mbhgtfyhjhr cfdtrvb bg

8/18/2019 mbhgtfyhjhr cfdtrvb bg

1/9

Compartimentul 6

Modele neliniare

1) În lucrările precedente am analizat modele liniare, însă frecvent teoria economică

trebuie să fie formalizată cu ajutorul relaţiilor neliniare.

Mai întâi vom examina modele prin specificarea lor fiind neliniare, dar liniare în raport

cu parametrii lor.

l) Modele de tip exponenţial.

ie dat modelul !obb"#ou$las% Q K L= α α α & 1 '

(ransformarea lo$aritmică conduce la %

l$*l$+α&)α1l$+-) α'l$+)

/bservâm că în modelele specificate sub forma lo$"lo$, coeficienţii se interpretează

direct prin termenii de elasticitate.

Întradevăr

α ∂

∂

∂

∂

∂

∂

α α α α

α α

α α α α

α α 1

& 1

1

& 1

&

1

' 1 '

1 '

1= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

−Q Q

K K

Q

K

Q

K

K

Q

K L K

Q

K L

K L

0

0

ln

ln

producţiei în raport cu capitalul.

nalo$ic α ∂

∂ ' =

ln

ln

Q

L

Modelul se estimează în felul următor. 2om face notaţiile%

3n * , ln α& * a&, ln - * - , ln * .

tunci modelul devine * α& +α1- α' u.

stfel modelul se reduce la modelul analizat în lucrarea '.

#e remarcat că testul t se verifică u4or, însă testul lui #urbin 4i 5atson nu se

interpretează, deoarece modelul este specific în date instantanee +coupe instantanee). 3n cazul

acestui model putem verifica cum este randamentul la scală, prin verificarea ipotezelor

următoare.

3& % α& α1 * 1 producţia cre4te în proporţii identice factorilor de producţie.

31 % α& α1


2/9

: * β& β1x β'x' ; β7x7

care prin definiţie este liniară în raport cu parametrii săi.

!ele mai curente aplicaţii ale acestor modele apar la%

estimare tendinţei pentru o serie cronolo$ică pentru care cunoa4tem puncte de

reîntoarcele%

:t * β& β1t β't' βillips +relaţiei dintre inflaţie 4i

4omaj)

: * β& β11 x

') Modele de difuzie.

=utem distin$e trei $eneraţii de modele de acest tip, numite 4i modelele curbei de viaţă a

produsului%

prima $eneraţie sunt modelele cele mai cunoscute destinate pentru determinarea

evoluţiei probabile a vânzărilor cunoscând pra$ul de saturaţie, printre ele de menţionat modelul

lo$istic +sau curba 2er>ulst sau curba =earl) 4i modelul ?ompertz. a doua $eneraţie modelează piaţa totală, piaţa potenţială 4i vânzările la

momentul simultan t. ormularea lor e mai complexă, am putea menţionat modelele !>o@

+18AB), acCman +18BD), Ma>ajan"=eterson +18B8).

a treia $eneraţie nu mai postulată statornicia pieţei totale.

2om analiza modelul lo$istic, care poate fi formulat astfel%

y y

br t t = +

max,

1

unde b 4i r sunt doi parametri ai modelului +&


3/9

ln ln+ ) ln+ ) ,max

y

yb t r Y t

t

t −

= + → = +1 & 1β β

unde y y

yb r t

t

= −

= =ln , ln+ ), ln+ ).max 1 & 1β β

stfel am redus modelul la un model simplu de re$resie în raport cu timpul, pe care

estimându"l obţinem

b e= β & 4i r e= β 1 .#easemenea putem aici aplica 4i alta metode% metoda Fbala:a$eG +de suflare) sau metode

celor trei puncte.

În mod analo$ procedăm în cazul modelului ?ompertz%

y e y br at br a

t

t t

= → = ++ ln+ )

cu pra$ul de saturaţie :max * ea, b 4i r fiind ' parametri ai modelului, dacă t→∞, atunci :t

→ :max, 4i dacă t→"∞, atunci :t→&.

#ificultăţile care apar la estimarea resultă din faptul că putem liniariză numai în cazul

când cunoa4tem valoarii pra$ului de semnificaţie. #ar totu4i putem distin$e diferite metode de

estimare%

abordări intuitive, emiţând ipoteze asupra valorilor nivelului de saturaţieH

abordări pur matematice de soluţionare a ecuaţiilor neliniare.


4/9

sau putem scrie ( ) y f f

ut t j j

p

j j t − =

− +=

=∑&

1

&&

∂

∂β β β

β β +9).

=utem utiliza M!MM= re$resând y f t t − & pe

∂

β β β f

=

& +E).

