Upload
maxy86
View
321
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
7/30/2019 Matrice Matematika
1/22
7/30/2019 Matrice Matematika
2/22
dok su i kvadratne matrice reda , a ujedno i stupane i retane matrice
Nakon to smo definirali novi objekt, u ovom sluaju matricu, elimo ih nauiti usporeivati.Prvi korak je definirati kada su dva objekta jednaka.
Definicija 2.2 Matrice i sujednake ako su istog tipa i ako je
za sve parove indeksa
Poglavlja
Zbrajanje matrica Mnoenje matrice sa skalarom Mnoenje matrica Nul-matrica i jedinina matrica Transponirana matrica Jo o mnoenju matrica
Zbrajanje matrica
Uvedimo prvu operaciju s matricama. Mogu se zbrajati samo matrice istog tipa. Ako sumatrice i istog tipa, tada je matrica
istog tipa kao i matrice i i vrijedi
Dakle, matrice se zbrajaju lan po lan. Svojstva zbrajanja su
(komutativnost) i
(asocijativnost)
Mnoenje matrice sa skalarom
Matrica se mnoi s nekim skalarom (brojem) tako da se svaki element matrice pomnoi s timbrojem. Drugim rijeima, elementi matrice su
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node24.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node25.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node28.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node29.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node24.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node25.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node28.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node29.html7/30/2019 Matrice Matematika
3/22
7/30/2019 Matrice Matematika
4/22
Uoimo da mnoenje u obrnutom poretku nije definirano stoga to matrice nisu ulanane. Usljedeem primjeru su oba mnoenja definirana, ali umnoci nisu istog tipa:
U sljedeem primjeru su umnoci i istog tipa, ali nisu jednaki:
U ovom primjeru su, pak, oba umnoka jednaka:
Iz prethodnih primjera zakljuujemo kako, za razliku od mnoenja brojeva,
mnoenje matrica openito nije komutativno.
Budite oprezni, jer se ova injenica lako zaboravi kada se manipulira s formulama koje sadre
matrice.Teorem 2.1 [Svojstva mnoenja matrica]Za proizvoljne matrice , i i broj ,ukoliko su svi umnoci definirani vrijedi:(i)
(asocijativnost),(ii)
(distributivnost),(iii)
(distributivnost),
7/30/2019 Matrice Matematika
5/22
(iv)
.Primijetimo da zbog openite nekomutativnosti mnoenja matrica, moramo posebno navestidistributivnost prema mnoenju slijeva i zdesna.
Dokaz.
(i) neka je tipa , tipa i tipa . Tada je tipa , a
je tipa . Za proizvoljni element matrice vrijedi:
raspiemo sumu
zamijenimo redoslijed zbrajanja
grupiramo pribrojnike na drugi nain
Ostale tvrdnje dokazuju se slino
Nul-matrica i jedinina matrica
Kod zbrajanja brojeva broj 0 je neutralni element s obzirom na zbrajanje, odnosno
7/30/2019 Matrice Matematika
6/22
za svaki brojAnalogija kod matrica je nul-matrica koja ima sve elemente jednake nuli. Nul-matricu
oznaavamo s , odnosno kada elimo naglasiti o kojem tipu se radi. Na primjer,
Kod mnoenja brojeva broj je neutralni element s obzirom na mnoenje, odnosno
za svaki brojAnalogija kod matrica jejedinina matrica . Ukoliko matrica nije kvadratna, jedininematrice u odnosu na mnoenje slijeva i zdesna su razliitog reda. Na primjer, lako vidimo da
je
Jedininu matricu oznaavamo s , odnosno s ako elimo naglasiti o kojoj dimenziji seradi. Openito je, dakle
i za svaku matricu tipa vrijedi
Jedinina matrica je poseban sluaj dijagonalne matrice. je dijagonalna matrica ako jedinine-nula elementi lee na njenoj dijagonali, odnosno
za
Transponirana matrica
Uvedimo jo jedan novi pojam. Transponirana matrica matrice je matrica koja jedefinirana sa
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node23.html#adiaghttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node23.html#adiag7/30/2019 Matrice Matematika
7/22
7/30/2019 Matrice Matematika
8/22
7/30/2019 Matrice Matematika
9/22
odnosno kao
(2.4)
pri emu su matrice , i zadane s
Istoznanost ova dva zapisa slijedi iz definicije jednakosti matrica 2.2. Matrica se zovematrica sustava, a vektor se zoveslobodni vektorili vektor slobodnih lanova. Zbog
jednostavnosti moemo izostaviti vektor jer se njegovo prisustvo podrazumijeva pa stoga
esto zapisujemoproirenu matricu sustava
Slino, sustav u obliku
moemo zapisati kao
gdje je odgovarajuanul-matrica.
