Upload
miodrag-hrenek
View
800
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
4
МЕТОДОЛОГИЈА
РЕШАВАЊА ЗАДАТАКА МАТРИЧНОМ АНАЛИЗОМ КОНСТРУКЦИЈА
Прорачун носача у равни – 2Д прорачунских модела:
• Статичка и кинематичка класификација носача – задатак статике конструкција у равни.
• Класификација штапова – штап типа "к", "г","с",
• Дефинисање локалног координатног система.
• Дефинисање глобалног координатног система,
• Срачунавање матрице крутости штапа у локалном координатном систему [ ] [ ]⎡ ⎤⎣ ⎦k g sk , k , k ,
• Одређивање елемената матрице трансформације за сваки штап носача: [ ]λ µ →, , T ,
• Превођење матрице крутости штапа из локалног у глобални координатни систем:
[ ] [ ]k̂ k T⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ ,
односно: [ ]T ˆk T k∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦⎣ ⎦
• Срачунавање глобалне матрице крутости система:
∗ ∗∗
∗ ∗
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
ss so
os oo
K KK
K K
• Срачунавање еквивалентног оптерећења по штапу у локалном систему: [ ]Q
• Трансформација еквивалентно оптерећења по штапу у глобалном систему: [ ] [ ]TQ T Q∗⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦
• Срачунавање вектора еквивалентног чворног оптерећења: P∗⎡ ⎤⎣ ⎦
• Вектор еквивалентног оптерећења система у глобалном систему: S Q P∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Срачунавање померања чворова и реакција ослонаца:
∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦K q S
Или, у проширеном облику:
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ss so s s
os oo o o
K K q S
K K q S,
Односно,
ss s so o sK q K q S∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ + ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
os s oo o oK q K q S∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ + ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Срачунавање непознатих компоненти померања чворова:
−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1
s ss sq K S
• Срачунавање пресечних сила на крајевима штапова:
∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦i i i iˆR k q Q
• Срачунавање реакција у ослонцима:
o os s oR K q Q∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
5
ОПШТИ ПРИМЕР
За приказани носач на скици примењује се методологија матричне анализе конструкција, на
следећи начин.
L L L1 2 3
P
E ,F ,l 1 1 1 E ,F ,l 2 2 2 E ,F ,l 3 3 3
a b
• Дискретизација (подела) носача
У овом примеру носач је подељен на три коначна елемента исте дужине.
Први коначни елемент има матрицу крутости у локалном координатном систему у функцији:
• 1E – модула еластичности,
• 1F – површине попречног пресека,
• 1I – момента инерције,
• 1L – дужине штапа.
Или, математички исказано у облику:
( )= ⎡ ⎤⎣ ⎦1 1 1 1 1K K f E , F , I , L
Аналогно овоме, имамо за остала два коначна елемента да је:
( )= ⎡ ⎤⎣ ⎦2 2 2 2 2K K f E , F , I , L
( )= ⎡ ⎤⎣ ⎦3 3 3 3 3K K f E , F , I , L
• Избор генералисаних померања (позната и непозната померања)
q1
q2q3
q4
q5q6
q7
q8q9
q10
q11q12
a b
• Матрични облик једначине целог система гласи:
{ }⋅ = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦K q Q P , или
[P] =
P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P 9P 10P 11P 12
[K] = [Q] =
Q1Q2Q3Q4Q5Q6Q7Q8Q9Q10Q11Q12
[q]=
q1q2q3q4q5q6q7q8q9q10q11q12
Матрица крутости система у глобалном
координатном систему (формат матрице одговара највећем броју
генералисаног померања).
Вектор непознатих и познатих померања.
Вектор еквивалентног оптерећења по
штапу.
Вектор еквивалентног оптерећења у чворовима.
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
6
Начин формирања матрице крутости система штапова у глобалном координатном систему, са
појединачним учешћем матрица крутости, корак по корак.
Први коначни елемент:
q1
q2q3
q4
q5q6
q7
q8q9
q10
q11q12
a b
Форма и структура матрице крутости првог штапа у глобалној матрици крутости система:
K =
K1
*
Други коначни елемент:
q1
q2q3
q4
q5q6
q7
q8q9
q10
q11q12
a b
Форма и структура матрице крутости другог штапа у глобалној матрици крутости система:
K1
K2
K =*
Трећи коначни елемент:
q1
q2q3
q4
q5q6
q7
q8q9
q10
q11q12
a b
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
7
Форма и структура матрице крутости трећег штапа у глобалној матрици крутости система:
K1
K2
K3
K =*
• Вектор еквивалентног оптерећења система:
∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦S Q P
Q1
Q2Q 3
Q4
Q5Q6
Q7
Q8Q9
Q10
Q11Q12
P
a b
Еквивалентно оптерећење у правцу претпостављених генералисаних померања је:
= = = = =4 5 6 7 9Q Q Q Q Q 0 ,
= −8Q P ,
односно: = = −8 8Q P P
Компоненте вектора померања система – позната померања су:
= = = = = =1 2 3 10 11 12q q q q q q 0
Остале компоненте вектора непознатих померања срачунавају се из познате матричне једначине:
∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ss ss ssK q S
У зависности којем дејству је изложен носач имамо решења за померања од:
• Сталног и повременог оптерећења:
−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1
p,g,s p,g,sq K S
• Деловања температуре:
−∗ ∗ ∗∆ ∆
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1
t, t t, tq K S
• Померања ослонаца и обртања укљештења:
−∗ ∗ ∗δ ϕ δ ϕ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1
, ,q K S
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
8
МАТРИЦЕ КРУТОСТИ ШТАПОВА У ЛОКАЛНОМ КООРДИНАТНОМ СИСТЕМУ
• Конвенција о позитивним смеровима за померања и силе на крајевима штапа:
i k • Штап типа "к"
i k
L
Избор генералисаних померања Пресечне силе на крајевима штапа
q3
q4
q5q6
q1
q2
Li k
Q2Q3
Q4
Q5Q6
Q1
Li k
Успостављена је веза између генералисаних померања и сила на крајевима штапа преко
матрице крутости штапа:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
11 12 13 14 15 16 1 1
21 22 23 24 25 26 2 2
31 32 33 34 35 36 3 3
41 42 43 44 45 46 4 4
51 52 53 54 55 56 5 5
61 62 63 64 65 66 6 6
i kk k k k k k q Qk k k k k k q Qik k k k k k q Q
k q Qk k k k k k q Qk k k k k k q Qkk k k k k k q Q
⎤⎥⎥⎥⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦
• Аксијално напрезање:
1
2
q ,Qq ,Q
Q
Q
q =1
E,F,I,L
1
1
1 1 4 4
1
a b
a b
1 – недеформисан штап
2 – деформисан штап
Матрична једначина у општем облику је:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 13 14 15 16 1 1
22 23 24 25 26 2 2
33 34 35 36 3 3
44 45 46 4 4
55 56 5 5
66 6 6
k k k k k k q Qk k k k k q Q
k k k k q Qk k k q Q
k k q Qсим. k q Q
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
9
Ако је =1q 1.0 матрична једначина је:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 13 14 15 16 1 11
21 22 23 24 25 26 2 21
31 32 33 34 35 36 3 31
41 42 43 44 45 46 4 4
51 52 53 54 55 56 5
61 62 63 64 65 66 6
k k k k k k Q k1k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q0k k k k k k Q0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
2
3
1 4
51 5
61 6
Q EF LQ 0Q 0Q EF L
k Q 0k Q 0
Ако је =4q 1.0матрична једначина је:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 13 14 15 16 1 14
21 22 23 24 25 26 2 24
31 32 33 34 35 36 3 34
41 42 43 44 45 46 4 4
51 52 53 54 55 56 5
61 62 63 64 65 66 6
k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q k1k k k k k k Q0k k k k k k Q0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
2
3
4 4
54 5
64 6
Q EF LQ 0Q 0Q EF L
k Q 0k Q 0
• Савијање штапа у равни:
Имамо:
Генералисана померања: Силе на крајевима штапа:
q3
q5q6
q2
L
i k
Q2Q3
Q5Q6
Li k
Ако је =2q 1.0 ,
1.0
R Ri k
Mi
Mk
i k
1
Q
Q
U =12
E,F,I,L
2
5
2
Q3 Q6
i k
Реакције на крајевима штапа су:
k i 312EIR R
L= − = − , ⋅ ⋅
= −i 26 E IM
L, ⋅ ⋅
=k 26 E IM
L
Матрична једначина је:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 13 14 15 16 1 12
21 22 23 24 25 26 2 22
31 32 33 34 35 36 3 32
41 42 43 44 45 46 4 4
51 52 53 54 55 56 5
61 62 63 64 65 66 6
k k k k k k Q k0k k k k k k Q k1k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q0k k k k k k Q0
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
1
22
3
2 4
52 5
62 6 2
0Q
12EI LQQ 6EI LQ 0
k Q 12EI Lk Q
6EI L
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
10
Ако је =3q 1.0 ,
Mk
RkRi
Mi
.1
i k
2
E,F,I,L 1
. Q6
Q5
Q2
Q3
q =13
i k
Реакције на крајевима штапа су:
k i 26EIR RL
= − = ; ⋅ ⋅=i
4 E IML
; ⋅ ⋅= −k
2 E IML
Матрична једначина је:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 13 14 15 16 1 13
21 22 23 24 25 26 2 23
31 32 33 34 35 36 3 33
41 42 43 44 45 46 4 4
51 52 53 54 55 56 5
61 62 63 64 65 66 6
k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q k1k k k k k k Q k0k k k k k k Q0k k k k k k Q0
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
12
2
3
3 4
253 5
63 6
0Q
6EI LQ4EI LQ
Q 0k Q 6EI Lk Q 2EI L
Ако је =5q 1.0 ,
1.0
R Ri k
Mk
Mi
i k
Реакције на крајевима штапа су:
⋅ ⋅= − = −k i 3
12 E IR RL
, ⋅ ⋅=i 2
6 E IML
, ⋅ ⋅= −k 2
6 E IML
Матрична једначина је:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 13 14 15 16 1 15
21 22 23 24 25 26 2 25
31 32 33 34 35 36 3 35
41 42 43 44 45 46 4 4
51 52 53 54 55 56 5
61 62 63 64 65 66 6
k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q1k k k k k k Q0
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦
1
22
3
5 4
55 5
65 6 2
0Q
12EI LQQ 6EI LQ 0
k Q 12EI Lk Q
6EI L
Ако је =6q 1.0 ,
.
Ri
MkMi
Rk
1i k
Реакције на крајевима штапа су:
k i 26EIR RL
= − = ; ⋅ ⋅= −i
2 E IML
, ⋅ ⋅=k
4 E IML
;
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
11
Матрична једначина је:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 13 14 15 16 1 16
21 22 23 24 25 26 2 26
31 32 33 34 35 36 3 36
41 42 43 44 45 46 4 4
51 52 53 54 55 56 5
61 62 63 64 65 66 6
k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q k0k k k k k k Q0k k k k k k Q1
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
12
2
3
6 4
256 5
66 6
0Q
6EI LQ2EI LQ
Q 0k Q 6EI Lk Q 4EI L
Према томе, суперпозицијом матрице крутости за аксијално напрезање и матрице крутости за
савијање долазимо до матрице крутости штапа у равни.
