Click here to load reader
Upload
marian-grigore
View
328
Download
36
Embed Size (px)
DESCRIPTION
culegere
Citation preview
As. dr. ing. CONSTANTIN POPA
As. drd. ing. DOREL STOICA As. drd. ing. GEORGE–CĂTĂLIN ION
MECANICĂ
CAIET DE SEMINAR
VOLUMUL I
STATICA ŞI CINEMATICA
2006CAPITOLUL 1
NOŢIUNI DE CALCUL VECTORIAL
1.1. Generalităţi. Definiţii
Mecanica operează cu mărimi fizice scalare şi cu mărimi fizice vectoriale.Mărimea fizică scalară sau scalarul este mărimea fizică, care este caracterizată prin valoare
numerică absolută sau modul.Mărimea fizică vectorială sau vectorul este mărimea fizică, care se caracterizează prin valoare
numerică absolută (modul), şi orientare adică direcţie şi sens.Mărimile fizice scalare (scalarii) şi mărimile fizice vectoriale (vectorii) la un loc se mai numesc şi
mărimi fizice tensoriale sau tensori.Aşadar vectorul este segmentul de dreaptă orientat (fig. 1.1), cu patru elemente caracteristice:
origine sau punct de aplicaţie A, direcţie sau dreaptă suport Δ, sens şi modul (mărime, intensitate, urmă) v.
Fig. 1.1: Componenţa unui vector
Versorul este vectorul de modul unitar şi este dat de relaţia:
Definim componentele pe axele Ox, Oy şi Oz ale versorului din relaţia precedentă astfel:
Un vector oarecare se scrie în funcţie de componentele pe axe ale versorului său astfel:
unde
sau:
A
B Δv
1.2. Proiecţia unui vector pe o axă
Proiecţia unui vector pe o axă se defineşte ca fiind produsul dintre vectorul respectiv şi cosinusul unghiului pe care direcţia acestuia îl face cu axa pe care se proiectează vectorul studiat (fig. 1.2).
1.3. Operaţii cu vectori
1.3.1. Adunarea (compunerea) vectorilor
Fie vectorii:
atunci se defineşte suma celor doi vectori:
Ca mărime, suma celor doi vectori se scrie astfel:
unde α este unghiul dintre cei doi vectori.
α
α
Δ
v
Ο cosvvpr
Fig. 1.2: Proiecţia unui vector pe o axă
A
B
A1 B1
Adunarea mai multor vectori se realizează astfel:
1.3.1.1. Interpretare geometrică
Geometric, adunarea a doi vectori se realizează cu regula paralelogramului sau cu regula triunghiului (fig. 1.3).
Compunerea mai multor vectori se realizează, din punct de vedere geometric, cu regula poligonului (fig. 1.4).
1.3.1.2. Proprietăţi
a) comutativitate;b) are element neutru (vectorul nul).
1.3.2. Scăderea (diferenţa) vectorilor
Fie vectorii:
atunci se defineşte diferenţa celor doi vectori (fig. 1.3):
1.3.2.1. Interpretare geometrică
a
db
a
Fig. 1.3: Compunerea geometrică a doi vectori
c
3a
Fig. 1.4: Compunerea geometrică a mai multor vectori
1.3.2.2. Proprietăţi
a) Element neutru: vectorul nul
1.3.3. Descompunerea unui vector după două direcţii
Conform figurii 1.5. avem:
Pentru direcţii ortogonale relaţia de mai sus devine (fig. 1.5.):
1.3.4. Descompunerea unui vector după trei direcţii
Din figura 1.6 avem:
unde vx, vy,vz sunt proiecţiile vectorului studiat pe cele trei axe.
1
v
O O x
y
Fig. 1.5: Descompunerea unui vector după două direcţii
α
β
γ
Ο
x
y
z
Fig. 1.6: Descompunerea unui vector după trei direcţii ortogonale
unde: α, β, γ sunt unghiurile directoare ale vectorului studiat faţă de axele Ox, Oy, Oz; cosα, cosβ, cosγ sunt cosinuşii directori ai vectorului studiat faţă de axele Ox, Oy, Oz.
Din relaţia precedentă rezultă că:
1.3.5. Produsul scalar a doi vectori
Este mărimea scalară care reprezintă produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.
unde α este unghiul dintre cei doi vectori.Relaţia precedentă este echivalentă cu relaţia:
Dacă:
Atunci:
De asemenea se observă că:
1.3.5.1. Proprietăţi
a) Comutativitate;b) Distributivitate faţă de adunare.
1.3.5.2. Interpretare geometrică
1.3.6. Produsul vectorial a doi vectori
Δα
Fig. 1.7: Interpretarea geometrică a produsului scalar a doi vectori
Este un vector perpendicular pe planul celor doi vectori si definit ca fiind de mărime egală cu produsul mărimilor celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei.
1.3.6.1. Proprietăţi
a) Anticomutativitate:
b) Distributivitate faţă de adunare
c) Dacă:
Atunci cei doi vectori sunt paraleli sau coliniari.
1.3.6.2. Interpretare geometrică
Produsul vectorial a doi vectori este egal cu aria paralelogramului determinat de cei doi vectori.
Demonstraţie (vezi figura 1.8)
unde: Atr – aria triunghiului determinat de cei doi vectori;Apar – aria paralelogramului determinat de cei doi vectori.
1.3.6.3. Determinare analitică
αΟ
h
Fig. 1.8: Interpretarea geometrică a produsului vectorial a doi vectori
1.3.6.4. Observaţii
1.3.7. Produsul mixt a trei vectori
Reprezintă mărimea fizică scalară egală cu produsul scalar dintre un vector şi produsul vectorial al celorlalţi doi.
1.3.7.1. Interpretare geometrică
Produsul mixt a trei vectori reprezintă volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori.
Demonstraţie (vezi figura 1.9)
1.3.7.2. Determinare analitică
1.3.8. Dublul produs vectorial
Reprezintă mărimea fizică vectorială egală cu produsul vectorial dintre un vector şi produsul vectorial al celorlalţi doi.
1.4. Probleme rezolvate:
αΟ
h
Fig. 1.9: Interpretarea geometrică a produsului mixt a trei vectori
H
β
1) Fie vectorii:
Se cer:
Rezolvare:
2)
Rezolvare:
Ox
y
1F
Date:
Se cer:
Fig. 1.10
3)
Rezolvare:
Rezultatele obţinute se centralizează în următorul tabel:
α x
y
O
Fig. 1.11.
O
x
y
z
A
B
C
D
E
G
H
Date:
OA=2l; OB=3l; OC=l;
Se cer:
Fig. 1.12
Forţe
F1 P 0 0F2 4P 0 2PF3 0 0 2PF4 0 3P PF5 2P 3P PF6 4P 6P 0∑ 11P 12P 6P
Rezultă:
1.5. Probleme propuse:
1) Fie vectorii:
Se cer:
2)
O
x
y Date:
Se cer:
Răspuns:
Fig. 1.13
Răspuns:
CAPITOLUL 2
STATICA PUNCTULUI MATERIAL
2.1. Generalităţi. Definiţii
Statica este capitolul mecanicii care studiază echilibrul corpurilor sub acţiunea sistemelor de forţe. Un corp este în echilibru dacă şi numai dacă rezultanta forţelor care acţionează asupra sa este nulă, adică:
Descompunându-se pe axele de coordonate se obţine:
Relaţiile precedente sunt valabile numai în cazul în care punctul material este acţionat de orice alte forţe în afară de forţele de frecare. În absenţa forţelor de frecare avem legea lui Coulomb:
2.2. Statica punctului material liber
2.2.1. Probleme rezolvate
O
x
y
z
A
B
C
D
E
G
H
3F
Date:
Se cer:
Fig. 1.14
3)
1)
Rezolvare:
2.2.2. Probleme propuse
1)
Răspuns:
2.3. Statica punctului material supus la legături
M
O x
y
1y
Mx
N
F
G
Date:
Se cer:Poziţia de echilibru Reacţiunea N=?
