Upload
pacha-mami
View
495
Download
24
Embed Size (px)
Citation preview
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
EL MODELO DE LAS IMPEDANCIAS Y LOS CÁLCULOS DE RED
En la práctica, rara vez se requiere ZBARRA en forma explícita y así los factores triangulares de YBARRA se usan para generar los elementos ZBARRA que sean necesarios. Por definición:
Zbarra = Y-1barra
Para una red de 3 nodos independientes:
Los elementos de impedancia ZBARRA que están en la diagonal principal se conocen como “Impedancias de punto de operación” de las barras. Los elementos fuera de la diagonal principal se les llama “Impedancias de transferencia” de las barras.
Las ecuaciones de nodo expresadas en la forma: I = YbarraV
En la barra 2 se tiene
barraZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
333231
232221
131211
1 32
1
2
3
2 21 1 22 2 23 3I Y V Y V Y V
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Si V1 y V3 = 0 el corto circuitar las barras 1 y 3 con el nodo de referencia, y si se aplica a la barra 2 el voltaje V2 de tal forma que I2 entre a la barra 2, la admitancia propia en esta barra es:
Así entonces, se puede evaluar la admitancia propia de una barra en particular, cortocircuitando todas las otras barras y encontrar la relación de corriente inyectada en la barra al voltaje aplicado en ella. Sea la red :
En la fig. 8.1:
1 3
222
2 0V V
IY
V
03
333
01
111
03
222
323231
;;
VVVVVV
VI
VI
IV
Y
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Como se ve:
Y11, Y22, y Y33 son cada una la suma de las admitancias que se conectan al nodo 1,2, 3 respectivamente. Todo esto cuando no hay ramas acopladas.
La figura 8.1 también sirve para ilustrar los términos de YBARRA fuera de la diagonal principal, sea por ejemplo:
Aquí :
Así, Y 12 se mide al cortacircuitar todas las barras con excepción de la barra 2 y aplicando V2 a la barra 2. Ahora veamos, desde el punto de vista teórico, la ecuación.
Se resuelve como:
Que en forma expandida es:
1 11 1 12 2 13 3I Y V Y V Y V
02
112
31
VV
VI
Y
1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
3 31 1 32 2 33 3
V Z I Z I Z I
V Z I Z I Z I
V Z I Z I Z I
barraI = Y V
barraV = Z I
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
La impedancia de “punto de operación” por ejemplo Z22 se determina como:
Y la “Impedancia de transferencia”, por ejemplo Z12 se determina como:
Éstas se pueden explicar con el siguiente circuito
1 3
222
2 0I I
VZ
I
1 3
112
2 0I I
VZ
I
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Teorema de Thévenin y Z barra
Sea V0 = ZBARRA I0
V0 = Voltajes de barra iniciales de circuito abierto medidos entre cada una de las barras y el nodo de referencia. Cuando las corrientes de barra cambian de sus valores iniciales a sus nuevos valores, los nuevos voltajes de barra están dados por la ecuación de superposición.
Sea la red
0 0
º
barra barra barra
V V
V Z I I Z I Z I
En principio se considera que el circuito no está energizado así que Iº y Vº son cero.Ahora se inyecta una corriente IK en Amperes o en p.u. Por medio de una fuente de corriente que conecta al nodo de referencia.
