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Mecânica dos Solos - Momento de Inércia
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Mecânica dos Sólidos 1
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
1. Momento de Inércia
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
• Considere uma viga de seção transversal uniforme submetida a
momentos em suas extremidades ;
• Tal viga é dita sob flexão pura e a força em cada elemento dA varia
linearmente com a distância y entre o elemento e a linha neutra.
max
maxx
M yM y
I Iσ σ
⋅⋅=− ∴ =
Linha Neutra
ymax
1. Momento de Inércia
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
1. Momento de Inércia
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1. Momento de Inércia
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1. Momento de Inércia
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2. Momento de Inércia por Integração
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2 2 2
0 0 0
3 30
3 3 3
h h h
x
x x
I y dA y b dy b y dy
h b hI b I
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
⋅= ⋅ + ∴ =
∫ ∫ ∫
2 2 2
0 0 0
3 30
3 3 3
b b b
y
y y
I x dA x h dx h x dx
b h bI h I
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
⋅= ⋅ + ∴ =
∫ ∫ ∫
2. Momento de Inércia por Integração
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
2 2 2
2 2 2
'
2 2 2
3 3 3
' '3 2 2 12
h h h
x
h h h
x x
I y dA y b dy b y dy
b h h b hI I
− − −
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ + − ∴ =
∫ ∫ ∫
2 2 2
2 2 2
'
2 2 2
3 3 3
' '3 2 2 12
b b b
y
b b b
y y
I x dA x h dx h x dx
h b b h bI I
− − −
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ + − ∴ =
∫ ∫ ∫
3. Momento de Inércia Figuras Planas
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
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3. Momento de Inércia Figuras Planas
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
3. Momento de Inércia Figuras Planas
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
3. Momento de Inércia Figuras Planas
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3. Momento de Inércia Figuras Planas
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
3. Momento de Inércia Figuras Planas
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
3. Momento de Inércia Figuras Planas
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3. Momento de Inércia Figuras Planas
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3. Momento de Inércia Figuras Planas
4. Significado Físico
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• Mede a dificuldade de girar um corpo em torno de um eixo.
max
T T c
J J
ρτ τ
⋅ ⋅= ∴ =max
maxx
M yM y
I Iσ σ
⋅⋅=− ∴ =
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4. Significado Físico
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A1 = 12
A2 = 6
A3 = 8
4. Significado Físico
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5. Momento Polar de Inércia
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6. Raio de GiraçãoO raio de giração é uma propriedade que representa a distância ao eixo ou
ponto de giro para o qual é possível concentrar toda a área da superfície
estudada de modo que se tenha omesmo momento de inércia.
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6. Raio de Giração
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7. Teorema dos Eixos Paralelos
• Exemplo 01: Determine o momento de inércia da viga I abaixo.
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40 mm
180 mm
40 mm
260 mm
110 mm
• Exemplo 01: (Método 1)
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40 mm
180 mm
40 mm
260 mm
110 mm
1
2
3
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
3 3
2 2
3
2
8 4
110 40 40 180110 40 110 40 180 0
12 12
110 40110 40 110
12
1, 271 10 mm
x x x x x x x
x
x
I I A d I A d I A d
I
I
= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅
⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +
⋅+ ⋅ ⋅
= ⋅
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
3 3
2 2
3
2
6 4
40 110 180 40110 40 0 40 180 0
12 12
40 110110 40 0
12
9,833 10 mm
y y y y y y y
y
y
I I A d I A d I A d
I
I
= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅
⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +
⋅+ ⋅ ⋅
= ⋅
• Exemplo 01: (Método 2)
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40 mm
180 mm
40 mm
260 mm
110 mm
2 3
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
3 3
2 2
3
2
8 4
110 260 35 180110 260 0 35 180 0
12 12
35 18035 180 0
12
1, 271 10 mm
x x x x x x x
x
x
I I A d I A d I A d
I
I
= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅
⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −
⋅+ ⋅ ⋅
= ⋅
1
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
3 3
2 2
3
2
6 4
260 110 180 35110 260 0 35 180 37, 5
12 12
180 3535 180 37, 5
12
9,833 10 mm
y y y y y y y
y
y
I I A d I A d I A d
I
I
= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅
⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −
⋅+ ⋅ ⋅
= ⋅