Estructuras 2
Presentado por: Yossie Carol Alferez AsenciosAnlisis Estructural
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Anlisis Estructural
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2Anlisis Estructural 2
El mtodo de la rigidez
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3Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezLa resolucin de los problemas de
estructuras se pueden formular de manera matricial, organizando
convenientemente las entradas a partir de la matriz de rigidez de
cada elemento, conocida como matriz elemental de rigidez.
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4Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezLas ecuaciones elsticas rigen las
relaciones que existen entre las fuerzas aplicadas en los extremos
de los elementos y los movimientos que se producen en dichos
extremos.
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Matriz elemental de rigidezPara plantear la matriz elemental de
rigidez se parte de un elemento recto e seccin constante, sometido
a fuerzas axiales y cortantes adems de momentos flectores en sus
extremos, que se muestra en la diapositiva siguiente:
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Elemento a-b
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7Anlisis Estructural 2
Elemento a-b
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8Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezDe la figara anterior es posible
verificar las relaciones que impone el estado de equilibrio del
elemento:
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9Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezOperando sobre las ecuaciones de
equilibrio:
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10Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezEl alargamiento del elemento debido a
la carga axial se define como:
De esta expresin se pueden obtener las componentes axiales en
ambos extremos en funcin de las componentes axiales de los
desplazamientos:
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11Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezAdems, se pueden plantear los
momentos extremos en funcin de los desplazamientos:
Donde:
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Matriz elemental de rigidezAl sustituir la expresin de la
rotacin de la deformada elstica:
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13Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezAdems, como sabemos que:
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14Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezEs posible determinar las componentes
cortantes en funcin de los desplazamientos:
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15Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezDe forma general, las ecuaciones
anteriores se pueden ordenar de forma matricial:
Donde f es el vector de fuerzas en los nodos del elemento, K es
la matriz elemental de rigidez y d es el vector de desplazamientos
de los nodos del elemento
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16Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezSeguidamente se especifican los
componentes de la matriz y de los vectores que forman el equilibrio
del elemento.
Vector de fuerzas del nodo aVector de fuerzas del nodo bVector
de desplazamientos del nodo aVector de desplazamientos del nodo
bMatriz elemental de rigidez
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17Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezLos vectores de desplazamientos de
cada nodo son:
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18Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezLos vectores de fuerza de cada nodo
son:
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19Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezPuede notarse que el nmero de trminos
del vector de fuerzas y de desplazamientos depender del nmero de
grados de libertad por nodo.
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20Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezLa matriz elemental de rigidez tiene
unas submatrices que la conforman:
Sub matriz de rigidez del nodo a, producida por los
desplazamientos del nodo aSub matriz de rigidez del nodo a,
producida por los desplazamientos del nodo bSub matriz de rigidez
del nodo b, producida por los desplazamientos del nodo aSub matriz
de rigidez del nodo b, producida por los desplazamientos del nodo
b
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21Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezLos coeficientes de cada una de las
sub matrices de rigidez las obtenemos de las ecuaciones de
equilibrio:
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22Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezLas cuales se deben colocar en la sub
matriz:
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23Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezPuede notarse adems que esta matriz
Kaa es simtrica:
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24Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezOperando de manera similar con los
desplazamiento de b:
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25Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezSe pasa luego a la parte de la matriz
de rigidez del nodo b:
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26Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezFinalmente:
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27Anlisis Estructural 2
Matriz elemental de rigidezEl nmero de trminos de la matriz
elemental de rigidez depender del tipo de problema que se est
resolviendo (plano o espacial) o de las caractersticas de las
estructuras (articuladas o reticuladas).
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