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Matriz
Conceitos Básicos
Histórico
Século XIX Inglaterra Matemático e Astrônomo:
Arthur Cayley
Matrizes e suas utilizações
Utilizações
Resolução de Sistemas Lineares
1
5
yx
yx
Engenharia
Cálculo estrutural. Fenômenos dos
transportes. Planilhas de cálculo. Cálculo de áreas.
Engenharia
Armando o sistema de forças
mnmnmmm
nn
nn
nn
kxaxaxaxa
kxaxaxaxa
kxaxaxaxa
kxaxaxaxa
...
...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
Estatística
Confecção de tabelas
Levantamentos de campo.
Cálculos.
Tecnologia mundial
Diversas áreas do conhecimento humano
Sistemas Computacionais
Essencial para analistas de sistemas e programação com variáveis indexadas.
Conceito
Matriz
É toda tabela retangular, formada por elementos dispostos em linhas e colunas.
Tabela
Alunos I U II U III U IV U
Alessandra 5 9 9 8
Roberta 6 8 9 8
Fernanda 7 8 9 7
Notações
Podemos escrever matrizes das seguintes formas:
7987
8986
8995
7987
8986
8995
7987
8986
8995
Linhas e Colunas
Linhas
7987
8986
8995
Colunas
3 linhas4 colunas
Linguagem matemática
Dados 2 números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (mxn) a uma tabela cujos elementos estão dispostos em m linhas e n colunas
Ordem da matriz
Na matriz M,
m=3
n=4
7987
8986
8995
M
3x4
Ordem da matriz
Aplicação 01
Qual a ordem das matrizes abaixo?
06¶
123418log
532º30sen
2A
0531 B
41
53
20
C
3x3
1x4
3x2
Identificando cada elemento
Planilha do Excel
Cada célula é um elemento da Matriz
Células 6C 3B 1D
Feita para possibilitar a comunicação de leigos
Observe que qualquer pessoa identifica a célula pela letra e pelo número.
3F ou F3 se referem à mesma célula.
Em matemática é convencionado:
Se quisermos identificar a posição do elemento 6
7987
8986
8995
M
Linha 2Coluna 1Ou simplesmente: a21
Convenção
Sempre diz-se primeiro a linha depois a coluna Assim:
ai j
Linha Coluna
Elemento genérico
i: linha onde o elemento se encontra j: coluna do elemento
ija
Matriz Genérica
mxnmnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
Aplicação 02
Dada a matriz
41
53
20
C
Identifique os elementosc12
c32
c22
Aplicação 03
Determinar a matriz
A = (aIJ)3x2 onde
aIJ = i + j
a11 = 1 + 1 a12 = 1 + 2
i j i + j
Resolução - Aplicação 03
Como a matriz é de ordem 3x2
mxnmnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
233231
2221
1211
xaa
aa
aa
A
Matriz genérica
Resolução - Aplicação 03
a11= 1+1 = 2
a12= 1+2 = 3
a21= 2+1 = 3
a22= 2+2 = 4
a31= 3+1 = 4
a32= 3+2 = 5
Assim:
2354
43
32
x
A
Matriz retangular
Toda matriz é retangular.
7987
8986
8995
M
Matrizes especiais
Nomenclaturas
Matriz linha
É toda matriz do tipo 1xn Formada por apenas uma linha
413021 xL
Matriz coluna
É toda matriz do tipo mx1 Formada por apenas uma coluna
0
5
¶
C
Matriz nula
É uma matriz em que todos os elementos são iguais a zero
000
000
000
O
Matriz quadrada
É toda matriz do tipo nxn O número de linhas é igual ao número
de colunas
12
01A
33531
3250
1071
x
B
443236
5012
4110
3781
x
M
Diagonal Principal
Apenas em matrizes quadradas
Índices da diagonal principal
Os elementos da diagonal principal possuem índices iguais:
a11 a22 a33 a44 ... ann
Diagonal secundária
A soma dos índices é igual a n+1
443236
5012
4110
3781
x
M
Índices da diagonal secundária
Os índices dos elementos da diagonal secundária somam n+1
555554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
xaaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
S
Matriz diagonal
É toda matriz quadrada de ordem n>1 em que todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.
A=(aij) em que aij=0 para todo i j
Matriz diagonal - exemplo
A=(aij) em que aij=0 para todo i j
442000
0300
0000
0001
x
D
Matriz identidade
É uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a um.
10
012I
100
010
001
3I
1000
0100
0010
0001
4I
Igualdade de Matrizes
Igualdade
A=B sse cada
aIJ = bIJmxnmnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
mxnmnmmm
n
n
n
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
B
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
Aplicação 04
Calcule x, y e z para que as matrizes abaixo sejam iguais.
z
y
x
12
230
241
712
30
24