1

XV. MAXWELL EGYENLETEK

Bevezetés. A (klasszikus) mechanikában és a termodinamikában megpróbáltuk

megtalálni azt a legkevesebb és legegyszerűbben megfogalmazott törvényből-

(egyenletből) álló rendszert, amely lehetővé tette a fizikai rendszer jelenségeinek és

tulajdonságainak ezen törvények alapján történő egységes magyarázatát. A (klasszikus)

mechanikában Newton három törvénye jelentette ezt a törvény(egyenlet)-rendszert. A

termodinamikában ugyancsak három (alap)törvény segítségével magyaráztuk meg a

jelenségeket.

Az elektrodinamika alaptörvényei a Maxwell-egyenletek, amelyeket James Clerck

Maxwell (1831-1879) skót fizikus tiszteletére nevezünk így. Maxwell ismerte fel először

(1860-as években), hogy az elektromos és a mágneses mezőt leíró egyenletek közül az

Ampere-törvényt ki kell egészíteni egy olyan taggal, amely leírja, hogy az időben

változó elektromos mező mágneses mezőt kelt. Az így létrehozott elmélet az

elektromágneses jelenségek teljes és szimmetrikus elméletét adta. Ezeket az

egyenleteket a korábbi fejezetekben külön-külön már megvizsgáltuk, és közülük hármat

pontos (teljes) alakban fel is írtunk. Ebben a fejezetben összefoglaljuk ezeket az

egyenleteket, és megmutatjuk, hogy az Ampere-törvénynek nevezett egyenletet

szimmetria- és konzisztencia-megfontolások alapján ki kell(ett) egészíteni egy nagyon

fontosnak bizonyuló taggal. A következő fejezetben pedig megmutatjuk, hogy az így

kiegészített egyenlet(törvény)-rendszer -- éppen a kiegészítés révén -- megjósolja és

megmagyarázza az elektromágneses hullámokat. A Maxwell-egyenletek az elektromos

és mágneses jelenségek teljes és részletes leírását adják, az elektromos töltések

kölcsönhatásától, az elektromos áram hatásain, a mágnességen, az elektromos

motorokon, a rádió(telefon)on és a televízión keresztül az optikáig.

1. Az eltolódási áram és az indukált mágneses mező

Ebben a fejezetben az elektromágneses jelenségek (alap)egyenleteit fogjuk felírni. Foglaljuk

össze először az elektromágneses tér alapvető tulajdonságairól eddig tanultakat:

Elnevezés Matematikai alak Jelentése

I. Gauss törvénye

elektromos térre 0

1

f

d dV

E f Az elektromos tér forrásai

az elektromos töltések.

II. Gauss törvénye

mágneses térre 0

f

d B f A mágneses tér

forrásmentes.

III. Faraday törvénye

g f

dd d

dt E l B f

A változó mágneses tér

balcsavaros örvényes

elektromos teret kelt.

IV. Ampere törvénye 0

g f

d d B l J f Az elektromos áram

mágneses teret kelt.

Ezen egyenletek mindegyike egy (néhány) jól meghatározott kísérleti eredmény matematikai

megfogalmazása. Ha az elektromos és mágneses mező anyagban van jelen, akkor a fenti egyenletek

kiegészülnek a

2

0;ed

dV

pP D E P

0

;m

’

d

dV

p BM H M

0 0;e r P E D E

M H B H m r; 0

J E

anyag-egyenletekkel. A

divt

J

ff V

d dVt

J f

kontinuitási egyenlet pedig az elektromos töltés megmaradását fejezi ki. Az elektromos és

mágneses mező anyagi közegben történő (kényelmesebb) leírására bevezetett elektromos eltolódási

(D) és mágneses térerősség (H) vektorok segítségével az elektromos és mágneses mező egyenletei:

Elnevezés Matematikai alak Jelentése

I. Gauss törvénye

elektromos térre f

d dV div D f D Az elektromos tér forrásai

az elektromos töltések.

II. Gauss törvénye

mágneses térre 0 0

f

d div B f B A mágneses tér

forrásmentes

III. Faraday törvénye

g f

dd d rot

dt t

BE l B f E

A változó mágneses tér

balcsavaros örvényes

elektromos teret kelt.

IV. Ampere törvénye

g f

d d rot H l J f H J Az elektromos áram

mágneses teret kelt.

formában foglalhatók össze.

A természeti jelenségekben és ezen jelenségek leírásában megnyilvánuló szimmetria

felismerése (vagy megkövetelése) gyakran szolgálta a jelenségek megértését. Ha a fenti

egyenleteket szimmetriájukat vizsgálva vesszük szemügyre, láthatjuk, hogy ezek bal oldalai

páronként teljesen szimmetrikusak, jobb oldalaik viszont aszimmetrikusak.

Az első szembetűnő aszimmetria, hogy a mágneses Gauss-törvényből (II. egyenlet) hiányzik.

egy a “mágneses töltéseket” leíró Qm (m) tag. Ez az aszimmetria abból ered, hogy a kísérleti

tapasztatok szerint a természetben nem létezik mágneses töltés (mágneses monopólus). Ezt az

aszimmetriát tehát a kísérleti tapasztalatok miatt az egyenletekből nem tüntethetjük el. Ennek

megfelelően a Faraday-törvényből is hiányzik egy a “mágneses töltések” áramlását figyelembe vevő

Im “mágneses áram” tag.

Az Ampere- (IV. egyenlet) és a Faraday- (III: egyenlet) törvényekben van azonban egy

további nagyon lényeges aszimmetria: A Faraday-törvény azt fejezi ki, hogy az időben változó

mágneses mező a változás sebességével arányos nagyságú indukált elektromos mezőt kelt. Ampere-

törvényében viszont nincs olyan tag, amely azt fejezné ki, hogy az időben változó elektromos mező

indukált mágneses mezőt hozna létre. Létrehozhat-e az időben változó elektromos mező, (indukált)

3

mágneses mezőt? Erre a kérdésre természetesen a kísérleteknek kell választ adni. A természet

jelenségeinek szimmetriája alapján azt feltételezhetjük, hogy az időben változó elektromos mező

indukált mágneses mezőt hoz létre. A természetet leíró tör-vények (egyenletek) szimmetriája

alapján azt várjuk, hogy erre az indukált mágneses mezőre a

i

g f

dd d

dt H l D f

irott

DH

összefüggésnek kell(ene) érvényesnek lenni. Az előjelet nem a szimmetria-érzék hanem az energia

megmaradás indokolja. Látni fogjuk, hogy ez a szimmetria-érvek alapján érvényesnek gondolt

összefüggés valóban teljesül, és az Ampere-törvényt ki kell egészítenünk, egy ilyen alakú taggal.

