Mec anica te orica Tema 4. Oscilaciones pequenas~ · modos normales, cuyas frecuencias son generalmente diferentes Estas frecuencias normales son las caracter sticas mas importantes

Mecanica teoricaTema 4. Oscilaciones pequenas

Tema 4A

Universidad de Sevilla - Facultad de Fısica

[email protected]

24 de octubre de 2017

Tema 4A (Grupo 2) Mecanica Teorica (2017-2018) 24 de octubre de 2017 1 / 46

Tema 3: Oscilaciones pequenas

Contenido

1 Introduccion. Equilibrio estable y pequenas oscilaciones

2 Las formas aproximadas de T y de V

3 Teorıa general de modos normales

4 Ortogonalidad de los modos normales

5 Ejemplos tıpicos de modos normales

6 Oscilaciones pequenas en general

7 Coordenadas normales

8 Sistemas disipativos


1. Introduccion. Equilibrio estable y pequenas oscilaciones

Cualquier sistema mecanico puede efectuar oscilaciones pequenas enlas proximidades de una posicion estable de equilibrio

Estas oscilaciones se pueden buscar (reloj de pendulo) o pueden serindeseables (suspension de puentes)

Oscilaciones analogas ocurren en sistemas continuos y en mecanicacuantica

Presentamos la teorıa para

sistemas conservativos

con la aproximacion de que la amplitud de las oscilaciones es losuficientemente pequena

de forma que la aproximacion lineal es adecuada


Equilibrio estable y pequenas oscilaciones

La mejor forma de desarrollar la teorıa de las pequenas oscilaciones esusando las ecuaciones de Lagrange

Veremos que es posible aproximar expresiones de T y V desde el iniciode forma que las ecuaciones linearizadas del movimiento se obtienenfacilmente

La teorıa se presenta en forma matricial, lo que nos permite usarconceptos del Algebra lineal, tales como autovalores y autovectores



La mejor forma de desarrollar la teorıa de las pequenas oscilaciones esusando las ecuaciones de Lagrange

Veremos un resultado fundamental: Un sistema con n grados delibertad siempre tiene n movimientos armonicos conocidos comomodos normales, cuyas frecuencias son generalmente diferentes

Estas frecuencias normales son las caracterısticas mas importantesdel sistema oscilante

Una importante aplicacion de la teorıa es la obtencion de lasvibraciones internas de moleculas. Aunque esto debe tratarse enMecanica cuantica, el modelo clasico es extremadamente util, haciendopredicciones cualitativas y clasificando los modos de vibracion


Equilibrio estable y pequenas oscilaciones:movimientos periodicos


Equilibrio estable y pequenas oscilaciones:movimientos periodicos





Sea S un sistema mecanico tıpico con n grados de libertad y concoordenadas generalizas q = (q1, q2, ...qn). Supongamos que S seaconservativo. Entonces el movimiento de S esta determinado por lasecuaciones de Lagrange:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj= −∂V

∂qj. (1 ≤ j ≤ n) (1)

donde

T (q, q), V(q)

Son las energıas cinetica y potencial de S.

Estas ecuaciones determinan las posiciones de equilibrio de S.



El punto q(0) en el espacio de la configuracion es una posicion deequilibrio de S si (y solo si) la funcion constante q = q(0) satisface lasecuaciones (1).

Para un sistema tıpico, T tiene la forma

T =n∑

j=1

n∑k=1

tjk(q)qjqk, (2)

Es decir, es una forma cuadratica homogenea en las variablesq1, q2, ..., qn, con coeficientes que dependen de q.



La parte izquierda de la ecuacion j de Lagrange tiene la forma

2n∑

k=1

(dtjkdt

qk + tjk qk

)−

n∑j=1

n∑k=1

(∂tjk∂qj

qj qk

),

Toma el valor cero cuando la funcion constante q = q(0) se sustituye.

Se sigue que q = q(0) cumplira las ecuaciones (1) si (y solo si)

∂V

∂qj= 0 (1 ≤ j ≤ n)

Cuando q = q(0).



Tenemos el resultado:

Las posiciones de equilibrio de un

sistema conservativo son los puntosestacionarios de su funcion energıa

potencial V (q)


Equilibrio estable y pequenas oscilaciones:Equilibrio estable

La estabilidad del equilibrio se entiendemas facilmente mirando al movimientode un punto fasico de S en el espaciode fase de Hamilton (p, q).

