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UNIVERSITÉ DE LIÈGE

Faculté des Sciences

Mécanique des fluides géophysiques

VERSION PRELIMINAIRE

J.M. Beckers

Année académique 2004-2005

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2

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Table des matières

I Théories générales: MECA053 partim I 9

1 Rappels mécaniques des fluides homogènes 13

1.1 Milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Energie interne, travail mécanique et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Lois constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1 Fluides newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.2 Autres fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Equations d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1 Volume de contrôle en mouvement [TD] . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.2 Energie potentielle [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.3 Production d’énergie interne [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Fluides non-homogènes 27

2.1 Constituants et mélanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1 Conservation d’un constituant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2 Conservation de la masse totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Energie interne, travail mécanique et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Lois constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Equations d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.1 Mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.2 Fluides géophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Eau de mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Atmosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.3 Température potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7 Notion de turbulence et adaptation des lois constitutives . . . . . . . . . . . . . 38

2.8 Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8.1 Energie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8.2 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.9.1 Modélisation [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

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4 TABLE DES MATI ÈRES

2.9.2 Diffusion de sel [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9.3 Equation d’état [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


2.9.5 Sédimentation [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.9.6 Température potentielle d’un gaz parfait [N] . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Approximation des fluides géophysiques 45

3.1 Particularités de l’atmosphère et des océans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Système d’axes en rotation, couche mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2 Gravité apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2 Loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.3 Autres équations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.4 Equation pour la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.5 Fréquence de Brunt-Väisälä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Approximation hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Approximation du plan β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6 Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.1 Energie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.2 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.3 Energie potentielle disponible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7 Mesure dynamique de la stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7.1 Contrôle hydraulique d’un écoulement externe . . . . . . . . . . . . . 71

3.7.2 Ecoulement interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.8 Vorticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.8.1 Vorticité relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.8.2 Vorticité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.8.3 Vorticité potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.9 Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.10.1 Analyse d’importance de la force de Coriolis [N] . . . . . . . . . . . . 79

3.10.2 Le Thalys et la rotation de la terre [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.10.3 Vorticité [D] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.10.4 Brunt-Väisälä pour un gaz parfait [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.10.5 Equation pour la densité [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.10.6 Ondes acoustiques [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.10.7 Conservation d’énergie [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.10.8 Conditions aux limites cinématiques [N] . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.10.9 Equation du bilan thermique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.10.10 Energie potentielle vs APE [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


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TABLE DES MATI ÈRES 5

3.10.12 Courant côtier [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.10.13 Ecoulement au-dessus d’un ”ridge” [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Ondes internes 87

4.1 Phénomènes et approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Ondes internes dans un milieu infini stratifié uniformément . . . . . . . . . . . 89

4.2.1 Ondes internes dans le plan f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ondes hydrostatiques et non-hydrostatiques . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ondes de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Oscillations d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.2 Ondes internes longues dans le plan β . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3 Ondes internes avec frontières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3.1 Spectres discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3.2 Onde de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4.1 Oscillation d’inertie [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4.2 Vitesse de groupe des ondes internes [F] . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4.3 Ondes non-hydrostatiques avec f = 0 [N] . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.4 Conditions sur une surface libre [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4.5 Vitesse de groupe verticale [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4.6 Onde interne générée par une marée [N] . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4.7 Ondes de lee [D] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4.8 Ondes internes sans restriction d’amplitude [N] . . . . . . . . . . . . . 1074.4.9 Energie d’une onde de gravité-inertie interne [D] . . . . . . . . . . . . 107

4.4.10 Relation de dispersion avec surface libre [TD] . . . . . . . . . . . . . 108

4.4.11 Ondes équatoriales [D] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Equilibre géostrophique 111

5.1 Grandes échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2 Equilibre géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3 Vent thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.4 Colonnes de Taylor pour un fluide homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.5 Dégénérescence de l’équilibre géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.5.1 Pression de réf ́erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.6 Circulation générale océanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.7.1 Flux d’eau à travers une section hydrographique [N] . . . . . . . . . . 124

5.7.2 Deux mesures ponctuelles [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.7.3 Gyre océanique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.7.4 Vent thermique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.7.5 Géostrophie dans l’atmosphère [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

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6/252


6 Couches limites 131

6.1 Grandes échelles et couches limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.2 Traitement mathématique des couches limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.3 Couche limite de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.4 Couche limite du fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.5 Ekman pumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.7 Transport d’Ekman et circulation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.8 Transport d’Ekman et ”upwellings” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.9.1 Vent atmosphérique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.9.2 Marc de caf ́e [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.9.3 Dépot de déchets en profondeur [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.9.4 Vents dans le Pacifique [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.9.5 Alizés à l’équateur [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.9.6 Estimation de l’apport de nitrates par upwelling [N] . . . . . . . . . . 161

6.9.7 Vent thermique lors d’un upwelling [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.9.8 Friction à la base de la couche de surface [F] . . . . . . . . . . . . . . 161

6.9.9 Upwelling le long d’une banquise arctique [N] . . . . . . . . . . . . . 161

7 Instabilités 165

7.1 Notion de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.2 Traitement mathématique général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.3 Ecoulement stratifié/cisaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.3.1 Equation de Taylor-Gouldsmith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.3.2 Conditions de raccord près d’une discontinuité . . . . . . . . . . . . . 172

7.3.3 Instabilité de Kelvin-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Analyse de l’équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4 Analyse énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.5 Critères globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.5.1 Critère de Miles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.5.2 Critère de Howard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.6.1 Kelvin-Helmholtz [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.6.2 Ecoulement cisaillé [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.6.3 Critères globaux [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8 Turbulence 189

8.1 Notion de stabilité et turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.2 Traitement mathématique général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.3 Moyennes et fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.4 Modèle pour l’écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8.5 Fermeture turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.6 Paramétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

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7/252

TABLE DES MATI ÈRES 7

8.7 Phénoménologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.8 Transfert d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.8.1 Energie de l’écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.8.2 Energie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.9 Théorie de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.10 Exemple de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.10.1 Approche longueur de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.10.2 Equation pour la dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

8.10.3 Turbulence en équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.11.1 Modèle de Prandtl [D] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.11.2 Diffusion du sel en mer [F] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9 Turbulence géophysique 221

9.1 Echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.2 Microturbulence et fluides géophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.2.1 Rapport d’aspect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.2.2 Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.3 Micro et macroturbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.3.1 Effet de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.3.2 Filtrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.4.1 Turbulence en équilibre [N] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

A Formulaire 239

A.1 Notations matricielles, algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240A.2 Notations diff ́erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

A.3 Opérations sur tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

A.4 Théorèmes intégraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

A.5 Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

A.6 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

A.6.1 Opérateurs en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

A.6.2 Equations d’Euler en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . 243

A.7 Quelques fonctions particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

A.8 Intégrales et autres notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

A.9 Analyse d’une équation cubique par perturbation régulière . . . . . . . . . . . 244

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Partie I

Théories générales: MECA053 partim I

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Introduction

Ce cours a pour objectif de permettre l’application des concepts appris en mécanique des

fluides et milieux continus aux fluides géophysiques.

Les particularités des fluides géophysiques (large spectre de mouvements, faible rapport

d’aspect, rotation du système, compositions non-homogènes...) demandent en effet des adapta-

tions spécifiques des théories d’une part, mais donnent lieu à des mécanismes de mouvements

et propagations particuliers, d’autre part.Nous commencons par un rappel de la mécanique des fluides classique (chapitre 1), pour

les étudiants n’ayant pas une base suffisante dans ce domaine.