Fig. 2.1
O x
y
F
G
Date:M(x,y);
Se cer:M
Fig. 2.2
2.3.1. Statica punctului material supus la legături fără frecare
2.3.1.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
x
y
N
T
G
O
A
M
Date:
Se cer:
Fig. 2.3
Rezolvare:
2.3.1.2. Probleme propuse
1)
2.3.2. Statica punctului material supus la legături cu frecare
MO
x
y
N
Date:
Se cer:
Fig. 2.4
2)
P G
O
M
Date:
Se cer: pentru echilibru.
Răspuns:A
B
Fig. 2.5
2.3.2.1. Probleme rezolvate
Rezolvare:
2)
Rezolvare:
G P
Date:
Se cer:N=?;P=?pentru echilibru
TT
Fig. 2.6
1)
P
T
PTPTFiy 00
N T x
y
NF
TGNF
GFTF
f
iy
fix
0sincos:0
0sincos:0
x y
z
O
G
F
N Date:
Se cere: pentru echilibru
Fig. 2.7
2.3.2.2. Probleme propuse
2)
Fy
G
N
z
x
0cos:0
0:0
0sin:0
GNF
FFF
FGF
iz
fyiy
fxix
cos
sin
GN
FF
GF
fy
fx
22222222
22222
sincossincos
cossin
GFGF
GFGNFFF fyfxf
Discuţie:
Date:
Se cere: pentru echilibru.
Răspuns:
P G
O
M
A B
Fig. 2.8
1)
G
ODate:
Se cere: pentru echilibru.
Fig. 2.9
Răspuns:
CAPITOLUL 3
REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE OARECARE APLICATE SOLIDULUI RIGID
3.1. Generalităţi. Definiţii
3.1.1. Cazuri de reducere
3.1.2. Axa centrală
Reprezintă locul geometric al punctelor, în care se obţine torsorul minimal după reducere şi are ecuaţiile:
3.2. Reducerea sistemelor de forţe spaţiale
3.2.1. Probleme rezolvate
Rezolvare:
O
x
y
z
A B
C
D
E
G
H
Date:
Se cer: echivalenţa=?; axa centrală?
Fig. 3.1
echilibru;
2) cuplu;
3) rezultantă unică pe axa centrală;
4) a) rezultantă unică pe axa centrală;
b) torsor minimal.
10P 0 0 0 0 0
0 6P - 8P -24Pl 0 0
- 10P - 6P 8P 24Pl - 40Pl 0
_ _ _ 0 0 - Pl
_ _ _ - 2Pl 0 0
0 0 0 - 2Pl - 40 Pl - Pl
Axa centrală nu are sens fizic deoarece rezultanta sistemului de forţe este nulă.Cazul de reducere: Cuplu.
2)
Rezolvare:
O
A
B
C D
E
x
y
zDate:
Se cer: echivalenţa=?; axa centrală=?.
Fig. 3.2
0 -3Pl 4P 12Pl 0 0
2P -3P -4P 0 8Pl -6Pl
P 0 0 0 4Pl 0
_ _ _ 0 0 6Pl
3P -6P 0 2Pl 12Pl 0
Cazul de reducere: torsor minimal.
3.2.2. Probleme propuse1)
Răspuns:
Cazul de reducere: torsor minimal.
2)
Răspuns:
OFig. 3.3: Axa centrală
x
y
O
A
B
C
x
y
z Date:
Se cer:echivalenţa=?; axa centrală=?
Fig. 3.4
OA
B
C
x
z
y
Date:
Se cer:echivalenţa=?; axa centrală=?
Fig. 3.5
3.3. Reducerea sistemelor de forţe coplanare
3.3.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
2P 0 -2Pl
-P P 3Pl
-P 2P 2Pl
_ _ 3Pl
0 3P 6Pl
Cazul de reducere: Rezultantă unică pe axa centrală
Ox
y
A
BC
D
Date:
Se cer: echivalenţa=?; axa centrală=?
Fig. 3.6
45
Răspuns:
Cazul de reducere: Rezultantă unică pe axa centrală.
3.4. Reducerea sistemelor de forţe paralele 3.4.1. Probleme rezolvate
Rezolvare:
-P 0 Pl
O x
y
Fig.3.7: Axa centrală
Date:
Se cer: echivalenţa=?; axa centrală=?
O A
BC
x
y
Fig. 3.8
1)
3.3.2. Probleme propuse
O
x
y
z Date:Cub rigid de muchie l;
Se cer:echivalenţa=?; axa centrală=?;
Fig. 3.9
-P -Pl 0
2P 2Pl -Pl
2P Pl -Pl
2P 0 -Pl
4P 2Pl -2Pl
Rezultantă unică pe axa centrală.
3.4.2. Probleme propuse
Răspuns:
CAPITOLUL 4
CENTRE DE MASĂ (GREUTATE)
4.1. Generalităţi
4.1.1. Calculul coordonatelor. Centrul de masă pentru elemente geometrice cunoscute
Coordonatele centrului maselor se determină cu următoarele relaţii (în spaţiu şi în plan):a) pentru sisteme de puncte materiale:
O A
B
D xC
Date:
Se cer:
Fig. 3.10
b) pentru linii materiale (bare) omogene:
c) pentru suprafeţe materiale (plăci) omogene:
d) pentru volume materiale (corpuri) omogene:
Pentru diverse elemente geometrice cunoscute, centrul maselor se determină astfel:a) Bară omogenă: b) Bară în formă de sector circular omogen:
c) Placă dreptunghiulară omogenă: d) Placă triunghiulară omogenă:
e) Placă în formă de sector circular omogen:
f) Con circular drept g) Emisferă
C
O xCR
;sin
RxC radiani
C
C
h3h
32h
OxC ;
R
radiani
4.1.2. Teoremele Pappus – Guldin
1) Aria suprafeţei generată de un arc de curbă plană ce se roteşte în jurul unei axe din planul curbei(arcul fiind situat integral de aceeaşi parte a axei), este egală cu lungimea arcului de curbă, multiplicată cu lungimea cercului descris de centrul de greutate al curbei date, presupuse omogenă.
2) Volumul corpului generat prin rotirea unei suprafeţe plane închise, în jurul unei axe din planulei (suprafaţa fiind integral situată de aceeaşi parte a axei), este egal cu produsul dintre aria acestei suprafeţe şi lungimea cercului descris de centrul ei de greutate(arie considerată omogenă).
4.2. Centrul maselor pentru un sistem de puncte materiale
4.2.1. Probleme rezolvate
Rezolvare:
Punctul i
1 m 0 0 0 02 2m 2l l 4ml 2ml3 3m 2l 0 6ml 04 4m 1,5l 0,5l 6ml 2ml5 5m 0 l 0 5ml∑ 15m - - 16ml 9ml
h
C
C
R
85R
O A
B
D E
x
yDate:
Se cer:
FFig. 4.1.
1)
4.2.2. Probleme propuse
1)
Răspuns:
4.3. Centrul maselor pentru linii materiale
4.3.1 Probleme rezolvate1)
Rezolvare:
OA
B
x
y
Date:
Se cer:
Fig. 4.2
Răspuns:
Fig. 4.3 x
OB
A
D
3l; 2m
3m
2m
Date:; A(3m); O(5m); B(3m); D(3m):
Se cer:
BD();
y2)
Fig. 4.4
O
A
x
B
D
E
H
y
zDate:
Se cer:
1
23 4
Bara
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
∑ _ _ _
2)
Rezolvare:
Bara
1
2
O x
yDate:Bară plană omogenă; l.
Se cer:
l
l Fig. 4.5
1
x
2
xy
∑ _ _
Determinarea ariei AOx nu are sens deoarece bara nu se găseşte integral de aceeaşi parte a axei Ox.
4.3.2. Probleme propuse
2)
4.4. Centrul maselor pentru suprafeţe materiale
4.4.1 Probleme rezolvate1)
12
3 4
O
x
y
zDate:Bară omogenă; l.