În formă matricială modelul devine%( )Y f A u− = − +& &

&β β , unde +A)

Y

y

yT

=

1

, f

f

f T

&

1

&

&

=

, a a

a a

a a p p

− =−

−

&

1 1

&

&

+ )n p

n

p

n

p

A

f

f

f

f n

× =

&

1

1

&

&

1

&

1

&

1

∂

∂β

∂

∂β

∂

∂β

∂

∂β

, u

u

un

=

1

.

Istimatorul obţinut prin M!MM= ( )β β − & este ( ) [ ] ( )β β − = −& & & & & A A A Y f T T +B)

de unde deducem [ ] ( )β β 1 & & &1

&

&= + −−

A A A Y f T T +D).

Jepetând procedura de mai sus 4i luând în calitate de valoare nouă pentru a& în +B)

β β ' 1= obţinem re$resionând [ ] ( )β β ' 1 1 1

1

1 1= + −−

A A A Y f T T +8).

=rocesul îl continuă până când ' estimaţii succesive nu depăsesc o valoare η destul de

mică%

β β

β η

j

i

j

i

j

i

+ −<

1

( ) j p= 1, +1&).

(estele uzuale necesare pentru aprecierea calităţii estimatorilor obţinuţi se aplică pentru

ultima re$resia obţinută, fapt ce permite de a interveni numai as ei.

#acă vom decide să obţinem un estimator al varianţei reziduurilor σ u'

pentru modelul

iniţial, trebui să considerăm + ,..., , ,..., )u y f x xt t p t pt = − β β 1 1 +11) , unde

, ..., , , ... ,β β 1 1 p t pt

x x sunt valorile obţinute pentru parametri după ultime re$resie. În cazul

când ut sunt normal distribuite de medie nulă. !unoa4terea σ u' 4i le$ii sale de probabilitate

sunt de altfel necesare pentru a studia matricea varianţele 4i covarianţelor pentru estimatorii +

, . . . , β β 1 p ) reţinuţi pentru model.

8B


5/9

#e altfel se poate de utilizat testele uzuale după iteraţia i. ie

( ) y f f

t t

i

j j

p

j j

i

t i− =

− +=

=∑ ∂

∂β β β µ

β β 1

. Istimând β j în ecuaţia +1') putem aprecia calitatea

estimatorului obţinut β ji+1 cu ajutorul testului clasic 6tudent.

#e altfel totdeauna putem calcula coeficientul de corelaţie multiplă J ' cu ajutorul u t din

ecuaţia +11).

R

u

y

t t

t t

'

'

'1= −

∑∑

care reprezintă fracţiunea variaţiei :t explicată de re$resiile succesive. În

$eneral se va calcula J ' asociat ultimei iteraţii până când vom ajun$e la metode de estimare

precedentă.

Studiul de caz 11 (rezolvat)

În tabelul ce urmează sunt prezentate datele ce se referă la costul total mediu 4i outputul K3+volumul producţiei lansate) unei firme.

(abelul A.1.

!ostul L 4i outputul K a firmei. r.$r. /utputul Ki !ostul mediu, lei Lij 2aloarea medie condiţionată, lei iY

1 1&


6/9

( )

( )( )

( ) ( ) n

nQ

Q !

−−−

=−−

=%N1

1%N

%

1%'

'

'

1

η

η , unde 1 O suma pătratelor varianţei explicate de

dependenţa între L 4i K iar ' O suma pătratelor reziduale.

În exemplul analizat, valorile 1 , ' 4i O suma pătratelor totale, sunt definite astfel%

( )'

1 1

∑∑= =

−=

i

n

j

ij

i

Y Y Q H ∑∑= =

⋅=

i

n

j

ij

i

Y n

Y 1 1

1 H

( ) '1

1 Y Y nQ i

i

i −= ∑=

H ( )'

1 1

' ∑∑= =

−=

i

n

j

iij

i

Y Y Q H ∑=

⋅= in

j

ij

i

i Y n

Y 1

1.

În formulele menţionate C O numărul observărilor variabilei K +numărul $rupelor), n 3 "

numărul observărilor L pentru fiecare valoare K3 +$rupei i)H iY " media condiţionată de

valoarea K3 H Y " media totală.

=entru exemplul dat C*1& iar n3 *E pentru i*1,',;, C*1&.

!alculămQ

Q1'N =η %

BD,1'89


7/9

'


8/9

(abelul A.<

r. Ki Ki'*zi Li xi zi :i xi' zi'

1 1& 1&&


9/9

,88

Documents

mbhgtfyhjhr cfdtrvb bg