Ensuite (chapitre 2), nous allons établir les lois décrivant l’évolution d’un fluide non-homo-

gène, puisqu’en l’occurrence, les fluides géophysiques sont constitués de composants diff ́erents,

variables dans le temps et l’espace. Cette non-homogéneité est une première caractéristique

importante des fluides géophysiques.

Nous passons ensuite (chapitre 3) à l’adaptation des équations à un système en rotation

uniforme et d’épaisseur verticale faible. Ces deux aspects induiront également des propriétés

particulières des fluides géophysiques.

Ensuite (chapitre 4), les effets de stratification et de rotation sont illustrés par l’étude desmodes propres d’oscillations du fluide. On y rencontrera notamment les oscillations d’inertie

liés à la rotation de la terre et les ondes de gravités internes dues à la stratification.

L’effet combiné de la rotation et du gradient de pression (induit également par des effets de

densité) donne aux grandes échelles lieu à l’équilibre géostrophique (chapitre 5), essentiel pour

la compréhension de la circulation atmosphérique et océanique.

Cet équilibre géostrophique ne peut cependant pas exister près des frontières du système de

sorte que des couches limites (chapitre 6) apparaissent. Ici, nous étudierons les couches limites

d’Ekman qui expliquent notamment des remontées ou descentes d’eau.

Une des caractéristiques des écoulements géophysiques est le large spectre de mouvements

observés. Une partie de cette variabilité est due au fait que certains ́ecoulements ne sont pas sta-

bles et donnent lieu à des amplifications rapides de toute perturbation présente dans le système.

Ce processus de changement de type d’écoulement est étudié par une étude de stabilité analy-

tique (chapitre 7).

Comme les instabilités peuvent devenir de plus en plus complexes, nous allons ensuite abor-

der la notion de turbulence (chapitre 8). Ceci permet notamment de ne plus étudier en détails la

structure fine de l’écoulement mais de se limiter à la description de structures à grande échelle.

Nous faisons alors un bref résumé du problème classique de fermeture turbulente

Il faut cependant adapter les fermetures classiques pour les fluides géophysiques pour tenir

compte de la particularité des fluidesgéophysiques qui sont stratifiés, en rotation, et d’un rapport

d’aspect faible (chapitre 9).

11

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© 18

Figure 1 : Dr. Carl Gustav Rossby avec une placque tournante pour l’´ etude des mouvements atmo-

sph´ eriques en 1926

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Chapitre 1

Rappels mécaniques des fluides homogènes

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14 CHAPITRE 1. RAPPELS M ´ ECANIQUES DES FLUIDES HOMOG ÈNES

Dans ce chapitre, nous allons brièvement rappeler les éléments de la mécanique des fluides

essentiels pour la suite. Il s’agit de montrer comment la loi de conservation de la masse, la

loi de Newton et la conservation d’énergie sont formulées pour un milieu continu en général

et comment les équations constitutives et d’état complètent la description pour chaque fluide

particulier.

1.1 Milieu continu

Comme nous ne sommes intéressés que par les aspects macroscopiques du milieu, nous

utilisons le concept de milieu continu afin de ne pas devoir décrire les interactions indivi-

duelles entre molécules ou particules. A cette fin, on considère généralement un petit volume

représentatif. Ce volume (figure 1.1) est du type ”infinitésimal” si le volume est de taille suf-

fisamment petite pour justifier la notion de dérivée (d’une grandeur macroscopique), mais suf-

fisamment grande pour contenir un grand nombre de molécules (afin que les interactions entre

molécules puissent être regroupées statistiquement, ce qui aboutit notamment aux équations

constitutives).

Les variables macroscopiques comme la densité et la vitesse d’un milieu continu doivent

donc être considérées comme des moyennes statistiques sur ce volume ”infinitésimal”.

1.2 Conservation de la masse

Tout comme on peut facilement faire un bilan de masse pour un volume de contr ôle fixe en

fonction des masses ponctuelles entrantes et sortantes (figure 1.2), indiquant que la variation de

la masse à l’intérieur d’un volume fixé est dû au bilan des masses entrantes et sortantes

dm = (m + dmin) − (m + dmout) = dmin − dmout (1.1)on peut faire le même type de bilan dans le cas d’un milieu continu en mouvement à travers un

volume fixe (figure 1.3).

A cette fin, nous définissons la densité ρ (ou mieux la masse volumique) du fluide (enkg m−3) comme étant la masse par unité de volume, soit ρ =

mi/δV où la somme reprend

toutes les masses des molécules du fluide contenu dans l’unité de volume δV . La vitesse macro-scopique v du fluide est alors définie à travers la quantité de mouvement du fluide calculée

comme la somme des quantités de mouvements des molécules ou particules contenues dans le

même volume. ρv = mivi/δV . Il est alors aisé de calculer le bilan de matière pour cevolume V en stipulant que la variation temporelle ( ∂

∂t) de la masse dans le volume considéré

égale la quantité nette de matière qui rentre à travers sa surface S pendant ce laps de temps 1 :∂

∂t

V

ρ dV = − S

ρv·n dS = − V ∇· (ρv) dV (1.2)

1Nous utilisons évidemment le théorème de Gauss et la définition classique de l’opérateur ∇

∇ = e1∂

∂x1+ e2

∂

∂x2+ e3

∂

∂x3

en axes cartésiennes e1, e2, e3.

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mdmin

dmout

t

t + dtm

dmin

dmout

Figure 1.2 : Variation de masse pour un syst ̀eme à masse variable.

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1.3. LOI DE NEWTON 17

V S

n

v

Figure 1.3 : Bilan sur un volume de contr ̂ ole fixe de volume V , de surface S et de normale ext ́ erieure n.

Puisque le volume est quelconque et fixe, nous obtenons aisément la forme classique de la

conservation de la masse sous forme Eulérienne (en un endroit fixe)

∂ρ

∂t + ∇· (ρv) = 0 (1.3)

que nous pouvons réécrire sous forme Lagrangienne (”en suivant la parcelle fluide”)

Dρ

Dt + ρ∇·v = 0 (1.4)

à l’aide de la définition de la dérivée matérielle

D

Dt =

∂

∂t + v·∇ (1.5)

Notons au passage que la conservation de la masse (1.3) et la définition de la dérivée matérielle

(1.5) permettent d’écrire pour toute propriété F

∂

∂t (ρF ) + ∇· (ρvF ) = ρ

DF

Dt (1.6)

1.3 Loi de Newton

Tout comme nous avons pu ́etablir une loi de la conservation de la masse pour un volume fixe

traversé par un écoulement, nous pouvons utiliser la loi de Newton pour un système inertiel mais

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”de masse variable”, qui stipule que la variation de la quantité de mouvement est due aux entrées

et sorties de la quantité de mouvement à travers la surface du volume et l’impulsion appliquée

(cours de mécanique [12]). Selon la direction x, l’évolution de la quantité de mouvement N xd’un système à masse variable s’écrit en effet

dN x = uindmin − uoutdmout + f xdt (1.7)où uin et uout sont respectivement les vitesses d’entrée et de sortie des masses entrantes min etsortantes mout et f x la somme des forces appliquées dans la direction x.

