Upload
nguyencong
View
245
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 1
Matrici e sistemi
2
Sistemi lineari
InvertibilitàMatrici elementariCriteri di invertibilitàSistemi quadrati e Teorema di Cramer
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 2
Matrici invertibili
4
Date comunque A e B matrici quadrate in ordine n, la coppia (A, B ) è moltiplicabile e quindi il prodotto tra matrici è una operazioni interna di Mn. Osservazione. Se n > 1 (M1 = ), il prodotto non è commutativo. Per esempio
Prodotto tra matrici quadrate
1 1 1 1 2 1 1 1,
0 0 0 1 0 0 1 1A B AB BA
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒ = ≠ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
K
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 3
5
Esistenza dell’inverso (1/2)
Un’altra proprietà del prodotto che per n > 1 non vale più è l’esistenza dell’inverso: se α ∈ , α ≠0, sappiamo che esiste il numero α-1 (inverso o reciproco di α) tale che αα-1 = 1. Consideriamo il seguente esempio:
K
6
Esistenza dell’inverso (2/2)
otteniamo x + z = 1 e 2(x + z) = 0, il che èassurdo.
1 1Sia . Se , ponendo
2 2x y
A Bz t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 02( ) 2( ) 0 1
x y y tAB
x z y t+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 4
7
Definizione di matrice invertibile
Una matrice quadrata A ∈ Mn si dice invertibile se esiste B ∈ Mn tale che AB = BA = In . Altrimenti A si dice non invertibile o singolare.
Il sottoinsieme di Mn formato dalle matrici invertibili di ordine n viene indicato con GLn; se ènecessario specificare il campo di numeri si scrive GLn (R) oppure GLn (C).
8
Esempio (1/2)
otteniamo x = ½, z = -½, y = t = ¼.
1 1Sia . Se , ponendo
2 2x y
A Bz t
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 02( ) 2( ) 0 1
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x z y tAB
x z y t
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 5
9
Esempio (2/2)
Si verifica subito che se
BA = AB = In e dunque A è invertibile.
1 12 41 12 4
B
⎛ ⎞⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
10
Unicità e matrice inversa
Se A è invertibile, la condizione che B commuti con A assicura che B è unica.Date infatti B1 e B2 tali che ABi = Bi A = In per i = 1, 2, si ha:
B1 =B1In = B1 (AB2) = (B1A)B2 = InB2 = B2 .
Quindi esiste una sola matrice B tale AB = BA = In; chiamiamo tale matrice la matrice inversa di A e la denotiamo con A-1.
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 6
11
Proprietà inversa (1/2)
Sia A ∈ GLn, valgono le seguenti proprietàverificabili direttamente:
1) A-1 ∈ GLn e (A -1)-1 =A.2) Se B ∈GLn, AB ∈ GLn e (AB )-1 =B-1 A-1.3) Se α ∈ , α ≠ 0, allora αA ∈ GLn e (αA)-1 = α-1
A-1.4) tA ∈ GLn e (tA )-1 = t (A-1).
K
12
Osservazioni
In è invertibile con In-1 = In mentre O ∈Mn è
singolare Infatti InIn = In mentre OB = O≠ In per ogni B ∈Mn.Possiamo così vedere che la somma di matrici invertibili non è in genere invertibile: per esempio, -In è invertibile per la proprietà (3), ma In + (-In) = O.
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 7
13
Matrici con righe o colonne nulle (1/2)
Se una matrice A ∈ Mn ha una riga o una colonna nulla (formata solo da zeri), allora A è singolare.Infatti, se A ha per esempio la riga [A ]i = O, per ogni B ∈ Mn il prodotto AB ha l’elemento della diagonale principale [AB ]i,i = [A ]i[B ]i = 0: quindi non può essere uguale a In che ha tutti 1 su tale diagonale. Analogamente, se A avesse una colonna nulla avremmo BA ≠ In per ogni B.
14
Matrici con righe o colonne nulle (2/2)
Attenzionenon vale il viceversa! Per esempio la matrice non ha righe né colonne nulle ma come abbiamo visto è singolare.
1 12 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 8
Matrici invertibili
16
Definizione di matrice elementare
Data una matrice A ∈ Mn, si può determinare se A è invertibile e, in caso affermativo, calcolare A-1
applicando il metodo di riduzione. Una matrice elementare E in Mn è una matrice ottenuta da In con una OE, detta OE associata a E. Viceversa diremo che E è la matrice elementare associata a OE.Dalla definizione precedente segue che vi sono tre tipi di matrici elementari, a seconda dell’OE effettuata.
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 9
17
Esempi
n = 2
I tipo:
II tipo:
III tipo:
(1) 2(2)
2 1
(1) (2)
2 2
3(1)
2 3
1 0 1 20 1 0 1
1 0 0 10 1 1 0
1 0 3 00 1 0 1
I E
I E
I E
+
→
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
18
Matrici elementari e OE (1/2)
La proprietà fondamentale delle matrici elementari e la seguente: siano A, A’, ∈ Mm,n e supponiamo che A’ sia ottenuta da A con una operazioni elementare OE. Se E è la matrice elementare associata a OE,allora A’ = EA.
