MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS - agelet.rmee.upc.eduagelet.rmee.upc.edu/mmc/MMC-problemas-2002.pdf · t e (1 t) t(e 1) e 0 t 0 2 ⇒ ≈ − < ≠ 1.157 e 1 e t t 0 2 2 GENERALIZACIÓN:

Cuestiones y Problemas de

MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS

X. Oliver C. Agelet de Saracibar

Cuestiones y Problemas de

MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS

X. Oliver C. Agelet de Saracibar

X. Oliver y C. Agelet de Saracibar Cuestiones y Problemas de Mecánica de Medios Continuos Compilado por J. Martínez Parejo

Julio 2002

© 2002-2017

1 Descripción del movimiento Cuestiones resueltas

2000-2004 by: X. Oliver & C. Agelet de SaracíbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politècnica de Catalunya)

1

111 DDDeeessscccrrriiipppccc iiióóónnn dddeeelllmmmooovvviiimmmiiieeennntttooo

CUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTAS

CR 1-1 Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Si el campo de velocidades es estacionario, el campo de aceleraciones también lo es.b) Si el campo de velocidades es uniforme, el campo de aceleraciones es siempre nulo.c) Si el campo de velocidades es estacionario y el medio es incompresible el campo de

aceleraciones es siempre nulo. ( )5Tema⇒

Resolución:a) Que el campo de velocidades sea estacionario significa lo siguiente:

)(t

)t,( xv0xv ⇒=∂

∂

La derivada material de la velocidad da la aceleración y por tanto:

)()()t,()t,(t

)t,()t,( xvxvxvxvxvxa ∇∇∇∇∇∇∇∇ ⋅=⋅+∂

∂=

La expresión que queda no depende del tiempo. Así se concluye que la afirmación delenunciado es cierta.

b) Si el campo de velocidades es uniforme implica que no depende de la coordenadaespacial y por tanto:

)t()t,( vxv ⇒Derivando la velocidad queda:

t)t()t,()t,(

t)t,()t,(

∂∂=⋅+

∂∂= vxvxvxvxa ∇∇∇∇

ya que el gradiente de la velocidad es:

[ ] 0x(t)v

)t(i

jij =

∂∂

=v∇∇∇∇

Por lo tanto, la afirmación es falsa ya que t

)t(∂

∂v no tiene porqué ser nulo.

c) Como en el apartado a), la velocidad es del tipo:)()t,( xvxv ⇒



2

Medio incompresible significa, matemáticamente, que la divergencia de la velocidad esnula:

0)( =⋅ xv∇∇∇∇

Pero esto no implica necesariamente que el gradiente de la velocidad también lo sea, esdecir, la aceleración no tiene porqué ser cero:

)()()t,()t,(t

)t,()t,( xvxvxvxvxvxa ∇∇∇∇∇∇∇∇ ⋅=⋅+∂

∂=

Se concluye que la afirmación es falsa.

CR 1-2 Determinar en qué condiciones las siguientes ecuaciones pueden ser las trayectoriasde un medio continuo:

+−=−−+=

−−+=−

tZ)t1(Zez)t1)(ee(ZtYy

)t1)(1e(ZtXx

2

22

2

Resolución:)t,(XF es el tensor Gradiente Material de la Deformación, definido de la siguiente manera:

j

iij X

xF∂∂=

Se debe cumplir:0>F

0t))(1e(tt)t(1et00

t))(1ee(t0)t1)(1e(0t

22

2

22

2

>−+=⇒

−+−−

−−= − FF

>+−−=−+≠

⇒0e1)t(et)(1et

0t222 ⇒

≈−

<

≠

157.11e

et

0t

2

2

GENERALIZACIÓN:Para un caso más general, donde se tenga la Forma Canónica de las Ecuaciones del Movimiento:

−=−+=−+=

⇒= −

t)(1Cez)e(eCtCy

1)(eCtCx)t,C,C,C(

32

2232

231

321xx

se deberá cumplir la misma condición 0>F . Pero ahora las expresiones son diferentes alas anteriores.Tomando como instante inicial un tiempo *t :