Se cer:
Răspuns:
1)
Ox
y
l4
l
Date:Bară plană omogenă; l.
Se cer:
Fig. 4.7
Răspuns:1
2
3
Fig. 4.6:
Rezolvare:
Placa
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
Σ _ _ _
2)
l 2l
x
y
z
O
Date:Placă omogenă; l.
Se cer?
Fig. 4.8
Ox
z1
x
z
2
O Oy
z
3
Ox
y
4
Rezolvare:
Placa
1
2
3
Σ _ _
Determinarea volumului VOy nu are sens deoarece placa nu se găseşte integral de aceeaşi parte a axei Oy.
4.4.2. Probleme propuse
1)
Răspuns:
l2 lO
x
y
Fig. 4.9
Date:Placă plană omogenă; l.
Se cer:
OO Ox x x
yy y
12
3
O x
yDate:Placă plană omogenă; l.
Se cer:
Fig. 4.10
4.5. Centrul maselor pentru volume materiale
4.5.1 Probleme rezolvate
Rezolvare:Corp
1
2
Σ _
O x
yDate:Placă plană omogenă; l.
Se cer:
Fig. 4.11
Răspuns:
O
x
y
z
Fig. 4.12
h
a
Date:Corp omogen; a
Se cer: astfel încât
Observaţie:1
2
1)
2)
4.5.2. Probleme propuse
CAPITOLUL 5
STATICA RIGIDULUI
5.1. Generalităţi
Condiţia necesară şi suficientă ca rigidul liber să fie în echilibru:
În raport cu un sistem de referinţă considerat se scriu şase ecuaţii scalare de proiecţii:
a2
ax
y
z
O
Date:Corp omogen; a
Se cere:
Fig. 4.13
1
2
Răspuns:
2)
Principalele legături ale solidului rigid sunt: reazemul simplu, articulaţia, încastrarea şi prinderea cu fire în care se introduc următoarele reacţiuni conform tabelului de mai jos:
Legatura Simbol Cu ce se inlocuieste Nr necunoscuteleor pe care le introduce
Reazemul simplu
N1
Prinderea cu fire
1
Articulatia Plana V2
Sferica
Rz
3
Incastrarea Plana
3
Spatiala
6
H
Ru
MiH
V
Frecările care apar în legăturile solidului rigid sunt de mai multe feluri şi anume:
a) frecare de alunecare caracterizată de relaţia:
b) frecare de rostogolire caracterizată de relaţia:
c) frecarea de pivotare caracterizată de relaţia:
d) frecarea în articulaţii şi lagăre caracterizată de relaţia:
e) frecarea firelor caracterizată de formulele lui Euler reunite:
5.2. Echilibrul rigidului cu legături fără frecare
p
l
plAR dreptunghi 1
l
22
qlAR triunghi
q
Fig. 5.1
5.2.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
Observaţie:
α=β=θ, rezultă că bara este orizontală
A
B
G
Date:
Se cer: pentru echilibru;
Fig. 5.2
A
B
O
G
x
y
2)
Rezolvare:
F
pq
O
A
B
C
Date:
Se cer:Reacţiuni în O şi C.
3l
2l
l
Fig. 5.3
F O
A
B
C
3l
2l
l
x
y
pl2ql
2
3
HV
0
0
0
iO
iy
ix
M
F
F
3)
Rezolvare:
l
O
A
BC
D
Date:
Se cer:Reacţiuni în O
p
q
Fig. 5.4
5.2.2. Probleme propuse
1)
Răspuns:
l2
l
O
A
BC
D
0
:0
:0
iO
iy
ix
M
F
F
0322sin
02
3cos
0sin2
MlpllFM
qlFV
HFpl
i
MplFlM
FqlV
FplH
i
26sin2
cos2
3
sin2
O
A B
l l2Date:
Se cer:Reacţiuni în O.
MFig. 5.5
2)
Răspuns:
3)
OA B
CEDDate:
Se cer:Reacţiunile din O şi A.
Fig. 5.6
O
A
B
Date:
Se cer: Reacţiuni în O.
Răspuns:
Fig. 5.7
Rezolvare:
Se alege ca necunoscută intermediară şi se obţine:
Înlocuind în cele două inecuaţii rezultă:
Date:
Se cere:Poziţia de echilibru a barei:
Fig. 5.8
1)
O
Gx
y
1fF
2fF
0
0
0
A
iy
ix
M
F
F
A
B
a
Fh G
O
x
y
Date:
Se cer: pentru echilibru
Fig. 5.9
2)
5.3. Statica rigidului cu legături cu frecare
5.3.1. Frecarea de alunecare
5.3.1.1. Probleme rezolvate
Rezolvare:
Stricarea echilibrului apare din cauza tendinţei de alunecare şi din cauza tendinţei de răsturnare.
5.3.1.2. Probleme propuse
Răspuns:
Răspuns:
5.3.2. Frecarea de rostogolire
xO
x
y
fF
GF
:0
:0
:0
iO
iy
ix
M
F
F
N
A
O
C D
D Date:
În A bara nu se sprijină.
Se cere: Pentru echilibrul barei.
Fig. 5.10
G
1)
A B
C F
G
Date:A, B – legături bilatere; placă plană omogenă ABC;G; AB = a; BC = h;
Se cere: pentru echilibru. Discuţie.Fig. 5.11
2)
5.3.2.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
Rezultă:
2)
Rezolvare:
Se scriu ecuaţiile de proiecţii şi de momente.
FG
O
A
rR;Date:
Se cer: pentru echilibru.
Fig. 5.12
FG
O
A
rR;
0
0
0
iO
iy
ix
M
F
F
x
y
NrMfF NsMerostogolir
NFalunecare
RFFrM
FGN
FF
r
f
fr
f
:
:
0
0sin
0cos
R
F
GC
O
Date:
Se cer: pentru echilibru.Fig. 5.13
5.3.2.2. Probleme propuse
1)
2)
R
F
GC
O x
y
alunecareTerostogolirT
rMfF
0
0
0
iO
iy
ix
M
F
F
NsMerostogolir
NFalunecare
FRM
GN
FF
r
f
r
f
:
:
02
0
0
Rezultă:
,2
,
GR
sF
GF
să nu alunece
să nu se rostogolească
G
R
sGF
2;min
A
G
FrR; Date:
Se cer: pentru echilibru.
Fig. 5.14
Răspuns:
Să nu alunece: cossincossin GFGSă nu se rostogolească:
rR
sRGF
rR
sRG
sincoscossin
G
F
O
Date:
Se cer: pentru echilibru.
Fig. 5.15
Răspuns:
Să nu alunece: cossincossin GFG
Să nu se rostogolească:
cossin
2cossin
2 R
sGF
R
sG
5.3.3. Frecarea în articulaţii şi lagăre
5.3.3.1. Probleme rezolvate
Rezolvare:
În caz contrar inegalitatea anterioară este satisfăcută pentru orice unghi θ. Rezultă:
Dacă tendinţa de rotaţie este în sens orar atunci se obţine soluţia completă şi anume:
unde:
O G
PADate:
Se cere:(poziţia de echilibru).
Fig. 5.16
Ox
y
HV
fM
G
rotatieTPA
.
;0sin2
cos:0
;0:0
;0:0
2200 VHrM
Ml
GPlM
GVF
PHF
f
fiO
iy
ix
Fie poziţia de echilibru a barei în care se neglijează frecarea în articulaţie adică .
G
Ptg
lGPlM iO
20sin
2cos:0 000
2200sin
2cos GPr
lGPl
Se amplifică cu şi rezultă:
22002sincos
2GP
Gl
r
G
P
Dar
22000
2sincos GP
Gl
rtg
sau
41cos
2sin 0
2
000
0
tg
l
r
Dacă membrul drept este subunitar atunci se notează:
5.3.3.2. Probleme propuse
1)
2)
O00 , r
G
A
Date:
Se cere: la echilibru.