Il est aisé d’appliquer cette loi au cas du milieu continu (figure 1.4) en distinguant les forces

internes du volume f et les forces de surface t qui s’appliquent au fluide (les tensions de surface

t sont données par t = n ·T, où T est le tenseur des tensions appliquées)

∂

∂t V ρv dV = −

S ρv v·n dS +

V ρ f dV +

S n·T dS

L’utilisation du théorème de Gauss

∂

∂t

V

ρv dV = − V ∇· (ρv v) dV +

V

ρ f dV + V ∇·TdV (1.8)

et le fait que le volume de contrôle est quelconque fournissent alors la loi de Newton en forma-

lisme de la mécanique des fluides

∂

∂t (ρv) + ∇· (ρv v) = −∇ p + ρ f + ∇·Tv (1.9)

où le tenseur des tensions T a été séparé en sa partie visqueuse Tv et la partie associée à la

pression p.T = − pI + Tv (1.10)

1.4 Energie interne, travail mécanique et entropie

Nous pouvons également établir un bilan d’énergie pour le fluide en constatant que la varia-

tion d’énergie totale est due aux entrées et sorties advectives, aux flux de chaleur par conduction

q (contenant éventuellement la radiation), aux sources de chaleur locales Qe et au travail desforces appliquées (le travail des forces de surface vaut notamment t ·v = n ·T ·v). Comme

l’énergie est constituée de la somme de l’énergie cinétique et l’énergie spécifique e (en J/kg),elle doit satisfaire

∂

∂t

ρe + 12 ρ v·v

+ ∇·

ρe v + 12 ρ v·v v

=

−∇·q + ρQe + ρ f ·v + ∇· (T·v)(1.11)

Nous pouvons extraire de cette équation la composante liée à l’énergie interne en utilisant la loi

de Newton (1.9) multipliée scalairement par la vitesse v

v·

ρ

Dv

Dt − ρ f −∇·T

= 0

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1.5. LOIS CONSTITUTIVES 19

V S

n

v

f

t

Figure 1.4 : Bilan de quantit ́ e de mouvement sur un volume de contr ̂ ole. f est la force volumique et t la

tension de surface qui s’exerce sur le volume.

soit l’évolution de l’énergie cinétique

12 ρ

D(v·v)

Dt =

∂

∂t

12 ρ v·v

+ ∇·

12 ρ v·v v

= ρ f ·v + v·∇·T

Par soustraction de l’équation pour l’énergie totale (1.11), on obtient une équation pour l’énergie

interne∂

∂t (ρe ) + ∇· (ρe v) = −∇·q + ρQe − p∇·v + Tv:∇v (1.12)

Cette équation pour l’énergie interne montre bien qu’elle est modifiée par le transport, les

flux de chaleur, les sources internes de chaleur, le travail de compression et la friction.

Notons que nous pouvons également décrire l’évolution de l’entropie spécifique s qui satis-fait une loi du même type

∂

∂t

(ρs) + ∇· (ρsv) = ρQs

−∇·ds (1.13)

où Qs représente le taux de production/destruction d’entropie (par unité de masse) et ds le fluxmoléculaire d’entropie. Dans ce cas, la production d’entropie est due à la chaleur apportée (ou

exportée), par radiation et d’autres transformations irréversibles (contribution positive ou nulle).

1.5 Lois constitutives

Les équations établies jusqu’à présent contiennent plus d’inconnues que d’équations et elles

sont d’ailleurs valables pour n’importe quel fluide, que ce soit du verre fondu, du lait, du

caoutchouc ou encore un métal liquide.

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La formulation des propriétés macroscopiques du fluide qui le caractérise va alors permettre

de trouver des relations additionnelles entre les inconnues. Ainsi, les lois constitutives sont

spécifiques à chaque type de fluide et différencient donc les écoulements: à titre d’exemple,

nous pouvons donner quelques caractérisations usuelles.

1.5.1 Fluides newtoniens

Pour des fluides newtoniens soumis à la seule accélération de gravité g, la force appliquée

s’écrit

f = g (1.14)

alors que le caractère newtonien du fluide est traduit par un tenseur des tensions visqueuses

proportionnel au tenseur des déformationsD du fluide

Tv = (ρλ

∇·v)

I+ 2ρν

D (1.15)

D = 1

2

∇v + (∇v)T

(1.16)

Notons au passage que la trace du tenseur vaut

traceD = ∇·v (1.17)

et que l’on utilise souvent la formule de Stokes

λ + 23 ν = 0 (1.18)

qui fait en sorte que traceTv = 0.

Le paramètre ν qui intervient dans la loi constitutive d’un fluide newtonien est alors laviscosité cinématique du fluide en question.

Tout comme les tensions de surface, les flux de chaleur sont liés aux propriétés physiques

(et in fine à la structure moléculaire non explicitement résolue) du fluide et une loi de Fourier

pour un flux de chaleur de conduction est souvent appropri ée

q =

−k∇T (1.19)

Dans ce cas, k est la conductivité supposée isotrope (autrement, il faudrait remplacer le scalairepar un tenseur de conduction K). En principe, ce flux de chaleur pourrait aussi inclure les flux

par radiation mais que l’on introduit souvent par un terme additionnel en ∇·i pour l’équation

de e et où le rayonnement i doit faire l’objet d’une modélisation propre. Le plus simple dans un

environnement qui atténue l’intensité I de la lumière dans une direction z est une loi du type

dI

dz = −κI (1.20)

où κ est le coefficient d’atténuation.

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1.5.2 Autres fluides

Si les fluides newtoniens sont les fluides que l’on étudie classiquement, il convient d’insister

sur le fait que chaque fluide possède sa propre caractérisation et que les lois constitutives sont

fort diversifiées. A titre d’exemple, nous pouvons en indiquer quelques unes:⊕

Les fluides non-newtoniens ne se mettent pas en mouvement d ̀es que l’on applique une force et les

tensions de surface ont une ”certaine m´ emoire”, c.à.d. que l’´ etat à un moment donn´ e d´ epend de la

situation pr ́ ec´ edente. Une mod ́ elisation (dite de Maxwell) de cette ”m´ emorisation” introduit une d ́ eriv´ ee

temporelle ˙

Ṫv = 1

τ

−1ρTv + 2ν D

(1.21)

qui lie effectivement les tensions observ´ ees aux instants pr ́ ec´ edents. Cette formulation tend vers la ver-

sion Newtonienne si 1/τ est suffisamment ”grand” pour les fluides incompressibles. A la place d’uned ́ eriv´ ee temporelle, un autre mod ̀ele lin´ eraire fait d ́ ependre le tenseur de l’histoire de la d ́ eformation

Tv(x, t) =

t−∞

G(t− t)D(x, t)dt (1.22)

où la fonction G est g´ en´ eralement d ́ efinie positive.

Bien sˆ ur, selon les propri´ et ́ es physiques, les tensions peuvent d ́ ependre non-lin´ eairement des d ́ efor-

mations et l’on utilise alors des relations non-lin ´ eaires

µ = µ (|D|) (1.23)

D’autres fluides encore peuvent ˆ etre des conducteurs ´ electriques. S’ils sont soumis à une induction

magn´ etique B , des forces de Lorentz apparaissent dont il faudra tenir compte

f = 1

ρJΛB (1.24)

où J est la densit´ e de courant. Ce courant ´ electrique au sein du fluide peut lui-mˆ eme ˆ etre dˆ u à diff´ erents

m´ ecanismes comme le d ́ eplacement par un courant advectif v de charges ´ electriques γ et d’un courant σE par la loi d’Ohm pour le champ ´ electrique (qu’il soit appliqu´ e: E ou induit: vΛB)

J = γ v + σ (E + vΛB) (1.25)

Une dernière illustration d’une ´ equation constitutive particulière est celle des fluides ferro-magn´ e-

tiques au sein desquels de minuscules particules aimant ́ ees donnent au fluide une aimantation qui permet

de le mettre en mouvement via un champ magn ´ etique appliqu´ e. Dans ce cas, la force magn´ etique dans

le vide qui agit sur le fluide s’´ ecrit en fonction du champ magn´ etique H

f m = µ0H∇·H,= ∇·Tm Tm = µ0HH− 12 µ0H 2I (1.26)

où µ0 est la perm´ eabilit´ e magn´ etique du vide.