Sada moemo lako dokazati sljedei teorem.
Teorem 2.2 Ako su i razliita rjeenja sustava , tada je
takoer rjeenje tog sustava za svaki .Dokaz.
Iz svojstava mnoenja matrica skalarom i mnoenja matrica slijedi
pa je teorem dokazan.Q.E.D.
Ovaj teorem nam zapravo kae da je uvijek ispunjen tono jedan od tri sluaja:
1. sustav nema rjeenje,
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node23.html#a1.4http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.html#sec:nulhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.html#sec:nulhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node25.html#amatshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.html#at1.5ahttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node23.html#a1.4http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node27.html#sec:nulhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node25.html#amatshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.html#at1.5a7/30/2019 Matrice Matematika
10/22
2. sustav ima tono jedno rjeenje,3. sustav ima beskonano rjeenja,
kao to smo vidjeli u uvodu. Detalje o tome kada nastupa koji od ovih sluajeva daje namKronecker-Capellijev teorem 2.5.
Rjeavanje trokutastih sustava
Matrica jegornje trokutasta ako
Drugim rijeima, svi elementi koji lee ispod dijagonale su nula. Primjer gornje trokutastematrice reda pet je
Slino, matrica je donje trokutasta ako
odnosno elementi iznad dijagonale su nula.Teorem 2.3 Ako su svi dijagonalni elementi kvadratne gornje trokutaste matrice razliitiod nule, tada sustav ima jedinstveno rjeenje.Dokaz.
Ilustrirajmo prvo rjeavanje sustava za . Prvo napiimo sustav u skalarnom obliku
Peta jednadba sadri samo nepoznanicu i moemo je rijeiti odmah:
Dobivenu vrijednost od moemo uvrstiti u etvrtu jednadbu koju potom rijeimo i
dobijemo
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node22.html#cha:alghttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node22.html#cha:alghttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KC7/30/2019 Matrice Matematika
11/22
Uvrtavanjem i u treu jednadbu te rjeavanjem te jednadbe dobijemo
Nastavljajui ovim postupkom dobijemo
i
Kako su po pretpostavci dijagonalni elementi razliiti od nule, ove formule jednoznano
odreuju . Ovaj postupak se oito moe izvesti za proizvoljnu dimenziju pa je teoremdokazan.Q.E.D.
Ovaj postupak se jednostavno moe izvriti na raunalu. Odgovarajui program uprogramskom jeziku C glasi
for (i=n;i>=1;i--){
for (j=n;j>i;j--)
b[i]=b[i]-u[i][j]*b[j];
b[i]=b[i]/u[i][i];
}
Nakon zavretka programa, rjeenje se nalazi na mjestu gdje se na poetku nalazio vektor.
