I Escribir eplicitamente las siguientes matrices

I Escribir explcitamente las siguientes matrices.

1.- A = (aij)(K4x4 / aij = (-j)i-12.- B = (bij)(K3x4 /

bij =

3.- C = (cij)(K4x3 /

cij =

4.- D = (dij)(K4x4 /

dij =

5.- E = (eij)(K4x4 /

eij =

II OPERACIONES CON MATRICES.

1-Sean las matrices

A = , B =

C =

S A = B hallar la matriz E = A + 3C

2.-Hallar la matriz X en :

3(X+ 2A) 2( 2X + B) = 4( B- 3A +X)

donde A = y B = 2I - A

3.- Resolver el sistema:

( 2X + Y)t = ( 3Yt + Y)t + 2Y (2Y - At)t = 2( X + B)

SI A = , B =

4.- Calcular la matriz X, s E = D, Donde

E = 2( CXt + At)t + 2 (Bt At)tD = C (Xt + AB) + BtPara

Ct = , At = y

C = At - B

5.- Calcular la matriz X, s:

A =

Bt = y

C =

6.- Calcular X, en :

A(X - B) = (Bt + ( 2X - Bt) At )tDonde

A = , B =

7.- Halar la matriz E = AB2 s:

A = y

B =

8.- Sea A = ,

B = y

f(x,y) = x2 xy + y2

a) verificar que A y B conmutan.

b) Evaluar f(A,B).

9.- Sean las matrices:

A = , B =

C =

S E = ABC, hallar s = e11 + e12 + e23

10.- Un fabricante de zapatos los produce en color negro , gris y blanco para nios, damas y caballeros. La capacidad de produccin (en miles de pares ) en la planta de Callao esta dada por la matriz siguiente:

La produccin en la planta de villa el salvador esta dado por :

a) Determine la representacin matricial de la produccin total de cada tipo de zapatos a en ambas plantas

b) Si la produccin en la planta del callao se incrementa en un 50% y la de villa el salvador en un 25%, encuentre la matriz que representa la nueva produccin total de cada tipo de calzado.

c) De que color de calzado se produce en mayor cantidad para hombres, mujeres y nios? Para el caso b).

d) De que color de calzado se produce en menor cantidad para hombres, mujeres y nios? Para el caso b).

11.- Susana gana $ 5 en una hora como institutriz, $6 la hora como mecangrafa y $1.50 en una hora como niera. El nmero de horas trabajadas en cada tipo de trabajo en un perodo de 4 semanas esta dado por la matriz A.

a) Determine la matriz de ingreso total por semanas de Susana.

b) Cunto es el ingreso mximo de Susana y a que semana le corresponde?

c) Cunto es el ingreso mnimo de Susana y a que semana le corresponde?

III. MATRICES CUADRADAS ESPECIALES

1.-Expresar las siguientes matrices como la suma de dos matrices una simtrica y la otra antisimentrica.

a) A = (aij)(K2x2/ aij = i +2j .

b) B = (bij)(K3x3/ bij = 2i - j .

c) C = (aij)(K3x3/ cij = max{i,j}.

d) D = (dij)(K4x4/ dij = 2i (-1)j.

e) E = (eij)(K3x3/

eij = .

2.- probar que la siguientes matriz es idempotentes.

a) A =

3.- Sea A una matriz cuadrada, s A es una matriz involutiva entonces probar que la matriz B = (I - A) , es indempotente.

4.- Demostrar, s A + B = I y AB = (, entonces A y B son matrices Idempotentes.

5.- Demostrar que si la matriz A e simtrica, entonces la matriz E = BtAB es simtrica, cualquier que sea la matriz cuadrada B.

6.- Sea la matriz B = (bij)(K3x3/ bij = 2i - j , probar que la matriz B = AAt es una matriz simtrica.

7.-Sea A una matriz triangular definido por

A = , donde a,b,c(R-{0}

probar que la matriz E = A + I, es nilpotente de ndice 4

8.- Sea A una matriz definido por

A = , probar que la matriz A es peridica y determinar su periodo.

9.- Mostrar que las matrices .

A =

B =

Son involutivas.

10.-Mostrar que la matriz

A = ,

es una matriz nilpotente de indice 2.

11.-Sa Ay B son matrices involutivas y

AB = BA = ,

Hallar La traza de la matriz E = (A + B)2

IV. DETERMINANTES.

Evaluar el determinante de cada una de las matrices.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12

13

V. RANGO DE UNA MATRIZ Y MATRICES ESCALONADAS

1.- Sean las siguientes matrices.

i) Identificar en cada una de las matrices, las matrices: escalonada y escalonadas reducidas por filas.

ii) Si la matriz es escalonada, identificar los elementos distinguidos y posteriormente hallar la suma de los elementos distinguidos.

a)

b)

c)

d)

e)

f)2.- Sean las siguientes matrices.

i) Reducir la matriz en su forma escalonada.

ii) Reducir la matriz a la forma cannica por filas, esto es, a la forma escalonada reducida por filas.iii) Hallar el rango de la matriz.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

3.- describir todas las matrices escalonadas de orden 2x2 posibles que estn en la forma escalonada reducida por filas.

