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MÉTODOS MATEMÁTICOSProf. Christian Silva F.

Recordemos previamente que en el desarrollo de las operaciones matemáticas se procede de la siguiente forma.

1° Siempre se comienza por los paréntesis2° Luego las potencias y raíces3° Multiplicaciones y divisiones4° Sumas y restas, de izquierda a derecha5° Simplificaciones

Ejemplo 1: con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 22) =

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 4)== 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 6 = 22

Ejemplo 2: con corchetes

[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 2 ) =

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 4 ) == [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 4 == (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 4 == 12 · 7 − 3 + 4 = = 84 - 3 + 4 = 85

Ejemplo 3: con llaves

7 - {5 + 10 [20 : 5 − 2 + 4 (5 + 2 · 3)] − 8 · 32} + 50 (6 · 2) =

= 7 - [5 + 10 (4 − 2 + 44) − 8 · 32] + 50 (12) == 7 - (5 + 10 · 46 − 72) + 600 == 7 - (5 + 460 − 72) + 600 == 214

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Operando en la Calculado Científica:Para trabajar con la calculadora científica

Ejemplo 1: resuelva la siguiente operación (15 − 4) + 3 − (12 − 5 • 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 22) =Se resuelve paso a paso

Paso 1: escriba en la calculadora (15-4) + 3 = 14Paso 2: escriba en la calculadora 12 – (5x2) = 2Paso 3: escriba en la calculadora 5 + (16:4) = 9Paso 4: escriba en la calculadora la operación 14 – 2 + 9 – 5 + (10 – 22) = 22

m.c.m. y m.c.d.

m.c.m. = Corresponde al menor de los múltiplos comunes entre 2 o más números. Recordar que los múltiplos son los que se obtienen de las tablas de multiplicar

Ejemplo: son múltiplos de 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, etc.…

Existen diversos métodos para obtener los múltiplos de dos o más números

Ejemplo

m.c.m entre 120 y 70: Método 1: Multiplicación

[M] de:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

70 70 140 210 280 350 420 490 540 630 700 770 840

120 120 240 360 480 600 720 840 960108

0120

0132

0144

0

El m.c.m (70, 129) = 840

m.c.m. entre 168 y 504: Método 2: Descomposición prima

168 504168

:2504

:2

84 :2252

:2

42 :2 12 :2

Significa que:

168 = (23 x 3 x 7) = (8 x 3 x 7) 504 = (23 x 32 x 7) = (8 x 9 x 7)El m.c.m. se obtiene del producto entre los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente: El m.c.m. (168, 504) = 23 x 32 x 7 = (8 x 9 x 7) = 504

3

621 :3 63 :37 :7 21 :31 7 :7

1m.c.m. entre 130 y 455: Método 3: Divisibilidad

¿El 130 y 455 serán divisibles entre ellos? 455: 130 = 3,5 no lo son, por lo tanto, elegir métodos anteriores.[M] de:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14

130 130 260 390 520 650 780 910104

0117

0130

0143

0156

0169

0182

0

455 455 910136

5182

0227

52730

3185

3640

4095

4550

5005

5460

5915

6370

Ejercicios resueltos

1) m.c.m. entre 28, 35 y 56Método 2:

28 35 5628 :2 35 :5 56 :214 :2 7 :7 28 :27 :7 1 14 :21 7 :7

122 x 7 5 x 7 23 x 7

2) m.c.m. entre 16, 120 y 210

[M] de:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160

120 120 240 360 480 600 720 840 960108

0120

0

210 210 420 630 840105

01260

1470

1680

1890

2100

3) m.c.m. entre 252, 308, 504

252 308 504252

:2308

:2504

:2

126

:2154

:2252

:2

El m.c.m. (28, 35 y 56) = 23 x 7 x 5 = (8 x 7 x 5) = 280

El m.c.m. (252, 308 y 504) = 23 x 32 x 7 x11 =

= (8x9x7x11) =5544

4

63 :3 77 :7126

:2

21 :3 11:11

63 :3

7 :7 1 21 :31 7 :7

1

22x3 2 x72

2x7x112 3 x32x7

m.c.d. = Máximo común divisor corresponde al mayor divisor entre dos o más números

Los métodos para encontrar el m.c.d. son:

Método 1: m.c.d. entre 120 y 70No son divisibles entre sí

120 70[D] de:

60 35 :240 :330 :424 14 :520 :6

10 :718 :8

:912 7 :10

:1110 :12

:135 :14

8 :156 :205 :244 :30

2 :353 :402 :60

1 :701 :120

Método 2: m.c.d. entre 168 y 504Son divisibles entre sí teniendo como factor común 3

168 504168

:2504

:2

Son divisores comunes y el mayor es 10

Significa que:

168 = (23 x 3 x 7) = (8 x 3 x 7) 504 = (23 x 32 x 7) = (8 x 9 x 7)El m.c.d. se obtiene del producto entre los factores primos comunes y no comunes elevados al menor exponente: El m.c.d. (168, 504) = 22 x 3 x 7 = (4 x 3 x 7) = 84