Program za rjeavanje gornje trokutastog sustava u programskom jeziku Matlab izgleda netojednostavnije:
for i=n:-1:1for j=n:-1:i+1
b(i)=b(i)-u(i,j)*b(j)
end
b(i)=b(i)/u(i,i)
end
Isti program u programskom jeziku FORTRAN, ovaj put napisan koritenjem uzlazne petlje,izgleda ovako:
do k=1,n
i=n-k+1
do j=i+1,nb(i)=b(i)-u(i,j)*b(j)
enddo
7/30/2019 Matrice Matematika
12/22
b(i)=b(i)/u(i,i)
enddo
Broj raunskih operacija potrebnih za rjeavanje gornje trokutastog sustava iznosi
Na modernim raunalima (Pentium 350), koja izvravaju do milijuna operacija u sekundi,
rjeavanje trokutastog sustava dimenzije traje oko sekunde.
Postupak za rjeavanje donje trokutastog sustava je slian i dan je u sljedeemMatlab programu:
for i=1:nfor j=i+1:n
b(i)=b(i)-l(i,j)*b(j)
end
b(i)=b(i)/l(i,i)
end
Kako se trokutasti sustavi lako rjeavaju, rjeenje opeg (netrokutastog) sustava dobijemotako da pomou Gaussove eliminacije zadani sustav svedemo na trokutasti oblik.
Zadatak 2.3 Zadajte nekoliko gornje i donje trokutastih sustava i rijeite ih pomou opisanihMatlab programa. Pri tome moete koristiti program
Gaussova eliminacija
Lako vidimo da se rjeenje sustava ne mijenja ako izvrimo bilo koju od sljedeih radnji:(i)
neku jednadbu pomnoimo s brojem razliitim od nule,(ii)
zamijenimo dvije jednadbe,(iii)
jednu jednadbu pribrojimo drugoj,(iv)
zamijenimo dvije varijable.Radnje (i) i (iii) esto vrimo istovremeno: jednoj jednadbi dodamo drugu jednadbu
pomnoenu s nekim brojem.
Ove radnje odgovaraju sljedeim radnjama naproirenoj matrici sustava:
(i')
neki redak pomnoimo s brojem razliitim od nule;(ii')zamijenimo dva retka;
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zap7/30/2019 Matrice Matematika
13/22
(iii')jedan redak pribrojimo drugome;
(iv')zamijenimo dva stupca u matrici .
Kombinirajui radnje (i') i (iii') imamo: jednom retku dodamo drugi redak pomnoen s nekim
brojem.
Koristei navedene transformacije matricu svodimo na gornje trokutasti oblik. Taj
postupak se zove Gaussova eliminacija. Neka je zadan sustav
(2.5)
Neka je . Tada stavimo
i oduzmemo prvu jednadbu pomnoenu s od -te jednadbe te dobijemo
sustav
gdje je
Primijetimo da je varijabla eliminirana iz tri posljednje jednadbe. Brojevi kojima se
u postupku eliminacije mnoi prva jednadba zovu se multiplikatori. Neka je i .Tada stavimo
7/30/2019 Matrice Matematika
14/22
i oduzmemo drugu jednadbu pomnoenu s od -te jednadbe . Rezultat jesustav
gdje je
Konano, stavimo
i oduzmemo treu jednadbu pomnoenu s od etvrte jednadbe. Rezultat je gornjetrokutasti sustav
gdje je
Dobiveni gornje trokutasti sustav sada rijeimo na nain koji je opisan u poglavlju2.3.
Broj raunskih operacija potrebnih za svoenje kvadratnog sustava reda na gornje trokutastioblik iznosi
Vidimo da je za vee dimenzije broj raunskih operacija potreban za rjeavanje trokutastogsustava zanemariv u odnosu na broj raunskih operacija potrebnih za svoenje na trokutastioblik. Na modernim raunalima (Pentium 350), koja izvravaju do milijuna operacija usekundi, svoenje sustava dimenzije na trokutasti oblik traje oko sekundi, dok
za traje sati, a za traje puta due, odnosno okogodina.
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node31.html#sec:trokhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node31.html#sec:trokhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node31.html#sec:trok7/30/2019 Matrice Matematika
15/22
Postupak Gaussove eliminacije koji smo upravo opisali za sustav reda etiri na oit se nainmoe poopiti na sustave proizvoljnog reda. Ukoliko je neki od brojeva s kojima dijelimo
jednak nuli, potrebno je dodatno koristiti postupak pivotiranja koji je opisan u poglavlju 2.4.2.