VI. INVERSA DE UNA MATRIZ1.- Hallar la inversa de la siguientes matrices si existe.

a)

b)

c)

2.-Halla la matriz de cofactores , Adjunto y la matriz inversa si existe de las siguientes matrices.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

3.- Hallar la matriz X ,

s C = B y

C-1 X AB = I , >0Donde

Adj(A)= , B =

4.- Hallar la matriz X , si se cumple que

BXA = C

donde B = Adj (A) , C = Adj (B) y

A =

5.- Sean las matrices:

A = y B =

Determinar la matriz X que satisface la ecuacin

AX = At + 2B

4.- Una empresa de productos qumicos produce tres tipos de fertilizantes: econmico , regular y sper . Cada tipo de fertilizante contiene nitratos , fosfatos y potasio en cantidades que se especifican a continuacin: El tipo econmico contiene dichos ingredientes en la proporcin 3 : 6 : 1 , el tipo regular en la proporcin 4 : 3 : 3 y el tipo sper en la proporcin 2 : 5 : 3 . Cada mes la empresa obtiene un suministro de 6 toneladas de nitratos , 10 toneladas de fosfatos y 4 toneladas de potasio. Encontrar la produccin mensual de cada tipo de fertilizante ( en toneladas ) con el suministro de ingredientes indicado.

Negro

Gris

Blanco

Hombres Mujeres Nios

Negro

Gris

Blanco

Hombres Mujeres Nios

2x2

y + 4

4

2x2

x

x-y

x-2y

3

A =

15 10 16 12

6 4 2 3

2 7 0 4

Semana

I II III IV

Institutriz

Mecangrafa

Niera

2

3

2x2

-2

0

EMBED Equation.3

-1

0

4

3

1

-3

-3

-1

4

4

3x3

3x3

3

-1 -3

3

0

-4

4

-1

-4

3x3

-1

4

4

3

-3

-3

1

-1

1

3x3

0

0

-1

-8

5

2

-5

3

1

2x2

2x2

-2

5

3

4

a

a+b

a-b

a

2x2

-3

a-1

a-2

-4

3x3

1

-2

4

1

5

-3

2

0

1

3x3

-4

-1

1

-2

5

6

3

2

0

3x3

4

-2

2

-1

-3

1

-2

6

4

3x3

3

-2

x-4

4

x+1

0

x-2

1

0

3x3

-3

-3

x-4

3

x+5

6

x-1

-3

-6

3x3

1

1 x+2

-1

x-5

-6

x+3

7

6

4x4

-3

2

-2

4

5

-3

3

-6

2

-2

1

-1

-2

-5

-2

3

4

-5

-3

8

4x4

-5

8

7

-5

-2

2

4

-3

3

-5

-2

2

3

0

-2

3

4x4

2

-2

1

0

2

0

-1

-3

1

1

3

4

1

1

1

1-y

4x4

1

1

y+1

1

1

1-x

1

1

x+1

1

1

1

2x2

-2

5

2

-4

2x2

-2

1

8

0

2x2

-2

2

7

-4

3x3

-4

-1

1

-2

5

6

3

2

0

3x3

2

0 1

2

1

1

1

3

1

3x3

4

-1

1

-2

2

0

3

0

0

3x5

-2

5

0

2

0

0

1

0

0

3x3

-2

-3

-4

3

5 2

1

2

-3

3

0

1 -3

4x4

-2

5

2

2

2 -1

0

7

1

3

4

1

2

2

-3

14

4x4

3

5

12 14

4

6

5

5

2

3

2

4

0

2

7

1

-4

3

0

1

0

-5

0

0

3x5

7

0

0

1

0

0

0

0

0

2

4

7

0

0

1

3x5

5

2

0

0

1

0

1

0

3

1

1

1

2

-6

-6

3x5

-1

3

0

2

0

0

1

0

0

3x3

0

0

0

3x4

0

-1

1

0

1

0

1

0

0

1

-3

0

2

0

0

0

1

0

-1

2

3

3x4

3

2

2

-2

-1

1

1

2

3

-2

3

-1

3x4

3

-4

2

1

1

3

0

2

2

3x3

-4

-6

-5

3

1

2

1

-4

1

1

3

5

2

-2 -6

3x5

-1

1

2

2

4

6

1

2

3

2

3

1

5

4x4

-1

-5

3

1

3

11

-5

1

1

0

2

4

-2

3

1

4

4x4

3

-1

2

-3

1

4

0

5

0

0

0

0

1

4

7

5

0

-5

3x5

-2

2

6

3

-1

-5

2

3

4

3x3

4

6

1

3

-1

5

1

3

-1

3x3

2

0

-1

0

-2

0

1

2

-3

3x3

2

0

-1

0

-2

0

1

2

-3

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