Si q(0) es un punto de equilibrio de Sen el espacio de la configuracion,entonces (q(0), 0) es el punto deequilibrio correspondiente de S en elespacio fasico; si el punto fasicocomienza en (q(0), 0), entoncespermanecera allı, su trayectoria consisteen un unico punto (q(0), 0).

Figura: Los cırculos Cδ deben sersuficientemente pequenos talque todas las trayectorias delespacio fasico que comienzan ensu interior permanezcan dentrodel circulo dado C∆



Consideremos ahora trayectoriasfasicas que comienzan en puntos queestan proximos a una esfera Sδ en elespacio fasico que tiene centro(q(0), 0) y radio δ.

Cuando δ es pequeno, estocorresponde a que el sistema empiezaen una configuracion cercana a laconfiguracion de equilibrio con unapequena energıa cinetica. Sea S∆ unapequena esfera en el espacio fasicocon centro en (q(0), 0) que contienetodas las trayectorias fasicas quecomienzan dentro de S∆.

Figura: Los cırculos Cδ deben sersuficientemente pequenos talque todas las trayectorias delespacio fasico que comienzan ensu interior permanezcan dentrodel circulo dado C∆



Definicion: Equilibrio estable. Si el radio ∆ tiendea cero cuando el radio δ tiende a cero, entonces elpunto de equilibrio en (q(0), 0) se dice que esestable. (estabilidad de Liapunov)

Esto significa: Si a S se le da un pequeno empujondesde una configuracion proxima a equilibrioestable, el movimiento que efectua S (en el espaciode la configuracion) esta limitado a pequenasdesviaciones del punto de equilibrio.



Cualquier sistema mecanico puede realizarpequenos desplazamientos cercanos a su posicionde equilibrio estable.

Estos movimientos los denominamos pequenasoscilaciones.



Puntos mınimos de V

Los puntos mınimos de la fun-

cion energıa potencial V (q) son

las posiciones de equilibrio esta-ble del sistema S


Equilibrio estable y pequenas oscilaciones:Estabilidad del equilibrio

Consideramos el pendulodoble de la figura que semueve en gravedaduniforme. Encontrar laposicion de equilibrioestable. Figura: Pendulo doble.Sistema en el

plano vertical, punto de suspensionO.Coordenadas generalizadas θ, Φ


Equilibrio estable y pequenas oscilaciones:Estabilidad del equilibrio

En posicion vertical el pendulo doble tiene θ = Φ = 0 en el espacio dela configuracion

Energıa potencial gravitatoria:V = (M + m)gb(1− cosθ) + mgc(1− cosΦ),

Tenemos ∂V∂θ = (M + m)gbsenθ = 0 cuando θ = Φ = 0

Lo mismo se cumple para ∂V∂Φ .

Por tanto, el punto θ = Φ = 0 es un punto estacionario de lafuncion V (θ, Φ).

La configuracion vertical hacia abajo es una posicion de equilibrio

Si calculamos la segunda derivada de V (θ, Φ) comprobaremos que esun mınimo. Luego esa posicion es una configuracion de equilibrioestable


2. Formas aproximadas de T y de V

Tenemos ahora pequenasoscilaciones alrededor deun punto que es mınimode V .

Vamos a encontrarecuacionesaproximadas para estemovimiento.

Seguimos con el ejemplodel pendulo doble.

Figura: Pendulo doble. Diagrama de velocidades


Formas aproximadas de T y de V

Los valores de T y de V estan dados por

T = 12M(bθ)2 + 1

2m(

(bθ)2 + (cΦ)2 + 2(bθ)(cΦ)cos(θ − Φ))

V = (M + m)gb(1− cosθ) + mgc(1− cosΦ)

Llevando estas expresiones a las ecuaciones de Lagrange se tienen lasecuaciones exactas del movimiento:

(M +m)bθ+mccos(θ−Φ)Φ+mcsen(θ−Φ)Φ2 + (M +m)gsenθ = 0,bcos(θ − Φ)θ + cΦ− bsen(θ − Φ)θ2 + gsenΦ = 0.

Estas ecuaciones, par de ecuaciones diferenciales ordinarias nolineales, acopladas, de segundo orden, gobiernan las oscilacionesgrandes del pendulo doble.



Ecuaciones exactas del movimiento:

(M +m)bθ+mccos(θ−Φ)Φ+mcsen(θ−Φ)Φ2 + (M +m)gsenθ = 0,bcos(θ − Φ)θ + cΦ− bsen(θ − Φ)θ2 + gsenΦ = 0.

Vamos a aproximar despreciando todo, excepto los terminos linealesen θ y Φ, y sus derivadas temporales. Nos queda

(M + m)bθ + mcΦ+ (M + m)gθ = 0,bθ + cΦ+ gΦ = 0.