Ez a kiegészítés azonban – amelyet Maxwell vezetett be először – nem csupán valamilyen

korrekció, hanem az elektromágneses jelenségkör lényegéhez tartozik. A kísérletek ezt a

kiegészítést teljes mértékben igazolják, sőt ezen kiegészítés tette lehetővé, hogy Maxwell arra a

következtetésre jusson, hogy létezniük kell elektromágneses hullámoknak, amelyeket mintegy húsz

évvel később (1888-ban) Heinrich Hertz kísérletileg is kimutatott.

Vizsgáljuk meg most a (kiegészítés nélküli) Ampere-törvény alapján egy (az egyszerűség

kedvéért kör alakú fegyverzetűnek képzelt sík-) kondenzátor feltöltésekor lejátszódó folyamatot.

Ha a kondenzátor fegyverzeteihez töltéseket szállító (azaz árammal átjárt) vezetéket gondolatban

körülvesszük egy (az egyszerűség kedvéért kör alakúnak gondolt) g görbével, és tekintjük ezen g

görbe által határolt sík felületet (amelyen áthalad az áramot szállító vezeték), akkor (a kiegészítés

nélküli) Ampere-törvény alapján a g görbe mentén létrejövő mágneses mezőre:

0g f

d d I H l J f

Ha a g görbe által határolt felületet úgy vesszük fel, hogy az egy az egyik kondenzátorlemezt

tartalmazó “zsák” (amelyen az áramot szállító vezeték nem halad át), akkor a g görbe mentén

létrejövő mágneses mezőre:

H ldg

0

ami nyilvánvaló ellentmondás.

Az Ampere-törvény szimmetria-érvek alapján érvényesnek gondolt kiegészítése ezt az

ellentmondást is feloldja. Ha ugyanis az Amper-törvény

g f f

dd d d

dt H l J f D f

alakú, akkor a mágneses térerősség g görbe menti integrálja a g görbe által határolt sík felület esetén

azért nem zérus, mert a felületen töltések haladnak át, azaz az áram nem zérus; a kondenzátor egyik

fegyverzetét tartalmazó “szák”-szerű felület esetén pedig azért nem zérus, mert az elektromos tér

ezen felületre vett integrálja időben változik

Az Ampere-törvény “kiigazítását” a fenti szimmetria-érzékünkre hivatkozó gondolatmenet

mellett az is indokolja, hogy a “józan észt” tükröző

divt

J

kontinuitási egyenlet és a “kiigazítatlan”

rot H J

Amper-törvény

t 0 esetén ellentmondásban vannak egymással. Egyrészt ugyanis:

4

0div rot H

másrészt azonban feltételezésünk szerint:

div rot divt

H J

0

Az Ampere-törvény fenti kiegészítése ezt az ellentmondást is feloldja, hiszen ekkor a

g f f

dd d d

dt H l J f D f

rott

DH J

egyenletből, és az elektromos töltés megmaradását kifejező

divt

J

kontinuitási egyenletből következik, hogy

0div

div rot div divt t t t t

D DH J

A

et

DJ

tagot Maxwell nyomán eltolódási áramsűrűségnek nevezzük. Az így bevezetett eltolódási

áramsűrűség és a vezetési áramsűrűség összegeként előálló teljes áramsűrűség forrásmentes

vektortér, hiszen:

0ediv J J

2. A Maxwell-egyenletek

A fentiekben az elektromos és mágneses mező törvényeinek szimmetriája, az Amper-

törvénynek egy kondenzátor feltöltésekor lejátszódó jelenségek magyarázatakor tapasztalt

ellentmondásai, és az Amper-törvény és az elektromos töltés megmaradását kifejező kontinuitási

egyenletnek időben változó töltéssűrűség esetén tapasztalt ellentmondása alapján arra a

következtetésre jutottunk, hogy időben változó elektromos és mágneses terek esetén az Ampere-

törvény kiegészítésre szorul, és azt

g f f f

dd d d d

dt t

DH l J f D f J f

rott

DH J

alakban kell (lehet) felvenni. Ezt az egyenletet nem vezettük le, csupán bevezettük. Az egyenlet

helyességét a belőle levont következtetések helyessége (kísérleti eredményekkel való egyezése)

bizonyítja. Ezen egyenletek helyességének (a megfigyelhető jelenségeket helyesen leíró voltuknak)

legfontosabb bizonyítékai az elektromágneses hullámok, és hogy az elektromágneses hullámok

vákuumbeli sebességének (a fénysebességnek) a mért értéke az ezen egyenletekből adódó:

5

0 0

1c

értékkel pontosan megegyezik.

Tekintsük mos a J = 0 esetet:

g f g f

d dd d d d

dt dt

rot rott t

E l B f H l D f

B DE H

Azaz az időben változó mágneses tér “balcsavaros” elektromos örvénymezőt, az időben változó

elektromos tér “jobbcsavaros” mágneses örvénymezőt kelt.

A Maxwell egyenletek az elektromágneses jelenségek általános és elméletét adják.