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 10
19
Matrici elementari e OE (2/2)
Ovviamente per effettuare una OE conviene eseguirla direttamente piuttosto che moltiplicare per la matrice elementare associata. L’interesse delle matrici elementari risiede nel fatto che esse permettono di provare importanti criteri di invertibilità e di calcolare esplicitamente l’inversa di una matrice se esiste.
20
Data abbiamo, riferendoci agli esempi
precedenti
Esempi
2 13 0
A−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1
2
3
1 2 2 1 8 11) '
0 1 3 0 0 1
0 1 2 1 3 02) '
1 0 3 0 2 1
3 0 2 1 6 32) '
0 1 3 0 3 0
E A A
E A A
E A A
− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 11
21
Invertibilità delle matrici elementari
Le matrici elementari sono invertibili con inversa una matrice elementare dello stesso tipo. Infatti se E è una matrice elementare, consideriamo l’OE inversa di quella associata a E e la matrice elementare E’ associata a OE: allora E’E = EE’ =In.Esempio
1 1 11 2 3
11 2 0 1 0, , 3
0 1 1 0 0 1E E E− − −
⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Matrici invertibili
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 12
23
Invertibilità e equivalenza per righe
Se A ∈ Mm,n è non nulla, per il Teorema di Riduzione abbiamo che esistono matrici elementari E1,……,Eq tali che
Il prodotto di matrici invertibili è invertibile, quindi vale:
A ∈ GLn se e solo se Asrn ∈ GLn.
1 1 11 1 1 2, cioè srn q q q srnA E E E A A E E E A− − −−= =… …
24
Criterio della Forma srn
Se A ∈ Mn, allora
A ∈ GLn se e solo se Asrn = In.In tal casoEqEq-1…E1 A = Asrn= In , implica A-1 = EqEq-1…E1
Infatti una matrice srn quadrata di ordine n o ha righe nulle (e quindi è singolare) o è la matrice In.
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 13
25
Criterio del rango
Se A ∈ Mn, A ∈ GLn se e solo se r (A ) = n.
Deriva dal Criterio della Forma srn. Infatti r (A ) = nse e solo se Asrn non ha righe nulle, quindi se e solo se Asrn = In.
26
Calcolo dell’inversa
Per riduzione possiamo verificare se una matrice A ∈ Mn è invertibile e, in caso affermativo, calcolare nel contempo l’inversa.Infatti se effettuando le stesse OE su A e In otteniamo Asrn = In, allora A ∈GLn e la trasformata di In è A-1; se invece Asrn ha una riga nulla allora A è singolare.
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 14
27
Esempio (1/2)
1 0 1Se 2 1 1
1 1 1A
−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 0 1 | 1 0 02 1 1 | 0 1 01 1 1 | 0 0 1
−⎛ ⎞⎜⎜⎜⎝ ⎠
1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 2 1 00 1 2 | 1 0 1
−⎛ ⎞⎜ −⎜⎜ −⎝ ⎠
(2) 2(1),(3) (1)− −
→(3) (2)−
→
28
Esempio (2/2)
1 0 1 | 1 0 00 1 3 | 2 1 00 0 1 | 1 1 1
−⎛ ⎞⎜ −⎜⎜ − −⎝ ⎠
1 0 0 | 0 1 10 1 0 | 1 2 30 0 1 | 1 1 1
−⎛ ⎞⎜ −⎜⎜ − −⎝ ⎠
(1) (3),(2 ) 3(3)− +
→
1
0 1 1Dunque e 1 2 3 .
1 1 1nA GL A−
−⎛ ⎞⎜ ⎟∈ = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 15
Matrici invertibili
30
Sistemi quadrati (1/3)
Se S : AX = B è un sistema con matrice dei coefficienti A quadrata di ordine n, diciamo che S è un sistema quadrato. Esempio
cioè1
: 2 02
− =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
x zS x y z
x y z
1 0 1 1: 2 1 1 0
1 1 1 2
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xS y
z
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 16
31
Sistemi quadrati (2/3)
Osserviamo ora che la matrice A dei coefficienti del sistema S : AX = B precedente è invertibile e che
Se X0 è soluzione di S allora AX0 = B, quindi necessariamente X0 = A-1B. Viceversa A-1B èsoluzione di S.
1
0 1 11 2 31 1 1
−
−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
A
32
Sistemi quadrati (3/3)
Dunque S è determinato e l’unica soluzione è data da
Le considerazioni ora fatte ci portano al seguente teorema:
0 1 1 1 21 2 3 0 71 1 1 2 3
− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Matrici e sistemi Matrici invertibili
© 2006 Politecnico di Torino 17
33
Teorema di Cramer
Sia A ∈ Mn. A è invertibile se e solo se per ogni B∈ il sistema quadrato AX = B è determinato. In tal caso l’unica soluzione X0 ∈ di S è data da X0 = A-1B.
nKnK