• Штап типа "к": EI const.=
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥
− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎣ ⎦
3 2 3 2
2 2
k
3 2 3 2
2 2
EF L 0 0 EF L 0 0
0 012EI L 6EI L 12EI L 6EI L0 4EI L 0 2EI L6EI L 6EI L
kEF L 0 0 EF L 0 0
0 012EI L 6EI L 12EI L 6EI L0 2EI L 0 4EI L6EI L 6EI L
Матрица трансформације штапа типа "к":
[ ]
λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥
⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
k
0 0 0 00 0 0 0
0 0 1 0 0 0T
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 1
Где је:
k i
ik
x xL−
λ = ; k i
ik
y yL−
µ =
Ако је EI const.≠ матрица крутости је:
[ ]
⎡ −⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢⎢ + +
−⎢⎢⎢⎢ −⎢
= ⋅ ⋅ ⎢⎢−⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢
+ +⎢ − − −⎢⎢⎢
−⎢⎣
c ik c ik
ik ki ik ik ki ki2 2
ik ikik ik
ik ikik ik
ik ikk c
c ik c ik
ik ki ik ik ki ki2 2
ik ikik ik
ki kiik ik
ik ik
F F0 0 0 02 I L 2 I L
(c c ) c (c c ) c0 0L LL L
c c0 a 0 bL L
k 2 EIF F0 0 0 0
2 I L 2 I L(c c ) c (c c ) c0 0
L LL Lc c0 b 0 aL L
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
12
• Штап типа "г" : EI const.= , укљештење на левом крају штапа:
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦
3 2 3
2 2g
3 2 3
EF L 0 0 EF /L 0
0 03EI L 3EI /L 3EI L0 3EI /L 0k 3EI /L 3EI /L
EF /L 0 0 EF /L 0
0 03EI L 3EI /L 3EI L
Матрица трансформације штапа типа "г":
λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥
⎢ ⎥−µ λ⎣ ⎦
g
0 0 00 0 0
T 0 0 1 0 00 0 00 0 0
Ако је EI const.≠ матрица крутости је:
⎡ ⎤−⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ −= ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
c ig c ig
ig ig ig2 2
igig ig
ig igigg c
ig ig
c ig c ig
ig ig ig2 2
igig ig
F F0 0 02 I L 2 I L
d d d0 0
LL L
d d0 d 0k 2 EI
L L
F F0 0 02 I L 2 I L
d d d0 0
LL L
• укљештење на десном крају штапа EI const.=
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤ −= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
3 3 2
g3 3 2
2 2
EF L 0 EF L 0 0
0 03EI L 3EI L 3EI LEF L 0 EF L 0 0k
0 03EI L 3EI L 3EI L0 0 3EI L3EI L 3EI L
Ако је EI const.≠ матрица крутости је:
c ig c ig
ig ig ig2 2
igig ig
g cc ig c ig
ig ig ig2 2
igig ig
ig igig
ig ig
F F0 0 02 I L 2 I L
d d d0 0
LL L
F F0 0 0k 2 EI 2 I L 2 I L
d d d0 0
LL L
d d0 0 d
L L
⎡ ⎤−⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
13
• Штап типа "с": EI const.= : L – цела дужина штапа
[ ]
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
s s
s s s
s
s
EF /L 0 0 EF /L 00 0 0 0
k EI /L 0 EI /LEF /L 0
сим. EI / L
[ ]s
2 EF 0 0L
k 0 0 02 EI0 0
L
⋅⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ако је EI const.≠ матрица крутости је:
[ ]c s
s c
c s
F 0 0I L
k 2 EI 0 0 0I0 0
I L
⎡ ⎤⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎣ ⎦
Пошто се вредности померања добијају за чворове, да бих имали вредности између њих,
претпостављају се функција померања дужином штапа за појединачна генералисана померања у
облику полинома – слика 1.
q3
q4
q5q6
q1
q2
L
X
i k
2
1
( ) ( )( )
⎡ ⎤ωω = ⎢ ⎥
ω⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
xx
x
( ) ( )ω = ⋅x N x q
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
3
4
5
6
qqq
qqqq
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
1 4
2 3 5 6
0 0 0 0N x N xN x 0 0N x N x N x N x
3 d Nd x =13
xx
LL
11N
12N
13N
14N
15N
6Nd Nd x =1
1xN 1L
= −
2 3
2 2 3x xN 1 3 2L L
= − ⋅ + ⋅
2
3 3x xN x 1 2L L
⎛ ⎞= ⎜ − ⋅ + ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
=4xNL
⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
5 2x xN 3 2
LL
⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
6x xN 1L L
Слика 1 – Интерполационе функције
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
14
ПРИМЕР – 01
За штап типа "г" срачунати матрицу крутости штапа у локалном координатном систему:
• директним поступком, и
• преко базне или основне матрице, ако је =b / h 0.20 / 0.30m , = ⋅ 7 2E 3 10 kN/ m , =EI const.
y
x
15.0
2
a
a
Директним поступком:
• Компоненте генералисаних померања • Конвенција:
3
45
1
2
1 2
+
• Прва колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:
За дејство од померања: Реакције [kN, kNm]
1 2
q =1.01
5.0
360000
3600000 0
0
360000
3600000 0
0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
11
12
13
14
15
k 360000k 0k 360000k 0k 0
Пресечне силе [kN, kNm] • Друга колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:
За дејство од померања: Реакције [kN, kNm]
1 2
q =1.02
5.0
0
0324
1620
324
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
15
0
0324
1620
324
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
21
22
23
24
25
k 0k 324k 0k 324k 1620
Пресечне силе [kN, kNm]
• Трећа колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:
За дејство од померања: Реакције [kN, kNm]
1 2
q =1.03
5.0
360000
3600000 0
0
360000
3600000 0
0
⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
31
32
33
34
35
k 360000k 0k 360000k 0k 0
Пресечне силе [kN, kNm] • Четврта колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:
За дејство од померања: Реакције [kN, kNm]
1 2
q =1.04
5.0
0
0324
1620
324
0
0324
1620
324
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦
41
42
43
44
45
k 0k 324k 0k 324k 1620
Пресечне силе [kN, kNm]
• Пета колона и/или врста матрице крутости добијена директним поступком је:
За дејство од обртања укљештења: Реакције [kN, kNm]
1 2
q =1.05
5.0
0
0
8100
16201620
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
16
1620
0
0
8100
1620
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
51
52
53
54
55
k 0k 1620k 0k 1620k 8100
Пресечне силе [kN, kNm]
• На основу тога, матрица крутости штапа у локалном координатном систему је:
⎡ ⎤⋅ − ⋅⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = − ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
4 4
4 4g
1 2 3 4 50 0 0 136 10 36 10
0 324 0 324 1620 20 0 0k 336 10 36 10
0 324 0 324 1620 40 1620 0 1620 8100 5
Матрица крутости штапа преко основне или базне матрице:
5.0
1.0
1.0
5.0
1 2
M
N
2
L
[m]
[kN]
[kNm]
L
[m]
I
( )⋅ δ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =∫ 2 II12
s
IEI N ds 0.0075 1.0 1.0 5.0 0.0375F
⋅ α = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =∫ 2 I12 2
s
1EI M ds 1.0 1.0 5.0 1.663
&
= α ⋅α −β = ⋅ − =212 21 12D 1.66 1.66 0 2.78& &
Елементи базне матрице:
= =⋅ δ12
1 1 26.66EI 0.0375
&
α= = =12
211.66a 0.60
D 2.78
&
Матрична релација је:
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − =⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Tg 0
1 0 00 0.20 0.20
26.66 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1k C k C 0 0 0 0 0.20 0 0 0.20 01 0 0 EI
0 0 0.60 0 0.20 0 0 0.20 10 0.20 0.200 0 1
&
Одакле следи матрица крутости штапа добијена на основу базне матрице.
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
g
1 2 3 4 5360000 0 0 360000 0 0 1
0 324 0 0 324 1620 20 0 0 0 0 0
k360000 0 0 360000 0 0 3
0 324 0 0 324 1620 40 1620 0 0 1620 8100 5
Ако се смањи ред овој матрици, тј. бришемо трећу врсту и трећу колону имамо идентичну
матрицу као што смо добили директним поступком, што је и био циљ у овом примеру.
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
17
ПРИМЕР – 02
За штап променљивог попречног пресека као на скици срачунати матрицу крутости у локалном
координатном систему занемарујући утицај нормалних сила на деформацију.
4I 2 I
4.0 4.0
1
y
x
• Избор генералисаних померања:
1 4
1
23
1
56
• Решење преко основне или базне матрице:
L
[m]
[kNm]
[kNm]
L
[m]
I
4.0 4.0
1.0
1.0
0.5
0.5
4.0 1.6815
1 4
M
M1
4
( ) ( )⎡ ⎤α = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =⎣ ⎦∫ I14 1 1
s
1 1M M ds 1 2 1 0.5 0.5 1 2 0.5 4.0 0.5 0.5 1.6815 2.476 3
( ) ( )⎡ ⎤α = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ =⎣ ⎦∫ I41 4 4
s
1 1M M ds 0.5 0.5 4.0 1 2 1 0.5 0.5 1 2 0.5 1.6815 1.313 6
( ) ( )β = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =∫ I41 1 4
s
1 1M M ds 0.5 1 2 0.5 4.0 0.5 1 2 0.5 1.6815 0.956 6
= α ⋅α −β = ⋅ − =2 214 41 14D 2.47 1.31 0.95 2.33
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
18
Базна или основна матрица:
δ⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
14
0 14 14
41 41
1/ 0 0k 0 a b
0 b a
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
i
i
i
k
k
k
N T MN1 0 0T0 1 L 1 LM0 0 1
CN1 0 0T0 1 L 1 LM0 0 1
L=8.0m – укупна дужина штапа
• Потребни елементи базне матрице:
α= = =14
412.47a 1.06
D 2.33
α= = =41
141.31a 0.56
D 2.33
β= = =41
140.95b 0.41
D 2.33
Пошто су нормалне силе занемарене на деформацију, тада њима припадајуће врсте и колоне у
матрицама [ ]C и [ ]0k се бришу, па имамо да је;
= ⋅ ⋅⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦T
0k C k C
⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ −− − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ T
0k CC
0.125 0.1250.56 0.41 0.125 1 0.125 01 0
k 0.41 1.06 0.125 0 0.125 10.125 0.1250 1
1442443 14444244443
144424443
• Матрица крутости задатог штапа променљивог попречног пресека у локалном координатном
систему је:
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
2 3 5 60.0381 0.1212 0.0381 0.1838 20.1212 0.5600 0.1212 0.4100 3
k0.0381 0.1212 0.0381 0.1838 5
0.1838 0.4100 0.1838 1.0600 6
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
19
ПРИМЕР – 03
За штап променљивог попречног пресека као на скици срачунати матрицу крутости у локалном
координатном систему узимајући у обзир утицај нормалних сила на деформацију.
14.0 4.0
y
x2
I, F 2 I, 2F
• Избор генералисаних померања:
1
2
3
45
1 2
• Најпре одредимо пресечне силе:
[kN]
[kNm]
L
[m]
I LII
4.0 4.0
1.0
1.0
0.5
4.0 2.0
1 2
M
N
2
• Матрица крутости штапа преко основне или базне матрице се добија на следећи начин:
( )⋅ δ = ⋅ ⋅ = ⋅ + =∫ 2 IIcc 12
c s
IEI N ds 1.0 4.0 2.0 6.00F
( ) ( )⎡ ⎤⋅ α = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ =⎣ ⎦∫ 2 Ic 12 2
s
1 1EI M ds 0.5 0.5 4.0 1 2 1 0.5 0.5 1 2 0.5 2.0 1.503 6
= α ⋅α −β = ⋅ − =212 21 12D 1.50 1.50 0 2.25
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
20
Базна или основна матрица:
δ⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
12
0 12 12
21 21
1/ 0 0k 0 a b
0 b a
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
i
i
i
k
k
k
N T MN1 0 0T0 1 L 1 LM0 0 0
CN1 0 0T0 1 L 1 LM0 0 1
L=8.0m – укупна дужина штапа
• Елементи базне матрице:
= =⋅ δc 12
1 1 0.167EI 6.00
α= = =12
211.50a 0.667
D 2.25
Матрична релација је:
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − =⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Tg 0
c
1 0 00 0.125 0.125
0.167 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1k C k C 0 0 0 0 0.125 0 0 0.125 01 0 0 EI
0 0 0.667 0 0.125 0 0 0.125 10 0.125 0.1250 0 1
Одакле следи матрица крутости штапа на основу базне матрице:
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
g c
1 2 3 4 50.1670 0 0 0.1670 0 0 1
0 0.0104 0 0 0.0104 0.0833 20 0 0 0 0 0
k EI0.1670 0 0 0.1670 0 0 3
0 0.0104 0 0 0.0104 0.0833 40 0.0833 0 0 0.0833 0.6667 5
Ако се смањи ред матрице, тј. брисањем треће врсте и треће колоне имамо матрицу крутости
штапа променљивог попречног пресека у локалном координатном систему
.
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
g c
1 2 3 4 50.1670 0 0.1670 0 0 1
0.0104 0 0.0104 0.0833 2k EI 0.1670 0 0 3
0.0104 0.0833 4сим. 0.6667 5
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
21
ПРИМЕР – 04
За носач са слике 4.1 са оптерећењем срачунати и нацртати дијаграме пресечних сила узимајући
у обзир утицај нормалних сила на деформацију. E 21000 MPa= .