Megalkotásukkor megmagyarázták az addig ismert kísérleti tényeket, és megjósolták az

elektromágneses hullámokat. A Maxwell-egyenletek az elektromágneses tér klasszikus

fenomenológikus elméletének axiómái , belőlük valamennyi korábban kísérleti tapasztalatok

alapján felismert törvény levezethető. James Clerck Maxvell 1873-ban (hat évvel halála előtt)

publikált dolgozata az elektromosság és mágnesség magyarázatáról nem tartalmazta az egyenleteket

a ma ismert formájukban. Az egyenleteket mai megjelenésükben, azaz szép és szimmetrikus

formájukban a brit Oliver Heaviside (1850-1925) írta fel. A Maxwell-egyenletek szimmetriája és az

elektromágneses hullámokat megjósolni képes volta mellett még egy nagyon fontos tulajdonságukra

kell kitérnünk: ezek az egyenletek relativisztikusan invariánsak, azaz teljesítik a relativitáselmélet

azon követelményét, hogy az egyenleteknek az egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes

mozgást végző koordináta-rendszerekben azonos alakúaknak kell lenniük. Foglaljuk össze még

egyszer ezeket az egyenleteket feltüntetve az egyes törvényeket megalapozó és bizonyító alapvető

kísérleteket is:

Elnevezés Matematikai alak Jelentése Kísérletek

I. Gauss

törvénye

elektromos

térre

f

d dV div D f D Az elektromos tér

forrásai az

elektromos töltések.

Az egynemű töltések

taszítják, a különneműek

vonzzák egymást. Az

elektromos erőtörvény inverz

négyzetes törvény.

II. Gauss

törvénye

mágneses

térre

0 0f

df div B B

A mágneses tér

forrásmentes

Nincsenek mágneses

töltések.

III. Faraday

törvénye g f

dd d

dt E l B f

rott

BE

A változó mágneses

tér balcsavaros

örvényes elektromos

teret kelt.

A vezetőhurokhoz képest

mozgó mágnes a

vezetőhurokban feszültséget

(áramot) indukál, a mágneses

térben mozgó

vezetőhurokban feszültség

(áram) indukálódik.

IV. Ampere-

Maxwell

törvény g f f

dd I d d

dt t

DH l D f J f

rott

DH J

Az elektromos áram

és az időben változó

elektromos tér

mágneses teret kelt.

Az elektromágneses

hullámok létezése és a

0 0

1c

összefüggés.

6

A Maxwell-egyenleteket anyagi közegekben ki kell egészíteni az anyagegyenletekkel. Az

ezekben szereplő konstansok anyagállandók. Az integrális Maxwell-egyenletek általánosabbak a

differenciális alakoknál. A differenciális egyenletek megoldásait a közeghatároknál a

D D E E

B B H H J

n n t t

b n t t N

2 1 2 1

2 1 2 1

0

0

szabályok szerint illeszteni kell.

3. A Maxwell-egyenletek megoldása; a potenciálok és a hullámegyenlet

Ebben a fejezetben az a célunk, hogy a Maxwell-egyenleteket egyszerűbb alakban írjuk fel,

és megmutassuk, hogy a mozgó töltések (töltések és áramok) ismeretében hogyan határozhatjuk

meg az elektromágneses teret. Elemzésünk nagyrészt matematikai lesz, a végeredmény matematikai

szimmetriája azonban az elektromágneses tér fizikai szimmetriáját is jól megjeleníti. A

0div B

egyenletből következik, hogy a B felírható egy A vektortér rotációjaként, azaz

rotB A

Ezzel formálisan meg is oldottuk a B vektortér meghatározásának kérdését. Csupán annyi

maradt hátra, hogy megmondjuk, hogy az A-t hogyan kell meghatározni a töltések és az áramok

ismeretében. Azt persze fontos és érdemes emlékezetünkben tartani, hogy a egyenlet az A-t csak

részben (egy tetszőleges skalárfüggvény gradiensének erejéig) határozza meg, hiszen ha A-ra

érvényes, hogy rotB A , akkor grad A A esetén is igaz, hogy rot B A , ahol egy

tetszőleges függvény. Ha a

rott

BE

egyenletbe beírjuk B fentebb meghatározott értékét, akkor a

0rott

AE

egyenlethez jutunk, amelyből következik, hogy

gradt

AE

A negatív előjelet konvencionális okokból használjuk. Ha A nem függ az időtől, akkor a

fenti egyenlet az sztatikus elektromos potenciálra vonatkozó egyenlet. Ezt az egyenletet

gradt

AE

alakban felírva az E vektorteret is meghatároztuk, csupán azt kell megadni, hogy a és az A hogyan

függ a töltések helyzetétől és mozgásától (a töltésektől és az áramokról) Azt persze továbbra is

fontos és érdemes észben tartani, hogy A-t és -t (az egyenletek egyszerűsítése érdekében)

grad

t

A A

módon meg lehet változtatni, ha tetszik meg lehet választani. Az A és fenti egyidejűleg

végrehajtott megváltoztatása a fizikai B és E mezőket az egyenletekből jól láthatóan nem változtatja

meg.

7

A potenciálok és a töltések és áramok közötti kapcsolatot a két további Maxwell-egyenlet

határozza meg:

0

div

E

0

div

t

A

0 0 0rot rot gradt t

AA j

0 0 0grad div gradt t

AA A j

Használjuk ki most a potenciálok megválasztásának fent említett szabadságát, és válasszuk

meg az A vektorpotenciált

0 0divt

A

módon. Ekkor a fenti két bonyolult egyenlet egyidejűleg a következő egyszerű alakú lesz:

2

0 0 2

0

2

0 0 02

t

t

A

A j

Bevezetve a 0 0

1c

jelölést, a potenciáloknak a töltésektől és az áramoktól való

függését meghatározó egyenletek

22

02 2

0

2

02 2 2

0

1

1

cc t

c t c

A j

A j

lesznek. Ezekből az egyenletekből az elektromágneses térre vonatkozó néhány általános

következtetés könnyen kiolvasható:

A skalárpotenciált az első egyenlet határozza meg, amelyben csak az elektromos töltés

sűrűsége szerepel. Az A vektorpotenciál komponenseit ugyanilyen alakú egyenletek határozzák

meg, azzal a különbséggel, hogy a töltéssűrűség helyett az áramsűrűség megfelelő komponensei

szerepelnek. Az egyenletek megoldása matematikailag azonos módon történik.

Az egyenletekben a ct, x, y, z változók (koordináták) azonos módon szerepelnek, és az

egyenletek relativisztikus invarianciáját ez jól szemlélti.

Az egyenletek a tér azon részében, ahol és j zérus

2

2 2

10

c t

8

alakúak, ahol a skalárpotenciál, vagy az A vektropotenciál valamelyik komponense. Erről az

egyenletről pedig felismerhető, hogy egy c fázissebességű hullámot ír le.

