0 8 9 342 42 1 1 8 2 0 4032

0 8 2 020 16 3

0 20 16 3

Ovaj primjer pokazuje • da računanje determinanti može biti — čak i za determinante malenoga reda —

mukotrpan posao; • da je 'ručno' računanje determinanti umjetnost sama po sebi: različite osobe često¸će različitim

pristupom doći do (istog!?) konačnog rezultata. Osnovna ideja sastoji se u tome da se determinanta svodi na determinantu trougaone matrice, međutim izbor transformacija ostaje pri tome poprilično slobodan. Pri ručnome računanju nastojimo izbjeći račun s razlomcima koliko je god to moguće. S druge strane, algoritam prilagođen računaru jednoznačno je određen i ne uzima toliko sloboda pri izboru transformacija. Mi ćemo taj (Gaussov) algoritam detaljno opisati pri rješavanju sustema linearnih jednačina. Primjer 2. (Vandermondeova determinanta.) Provjerimo sljedeći rezultat:

( )2 nj i

i j

n n n2 n

1 1 1x x x

x x .

x x x<

− − −

= −∏1

1 1 11

Oznaka Π označava proizvod po svim mogućim izborima indeksa za koje je i < j. Ukupan broj faktora u umnošku na desnoj strani jednakosti je n(n — 1)\2. Označimo traženu determinantu s V(x1,..., xn). Da izračunamo njezinu vrijednost, načinit ćemo sljedeće transformacije

• pretposljednji, n— 1 -vi red pomnožiti s – x1 i dodati posljednjem; • n—2 -gi red pomnožiti s – x1 i dodati n-l-vom, itd..., • prvi red pomnožiti s – x1 i dodati drugom.

Nakon toga se determinanta može rastaviti po prvoj koloni i iz svih transformiranih vrsta izvući zajednički faktor. Dobije se:

( ) ( )

( ) ( )

2 n1 n

n n2 n n

2 n 2 n

1 1 10 x x x x

V(x ,...,x ) =

x x x x x x

= x x x x V(x ,...,x )

− −

− −

− −

− −

1 1

2 22 1 1

1 1

0

Dobili smo determinantu identičnu prvotnoj, ali reda n - 1. Tako smo dobili rekurzivnu relaciju: V ( x 1 ,x 2 , . . , x n ) = (xn – x1)... (x2 – x1)V(x2,..., xn). Isto razmišljanje možemo primjeniti i na novu, umanjenu determinantu: V ( x 2 , . . , x n ) = (xn – x2)... (x3 – x2)V(x3,..., xn). i nastaviti postupak sve dok ne stignemo do posljednjih jednadžbi: V(xn-2,xn-1,xn) = (xn -xn-2) (xn -xn-1)

-32-

V(xn-1, xn) = n nn n

x x .x x −

−

= − 11

1 1

Uvrštavanjem svih ovih vrijednosti dobije se traženi rezultat..

ZADACI

1. Dokazati da matrice   ( )iA , B , C i , imaginarna jedinica

i−

= = = = −−

0 1 0 1 01

1 0 0 0 1                                   

     zadovoljavaju jednakosti:                                                                                                                                                10    A2= B2 = C2 = E;       20   BC= ‐ CB= iA,      CA = ‐ AC = iB,     AB = ‐ BA = iC, 

     Provjeriti da li za matrice A, B, C takođe važe jednakosti:                                                                                                           [B, C] = ε. 2iA,        [C, A]= ε .  2iB,       [A, B]= ε. iC,                                                                                                    [A, A2+‐B2 + C2] = [B, A2+B2+C2]=[C,A2+B2 + C2] = O,                                                                                                                                           gde je ε=1  ili ε= ‐ 1  i gde je  [A, B]=AB—BA.                                                                       Primjedba. Matrice A, B, C se sreću u kvantnoj mehanici i zovu se Paulieve matri. 

2. Dokazati jednakost A (a) A (b)=A (a + b), gde je 

                A (a) =cosa sin a

.sin a cosa

−  

3. Neka je:  

A (a) =cosa sin a

,sin a cosa

−   B =

tgt.

tgt−0

0  

Provjeriti da li je: (E+B)=A(2t)(E‐B).  4. Dokazati da je 

                    O.=

50 0 0 0 04 0 0 0 00 3 0 0 00 0 2 0 00 0 0 1 0

 

5. Data je matrica  ( ) ( )2-a a-1

A (a) = , a R2 1-a 2a-1

∈ .                                                                                                     

Odrediti:   1° A (a)A(b);        2° A (a)2  i  A (a)n    (n∈ N).  

6. Date su kvadratne matrice A, B ∈Mn reda n≥2, gdje je 

aij=1  (i≠j),      aii=0;       bij=aijn .n−−−

21

 

        Provjeriti jednakost AB =E. 

7. Provjeriti sljedeću reprezentaciju matrice drugog reda 

 

     a a i ia a a a a a a ai i ,a a i i

−+ + − −= − + +−

11 12 11 22 12 21 12 21 11 22

21 22

1 0 0 0 1 00 1 0 1 0 02 2 2 2

 

                        gde je i imaginarna jedinica. 

-33-  

8. Date su matrice: 

iA , A , A ,

i

iA , A , A ,

i

= = =− −

= = =

1 2 3

4 5 6

1 0 0 0 10 1 0 0 0

0 0 0 0 00 0 1 0 0

 

gde je i imaginarna jedinica.                                                                      Ako  je [X, Y]= XY – YX,  provjeriti:  

[A1,  A3]=2A3,        [A1, A4]=2A4,      [A2,  A3]=2A3, 

[A1,  A5]= ‐ 2A5,    [A1,  A6]= ‐ 2A6,    [A2,  A5]= ‐ 2A6, 

[A3,  A5]=A1,        [A3, A6]=A2,         [A4,  A5]=A2, 

[A2,  A4]= ‐ 2A3,    [A2,  A6]=2A5,       [A4,  A6]= ‐ A1, 

[A1,  A2]= O,        [A3,  A4]= O,          [A5,  A6]= O. 

Odrediti sve matrice koje su komutativne sa jednom od matrica Ai  ( i ,=1 6 ). 

9. Odrediti a  i  b tako da matrice 

cosa sin aA sin a cosa , B cos b sin b

sin b cos b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 1 0 00 0

0 0 1 0 

 budu komutativne. 10. Ako su A i B kvadratne matrice drugog reda, dokazati da je                                                                         

       AB+BA = AtrB+BtrA+E(tr(AB)—(trA)(trB)). 

       Primjedba. Da li ova jednakost važi ako su A i B matrice reda veceg od dva? 

11. Ako je n prirodan broj  i A=⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 01 1

, dokazati da je:  An  = E +n(A ‐ E). 

12. Neka je A ∈Mn i neka važi j≥i ⇒ aij=0. Dokazat i  da   je  An  =O.  

13. Neka je A ∈Mn  i aij= 1⁄n  za svako i i j. Dokazati da za svaki prirodan  broj  k  važ i  Ak=A.  

14. Označ imo sa M skup svih kvadratnih matrica reda n koje imaju osobinu da je zbir elemenata svake vrste jednak 1. Dokazati implikaciju 

                    (A∈  M∧B∈M)  ⇒ AB∈M. 

15. Oznacimo sa M skup svih kvadratnih matrica reda n koje imaju osobinu da je zbir elemenata svake vrste i svake kolone jednak 1. Dokazati implikaciju 

  (A∈  M∧B∈M)  ⇒ AB∈M.