3

−=

−+=

−+=

∗

−∗

∗

)1(

)(

)1(

32

2232

231

tCeZ

eeCtCY

eCtCX

y despejando 1,2,3i,Ci ∈ :

−=

−−

−=

−−

−=

∗

−∗∗

−∗∗

)t(1eZC

)]e(1t1

Z[Yt1C

)]e(1t1

Z[Xt1C

23

42

21

Estas ecuaciones están definidas para

≠≠

∗

∗

1t0t

. Sustituyendo en las ecuaciones de las

trayectorias del medio continuo resulta:

−−=

−−

+−−

−=

−−

+−−

−=

∗

−−∗∗∗

−−∗∗∗

Zt1t1z

)e(1*t1

Z)e(1t1

ZttY

tty

)e(1*t1

Z)e(1t1

ZttX

ttx

44

22

De esto se deduce que

≠≠≠

∗

∗

1t0t0t

.

Si ahora se calcula j

iij X

xF

∂∂

= y su determinante, queda la condición:

0t1t1

t

t2

2

>−−= ∗∗

F

O lo que es lo mismo:

1t,1t

1t,1t

0t

0t

>>

<<

≠

≠

∗

∗

∗

CR 1-3 Calcular la aceleración en el instante 2t = y en el punto ( )1,1,1 del siguiente campo

de velocidades : [ ]Ttt 0),ez(ez,x −+−=v .

Resolución:Como se da la expresión espacial de la velocidad y se pide el valor de la aceleración en unpunto T)1,1,1(=∗x del espacio, no hace falta encontrar las Ecuaciones de Movimiento.Únicamente hay que aplicar:



4

)t,()t,(t

)t,(dt

)t,(d)t,( xvxvxvxvxa ∇∇∇∇⋅+∂

∂==

donde:[ ]Ttt 0,)ez(e,0

t−−=

∂∂v

[ ]

+−=+−

∂∂∂∂∂∂

=−

−

0)ee(1000001

0,)ez(e,zx

z

y

x

tt

ttv∇∇∇∇

[ ]T0,0,zx −=⋅ vv ∇∇∇∇

[ ]Ttt 0,)ez(e,zx −−−=⇒ a

[ ]T22 0,ee,0)2t,( −∗ −=== xxa

CR 1-4 Las ecuaciones de un cierto movimiento son:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tttt eZYeZY21z,eZYeZY

21y,Xx −− −−+=−++==

Calcular las aceleraciones que observaría a lo largo del tiempo:

a) Un observador situado en el punto fijo (1,1,1) .b) Un observador que viajara con la partícula que en 0t = ocupaba el punto (1,1,1) .c) Un observador situado en el punto (1,1,1) que midiese las aceleraciones como

diferencia de las velocidades en dicho punto por unidad de tiempo.

Resolución:Primero se calculan las Ecuaciones de Movimiento Inversas:

−=−+=+

⇒

−=−

+=+ −

− t

t

t

t

e)zy(ZYe)zy(ZY

e)ZY(zye)ZY(zy

−−+=

−++==

⇒

−

−

tt

tt

e)zy(21e)zy(

21Z

e)zy(21e)zy(

21Y

xX

y ahora la velocidad:

−++

−−+=∂

∂=

−

−

tt

tt

Z)e(Y21Z)e(Y

21

Z)e(Y21Z)e(Y

21

0

t)t,(),( XxXv t

Utilizando las Ecuaciones de Movimiento Inversas se obtiene la descripción espacial de lavelocidad:



5

=

yz0

)t,(xv ( 1 )

Para calcular la aceleración se procede de la misma manera:

−−+

−++=∂

∂=

−

−

tt

tt

Z)e(Y21Z)e(Y

21

Z)e(Y21Z)e(Y

21

0

t)t,(),( XvXa t ( 2 )

Y con las Ecuaciones de Movimiento Inversas se deduce la descripción espacial de la aceleración:

=

zy0

)t,(xa ( 3 )

a) Se tiene que utilizar la expresión ( 3 ) para ( )T1,1,1 *x = :

[ ]T1,1,0)t,( == ∗xxa

b) Se tiene que utilizar la expresión ( 2 ) para ( )T1,1,1 *X = :

[ ]Ttt e,e,0)t,( == ∗Xxa

c) Se tiene que calcular la derivada local de ( 1 ), y como no depende de t explícitamente,ésta será nula. No dependerá ni de t ni de x:

[ ]T0,0,0t

)t,( =∂

∂ xv

CR 1-5 Dado el campo de velocidades [ ]T0,y,at=v :

a) Determinar las ecuaciones de las líneas de corriente y trayectorias.b) Determinar los posibles valores de los parámetros β y α , para los cuales la función

Cyet)z,y,f(x, αt −= β , donde 0C ≠ es una constante, define una superficie material.

Resolución:

a) Las trayectorias cumplen las siguientes ecuaciones:

3

t2

12

Cz0dtdz

eCyydtdy

Cat21xat

dtdx

=⇒=

=⇒=

+=⇒=

e imponiendo la condición Xx = para 0 t = , se obtiene la Forma Canónica de lasEcuaciones de Movimiento:



6

ZzYey

Xat21x

t

2

==

+=

Las líneas de corriente cumplirán:

3

2

1

Czddz

eCyyddy

Catxatddx

=⇒=

=⇒=

+=⇒=

0λ

λ

λλ

λ

b) t)z,y,f(x, define la superficie material 0t)z,y,f(x,|:t ==Σ x , y por lo tanto deberácumplir:

( )T1αt

αt

t

0,yeα,0f

yetf

t0ftf

dtdf

−β

β

=

β=∂∂

∀Σ∈∀=⋅+∂∂=

∇∇∇∇

∇∇∇∇ xv

αt yeαf β=⋅ ∇∇∇∇v

t0y)eα(yeαyedtdf

tαtαtαt ∀Σ∈∀=+β=+β=⇒ βββ x

⇒Σ∈ tx ⇒=−≡ β 0Cyet)z,y,f(x, αt )αC(y)eα(Cye αtαt +β=+β⇒= ββ

⇒∀=+β⇒∀Σ∈∀=+β β t0)αC(t0y)eα( tαt x

0α =+β

CR 1-6 Dado el siguiente campo de velocidades (descripción espacial) en coordenadascartesianas: ( )[ ]Ttz,y,x ϕ=v , y la superficie:

0Cez)y(xet)z,y,F(x,|:2t2222t

t =−++==Σ −−x

donde 0C ≠ es una constante, determinar ( )tϕ sabiendo que las partículas que estánsobre dicha superficie son siempre las mismas.

Resolución:

F define la superficie material 0t)z,y,F(x,|:t ==Σ x , y por tanto deberá cumplir:

t0F)t,(tF

dtdF

t ∀Σ∈∀=⋅+∂∂= xxv ∇∇∇∇

donde



7

2t2222t e2tz)y(x2etF −− −+−=

∂∂

=

−

−

−

2t

2t

2t

2ze2ye2xe

F∇∇∇∇

( )( ) ( )te2ze2ye2xF·tz,y,xF·2t22t22t2 ϕ++=ϕ= −−−∇∇∇∇∇∇∇∇v

resultando finalmente: t0t)e(t)(2z tt2 2

∀Σ∈∀=−ϕ − x

Por otra parte:⇒Σ∈ tx ⇒=−++≡ −− 0Cez)y(xet)z,y,F(x,

2t2222t [ ] 2t222t2 e)y(xeCz +− +−=

[ ] ⇒∀∀=−ϕ+−=−ϕ⇒ −− tyx,0t)(t)()y(xeC2t)e(t)(2z 222tt2 2

t(t) =ϕ

CR 1-7a) Obtener la divergencia en el punto ( )T0,0,0 del campo vectorial definido en

coordenadas esféricas por rev ˆar= .b) Justificar que, en el caso más general, para cualquier campo vectorial como el de la

Fig.1 ( convergente hacia el punto A ) o el de la Fig.2 (divergente desde el punto A ), elvalor de la divergencia en A es negativo y positivo, respectivamente.