⊕

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1.6 Equations d’état

Si les équations constitutives permettent effectivement de caractériser les propriétés phy-

siques du fluide et lient les diff ́erents flux et sources aux variables d’état elles-mêmes, ces

équations ne sont pas en nombre suffisant pour fermer le syst ème d’équations. Il y a plusd’inconnues que d’équations et il faut compléter le système par les équations d’état qui relient

les variables d’état entre-elles

ρ = ρ(e ,s,p,...) (1.27)

L’équation d’état pour un gaz parfait reliepar exemple la pression, la densité et la température

selon p = ρRT .Nous reviendrons aux équations d’état dans le cadre des fluides géophysiques réels.

1.7 Exercices

1.7.1 Volume de contr ôle en mouvement [TD]

Etablir les lois de conservation pour un volume de contrôle en mouvement à une vitesse

vV . Distinguer la vitesse du fluide v et la vitesse vV à laquelle bouge le volume de contrôle, et

définirD

Dt =

∂

∂t + v·∇ (1.28)

d

dt =

∂

∂t + vV ·∇ (1.29)

Le volume se déplace à une vitesse vV et la dérivée ddt désigne la dérivée quand on se

déplace à la vitesse vV . Si vV = v, alors on suit une particule fluide et on obtient une approchelagrangienne.

Démontrer le théorème de Reynolds

d

dt

V (t)

F (x, t) dV = V

∂F

∂t dV +

S

F (x, t)n·vV dS (1.30)

Pour la démonstration du théorème de Reynolds, on utilise

d

dt(d

V ) = ∇·vV d

V (1.31)

dont on essaiera de donner une interprétation.

Note: si le volume ne bouge pas à la vitesse du fluide, il y a lieu de tenir compte des flux

advectifs à travers le volume (faire apparaı̂tre vV − v).

1.7.2 Energie potentielle [N]

Soit un lac allongé de longueur Lx, de largeur Ly et de profondeur constante h. On sup-pose que l’eau du lac est de densité constante et qu’un vent a soufflé pendant un certain temps

aboutissant à créer une surélévation du niveau d’eau de hauteur d à l’extrémité x = Lx du

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Bibliographie

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1962.

[2] G.K. Batchelor. An introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press, 1967.

[3] E. Delhez and J.C.J. Nihoul. M´ ecanique Rationnelle - Modèle math´ ematique de Newton.

Etienne Riga éditeur, 1996.

[4] L. Landau and E. Lifschitz. Fluid Mechanics. Pergamon Press, 1959. 536p.

[5] R.E. Rosensweig. Ferrohydrodynamics. Dover publications, 1997.

[6] D. Tritton. Physical fluid dynamics. Oxford Science Publications, 1988. second edition,

520p.

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26 BIBLIOGRAPHIE

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Chapitre 2

Fluides non-homogènes

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28 CHAPITRE 2. FLUIDES NON-HOMOG ÈNES

Dans le chapitre précédent, nous avions résumé les fondements de la mécanique des flui-

des sans spécifier la nature ou la composition du fluide. Or, il est bien clair que les fluides

géophysiques ne sont nullement des fluides purs mais sont composés de différents constituants.

De ce fait, le fluide doit être considéré comme non-homogène si la composition du fluide n’est

pas constante. Nous allons donc examiner comment nous devons adapter les formulations clas-siques de la mécanique des fluides au cas où le fluide n’est pas homogène mais est un mélange.

2.1 Constituants et mélanges

Afin d’introduire la notion d’un fluide composé (figure 2.1), nous considérons n constitu-ants repérés par l’indice a ∈ [1, n]. Chaque constituant a peut être quantifié en indiquant sonpoids par unité de volume du mélange. A l’échelle moléculaire, cela reviendrait à définir la

densité1 du composant a par

ρa

= i miδV où comme précédemment, la somme porte sur toute les molécules ou particules (de masse mi)du composant en question du volume δV .

En plus de ρa qui est la densité du constituant a ( kg par unité de volume du mélange), nouspouvons également calculer une quantité de mouvement associé au constituant

ρava =

i miwiδV

Il est alors naturel de définir

• la masse par unité de volume du fluide

ρ =

ρa (2.1)

• la quantité de mouvement (par unité de volume) du fluide

ρv =

ρava (2.2)

• la concentration du composantca =

ρa

ρ (2.3)

puisque les deux premières définitions sont cohérentes avec la définition habituelle de la masse

volumique et de la quantité de mouvement d’un ensemble de particules de masses diff ́erentes.

Quant à la concentration ca, elle mesure donc le poids du composant en question par rapportau poids du mélange dans un volume du mélange donné.

1Il s’agit de la densité du composant par unit ́ e de m´ elange et non de la masse/unité de volume du seul com-

posant.

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2.1. CONSTITUANTS ET M ´ ELANGES 29

................................

...................................................................................................

Figure 2.1 : Volume ”infinit ́ esimal” sur lequel on d ́ efinit les variables macroscopiques du m´ elange.

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2.2. CONSERVATION DE LA MASSE 31

S

V

ρcama

da

ρcav

Qa

Figure 2.2 : Bilan de masse d’un constituant a sur un volume fixe V . La variation de la masse est dueaux sources internes Qa et à l’export/import à travers la surface S du à l’advection v dum´ elange, la migration ma du constituant par rapport au m´ elange et la diffusion da.

• D’une part, le composant peut être soumis systématiquement à une force diff ́erente dumélange. C’est, par exemple, le cas d’un composant constitué de sédiments dont les

particules solides sont soumises à la gravité. Dans ce cas, cette force peut engendrer

un mouvement ordonné du composant par rapport au mélange et nous regroupons ce

mouvement dans ce que l’on appelle la vitesse de migration ou de sédimentation.

• D’autre part, à coté de ce mouvement systématique, il peut y avoir des fluctuations devitesses du composant relativement aléatoires dont l’effet est analogue à une diffusion.

La décomposition de la vitesse du composant est alors écrite de la façon suivante

ρcava = ρcav + ρcama + da (2.6)

où ma désigne la vitesse de migration et da le flux de diffusion.

A l’aide de cette décomposition, nous pouvons reformuler la loi de conservation d’un cons-

tituant en fonction de l’advection du mélange (que l’on tentera ensuite de prédire via une loi de

Newton pour le mélange)

∂ρca

∂t + ∇· (ρcav) = ρQa −∇· (ρcama) −∇·da (2.7)

2.2.2 Conservation de la masse totale

Si l’on accepte que certains composants disparaissent ou apparaissent localement, il va de

soi que la quantité de matière totale ne peut être modifiée que par advection. Autrement dit, il

faut que la somme des termes de production/destruction soit nulle pour que tout ce qui est détruit

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d’un constituant apparaisse comme production d’autres composants. Nous pouvons exploiter

cette propriété pour aboutir à une loi de conservation de la masse du mélange. En effet, sous la

forme originale, la ”conservation” d’un constituant s’écrit

∂ρa

∂t + ∇· (ρa

va

) − ρQa

= 0 (2.8)

En additionnant sur tous les constituants et en tenant compte du fait queQa = 0 (2.9)

nous aboutissons à la loi escomptée

∂ρ

∂t + ∇· (ρv) = 0 (2.10)

Nous constatons qu’elle a la même forme que (1.3), mais que la densité du mélange peut être

modifiée selon la composition locale du mélange.

