Módulo 7

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al termin~r de estudiar este módulo, el alumno:

1. Interpretará el proceso para la derivación de una función compuesta.2. Empleará la generalización de la función potencial para simplificar.la derivada de

funciones compuestas.3. Determinará la derivada de una función compuesta dada, mediante la aplicación

de los teoremas vistos. en este módulo.

ESQUEMA RESUMEN

. FUNCIONh(x)

TEOREMASSOBRE

DERIVADAS

FUNCIONESCOMPUESTAS

h[g(x)]g[h(x)]

DERIVADA~I DEUNA FUNCION

COMPUESTA

137

¿Quées unafunción.compuesta?

Derivemos h(x) yluego. ..

138

7.1 Derivadas de funciones compuestas

Sean dos funciones definidas por las ecuaciones h(x) = x3 y

g(x) = x2 + 3, Y la función compuesta de h con g a la que llama-mos t, definida por t(x) = h [g(x)), y en el caso particular que nosocupa t(x) = (x2 + 3)3,

Aceptaremos antes de probarlo que la"derivada de la funciónt(x) = h[g(x)) es

('(x) = h'[g(x)) .g'(x)

Probablemente tenga usted dificultad para interpretar estaexpresión,.sin embargo observará que es sencillo. En ella seindicaque para determinar ('(x)primero se derivah(x), luego la xde h'(x) es sustituidapor g(x), quedandoh' [g(x)]y esto se multi-plica por g'(x).

Ejemplo 1 . .

sea t(x) = (x2+ 3)3 Determine('(x)

Soluciqn:

si t(x) = (x2+ 3)3 entonces h(x) = x3y g(x) = x2+ 3

CD h'(x) = 3x2

@ h'(x) = 3[g(X)]2

@ ('(x) = 3[g(X)]2 g'(x)

Solución:

Esta función es obviamente una función compuesta(f(x) = h(g(x))) en la que h(x) es reemplazada por sen X,

e~tonces\si f(x) = sen (g(X)) donde h(x) = san x

CD h' (x) = cas x

@ h'(x) = cos g(x)

@ ('(x) = cas g(x) .g'(X}

CD se derivó h(x) = san x

@ g(x) sustituye a x en h '(x)

CID se multiplica por 9 '(x)

Ejemplo 3

si {(x) = san 2x ('(x) = ?

Solución:

como ('(x) = h'(g(x)) .g'(x)

h(x) = san x ; g(x) = 2x

CD h'(x) = cas x, g'(x) = 2

@ h'(g(x)) = cas 2x, g'(x) = 2

luego ('(x) = cos 2x . 2

f'(x) = 2 cas 2x

Ejemplo 4

si f(x) = t 9 x2, ('(x) = ?

Solución:

('(x) = h'(g(x)) . g'(x)

Sea h(x) = t 9 x Y .g(x) = x2 entonces h'(x) = sac2x y

139

Derivada de la

función potencial

140

tambiéncomo g(x) = x2, g'(x) = 2x por lo que

o bien

Ejemplo5

Derivar (eos 2x san 3X)3

Solución:

Aceptaremos sin demostrar que si ((x) = [g(x)} " entonces('(x) = n [g (x)J"-1.g'(x) .

D(eos 2x san 3xj3 = 3 (eos 2x san 3X)2D (eos 2x san 3x)

= 3 eos2 2x sf!n23x [eos 2x D san 3x + san 3x D eos 2x}

= 3 ew 2x sanl 3x [eos .2x 3 eos 3x + san 3x 2 (-s~n 2x)]

= 3 ew2x san2 3x (3 eos 2x eos3x - 2 san 2x san 3x)

La ecuación ((x) = )(', representa a una función llamada la fun-ción potencial a la cual nos referimos brevemente al principio deeste curso diciendo que si n es par, la gráfica de la función es si-milar a la de una parábola y que si n es impar, su gráfica es similar ala de ((x) = x3.

La ecuación ((x) = Lg(x)], n E R una generalización de la fun-ción potencial nos interesa ya que su derivada simplifica la dealgunas funciones compuestas.

Ejemplo6

sea ((x) = " 3 - x2,determine (' (x).