Răspuns:
Fig. 5.17
00 ;r R
O
P Q
Date:
Se cere: la echilibru.
Răspuns:
Fig. 5.18
5.3.4. Frecarea firelor
5.3.4.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
5.3.4.2. Probleme propuse
Răspuns:
O
R
F
P
Date:
Se cere: pentru echilibru.Fig. 5.19
O
F
P .
.2
;
22
PeFPe
PeFPe
eFF rm
R MO
Date:
Se cer: pentru echilibru; pentru echilibrucând îşi schimbă sensul.
FFig. 5.20
CAPITOLUL 6
STATICA SISTEMELOR
6.1. Generalităţi
6.1.1. Metoda izolării corpurilor
6.1.2. Teorema solidificării
6.2. Echilibrul sistemelor fără frecare
6.2.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
O
Date:
Se cer:Reacţiuni în O, A, B.
p
G F
l
Q1
2
l l l
A C D EFig. 6.1B
Bara 1:
Bara 2:
Rezultă
2)
l l 2
3l2
l1
FplG
NBV
B
2OHOV
QN
Fig. 6.2
Rezolvare:
Bara 1:
Bara 2:
Bara 3:
G2
G
G F
O
A
B
C
Date:
Se cer: pentru echilibru;Reacţiuni în O, A şi B.
Fig. 6.3
12
3
O
G2
AHAV
OH OV
OM
1
AA
BG
AH
AV
BH
BV
2BH
BVB
G F3
Fig. 6.4
Rezultă:
6.2.2. Probleme propuse
1)
Răspuns:
2)
Răspuns:
O
B
A
C
Date:
Se cer:Reacţiunile din O; B; C.
Fig. 6.5
G
Date:
Se cer: Reacţiunile din:
Fig.6.6
6.3. Echilibrul sistemelor cu frecare
6.3.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
Corpul 1:
Corpul 2:
G
Rr O
Date:
Se cer:
pentru echilibru.
Fig. 6.7
P
O
F
PT
HV
1
fF
G
NT
2
Fig. 6.8
Rezultă:
2)
Rezolvare:
Corpul 1:
Corpul 2:
Corpul 3:
a b c
s;1G
22 ;GR33;GR
qDate:
Se cer:, pentru echilibru; reacţiuni.
Fig. 6.9
O
1G
1T
1
1T
2H2V
2G2
2T
3GN
fF
rM
3
OMOH
OV N
rM
fF2H
4
32a
2
qa
Fig 6.10
Corpul 4:
Rezultă:
3)
Rezolvare:
Corpul 1:
O
Q
RG
P sB ;
C
Date:
Se cer:pentru echilibru;Cum începe mişcarea dacă Reacţiuni din O şi B pentru A
Fig. 6.11
P
T
G
T
fF
NrM
OOH
OV
OM Q
NfF
rM12
3
Fig. 6.12
Corpul 2:
Corpul 3:
Rezultă:
Metoda solidificării:
Se foloseşte pentru determinarea reacţiunilor din încastrarea O:
4)
CO
G
Q
GT 05,0
OH
OV
OM
:0
:0
:0
iO
iy
ix
M
F
F
01,04
3
2
0
0
GRlGl
QM
GQV
HT
O
O
O
.1,04
3
2
;
;05,0
GRGlQl
M
QGV
GPTH
O
O
O
Fig. 6.13
Corpul 1:
Corpul 2:
Corpul 3:
Rezultă:
5)
3O
G
A
FO
rR;
Q
Date:
Se cer: pentru echilibru;Reacţiuni.
Rezolvare:
Fig. 6.14
Q
T
fFT
N O H
V
B
F
G
N
fF
3H
3V
1
2
3P
Rezolvare:
Corpul 1:
Q
G
O l2 l2
l
l
A
00 ;r
Fig. 6.15
Date:
Se cere: pentru echilibru.
B
1
fM l
l
BHBV
OH
G
OV
O
fM Q
BH
BV
fM
l2
Fig. 6.16
2l2
Corpul 2:
Rezultă:
6)
Corpul 1:
Corpul 2:
Corpul 3:
O
rR;
G
D
A
FB
Date:
Se cere: pentru echilibru; Reacţiuni
Rezolvare:
G
1T
1
1T
2T
3TOH
OV2
F
3T
DH
3
DVFig. 6.17
Rezultă:
6.3.2. Probleme propuse
1)
Răspuns:
2)
1O
B
A
G
2O
P
QrR ;;Date:
Se cer: pentru echilibru; Reacţiunile din
Fig. 6.18
Răspuns:
Dacă numitorul este pozitiv sau nul atunci sistemul se autoblochează.
3)
Răspuns:
4)
O
QrR ;;
P
G
A
B
Date:
Se cer:
pentru echilibru; Reacţiunile din O pentru
Fig. 6.19
QP
G
A
sC ;B
Date:
Se cer: pentru echilibru; reacţiunile din A cu metoda izolării corpurilor şi cu metoda solidificării.
R
Fig. 6.20
F
GrR ;;
PDate:
Se cer: pentru echilibru.
Fig. 6.21
Răspuns:
O
5)
6.4. Sisteme de bare articulate (Grinzi cu zăbrele)
6.4.1. Generalităţi
Corectitudinea unui astfel de sistem se verifică, cu relaţia:
unde: b – numărul barelor sistemului; n – numărul nodurilor sistemului
6.4.2. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
G P
O
1
rR;2 Date:
Se cere: pentru echilibru.
Răspuns:
2
2 P
AB
C DDate:
Se cer:Tensiunile din bare.
Fig. 6.23
Fig. 6.22
2)
Rezolvare:
x
y
1
2
34
5AH
AV N 03:0
0:0
0:0
.34254;5:
PllNM
PVNF
HF
nbverificare
iA
Aiy
Aix
P .2
;3
;0
PV
PN
H
A
A
AP2
1T
2T
x
y
22022
2
202
2
11
221
PTPT
PTTT
xy
4T
3T22P
C
PTTP
PTPT
202
202
33
44
B P3
P2P2
5T
023
505
123
5
1cos;
5
2sin
55
PPP
PTTPP
P2
P5P 0
5
15
025
25
PP
PPD
45
45
A
B C
D
P2
Date:
Se cer:Tensiunile din bare.
Fig. 6.24
Verificare cu metoda secţiunilor pentru barele 1; 3 şi 4:
3)
AH AV
N
P2
x
y
1
23
4
5
67
PNlPlNM
PVPVF
PHHNF
nbverificare
iA
AAiy
AAix
20222:0
202:0
20:0
.35275;7:
x
y
P2 D
1T2T
22022
2
202
2
11
221
PTPT
PTTT
C
x
y
2T4T 3T0
20
3
442
T
PTTT E
1T6T5T
3T0
220
5
661
T
PTTT
x
y
4TN B
7T 5T0
0
7
4
T
TN
A
6T7T
AH AVy
x
02
12220
2
2
022
1220
2
2
6
6
PPTV
PPHT
A
A
1T
2T4T P2
DC
E
3T 452202
2
2:0
202:0
00:0
11
44
33
PTPllTM
PTPllTM
TlTM
C
E
D
Rezolvare:
Pentru porţiunea din partea de grindă situată în stânga secţiunii 1 se aplică relaţia:
Pentru determinarea tensiunii în secţiunea 2 a grinzii se aplică, în partea stângă a secţiunii, relaţia:
Pentru determinarea tensiunii în secţiunea 3 a grinzii se aplică, în partea dreaptă a secţiunii, relaţia:
45
A
PP
P 2PP2P3
1
2
3
4
Date:Barele perpendiculare au lungimea l; P
Se cer: tensiunile din barele 1; 2; 3 şi 4.
?T
Fig. 6.25
AH
AV
P P
P 2PP2P3
Tk
1T 2T3T
4T
D
E
B
Pentru determinarea tensiunii în nodul 4 se aplică relaţia:
6.4.3. Probleme propuse
1)
Răspuns:
2)
Răspuns:
CAPITOLUL 7
STATICA FIRELOR
7.1. Probleme rezolvate
30A B
C
D PDate:
Se cer:Tensiunile din bare.