Postupak Gaussove eliminacije moemo interpretirati i kao mnoenjeproirene matrice
sustavas lijeve strane s elementarnim matricama transformacije. Neka jeproirena matrica sustava (2.5) i neka je
Tada je
Dalje, neka je
Tada je
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node34.html#sec:pivothttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node34.html#sec:pivothttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sustavhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node34.html#sec:pivothttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node30.html#sec:zaphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sustav7/30/2019 Matrice Matematika
16/22
Konano, neka je
Tada je
Primjeri
Sljedei primjeri pokazuju tri sluaja koja se mogu dogoditi prilikom rjeavanja sustavapomou Gaussove eliminacije.
Primjer 2.1 Rijeimo sustav
7/30/2019 Matrice Matematika
17/22
Tada imamo
Iz ovog gornje trokutastog sustava lako vidimo da je
Sustav ima jedinstveno rjeenje. Rjeenje sustava geometrijski odgovara toki u kojoj sesijeku tri ravnine.
Postupak rjeavanja sustava opisan u poglavlju2.4 idealan je za raunala. Kada sustavrjeavamo ''runo'', tada koristimo pojednostavljeno pisanje. Naime, zapisujemo samo
proirene matrice odgovarajuih sustava, a sa strane naznaimo koje operacije na retcima
vrimo. Pri tom operacije biramo tako da, ukoliko je mogue, izbjegnemo razlomke. Sustav izprimjera2.1 rjeava se na sljedei nain:
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node33.html#p1.6http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node33.html#p1.6http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node33.html#p1.67/30/2019 Matrice Matematika
18/22
Sljedei primjer pokazuje kako izgleda trokutasti oblik kada imamo parametarska rjeenja:
Primjer 2.2
etvrti redak glasi , to je tono. Iz treeg retka slijedi
a iz drugog retka slijedi
Vrijednosti nezavisnih varijabli i dobijemo iz prvog retka,
Sustav ima parametarsko rjeenje, odnosno beskonano rjeenja koja ovise o jednomparametru ,
Primijetimo da smo mogli i uzeti za parametar, odnosno
je takoer oblik rjeenja sustava.
Sljedei primjer pokazuje kako iz trokutastog oblika moemo zakljuiti da sustav nemarjeenja.
Primjer 2.3
7/30/2019 Matrice Matematika
19/22
etvrti redak glasi , to je nemogue pa sustav nema rjeenja.
Formalan opis sluajeva koji mogu nastati prilikom rjeavanja sustava daje nam Kronecker-Capellijev teorem2.5.
Napomena 2.1 U praksi se sustavi jednadbi esto rjeavaju koristei raunala, pri emudolazi do pogreaka zaokruivanja kako je opisano u poglavlju 1.7.1. Zbog toga se neka
pitanja vezana uz Kronecker-Capellijev teorem, kao to su utvrivanje linearne nezavisnostiskupa vektora (vidi poglavlje 2.5) i odreivanje ranga matrice (vidi poglavlje 2.6), ne mogurijeiti numerikim raunanjem.
Pivotiranje
Ukoliko je element kojim moramo dijeliti da bi dobili multiplikatore jednak nuli, tadamoramo zamijeniti odgovarajue retke proirene matrice sustava. Na primjer,
pa je rjeenje sustava
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node17.html#sec:arithttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node36.html#sec:zavhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node37.html#sec:ranghttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.htmlhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node17.html#sec:arithttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node36.html#sec:zavhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node37.html#sec:rang7/30/2019 Matrice Matematika
20/22
U praksi je poeljno vriti zamjenu redaka i kada je broj kojim dijelimo jako blizu nule.Gotovi programi uvijek vre zamjenu redaka i to na nain da se najvei element po apsolutnojvrijednosti u stupcu kojeg ponitavamo dovede na vodeu poziciju. Na taj nain uvijek vrijedi
to doprinosi numerikoj stabilnost algoritma.