XVI. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

Bevezetés: Az időben változó mágneses mező örvényes elektromos mezőt kelt, az

időben változó elektromos mező pedig örvényes mágneses mezőt. Az időben nem

egyenletesen váltakozó elektromos és mágneses mezők egymással

összekapcsolódva váltakozó elektromágneses mezőt jelentenek. Az

elektromágneses mező változása a térben elektromágneses “zavar”-ként véges

sebességgel tovaterjed, a térben elektomágneses energia áramlik. Ezt a jelenséget

nevezzük elektomágneses hullámoknak A mező szabályos -periódikus- váltakozása

esetén az elektomágneses hullámokat kísérletileg látványosan és meggyőzően ki

lehet mutatni.

A rádió, a televívió, a mobil telefon, a mikrohullámú sütő az elektromágneses

hullámokon alapuló eszközök.

1. Elektromágneses hullámok előállítása

Tekintsük az 1. ábrán látható kísérleti elrendezést. Az egyes RLC körre

U U t1 10 sin váltakozó feszültséget kapcsolva a kettes RLC körben induktív csatolás révén

kényszerrezgéseket hozunk létre és a kettes RLC körben a kondenzátoron lévő feszültség

U U t2 20 sin módon változik. A kettes RLC körben lévő kondenzátor – az egyszerűség

kedvéért körlapoknak gondolt – fegyverzetei között 0 sin t E E módon változó elektromos

mező alakul ki. A fegyverzetek széleinél az elektromos mező az ábrán szemléltetett módon térben

is változik ugyan, de az alábbiakban elsősorban az időbeli változás következményeit vizsgáljuk.

Gondoljunk el ehhez egy az 1. ábrán feltüntetett, a körlap alakú fegyverzetek sugaránál (Rf) kissé

nagyobb Rg sugarú, a lemezek síkjával párhuzamos síkú kör alakú görbét, amelynek síkja a

fegyverzetek síkjai között középen helyezkedik el. Alkalmazzuk most erre a g görbére az Ampere-

Maxwell törvényt. A kísérleti berendezés szimmetriája alapján azt kell feltételeznünk, hogy a g kör

mentén olyan a kör érintőjének irányába mutató, B(rg,t) nagyságú mágneses indukcióvektorral

jellemzett mágneses mező jelenik meg, amelyre:

0,

g g

g

F F

r t d dt

EB l f

Az E elektromos mezőt a kondenzátor fegyverzetei közötti térre korlátozottnak és homogénnek

képzelve:

2

0 02 cosg g gB r t r E t r

0 0

1cos

2g gB r t r E t

A g kör mentén tehát időben változó mágneses mező alakul ki. Vegyünk most fel egy sugarú kört

a g körvonal egy pontja körül a g körvonalra merőleges síkban. A Faraday törvény alapján a

sugarú kör mentén elektromos mezőnek kell lennie, amelyre:

9

F

F

t d dt

BE l f

2 2

0 0

12 sin

2gE t r E t

2

0 0 sin2 2

grE t E t

A kondenzátor fegyverzetei közötti térben lokalizáltnak képzelt időben változó elektromos mező a

fegyverzeteken kívüli térben időben változó mágneses mezőt kelt, amely maga körül elektromos

mezőt indukál. Az időben változó elektromos mező a kondenzátor fegyverzetei közül – a térbeli

inhomogenitáson túl – kiterjed, kisugárzódik.

Tekintsük most a 2. ábrán látható kísérleti elrendezést, amelyet az 1. ábrán láthatóból úgy

kapunk, hogy a kondenzátort képzeletben szétnyitjuk. Ekkor valójában egy soros RLC körhöz

csatolt vezető darabbal van dolgunk (2b ábra), amelyet dipólus-antennának nevezünk. A dipólus-

antenna mint RLC kör ellenállását, kapacitását és induktivitását a vezetékdarab (hossza mentén

elosztottnak képzelhető) ellenállása, kapacitása és induktivitása jelenti. A kapacitás és induktivitás

kis értéke következtében a dipólus antenna saját frekvenciája igen nagy lesz. Az RLC kör

szétnyitásával előálló dipólus-antenna kényszerrezgéseit úgy képzelhetjük el, hogy az antenna két

végpontja között a feszültség U U t 0 sin módon változik azaz az antenna egyik végpontjának

pozitív (másik végpontjának negatív) töltése Q Q t 0 sin módon változik. Ebből következik, hogy

az antenna Qp l dipólus-momentumra 0 0sin sinQ Q t t p l l p módon változik. Ezen

időben változó dipólus-momentum által létrehozott változó elektromágneses mezőnek a

kialakulását a dipólus elektromágneses sugárzási terének és tulajdonságait vizsgáljuk meg a

következő fejezetekben.

2. A hullámegyenlet

Az eddigi fejezetekben ún. induktív módon, a megfigyelt jelenségekből általánosítva

jutottunk a törvényekhez. Az elektromágneses hullámok esetén is eljárhatunk úgy, hogy kísérleti

tényekből következtetünk az elektromágneses hullámokra, és a megfigyelések alapján próbáljuk

meg leírni a jelenségeket. Ez egyrészt komplikált és mesterkélt, másrészt a Maxwell-egyenletekből

egyszerűen levezethető, hogy létezniük kell elektromágneses hullámoknak.

Képzeljük el, hogy az előző fejezetben leírt dipólus-antenna homogén és izotróp közegben

(ahol nincsenek töltések és áramok =0 és j=0) van és az antennától nagy távolságban próbáljuk

meg leírni az elektromágneses tér változásait.

0

0

r

r

rott t t

rott t t

D E EH

B H HE

0; 0div div E H

2 2 2

2 2 2

rot rot grad div

x y z

A A A

A A AA

10

rot

grad divt

EH H

2

2t

HH

rot

grad divt

HE E

2

2t

EE

0 0

2 2

2 2 2 2

1 1

1

r r r r

v t v t

cv

E HE H

A fenti egyenletek úgynevezett hullámegyeneletek, amelyek egy v fázissebességgel haladó

hullámot írnak le.