Solueión:

1 1 .((x) = (3-xl)T dondeg(x) = 3-xl y n =. ~

2

1 .!..-1entonces ('(x) = - (3-Xl)1 (-2x)2

('(x) = ~ (3 - x2r t- (-2x)2

1 1 1 . (-2x)('(X) = ~ (3-x2)T

-2x

f'(x) = 2 V 3 x2

f'(x) = -'x

V3=?

Si en f(x)= [g(x)Jn nos referimos a g(x) como la base y a ncomo el exponente,podemosdec!rque el proceso paradetenni-nar laderivadade la función potencialconsiste en multiplicarelexponente (n) por la base con su exponente disminuido en1 [(g(x»)"-1]Ytodo esto por la derivada de la base (g '(x» .

Ejemplo 7

si f(x) = y x2 1, detennine('(x)Solución:

De nuevo pasamos el radical a la fonna exponencial quedando1

f(x) = (x2- 1j3 donde n = 1 ' g(x) = x2- 1,, 1 2

Yg'(x) = 2x, entonces ('(x) = - ( x2- 1r T (2x)32x

3y (x2- 1)2y simplificando, "(x) =

Ejemplo8

si f(x) = sen52x, ('(x) = ?

Solución:

como sen5 2x= (sen 2xj5 entonces '(x)= (sen 2X)5una funciónpotencial cuya base es una función compuesta, entonces n = 5,g(x) = sen 2x

..~

g(x) - basen-exponente

141

-- -- -- -- - --- - ----

('(x) = 5(sen 2x)" D(sen 2x)

y como D sen 2x = 2cos2x

('(x) = 5(sen 2X)42 cos 2x

('(x) = 1Osen42x cos 2x

Ejemplo9

si ((x) = cos3 (3x2 - 5x) ('(x) = ?

Solución:

f(x) = [cos (3x2 - 5X)]3donde n = 3, g(x) = (3x2- 5x)('(x) = 3[ cos (3x2 - 5x )J2D cos (3x2 - 5x)

y como Dcos g (x) =-sen g(x). g'(x) =-sen (3x2- 5).(6x- 5)

('(x) = 3[cos (3x2 - 5x)]2(-sen(3x2- 5x) . (6x- 5))

('(x) = 3(6x - 6) cos2 (3x2- 5xj [-sen (3x2- 5x)]

('(x) = -3(6x - 5) cos2(3x2- 5x) sen (3x2- 5x)

REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION

Mediante la aplicación de los teoremas de este módulo, determine la derivada decada una de las siguientes funciones:

1. ((x) = (x -2)2

2. ((x) = (2~ - 3x2) + (2x -1)3.1 I

3. ((X) = (xr_XI)2I

4. ((x)= 2x- (x2- 5)f5

5. f(X) = XT- (X-3 + X2)

142 .

- - -

5

6. ((x)= (X-4- X-3)3+ 4x4 .4

7. ((x) =x --:¡-+ (3x-1 + 2X)3

(5 5 7 4 1

)0

8. ((x) = 3X-~ +4X7"-3)(-:]

9. ((x)= (2x + 1)1 (3x _-2)3

11. ((x) = (x + 2)1(X:'" 3)5(X- 5)4

-,.. I~:'t'

/~12. ((x)=..¡ x-1

2

)3

13. ((x) =( x1-3jX-=2

14. ((x) = ";x-3

15. ((x) = Vx2 5x

16. ((x) = !.vx=5

17. ((x)= (x +.7)3(X- 4)

18. ((x) = ...¡--r4x1

19. ((x) = (san x + cos X)1

20. ((x) = san2x + cos 3x

21. ((x) = tg 2x

22. ((x) == san13)( + tg 3X

23. ((x) = san 3x cot x

143

24. f(x) = eos 2x tg 2x .