2.3 Loi de Newton

Comme nous venons de l’évoquer, il n’est pas toujours utile de détailler la loi dynamique

de Newton pour chaque constituant, et pour les fluides géophysiques, c’est le mouvement du

mélange qui nous intéresse car il résume bien l’advection des composants. Nous allons donc

directement établir la loi de Newton pour le mélange. Dans ce cas, les forces internes entre les

composants à l’intérieur du volume de contrôle se compensent mutuellement et leur interaction

dynamique interviendra via les forces de surface, c’est-à-dire, finalement, à travers les équations

constitutives. Nous écrivons donc la loi de Newton classique des fluides∂

∂t(ρv) + ∇· (ρvv) = ρf + ∇·Tv (2.11)

et pour un fluide géophysique (voir section 3.2), qui est rapporté à des axes en rotation (de

vecteur rotation Ω), la somme des forces appliquées au mélange est donnée par

ρf = −∇ p − 2ρΩΛv + ρg (2.12)où p est la pression. Les forces astronomiques, comme les forces de marées, dérivent d’unpotentiel et on peut, si on le souhaite, considérer qu’elles sont implicitement contenues dans p.

2.4 Energie interne, travail mécanique et entropie

Tout comme pour la quantité de mouvement, nous pouvons établir un bilan d’énergie pour

le mélange. L’approche est identique à celle utilisée précédemment (chapitre 1). L’équation

pour l’énergie interne e devient ainsi

∂

∂t(ρe ) + ∇·(vρe ) = −∇·q − p∇·v + Tv:∇v + ρQe (2.13)

où

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• Tv est le tenseur de tensions visqueuses par unité de masse du mélange• Qe la chaleur produite par les réactions chimiques internes et

• q le flux de chaleur pouvant éventuellement inclure l’effet de radiation.

Quant à l’entropie s du mélange, sa loi d’évolution est

∂

∂t(ρs) + ∇· (ρsv) = ρQs −∇·ds (2.14)

où Qs représente le taux de production (destruction) d’entropie (par unité de masse) et ds leflux moléculaire d’entropie. Ici aussi, la production d’entropie est due à la chaleur apportée (ou

exportée) par radiation et à l’ensemble des transformations irréversibles se produisant au sein

du fluide, incluant le mélange par diffusion moléculaire des diff ́erents constituants.

2.5 Lois constitutives

De la même façon que pour un fluide homogène, nous devons compléter la description du

système non-homogène par les équations constitutives qui permettent de calculer les flux de

chaleur, les tensions visqueuses etc ... en fonction des variables d’état. De façon générale et

d’après la thermodynamique générale, les flux sont une combinaison linéaire des affinités et

dans les cas les plus simples et isotropes, nous retrouvons les lois classiques

• la loi de Fick de diffusion d’un constituant a

da = −ρλa∇ca (2.15)

• la loi de Fourier pour le flux de chaleurq = −ρc pλT ∇T (2.16)

• la loi de Stokes pour les fluides newtoniens

Tv = −ρν

∇v + (∇v)T − 23 ∇·v I

(2.17)

c p étant la chaleur spécifique à pression constante , T la température, λT le coefficient de

diffusion de la température (en m2/s) et λa le coefficient de diffusion du constituant a (en m2/s).

2.6 Equations d’état

Ce qui différencie les fluides géophysiques des fluides homogènes au niveau des propriétés

physiques, c’est la présence de diff ́erents composants dans le mélange, ce qui se ressentira

également sur l’équation d’état. Il semblerait en effet évident qu’un fluide qui contiendrait à

certains endroits un composant très lourd voit la densité du mélange augmentée à cet endroit.

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2.6.1 Mélange

L’équation d’état du mélange reliera donc la densité du fluide aux autres variables d’état

thermodynamiques comme, par exemple, la pression p, l’entropie s et les concentrations descomposants

ρ = ρ( p, s, c

α

) .

Ici, cα désigne l’ensemble des concentrations de tous les constituants moins une, puisqueseules n − 1 des variables ca sont indépendants en vue de (2.1).

Si l’entropie est choisie comme variable d’état, la température (que l’on mesure en pratique)

doit être donnée par une loi la reliant aux variables d’état

T = T ( p, s, ca). (2.18)

Cette dernière est souvent donnée : - soit sous une forme différentielle

dT = ∂T

∂p s,ca d p + ∂T

∂s p,ca ds +a ∂T

∂c

a p,s,ca dca, (2.19)

- soit sous la forme plus classique

c pdT = αT

ρ d p + T ds − T

a

ŝadca, (2.20)

où nous avons défini des paramètres thermodynamiques usuels

•α ≡ −1

ρ ∂ρ

∂T p,ca= −ρ

∂s

∂pT,ca(2.21)

est le coefficient d’expansion thermique

• c p est la capacité thermique à pression et composition constantes

c p ≡ T

∂s

∂T

p,ca

=

∂ e

∂T

p,ca

+ p

∂v

∂T

p,ca

(2.22)

• et oùŝa ≡ ∂s

∂ca − ∂s

∂cn. (2.23)

(cn étant la variable éliminée en vertu de ca = 1).2.6.2 Fluides géophysiques

Pour chaque fluide géophysique que l’on souhaite étudier, il faudra donc spécifier l’équation

d’état et les paramètres thermodynamiques. Ainsi l’équation d’état d’une eau de lac chargée en

minerais de rivières sera différente de l’équation d’état de l’eau de mer, de même que l’équation

d’état de l’enveloppe gazeuse de Vénus sera diff ́erente de celle de l’atmosphère terrestre. Nous

allons dans la suite présenter, à titre illustratif, l’équation d’état de l’eau de mer et de l’air

atmosphérique.

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2.6. EQUATIONS D’ ´ ETAT 35

a0 = 999.842594 a1 = 6.7939520 10−2

a2 = −9.0952900 10−3 a3 = 1.0016850 10−4a4 = −1.1200830 10−6 a5 = 6.5363320 10−9

b0 = 8.2449300 10−1 b1 = −4.0899000 10−3

b2 = 7.6438000 10−5

b3 = −8.2467000 10−7

b4 = 5.3875000 10−9 c0 = −5.7246600 10−3

c1 = 1.0227000 10−4 c2 = −1.6546000 10−6

d0 = 4.8314000 10−4

Tableau 2.1 : Coefficients de l’´ equation d’´ etat de l’eau de mer.

Eau de mer

Dans l’océan, les diff ́erents sels dissous se rencontrent quasiment toujours dans les mêmes

proportions (table 2.2) et on peut ainsi les regrouper en une seule variable d’état: la salinité S ,puisque la connaissance d’une seule concentration de ses sels minéraux permet le calcul des

autres via le rapport constant de la composition de l’eau de mer. Sans entrer dans les détails de

la définition exacte de la salinité et de la façon de la mesurer, nous pouvons donc utiliser une

équation d’état du type2

ρ = ρT (T, S , p). (2.24)

Les mesures indiquent que l’on peut raisonnablement bien représenter l’effet de la pression (en

réalité, la surpression par rapport à la pression atmosphérique) en écrivant l’équation d’état de

la façon suivante

ρT (T, S , p) =

ρT (T,S, 0)

1 − p/K (T, S , p) (2.25)où ρ(T, S ) et K (T, S , p) sont des fonctions polynomiales en T , et

√ S

ρT (T,S, 0) = a0 + a1T + a2T 2 + a3T

3 + a4T 4 + a5T

5

+S

b0 + b1T + b2T 2 + b3T

3 + b4T 4

+S 3/2

c0 + c1T + c2T 2

+ S 2d0

(2.26)

Nous donnons, à titre illustratif, les coefficients de l’eau de mer selon l’ équation d’état de

l’UNESCO (table 2.1) en unités MKS des températures en ◦C et la salinité en 0/00.Quelques valeurs typiques sont

• ρ(5, 0, 0) = 999.96675 kg/m3

• ρ(5, 35, 0) = 1027.6755 kg/m3

Il est bien clair que c’est cette équation d’état qui est utilisée pour l’utilisation de données

réelles ou la modélisation, mais en ce qui concerne des études théoriques, dont le but est de met-

tre en évidence des mécanismes plutôt que de calculer exactement une valeur, une linéarisation

2 Comme nous mesurons la température, en pratique une équation d’état formulée directement en fonction de

la température en lieu et en place de l’entropie est préférée.