Fig. 6.2612 3
4
5
45A
B
C
2P
D
E
F H
P3P P2
P
12 34
Date:
Se cer:Reacţiunile din A şi B; Tensiunile din barele 1, 2, 3 şi 4.
Fig. 6.27
Rezolvare:
Întrucât firul nu are greutate, pe porţiunile AC, CD şi DB tensiunile sunt constante.
Rezultă:
2)
P
Q
CD
1C 1D
1f2f
1T 2T Date:
Se cer:
A B
Fig. 7.1
C
P
x
y1T
DQ
3T
2T
x
y
Rezolvare:
7.2. Probleme propuse
1)
Răspuns:
Ox
A B y
C
f
a
AT BT Date:
Se cer:
Fig. 7.2
A
B
C
O x
y
a2h
1h
Date:
Se cer:
Fig. 7.3
2)
Indicaţie:
Se izolează punctul D al firului, se introduc tensiunile în cele două porţiuni de fir secţionate şi se scriu ecuaţiile de echilibru. Se separă porţiunea de fir BD, tăind firul în D, lângă punctul de fixare a greutăţii Q. Se studiază echilibrul arcului de lănţişor BD, obserervând că punctul D nu se află pe axa Oy, deoarece înclinarea tangentei la fir în acest punct este nenulă.
Răspuns:
CAPITOLUL 8
CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
8.1. Generalităţi
8.1.1. Studiul mişcării punctului material în coordonate carteziene
A B
DQ
f
Date:
Se cer:
Fig. 7.4
Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:
Ecuaţia implicită se obţine prin eliminarea timpului t din cele trei ecuaţii şi anume:
Rezultă două suprafeţe a căror intersecţie este o curbă plană. În plan ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului material arată astfel:
Eliminând timpul din ambele ecuaţii rezultă ecuaţia implicită a traiectoriei punctului material care este o curbă plană şi anume:
Vectorial traiectoria unui punct material se scrie astfel:
Mărimea vectorului de mai sus se determină cu următoarea relaţie:
Pentru viteze se scriu următoarele ecuaţii:
De asemenea expresia vectorială şi cea scalară a vitezei se scriu astfel:
Pentru acceleraţii se scriu ecuaţiile:
Expresia vectorială şi cea scalară pentru acceleraţii se scriu astfel:
8.1.2. Studiul mişcării punctului material în coordonate polare
Nu sunt monitorizate decât traiectoriile plane
Pentru viteze şi acceleraţii se scriu ecuaţiile:
8.1.3. Studiul mişcării punctului material în coordonate intrinseci
8.2. Cinematica punctului material în coordonate carteziene
8.2.1. Cinematica punctului material liber
8.2.1.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
u
uO
rx
y
M
Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei:(ecuaţia traiectoriei în coordonate polare)
Fig. 8.1
r
O
A P
s
tss (ecuaţia orară a mişcării)
0
0
v
v
sv
vvvsv
0
222
a
vsa
vsa
aaas
ssva
Fig. 8.2
Date:
ty
tx
sin
2cos2Se cer:
Traiectoria mişcării punctului material;Viteza punctului material;Acceleraţia punctului material.
2)
Rezolvare:
8.2.1.2. Probleme propuse1)
Răspuns:
2)
Răspuns:
8.2.2. Cinematica punctului material legat
8.2.2.1. Probleme rezolvate
1)
Date:
tRy
tRx
sin
cosSe cer:
Traiectoria mişcării punctului material;Viteza punctului material;Acceleraţia punctului material.
Date:
tby
tax
sin
cos ctba ;;Traiectoria mişcării punctului material;Viteza punctului material;Acceleraţia punctului material.
Se cer:
Date:
ty
tx
2cos
cosSe cer:
Traiectoria mişcării punctului material;Viteza punctului material;Acceleraţia punctului material.
Rezolvare:
2)
Rezolvare:
3)
A
B
M
2
P
O
Date:
Se cer:
Fig. 8.3
O
C
1M
A2M
x
Date:
Se cer:
Fig. 8.4
y
Rezolvare:
8.2.2.2. Probleme propuse
1)
Răspuns:
2)
Răspuns:
O
x
y
AM
AA yxA ;Date:
Se cer:Fig. 8.5
x
y
P
O
M
A
Date:
Se cer:R
Fig. 8.6
1O
A
1x
xM
O
Date:
Se cer:
Fig. 8.7
8.2.3. Cinematica punctului material în alte sisteme de coordonate
8.2.3.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
Traiectoria punctului material este cercul de centru O şi de rază r=2 deoarece r=ct.
2)
Rezolvare: La pornirea din A: Pentru primul corp:
Pentru al doilea corp:
Date:
2
2
1
2
t
r
Se cer:
Traiectoria mişcării punctului material în coordonate polare;Viteza punctului material în coordonate polare;Acceleraţia punctului material în coordonate polare.
O
vv
a
a
OMa
vtvvv
trv
rv
2
2
022
1222
2422
22
taaa
rra
trra
Fig. 8.8
A BO1M
2M
1v
2v
2a
2a
2a
R
Date:Pornire simultană din A şi sosire simultană în B;
Se cer:
Fig. 8.9
La întâlnirea în B: Pentru primul corp:
Pentru al doilea corp:
3)
Rezolvare:
La pornire: Corpul 1:
Corpul 2:
A
B
1M
2M
12 Date:
Pornire simultană din A şi sosire simultană în B;
Se cer: timpul şi locul întâlnirii.
Fig. 8.10
La sosirea în B:
Corpul 1:
Corpul 2:
Rezultă:
8.2.3.2. Probleme propuse1)
2)
Răspuns:
r
s
Date:
Se cer: pentru t=1s
Fig. 8.11
Răspuns:
R M
0MO
Date:
Se cer:
Indicaţii:
Fig. 8.11
3)
CAPITOLUL 9
CINEMATICA SOLIDULUI RIGID
9.1. Generalităţi. Mişcările simple ale rigidului
9.1.1. Translaţia
Este mişcarea în timpul căreia orice dreaptă a rigidului rămâne paralelă cu ea însăşi.
9.1.2. Rotaţia
Este mişcarea în care două puncte distincte ale rigidului (adică o dreaptă a sa), rămân fixe tot timpul mişcării.
Fie o axă în jurul căreia se roteşte corpul. Atunci fiecare punct are mişcare circulară. Vectorii viteză unghiulară şi respectiv acceleraţie unghiulară au drept suport axa de rotaţie.
9.2. Probleme rezolvate1)
O
rv
a
v
a
B
ADate:
Se cer:
Fig. 8.12
Răspuns:
O
A B
C
M
NP
Date:
Se cer:Vitezele şi acceleraţiile punctelor: A; B; M; N; P.
Fig. 9.1
Rezolvare:
2)
O
AB
C
M
NP
v
Determinarea vitezelor:
vv
2v 2v.
2.
2
;2
vtl
lvv
vtllvvv
PN
BMA
a aaa a a
2a 2a
Determinarea acceleraţiilor:
;222
;4
;22
;2
22
22
ltla
aa
ltlaaaa
al
laa
llaaaa
PN
MBA
PN
MBA
Fig. 9.2
Fig. 9.3
O
A
B
C
x
y
z D
E F
G
Fig. 9.4
O
AB
C
M
NP
Date:
Se cer:
Pentru t=2s.
Rezolvare:
Deoarece punctul F se găseşte pe axa de rotaţie iar vectorii viteză unghiulară şi acceleraţie unghiulară sunt coliniari cu axa de rotaţie atunci viteza şi acceleraţia unghiulară sunt nule adică:
3)
Rezolvare:
O
A
B
C
y
xM
Date:
Se cer:
Fig. 9.5
O
A
B
C
M
y
z
x Aa
.;
;;
;0
0
MMCC
BBAA
MCBA
aaaa
aaaa
aaaa
ct
Fig. 9.6
y
O
A
B
C
M
x
y
z
Av
Bv
Cv
Mv
4)
Rezolvare:
Centrul instantaneu de rotaţie este în punctul I de tangenţă între cele două discuri.