2.0 kN/m
0.25/0.30
20 kN 30 kN
0.25/0.30
0.25
/0.3
0
0.25
/0.3
0
10 kN
4.0 4.0
4.0
2.0
Слика 4.1 – Геометрија носача са оптерећењем
X
3 1
7
Y
1
23
4
56
10
1112
8
9
1 2
3 4
1 2
4
5
Слика 4.2 – Избор генералисаних померања чворова система
• Укупан број генералисаних померања је 12
• Број непознатих генералисаних померања је 6
• Број ослоначких познатих померања је 6
Непозната генералисана померања су: 1,2,3,4,5,6
Подаци:
Штап i k L (m) А (m2) I (m4) 1 3 1 4.00 0.075 0.000563 2 1 2 4.00 0.075 0.000563 3 1 4 4.00 0.075 0.000563 4 2 5 6.00 0.075 0.000563
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
22
• Матрица крутости штапа у локалном и глобалном координатном систему:
1
23
1
7
31
4.0
[ ]1 1
7 2 3554.20 554.20 2216.81 7
ˆk k k 554.20 2216.81 2сим. 8867.25 3
∗− −⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤= = = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 4.3 – Компоненте померања штапа 1
4
56
1
23
1 2
4.0
Слика 4.4 – Компоненте померања штапа 2 Матрица крутости штапа у локалном и глобалном координатном систему:
[ ]2 2
1 2 3 4 5 6393750 0 0 393750 0 0 1
2216.813 4433.625 0 2216.813 4433.625 211823 0 4433.630 5911.500 3ˆk k k
393750 0 0 42216.813 4433.625 5
сим. 11823 6
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
4.0
9
8
2
13
1 4
Слика 4.5 – Компоненте померања штапа 3 Матрица крутости штапа у локалном и глобалном координатном систему:
[ ]3 3
2 1 3 8 9393750 0 0 393750 0 2
554.200 2216.810 0 554.203 1ˆk k k 8867.250 0 2216.810 3
393750 0 8сим. 554.203 9
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11
1012
5
46
2 5
6.0
Слика 4.6 – Компоненте померања штапа 4
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
23
Матрица крутости штапа у локалном и глобалном координатном систему:
[ ]4 4
5 4 6 11 10 12262500 0 0 262500 0 0 5
656.833 1970.500 0 656.830 1970.500 47882 0 1970.500 3941 6ˆk k k
262500 0 0 11656.830 1970.500 10
сим. 7882 12
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Матрица крутости у глобалном координатном систему је:
ss so
os oo
K KK
K K
∗ ∗∗
∗ ∗
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања ∗⎡ ⎤⎣ ⎦ssK :
ss
1 2 3 4 5 63943304.20 0 2216.81 393750.00 0 0 1
396521.02 2216.81 0 2216.81 4433.63 229557.50 0 4433.63 5911.50 3
K394406.83 0 1970.50 4
264716.81 4433.63 5сим. 19705.00 6
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Подматрица матрице крутости система ∗⎡ ⎤⎣ ⎦soK
so
7 8 9 10 11 120 554.20 0 0 0 0 1
554.20 0 393750 0 0 0 22216.81 2216.81 0 0 0 0 3
K0 0 0 656.83 0 1970.50 40 0 0 0 262500 0 50 0 0 1970.50 0 3941 6
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
Подматрица матрице крутости система ∗⎡ ⎤⎣ ⎦osK :
os
1 2 3 4 5 60 554.20 2216.81 0 0 0 7
554.20 0 2216.81 0 0 0 80 393750 0 0 0 0 9
K0 0 0 656.83 0 1970.50 100 0 0 0 262500 0 110 0 0 1970.50 0 3941 12
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Подматрица матрице крутости система ∗⎡ ⎤⎣ ⎦ooK
oo
7 8 9 10 11 12554.20 0 0 0 0 0 7
554.20 0 0 0 0 8393750 0 0 0 9
K656.83 0 1970.50 10
262500 0 11сим. 7882.00 12
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
24
• Вектор еквивалентног оптерећења:
3020
10 kN
2.0 kN/m
4.0
1 2
4
56
1
23
1 2
Реакције ослонаца:
2.66
4.0
2.66
4.0
[ ]2 2
0 14.00 22.66 3
Q Q0 4
4.00 52.66 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
&
&
Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења:
2.66 2.66
4.0 4.0
2
10 120 20 3
P0 430 50 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 4.7 – Еквивалентно оптерећење штапа 2
Укупни вектор еквивалентног система за непозната генералисана померања:
• по штаповима: • чворно оптерећење: • Укупни вектор
s
0 14.00 22.66 3
Q0 4
4.00 52.66 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
&
&
s
10 120 20 3
P0 430 50 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
s s sS Q P∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s
10 124 2
2.66 3S
0 434 5
2.66 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
&
&
• Непозната генералисана померања су:
1s ss sq K S
−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
s
0.0109 10.000049 20.000779 3
q0.010886 40.000154 50.000743 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
Реакције ослонаца:
[ ]0 os sR K q∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ]0
1.699 74.314 8
19.294 9R
5.686 1040.514 1118.523 12
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
25
• Срачунавање сила на крајевима штапова:
i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 1:
[ ]1 1
0 0 1.699 7ˆR k 0.000049 0 1.699 2
0.000779 0 6.799 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 2:
[ ]2 2
0.0109 0 5.686 10.000049 4.0 2.514 20.000779 2.66 10.464 3ˆR k
0.010886 0 5.686 40.000154 4.0 10.514 50.000743 2.66 15.59 6
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
&
&
Штап 3:
[ ]3 3
0.000049 0 19.294 20.0109 0 4.314 1
ˆR k 0.000779 0 17.256 30 0 19.294 80 0 4.314 9
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =−⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 4:
[ ]4 4
0.000154 0 40.514 50.010886 0 5.686 40.000743 0 15.595 6ˆR k
0 0 40.514 110 0 5.686 100 0 18.523 12
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Дијаграми пресечних утицаја:
17.256
6.799
10.646
15.590
18.523
4.0
Слика 4.8 – Дијаграм момената савијања [kNm]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
26
1.6992.514
10.514
5.686
4.314
Слика 4.9 – Дијаграм трансверзалних сила [kN]
-10 - 5.686
- 19.
294
- 40.
514
Слика 4.10 – Дијаграм нормалних сила [kN]
1.699
4.314
19.294
40.514
5.686
18.523
Слика 4.11 – Реакције ослонаца [kN]
* * * Контрола резултата * * *
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
27
Слика 4.12 – Tower 5: Дијаграм момента савијања [kNm]
Слика 4.13 – Tower 5: Дијаграм трансверзални сила [kN]
Слика 4.14 – Tower 5: Дијаграм нормални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
33
ПРИМЕР – 06
За носач са слике 6.1 са оптерећењем срачунати и нацртати дијаграме пресечних сила узимајући
у обзир утицај нормалних сила на деформацију.
7 2b / h 0.25 / 0.40m, E 3 10 kN/ m= = ⋅ .
25 kN/m40 kN
4.0
4.0 4.0 2.0
Слика 6.1 – Геометрија носача са оптерећењем
Решење:
X
Y
XY
X
Y
X
Y
2 3
1
Слика 6.2 – Глобални и локални координатни систем штапова
1
23
7
8
5
6
1
4
Слика 6.3 – Избор генералисаних померања чворова система
Непозната генералисана померања су: 1,2,3
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
34
6.0
4 24 2
Слика 6.4 – Шема редуковани дужина штапова [m]
0.176
8 0.1768
Слика 6.5 – Коефицијенти крутости штапова⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
ig Iig
1kL
0.265
17 0.26517
Слика 6.6 – Коефицијенти крутости штапова Iig igd 1.5 L= ⋅
Геометријске карактеристике штапова:
2F b h 0.25 0.40 0.10m= ⋅ = ⋅ =
3 34b h 0.25 0.40I 0.0013m
12 12
⋅⋅ ⋅= = =
C 2 EI= ⋅
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
35
• Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:
5
6
1
23
XY
X
Y
4.0
4.0
.α=45 o
Слика 6.7 – Компоненте померања штапа 2
2
5 6 1 2 36.62913 0 6.62913 0 0 5
0.00829 0 0.00829 0.04688 6k C 6.62913 0 0 1
0.00829 0.04688 2сим. 0.26517 3
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица трансформације штапа:
2
0 0 02 2 2 20 0 02 2 2 2
0 0 0T 2 2 2 20 0 02 2 2 20 0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2
4.6875 4.6875 4.6875 4.6875 00.00586 0.00586 0.00586 0.00586 0.04688
k̂ C 4.6875 4.6875 4.6875 4.6875 00.00586 0.00586 0.00586 0.00586 0.046880.03315 0.03315 0.03315 0.03315 0.26517
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
2
5 6 1 2 33.31871 3.31042 3.31871 3.31042 0.03315 5
3.31871 3.31042 3.31871 0.03315 6k C 3.31871 3.31042 0.03315 1
3.31871 0.03315 2сим. 0.26517 3
∗
− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
36
7
8
1
23
X
Y
X
Y
0315α = Слика 6.8 – Компоненте померања штапа 3
3
1 2 3 7 86.62913 0 0 6.62913 0 1
0.00829 0.04688 0 0.00829 2k C 0.26517 0 0.04688 3
6.62913 0 7сим. 0.00829 8
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица трансформације штапа:
3
0 0 02 2 2 20 0 02 2 2 2
0 0 1 0 0Т0 0 0 2 2 2 20 0 0 2 2 2 2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3
4.6875 4.6875 0 4.6875 4.68750.00586 0.00586 0.04688 0.00586 0.00586
k̂ C 0.03315 0.03315 0.26517 0.03315 0.033154.6875 4.6875 0 4.6875 4.6875
0.00586 0.00586 0.04688 0.00586 0.00586
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
3
1 2 3 7 83.31871 3.31024 0.03315 3.31871 3.31042 1
3.31871 0.03315 3.31042 3.31871 2k C 0.26517 0.03315 0.03315 3
3.31871 3.31042 7сим. 3.31871 8
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
37
• Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања је:
ss
1 2 36.63742 0 0.06630 1
K C 6.63742 0 2сим. 0.53034 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
• Еквивалентно оптерећење:
25 40 kN
7575150
40+75=115
Слика 6.9 – Еквивалентно оптерећење система
Вектор еквивалентног оптерећења по штаповима:
• штап – 1:
1 175 2
Q Q75 4
∗ −⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦
• штап – 2:
2 1Q Q 0∗⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• штап – 3:
3 3Q Q 0∗⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Вектор чворног оптерећења:
sP 40 2∗⎡ ⎤ = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
• Укупни вектор еквивалентног оптерећења система за непозната генералисана померања је:
s s s
0 0 0 1S Q P 75 40 115 2
0 0 0 3
∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = − + − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
38
• Срачунавање непознати померања:
1s ss sq K S
−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
s
0 11q 17.32601 2C
0 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Припадајући вектори померања за поједине штапове:
• штап 2:
2
0 50 6
1q 0 1C
17.32601 20 3
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• штап 3:
3
0 117.32601 2
1q 0 3C
0 70 8
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Срачунавање сила на крајевима штапова:
i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 2:
2 2 2 2
81.216 50.102 6
ˆR k q Q 81.216 10.102 2
0.574 3
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Штап 3:
3 3 3 3
81.216 10.102 2
ˆR k q Q 0.574 381.216 70.102 8
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
39
• Дијаграми пресечних сила:
112.50.574
Слика 6.10 – Дијаграм момената савијања [kNm]
75
75-0.102+0.10
2
Слика 6.11 – Дијаграм трансверзални сила [kN]
-81.216-81.21
6
0.0
Слика 6.12 – Дијаграм нормални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
40
ПРИМЕР – 08
За носач са слике 8.1 услед дејства течности 310kN/ mγ = срачунати и нацртати дијаграме
пресечних сила M,T,N. Носач третирати као равански проблем – 2Д прорачунски модел,
узимајући у обзир утицај нормалних сила на деформацију. 7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .
1 2
6.0 m 6.0 m6.