Tenemos ahora ecuaciones lineales que gobiernan las oscilacionespequenas del pendulo doble en las proximidades de la configuracionvertical hacia abajo.

Son ecuaciones diferenciales ordinarias, acopladas, de segundoorden, con coeficientes constantes .



El metodo anterior es correcto, pero complicado. Veamos otra forma

Vamos a obtener expresiones aproximadas de T y de V . Volvemos alpendulo doble y recordamos la expresion exacta de la energıapotencial:

V = (M + m)gb(1− cosθ) + mgc(1− cosΦ).

Si los valores de θ y de Φ son pequenos, podemos escribir:

V = 12 (M + m)gbθ2 + 1

2mgcΦ2 + ...

Hemos despreciado los terminos de potencias cuatro y superiores.



Similarmente, cuando θ y Φ y sus derivadas son pequenas, T , quevenıa dada por:

T = 12M(bθ)2 + 1

2m(

(bθ)2 + (cΦ)2 + 2(bθ)(cΦ)cos(θ − Φ))

,

Se aproxima ahora con:

T = 12M(bθ)2 + 1

2m(

(bθ)2 + (cΦ)2 + 2(bθ)(cΦ)(1 + ...))

=

12 (M + m)b2θ2 + mbc θΦ+ 1

2mc2Φ2 + ...

Se han despreciado terminos de potencia cuatro y superiores encantidades pequenas. Si usamos ahora estas expresiones aproximadasde T y de V en las ecuaciones de Lagrange, se llega a las ecuacionesdiferenciales lineales ya obtenidas anteriormente.


Forma aproximada general de V

En el caso general:

Supongamos que la energıa potencial V (q) del sistema S tiene unmınimo en q = 0 y que V (0) = 0

Si el punto mınimo de V no esta en (q = 0), siempre podemos hacerun cambio del sistema de coordenadas.

Desarrollamos, para q cerca de 0, V (q) puede desarrollarse en seriede Taylor (en n dimensiones) en las variables q1, q2, ..., qn.



Para el caso especial del sistema S con dos grados de libertad:

Esta serie tiene la forma: V (q1, q2) =

V (0, 0) +(∂V∂q1

q1 + ∂V∂q2

q2

)+(∂2V∂q2

1q2

1 + 2 ∂2V∂q1∂q2

q1q2 + ∂2V∂q2

2q2

2

)+ ...

Todas las derivadas parciales se evaluan en el punto de desarrolloq1 = q2 = 0.

Ahora V ha sido seleccionado tal que V (0, 0) = 0.

Como (0, 0) es un punto estacionario de V (q1, q2), se tiene que∂V∂q1

= ∂V∂q2

= 0.

Los terminos constantes y lineales desaparecen del desarrollo deTaylor.



Por tanto, V , puede aproximarse mediante:V ap(q1, q2) = v11q

21 + 2v12q1q2 + v22q

22

Donde v11, v12, v22 son constantes y estan dados por:

v11 =∂2V

∂q21

(0, 0) v12 =∂2V

∂q1∂q2(0, 0) v22 =

∂2V

∂q22

(0, 0)

Los terminos despreciados tienen potencias tres (o mayores) en lascantidades pequenas q1 y q2.



La correspondiente aproximacion para V (q) en el caso en que elsistema S tiene n grados de libertad es

V ap(q) =∑n

j=1

∑nk=1 vjkqjqk

donde las {vjk} son constantes y dadas por

vjk = vkj =(

∂2V∂qj∂qk

)q=0

Los terminos despreciados tienen potencias tres (o superiores) en laspequenas cantidades q1, q2, ..., qn.

Esta es la forma general de la energıa potencial aproximada V (q).

Es una forma cuadratica homogenea en las variables q1, q2, ..., qn.


Forma aproximada general de T

Para un sistema mecanico tıpico con coordenadas generalizadas q, laenergıa cinetica T tiene la forma:

T (q, q) =n∑

j=1

n∑k=1

tjk(q)qjqk

Una forma cuadratica en las variables q1, q2, ..., qn con coeficientesque dependen de q.

Desarrollando en serie de Taylor cada uno de estos coeficientesalrededor de q = 0, el termino constante es simplemente tjk(0) y

T (q, q) =n∑

j=1

n∑k=1

tjk(0)qjqk + ...



