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Problèmes sur le chapitre 5 (Version du 1 mai 2014 (19h35))

5.01. Le calcul des réactions d’appui dans les problèmes schématisés ci-dessous est-il possible par leséquations de la statique. Si oui, écrire ces équations et calculer les réactions de liaison.

5.02. Un levier (dont nous négligeons le poids) est enBACéquilibre sous l’action d’une charge , d’une force

f 2

appliquée et de la réaction à l’appui A.f1

Que vaut en fonction des dimensions du levier etf1

des angles α et β ?

Réponses : . f f

AC

AB1 2=

cos

cos

αβ

5.03. La dalle rectangulaire de 48 cm x 24 cm pèse ABCD (poids supposé appliqué en son centre).

p N= 160

Elle est suspendue par 3 câbles verticaux s1, s2, s3.Calculer les efforts existants dans ces câbles.

Réponses : ; ;s N1 80=

s N2 0=.

s N3 80=

© J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanique - Statique (exercices sup.) Page - ex5.1 -

5.04. La poutre en “L” ci-contre estABCarticulée en A et posée sur un appui mobileen B. Elle est soumise à 3 forces :

; etf N1 750=

f N2 500=

.f N3 400=

Calculer les réactions aux appuis et .f A

f B

Réponses : ;f NA = 864

.f NB = 768

5.05. La plaque rectangulaire horizontale,ABCDest articulée en A et D (charnières autour de

Ax) et posée en E, milieu de . ElleBCsupporte une force parallèle à Ayz,

p

inclinée d’un angle de sur le plan Axy,π 3appliquée au centre de la plaque et dirigéevers le bas.

Le calcul de , et est-il possible parf A

f D

f E

les équations de la statique ? Si oui, écrireces équations et calculer les réactions.

Réponses : ; f f pA D= = 7

8

.f E = 3

4

5.06. La plaque rectangulaire horizontale ,ABCDde 48 cm x 24 cm, d’un poids

p N= 160

est montée sur 2 charnières à axe horizontalen A et B et posée sur un appui mobile en C.

Elle est soumise à une force f N= 240

située dans un plan perpendiculaire à ,ABdirigée vers le bas et faisant un angle de

avec le plan de la plaque. estπ 3f

appliquée en M avec : et .c cm= 8 d cm= 32

Calculer les réactions en A, B et C.

Réponses : ; ; .f NA = 154 3.

f NB = 1057.

f NC = 149 0.


5.07. Un mât de charge doit soulever uneAEcharge maximale de 800 N. Il est maintenu

en B par un câble et est articulé en E.BCCalculer l’effort maximal dans le câble ainsique la réaction d’appui en E.

Réponses : ;f NC = 1200

.f NE = 1743

5.08. Trois barres d’égale longueur sontAD EB FC= =assemblées dans un même plan, de façon à ce queleurs points milieux E, F, D soient les sommetsd’un triangle équilatéral. Cet ensemble est placehorizontalement, appuyé en A, B et C et soumis àune force verticale en E. Comment

p N= 840

cette charge se répartit-elle sur les 3 appuis ?


; .f NB = 120

f NC = 240

5.09. Une poulie de rayon est fixée en O. Un câble estr cm= 15enroulé sur cette poulie : l’arc embrassé α vaut 120°. Un brin ducâble est vertical et supporte une charge . Quelle

p N= 1000

force faut-il appliquer à l’autre brin pour obtenir l’équilibre ?Quelle est la réaction en O, si la poulie pèse 150 N (vecteurappliqué en O). On néglige le poids du câble et le frottemententre câble et poulie.

Réponses : ; .f N= 1000

f NO = 1863

(inclinée de 27.7° sur la verticale).

5.10. Une équerre à 90° est constituée de 2 bras métalliques depoids et de longueur 2a (le vecteur est appliqué au

p

p

milieu de chaque bras). On la suspend par l’extrémité d’unbras. Quel angle α ce bras fait-il avec la verticale ? Quelle estla réaction au point d’attache O ?

Réponses : ; . f pO = 2 α = °18 435.