Megjegyzés: Az általában függ az elektromos tér változási sebességétől (a

frekvenciától), azaz A hullámegyenlet következménye a Maxwell-

egyenleteknek, de nem ekvivalens azokkal. A következő fejezetben látni fogjuk, hogy a

Maxwell egyenletek külön megszorításokat jelentenek.

3. Elektromágneses síkhullámok

Tegyük fel, hogy az elektromágneses tér olyan, hogy csak az (x,t) mennyiségektől függ. Ezt

egyrészt el tudjuk képzelni, másrészt technikailag is megvalósítható. Az előző fejezetben tárgyalt

elektromos dipólus-antennától nagy távolságban a tér változása közelítőleg ilyennek tekinthető. Ez

a feltevés azt jelenti, hogy:

0, 0, 0, 0yx z

EE Eazaz

y y y y

E

0, 0, 0, 0yx z

EE Eazaz

z z z z

E

stb.

Induljunk ki a Maxwell egyenletekből:

y xz

x

H EHrot

y z t

H

yx z

y

EH Hrot

z x t

H

y x z

z

H H Erot

x y t

H

11

0yx z

EE Ediv

x y z

E

A fenti feltevésekkel:

E

t

E

x

x x 0 0;

;yz

EH

x t

H

x

E

t

y z

Teljesen hasonlóan:

0; 0x xH H

t x

;yz

HE

x t

y zE H

x t

Az első egyenletcsoport első két egyenlete az elektromos térerősség x komponensének, a

második egyenletcsoport első két egyenlete a mágneses térerősség x komponenségnek állandó voltát

fejezi ki. A hullámjelenségek szempontjából ezek nem játszanak szerepet, értéküket zérusnak

vehetjük:

0; 0x xE H

A két egyenletcsoportot átrendezve:

yzEH

x t

y zE H

x t

y zH E

x t

yzHE

x t

két egyenletpárt nyerünk, amelyek egymástól függetlenek. Az első egyenletpár a Hz - Ey, a második

pár a Hy - Ez komponensek egymástól és a tértől és időtől való függését írja le. Az egyszerűsítés

kedvéért tegyük fel, hogy a tér valamely helyén olyan változó elektromos teret keltünk, melyre Ez=0

( és Hy=0). Ekkor Ez -- Hy tér nem alakul ki. Az Ey tér időbeli változása viszont Hz teret kelt, és

megfordítva. A fenti első egyenletpár egyenleteit x szerint deriválva, és az idő és hely szerinti

deriválásokat felcserélve:

2 2 2

2 2 2 2

1y yz z zE EH H H

x t t xx t v t

2 2 2

2 2 2 2

1y y yz zE E EH H

x t t xx t v t

Az így kapott egyenletek természetesen speciális esetei a korábban levezetett

hullámegyenletnek. A levezetés során azonban azt is beláttuk, hogy a térnek nincsennek változó x

komponensei (Ex=0; Hx=0), és a Hz - Ey és az Ez -Hy komponensek független párokat alkotnak.

A fenti hullámfüggvényeket bármilyen

f tx

vx

12

alakú függvény kielégíti. A + jelnek megfelelő megoldás, a negatív x irányba, a - jelnek megfelelő

megoldás a pozitív x irányba haladó hullámot ír le. Ha

;y y z z

x xE E t H H t

v v

alakúak, és az argumentum szerinti differenciálást ‘-vel jelöljük, akkor:

E

x vE

E

tE

y

y

y

y 1

;

H

x vH

H

tH

z

z

z

z 1

;

Ezen összefüggéseket felhasználva az Ey - Hz -re vonatkozó

H

x

E

t

z y

E

x

H

t

y z

egyenletekből azt kapjuk, hogy:

1 1

vH E

vE Hz y y z ;

Az argumentum szerint integrálva, és az integrációs konstansokat zérusnak választva:

H vD E vBz y y z ;

A Hy - Ez komponensekre vonatkozó egyenletekből:

;y z z yH vD E vB

Az E, B, v (D, H, v) vektrorokra a fenti összefüggések a

; H v D E v B

vektrori alakban írhatók fel.

Az E, B, v (D, H, v) vektrorok egymásra merőlegesek, és a fenti értelemben jobbsodrású

rendszert alkotnak. Az E, B, v (D, H, v) vektrorok ezen tulajdonsága a haladó elektromágneses

hullámok koordinátarendszeről független - belső - szimmetriatulajdonsága. Az elektromágneses

hullám tranzverzális hullám.

Ha a v, E, B vektrok rendre az x, y, z (i, j, k) irányokba mutatnak, és ezt az elrendezést

tetszőlegesen elforgatjuk, újra a hullámegyenlet egy megoldását nyerjük. A Hz - Ey -ra vonatkozó

megoldásból az x körüli 90o-os elforgatással az Ez - Hy -ra vonatkozó megoldásokat nyerjük. Az y

körüli 180o-os elforgatással az x irányba haladó hullámból -x irányba haladót nyerünk. Az E és H

vektorok nagyságára vonatkozóan:

H vD E E

;

E

H

vákuumban:

E

H

0

0

120 377

amelyet a vákuum - hullám - ellenállásának nevezünk.

13

A hullámegyenletet tetszőleges f t x v alakú függvények kielégítik, így a

monokromatikus (tiszta periodikus):

0 cosx x

f t f tv v

alakú függvények is. Ezen függvényekből tetszőleges függvények előállíthatók, ezért elegendő az

0 0cos ; cosy y z z

x xE E t H H t

v v

függvényekkel leírt monokromatikus elektromágneses síkhullámokat megvizsgálnunk.

Definiáljuk a k v hullámszámot, ekkor:

E E t kx H H t kxy y z z 0 0cos ; cos

Bevezetve az

0 0 0 0;y y z zE H E e H e

jelölést, a lineárisan polarizált síkhullámot:

0 0cos ; cost kx t kx E E H H

alakba írhatjuk. Ha n-nel jelöljük egy haladó síkhullám hullámfrontjára - .t kx const -

merőleges egységvektort, és definiáljuk a k=kn hullámszámvektort, akkor a síkhullámot:

0 0cos ; cost t E E kr H H kr

alakban is felírhatjuk. Gyakran alkalmazzuk az

E E H H

kr kr

0 0e ei t i t ;

komplex írásmódot.