La correspondiente aproximacion para T (q, q) en el caso en que elsistema S tiene n grados de libertad es

T ap =∑n

j=1

∑nk=1 tjk qj qk

Donde las constantes {tjk} han sido llamadas antes {tjk(0)}, y losterminos despreciados tienen potencias tres (o superiores) en laspequenas cantidades q1, q2, ..., qn, q1, q2, ..., qn.



Tenemos:

T ap =∑n

j=1

∑nk=1 tjk qj qk

Esta es la forma general de la energıa cinetica aproximadaT ap(q, q).

Es una forma cuadratica homogenea en las variables q1, q2, ..., qn

Ya que T ap(q, q) > 0 excepto cuando q = 0, se sigue que es unaforma cuadratica definida positiva

Ya que T ap(q) = T(0, q), se sigue que T ap se encuentra de formadirecta calculando T cuando el sistema pasa por la posicion deequilibrio. No es necesario calcular nunca la forma general de T .


La matriz V y la matriz T

Para desarrollar la teorıa general introducimos las matrices nxn V y T

Definicion: La matriz simetrica nxn V cuyos elementos son loscoeficientes {vjk} se denomina matriz V. La matriz simetrica nxn Tcuyos elementos con los coeficientes {tjk} se denomina matriz T

Usando V y T, las energıas potencial y cinetica de S puede escribirseen notacion matricial:

V ap =∑n

j=1

∑nk=1 vjkqjqk = q′ · V · q

T ap =∑n

j=1

∑nk=1 tjk qj qk = q′ · T · q

Donde q es un vector columna con elementos {qj}, y q es un vectorcolumna con elementos {qj}.La notacion x′ significa la matriz traspuesta del vector columna x. (otra notacion como xT puede confundir)



Vamos a encontrar las matrices V y T para el pendulo doble

Para el pendulo doble, V ap esta dado porV ap = 1

2 (M + m)gbθ2 + 12mgcΦ2 =

(θ Φ

)(12 (M + m)gb 0

0 12mgc

)(θΦ

)T ap esta dado porT ap = 1

2 (M + m)b2θ2 + mbc θΦ+ 12mc2Φ2 =

(θ Φ

)(12 (M + m)b2 1

2mbc12mbc 1

2mc2

)(θ

Φ

).



Las matrices V y T para el pendulo doble son matrices 2x2, dadas por

V =

(12 (M + m)gb 0

0 12mgc

),

T =

(12 (M + m)b2 1

2mbc12mbc 1

2mc2

).


3. Teorıa general de modos normales:Ecuaciones para oscilaciones pequenas

Vamos a desarrollar la teorıa general de modos normales paracualquier sistema oscilante.

El primer paso es obtener la forma general de las ecuaciones paraoscilaciones pequenas.

Esto lo hacemos sustituyendo las energıas aproximadas potencial ycinetica V ap y T ap en las ecuaciones de Lagrange.

Ahora:

∂T ap

∂qj= 2

∑nk=1 tjk qk ,

∂T ap

∂qj= 0, ∂V ap

∂qj= 2

∑nk=1 vjkqk


Teorıa general de modos normales:Ecuaciones para oscilaciones pequenas

Las ecuaciones de Lagrange quedan en la forma:

Forma expandida:∑n

k=1 (tjk qk + vjkqk) = 0(1 ≤ j ≤ n)Forma matricial: T · q + V · q = 0

En las formas expandida y matricial, respectivamente. Estas sonecuaciones lineales para las pequenas oscilaciones de S alrededordel punto q = 0

Son un conjunto de n ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas desegundo orden que satisfacen las funciones desconocidasq1(t), q2(t), ...., qn(t).


Teorıa general de modos normales:Modos normales

El siguiente paso es encontrar la clase especial de soluciones de lasecuaciones de oscilaciones pequenas conocidas como modosnormales.

Despues veremos que la solucion general de las ecuaciones deoscilaciones pequenas puede expresarse como una suma de modosnormales.

Definicion: Una solucion de las ecuaciones de oscilaciones pequenastiene la forma especial

Forma expandida: qj = ajcos(ωt − γ)(1 ≤ j ≤ n)Forma matricial: q = a cos(ωt − γ)

donde las {aj}, ω y γ son constantes, se denomina un normalnormal del sistema STema 4A (Grupo 2) Mecanica Teorica (2017-2018) 24 de octubre de 2017 37 / 46


En un modo normal, las coordenadas q1, q2, ..., qn varıan todas dearmonicamente en el tiempo con la misma frecuencia ω y la mismafase γ; ahora bien, difieren generalmente en las amplitudesa1, a2, ..., an.