Elementarne matrice transformacija
U poglavlju 2.4 smo vidjeli kako je pribrajanje jednom retku nekog drugog retka pomnoenognekim brojem ekvivalentno mnoenju s elementarnom matricom s lijeva. No, i ostale
operacije na retcima moemo interpretirati na slian nain. Neka je . Tada produkt
odgovara mnoenju drugog retka matrice s brojem . Openito, matrica se od
jedinine matrice razlikuje samo u jednom elementu i to i .
Na slian nain, pomou produkta
vrimo zamjenu prvog i treeg retka matrice . Openito, matrica se od jedininematrice razlikuje samo u etiri elementa i to
Matrica se zove matrica permutacije. Ona je simetrina, , i vrijedi
. Dakle, matrica je regularna, a njena inverzna matrica je upravo
(vidi poglavlje 2.8).
Zadatak 2.5 Neka je . Na koji nain moemo pomou mnoenja matriceelementarnim matricama treem stupcu dodati trostruki prvi stupac; zamijeniti drugi i petistupac; trei stupac pomnoiti s dva?
Inverzna matrica
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#sec:inverzhttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node32.html#sec:gausshttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#sec:inverz7/30/2019 Matrice Matematika
21/22
Kod mnoenja realnih brojeva svaki broj razliit od nule ima svoj inverz, odnosno
U skupu kvadratnih matrica imamo sljedeu definiciju.
Definicija 2.5 Matrica je regularna (invertibilna, nesingularna) ako postoji
matrica za koju vrijedi
Matrica jesingularna ako nije regularna.
Matrica je, ukoliko postoji, jedinstvena. Tu tvrdnju dokazujemo na sljedei nain:
pretpostavimo da je neka druga matrica za koju vrijedi . Tada je
Stoga moemo uvesti oznaku . Matrica zove se inverzna matrica matrice. Dakle, za svaku regularnu matricu vrijedi
(2.7)
Kao to kod brojeva broj nula nema inverz, postavlja se pitanje da li su sve kvadratne matriceregularne. Odgovor na to pitanje daje sljedei teorem.
Teorem 2.6 Matrica je regularna ako i samo ako je .Dokaz.
Neka je i neka oznaava -ti stupac jedinine matrice. Po Kronecker-
Capellijevom teoremu 2.5 svaki od sustava ima jedinstveno rjeenje. Neka je
Tada je oito . Slino, povlai da svaki od sustavaima jedinstveno rjeenje. Ako stavimo
tada je oito , odnosno . Sada imamo
pa je , odnosno je regularna.
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KChttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node38.html#tm:KC7/30/2019 Matrice Matematika
22/22
Obratno, neka je regularna. Pretpostavimo da teorem ne vrijedi, odnosno .
Kako su stupci od zavisni, zakljuujemo da postoji vektor takav da je .
No iz slijedi da je , to je kontradikcija.
Q.E.D.
Skup svih regularnih matrica ima sljedea svojstva:
(i)
,(ii)
,(iii)
za ,(iv)
za .Svojstvo (i) slijedi iz teorema 2.6, svojstvo (ii) vrijedi jer povlai ,svojstvo (iii) slijedi iz
a svojstvo (iv) slijedi iz (2.7).
Dokaz teorema 2.6 nam daje postupak za raunanje inverzne matrice. Naime, svi sustavi
imaju zajedniku matricu sustava pa proirene matrice svih sustava moemopisati zajedno,
Kada pomou elementarnih transformacija dobijemo oblik
tada je . Ukoliko se ne moe dobiti ovaj oblik, je singularna.Zadatak 2.7 Naite inverznu matricu matrice
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#tm:1.29http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#eq:1.27http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#tm:1.29http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#tm:1.29http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#eq:1.27http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node39.html#tm:1.29