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Ion Pourcentage en poids de tous les sels dissous

Cl− 55.04Na+ 30.61

SO−−4 7.68

Mg++ 3.69Ca++ 1.16

K+ 1.10

Tableau 2.2 : Composition de l’eau de mer.

de cette équation d’état autour d’une situation de réf ́erence est souvent préf ́erée. Ainsi, les effets

de compressibilité sont relativement faibles et les écarts de température et de salinité pour un

bassin océanique donné restent généralement dans une plage restreinte de valeurs. Dans ce cas,

la linéarisation autour d’un état de réf ́erence à pression atmosphérique p = 0, de températureT 0 et de salinité S 0 , s’écrit

ρ = ρ0 (1 − α(T − T 0) + β (S − S 0)) (2.27)

avec comme valeurs typiques

• α =∼ 1.7 10−4 (◦C)−1

• β =∼ 7.6 10−4

Nous constatons qu’une élévation de température donne lieu à une diminution3 de la densité

alors que l’ajout de sels l’augmente.Notons que comme la densité ne varie pas beaucoup par rapport à une valeur typique de

1000 kg/m3, on utilise souvent la variable σt pour caractériser la densité de l’eau de mer

σt = ρ − 1000 (2.28)

Atmosphère

Contrairement à l’eau de mer qui est peu compressible, l’air, qui est un gaz, peut être com-

primé et par la même occasion, réchauff ́e. Son équation d’état est donc semblable à celle d’un

gaz parfait et son état thermodynamique dépendra clairement de la pression. En dehors d’unesituation dans laquelle un changement de phase a lieu (condensation et création de nuages, par

exemple), l’utilisation d’une équation d’état d’un gaz parfait peut se justifier pour les études

théoriques

p = ρRT (2.29)

alors que l’énergie interne est donnée par

e = cvT (2.30)

3 Nous excluons ici la plage de température rencontrée lors de la formation des glaces et de la température du

maximum de densité.

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2.6. EQUATIONS D’ ´ ETAT 37

où cv est la capacité thermique à volume et composition constantes (c p − cv = R). Si nousdéplaçons une parcelle fluide de façon adiabatique, nous savons aussi que dans l’approximation

d’un gaz parfait, la quantité

pρ−γ (2.31)

reste constante avec γ = cpcv

.

2.6.3 Température potentielle

Le fait que la compression modifie la température de l’air (et dans une moindre mesure, de

l’eau de mer) rendra difficile la comparaison de la densité de parcelles de fluides soumises à

des pressions diff ́erentes quand on mesure leur température. En effet, si on ramenait les deux

parcelles d’air que l’on souhaiterait comparer à la même pression, leur température respective

serait modifiée ainsi que leur densité. Pour comparer la densité de parcelles d’air ou d’eau

soumises à des pressions différentes, nous allons introduire la notion de température potentielle

représentative de l’entropie.Nous partons de l’équation de Gibbs

de = T ds − pdv +a

µ̂adca (2.32)

où v = ρ−1 et µa = − 1T ∂s∂ca est le potentiel chimique du constituant a. Le long d’une trajectoire,cette équation permet d’écrire que

De

Dt = T

Ds

Dt − p

ρ∇·v +

aµ̂a

Dca

Dt , (2.33)

ce qui fournit, à l’aide de l’équation diff ́erentielle d’état (2.20),

De

Dt = c p

DT

Dt − αT

ρ

Dp

Dt + T

a

ŝaDca

Dt − p

ρ∇·v +

a

µ̂aDca

Dt , (2.34)

en utilisant finalement l’équation pour l’énergie interne (2.13), nous obtenons l’équation d’évolution

pour la température

c pDT

Dt − αT

ρ

Dp

Dt = Qe − 1

ρ∇·q +

1

ρTv:∇v. (2.35)

Nous constatons que la température est modifiée par le travail des forces visqueuses, la con-

duction (ce compris la radiation, si nécessaire) et de la compression. Comme le travail des

forces visqueuses est généralement négligeable, seules la radiation, conduction et la compres-

sion doivent être retenues

DT

Dt − αT

ρc p

Dp

Dt = − 1

ρc p∇·q +

Qe

c p. (2.36)

L’équation indique qu’effectivement, si l’on déplace une masse d’eau de façon adiabatique

(pas d’échange de matière et de chaleur avec son environnement : Qe = 0, q = 0, Tv:∇v = 0),

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elle sera plus chaude si on l’amène vers des zones plus profondes. Ceci est dû à une faible

compressibilité de l’eau ou à la compressibilité de l’air.

Nous pouvons alors introduire la notion de température potentielle θ: par définition, c’estla température que l’eau (ou l’air) aurait si on l’amenait de son niveau de pression donné à une

pression de référence de façon adiabatique. Cette température potentielle est donc ”conservée”si on déplace une parcelle fluide de façon adiabatique pour laquelle DT

Dt − αT

ρcp

DpDt

= 0 lors decette transformation.

Pour un gaz parfait, la température potentielle par rapport à une pression de réf ́erence p0 estainsi

θ = T

p

p0

(1−γ )γ

(2.37)

Afin de montrer l’intérêt du concept de température potentielle, imaginons un état de réf ́eren-

ce (indice 0) qui est caractérisé par une situation de repos, de composition homogène, sans

échanges de chaleur et une entropie uniforme. Dans ce cas, cet état de réf ́erence satisfait

d p0dz

= −ρ0g (2.38)

et le système adiabatique dθ = 0 est caractérisé par (2.20)∂T 0∂z

θ,ca

= −αT 0gc p

= −Γ (2.39)

Γ est appelé le gradient adiabatique de température

• Pour l’air αT

0 ∼1 et Γ =

O(10

−2

◦Cm

−1)

• Pour l’eau de mer Γ = O(10−4 ◦Cm−1)

Ces gradients sont donc les gradients de température pour un état de référence isentropique, de

composition homogène et au repos. D’autre part, si nous déplaçons une parcelle fluide de façon

adiabatique dans le champ de pression p0(z ), la variation de température est simplement celledue à ce gradient adiabatique de température Γ. Nous retrouvons l’estimation des trekkeurs quiévaluent à 1◦C la diminution de température quand on monte de 100 mètres en montagne.

2.7 Notion de turbulence et adaptation des lois constitutivesNous allons voir dans la suite (chapitre 8) que les équations établies jusqu’à présent décrivent

tous les processus, ce compris les fluctuations rapides et erratiques dues ̀a la turbulence. Comme

dans la suite nous sommes souvent intéressés par des processus à plus grande échelle seule-

ment, nous devons tenir compte de l’effet de ces fluctuations sur les écoulements à plus grande

échelle. Pour l’instant, nous nous bornons à indiquer que ces fluctuations (tout comme les

fluctuations moléculaires sont à la base de la diffusion moléculaire) entraı̂nent un mélange sem-

blable au mélange dû à la diffusion moléculaire, mais sensiblement plus efficace. L’efficacité de

ce mélange turbulent dépendra en réalité des conditions de l’écoulement à grande échelle, mais

pour l’instant, nous pouvons supposer que l’effet de la turbulence se résume à un remplacement

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2.8. ENERGIES 39

des coefficients de diffusion moléculaire par des coefficients dits de diffusion turbulente. Sans

précisions sur le niveau de turbulence, on ne peut donner une valeur à ces coefficients mais

seulement une idée sur l’ordre de grandeur. Du point de vue pratique, il suffira pour l’instant

de modifier les équations constitutives en y, remplaçant les coefficients de diffusions λ et de

viscosité ν par leurs équivalents turbulents λ̃ et ν̃ .