A Hz - Ey és Ez-Hy síkhullámokat egyszerűen szemléltethetjük. Ha ezek egyszerre vannak jelen,

akkor az Ey komponenst

0 cosy y yE t kx E e

az Ez komponenst

0 cosz z zE t kx E e

írja le. Az eredő elektromos tér:

0 0 0cos cos sin siny z y y z z z zE E t kx E t kx E E E e e e

Egy rögzített t=t0 időpillanatban az E vektor végpontja elliptikus csavarvonalat ír le, egy rögzített

x=x0 síkban az E vektor végpontja elipszis mentén körbeforog.

Elektromágneses állóhullámok jönnek létre, ha az

0 0cos ; cosy y z zE E t kx H H t kx

0 0cos ; cosy y z zE E t kx H H t kx

hullámokat összeadjuk:

14

0 02 cos cos ; 2 sin siny y z zE E kx t H H kx t

Megjegyzés: Homogén vezető közegben a Maxwell egyenletekben

rott t

E E

H J E

szerepel, a síkhullámmegoldások pedig

0,

i tct e e

Nrkr

E r E

alakú, exponenciálisan csökkenő amplitúdójú hullámot adnak.

4. Az elektromágneses tér energiája

Az elektromos és mágneses tér energiasűrűségét

1 1

2 2E Mu u ED HB

adja meg. Ez az energia - a tér töltsémegosztó mágnesező képessége folytán - mechanikai (pl.

műszer kitérés) vagy hőenergiává alakulhat. A haladó elektomágneses hullámban az E, D, H, B

vektorok “haladnak”. Ezek “haladása” energia-áramlást is kell, hogy jelentsen. A következőkben

azt vizsgáljuk meg, hogy a tér állapothatározói és a (pl. mérőműszerekben) megjelenő mechanikai

energia között milyen összefüggések érvényesek, és hogy milyen kapcsolat van az

energiaáramlás és a tér állapothatározóinak változása között.

Homogén és izotróp kozegekben az energiasűrűség időbeli változását:

E MEMu uu

t t t t t t

E H D BE H E H

adja. Az energia időbeli változásának meghatározásához ezt a kifejezést kell megadni.

rot rott t

D BH J E

rot rott t

D BH E E H E H EJ

EMudiv

t

ExH EJ

EMudiv

t

ExH EJ

EM

V f V

u dV d dVt

E H f EJ

2

EM

V f V

u dV d E dVt

E H f

15

Ez az egyenlet az elektromágneses térre vonatkozó energia-megmaradást fejezi ki: A V

térfogatban “tárolt” elektromágneses energia sűrűségének idő szerinti deriváltja a térfogatban

fejlődő Joule-hő időbeli változásának és a V-t határoló felületen való energia-átáramlás

sebességének összegével egyenlő. Az

S E H

mennyiséget (Poynting-vektor) a sugárzási energia-áramsűrűséget (az egységnyi felületen

egységnyi idő alatt átáramló energia mérőszámának megfelelő nagyságú ExH irányú) vektor.

EMudiv

t

EJ S

EM

V V f

u dV dV dt

EJ S f

Megjegyzések: A fenti egyenletet egy l hosszúságú vezetőképességű df felületű líneáris

vezetőre alkalmazva és feltéve, hogy E* idegen térerősség is jelen van a

2udV I R EI dt v f

S f

egyenletet nyerjük.

Ha a V térfogatban v konvekciós áramsűrűség is jelen van, akkor az energia-mérlegben az

E f E

erősűrűség határát is figyelembe kell venni. Az

dV vE

az elektromágneses tér által a sűrűségű töltésrendszernek időegység alatt átadott ()

energia, amely a kinetikus energia-változás sebessége:

dKdV

dtv vE

Ha J = 0 és S = 0, akkor:

tu dV

dK

dtEM 0

U K konstEM .

Az energia-megmaradást kifejező

EMu dV dV dt v v f

EJ S f

egyenlet az energia-áramlásra vonatkozó szemléletünk módosítását kívánja:

1. Az energia az E és H vektorokkal,

2. Az enegia szállítása az S Poynting vektorral azaz az E és H vektorokkal kapcsolatos.

3. Az energia nem a vezetőben, hanem a vezetőt körülvevő dielektrikumban áramlik.

16

Tekintsük az E0ei(t-kr)

síkhullámot és határozzuk meg a k-ra merőleges df felületen időegység alatt

átáramló energia és a felület hányadosát. A df felületen dt idő alatt a dV =dfvdt térfogatban “tárolt”

energia áramlik át:

dU udV uvdfdt

Sdf

dU

dtuv

1

u E H 1

22 2

E vB

u E H EHEH

v 2 2

S EH

S E H

Megjegyzések: 1 12 2 2 22 2

E Hu E u H azaz u u uE M

0 0

1

2S H E

Vezető közegben:

H

E

U

U

Réz esetén ( = 10-4

cm hullámhosszra):

33.4.10H

E

U

U

Az S Poynting-vektor segítségével leirhatjuk az elektromos energia vezetékeken történő szállítását

ideális = 0 és veszteséges vezető esetén. Az idegen elektomos erő határát ugyancsak

tárgyalhatjuk, és meghatározhatjuk az áramforrástól a fogyasztóhoz szállított energiát.

Mindezek részletes végiggondolása azt a szemléletes képet adja, hogy:

1. Az áramforrásban az idegen erő az elektromos töltéseket a tér ellenében szétválasztja és

elektromos energia áramlik ki a térbe.

2. Az energia a vezeték menetén a térben terjed a fogyasztóhoz.

3. Az energia a vezetékkel majdnem párhuzamosan terjed a vezeték felületén beáramló

energia a vezetékben hővé alakul.

Megjegyzés: Ha a kondenzátor feltöltését a Maxwell egyenletek alapján végiggondoljuk arra

jutunk, hogy a lemezek közötti térben levő energia a lemezek közötti tér oldalfelületén

áramlik be a térbe.