5.11. La poutre de longueur l est articulée en A etABpose en B contre un mur vertical. Son poids est

p

appliqué au milieu de . La poutre fait un angleABα avec l’horizontale. Calculer et en

f A

f B

fonction de p, l et α au moyen des équations de lastatique. Vérifier le résultat en appliquant le

théorème des 3 forces. Calculer les valeurs de f A

et pour et .f B

p N= 500 α = °30

Réponses : ; .f NA = 662

f NB = 433

5.12. Soit une poutre encastrée en A et soumise à

l’action de deux forces et telles que :f1

f 2

et inclinée def N1 200=

f N2 100=

par rapport à la verticale.α = °20

Calculer la réaction et le moment réactif enf A

mA

A.

Réponses : ;f NA = 2958.

.m NmA = 387 9.

5.13. La barre , longue de 1.6 m, d’un poids AB (appliqué en son milieu) est

p N= 600

maintenue en équilibre par un câble , passantBCsur la poulie C et supportant une charge

. La poulie C est sur la verticale def N= 400

l’articulation A. Calculer le rapport desa b

distances et lorsque l’équilibreBC a= CA b=est réalisé (le diamètre de la poulie est négligé parrapport aux autres dimensions).

Réponse : .a

b

f

p= =

2 4

3


5.14. a) Une passerelle fonctionnant à la manière d’un pont-levisest articulée en A et peut prendre appui sur le sol en B. Uncâble accroché en B s’enroule sur une poulie C et soutient uncontrepoids de 2200 N. Le poids de la passerelle est de

f

4000 N (point d’application en G). Vérifiez que la passerelledans sa position basse exerce un effort sur le sol en B, malgré

l’effet du contrepoids; déterminez cet effort .f B

b) On soulève la passerelle et on constate que dans unecertaine position elle reste en équilibre sous le seul effet ducontrepoids. Déterminez alors la valeur de l’angle α qu’ellefait avec la direction verticale.

Réponses : a) ;f NB = 444

b) .α = °67

5.15. Deux sphères lisses de rayon et d’un poids r m= 015.

sont placées dans une goulotte de 0.54 m dep N= 1100

largeur l, comme l’indique la figure. Déterminez les réactionsen A, B et C de la goulotte sur les sphères (paroisparfaitement lisses) ainsi que l’effort existant en D entre lessphères.

Réponses : ; ; f f NA B= = 1470

f NC = 2 200

.f ND = 1838

5.16. L’arc comporte 3 articulations : en A et BACBavec le sol, en C entre les 2 quarts de

circonférence. Sur l’arc est appliquée laAC

charge de 80000 N et sur l’arc la chargef1 CB

de 60000 N. Calculer les réactions auxf 2

articulations A et B et la force existant entre lesdeux arcs en C.


;f NB = 82 900

.f NC = 43300


5.17. Une potence murale est constituée par une poutre ACde longueur , articulée en une rotule C, etl m= 8

supportant en A l’action d’un tirant (articuléABen A et en B).Cette poutre sert de chemin de roulement à unmonorail M qui supporte une charge de 2000 N.

p

a) Lorsque le monorail est au milieu de la portée

, déterminer les réactions d’appui en B et en C;ACb) Trouver la position du monorail (déterminée par

la longueur ) pour que l’effort de réactionx CM=en C soit minimum.

Réponses : a) ; f f NB C= = 2 000

b) .x m= 2

5.18. Une échelle double comprend deux montants AC

et de 3 m de longueur et d’un poids de 60 NBC(appliqué au milieu du montant). Les deux

montants sont reliés par une corde horizontale EF

située à 0.8 m du sol de façon que constitueABCun triangle équilatéral. Une personne pesant 750 N

est sur cette échelle à une distance .AD m= 2

Calculer les réactions au sol et , la forcef A

f B

existant en C et l’effort supporté par la corde. (Lesol est supposé lisse, c’est-à-dire sans frottements).

Réponses : ; ; ; .f NA = 560

f NB = 310

f NC = 342

f Ncorde = 233

5.19. La poutre est constituée de 2 élémentsABE

rectilignes et articulés entre eux. Elle estAB BEmaintenue par une articulation en A et 2 appuis

mobiles en C et D. pèse 200 N (appliqué auAB

milieu de ) et pèse 400 N (appliqué auAB BE

milieu de ).BE

et . estAC AB= 2 3 BD BE= 2 3 AB

horizontale; fait un angle de avecBE π 4

l’horizontale. Calculer , , et l’effort entre les 2 poutres en B.f A

f C

f D

Réponses : ; ; ; .f NA = 167

f NB = 292

f NC = 525

f ND = 212


5.20. Un cylindre de rayon et d’un poidsr m= 015.de 1100 N est maintenu contre une cloison

verticale par une poutre articulée en A etABelle-même retenue en B par une corde

horizontale . La poutre fait un angleBF ABde avec la cloison verticale et mesureπ 31.2 m. Son poids est négligeable. Calculer la

réaction à l’articulation de la poutre, l’effortf A

dans la corde et les réactions d’appui duBFcylindre à la cloison en E et à la poutre en C.