Las cantidades de n-dimensiones a=(a1, a2, ..., an) se denominanvector amplitud del modo, cuando se considera como un vectorcolumna se escribe a. (frecuencias ω se suponen positivas).



Sustituyendo el modo normal en las ecuaciones de las oscilaciones depequena amplitud, se obtiene despues de cancelar el factor comuncos(ωt − γ)

Forma expandida:∑n

k=1

(vjk − ω2tjk

)ak = 0

(1 ≤ j ≤ n)Forma matricial: (V − ω2T) · a = 0

Es un sistema de nxn ecuaciones algebraicas lineales simultaneas paralas coordenadas amplitud {aj}.Un modo normal existira si podemos encontrar constantes {aj} , ω talque se satisfacen las ecuaciones anteriores.



Como las ecuaciones son homogeneas, siempre tienen la soluciontrivial a1 = a2 = ... = an = 0, sea cual sea ω.

La solucion trivial corresponde a la solucion de equilibrioq1 = q2 = ... = qn = 0 de las ecuaciones del movimiento y nocorresponde a movimiento ninguno.

Necesitamos encontrar la solucion no trivial para las {aj}.Para ello, la condicion es que el determinante del sistema deecuaciones sea cero, es decir:

det (V − ω2T) = 0



Determinante del sistema de ecuaciones sea cero, es decir:

det (V − ω2T) = 0

Esta es la ecuacion que satisface la frecuencia angular ω en cualquiermodo normal del sistema SAl desarrollar, tendremos una ecuacion polinomica de grado n en lavariable ω2.

Si esta ecuacion tiene raıces reales positivas ω21, ω

22, ..., entonces,

para cada uno de los valores de ω, las ecuaciones lineales tendransolucion no trivial para las amplitudes {aj} y existira el modo normal.

Las frecuencias angulares ω1, ω2, ... de los modos normales sedenominan las frecuencias normales del sistema S.


Frecuencias normales del pendulo doble

Vamos a encontrar las frecuencias normales de un pendulo doble parael caso particular en que M = 3m y b = c .

Para estos valores especiales las matrices V y T son:

V =1

2mgb

(4 00 1

)T =

1

2mgb2

(4 11 1

)La ecuacion del determinante queda:

det

[1

2mgb

(4 00 1

)− 1

2mb2ω2

(4 11 1

)]= 0,


Frecuencias normales del pendulo doble

Es decir ∣∣∣∣ 4n2 − 4ω2 −ω2

−ω2 n2 − ω2

∣∣∣∣ = 0

Donde n2 = gb . Desarrollando el determinante, se tiene

3ω4 − 8n2ω2 + 4n4 = 0

Que es una ecuacion cuadratica en la variable ω2.

Esta es la ecuacion que satisfacen las frecuencias normales. Factorizaen las dos raıces positivas reales ω2

1 y ω22 de ω2,

(ω2 − ω21)(ω2 − ω2

2) = 0. Donde:

ω21 =

2n2

3, ω2

2 = 2n2.

El pendulo doble tiene por tanto dos frecuencias normales:(2g/3b)1/2 y (2g/b)1/2.


Forma de los modos normales

Para encontrar las formas de los modos normales necesitamos lasamplitudes. Si las amplitudes correspondientes a los angulos θ y Φson a1 y a2 respectivamente, entonces estas amplitudes satisfacen lasecuaciones lineales:(

4n2 − 4ω2 −ω2

−ω2 n2 − ω2

)(a1

a2

)= 0.

si tomamos ω2 = ω21 = 2n2/3, las ecuaciones para las amplitudes

quedan, (4 −2−2 1

)(a1

a2

)= 0.

Cada una de estas ecuaciones es equivalente a una unica ecuacion2a1 = a2 tal que tenemos la familia de soluciones no triviales a1 = ε,a2 = 2ε, donde ε puede tomar cualquier valor (no cero).



Para este modo tenemos las soluciones:

θ = εcos(√

2/3nt − γ), Φ = 2εcos(√

2/3nt − γ),

Donde el factor de amplitud ε y el factor de fase γ pueden tomarcualquier valor. Corresponde a la parte izquierda de la figura.



Para el otro modo tenemos las soluciones:

θ = εcos(√

2nt − γ), Φ = −2εcos(√

2nt − γ),

Donde el factor de amplitud ε y el factor de fase γ pueden tomarcualquier valor. Corresponde a la parte derecha de la figura.


Documents

Mec anica te orica Tema 4. Oscilaciones pequenas~ · modos normales, cuyas frecuencias son generalmente diferentes Estas frecuencias normales son las caracter sticas mas importantes