4. Elektromágneses tér impulzusa

17

Az elektromágneses tér töltéssel rendelkező anyagra erőt gyakorol. Ezt az erőt ponderomotoros

erőnek nevezzük, a térfogategységre eső nagyságát és irányát, az f ponderomotoros erősűrűséget a

Maxwell egyenletekből levezethetjük. Homogén és izotróp közegre:

x f E J B

dVV

F f

Megjegyzés: Ha E, v, B a V térfogatra állandó, akkor

Q x F E v B

Inhomogén közegekre:

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2A A

A A

E grad H grad grad E grad H

f E J B

Az elektromágneses tér a ponderábilis anyagra erőt gyakorol, mechanikai impulzusát

megváltoztatja. Az impulzusmegmaradás csak akkor teljesül, ha a térnek impulzust tulajdonitunk:

.M konst g g

ahol gM

a mechanikai impulzussűrűség g pedig az elektromágneses tér impulzussűrűsége. A

mechanikai impulzussűrűségre:

Md

dt

gf E J B

Az elektromágneses tér impulzussűrűsége (vákuumban):

1 1

2 2

1 1

2 2

c c

ug S uc

cc c

g S E H

Az elektormágneses tér impulzusának egyik kísérleti bizonyítéka az úgynevezett hullámnyomás

kimutatása. Az egységnyi felületre időegység alatt:

uG gc c u

c

impulzus érkezik, azaz az egységnyi felületen kifejtett erő (hullámnyomás)

p u

Ha a közeg visszaveri a hullámot

2p u

Lebegyev kísérlet: Torziós inga két végén lévő tükröket az inga periódus idejével

megegyezően szaggatott fénnyel megvilágítva az inga rezgésbe jön.

Az elektromágneses tér effektív tömegsűrűségét

EMg c

definicióval értelmezzük. A tér energiasűrűségére

18

2EMu c

adódik.

5. Szabad elektromágneses hullámok

Az elektromágneses hullám - az egymással összefonódva változó E és H tér - a teret létrehozó

(mozgó) töltésekből nagy távolságra is eljuthatnak, kisugárzódhatnak. A kisugárzás vezetőkör

alakjától és a változások gyorsaságától erősen függ. Egy dipólus-antenna sugárzását az eddigiek

alapján kvalitatívé könnyen értelmezhetjük.

Kísérlet: Bemutatjuk a Hertz-féle oszcillátort és a Hertz-féle dipólust.

Az ún. dipólus-antenna sugárzási terének kialakulását úgy képzelhetjük el, hogy tekintjük egy

időben változó dipólus elektromos erővonalait és ezen változó elektromos tér által keltett mágneses

tér indukcióvonalait. A dipólus-antenna rezgéseinek megfelelő hullámhossznál sokkal rövidebb

dipólus sugárzási terét a Maxwell egyenletekből úgy származtathatjuk, ha feltételezünk egy P(r,t)

dipólusmomentum-sűrűséget.

5 3

0

1 3,

4 rt

v

tr r

pr pE r r

4 2

0

31

4 rt

v

vr vr

pr pr (5.1.)

2 3 2

0

1

4 rt

v

v r v r

pr pr

2 2

1 1,

4 4r r

t tv v

tr vr

H r p r p r (5.2.)

1. r l

2. r l

3. r l hullámzóna:

2 3 2

0

1,

4 rt

v

tv r v r

pr pE r r (5.3.)

2 3

0

1,

4r

tv

tv r

E r p r r (5.4.)

2

1,

4r

tv

tvr

H r p r (5.5.)

0

1

v E H N (5.6.)

0v H N E (5.7.)

Ha

19

0

i te p p (5.8.)

akkor:

2

0

0

1,

4

i t kre

t kr

E r p N N (5.9.)

2

0

1,

4

i t kre

t kv r

H r p N (5.10.)

Polárkoordinátákban:

2

0

0

1 1sin cos

4k p t kr

r

E (5.11.)

2

0

1 1sin cos

4k p t kr

v r

H (5.12.)

A dipólus sugárzási terében az időegység alatt az egységnyi felületen átáramló energia egy

periódusra vett időátlagának értéke:

S 1

2

1

2 4

10 0

4

2

0

3 0

2

2

2E Hvpr

( )sin (5.13.)

Q Q t

I Q t I t

t

p Q lI l

0

0 0

0

0 0

0

sin

cos cos

sin

p p (5.14.-17.) p00

I l

(5.18.)

S 1

2 4

12

2

0

3 0

2

2

2

( )( ) sin

vI l

r (5.19.)

p Sdf

2

0

3

2 2

0

2

2

6

2

3vI l

v

lIeff eff (5.2ö.)

Kísérletek: Maxwell elméletére (1865) támaszkodva Hertz 1987-ben kísérletileg kimutatta

az elektomágneses hullámok létezését, és a fényhullámokkal azonos természetét.

a) Hertz - féle dipólus(adó és vevő)

b) Állóhullámok ( )c

c) Egyenes vonalú terjedés

d) Visszaverődés

e) Törés ( n r )

f) Polarizáció

6. Elektromágneses hullámok vezetékek mentén

20

Egy hosszú, egymáshoz közeli vezetékpár (Lecher-drótpár) mentén kialakuló elektromágneses

tér leírását elvégezetjük a Maxwell-egyenletek alapján. A szokásos leírás az ún. telegráf-

egyenletekkel történik. Definiáljuk az egységnyi hosszúságon eső ellenállást induktivitást,

kapacitást és átvezetést (R’,L’,C’,G’). A Faraday-törvényt a vezetékpár egy dx szakaszára

alkalmazva

V

xR I L

I

t' ' (6.1.)

A kontinuitási egyenletből adódik

I

xG V C

V

t' ' (6.2.)

Ezekből a

2

2

2

2

V

xL C

V

tR C G L

V

tR G V ' ' ( ' ' ' ' ) ' ' (6.3.)

telegráfegyenletet nyerjük R’=0, G’=0 esetén

2

2

2

2

V

xL C

V

t ' ' (6.4.)

2

2

2

2

I

xL C

I

t ' ' (6.5.)

vL C

1

' ' (6.6.)

Nagy frekvenciák esetén v 1

. A hullámterjedés a vezetékek közötti térrészben történik.

Azt, hogy drótpár mentén elektromágneses hullámok alakulnak ki, egyszerű kísérletekkel

szemléltethetjük.