Réponses : ; ; ; .f NA = 1103

f NC = 1270

f NE = 635

f NF = 550

5.21. Le croquis ci-contre représente une “caisse àsavons” maintenue à l’arrêt dans une rueinclinée d’un angle par rapport àα = °30l’horizontale. Les dimensions de l’engin sont :

; ; . Le poidse m= 180. h m= 0 90. r m= 0 30.

total vaut et est appliqué en Gp N= 1000

(intersection des diagonales du rectangle). Uncâble, horizontal, est accroché au niveau del’axe de roue, et relié au sol en C. Déterminerles réactions d’appui des roues au sol, en A eten B, et la tension dans le câble en C.

Réponses : ; ; .f NA = 558

f NB = 597

f NC = 577

5.22. Soit une poutre posée sur troisappuis A, B et C, et articulée en D.Elle est soumise à deux charges

et p N1 1000=

p N2 2 000=comme représenté ci-contre.Déterminer les réactions auxappuis, ainsi que l’effort dans larotule D.


; ; .f NB = 1616

f NC = 616

f ND = 1118


5.23. Un poids est suspendu à un petit anneau C par deuxq

cordes et . La corde est attachée en A,AC BC AC

tandis que la corde passe en B sur une poulie sansBCfrottement et porte un poids .

p

Si et , déterminer la valeur p q N= = 100 α = °70

de l’angle β à l’équilibre, ainsi que la réaction d’appuien A.

Réponses : ; .β = °40f NA = 68 4.

5.24. Pour soulever une caisse de 1000 N, on utilise un palan à corderéalisé selon le dessin ci-contre : la corde est attachée au centreO de la poulie inférieure; elle passe ensuite sur la poulie A avantde revenir sur l’extérieur de la poulie O. Calculer la grandeur et

la direction de la force appliquée à l’extrémité de la corde.f C

Réponses : ; .α = °32 30.f NC = 426

5.25. Un dispositif de pesée comprend deux leviers

horizontaux et , articulés en M et C, etAB CDreliés par une barre articulée . La charge àBN

peser est suspendue en A. L’équilibre, avecf1

les 2 leviers horizontaux, est réalisé au moyendu curseur que l’on déplace sur le levier

p

. Trouver la relation entre x et , enCDf1

fonction de et des dimensions.p

Réponse : .xa c f

b p=

1

5.26. Deux barres prismatiques minces et ,AC BCchacune de longueur et de poids l m= 15.

sont articulées en C. Elles sontp N= 200

posées sur un support de 0.6 m de largeurDE(appuis sans frottement). Calculer l’angle α quechaque barre fait avec l’horizontale lorsque la

verticale de C passe par le milieu de (LeDEpoids est appliqué au milieu de chaque

p

barre). Calculer la force existant en C. Il n’y apas de frottement.

Réponses : ; .α = °42 6.f NC = 184


5.27. On désire soulever une charge avecq

le dispositif constitué par deuxcoulisseaux s’appuyant sur deuxglissières rectangulaires et reliés parune bielle. Que vaut l’efforthorizontal pour assurer l’équilibre

f

(application du théorème des travauxvirtuels). Le poids propre des organesest négligeable. Appliquer le résultataux valeurs :

et .q N= 1000 α = °80

Réponse : .f N= 176 32.

5.28. Le câble est attaché en A et en B à deux paroisACBverticales. Il supporte, par l’intermédiaire de la poulie C, unecharge de 2000 N. La longueur du câble est de 7 m.

q

Déterminer à quelle distance d de la paroi de gauche, lapoulie se stabilisera en équilibre et quelle sera, à ce moment,la tension dans le câble.

Réponses : ; .d m= 142.f Ncable = 1429

5.29. Trouver pour la presse ci-contre la relation entre , f1

f 2

et à l’équilibre . On donnep

f f f1 2= =

ainsi que les angles α et β.AC CE ED DB a= = = =On néglige le poids des barres.