0 m
12.0 m
111
1 160
70 20 70
1240
1 - 1
3
Слика 8.1 – Геометрија носача са оптерећењем
Y
X
2
1
1F 1.60 0.12 0.192= ⋅ = 2F 0.20 0.40 0.08= ⋅ =
2F 0.192 0.080 0.272m= + =∑
( )1T x 0 ; y 0.06= = =
( )2T x 0 ; y 0.32= =
Слика 8.2 – Геометријске карактеристике попречног пресека
1 1 2 2T
F y F y 0.192 0.06 0.08 0.32y 0.1360.272F
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = =
∑
( )s 3 3x
1I 1.60 0.12 0.2 0.40 0.00129712
= ⋅ ⋅ + ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2px 1 T 1 2 T 2I F y y F y y 0.192 0.136 0.06 0.08 0.136 0.32 0.003817= ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − + ⋅ − =
s p 4x x xI I I 0.001297 0.003817 0.005114m= + = + =
Моделирање оптерећења од течности: kNp H b 10 6.0 1.60 96m
= γ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
9696
Слика 8.3 – Статички систем носача са оптерећењем
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
41
6
7
4
5
1
23
X
Y
XY
X
Y
1
20
1 2
Слика 8.4 – Избор генералисаних померања чворова система
6 2 6 2
Слика 8.5 – Шема редукованих дужина IikL [m]
0.11785 0.117
85
Слика 8.6 – Шема крутости ikk∗⎡ ⎤⎣ ⎦
0.1768 0.176
8
Слика 8.7 – Шема коефицијената крутости igd⎡ ⎤⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
42
• Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:
6 2
1
23
4
5
.
c ig
F 3.13382 EI L
=⋅ ⋅
, ig2ig
d0.0245
L=
ig
ig
d0.02083
L
⋅= , 0315α = , 2sin cos
2− α = α =
Матрица трансформације штапа:
1
0 0 02 2 2 20 0 02 2 2 2
0 0 0Т 2 2 2 20 0 02 2 2 20 0 0 0 1
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 8.8 – Компоненте померања штапа 1
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему је:
1 c
3.1338 0 3.1338 0 00.00245 0 0.00245 0.02083
k 2 EI 3.1338 0 00.00245 0.02083
сим. 0.1768
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 c
2.2159 2.2159 2.2159 2.2159 00.0017 0.0017 0.0017 0.0017 0.0208
k̂ 2 EI 2.2159 2.2159 2.2159 2.2159 00.0017 0.0017 0.0017 0.0017 0.0208
0.0147 0.0147 0.0147 0.0147 0.1768
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
1 c
4 5 1 2 31.5681 1.5657 1.5681 1.5657 0.0147 4
1.5681 1.5657 1.5682 0.0147 5k 2 EI 1.5681 1.5657 0.0147 1
1.5682 0.0147 2сим. 0.1768 3
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
.6
2
6
7
1
23
045α = , 2cos2
α = , 2sin2
α = −
Матрица трансформације штапа:
2
0 0 02 2 2 20 0 02 2 2 2
0 0 1 0 0T0 0 0 2 2 2 20 0 0 2 2 2 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 8.9 – Компоненте померања штапа 2
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
43
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему је:
2 c
3.1338 0 0 3.1338 00.0245 0.02083 0 0.00245
k 2 EI 0.1768 0 0.020833.1338 0
сим. 0.00245
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
2 c
2.2159 2.2159 0 2.2159 2.21590.0017 0.0017 0.02083 0.0017 0.0017
k̂ 2 EI 0.0147 0.01473 0.1768 0.0147 0.01472.2159 2.2159 0 2.2159 2.2159
0.0017 0.0017 0.02083 0.0017 0.0017
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
2 c
1 2 3 6 71.5681 1.5681 0.0147 1.5681 1.5657 1
1.5681 0.0147 1.5657 1.5681 2k 2 EI 0.1768 0.0147 0.0147 3
1.5657 1.5681 6сим. 1.5657 7
∗
− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Вектор еквивалентног оптерећења:
6 2.
1
0
96
460.8
57.6 2
230.4 2 2
10q L 460kNm15⋅
= =M Реакције ослонаца
230.4
230.4
460.8
57.6
57.6
1
0 4557.6 2
0Q 12230.4 2
460.8 3
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
T1 1 1
57.6 457.6 5
Q T Q 230.4 1230.4 2460.8 3
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ =⎡ ⎤ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Реакције у глобалном к.о. систему за формирање вектора оптерећења
Слика 8.10 – Еквивалентно оптерећење штапа 1
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
44
.6
2
2
1
96
460.8
57.6 2
230.4 2
2
12q L 460.8kNm15
− ⋅= = −M Реакције ослонаца
460.8
230.4
230.4
57.6
57.6
2
0 12230 2
460.8Q 30 6
757.6 2
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥−=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
T2 2 1
230.4 1230.4 2
Q T Q 460.8 357.6 657.6 7
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ =⎡ ⎤ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Реакције у глобалном к.о. систему за формирање вектора оптерећења
Слика 8.11 – Еквивалентно оптерећење штапа 2
• Укупни вектор еквивалентног оптерећења за непозната померања:
s 1 2
0 1S Q Q 460.8 2
0 3
∗ ∗ ∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
• Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања:
ss c
1 2 33.1363 0 0.0294 1
K 2 EI 3.1363 0 2сим. 0.3536 3
∗−⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
• Срачунавање непознатих генералисаних померања:
1s ss sq K S
−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s
c
0 11q 146.923 2
2 EI0 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦
• Срачунавање сила на крајевима штапова:
i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
45
Штап 1:
1 1
00 325.57 40 81.71 557.6 2
ˆ 0R k 0 325.57 1146.923 325.58 2230.4 2
460.80 458.64 3
⎡ ⎤ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Штап 2:
2 2
00 325.57 1146.923 325.58 2230.4 2
ˆ 460.8R k 0 458.64 300 325.57 6
0 81.71 757.6 2
⎡ ⎤ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−= ⋅ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
• Дијаграм пресечних сила:
458.64458.64
Слика 8.13 – Дијаграм момената савијања [kNm]
325.58
325.58
81.71
81.71
Слика 8.14 – Дијаграм трансверзални сила [kN]
325.57 325.5
7
Контрола:
325.57
325.57325.57
325.57
1 H 0;=∑
V 0=∑ – задовољено !
Слика 8.15 – Дијаграм нормални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
46
ПРИМЕР – 08
За носач са слике 8.1 са оптерећењем срачунати и нацртати дијаграме пресечних сила M,T,N ако
је узет у обзир утицај нормалних сила на деформацију, 7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .
5.0
5.0
3.0
3
5 6
100 kNm
4
50 kN 60 kN
21 0.3/0.6
20 kN/m
0.3/0.
6
0.3/0.6
0.3/
0.5
6.0
Слика 8.1 – Геометрија носача са оптерећењем
Геометријске карактеристике штапова:
−
−
= ⋅ = → = ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ = → = ⋅ ⋅ = ⋅
3 31,2,3 x
3 34 x
1A 0.3 0.6 0.18 I 0.3 0.6 5.40 10121A 0.3 0.5 0.15 I 0.3 0.5 3.125 10
12
Елементи матрице трансформације:
k i
ik
x xL−
λ = : 1 2 3 45 0 11 5 0 5 11 111.0; 1.0; 0.707; 0
5 6 7.071 5− − − −
λ = = λ = = λ = = − λ = =
k i
ik
y yL−
µ = : 1 2 3 45 5 5 5 0 5 0 50; 0; 0.707; 1.0
5 6 7.071 5− − − −
µ = = µ = = µ = = − µ = = −
Подаци:
штап i k L A I λ µ
1 3 1 5.0 0.18 35.40 10−⋅ 1.0 0
2 1 2 6.0 0.18 35.40 10−⋅ 1.0 0
3 1 4 7.071 0.18 35.40 10−⋅ -0.7071 -0.7071
4 2 5 5.0 0.15 33.125 10−⋅ 0 -1.0
Y
X
1
23
1
7
4
56
10
1112
8
9
5
4
3
1 21 2
34
Слика 3.2 – Избор генералисаних померања чворова система
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
47
• Непозната генералисана померања су: 1,2,3,4,5,6
• Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:
1
23
1
7
31
5.0
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему:
1
7 2 33880 3880 19440 7
k 3880 19440 2сим. 97200 3
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 3.3 – Компоненте померања штапа 1 Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему:
{1 1 11
k̂ k T⎡ ⎤ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦T
1 1 1 1 1ˆk T k k k∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⇒ = ⋅ ⇒ = ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4
56
1
23
1 2
6.0
Слика 3.4 – Компоненте померања штапа 2
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему:
2
1 2 3 4 5 6900000 0 0 900000 0 0 1
9000 27000 0 9000 27000 2108000 0 27000 54000 3
k900000 0 0 4
9000 27000 5сим. 108000 6
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему:
{2 2 21
k̂ k T⎡ ⎤ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦T
2 2 2 2 2ˆk T k k k∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⇒ = ⋅ ⇒ = ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
5.0
5.0
1
23
8
9
1
4
Слика 3.5 – Компоненте померања штапа 3
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
48
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему:
3
763682.65 0 0 763682.65 01374.655 9720.186 0 1374.655
k 68731.44 0 9720.186763682.65 0
сим. 1374.655
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица трансформације:
3
0.7071 0.7071 0 0 00.7071 0.7071 0 0 0
T 0 0 0 0 00 0 0 0.7071 0.70710 0 0 0.7071 0.7071
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
3 3 3k̂ k T⎡ ⎤ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
3
54000 54000 0 54000 54000972.018 972.018 9720.186 972.018 972.018
k̂ 6873.143 6873.143 68731.438 6873.143 6873.14354000 54000 0 54000 54000972.018 972.018 9720.186 972.018 972.018
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему:
T
3 3 3ˆk T k∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
3
1 2 3 8 9382521 381147 6873 382521 381147 1
382521 6873 381147 382521 2k 68731 6873 6873 3
382521 381147 8382521 9
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
5.0
4
56
10
1112
2
5
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему:
4
5 4 6 11 10 12900000 0 0 900000 0 0 5
9000 22500 0 9000 22500 475000 0 22500 37500 6
k900000 0 0 11
9000 22500 10сим. 75000 12
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 3.6 – Компоненте померања штапа 4
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
49
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему:
4 4 4ˆk k k∗⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања:
ss
1 2 3 4 5 61282521 381147 6873 900000 0 0 1
395 409 687 0 9000 27000 2273931 0 27000 54000 3
K909000 0 22500 4
909000 27000 5сим. 183000 6
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Вектор еквивалентног оптерећења:
a3 1 b
50100
30 30
5.0
2
a 33Mb 3M 3 100V 30kN
2L 2 52L⋅
= = = =⋅
b aV V 30kN= − = −
bM 100M 50kNm2 2
= = =
1 1
30 7Q Q 30 2
50 3
∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 3.7 – Еквивалентно оптерећење штапа 1
21
20 kN/m
6060
6060
6.0
1 21 1V V q L 20 6 602 2
= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
2 21
1 1M q L 20 6 6012 12
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
2 1M M 60= − = −
2 2
0 160 260 3
Q Q0 460 5
60 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 3.8 – Еквивалентно оптерећење штапа 2
Вектор еквивалентног оптерећења:
• по штаповима:
∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦s 1 2Q Q Q
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
s
0 130 2
110 3Q
0 460 5
60 6
• у чворовима:
s
0 150 20 3
P0 460 50 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
50
• Укупан вектор еквивалентног оптерећења за непозната померања система је:
s s s
0 180 2
110 3S Q P
0 4120 560 6
∗ ∗ ∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Непозната померања су:
1
s ss sq K S−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
s
0.0035212 10.0036399 20.0006146 3
q0.0034716 40.0001686 50.0005945 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
• Срачунавање сила на крајевима штапова:
i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 1:
1 1 s1 1 1
0 30 32.222 7ˆ ˆR k q Q k 0.0036399 30 32.222 2
0.0006146 50 61.108 3
∗−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − = ⋅ − − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 2:
2 2 s2 2 2
0.0035212 0 44.5870.0036399 60 28.2080.0006146 60 68.152ˆ ˆR k q Q k
0.0034716 0 44.5870.0001686 60 91.793
0.0005945 60 122.794
∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − = ⋅ − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎢ ⎥⎦
Штап 3:
3 3 s3 3ˆR k q Q∗⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3
0
0.0035212 0 63.666 10.0036399 0 0.996 2
k̂ 0.0006146 0 7.044 30 0 63.666 80 0 0.996 9
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
123
Штап 4:
4 4 s4 4ˆR k q Q∗⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4
0
0.0001686 0 151.790 50.0034716 0 44.587 40.0005945 0 122.590 6
k̂0 0 151.790 110 0 44.587 100 0 100.345 12
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
123
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
51
• Дијаграми пресечних сила
100
90
122.794
100.345
7.044
68.152
100
61.108
4.56
Слика 3.9 – Дијаграм момената савијања [kNm]
28.208
44.587
91.793
32.222
+0.996
Слика 3.10 – Дијаграм трансверзални сила [kN]
-44.587
-63.66
6
-151
.790
Слика 3.11 – Дијаграм нормални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
52
ПРИМЕР – 09
За носач са слике 9.1 са оптерећењем срачунати и нацртати дијаграме пресечних сила M,T,N ако
је утицај нормалних сила занемарен на деформацију, 7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .
5.0
5.0
3.0
3
5 6
100 kNm
4
50 kN 60 kN
21 0.3/0.6
20 kN/m
0.3/0.