Kísérlet: Egy hosszú vezetékpár egyik végét w frekvenciájú generátorral gerjesztve

megfigyeljük a nyitott és zárt végű vezetékpáron kialakuló állóhullámokat.

7. Információátvitel elektromágneses hullámokkal

Az információátvitel elve:

IAÁAEM hullámVVÁ I

Rádióhullámok:

2 4

1000 m > l >100 m> l >10 m> l >1 m> l >0,1 m

hosszú közép rövid ultrarövid mikrohullám

A rádió adóállomása; moduláció. A modulációnak több fajtája van: annak megfelelően,

hogy a nagyfrekvenciájú, szinuszos rezgésnek melyik adatát változtatjuk meg (moduláljuk) a

hangrezgéssel, amplitúdó-, frekvencia- és fázismoduláció különböztethető meg. Az általában a

hosszú-, közép- és rövidhullámú adóknál alkalmazott amplitúdómoduláció esetében az a-c ábrák

tüntetik fel a moduláló vagy a hangfrekvenciás rezgést a nagy- vagy rádiófrekvenciás rezgést

(„vivőrezgést”) és a modulált rezgést. Az ábrák helyes elképzeléséhez: ha pl. A vivőrezgés

frekvenciája 500 kHz, a hangrezgésé pedig 500 Hz, akkor a hangrezgés egy periódusára 1000

vivőrezgés jut. A modulációnak fontos következménye van. Tegyük fel, hogy a nagyfrekvenciás

rezgés alakja A tsin , a moduláló hangfrekvenciás rezgésé pedig B thsin ,ahol 2 az ún.

21

Hordozó vagy vivőfrekvencia, h h2 pedig a moduláló (hang-)frekvencia. Ekkor az ábráról

láthatóan a modulált rezgés amplitúdója A+B és A-B között ingadozik, tehát a modulált rezgés

alakja:

( sin )sin

( , ).

h

h

U A B t t

B A

(7.1.)

A B A1 hányados a moduláció foka (mélysége). A (7.1.) egyenlet a

2sin sin cos( ) cos( )

összefüggés felhasználásával így is írható:

U A tB

tB

th h sin cos( ) cos( ) . 2 2

(7.2.)

A fenti modulált rezgés tehát úgy is felfogható, hogy az három, n, n+nh és n-nh frekvenciájú

szinuszos rezgésből, ill. Hullámból tevődik össze. Mivel pl. Zene átvitelénél a nh felső határa kb.

10000 Hz, az adó a n frekvenciájú vivőhullámon kívül kisugározza a n-nél kb. 10000 Hz-cel kisebb

és nagyobb frekvenciahatárú két „oldalsávot” is. Ezért ahhoz, hogy két rádióadó a legmagasabb

hangok vételekor se zavarja egymást, vivőfrekvenciáiknak kb. 20000 Hz-cel kellene különbözniük.

A valóságban ez a különbség az adók nagy száma miatt csak 9000 Hz, úgyhogy a magas hangoknál

„áthallás” jó vevőkészülékben is előfordulhat.

Az ultrarövid hullámú és a mikrohullámú adókban alkalmazott frekvenciamoduláció

esetében a modulált rezgés amplitúdója állandó (U0), pillanatnyi frekvenciája (np) pedig időben

változik ([7.2.] ábra), nevezetesen a hangrezgés nh frekvenciájával periodikusan ingadozik n+Dn és

n-Dn között, ahol n a vivőrezgés frekvenciája, a Dn „frekvencialöket” pedig egy állandó érték. A

frekvenciamodulált rezgés egyenlete:

U U t th

h

0 sin sin ,

(7.3.)

A pillanatnyi wp körfrekvencia mint a szinuszfüggvény zárójelben lévő argumentumának idő

szerinti differenciálhányadosa, p ht cos , valóban wh körfrekvenciával ingadozik w+Dw

és w-Dw között. A (7.3.)-nak és U U t 0 sin( ) -nek egybevetéséből láthatóan a

frekvenciamoduláció egyúttal fázismoduláció is, és megfordítva.

Az itt részletesebben nem tárgyalható frekvenciamoduláció egyik előnye az

amplitúdómodulációval szemben az, hogy alkalmazásával jóval kedvezőbb a jel/zaj viszony, azaz a

különböző zavarokkal szemben sokkal kevésbé érzékeny vétel érhető el.

A rádió vevőállomása; demoduláció. Az adóállomások által kibocsátott hullámok a

rádióvevő antennájában rezgéseket hoznak létre, amelyek közül vagy az antennának, vagy egy hozzá

kapcsolt rezgőkörnek a hangolásával kiválasztjuk a venni kívánt állomástól származókat. Ha ezeket

a modulált rezgéseket közvetlenül, vagy akár felerősítve a fejhallgatóba vagy hangszóróba

vezetnénk, az nem szólalna meg, mert tehetetlensége folytán a membrán az igen nagy frekvenciájú

és teljesen szimmetrikus áramingadozásokat nem képes követni. Ezért a modulált rádiófrekvenciás

rezgéseket hangfrekvenciás rezgésekké kell visszaalakítanunk, más szóval demodulációt kell

alkalmaznunk, amely-egyelőre az „amplitúdómodulált rezgések” esetét véve-egyenirányítással

valósítható meg. Az egyenirányított rádiófrekvenciás rezgések ugyanis már nem szimmetrikusak, az

áramingadozások az egyik irányban hiányoznak, vagy jóval kisebbek, és így a fejhallgató vagy

hangszóró membránja eme ingadozások átlagértékének megfelelően mozog. Kissé pontosabban, az

egyenirányított rádiófrekvenciás rezgés három összetevőre bontható: egy (nemszinuszos)

nagyfrekvenciás, egy hangfrekvenciás és egy egyenáramú összetevőre. A nagyfrekvenciájú

komponens pl. a fejhallgatóval párhuzamosan kapcsolt Cf ( )100pF kondenzátorral „kiszűrhető”,

szükség esetén egy megfelelő kondenzátorral az egyenáramú összetevő is, és így elérhető, hogy a

fejhallgatón csak a hangfrekvenciájú komponens menjen át.