9.3. Probleme propuse1)
O
I
AB
CR
r Date: rostogolire fără alunecare;
Se cer: pentru discul mobil;
Fig. 9.7
O
I
A B
CR
r
.
;22;22
0
2
rRa
rRr
rRrICvrRvv
r
rRrrRv
A
CAB
A
Fig. 9.8
Răspuns:
2)
Răspuns:
3)
Răspuns:
O 1O
AB
C
D
MDate:
Se cer:
Fig. 9.9
O
x
y
z
1x
1y1OA B
CE
F
GD Date:
Se cer:
Fig. 9.10
O
A B
C
M
Date:Se cer:
Fig. 9.11
4)
Răspuns:
CAPITOLUL 10
MIŞCAREA PLAN – PARALELĂ A SOLIDULUI RIGID
10.1. Definiţii. Metoda CIR
Un rigid realizează o mişcare plan – paralelă dacă trei puncte necoliniare ale acestuia şi deci planul determinat de acestea rămân tot timpul mişcării într+un plan fix din spaţiu. Centrul instantaneu de rotaţie (CIR=I) este locul geometric al punctelor din planul mobil cu viteză instantanee nulă. O proprietate importantă a CIR este aceea că în raport cu el vitezele tuturor punctelor din planul mobil se determină ca în mişcarea de rotaţie. Pentru a se determina acest punct este nevoie de două elemente şi anume:
a) viteza unui punct al rigidului (modul, direcţie şi sens);b) suportul vitezei altui punct al rigidului.
Determinarea CIR se face astfel: Se ridică perpendiculare pe suporturile vitezelor celor două puncte în punctele respective (fig. 10.1). La intersecţia acestor perpendiculare se găseşte centrul instantaneu de rotaţie (CIR).
O
A
B
CDate:rostogolire fără alunecare.
Se cer: pentru discul mobil;
Fig. 9.12
10.1.1. Probleme rezolvate1)
Rezolvare: Manivela 1 are mişcare de rotaţie (R), biela 2 are mişcare plan – paralelă (PP) iar pistonul 3 are mişcare de translaţie (T).
I
A
BB
M
Av
Bv
Mv
Fig. 10.1
.
;
;
AM
B
A
vIA
IMIMv
IA
IBIBv
IA
v
O
A
B
Date: toate elementele geometrice.
Se cer:
Fig. 10.2
1 2
3
2)
Rezolvare:
3)
O
A
B
MAv1 2
3
I2
Bv
.0
;
;
;
3
2
222
2
222
222
OAAI
MIMIv
OAAI
BIBIv
AI
OA
AI
v
M
B
A
Fig. 10.3
O
A
OvDate:
Se cer:
Fig. 10.4
Observaţie:Mereu în cazul roţilor care au rostogolire fără alunecare, (RFA), centrul instantaneu de rotaţie (CIR) se găseşte în punctul de contact al roţii cu calea de rulare.
B
M
I
A
B
M
O OvFig. 10.5
Rezolvare:
4)
Rezolvare:
Din figura 10.8 rezultă că: elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.
2R
2R
Ov A
O
R 1 23B
CDate:
Se cer:
Fig. 10.6
2R
2R
Ov A
O
R 1
2
3BC
Fig. 10.7
1 – plan paralelă;2 – plan paralelă;3 – translaţie.
1I
Av
2I 2
Bv
O
AB
C
3O
D
Date:toate elementele geometriceSe cer:
Fig. 10.8
1
2
3
4
5
O
AB
C
3O
D1
23 4 5
2I
2
3
Bv
Cv
Fig. 10.9
AvDv
5)
Rezolvare:
Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.
OA
B
C
3O
D
1
2
3
4
5
Date:toate elementele geometrice.Se cer:
1
2
3
4
5
OA
B
C
D
Fig. 10.10
Av
Bv3O
3
Cv
4I4
Dv
10.1.2. Probleme propuse
1)
Indicaţie:
2)
Indicaţie:
3)
O
AB
3O
12
3
Date: toate elementele geometrice.
Se cer:
Fig. 10.11
M
O
1
2AB
C
3OD
34
5
Date:toate elementele geometrice
Se cer:
Fig. 10.12
Indicaţie:
10.2. Metoda planului vitezelor şi a ecuaţiilor vectoriale. Determinarea acceleraţiilor
O altă metodă de determinare a distribuţiei vitezelor pentru un mecanism plan este metoda planului vitezelor şi a ecuaţiilor vectoriale. Este o metodă grafo – analitică prin care se rezolvă grafic ecuaţii vectoriale de tip Euler.
Pe desen, distribuţia vitezelor se reprezintă la scară cu ajutorul coeficientului de scară pentru viteze:
Pentru determinarea distribuţiei acceleraţiilor se foloseşte metoda planului acceleraţiilor şi a ecuaţiilor vectoriale care este, de asemenea, o metodă grafo – analitică prin care se rezolvă grafic ecuaţii vectoriale de tip Rivals.
Pe desen, distribuţia acceleraţiilor se reprezintă la scară cu ajutorul coeficientului de scară pentru acceleraţii:
Pentru simplificarea calculelor se consideră: kv=1 şi ka=1.10.2.1. Probleme rezolvate
1)
O
AC
B 3O
D
1 2
3
4
5
Date:toate elementele geometrice.Se cer:
Fig. 10.13
Rezolvare:
Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie.
2)
O
A
B3O
1 2
3
Date:toate elementele geometrice
Se cer:
Fig. 10.14
O
A
B3O
1 2
3
vp
Av
aBA
3BO
b
Av
BAv
;;
;
;;
;;
3333
2
3
BO
bp
BO
kbp
BO
v
AB
abBA
kab
BA
vbpkbpv
abkabvvvv
apkapvOAv
vvvB
vBAvvvB
vBA
BA
BAA
BO
B
vvvAA
BA
ap1n
aBA
3BO
BAa
3BOa
2n
b
3BOAa
BAa
BAa
3BOa
3BOaBa
Fig. 10.15
BAv
2BAa
2
Bv
33
3BOa
Rezolvare: Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de translaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.
3)
45
45
O
A
BC
D
1
23
4 5
Date:toate elementele geometrice
Se cer:
Fig. 10.16
x x
y
y
O
A
BC
D
Fig. 10.17
x x
y
y
vp
a
d
cb
CB
DA
.;0;0;0
;;;
;;;
;;
4532 DA
da
DA
kda
DA
v
dakdavdpkdpvvvv
cbkcbvcpkcpvvvv
bpkbpOBvapkapOAv
vDA
vDAvvvD
DA
DAA
xx
D
vCBvvvC
CB
CBB
yy
C
vvvBvvvA
DAv
4Aa
ab
Ba
CB
CBa
ap
CBa
CB
1nCBa
yy
cCa
DAa
DAa
DADA
xx d DaDAa2n
2
4
Rezolvare: Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.
1
O
A B2
3O
C
3
4D
5x x
Date: toate elementele geometriceSe cer:
Fig. 10.18
1
O
AB
2
3O
C
3
4D
5x x
Fig. 10.19
Bv vp a
BA
b
c
BO3
xx
DC
BAvBv
AvCvDCv
DvdAv
2
3
4DCa
2
34
4)
Rezolvare: Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.
ap
0aaAa
Aa
Aa
BA
BA1n
3BO
BAa
2n
3BO
BAa
3BOa
b
Ba
c DCDCa3n
DC
xx Da
CaDCa
d
Fig. 10.20
;3 CBaaa aacpbpcpbCBO
3
3
3
3
3
0
3
BO
BO
OB
BO
BOOB
BA
BA
AB
BA
BAAB
aaaa
aaaa
DC
DC
DC
DC
DCC
xx
D aaaa
;
;
;
3
3
dna
nca
dpa
DC
DC
aD
.0
;
;
;
5
34
3
2
3
33
12
DC
dn
DC
a
BO
bn
BO
a
BA
bn
BA
a
DC
BO
BA
O
A B
C
3OD
1
23
45
Date:toate elementele geometrice
Se cer:
Fig. 10.21x x
5)
Rezolvare: Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan – paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan – paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.