Réponse : .

pf

=−

2

cot cotβ α


5.30. Un mât est appuyé en B sur un sol horizontal. Il estsoumis à son sommet A à 2 forces

situées dans un plan horizontal, f f N1 2 100= =

à 60° l’une de l’autre. Le mât est haubané par un câble

fixé en C et formant un angle de 30° avec le mât.ACLe hauban est dans le plan bissecteur de et .

f1

f 2

Calculer, lorsque le mât, de poids négligeable, est en

équilibre, l’effort dans le hauban et la force def C

compression dans le mât.

Réponses : ; .f NB = 300

f NC = 347

5.31. Un trépied, à montants , , de longueursOA OB OCégales l et articulés entre eux en O, est appuyé sur un

sol horizontal de manière que soit un triangleABC

équilatéral de côté égal à . Une chargel 3 2

est suspendue verticalement en O. Lesp N= 30

montants sont reliés par trois cordes , et AB BC ACles empêchant de glisser (sol considéré sansfrottement). Le système étant en équilibre, calculer les

forces de compression dans les 3 montants et l’effort f t

dans la corde.

Réponses : ; f f f NA B C= = = 115.

.f Nt = 333.

5.32. Pour soulever une charge de 50000 N, on monte unp

trépied , dont les montants , , ABC OA OB OCmesurent 4 m. Ces montants symétriques sont fixés ausol, avec lequel ils font un angle de . Au sommetπ 3O, est fixée une poulie servant de relais entre la charge

et un treuil T. Le câble est supposé dans lep OT

plan du montant ; il fait un angle de avec leOC π 3plan horizontal.Calculer les efforts dans les montants lorsque lacharge est suspendue, en équilibre.

Réponses : ; f f NA B= = 52583

.f NC = 2583


5.33. La poutre est sollicitée par une charge répartieABdont le diagramme est trapézoïdal, avec :

et .p N mA = 1500

p N mB = 4500

Déterminer les réactions d’appuis et .f A

f B


f NB = 10500

5.34. Calculer les réactions d’appuis et dues à unef A

f B

charge répartie de façon parabolique avec.

p N mmax = 4500


f NB = 4500

5.35. Calculer l’épaisseur a du barrage en béton de formerectangulaire pour qu’il ne puisse pas pivoter autourdu point A sous l’effet des pressions hydrostatiqueslors d’un trop plein ( ).d b m= = 4Notes :Masse volumique du béton ;ρbéton N m= 24 000 3

Pression hydrostatique , h étantp h N m= ×9810 2

la profondeur où règne .p

Réponse : .a m= 148.

5.36. Déterminer quelle force faisant un angle α avecf

l’horizontale, il faut appliquer à une charge p

reposant sur un plan horizontal, pour la déplacer. Lecoefficient de frottement est μs. Après avoir établi laformule générale, calculer pour ,

f

p N= 100

et .α π= 6 μ s = 0 6.

Réponses : ; .f

ps

s

=+μ

α μ αcos sin

f N= 52


5.37. Une échelle placée contre un mur fait un angle de avecπ 3

l’horizontale. Elle pèse , mesure 3 m de haut etp N= 60

supporte une personne de 700 N à une distance duBC m= 2sol. Montrer que le problème de la recherche des réactionsd’appui est insoluble, si on ne tient pas compte du frottement.

Calculer et sans frottement, mais en supposant l’échellef A

f B

retenue par une corde .BD

Réponses : ; ;f NA = 287

f NB = 760

.f N

BD= 287

5.38. Une échelle de longueur l est posée sur le sol en B et contreABun mur vertical en A. Le coefficient de frottement de l’échellecontre le mur et le sol est μs. Déterminer la limite supérieure del’angle α pour qu’une personne chargée, représentée par la force

f

puisse se déplacer jusqu’au sommet de l’échelle sans que celle-ci glisse.