25. f(x) = see x esex

27. f(x) = !.= eos xsenx

28. f(x) = eos x tg xsenx

29. f(x) = sen1x

30. f(x) = 2x eos x + x1sen2x

31. f(x) = 3x1tg 5x

32. f(x) = (3x see 2x - x2eot 2x):&

144

Módulo8

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este módulo~ el alul)1no:

1. Calculará Um lag"x -lag" iJ , x =Fa paradeterminarla derivadade la fun-x-+a x-a.

ción logarltmica.2. Determinará la derivada de una función logarltmica aplicando la fórmula

. 1D loga x = ~ x

3. Demostrará que la derivada de una función exponencial es:

DtY = tY loga b

4. Determinará la derivada de una función exponencial aplicando la fórmula an-terior.

ESQUEMA RESUMEN

DERIVADADE UNA FUNCION

FUNCIONLOGARITMICA

FUNCIONEXPONENCIAL

DERIVADAS DELAS FUNCIONESLOGARITMICA y

EXPONENCIAL,

145

Recordemos laley delcrecimientonatural

Obtención delnúmero e

Derivada de lafunciónlogarltmlca

146

8.1 Derivadas de la función. logarltmí,ca

Ya conoce y ha trabajadocon laecuaciónsiguiente:

A = P (1 + ~) ns Ó A = P e'" (e = 2.71 828)

conocida como ley del crecimiento natural donde e es el limite

alquetienda(1 + ~ )n.rcuandos crece. .S.h r (

. S 1)

nr . C'I acemosque S =X, ,- =)f , yns =~ =

nr ~, y si sustituimos en (1 + ~ ')'''6te'nemos:

1 .

En donde si.hacemos que x-O (1 + x)"'%tiende al m)m(!roe,. 1

es decir que L/m (1 + x)X = e.x-o

Este limite, es necesario para determinar

L/m 10gbX -/ogba .x-a x-a

o sea la derivada de la función logaritmica que se presenta enseguida.

f'(x) = D lógbx = L/m 10gbX-Iogba , x =Fax-a x-a

Para obtener este limite debemqs expresar el cociente en tal I

f~rma que al sustituir a x por a, no-resulte la indeterminación ~O

Para ello tenemos:

(1) log"x-Iog"a =~ (Iog~x-Iog"a)x- a x-aa 1-=a-b ' b

(2) 1 x A;r:- log" - logA -logB=log-x-a 8 B

==-1.~ x~ x-a Iog"a se multiplicópor ~ = 1. a

(4.) 1 a, 8+X-8 se agregó== - -,og" 0,a x-a a a-a=O

(5)

a1

(a + x-a )x-a

=a log" a log~A"= k log"A

" "

1(

a

=a log"1 + xa a) x-a(6)t. J

porque a + x - a = a + (x- a)a a

a +x-a x-a- -=1+-a a a

. x-a a 1SIhacemos- = z entonces- = - ya x-a z

a 1

1. log"(1 + x . a ) x=a = .1.,og"('1 + z)Z de ah(quea a a

1

log"x- loy"a =~ loy"(1 + ~)Z y si x- a, z - Ó ;1x-a a1

L/m log"x - log"a = L/m J.. IQg"(1 ,+ z fzx-+a x - a . Z-+08147

. La derivada delog"xes...

SI la base 8SIgual al númeroe.u

148

Recuerde que a es cualquier elemento del dominiode la fun-ción, por lo que puede ser reemplazada por x si x E Df

Entonces:

para todo X > O

En el caso particular en que la base b = e tendrlamos que

D loge x =J-IOgee. y comologee = 1 ~esulta,pa;a todo x>Ox

Ejemplo1

Ejemplo2

Ejemplo3

1D log.x==x

si f(x) = logzx, f'(x) = ~ogzex

si f(x)= logzx, f'(3)= + logze

si f(x} == logeX, f'(x} ==+1

f(x) =loge x, ('(5) = - 5

-- -------- -------

entonces consideramos a ( como una función compuesta en la

que ((x) = h (g(x) ) siendo h(x) = lag" x,si ((x) = lag" g(x), h(x) = lag" x

entonces

('(x) = h' (x) g' (x)

1('(x) =-Iog" e g'(x)

g (x)

(' (x) = g' (x)g(x) lag" e

Ejemplo4

((x) = log3 (2x2 - 3) determine (' (x)

g'(x)si ('(x) = -109"e y g(x) = 2x2- 3, con b = 3

g(x). '

4x .tenemos ('(x) =

2--;-1093ex -3

Ejemplo5

si ((x) = loge(3x - 2) ('(2) = ?