6
0.3/0.6
0.3/
0.5
6.0
Слика 9.1 – Геометрија носача са оптерећењем
Геометријске карактеристике штапова:
3 31,2,3 x
3 34 x
1A 0.3 0.6 0.18 I 0.3 0.6 5.40 1012
1A 0.3 0.5 0.15 I 0.3 0.5 3.125 1012
−
−
= ⋅ = → = ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ = → = ⋅ ⋅ = ⋅
Елементи матрице трансформације:
k i
ik
x xL−
λ = : 1 2 3 45 0 11 5 0 5 11 111.0; 1.0; 0.707; 0
5 6 7.071 5− − − −
λ = = λ = = λ = = − λ = =
k i
ik
y yL−
µ = : 1 2 3 45 5 5 5 0 5 0 50; 0; 0.707; 1.0
5 6 7.071 5− − − −
µ = = µ = = µ = = − µ = = −
Подаци:
штап i k L A I λ µ
1 3 1 5.0 0.18 35.40 10−⋅ 1.0 0
2 1 2 6.0 0.18 35.40 10−⋅ 1.0 0
3 1 4 7.071 0.18 35.40 10−⋅ -0.7071 -0.7071
4 2 5 5.0 0.15 33.125 10−⋅ 0 -1.0
Y
X
1
23
1
6
1
54
9
510
7
8
5
4
3
1 21 2
34
Слика 9.2 – Избор генералисаних померања чворова система
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
53
• Непозната генералисана померања су: 1,2,3,4
• Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:
1
23
1
6
31
5.0
1
6 2 33888 3888 19 440 6
k 3888 19 440 2сим. 97200 3
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 1ˆk k k∗⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Слика 9.3 – Компоненте померања штапа 1
1
54
1
23
1 2
6.0
2
2 3 5 49000 27000 9000 27000 2
108000 27000 54000 3k
9000 27000 5сим. 108000 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2 2ˆk k k∗⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Слика 9.4 – Компоненте померања штапа 2
5.0
5.0
1
23
7
8
1
4
3
2 3 81374.65 9720.18 1374.65 2
k 68731.44 9720.18 3сим. 1374.65 8
−⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица трансформације:
3
N0.7071 0.7071 0 0 0
T 0 0 1 0 0
0 0 0 0.7071 0.7071
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
TM
NT
Слика 9.5 – Компоненте померања штапа 3
3 3 3
972 972 9720 972 972k̂ k T 6873 6873 68731 6873 6873
972 972 9720 972 972
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ = − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему:
T3 3 3
1 2 3 7 8687 687 6873 687 687 1
687 6873 687 687 2ˆk T k 68731 6873 6873 3
687 687 7сим. 687 8
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ = −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
54
5.0
1
54
9
510
2
5
Матрица крутости штапа у локалном и глобалном
координатном систему:
4 4 4
1 4 9 109000 22500 9000 22500 1
75000 22500 37500 4ˆk k k9000 22500 9
сим. 75000 10
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 9.6 – Компоненте померања штапа 4 • Подматрица матрице крутости система у непозната генералисана померања:
ss
1 2 3 49687 687 6873 22500 1
13575 687 27000 2K
273931 54000 3сим. 183000 4
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Вектори еквивалентног оптерећења:
3 1
100
5.0
1
23
1
6
30 30
50
Реакције ослонаца: Смер реакција за формирање вектора еквивалентног оптерећења:
50
30
30
1 1
30 6Q Q 30 2
50 3
∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 9.7 – Еквивалентно оптерећење штапа 1
21
20 kN/m
6050
6.0
6060
6060
Реакције ослонаца: Смер реакција за формирање вектора еквивалентног оптерећења:
6060
6060
2 2
60 260 3
Q Q60 5
60 4
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 9.8 – Еквивалентно оптерећење штапа 2
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
55
• Вектор еквивалентног оптерећења система за непозната генералисана померања:
• по штапу:
s 1 2
0 130 2
Q Q Q110 360 4
∗ ∗ ∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• у чворовима:
s
0 150 2
P0 30 4
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Укупни вектор еквивалентног оптерећења система:
s s s
0 180 2
S Q P110 360 4
∗ ∗ ∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Срачунавање непознатих генералисаних померања:
1
s ss sq K S−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
s
0.0034408 10.0035593 2
q0.0005983 3
0.0006073 4
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Срачунавање сила на крајевима штапова:
i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 1:
1 1
0 30 32.208 6ˆR k 0.0035593 30 32.208 2
0.0005983 50 61.038 3
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 2:
2 2
0.0035593 60 28.209 20.0005983 60 67.923 3ˆR k
0 60 91.791 50.0006073 60 122.821 4
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 3:
3 3
0.00344080.989 10.0035593
ˆR k 6.990 20.00059830.989 30
0
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ =⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Штап 4:
4 4
0.0034408 44.631 10.0006073 122.966 4ˆR k
0 44.631 90 100.192 10
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
56
• Дијаграми пресечних сила:
100
90
122.821
100.192
6.990
67.923
100
61.038
4.589
Слика 9.9 – Дијаграм момената савијања [kNm]
28.209
44.631
91.791
32.208
+0.989
Слика 9.10 – Дијаграм трансверзалних сила [kN]
-44.631
-64.08
7
-151
.791
Слика 9.11 – Дијаграм нормални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
57
ПРИМЕР – 10
На слици 10.1 је приказан носач који је састављен од три штапа. Хоризонтални штапови су
константног попречног пресека b/h=0.20/0.50 m, док је коси штап са линеарном променом висине.
Одредити силе на крајевима штапова и реакције ослонаца услед деловања:
1. задатог оптерећења,
2. температуре у оси штапова 2 и 3 од 0t 30 C= ,
3. температурне разлике дуж штапа 2 од 0t 40 10 30 C∆ = − = ,
4. обртања укљештења у чвору 3 за Iu 3ϕ = . 7 5
t2 0kN 1E 3 10 , 10m C
−= ⋅ α =
20 kN/m
0.5h
1.0h
3'
3.0
3
1 32
1
4
2
4.0 3.0 3.0
Слика 10.1 – Геометрија носача са оптерећењем
3
1 21
4
2 3
1
4
1
23
7
89
5
6
Y
X
Слика 10.2 – Избор генералисаних померања чворова система
Непозната генералисана померања су: 1,2,3
Подаци:
штап i k L λ µ 1 1 2 4.0 -1.0 0 2 1 3 6.0 1.0 0 3 1 4 5.0 -0.8 -0.6
Усваја се да је:
ch h 0.5m= = ,
33 2 2
2c c c
cc c
b hI b h h 0.5 F12 0.0208m 48.08b hF 12 b h 12 12 I
1
⋅⋅
= = = = = ⇒ =⋅ ⋅ ⋅
7 6cEF 0.2 0.5 3 10 3 10= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ,
37 4
c0.2 0.5EI 3 10 6.25 10
12⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
58
• Елементи матрице трансформацуја штапова из локалног у глобални координатни систем:
k i1 2 3
ik
x x 0 4 10 4 0 4; 1.0; 1.0; 0.8L 4 6 5− − − −
λ = λ = = − λ = = λ = = −
k i1 2 3
ik
y y 3 3 0 3; 0; 0 ; 0.6L 4 5− − −
µ = µ = = µ = µ = = −
• Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:
1
4
1
23
1
4.0
1 2 3 1
1 c
4
10.04688 0.1875 0.04688
k EI 0.75 0.1875
сим. 0.04688
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
23
14
Слика 10.3 – Компоненте померања штапа 1
Матрица трансформације штапа:
1 2 3 1
g
4
0 0 0 10 0 0
T 0 0 1 0 00 0 00 0 0
λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥
⎢ ⎥−µ λ⎣ ⎦
23
14
1
2 3 41 0 0 2
T 0 1 0 30 0 1 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 1 1 c
2 3 40.04688 0.1875 0.04688 2
k̂ k T EI 0.1875 0.75 0.1875 30.04688 0.1875 0.04688 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ = ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
T1 1 1 c
2 3 40.04688 0.1875 0.04688 2
ˆk T k EI 0.75 0.1875 3сим. 0.04688 4
∗− −⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
7
89
2
6.0
3
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему:
2 c
1 2 3 7 8 98.0 0 0 8.0 0 0 1
0.0555 0.1666 0 0.0555 0.1666 20.6666 0 0.1666 0.3333 3
k EI8.0 0 0 7
0.0555 0.1666 8сим. 0.6666 9
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−
= ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.4 – Компоненте померања штапа 2
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
59
Матрица трансформације штапа:
k
1 2 3 7 8 90 0 0 0 10 0 0 0 2
0 0 1 0 0 0 3T
0 0 0 0 70 0 0 0 80 0 0 0 0 1 9
λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ λ µ⎢ ⎥⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0
T0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
2 2 2ˆk k k∗⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
5
6
1
23
3
5x1.0=5.0
5 4 3 2 1 0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
h
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
M0
Штап је променљивог попречног пресека, па је за
формирање елемената базне матрице крутости
потребно применити нумерички поступак.