O
A B
C
3OD
1
2
34
5
Fig. 10.22
Av
vp
a
Aa
BA
BAv
Bvbdc
DC vv
DC
Aa
apa BA
BA
1nBAa
Aa
3BOa
3BOa
2n3BO 3BO
3BOa
b
c
Ba
DCa
CaDCa
DCd
DCa
3n
DCBAa
22 3
3
4
x x
BAa
O
A
C
B
D
x x3O
1
2
3
4
5
Date:toate elementele geometrice;
Se cer:
Fig.10.23
O
A
C
B
D
x x3O 5
Fig.10.23
Av
DC
;
;
;
;
DC
cd
DC
kcdv
CB
bc
CB
kbcv
CA
ac
CA
kacv
BA
ab
BA
kabv
vDC
vCB
vCA
vBA
.
;
;
4
3333
2
DC
cd
DC
kcd
DC
v
BO
bp
BO
kbp
BO
vCB
v
CA
v
BA
ab
BA
v
vDC
vvvB
CBCABA
23
4
;
;
;3
DC
DCC
xx
D
CB
CBBC
CA
CAAC
BA
BAA
BO
B
vvv
vvv
vvv
vvv
AaBAa
CAa
CBa
DCa
3BOa
2
3
4
DvCBv 3BO
10.2.2. Probleme propuse
1)
Răspuns:
a
BABA
1n
3BO
2n3BO
b
BAa
BAa
3BOa
3BOa
3n
CA
CA
CB
4nCB
c
CAa
CBa
CBa
DC5n
DC
xx d
Ca
Da
DCa
DCa
Fig. 10.24
dpkdpa
aaaa
aaaD
DC
DC
CD
DC
DCC
xx
D
;
.
;
;
554
55
5524
DC
dn
DC
kdn
DC
a
dnkdna
nckncDCa
aDC
aDC
aDC
O
A
1 2
3B
x x
Date:toate elementele geometrice
Se cer:
Fig. 10.25
2)
Răspuns:
3)
Răspuns:
4)
O
1
A 2 B
3
3O
4
5
C
y
y
Date:toate elementele geometrice
Se cer:
Fig. 10.26
O
1
A 2B
C
3O3
4
x
D 5
Date:toate elementele geometrice
Se cer:
Fig. 10.27
x
O
A
1
2
x xB
C
3
4 5
5O
Date: toate elementele geometrice
Se cer:
Fig. 10.28
D
Răspuns:
5)
Răspuns:
CAPITOLUL 11
CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL
11.1. Generalităţi. Definiţii.
1. Mişcarea absolută este mişcarea punctului material în raport cu sistemul de referinţă fix.2. Mişcarea relativă este mişcarea punctului material în raport cu sistemul de referninţă mobil ca şi
cum acesta ar fi fix.3. Mişcarea de transport este mişcarea punctului material solidarizat cu sistemul de referinţă mobil
faţă de sistemul de referinţă fix.Studiul mişcării relative a punctului material se realizează cu ajutorul următoarelor relaţii matematice:
11.2. Probleme rezolvate
O
1
x x
A C
B
23 4
D
y
y
5
Date: toate elementele geometrice
Se cer:
Fig. 10.29
1)
Rezolvare:
2)
O
s
A
M
B
Date:Se cer:
Fig. 11.1
O
s
A
M
B
Fig. 11.2 rv
tv
av .44
cos
;cos2
;2
;;
22222
22
22
22
ltslttv
sl
l
vvvvv
sltOMv
tsvvvv
a
trtra
t
rtra
O
s
A
M
B
Fig. 11.3
ra
ta
taCa
x y
Rezolvare:
3)
O
M
s
Date:
Se cer:
Fig. 11.4
O
M
s
Fig. 11.5
tv
rv
.sinln
;sinlnsin
;1
;
20
222
00
ttvvv
tsMPvt
svvvv
tra
t
rtra
P
tt
t
tt
rrCtra
aaMPa
tMPaa
tsvaaaaa
0
sinln
;1
;
20
2
2
O
M
s
Fig. 11.6
P
ra
taCazx
y
Rezolvare:
4)
Rezolvare:
M
A B
CD
Date:
Se cer:
Fig. 11.7
M
A B
CD
P
Fig. 11.8
g.
;
;000
;;
2220
222
0
tglvvv
lMPv
gtvCvt
Cgtdtggdtvvvv
rta
t
rr
rtra
;; gvaaaaa rrCtra rv
tv
M
A B
CD
Fig. 11.9
.
;0sin22
;0
40
2222
0
20
2
lgaaa
gtava
MPMPa
lMPaa
tra
CrC
t
tt
ra
ta
tt aa
O
C
M Fig. 11.10
Date:
Se cer:
5)
Rezolvare:
O
C
M
Fig. 11.11
rv
tvav
O
C
M
;32142
sin22
;
2sin22
2sin232
;2
22;
22
22
ttRvava
ROMa
RtOMaa
RRa
tRRaaaaaa
rCrC
t
t
t
r
r
rCtra
ra
rata
ta Ca
x
y
Fig. 11.12
M
O
0M
Date:
Se cer:
Fig. 11.13
6)
Rezolvare:
M
O
0M
Fig. 11.14
rv
tv
0;0
0
tra
t
ratra vvv
tRRv
tRRvvvvv
0
22
0
2
0
22
0
2
;
;
RRa
tRRaa
RRa
tRRaa
aaaa
t
t
t
r
r
r
Ctra
M
O
0MFig. 11.15
ra
ta
ta
ra
Ca xy
00
0
0
;22
sin22
22
22
0
yxyx
try
rtCx
rCrC
aaajaiaa
aaa
aaaa
tRvava
O
A
B
M
l l
Date:
Se cer:
Fig. 11.16
OB
ll Fig. 11.1745
rvtv
45cos2
;2
;2
;2
2
;
22
trtra
t
rr
tra
vvvvv
lOAv
l
t
lvtvltt
vvv
A=M
11.3. Probleme propuse
1)
2)
3)
OB
l l
A=M
ω
45ta
Ca 45
0
2;0;
22
OAa
lOAaavaaaaa
t
t
trrCtra
2
22
2sin22;
ll
vavaaa rCrCtt
x
y
Fig. 11.18
MN
x
Ol
A B
Date:
Se cer:
Fig. 11.19
Răspuns:
O
CAP
v
Date:
Fig. 11.20
RB
Se cer:
Răspuns:
4)
Răspuns:
5)
CAPITOLUL 12
R
M
1O
2Fig. 11.21
Date: Se cer:
Răspuns:
A B
1O2O
l
Ms
Date:
Se cer:
Fig. 11.22
M
O
C
2
1
R
N
Fig. 11.23
Răspuns:Date:
Se cer:
CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE A SOLIDULUI RIGID
12.1. Probleme rezolvate
1)
Rezolvare:
Mişcările corpurilor sunt rotaţii în plan 1,2 şi plan – paralelă 2, vitezele unghiulare fiind paralele între ele, adică perpendiculare pe plan, rezultă că mişcarea compusă a corpului 2 este o sumă de rotaţii paralele. Considerând ca sens pozitiv, sensul orar al lui valoarea vitezei unghiulare absolute a corpului 2 se determină cu una dintre relaţiile:
(12.1)
Dar în cazul rotaţiilor paralele rezultă pentru corpul 2 o rotaţie instantanee, în jurul centrului vectorilor paraleli Notând acest punct cu C, se poate aplica vectorilor teorema lui Varignon în raport cu punctul O. Din relaţia precedentă se observă că teorema lui Varignon poate fi aplicată de două ori pentru fiecare sumă de vectori paraleli:
(12.2)
În membrul drept al relaţiilor de mai sus apar distanţele faţă de ale puntelor din plan aflate pe
suporturile celor patru vectori: şi trec prin trece prin A (A reprezintă punctul de viteză
nulă între roţile 2 şi 1, în acest punct neexistând alunecare între cele două roţi); trece prin ponctul O,
M
NA
1
2
3
Date:
Se cer:
30Fig. 12.1
acesta fiind punctul de viteză nulă între corpurile 2 şi 3 (O este articulaţia comună). Deci, relaţiile de mai sus devin:
Înlocuind acest rezultat în relaţiile (12.1), se obţine:
(12.3)
Din sistemul format din ecuaţiile (12.4) şi (12.1) rezultă:
În figura 12.2 se arată distribuţia de viteze a roţii 2, faţă de punctul C, care devine pentru această roată, centru instantaneu de rotaţie faţă de sistemul de referinţă fix. Vitezele reprezentate pe figură pentru roata 2 sunt de forma:
Calculând viteza punctului A al roţii 1 rezultă un vector cu aceeaşi direcţie, sens şi modul cu cea calculată pentru punctul A al roţii 2, deci se verifică faptul că punctul A este centru instantaneu al rotaţiei relative între roţile 1 şi 2.