5

84 :2252

:2

42 :2126

:2

21 :3 63 :37 :7 21 :31 7 :7

1

Operando en la Calculado Científica:Para trabajar con la calculadora científica en la búsqueda del m.c.m. se puede emplear la tecla de función:

m.c.m. y m.c.d. entre 130 y 455

Sería más o menos así: pulsando teclas en el siguiente orden

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3: ver el resultado que en este caso es 9 910 lo que es igual a 9/910 de donde: 910/130 = 7 y 910/455 = 2; por lo tanto el m.c.m. = 910

Paso 4: el m.c.d. resulta de la multiplicación de los números (130 * 455)/910, lo que se escribe en la calculadora como:

El resultado es 65

Entonces m.c.m. = 910 y el m.c.d. = 65

Recuerde que el buen uso de los paréntesis lograra que las operaciones

desarrolladas tengan éxito.

ab/c

ab/c1 130 + 1 ab/c 455

=

( 130 x 455 ) : 910 =

6

De número decimal a fracción irreductible y de fracción a número decimal.

RECORDEMOS:

1 =

1:2

=0,52

NUMERO RACIONAL OPERACION NUMERO DECIMAL

Se presentan dos casos en el manejo de decimales y racionales, expresiones decimales con y sin período

Cuando es sin período:

0,84

=

0,84

x

100

=

84

=

21

1100

100

25

Cuando es con período:

Se toma el número completo como si no tuviera parte decimal y se le resta la parte entera y el denominador se completa con una cifra formada por “9”, tantos como “lugares decimales existan”, cuando se pueda simplificar se simplifica

3,83

= 383 - 3 = 380

Simplificado por 4

7

99 99Cuando es con semiperíodo:

En el numerador se escribe el número decimal sin la coma y el número que aparece antes del período, en tanto que en el denominador se completa con una cifra formada por “9” y tantos “0” como cifras tenga el anti período, cuando se pueda simplificar se simplifica.

3,83 =

383 - 38 =

345 =

69=

23

90 90 18 6Operando en la Calculado Científica:Para trabajar con la calculadora científica en la transformación de fracción a decimal y decimal a fracción se puede emplear la tecla de función:

Teclas de función son de color café

Pero solo en el caso de los decimales sin período.

Ejemplo 1: transformar el decimal 1,585 a fracción.

Paso 1: escriba el número decimal 1,585 luego los decimales

Paso 2: pulse la tecla

Paso 3: pulse las teclas

Aparecerá la expresión 317 200, qué es la simplificación de 1585/1000 que ha sido simplificada por 5. Por tanto el racional (fracción) es 317/200

Ejemplo 2: transformar fracción a decimal 4/45

Muy simple se divide normalmente 4:45 = 0,0888888 = 0,08

Simplificado por 5, luego por 3

ab/cSHIFT d/cJunto con

Que es la misma

1 .

=

SHIFT d/c

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Operaciones con notación científica

Propiedades de las potencias Base Exponente

1. Una potencia es ab = a x a x a (n veces de acuerdo indique el exponente)

2.a-b = ( 1a )b

3.( ab )n

= an

bn

4.a0 = 15. ((a )m )n = a(m*n) = amn

6.an * am = am+n

7.an : am = am-n

8.an * bn = (a*b)n

9.an : bn = (a:b)n

Ejemplo 1: Resolver la siguiente operación con potencias

22

x 10520 x 13

x 10624

=8 x 10-

908 x 50

x 101000

9

Primero sumo los exponentes de numerador (520 + 624) porque se trata de una multiplicación de potencias de igual base (10n). Como resultado obtengo 1144 en el exponente

(22x13)x101144

=8 x 10-

908 x 50

x 101000

Luego sumo los exponentes del denominador (-908 + 1000) mismo caso anterior, cuyo resultado es 92

(22x13)x101144 =

(8x50)x1092

Finalmente tengo una división de potencias de igual base, por lo que conservo la base y resto sus exponentes, es decir, (1144 – 92) = 1052

22x13 x1

01052 =8x50

Con ello me resta, simplificar antes de multiplicar las cifras que acompañan a la notación, en este caso 22 y 8 son múltiplos de 2, entonces simplifico por 2 (22:2 = 11; 8:2=4)

11 x 13 x1

01052 =4 x 50

Finalmente obtengo:

0,715 x 101052

Operando en la Calculado Científica:

Ejemplo 1: Resolver la siguiente operación con potencias

La operación de plantea en dos pasos

2 x 10520 x 1 x 10624 =

10

2 3

8 x 10-

908 x 50

x 101000

Paso 1: se resuelven las potencias.

10520 x 10624 = 10520 + 624 = 101144

101144 : 1092 = 101052

10-908 x 101000 = 10-908 + 1000 = 1092

Paso 2: se resuelve la parte entera escribiendo en la calculadora:

(22x13):(8x50) = 0,715

Paso 3: finalmente se unen ambas partes = 0,715 x 101052