3(' (x) = -. 13x-2

('(2) = ;L4

149

Cuandoelexponente e. x'

, ¿Cómodefinimosellogarltmo deun número?

150

8.2 Derivada de la función exponenclal.

En tema anterior .se definió la función exponencial siendola ecuaciónque define a esta función

y = /T o f(x} = b%donde x es un número real.-

En este tema se mostrará que la derivada de esta función es:

. Demostración:

Si y = bJtY recordamos que ellog'aritmo de un número (y) esel exponente (x) a que debe elevarse la base (b) para obtener,elnúmero (y) la ecuación y= b" puede escribirse como log"y= x, dela cual obtendremos la expresión' buscada,

sea entonces: 10gby = x donde y= ti

se indican I~ operacionesque se van aefectuar

derivando ambos miembrosde la igualdad

/(Unidades XIllIoXVI)

D y=/T IOYe b sustitucióny = /T

Ejemplo '1

si f(x) = 2% f'(x) = 2%loge2

cuando b = e,

si f(x) = ~ entonbes f'(x) = e%loge ~

f'(x) = ~

.Cuando la expresión es de la forma f(x) = b' (.c), es decir el SIel exponenteexponente a su vez es una función de x, tenemos: e. función de x..

,..,(.>:)Y~ IJ

10gbY =g(x)

Dy 10gb e = g'(x)y

Definición de logari~mo.

Derivando ambos miembros.

Dy =g'(x) ,. 10gb e,Y

Resolviendo para Dy

.1 .Dy = g'(x) . y loge b = logbe

Dy '= g'(x) b'('>:)loge b Sustituyendo y = b'('>:)

si labase b = e tenemos que

De g(X)= g'(x)e ' C.c)¿por qué?

Ejemplo 2

si f(x) = a3x2 entonces f'(x) = 6x a 3X'.loge a

si f(x) = ex3-2JCentonces f' (x) = (3x2 - 2)ex3-2X

REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION

Determine en cada caso la derivada de la expresión dada:

1. f(x) =xlogex

2. ((x) =x1.logex

3. f(x) ='OgeX'X

151

5. f(x) = loge2x

6. f(x) = log (2xl - 3x)1

7. f(x) = -Iog 3xlx

8. f(x) = (x - 1)2loge(X- 1)

9. f(x) = loge(X3- 3) loge(xl - 2)

10. f(x)= loge(Iogax)

11. "f(x) = log2x= x log2

12. f(x)= loge (2x3~" 4)loge (xl + 1)

13. f(x) =,Ioge 1 + loga 3xl -Ioge (xl + 4)

14. f(x) = 2xloge (5x + 2) - (7x - 3) loge (7x - 6)15. f(x) = 1OX

16. f(x) = x + 2x

17. f(x) = 3x2-3

18. f(x) = X. 2x2

19. f(x) = e2JC

20. f(x) = e-x+ex21. f(x) = 2Xl ex

22. f(x) = 3x + 3xe-h

24. f(x) = e loga x

25. f(x) = 2e"senx

26. f(x) = exx

J

27. f(x) = ex

152

Paneles de veri'ficación

MODULO 5 V ALlDACION

1. m = 1 -V-xER

2. m =m "Y-xE R3. a). m = -13

b). m = -11

e). m = -9

d). m = -5

4. a). m = 12b). m = 3

e). m = O

d). m = 3

e). m = 12

15. a). m = "2

b). m=~ - ya2V3 - 6

e). m=~- y'2. 2V2 - --¡-

d). Noexiste la tangente porque no existe ellfmite.