2.8 Energies

Nous pouvons introduire à ce stade les notions d’énergie cinétique et potentielled’un mélange.

Comme nous avons caractérisé l emélangepour une masse volumique ρ et unevitesse d’advectionv, nous définissons tout naturellement les énergies suivantes pour un bassin (figure 2.3) à sur-

face libre:

2.8.1 Energie cinétiqueDe même, nous pouvons calculer l’énergie cinétique:

KE = 12

V

ρ v2 dV (2.40)

2.8.2 Energie potentielle

PE = V ρgz dV (2.41)où le volume V est délimité en surface par la position η de la surface libre.ez

ex

h

η

Figure 2.3 : Distribution de densit ́ e dans une section verticale pour le calcul d’une ´ energie potentielle.

2.9 Exercices

2.9.1 Modélisation [N]

En observant la flamme d’un brûleur (figure 2.4), imaginer quels ”ingrédients” un modèle

décrivant ce processus devrait contenir et quels effets sont probablement négligeables.

En particulier comment interviendraient les facteurs suivants:

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Figure 2.4 : T ̂ ete d’un br ̂ uleur de m´ ethane.

• Composants chimiques• Thermodynamique• Inertie

• Gravité• Coriolis

2.9.2 Diffusion de sel [F]

On considère que l’océan peut être représenté par une masse d’eau au repos, homogène

horizontalement, dont la salinité initiale est donnée par

S = S 0 − ∆S cos

π z

H (2.42)

et qu’il n’y a pas de diffusion de sel à travers le sol et la surface.

Quel signe devrait avoir ∆S si la température est uniforme?Calculer comment le sel est diffusé verticalement dans un système au repos, si le coefficient

de diffusion moléculaire est λS .Combien de temps faut-il pour que la diff ́erence de salinité ∆S entre la surface et le fond

soit réduite de moitié?

Chiffrer pour H = 1000m, λS = 10−9 m2/sEst-ce un modèle réaliste pour l’évolution de la salinité dans les océans?

Suggestion: Chercher une solution du type S = a(t)cos

π zH

2.9.3 Equation d’état [F]

Soient deux bassins au repos, de même profondeur (1000m) et de même niveau d’eau,séparés par un détroit fermé. Le bassin 1 possède une salinité nulle (du type lac) et une

température de 15 ◦C.L’autre bassin est de température constante de 20 ◦C , mais sa salinité vaut 37.Lors d’un tremblement de terre, le détroit s’ouvre sur une hauteur de 100m. Quelle est la

différence de pression dans le détroit entre les deux bassins a) en surface b) sur le seuil? A

quelle hauteur d’une colonne d’eau pure correspond cette diff ́erence de pression?

Décrivez sans calculs ce qui se passera après l’ouverture du détroit.

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2.9. EXERCICES 41

ρ1

ρ2

ez

h

h

L

Figure 2.5 : Section verticale à travers un bassin carr ́ e stratifi´ e.

Note: pour le calcul de la densité, on négligera l’effet de pression sur la densité et on peut

utiliser

http://gaea.es.flinders.edu.au/˜mattom/Utilities/density.html

2.9.4 Energie potentielle [N]

Comment doit-on calculer l’énergie potentielle d’un fluide contenu dans un bassin donné et

dont la densité n’est pas constante?

Quelle est la valeur de l’énergie potentielle (par rapport au niveau de réf ́erence z = 0) dansle cas de la figure d’un bassin carré (figure 2.5) où dans chaque couche, la densité est constante

et où les gradients horizontaux sont nuls?

Dans ce dernier cas, analyser si le fait de mélanger de l’eau qui est stratifiée (de l’eau plus

lourde en-dessous de l’eau plus légère ρ1 < ρ2 ) augmente ou diminue l’énergie potentielle.

Suggestion: Calculer l’´ energie potentielle en ajoutant les contributions individuelles des

masses d’eau de densit´ e ρ(x, t)

2.9.5 Sédimentation [N]

Comment pourrait-t-on évaluer la vitesse de sédimentation d’un traceur constitué de parti-

cules sphériques de densité ρs de rayon r en supposant que les particules sédimentent de façonlente par rapport au fluide en mouvement (écoulement de Stokes)?

Comment pourrait-t-on modifier l’équation d’état de l’eau de mer pour tenir compte de ce

traceur en supposant qu’il ne modifie pas la structure moléculaire du mélange mais remplace

seulement le mélange d’eau ?

Est-ce que l’utilisation d’une vitesse de migration pourrait être justifiée si la concentration

du traceur devient comparable au contenu en eau ?

http://gaea.es.flinders.edu.au/~mattom/Utilities/density.htmlhttp://gaea.es.flinders.edu.au/~mattom/Utilities/density.html

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2.9.6 Température potentielle d’un gaz parfait [N]

Démontrer (2.37) pour un gaz parfait.

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Bibliographie

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44 BIBLIOGRAPHIE

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46 CHAPITRE 3. APPROXIMATION DES FLUIDES G ´ EOPHYSIQUES

Chapitre 3

Approximation des fluides géophysiques

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3.1. PARTICULARIT ́ ES DE L’ATMOSPH ÈRE ET DES OC ´ EANS 47

Jusqu’à présent, nous avons modifié les équations de base de la mécanique des fluides pour

y inclure la possibilité de décrire des fluides non-homogènes tels que les fluides géophysiques.

Nous avons également introduit les propriétés physiques de l’eau de mer et de l’air à travers

des équations constitutives et d’état, mais nous n’avons encore en rien analysé les particularités

dynamiques des fluides géophysiques.

3.1 Particularités de l’atmosphère et des océans

En effet, à la diff ́erence de la mécanique des fluides rencontrés en laboratoire ou en in-

dustrie, nous pouvons relever un certain nombre de particularités qui auront une influence sur

la description des fluides géophysiques. D’une part, il y les aspects liés à la dynamique elle-

même (et qui font l’objet de ce cours) et d’autre part, les problèmes de l’approche scientifique

classique, à savoir la répétition d’expériences contrôlées pour vérifier des théories.

En ce qui concerne les problèmes du contrôle sur les expériences, il est bien clair quenous ne pouvons modifier de façon contrôlée l’évolution des écoulements géophysiques. Il

est également difficile de répéter les expériences ou d’isoler le système. Si ces problèmes ne

sont pas de nature à interdire toute modélisation du système, elles auront cependant des im-

plications pratiques non négligeables, notamment en ce qui concerne la validation, calibration

et initialisation des modèles (que ce soient des modèles analytiques semblables à celles de ce

cours ou des versions numériques plus complexes). Ce problème est rendu encore plus crucial

dans la mesure où les données d’observations sont relativement rares, dispersées dans le temps

et l’espace et difficiles à obtenir. Nous n’aborderons pas ces problèmes dans le cadre de ce cours

et nous nous limiterons à aborder les problèmes de modélisation mathématique de la mécanique

des fluides géophysiques.En effet, la modélisation des écoulements géophysiques doit tenir compte des particularités

de la dynamique observée; parmi celles-ci, nous pouvons déjà évoquer l’influence de la rotation

de la terre que nous pourrons inclure facilement à l’aide du concept de la force de Coriolis.