Réponse : .α μ ϕ≤ =arctan s 0

5.39. Une potence est destinée à supporter unecharge dont la position est réglable

p

via une rainure horizontale (distance lvariable). Le bras horizontal est maintenuen place grâce à deux piges A et B quis’appuient avec frottement sur la colonneverticale. Le poids de la potence estnégligé devant celui de la charge à lever.Le coefficient de frottement en A et Bvaut . Pour quelle(s) position(s)μ s = 0 2.de la charge (repérée(s) par l) y a-t-iltoujours équilibre, sans risque de voir lebras glisser ?Données : ; .a mm= 20 h mm= 50

Réponse : .lh a

smin = −

2 2μ


5.40. Une barre de longueur 2a, inclinée d’un angle αABsur l’horizontale, est maintenue en équilibre par deuxappuis C et B distants de b. Le poids de la barre est

p

appliqué au milieu de . La distance b est plusABpetite que a. Le coefficient de frottement entre barre etappuis est μs. Déterminer l’angle limite αlim d’équilibrede la barre en fonction de μs et des dimensions.

Réponse : .( )

tan limα μ=−

s

a b

b

2

5.41. Un bloc de poids est maintenu sur un plan, inclinép

d’un angle α par rapport à l’horizontale, par un câble

. Le câble fait un angle β avec le plan incliné.ABCalculer l’effort dans ce câble, en fonction de p, α,

f

β et μs, coefficient de frottement entre bloc et plan.

Réponse : .( )( )

f p s

s

=−+

sin cos

cos sin

α μ αβ μ β

5.42. Une tige homogène de poids et de longueur lp

s’appuie en A et B sur la paroi intérieure et sur lerebord d’un tube à axe vertical. La tige fait un angle de

avec l’axe du tube. Le coefficient d’adhérence μsπ 4aux deux contacts tige-cylindre vaut 0.15. Le diamètreintérieur du tube est ; entre quelles limitesd mm= 80doit être comprise la longueur l de la tige pour qu’ellepuisse être en équilibre ?

Réponse : .354 668< <l mm

5.43. Dans l’ensemble ci-contre, le bloc p est maintenu enéquilibre par les efforts de frottement existant, d’unepart, entre p et q, et, d’autre part, entre p et le planincliné.Déterminer la valeur minimale du poids du bloc q quirend cet équilibre possible, en fonction de , de α et

p

des coefficients de frottement μs 0 et μs 1. Appliquer lesrésultats obtenus avec les valeurs numériquessuivantes :

; , et .p N= 200 α = °35 μ s0 0 4= . μ s1 0 2= .

Réponse : .q Nmin = 100


5.44. Une pince pantographe est utilisée pour la manutention detôles. L’ensemble pince + tôle est soulevé par un câbleaccroché en H; l’effort de levage est transmis à deux

biellettes et , articulées sur les deux bras HD HE DCB

et , eux-mêmes articulées en C; les points D, C et EECAsont sur une même horizontale. Le système estparfaitement symétrique par rapport à un axe vertical. Lepoids de la pince est négligé; celui de la tôle à transporterest . Le coefficient d’adhérence en A et B

p N= 1000

vaut ; . Que vaut l pour éviter toutμ s = 015. h m= 0 3.glissement et chute de la tôle ?

Réponse : .l m≥ 2

5.45. Un demi-cylindre de rayon , est posé surr mm= 250un plan horizontal. Le coefficient de frottement aucontact du demi-cylindre avec le sol est .μ s = 0 30.On attache en O une corde sur laquelle on exerce uneffort horizontal (sa ligne d’action restant ainsi

f

toujours à une distance r du sol). On constate que lecorps roule d’abord puis se met à glisser. Préciser laposition prise par le corps lorsqu’il est prêt à glisser(détermination de l’angle α). Note : le poids du demi-cylindre est appliqué en G,

p

tel que .OG mm= 106

Réponse : .α π= 4

5.46. Un cylindre poli de poids et de rayonp N= 1000

est supporté par deux demi-cylindres de mêmer m= 1

rayon r et de poids.p 2

Soit le coefficient de frottement entre facesμ s = 0 38.planes des demi-cylindres et plan horizontal.En supposant négligeables les frottements de contactentre surfaces cylindriques, déterminer l’écart bmaximum pour lequel l’équilibre statique peut êtremaintenu.

Réponse : .b mmax .= 2 42


5.47. Deux tiges et ont même longueur AB BC l m= 0 40.

et même poids . La tige est p p N1 2 10= = AB

articulée en A et en B; la tige est articulée en B,BCet repose avec frottement sur la paroi verticale, en C.On constate que si θ dépasse 10°, les tiges ne sont plusen équilibre (l’extrémité C glissant vers le bas, le longde la paroi). Calculer le coefficient d’adhérence μs

existant au point C.

Réponse : .μ s = 0 35.


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