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Los cambios de voltaje resultantes en las barras de la red están dados por:
Que resulta como:
)17.8(
0
0
0
2
1
21
21
222221
111211
N
kk
NNNkNN
kNkkkk
Nk
Nk
V
V
V
V
I
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
)18.8(
2
1
2
1
N
kk
Nk
kk
k
k
V
V
V
V
I
Z
Z
Z
Z
1 2 k N
1
2
k
N
N
k
2
1
k
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
En concordancia con la ecuación 8.16
V = Vº + V
Vk = Vºk + Zkk Ik
El circuito que corresponde a esta ecuación es:
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
La impedancia de Thevenin Zth en la barra k es:
Zth = Zkk ; Donde Zkk es elemento diagonal de Zbarra
De manera similar, la impedancia de Thevenin entre dos barras j y k. La red se energiza con inyecciones de corriente Ij en la barra j y Ik en la barra k como en la figura siguiente:
Los cambios de voltajes de barra son:
)21.8(
0
0
0 11
2
1
21
21
111211
kNkjNj
kkkjkj
kjkjjj
kkjj
N
kk
NNNkNN
kNkkkk
Nk
IZIZ
IZIZ
IZIZ
IZIZ
V
V
V
V
I
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
1 2 k N
1
2
k
N
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Al sumar estos cambios de voltaje a los voltajes originales como en la ecuación 8.16
Se obtiene:
Al sumar y restar ZjkIj a la ecuación 8.22 tenemos y de la misma forma ZkkIk de la ec. 8.23 se obtiene:
Dado que ZBARRA es simétrica Zjk = Zkj, entonces de acuerdo al circuito que se muestra en esta figura, donde el voltaje de corto circuito de la barra k a la barra j es:
ºº
jk VV
º
º ºbarra barra barra
V V
V Z I I Z I Z I
0
0
j j jj j jk k
k k kj j kk k
V V Z I Z I
V V Z I Z I
0
0
j j jj jk j jk j k
k k kj j k kk kj k
V V Z Z I Z I I
V V Z I I Z Z I
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
La impedancia que resulta para la corriente de corto circuito ISC de la barra k a la barra j en la figura 8.4 c es la impedancia de Thevenin.
Cuando se conecta la impedancia de rama Zb entre las barras j y k de la figura, la corriente resultante es:
Modificación de una Zbarra Existente
En la notación para usarse en el análisis, las barras existentes se identifican con números o con las letras h, i, j y k. Las letras p ó q designarán la nueva barra que se añade a la red para convertir la Zorig en una matriz de (N+1) x (N+1)
, 2th jk jj kk jkZ Z Z Z
0 0
,
k j k jb
th jk b b
V V V VI
Z Z Z
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
CASO 1. Añadir la Zb de una nueva barra p al nodo de referencia.
Una nueva barra p que se conecta a través de Zb sin conexión con cualquier otra barra de la red original, se agrega como:
)28.8(
000
0
0
0
0
02
01
2
1
)(
p
N
p
N
Z
b
orig
V
V
V
V
I
I
I
I
Z
Z
nuevabarra
p
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
0
0
k k p kk
p k p kk p b
V V I Z
V V I Z I Z
CASO 2. Añadir la Zb de una nueva barra p a una barra existente k
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Al sustituir Vºk se obtiene:
0
1 1 2 2
k
p k k N kN p kk b
V
V I Z I Z I Z I Z Z
)28.8(2
1
2
1
21
2
1
)(
p
N
p
N
Z
kkbkNkk
Nk
orig
k
k
V
V
V
V
I
I
I
I
ZZZZZ
Z
Z
Z
Z
nuevabarra
p
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
CASO 3. Añadir la Zb desde una barra existente k al nodo de referencia
1 1
( )
h N N i
hi nueva hikk b
Z ZZ Z
Z Z
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
CASO 4. Añadir la Zb entre dos barras existentes j y k
El cambio de voltaje en cada nodo h ocasionado por la corriente Ib en la barra j e –Ib en la barra k,
Con base en la definición de cambios de voltaje
bhkhjh IZZV
10
11 VVV
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
1 1
( . . )
(8.41)
( . . )0
orig
orig
de Z j j
orig k k
Nk
N Nbb
de Zb
Z
I V
col j col kI V
Z I V
ZI Vcol j col k ZI
bjkkkjj
iNNhhinuevahi ZZZZ
ZZZZ
211
)(
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Reducción de Kron• El método de reducción de Kron consiste en utilizar un
procedimiento similar al método de eliminación Gaussiana, eliminando los nodos que tienen corrientes inyectadas con valor cero.
• Al eliminar el nodo 1, se obtiene el sistema reducido de 3X3,
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Reducción de Kron
• Partiendo del cálculo de la matriz de admitancias de barra reducida, seleccionando un elemento pivote se tiene la formula de reducción de Kron para admitancias,
jp pk
jkjk nuevapp
Z ZZ Z
Z
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Determinación Directa de ZBARRA
Primero.- Se escribe la ecuación para una barra que se conecta a través de una impedancia de rama Za a la referencia, como:
Segundo.- Se añade una nueva barra conectada a la primera y al nodo de referencia.