D’autres aspects vont avoir des influences plus subtiles. Ainsi, les écoulements à la surface de

la terre ont lieu dans une couche superficielle très fine par rapport à l’étendue horizontale des

océans. Ce faible rapport d’aspect aura une influence sur le type de mouvements observés et

les forces dominantes de l’écoulement. De même, la présence de stratifications (des variations

de densité à travers l’écoulement et en particulier, sur la direction verticale) vont engendrer

des mécanismes de propagation particuliers. Ajoutons à cela que les fluides géophysiques sont

contraints par la présence de frontières complexes (que ce soient des côtes, montagnes ou fonds

marins complexes) et nous entrevoyons déjà les adaptations à fournir aux modèles classiques

de la mécanique des fluides.

Finalement, pour mieux guider les études théoriques qui suivront, nous pouvons faire l’in-

ventaire des mouvements observés avec leurs échelles spatiales et temporelles typiques. Ainsi,

pour le système marin, nous observons (figure 3.1) un large spectre de mouvements, chacun

caractérisé par une échelle spatiale particulière et un temps caractéristique. De façon générale,

plus le mouvement est de petite échelle, plus il est rapide. Nous verrons dans la suite que les

diff ́erents mouvements indiqués se diff ́erencient par les forces dominantes qui interviennent et

le mécanisme de propagation ou de mouvement. C’est l’étude de ces mécanismes qui constitue

le sujet principal de ce cours.

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100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2 100 102 104 106 108 1010

marées

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couche

de

mélange

accoustiques

temps caractéristique (s)

l on g u e ur c a r a c t ´ e r i s t i q u e ( m )

micro

turbulence

1 seconde 1 minute 1 heure 1 an1 jour

tourbillons

géostrophiques

fronts

circulation

circulation

thermo-haline

houle

tempêtes

[35]

Figure 3.1 : Mouvements observ´ es dans l’oc´ ean et fenˆ etres spectrales associ´ ees. Les ´ echelles des mou-

vements des oc´ eans vont de la microturbulence rapide à la circulation thermo-haline ob-

serv´ ee à l’´ echelle de la planète avec des temps de parcours d’un millier d’ann´ ees.

Notons que nous observons un large spectre de mouvement également dans l’atmosphère

(figure 3.2), mais que dans ce cas, les mouvements ont des échelles spatiales plus grandes et

sont plus rapides. Ceci est notamment dû à l’absence de frontières latérales pour l’atmosphère,

alors que l’océan voit ses mouvement contraints.

Parmi les diff ́erences entre les mouvements océaniques et atmosphériques, nous pouvons

également mentionner la diff ́erence de capacités de stockage d’énergie thermique des deux

systèmes, conduisant au fait que l’océan (qui possède une capacité nettement plus élevée) est

plus inerte.Alors que dans l’océan, nous rencontrons des sels et des changements de phase eau-glace

qui influenceront les mouvements, dans l’atmosphère, nous avons à faire à de la vapeur d’eau

et à des changements de phase liquide-gaz qui entrent en jeu.

Finalement, même si in fine la force motrice majeure des deux systèmes est l’apport d’énergie

solaire, les forçages directs agissent diff ́eremment: dans l’atmosphère, ce sont les flux radiatifs

qui constituent le forçage extérieur, alors que pour l’océan, ce sont les vents atmosphériques qui

le mettent en mouvement en plus des flux de chaleur à la surface et les forces de marées.

Nous allons dans la suite identifier les modifications que nous devons apporter aux équations

avant d’entamer l’étude des diff ́erents types de mouvements.

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3.2. SYST ̀EME D’AXES EN ROTATION, COUCHE MINCE 49

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2

100

102

104

106

108

1010

o n d e

s a c c o u s

t i q u e

s

planétaires

Ondes

Cyclones

Cluster de

nuages

temps caractéristique (s)

l on g u e ur c a r a c t ´ e r i s t i q u e ( m )

micro

micro

turbulence

turbulence

1 seconde 1 minute 1 heure 1 an1 jour

Tempêtes

orages

Cumulus

et convection

Turbulence

de la couche

limite

[35]

Figure 3.2 : Mouvements observ´ es dans l’atmosphère et fenˆ etres spectrales associ´ ees.

3.2 Système d’axes en rotation, couche mince

Comme nous l’avons indiqué et eu égard aux temps caractéristiques très grands, la rotation

de la terre ne sera en général pas négligeable car le temps caractéristique associé (un jour) peut

être semblable à ceux des processus étudiés.

3.2.1 Rotation

La prise en compte de la rotation de la terre est facilitée par l’utilisation d’un système d’axes

lié à la terre (de toute façon, en tant qu’observateur, nous sommes concernés par le mouvement

des océans par rapport à la terre). Dans ce cas, nous devons tenir compte du fait que ce système

d’axes n’est pas un système inertiel.

Si nous repérons la position d’un point par le vecteur r (figure 3.5) et la position du système

d’axes liés à la terre par r0, nous pouvons facilement écrire les équations dans un système en

rotation uniforme (en supposant que le centre de la terre est fixe) en constatant que la dérivée

absolue d’un vecteur (dans un réf ́erentiel d’inertie, indice abs) peut être relié à la dérivée relative

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51/252

3.2. SYST ̀EME D’AXES EN ROTATION, COUCHE MINCE 51

Ω

r

λR

r0

e3

Figure 3.4 : R´ ef ́ erentiels sur un syst ̀eme en rotation.

(dans le réf ́erentiel en rotation, indice rel) et au produit vectoriel entre le vecteur de Poisson Ω

de la rotation et du vecteur en question [12]:

dabsdt

= drel

dt + ΩΛ (3.1)

Ainsi la vitesse relative vrel et absolue vabs d’un point de position r sont reliés par

vrel = drelr

dt (3.2)

vabs = vrel + ΩΛr (3.3)

et l’accélération absolue aabs est lié à l’accélération relative arel par

aabs = arel + 2ΩΛvrel + ΩΛ (ΩΛr) (3.4)

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Pour écrire l’évolution dans le système d’axes relatif en rotation, il suffit d’introduire les

forces fictives de Coriolis f cf c = −2ΩΛvrel (3.5)

et centrifuge 1 .

f r = −ΩΛ (ΩΛr0) (3.6)puisque la loi de Newton dans un système d’axes liés à la terre s’écrit alors

ρDrelvrel

Dt = ρf + ρf c + ρf r (3.7)

où f est la somme des forces réellement appliquées. Dans la suite, nous omettrons la notation

rel et les dérivées temporelles désigneront toujours les dérivées relatives.

3.2.2 Gravité apparente

Parmi les forces qui agissent au sein des fluides géophysiques, nous rencontrons bien en-

tendu la gravitation.

Si nous imaginons une mesure de la force de gravité apparente sur un point immobile à la

surface de la terre, nous voyons immédiatement que cette force apparente contient une com-

posante liée à la force centrifuge de la rotation de la terre. En réalité, la force due à l’attraction

gravitationnelle proprement dite est diff ́erente et nous la notons par γ . C’est la gravitation

mesurée en l’absence de rotation.

En première approximation, la terre sphérique est symétrique et γ est dirigé vers le centre

de la terre; g ne varie que par la force centrifuge et n’est donc plus perpendiculaire à la surfaced’un globe sphérique. La présence d’une force latérale (par rapport à γ ) fait en sorte que la

surface de la terre (que ce soit les océans ou même les terres) se déplace jusqu’au moment où la

force apparente g est perpendiculaire à la surface du globe. C’est seulement à ce moment

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