• Усвојено: ch h 0.5= =
• Коефицијент нумеричке интеграције mk 1.0=
• Величина поделе носача: 1.0λ =
Општи израз за трапезно правило:
1 2 3 n 1 nf(x)dx (f 2f 2f ... 2f f )2 −λ
= + + + + +∫
Слика 10.5 – Компоненте померања штапа 3
4c c c c
c ig m m mc 0 m 5m 1
I h h h1 1EI k k k 0.02083 6.956 0.1449F 2 h h 2 h=
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ δ = λ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
33 342 2 2c c c
c ig 0 m 0 m 0 m0 m 5m 1
h h h1 1EI M k M k M k 2.73272 h h 2 h=
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ α = λ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑
c igc ig
1 1EI d 0.3659EI 2.7327
⋅ = = =⋅α
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему:
ig ig
2 2igig ig
ig igg
ig
2ig
1 0 0 1 0
d L 0d L d L
d 0 d Lk
1 d 0
сим. d L
δ − δ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
60
3 c
6.9002 0 0 6.9002 00.01464 0.07319 0 0.01464
k EI 0.3659 0 0.07326.9002 0
сим. 0.01464
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица трансформације штапа:
3
0.8 0.6 0 0 00.6 0.8 0 0 0
T 0 0 1 0 00 0 0 0.8 0.60 0 0 0.6 0.8
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
3 c
5.529 4.1467 0 5.529 4.14670.0088 0.0117 0.0732 0.0088 0.0117
k̂ EI 0.0439 0.0586 0.3659 0.0439 0.05865.529 4.1467 0 5.529 4.14670.0088 0.0117 0.0732 0.0088 0.0117
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
3 c
1 2 3 5 64.4285 3.3104 0.0439 4.4285 3.3104 1
2.4974 0.0586 3.3104 2.4974 2k EI 0.3659 0.0439 0.0586 3
4.4285 3.3104 5сим. 2.4974 6
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица крутости система штапова:
∗
− − −− − − − −
− − −−
⎡ ⎤ = ⋅ − −⎣ ⎦ c
1 2 3 4 5 6 7 8 912.4285 3.3051 0.0439 0 4.4214 3.3051 8.0 0 03.3051 2.5959 0.07938 0.0469 3.3051 2.493 0 0.0555 0.16660.0439 0.07938 1.7826 0.1875 0.0439 0.0586 0 0.1666 0.333
0 0.0469 0.1875 0.04688 0 0 0 0 0K EI 4.4214
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
−⎣ ⎦
1234
3.3051 0.0439 0 4.4214 3.3051 0 0 0 53.3051 2.493 0.0586 0 3.3051 2.493 0 0 0 6
8.0 0 0 0 0 0 8.0 0 0 70 0.0555 0.1666 0 0 0 0 0.0555 0.1666 80 0.1666 0.3333 0 0 0 0 0.1666 0.666 9
1 – Задато оптерећење
Вектор еквивалентног оптерећења:
1
4
1
23
1
4.0
20 kN/m
1
50Q 40
30
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
T
1 1 1
50 2Q T Q 40 3
30 4
∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 10.6 – Еквивалентно оптерећење штапа 1
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
61
1
2
7
89
2
6.0
320 kN/m
3.0 3.0
2 2
0 149 241 3
Q Q0 711 8
19 9
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.7 – Еквивалентно оптерећење штапа 2
• Укупни вектор еквивалентног оптерећења система:
Tps
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q 0 99 1.0 30 0 0 0 11 19∗⎡ ⎤ = − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ M M M M M M M M
• Срачунавање непознатих генералисаних померања:
p pss s sK q Q∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1p ps ss s c
0.1218 0.1554 0.0099 0q K Q EI 0.5840 0.0298 99
сим. 0.5630 1.0
−∗ ∗ ∗− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ps
c
15.395 11q 57.846 2
EI3.516 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
• Срачунавање сила на крајевима штапова:
p p pii i i
ˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 1: p
11
57.846 50 47.95 2ˆR k 3.516 40 31.79 3
0 30 32.05 4
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 2:
p22
15.395 0 123.16 157.846 49 45.20 23.516 41 29.02 3ˆR k
0 0 123.16 70 11 14.80 80 19 29.81 9
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 3:
p33
15.395 0 154.75 157.846 0 0.56 2
ˆR k 3.516 0 2.78 30 0 154.75 50 0 0.56 6
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =−⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Реакције ослонаца:
p p po os s sR K q Q∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
os
30 32.05 40 123.16 5
15.3950 93.15 6
K 57.8460 123.16 7
3.51611 14.80 8
19 29.81 9
∗
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⋅ − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
62
• Дијаграми пресечних сила:
31.7929.02
15.65
29.81
40 22.52.78
Слика 10.8 – Дијаграм момената савијања [kNm]
14.80
45.0232.05
47.950.56
Слика 10.9 – Дијаграм трансверзални сила [kN]
-123.16
-154.75
0.0
Слика 10.10 – Дијаграм нормални сила [kN]
32.05
123.16
14.80
93.15
123.16
29.81
Слика 10.11 – Реакције ослонаца [kN] [kNm]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
63
Слика 10.12 – Tower 5: Дијаграм момената савијања [kNm]
Слика 10.13 – Tower 5: Дијаграм трансверзални сила [kN]
Слика 10.14 – Tower 5: Дијаграм нормални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
64
2 – Температура у оси штапа 2 и 3 00t 30 C=
• Вектор еквивалентног оптерећења:
Q
2
6.0
6Q 1 t =30 C00
1 7 c t
6 5
Q Q EF t
3 10 10 30 900−
= − = ⋅α ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =
t2
900 10 20 3
Q900 7
0 80 9
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.15 – Еквивалентно оптерећење штапа 2
5.0
x 13
1.01N [kN]
Слика 10.16 – Еквивалентно оптерећење штапа 3
4c c c
c 11 m m m0 m 5m 1
h h h1 1EF k k k 6.9562 h h 2 h=
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ δ = λ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
6 5c 1t c tEF EF t L 3 10 10 30 5.0 4500−δ = ⋅α ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ,
14500x 646.9246.956
= − = −
t3
646.9240
Q 0646.924
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Tt t3 3 3
516.844 1387.633 2
Q T Q 0 3516.844 5387.633 6
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
• Укупни вектор еквивалентног оптерећења система је:
Tts
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q 383.156 387.633 0 0 516.844 387.633 900 0 0∗⎡ ⎤ = − − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ M M M M M M M M
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
65
• Срачунавање непознати генералисаних померања:
1 1t ts ss s ss
383.156 1q K Q K 387.633 2
0 3
− −∗ ∗ ∗ ∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
ts
c
106.917 11q 285.923 2
EI15.366 3
∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
• Срачунавање сила на крајевима штапова:
t t ti i i i
ˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 1: t1 1
285.923 0 10.52 2ˆR k 15.366 0 42.09 3
0 0 10.52 4
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 2:
t2 2
106.917 900 44.66 1285.923 0 18.44 215.366 0 57.90 3ˆR k
0 900 44.66 70 0 18.44 80 0 52.77 9
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 3:
t3 3
106.917 646.055 51.56 1285.923 0 3.16 2
ˆR k 15.366 0 15.83 30 646.055 51.56 50 0 3.16 6
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Реакције ослонаца:
t t to os s sR K q Q∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ t
o os
0 10.52 4516.844 43.90 5
106.917387.633 28.97 6
R K 285.923900 44.66 7
15.3660 18.44 80 52.77 9
∗
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
66
• Дијаграм пресечних сила:
52.77
57.90
42.09
15.83
Слика 10.17 – Дијаграм момената савијања [kNm]
-3.16
10.52
18.44
Слика 10.18 – Дијаграм трансверзални сила [kN]
-44.66
-51.56
0.0
Слика 10.19 – Дијаграм нормални сила [kN]
10.52
44.66
18.44
28.97
44.66
52.77
Слика 10.20 – Реакције ослонаца [kN] [kNm]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
67
Слика 10.21 – Tower 5: Дијаграм момената савијања [kNm]
Слика 10.22 – Tower 5: Дијаграм трансверзални сила [kN]
Слика 10.23 – Tower 5: Дијаграм нормални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
68
3 – Температурна промена у штапу 2 за 0t 30 C∆ =
• Вектор еквивалентног оптерећења:
h t
t =400
t =10U
o ut t t 40 10 30∆ = − = − =
1
2
7
89
2
6.0
3
t=30 C0
3 c tc
tQ EIh∆
= ⋅α ⋅
4 53
30Q 6.25 10 100.50
−= ⋅ ⋅ ⋅
3Q 37.50=
3 9Q Q= −
9Q 37.50= −
t2
0 10 2
37.50 3Q
0 70 8
37.50 9
∗∆
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.24 – Еквивалентно оптерећење штапа 2 • Укупни вектор еквивалентног оптерећења система:
Tts
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q 0 0 37.50 0 0 0 0 0 37.50∗∆⎡ ⎤ = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ M M M M M M M M
• Срачунавање непознатих генералисаних померања:
1ts ss
0 1q K 0 2
37.50 3
−∗∆ ∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
ts
c
0.372 11q 1.119 2
EI21.096 3
∗∆−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
• Срачунавање сила на крајевима штапова:
t t ti i i i
ˆR k q Q∆ ∗∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 1: t
1 1
1.119 0 3.90 2ˆR k 21.096 0 15.61 3
0 0 3.90 4
∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 2:
t2 2
0.372 0 .298 11.119 0 3.58 221.096 37.5 23.25 3ˆR k
0 0 2.98 70 0 3.58 80 37.5 44.72 9
∆
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 3:
t3 3
0.372 0 2.58 11.119 0 1.53 2
ˆR k 21.096 0 7.64 30 0 2.58 50 0 1.53 6
∆
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
69
• Дијаграм пресечних сила:
44.72
23.25
7.6415.61
Слика 10.25 – Дијаграм момената савијања [kNm]
+3.58
-3.90
+1.53
Слика 10.26 – Дијаграм трансверзални сила [kN]
2.98
2.58
0.0
Слика 10.27 – Дијаграм нормални сила [kN] Реакције ослонаца:
to os
0 3.90 40 2.98 5
0.3720 0.33 6
R K 1.1190 2.98 7
21.0960 3.58 8
37.50 44.72 9
∆ ∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3.90
2.98
3.58
0.33
2.98
44.72
Слика 10.28 – Реакције ослонаца [kN] [kNm]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
70
Слика 10.29 – Tower 5: Дијаграм момената савијања [kNm]
Слика 10.30 – Tower 5: Дијаграм трансверзални сила [kN]
Слика 10.31 – Tower 5: Дијаграм нормални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
71
4 – Обртање укљештења у чвору 3 за Iu 3ϕ =
• Вектор еквивалентног оптерећења:
u 2m sek 3s 0 0 0.000873rad
180 60 180 6060π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ = + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
L
U
QQ2
3
5
6
Слика 10.32 – Еквивалентно оптерећење штапа 3
Срачунавање сила на крајевима штапа:
2 5 u26 EIQ QL⋅
= − = − ⋅ϕ
2Q 9.094= −
5Q 9.094=
3 u2 EIQ
L⋅
= − ⋅ϕ
3Q 18.188= −
6 u4 EIQ
L⋅
= − ⋅ϕ
6Q 36.38= − Вектор еквивалентног оптерећења је:
2
0 19.094 2
18.188 3Q
0 79.094 836.38 9
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
• Срачунавање непознатих генералисаних померања:
−∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1
s ss so oq K K q
−∗ ∗
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ − − − − ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1s ss
4 5 6 7 8 90 40 5
0 4.4214 3.3051 8.0 0 0 10 6
q K 0.0469 3.3051 2.498 0 0.0555 0.166 20 7
0.1875 0.0439 0.0586 0 0.1666 0.333 30 8
0.000873 9
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
72
s c
0.0000255 1q EI 0.0000936 2
0.000168 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
• Срачунавање сила на крајевима штапова:
i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 1:
1 1 c
0.0000936 1.69 2ˆR k EI 0.000168 6.78 3
0 1.69 4
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 2:
2 2 c
0.0000255 0 12.74 10.0000936 9.094 7.02 20.000168 18.188 10.22 3ˆR k EI
0 0 12.74 70 9.094 7.02 80 36.38 31.90 9
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 3:
3 3 c
0.0000255 15.45 10.0000936 0.69 2
ˆR k EI 0.000168 3.43 30 15.45 50 0.69 6
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ =− −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Реакције ослонаца:
o os s
0.0469 0 0 0 0 0 00 4.4214 3.3051 0 0 0 00 3.3051 2.493 0 0 0 0
R K q0 0 0 8.0 0 0 00 0 0 0 0.0555 0.1666 00 0 0 0 0.1666 0.6666 0.000873
∗ ∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
o
1.69 412.76 58.71 6
R12.74 77.02 8
31.89 9
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
73
• Дијаграм пресечних сила:
3.43
10.216.78
31.89
Слика 10.33 – Дијаграм момената савијања [kNm]
7.02
-0.69
-1.69
Слика 10.34 – Дијаграм трансверзални сила [kN]
-12.74
-15.45
0.0
Слика 10.35 – Дијаграм нормални сила [kN]
1.69
12.74
7.02
8.71
12.74
31.89
Слика 10.36 – Реакције ослонаца [kN] [kNm]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
74
Слика 10.37 – Tower 5: Дијаграм момената савијања [kNm]
Слика 10.38 – Tower 5: Дијаграм трансверзални сила [kN]
Слика 10.39 – Tower 5: Дијаграм нормални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
75
ПРИМЕР – 11
За носач са слике 11.1, срачунати и нацртати дијаграме M,T,N сила занемарујући N силе на
деформацију, E=3·107 kN/m2.
100 kNm100 kN
0.3/0.8
7.0 3.0 3.0 7.0
0.3/0.5 0.3/0.5
10 kN/m20 kN/m
Слика 11.1 – Геометрија носача са оптерећењем
Избор генералисаних померања:
3
78
3
62
3
51
3
4
0 1 2 3
1 2 3
Слика 11.2 – Шема генералисаних померања
Непозната померања: 1, 2
Геометријске карактеристике штапова:
штап i k I ikL IikL
1 0 1 0.003125 7.0 7.0 2 1 2 0.0128 6.0 1.46484375 3 2 3 0.003125 7.0 7.0
4cI 0.003125m=
3 / 14 2 / 71.3653.
1.3653.
2 / 7
1 / 70.6826.
ik ki
ik
a ab
igd
Слика 11.3 – Шема крутости штапова
3 / 14 3 / 72.048 2.048 3 / 7
6 / 74.096
ik ki
ik ki
c cc c+
igd
Слика 11.4 – Шема крутости штапова
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
76
Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:
3
51
3
4
01
7.0
1 1 1
4 5 13 686 3 686 3 98 4
ˆk k k 3 686 3 686 3 98 53 98 3 98 3 14 1
∗−⎡ ⎤
⎢ ⎥= = = − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 11.5 – Штап 1
3
62
1
6.0
3
51
2
2 2 2 c
5 1 6 2
0.1137 0.3413 0.1137 0.3413 5
0.3413 1.3653 0.3413 0.6826 1ˆk k k 2 EI0.1137 0.3413 0.1137 0.3413 6
0.3413 0.6826 0.3413 1.3653 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∗⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⎡ ⎤−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= = = ⋅ ⋅⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 11.6 – Штап 2
3
78
7.0
3
62
2 3
3 3 3
6 2 7 86 343 3 49 6 343 3 49 63 49 2 7 3 49 1 7 2ˆk k k6 343 3 49 6 343 3 49 73 49 1 7 3 49 2 7 8
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= = =⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 11.7 – Штап 3 Матрица крутости система:
⋅
∗⋅
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2
1.579619 0.6826 1K
0.6826 1.651048 2
Вектор еквивалентног оптерећења:
01
7.0
10 kN/m
3
51
3
4
01
01
26.25 43.75
61.25
01
26.2543.75
61.25
Реакције ослонаца: Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења:
∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1
26.25 4Q Q 43.75 5
61.25 1
Слика 11.8 – Еквивалентно оптерећење штапа 1
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
77
1 2
3.0 3.0
100100
Од концентрисаног момента:
1 2
3.0 3.0
100
3
62
3
51
1 2
Реакције ослонаца:
25 25
2525
Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења:
25 25
25 25
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
M2
25 525 1
P25 625 2
Од концентрисане силе:
1 2
3.0 3.0
100
3
62
3
51
1 2
Реакције ослонаца:
50 50
75 75
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
P2
50 575 1
P50 6
75 2
Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења:
75 75
50 50
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M P2 2 2 2
75 5100 1
P P P P25 6
50 2
Слика 11.9 – Еквивалентно оптерећење штапа 2
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
78
2 3
20 kN/m
7.0
3
78
3
62
2 3
Реакције ослонаца:
21 49
32.6 49.