6. a). m =-1

b). m = -4

153

e). m=-4

d). m=- 1

17 m = ---;-. Xl

1-m- --:- rv-r-8. -:- 2 v A 1

9. Se deja alestudiante investigar lasolución.

10. y'=2

11 . y' = 8x

12. y' = 15x2

13. t' (x)= 2 - 6x

\ 14. f' (x) =4x - 15x215. (' (x) = 2x + 1

16. ('(x) = 3x2+ 4x + 4

17. f' (x) = 2x + 1

-18. ('(x) = 3x2 + 4x + 4

19. f' (x)= (x- 1)2

-2

1

20. (' (x)= (x+ 1)2

21. (' (x) = cos x

22. f' (x) =-sen x

154.

MODULO 6 VALIDACION

1. 2x - 5

2. 6x1- 6x + 43. 11x10 + 35r - ex4. -6x-J- 7x-1

5. -5x"c.- 6

27. 4xJ-3 - xJ

1 4 98. +-

Xl XJ r

11. 5r + 12xJ- 8x- 12

13.- .2. (x - 1)1

14. ~(x - 2)1

2(x1- 3x + 1)15.- ---(x1- 1)1

116. . (x - 1)1

. 17. 1

155

18. x2 + 1(x2 - 1)2

19. see2x

20. tg x .see x

121. -cot x ese x

22. 2 sen x eos x.

23. -2 eos x sen x

24. xeosx + senx

25. 1 + eosx

26. -x2 sen x + 2x eos x

27. eosx + xsenxeos 2 x

28. sen x (1 + see2 x)

29. -see x e.otx ese x + ese x tg x see x = sec2 x - esc2 x30. O

31. -sen2 x + eos2x

32. -ese x (2 eot2 x + 1)

MODULO 7 VALiDACION

1. 2x - 4

2. .2x(4x2- 3) + 6 (2x - 1)2

3. 3x2- 4x + 1

4. 2 - -2'/xz-5

156

5 ...!...5 - X 3 + 3x -4 - 2x. 3

6. 3 (x -4 - X -3)1(-4x -5 + 3x -4) + 5x 4i

7.- ~ x -"3+ 3(3x -1 + 2X)2 (-3x -2 + 2)

8. O

9. 9(2x + 1)1(3x - 2)1+ 4(3x - 2)3(2x + 1)

11. Se dejaalalumno.

1-- J12. - 2(x-1)"2

-48x

1~. (x1- 3j4

-)14.

3 1. 2(x - 3) T (x - 2) 1"

x-10 x-1016. ==:J..

2(x - 5) v' x -~ 5 2(x - 5) r

17. (x + 7)1(2x - 19)(x - 4)1

18. --1 38x2

20. 2 cos 2x- 3 sen 3x

157

22. 6 sen 3xeos 3x + 3 tg1xsee2x. ,

23. -sen 3x ese2x + 3 eot x cos 3)(

24. 2 cos 2x

26. Se,deja al alumno.

27. 1- ~sen2x

28. O'

29. sen 2x + 2 sen2xcot 2xese 2x

30. -2x sen x + 2 eos x + 2X2cos 2x + 2xsen 2)(. .

31. 15x2sec25x + 6x tg 5x

32. '-4 cot 2x ese 2x + 2xJ caP 2x

MODULO 8 VALlDACION

1 . f' (x) = 1+ lag. x

2. f' (x) = x + 2x log. x

3. f' (x) = 1 -Iag.)(. )(2

4. f'(x) = 1 - 21agex

15. f' (x)= x-

158

4x-36. f' (x)= lage2X2- 3x

7. f' (x) = ~/og e ~ J... log3x2x2 x2

8. ('(x) = (x - 1) + 2 (x - 1) loge (x - 1). 3x 'u2 2x

9. f'(x) =~ 3 loge(r- 2)+ --Ioge (x3- 3)x- ~-2 .1

1O. f' (x) = x loge x

11. f:(x) = log 2

12. Se deja al alumno.

13. f'(x) =1- - ~x x2 + 4

14. Se deja al alumno.

15. 1ex loge 1 O

16. 1 + ~ loge 2

2 - J ,17. 2x. 3-" ,oge 3

19. 2 eh

20. -e" +e x= e h - 1ex

21. 2x2ex + 4x ex = 2x ex (x + 2)

22. 3 - 6xe-h+ 3e-h

159

.....

124. -e = 1x

25. 2 cosx e senx

26. ex(x- 1)Xl

160