Pentru determinarea acceleraţiilor punctelor M şi N, se scrie:
(12.4)
CA
M
N
M
A
N
1O
A
O
Fig. 12.3 Fig. 12.4
Fig. 12.2
Acceleraţia unghiulară absolută a roţii 2 este:
S-a scris expresia vectorială a acceleraţiei unghiulare absolute a roţii 2 pornind de la relaţiile de mişcare ale celor două corpuri 1 şi 3, cu care corpul 2 este în legătură. Acceleraţia unghiulară este nulă, deoarece vectorii viteză unghiulară de la care se porneşte au direcţii şi mărimi care nu se modifică în timpul mişcării. Relaţiile (12.4) devin:
(12.5)
Se determină:
Acceleraţiile determinate ale punctelor O, M, N, A ( punctul A aparţinând roţii 2) sunt reprezentate în figura 12.3.
Mişcarea roţii 2 cu centrul în O fiind plan – paralelă, cu acceleraţie unghiulară nulă, rezultă că toate acceleraţiile roţii 2 vor converge spre centrul instantaneu al acceleraţiilor (CIA) a cărui poziţie faţă de punctul O este definită de relaţia:
Acceleraţia se calculează în două moduri astfel (figura 12.3):
Acceleraţia , pentru roata 1, este
îndreptată spre centrul deci doar vitezele fiind egale.
Pentru inversarea sensului lui
Din relaţiile (12.2) rezultă: pe care înlocuindu-le în relaţiile (12.1) se
obţine deci mişcarea absolută a roţii 2 este de translaţie. Vitezele, respectiv acceleraţiile tuturor punctelor roţii 2 sunt egale, ele putând fi calculate pentru punctul O:
Observaţie:
Din calculul vitezelor în punctele A şi O se observă că roata 2 are o mişcare de translaţie (figura 12.4) adică:
2)
Rezolvare:
Viteza unghiulară din rotaţia discului 2 faţă de bara 1, are drept suport axa CD. Deoarece discul 2 se roteşte în raport cu acesta, pe axa CD se găsesc toate punctele de viteză nulă ale discului faţă de axă; pentru axa CD, punctele de viteză nulă se găsesc pe axa verticală OD. În aceste condiţii, punctul D este un punct de viteză nulă al discului în raport cu sistemul de referinţă fix. Al doilea punct de viteză nulă al discului faţă de sistemul de referinţă fix este A, deoarece discul se rostogoleşte fără să alunece pe suprafaţa conică. Rezultă de aici că dreapta AD reprezintă suportul vitezei unghiulare a discului 2 faţă de sistemul de referinţă fix, fiind definită la un moment dat de două puncte de viteză absolută nulă ale discului. Pe baza analizei anterioare se poate scrie (fig. 12.6):
Pe baza reprezentării grafice, rezultă:
Pentru calculul vitezei lui A, se ţine seama de rotaţia instantanee a discului faţă de dreapta AD, deci:
1
2
A
C
B
E
O
D
Date:Rostogolire fără alunecare;
Se cer:
Fig. 12.520
Fig. 12.6
Expresia vectorială a acceleraţiei unghiulare absolute a discului 2 este de forma:
unde:
Aşadar:
Expresia vectorială a acceleraţiei lui B faţă de punctul fix D de pe axa instantanee de rotaţie este:
unde:
Rezultă:
12.2. Probleme propuse
1)
,021
t
deoarece fiind o derivată locală, se referă la rotaţia discului în raport cu bara CD, care pentru disc reprezintă un reper fix, deci în raport cu acest reper
12A
C
B
HD
HB 220
10Fig. 12.7
Indicaţie:Faţă de problema 12.1, la care nu se cunoştea punctul prin care suportul lui intersectează
planul figurii, la această problemă el este cunoscut : punctul de tangenţă între roata 2 şi suprafaţa cilindrică fixă, acesta fiind centrul instantaneu de rotaţie absolut al roţii 2.
Răspuns:
2)
Răspuns:
3)
O
B
A
C
M1
2
3
Date:Rostogolire fără alunecare;R; r;
Se cer:
Fig. 12.8
O
A
101
2
B
3 C
x
y
D
Date:
Se cer:
Fig. 12.9
Răspuns:
Ambele sunt orientate spre dreapta.
4)
Răspuns:
Bibliografie
1) Ceauşu V., Enescu N. – „Probleme de Mecanică: vol. 1 Statica şi cinematica”; Editura Corifeu Bucureşti; 2002;
1 2
Date:
Se cer:
Fig. 12.10
10v 20v1 23 Date:
Se cer:, pentru ambele sensuri ale lui
Fig. 12.11
2) Ceauşu V., Enescu N., Ceauşu F. – „Culegere de probleme de Mecanică Statică”; Institutul Politehnic Bucureşti; 1987;
3) Ceauşu V., Enescu N., Ceauşu F. – „Culegere de probleme de Mecanică Cinematică”; Institutul Politehnic Bucureşti; 1988;
4. Dinu I. – „Curs Mecanică”; Universitatea „Politehnica” din Bucureşti; 1997;5. Enescu N. ş.a. – „Seminar de mecanică – Culegere de probleme”; Institutul Politehnic Bucureşti;
1990;6. Magheţi I., Voiculescu L. – „Elemente de mecanică aplicată”; Editura Printech Bucureşti; 2000;7. Sarian M. ş.a. – „Probleme de mecanică”; E.D.P. Bucureşti; 1983;8. Staicu Şt., Voiculescu L. – „Lecţii de mecanică teoretică”; Editura Bren Bucureşti; 2006;9. Staicu Şt., Voiculescu L. – „Probleme rezolvate de statică şi cinematică”; Editura Bren;
Bucureşti; 2005;10. Stroe I. ş.a. – „Probleme de statică pentru studenţii din învăţământul superior tehnic”; Editura
Printech; Bucureşti; 2000;11. Voiculescu L., Busuioceanu I., Magheţi I. – „Mecanică: teorie şi aplicaţii”; Editura Bren
Bucureşti; 2004.
Cuprins
1. Noţiuni de calcul vectorial………………………………………………………………..22. Statica punctului material………………………………………………………………..133. Reducerea sistemelor de forţe oarecare aplicate solidului rigid…………………………194. Centre de masă (greutate)……………………………………………………………......275. Statica rigidului…………………………………………………………………………..366. Statica sistemelor…………………………………………………………………………517. Statica firelor……………………………………………………………………………..698. Cinematica punctului material............................................................................................729. Cinematica solidului rigid...................................................................................................8110. Mişcarea plan – paralelă a solidului rigid...........................................................................8911. Cinematica mişcării reletive a punctului material............................................................10312. Cinematica mişcării relative a solidului rigid...................................................................111
Bibliografie.......................................................................................................................118
Cuprins..............................................................................................................................119