Tercero.- Se modifica ZBARRA añadiendo otras barras y ramas según lo descrito en la sección 8.3.
1 1aV Z I 1
1
)45.8(0
0
2
1
2
1
I
I
Z
Z
V
V
b
a1
2
1 2
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Cálculo de ZBARRA usando YBARRA
Se puede calcular la ZBARRA fácilmente si los factores triangulares superior e inferior de YBARRA están disponibles y cuando la forma numérica completa de ZBARRA no se requiere de manera explícita en una aplicación dada. Sea una ZBARRA que se multiplica por un vector que tiene solamente un elemento que no es cero.
)46.8(
0
1
0
0
2
1
21
21
222221
111211
mbarrabarra Z
Nm
mm
m
m
m
Z
NNNmNN
mNmmmm
Nm
Nm
Z
Z
Z
Z
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
1 2 m N
1
2
m
N
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Esta es una forma de extraer la m-ésima columna que se llama vector Z (m)BARRA ; esto es:
Dado que el producto YBARRA por ZBARRA es la matriz unidad, entonces
)46.8(
2
1
)(
Nm
mm
m
m
barra
mbarra
Z
Z
Z
Z
Z
de
mcolumna
Z
m
1
2
m
N
)47.8(
0
1
0
0
0
1
0
0
mbarra
mbarra
mbarrabarra YZYZ
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Si están disponibles las matrices triangulares superior e inferior de YBARRA o sea, si se conocen L (Matriz triangular inferior ) y U (Matriz triangular superior) se puede hacer lo siguiente:
Con esta ecuación se ve, que fácilmente se pueden encontrar los elementos en el vector columna de Z(m)
barra ; sea entonces;
( )
0
0
1
0
mbarra
m
LUZ
(3)
1311 12 13 14
21 22 2323 24
31 32 3334
41 42 43 44 43
1 0
1 0
11
01
barraZ
Zl u u u
l l Zu u
l l Zu
l l l l Z
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Esta ecuación se puede resolver en dos etapas para ZBARRA , como sigue:
O sea que:
11 1
21 22 2
31 32 3
41 42 43 44 4
0
0
1
0
l x
l l x
l l x
l l l l x
(3)
13 112 13 14
23 223 24
33334
443
1
1
1
1
barraZ
Z xu u u
Z xu u
xZu
xZ
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
“POR ELIMINACIÓN DE VARIABLES”
4433
434444
1
343
0
242
0
141
333333
0
232
0
131
2222
0
121
1111
0
11
00
00
333
ll
lxxlxlxlxl
lxxlxlxl
xxlxl
xxl
lx
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
“Sustitución Inversa”
Si se requieren evaluar términos de la ZBARRA del tipo (Zim-Zin). Se pueden calcular de manera similar como antes y se tiene:
43 4
33 34 43 3 33 3 34 43
23 23 33 24 43 2 23 2 23 33 24 43
13 12 23 13 33 14 43 1 13 1 12 23 13 33 14 43
Z X
Z u Z X Z X u Z
Z u Z u Z X Z X u Z u Z
Z u Z u Z u Z X Z X u Z u Z u Z
( )
0
1
1
0
m
m nbarra
n
LUZ
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
Ramas Mutuamente Acopladas en Zbarra
• CASO 5. Añadir una Zb mutuamente acoplada desde una barra existente P a una nueva barra Q
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
CASO 6. Añadir una Zb mutuamente acoplada desde una barra existente p a referencia.
• El procedimiento para este caso es una aplicación especial del caso 5: se añade una impedancia Zb entre la barra p y la nueva barra q acoplada a través de la impedancia mutua ZM.
• Se cortocircuita la barra q al nodo de referencia con lo que Vq es igual a cero, y se llega a la misma ecuación matricial del caso anterior
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
• CASO 7. Añadir una Zb acoplada mutuamente entre las barras existentes p y k.
ORV
Sistemas Eléctricos de Potencia II
• CASO 8. Quitar una Zb mutuamente acoplada entre barras existentes
• Esto se puede lograr añadiendo el negativo de la impedancia Zb.