⋅∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
3 3
21 6
32.6 2Q Q49 749 8
Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења:
32.6 49
21 49
.
∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦s s sS Q P
∗⋅
−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎣ ⎦s
38.75 1S
17.3 2
Слика 11.10 – Еквивалентно оптерећење штапа 3
Прорачун непознатих померања:
−∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1
s ss sq K S
∗ −⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⎣ ⎦s
c
35.939 11q25.132 22 EI
Срачунавање сила на крајевима штапова:
i i i iˆR k q Q∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 1:
1 1 1 1 1
0 26.25 25.167 4ˆ ˆR k q Q k 0 43.75 44.833 5
35.393 61.25 68.834 1
∗−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = ⋅ − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 2:
2 2 2 2 2
0 75 71.498 535.393 100 68.834 1ˆ ˆR k q Q k
0 25 28.502 625.132 50 39.848 2
∗
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Штап 3:
3 3 3 3 3
210 22.539 625.132 39.847 232.6ˆ ˆR k q Q k
0 47.461 7490 45.41 849
⋅∗
−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = ⋅ − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
79
• Дијаграм пресечних сила:
68.834
39.847 45.41
145.66
45.66
61.25 60.405
Слика 11.11 – Дијаграм момената савијања [kNm]
44.833
25.167 22.539
47.46128.502
71.498
Слика 11.12 – Дијаграм трансверзални сила [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
80
ПРИМЕР – 12
За решеткасти носач са слике 12.1, услед деловања оптерећења срачунати силе у штаповима.
Подаци:
b / h 0.2 / 0.5= m, 7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .
Напомена:
Штап 1 – 4, и 2 – 3 се мимоилазе !
5
100 kN 50 kN
21
43
4.0 4.0 4.0
3.0
6
Слика 12.1 – Геометрија носача са оптерећењем
Решење:
X
Y
1 3
4
2 7
8
1
2
5
6
4
9
10
3
11
12
5 6
1
2 7 10
6
3 8
5
4
9
Слика 12.2 – Избор генералисаних померања чворова система
Геометријски подаци:
штап i k [ ]L m cosα = λ sinα = µ 1 5 1 5.0 0.8 0.6 2 5 3 4.0 1.0 0 3 3 1 3.0 0 1.0 4 1 2 4.0 1.0 0 5 1 4 5.0 0.8 - 0.6 6 3 2 5.0 0.8 0.6 7 3 4 4.0 1.0 0 8 4 2 3.0 0 1.0 9 2 6 5.0 0.8 - 0.6 10 4 6 4.0 1.0 0
Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
81
1
y
x
Li k 4
q i qk
[ ]
1 41 1 1E Fk1 1 4L
−⎡ ⎤⋅= ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 12.3 – Компоненте померања штапа решеткастог носача
y
x
5.0
16
Штап 1 и 6:
Матрице крутости штапова у локалном
координатном систему су:
[ ] [ ] 51 6
6.0 6.0k k 10
6.0 6.0−⎡ ⎤
= = ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 12.4 – Локални координатни систем штапова 1 и 6.
Матрица трансформације штапова 1 и 6:
[ ] [ ]i
1 6
N0 0T0 0
T T0 00 0
λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥= =⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥
−µ λ⎣ ⎦
i
k
k
NT
0.8 0.6 0 00 0 0.8 0.6
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ] [ ] 51 6 1 1 6 6
4.8 3.6 4.8 3.6ˆ ˆk k k T k T 104.8 3.6 4.8 3.6
− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −⎣ ⎦
Матрице крутости штапова у глобалном координатном систему су:
[ ] [ ]T 5
1 1 1 1
1 2 3 43.84 2.88 3.84 2.88 1
2.16 2.88 2.16 2k T k T 10
3.84 2.88 3сим. 2.16 4
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] [ ]T 5
6 6 6 6
5 6 7 83.84 2.88 3.84 2.88 5
2.16 2.88 2.16 6k T k T 10
3.84 2.88 7сим. 2.16 8
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
y
x
5.0
59
Штап 5 и 9:
Матрице крутости штапова у локалном
координатном систему су:
[ ] [ ] 55 9
6.0 6.0k k 10
6.0 6.0−⎡ ⎤
= = ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 12.5 – Локални координатни систем штапова 5 и 9.
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
82
Матрица трансформације штапова 5 и 9:
[ ] [ ]i
5 9
N0 0T0 0
T T0 00 0
λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥= =⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥
−µ λ⎣ ⎦
i
k
k
NT
0.8 0.6 0 00 0 0.8 0.6
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ] [ ] 55 9 5 5 9 9
4.8 3.6 4.8 3.6ˆ ˆk k k T k T 104.8 3.6 4.8 3.6
− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −⎣ ⎦
Матрице крутости штапова у глобалном координатном систему су:
[ ] [ ]T 5
5 5 5 5
3 4 9 103.84 2.88 3.84 2.88 3
2.16 2.88 2.16 4k T k T 10
3.84 2.88 9сим. 2.16 10
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] [ ]T 5
9 9 9 9
7 8 11 123.84 2.88 3.84 2.88 7
2.16 2.88 2.16 8k T k T 10
3.84 2.88 11сим. 2.16 12
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
y
x
4.0i k
2 7 10 4
Штап 2, 7, 10 и 4:
Матрице крутости штапова у локалном координатном
систему су:
[ ] [ ] [ ] [ ] 52 7 10 4
7.5 7.5k k k k 10
7.5 7.5−⎡ ⎤
= = = = ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 12.6 – Локални координатни систем штапова 2, 7, 10 и 4.
Матрица трансформације штапова 2, 7, 10, и 4:
[ ] [ ] [ ] [ ]
i
i2 7 10 4
N0 0T0 0
T T T T0 00 0
λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥
−µ λ⎣ ⎦k
k
NT
1.0 0 0 00 0 1.0 0
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
52 7 10 4
7.5 0 7.5 0ˆ ˆ ˆ ˆk k k k 107.5 0 7.5 0
−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦
Матрице крутости штапова у глобалном координатном систему су:
[ ] [ ]T 5
2 2 2 2
1 2 5 67.5 0 7.5 0 1
0 0 0 2k T k T 10
7.5 0 5сим. 0 6
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
83
[ ] [ ]T 5
7 7 7 7
5 6 9 107.5 0 7.5 0 5
0 0 0 6k T k T 10
7.5 0 9сим. 0 10
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] [ ]T 5
10 10 10 10
9 10 11 127.5 0 7.5 0 9
0 0 0 10k T k T 10
7.5 0 11сим. 0 12
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] [ ]T 5
4 4 4 4
3 4 7 87.5 0 7.5 0 3
0 0 0 4k T k T 10
7.5 0 7сим. 0 8
∗
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
y
x
3.0
ik
3
8
Штап 3 и 8:
Матрице крутости штапова у локалном координатном
систему су:
[ ] [ ] 53 8
10 10k k 10
10 10−⎡ ⎤
= = ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 12.7 – Локални координатни систем штапова
Матрица трансформације штапова 3 и 8:
[ ] [ ]i
3 8
N0 0T0 0
T T0 00 0
λ µ⎡ ⎤⎢ ⎥−µ λ⎢ ⎥= =⎢ ⎥λ µ⎢ ⎥
−µ λ⎣ ⎦
i
k
k
NT
0 1.0 0 00 0 0 1.0⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ] [ ] 53 8 3 3 8 8
0 10 0 10ˆ ˆk k k T k T 100 10 0 10
−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎣ ⎦
[ ] [ ]T 5
3 3 3 3
5 6 3 40 0 0 0 5
10 0 10 6k T k T 10
0 0 3сим. 10 4
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] [ ]T 5
8 8 8 8
9 10 7 80 0 0 0 9
10 0 10 10k T k T 10
0 0 7сим. 10 8
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
84
• Вектор еквивалентног оптерећења:
{s s
0
S Q∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ sP∗⎡ ⎤+ ⎣ ⎦
s sS P∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ]T
s
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P 0 0 0 0 0 100 0 0 0 50 0 0∗⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦ M M M M M M M M M M M
• Матрица крутости штапова у глобалном координатном систему:
∗
− − −− −
− − − −− − − −− − − −
− −⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1211.34 2.88 3.84 2.88 7.5 0 0 0 0 0 0 02.88 2.16 2.88 2.16 0 0 0 0 0 0 0 03.84 2.88 15.18 0 0 0 7.5 0 3.84 2.88 0 02.88 2.16 0 14.32 0 10 0 0 2.88 2.16 0 07.5 0 0 0 18.84 2.88 3.84 2.88 7.5 0 0 00 0 0 10 2.88 12.16 2.
K 10
⎡⎢⎢
−− − − −
− − − −− − − −
− − −− − −
− −⎣
88 2.16 0 0 0 00 0 7.5 0 3.84 2.88 15.18 0 0 0 3.84 2.880 0 0 0 2.88 2.16 0 14.32 0 10 2.88 2.160 0 3.84 2.88 7.5 0 0 0 18.84 2.88 7.5 00 0 2.88 2.16 0 0 0 10 2.88 12.16 0 00 0 0 0 0 0 3.84 2.88 7.5 0 11.34 2.880 0 0 0 0 0 2.88 2.16 0 0 2.88 2.16
⎤⎥⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎦
123456789
101112
• Непозната померања чворова су:
∗
∗
∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
⎡ ⎤− −⎡⎢ ⎥
⎢⎢ ⎥ − −⎢⎢ ⎥⎢ − − −⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎡ ⎤ = = ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎣ ⎦
3
4
5
6 5s
7
8
9
10
3 4 5 6 7 8 9 10
q 15.48 0 0 0 7.5 0 3.84 2.88q 14.32 0 10 0 0 2.88 2.16q 18.84 2.88 3.84 2.88 7.5 0q 12.16 2.88 2.16 0 0
q 1015.18 0 0 0q
14.32 0 10q18.84 2.88q
сим. 12.16q
−⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
5
0 5.6170 46.0700 1.373100 55.41910 7.392100 40.7200 1.59050 46.736
Срачунавање сила у штаповима решеткастог носача:
( ) ( )ik ix kx iy kyE FS cos q q sin q q
L⋅ ⎡ ⎤= ⋅ α ⋅ − + α ⋅ −⎣ ⎦ , односно ikN S= −
( ) ( )5 3S 7.5 1.0 0 1.373 0 0 55.419 10.30kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ + = −⎣ ⎦
( ) ( )3 4S 7.5 1.0 1.373 1.590 0 55.419 46.736 1.63kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + = −⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
85
( ) ( )4 6S 7.5 1.0 1.590 0 0 46.736 0 11.93kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + =⎣ ⎦
( ) ( )1 2S 7.5 1.0 5.617 7.392 0 46.07 40.72 97.57kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + ⋅ − + =⎣ ⎦
( ) ( )5 1S 6.0 0.8 0 5.617 0.6 0 46.07 138.89kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ + =⎣ ⎦
( ) ( )3 2S 6.0 0.8 1.373 7.392 0.6 55.419 40.72 10.84kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + ⋅ − + = −⎣ ⎦
( ) ( )1 4S 6.0 0.8 5.617 1.590 0.6 46.07 46.736 16.93kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − − ⋅ − + =⎣ ⎦
( ) ( )2 6S 6.0 0.8 7.392 0 0.6 40.72 0 111.11kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − =⎣ ⎦
( ) ( )3 1S 10 0 1.373 5.617 1.0 55.419 46.07 93.49kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + = −⎣ ⎦
( ) ( )4 2S 10 0 1.590 7.392 1.0 46.736 40.72 60.16kN− ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + ⋅ − + = −⎣ ⎦
• Срачунавање реакција ослонаца решеткастог носача:
{0 os s oo 0
0
R K q K q∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ {o
0
Q∗⎡ ⎤− ⎣ ⎦ os sK q∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
20 s
11
12
3 4 5 6 7 8 9 10R 3.84 2.88 7.5 0 0 0 0 0 100.81R 2.88 2.16 0 0 0 0 0 0 83.33
R qR 0 0 0 0 3.84 2.88 7.5 0 100.81R 0 0 0 0 2.88 2.16 0 0 66.67
∗ ∗
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
5
83.33
21
43
6100.81
66.67
100.81
10.30 1.63 -11.93
93.4
9
60.1
6
-97.57
-138.89 10.84
-16.93
-111.11
Слика 12.8 – Нормалне силе у штаповима и реакције ослонаца [kN]
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
86
ПРИМЕР – 13
За носач на слици 13.1 са оптерећењем одредити трансверзалну силу у пресеку ''m'',
7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .
3
0.4/0.
6 0.4/0.6
0.4/0.4 0.4/0.
4
54
m
100 kN 200 kN
60 kN
1 2
20 kN/m
4.0
4.0 4.0 4.0 4.0
Слика 13.1 – Геометрија носача са оптерећењем Решење:
3 54
m
50
100
30
1 2
10
50
100 10
30
Слика 13.2 – Симетричан носач са симетричним оптерећењем
3 54
100
30
1 2
10100
10
30
Слика 13.3 – Симетричан носач са антиметричним оптерећењем Како је код симетричног оптерећења у пресеку "m" , вредност трансверзалне силе позната, остаје
непозната њена вредност при антиметричном оптерећењу. Укупну вредност трансверзалне силе
тражи се суперпозицијом симетричног и антиметричног оптерећења.
xy
1
4
8
9
5
67
1
23
34
2
1
1 3
2
x
yxy
Слика 10.4 – Избор генералисаних померања чворова антиметричног дела носача
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
87
Непозната генералисана померања су:1,2,3
Геометријске карактеристике:
3 4c 1
1I I 0.4 0.6 0.0072m12
= = ⋅ ⋅ =
3 42
1I 0.4 1.0 0.03m12
⋅= ⋅ ⋅ =
3 43
1I 0.4 0.4 0.00213m12
= ⋅ ⋅ =
I1 1L L 5.657m= =
I c2 2
2
IL L 0.864mI
= ⋅ =
I c3 3
3
IL L 19.092mI
= ⋅ =
21F 0.24m=
22F 0.40m=
23F 0.16m=
Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:
1
23
5
67
5.657
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему је:
1 c
2.9462 0 0 2.9462 0 00.0331 0.0938 0 0.0331 0.0938
0.3535 0 0.0938 0.1768k 2 EI
2.9462 0 00.0331 0.0938
сим. 0.3535
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−
= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.5 – Компоненте померања штапа 1
Матрица трансформације штапа:
1
0.707 0.707 0 0 0 00.707 0.707 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0Т
0 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 c
2.0833 2.0833 0 2.0833 2.0833 00.0234 0.0234 0.0938 0.0234 0.0234 0.09380.0663 0.0663 0.3535 0.0663 0.0663 0.1768
k̂ 2 EI2.0833 2.0833 0 2.0833 2.0833 0
0.0234 0.0234 0.0938 0.0234 0.0234 0.09380.0663 0.0663 0
− −− −− −⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ − −
− − − −− .1768 0.0663 0.0663 0.3535
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
1 c
5 6 7 1 2 31.4897 1.4565 0.0663 1.4897 1.4565 0.0663 5
1.4897 0.0663 1.4565 1.4897 0.0663 60.3535 0.0663 0.0663 0.1768 7
k 2 EI1.4897 1.4565 0.0663 1
1.4897 0.0663 2сим. 0.3535 3
∗
− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
88
1
23
4
1
4.0
12
2 2 2 c
2 3 40.1085 0.434 0.1085 2
ˆk k k 2 EI 1.7361 0.434 3сим. 0.1085 4
∗−⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤= = = ⋅ ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.6 – Компоненте померања штапа 2
9
8
2
1
5.657
0315α =
sin 0.707α = −
cos 0.707α =
Матрица крутости штапа у локалном
координатном систему је:
3 c
1.9641 0 0 1.9641 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
k 2 EI1.9641 0 0 1.9641 0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.7 – Компоненте померања штапа 3
Матрица трансформације штапа:
3
0.707 0.707 0 0 0 00.707 0.707 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0T
0 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0 0 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3 c
1.3888 1.3888 1.3888 1.38880 0 0 0
k̂ 2 EI1.3888 1.3888 1.3888 1.3888
0 0 0 0
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
3 c
1 2 8 90.9821 0.9821 0.9821 0.9821 1
0.9821 0.9821 0.9821 2k 2 EI
0.9821 0.9821 8сим. 0.9821 9
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања је:
ss c
1 2 32.4718 0.4744 0.0663 1
K 2 EI 2.5803 0.3677 2сим. 2.0896 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
89
• Вектор еквивалентног оптерећења:
4.0
30
100
10 kN/m
1
23
4
1
Оптерећење по штапу:
2 2
25 2Q Q 20 3
15 4
∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
Чворно оптерећење:
25 15
20
25 15
20
Реакције од оптерећења Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења
2
30 1P 100 2
0 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Укупан вектор оптерећења:
s 2
30 1S Q P 75 2
20 3
∗ ∗ ∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 9.10 – Еквивалентно оптерећење штапа 2
• Срачунавање непознатих генералисаних померања:
1s ss sq K S
−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s
c
6.7899 11q 29.9640 2
2 EI15.0593 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
• Срачунавање сила на крају штапа 2:
2 2
29.9640 25 21.71 2ˆR k 15.0593 20 6.86 3
0 15 18.28 4
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Трансверзална сила у пресеку ''m'' је:
симетричано оптерећење: антиметричано оптерећење:
m m
5050
1 2
m m
1 2
18.28
18.28
smT 50kN= s
mT 50kN= − amT 18.25kN= − a
mT 18.25kN= −
• Према томе, трансверзална сила је:
Лево од пресека ''m'': L s am m mT T T 50 18.28 31.72kN= + = − =
Десно од пресека ''m'': D s am m mT T T 50 18.28 68.28kN= + = − − = −
Контрола: L Dm mT T 100kN= + =∑
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
86
ПРИМЕР – 13
За носач на слици 13.1 са оптерећењем одредити трансверзалну силу у пресеку ''m'',
7 2E 3 10 kN/ m= ⋅ .
3
0.4/0.
6 0.4/0.6
0.4/0.4 0.4/0.
4
54
m
100 kN 200 kN
60 kN
1 2
20 kN/m
4.0
4.0 4.0 4.0 4.0
Слика 13.1 – Геометрија носача са оптерећењем Решење:
3 54
m
50
100
30
1 2
10
50
100 10
30
Слика 13.2 – Симетричан носач са симетричним оптерећењем
3 54
100
30
1 2
10100
10
30
Слика 13.3 – Симетричан носач са антиметричним оптерећењем Како је код симетричног оптерећења у пресеку "m" , вредност трансверзалне силе позната, остаје
непозната њена вредност при антиметричном оптерећењу. Укупну вредност трансверзалне силе
тражи се суперпозицијом симетричног и антиметричног оптерећења.
xy
1
4
8
9
5
67
1
23
34
2
1
1 3
2
x
yxy
Слика 10.4 – Избор генералисаних померања чворова антиметричног дела носача
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
87
Непозната генералисана померања су:1,2,3
Геометријске карактеристике:
3 4c 1
1I I 0.4 0.6 0.0072m12
= = ⋅ ⋅ =
3 42
1I 0.4 1.0 0.03m12
⋅= ⋅ ⋅ =
3 43
1I 0.4 0.4 0.00213m12
= ⋅ ⋅ =
I1 1L L 5.657m= =
I c2 2
2
IL L 0.864mI
= ⋅ =
I c3 3
3
IL L 19.092mI
= ⋅ =
21F 0.24m=
22F 0.40m=
23F 0.16m=
Матрице крутости штапова у локалном и глобалном координатном систему:
1
23
5
67
5.657
Матрица крутости штапа у локалном координатном систему је:
1 c
2.9462 0 0 2.9462 0 00.0331 0.0938 0 0.0331 0.0938
0.3535 0 0.0938 0.1768k 2 EI
2.9462 0 00.0331 0.0938
сим. 0.3535
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−
= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.5 – Компоненте померања штапа 1
Матрица трансформације штапа:
1
0.707 0.707 0 0 0 00.707 0.707 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0Т
0 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 c
2.0833 2.0833 0 2.0833 2.0833 00.0234 0.0234 0.0938 0.0234 0.0234 0.09380.0663 0.0663 0.3535 0.0663 0.0663 0.1768
k̂ 2 EI2.0833 2.0833 0 2.0833 2.0833 0
0.0234 0.0234 0.0938 0.0234 0.0234 0.09380.0663 0.0663 0
− −− −− −⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ − −
− − − −− .1768 0.0663 0.0663 0.3535
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
1 c
5 6 7 1 2 31.4897 1.4565 0.0663 1.4897 1.4565 0.0663 5
1.4897 0.0663 1.4565 1.4897 0.0663 60.3535 0.0663 0.0663 0.1768 7
k 2 EI1.4897 1.4565 0.0663 1
1.4897 0.0663 2сим. 0.3535 3
∗
− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
88
1
23
4
1
4.0
12
2 2 2 c
2 3 40.1085 0.434 0.1085 2
ˆk k k 2 EI 1.7361 0.434 3сим. 0.1085 4
∗−⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤= = = ⋅ ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.6 – Компоненте померања штапа 2
9
8
2
1
5.657
0315α =
sin 0.707α = −
cos 0.707α =
Матрица крутости штапа у локалном
координатном систему је:
3 c
1.9641 0 0 1.9641 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
k 2 EI1.9641 0 0 1.9641 0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Слика 10.7 – Компоненте померања штапа 3
Матрица трансформације штапа:
3
0.707 0.707 0 0 0 00.707 0.707 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0T
0 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0.707 0.707 00 0 0 0 0 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3 c
1.3888 1.3888 1.3888 1.38880 0 0 0
k̂ 2 EI1.3888 1.3888 1.3888 1.3888
0 0 0 0
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица крутости штапа у глобалном координатном систему је:
3 c
1 2 8 90.9821 0.9821 0.9821 0.9821 1
0.9821 0.9821 0.9821 2k 2 EI
0.9821 0.9821 8сим. 0.9821 9
∗
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Подматрица матрице крутости система за непозната генералисана померања је:
ss c
1 2 32.4718 0.4744 0.0663 1
K 2 EI 2.5803 0.3677 2сим. 2.0896 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
89
• Вектор еквивалентног оптерећења:
4.0
30
100
10 kN/m
1
23
4
1
Оптерећење по штапу:
2 2
25 2Q Q 20 3
15 4
∗−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
Чворно оптерећење:
25 15
20
25 15
20
Реакције од оптерећења Смер реакција за вектор еквивалентног оптерећења
2
30 1P 100 2
0 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Укупан вектор оптерећења:
s 2
30 1S Q P 75 2
20 3
∗ ∗ ∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
Слика 9.10 – Еквивалентно оптерећење штапа 2
• Срачунавање непознатих генералисаних померања:
1s ss sq K S
−∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s
c
6.7899 11q 29.9640 2
2 EI15.0593 3
∗⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
• Срачунавање сила на крају штапа 2:
2 2
29.9640 25 21.71 2ˆR k 15.0593 20 6.86 3
0 15 18.28 4
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Трансверзална сила у пресеку ''m'' је:
симетричано оптерећење: антиметричано оптерећење:
m m
5050
1 2
m m
1 2
18.28
18.28
smT 50kN= s
mT 50kN= − amT 18.25kN= − a
mT 18.25kN= −
• Према томе, трансверзална сила је:
Лево од пресека ''m'': L s am m mT T T 50 18.28 31.72kN= + = − =
Десно од пресека ''m'': D s am m mT T T 50 18.28 68.28kN= + = − − = −
Контрола: L Dm mT T 100kN= + =∑
МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Мр Илија М. МИЛИЧИЋ, дипл.инж.грађ. [email protected]
90
ЛИТЕРАТУРА
[1.] М. Ђурић: Статика конструкција, 1 – део, Научна књига, Београд, 1970.
[2.] М. Секуловић: Метод коначних елемената, ИРО Грађевинска књига, Београд, 1984. [3.] М. Секуловић: Теорија линијских носача, Грађевинска књига, Београд, 2005.
[4.] А. Прокић: Матрична анализа танкозидних конструкција, Крамерпринт, Земун, 1999.
[5.] И.М. Миличић: Стабилност конструкција, семинарски рад, Грађевинског факултета
Суботица, Суботица, 2001.