Resolución:a) El campo de velocidades en coordenadas esféricas es el siguiente:

===

φ

θ

0v0varvr

La definición de divergencia en coordenadas esféricas es:

φ∂∂

θ+θ

θ∂∂

θ+

∂∂=⋅ φ

θ

vsen1)senv(

sen1)v(1 2

2 rrr

rr rv∇∇∇∇

En este caso particular queda así:

3ar

3ar)(arrr

12

23

2 ==∂∂=⋅ v∇∇∇∇

Fig.1

A

Fig.2

A



8

Para el caso de la Figura 1 resulta 0a < ya que el vector velocidad tiene diferentesentido que las r crecientes, y por tanto, la divergencia es negativa.

Para el caso de la Figura 2 resulta 0a > ya que el vector velocidad tiene el mismosentido que las r crecientes, y por tanto, la divergencia es positiva.

b) Para demostrarlo, se toma un volumen diferencial que envuelva el punto A y se razonasobre él:

FIGURA 1:Los vectores n y v tienen diferente sentido, ya que n es el vector unitarioexterior del volumen dV y v va hacia dentro. Por tanto su producto seránegativo.

0)(0

)(<⋅⇒

<⋅=⋅

⋅=⋅

∫∫∫

∂

A

VdV

AdV

dSdV

dVdVv

nvv

vv∇∇∇∇

∇∇∇∇

∇∇∇∇∇∇∇∇

FIGURA 2:En este caso, ocurre todo lo contrario, v y n tienen el mismo sentido y, portanto, su producto será positivo.

0)(0

)(>⋅⇒

>⋅=⋅

⋅=⋅

∫∫∫

∂

A

VdV

AdV

dSdV

dVdVv

nvv

vv∇∇∇∇

∇∇∇∇

∇∇∇∇∇∇∇∇

1 Descripción del movimiento Problemas Resueltos


9

PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOS

PR 1-1 Para el siguiente campo de velocidades:

( )·zyx,fv,0v,0v zyx ===Se pide:a) Hallar las trayectorias y las líneas de corriente indicando cómo son.

b) Dada la función ( ) ( ) txfxyzLntz,y,x,g

∂∂−= , determinar el valor de y)f(x, para que

0 t)z,y,g(x, = sea una superficie material.c) Determinar la densidad sabiendo que en 0 t = , ( ).=ρ yx,fd) En el instante 1 t = , y en los puntos de una superficie esférica de centro (0,0,0) y radio

R , se vierte un colorante. Obtener la ecuación de la mancha a lo largo del tiempo.e) Para el caso particular A y)f(x, = , calcular la cantidad de masa por unidad de tiempo

que atraviesa la superficie cilíndrica de la figura cuya directriz tiene longitud “L” y estácontenida en el plano xy . ( )5Tema⇒

Resolución:a) Para hallar las trayectorias se debe integrar la descripción espacial de la velocidad ya que:

( )t,td

d xvx=

Se puede aplicar la igualdad componente a componente, y al particularizarla para esteproblema resulta:

1x Cx(t)0vtd

dx =⇒==

2y Cy(t)0vtdyd

=⇒==

zy)f(x,vtdzd

z ⋅== ⇒ z)C,f(Ctdzd

21 ⋅= ⇒ ∫∫ = dt)C,f(Cz

dz21 ⇒

⇒ ( ) kt)C,f(CzLn 21 +⋅= ⇒ t)C,f(C3

21eCz(t) ⋅=

Para obtener la expresión en forma canónica se impone que: Xx =(0)

Área Sx

y

z

L



10

ZCz(0)YCy(0)XCx(0)

3

2

1

======

La ecuación de las trayectorias es:

( ) t·Y,Xfe·Zz

YyXx

=

==

( 1 )

Para hallar las líneas de corriente, se tendría que integrar el campo de velocidades respectoλ , pero en el problema el campo de velocidades en descripción espacial no depende

explícitamente del tiempo, 0v=

∂∂

t, es decir, el campo de velocidades es estacionario y, por

tanto, las líneas de corriente coinciden con las trayectorias. La ecuación de las líneas decorriente será entonces:

( )λ=

==

21 ,Cf3

2

1

e·XCz

CyCx

C

Las trayectorias (y las líneas de corriente) son verticales ya quesólo varía la componente z , debido a que el campo develocidades es vertical. Como las líneas de corriente son susenvolventes también deben ser verticales.

b) Recordar que ( )t,xφ es superficie material si, y sólo si, su derivada material es nula:

( ) ( ) ( ) 0t,·t

t,t,d=φ+

∂φ∂

=φ xvxx

∇∇∇∇dt

Se tiene la superficie definida por:

0txf

Ln(xyz)t)z,y,g(x, =∂∂

−=

Se calcula su derivada material y se iguala a cero.

xy)f(x,

tg

∂∂−=

∂∂

[ ] )yf(x,xyxyz1zy)f(x,

zgv

zgygxg

vvvg zzyx =⋅=∂∂

=

∂∂∂∂∂∂

=⋅ ∇∇∇∇v

La derivada material resulta:

y

z

x



11

0y)f(x,x

y)f(x,dtdg =+

∂∂−=

Si se toma 0 y)f(x, ≠ :

0y)f(x,x

y)f(x,=+

∂∂

− ⇒ y)f(x,x

y)f(x,=

∂∂ ⇒ 1

xy)f(x,

y)f(x,1 =

∂∂

⋅

( )[ ] 1y)f(x,Lnx

=∂∂ ⇒ ( ) )(yxy)f(x,Ln ϕ+= ⇒

⇒ x(y)x e(y)Ψey)f(x, ⋅== ϕ+

Por tanto, g es material si, y sólo si,

( ) ( ) xe·yyx,f ψ=

Para el caso ( ) 0yx,f = se tiene que ( ) 0xv =t, , es decir, el medio continuo está en reposo y,por tanto, toda superficie es material.

c) La densidad verifica la siguiente ecuación de continuidad:

t),(0

XFρ

=ρ , siendo XxF

∂∂

= .

Expresada en componentes resulta:

j

iij X

xF

∂∂

= .

Teniendo en cuenta las ecuaciones de movimiento ( 1 ), se pueden calcular lascomponentes de F :

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⋅tY)f(X,e**

010001

Zz

Yz

Xz

Zy

Yy

Xy

Zx

Yx

Xx

F

Los valores * no se necesitan y por ello no se explicitan.

El determinante de ( )t,XF es:tY)f(X,et),( =XF

En el enunciado se dice que en 0 t = , ( )yx,f=ρ , es decir, según las expresiones ( 1 ),( )YX,f0 =ρ .

( ) ( )( )tYX,fe

YX,ft =ρ



12

d) Se pide hallar la ecuación de la mancha a lo largo del tiempo, es decir, la descripciónespacial de la superficie material de las partículas que en 1 t = estaban sobre la esfera decentro el origen de coordenadas y de radio R .

En 1t = la mancha es una esfera pero no se sabe las partículas que la constituyen:

0 R - (z*) (y*) (x*) 222 2 =++

Introduciendo las ecuaciones del movimiento ( 1 ) particularizadas en 1 t = ,se averiguala posición inicial de las partículas que forman parte de la esfera en 1 t = . Como es unasuperficie material, éstas formarán la mancha para todos los tiempos (identificación delas partículas):

1·Y)(X, fe Zz*

Y *yXx*

=

==

0ReZYX 2Y)f(X,2222 =−++

que es la expresión material de la superficie material. Se busca la descripción espacial,por lo que se debe sustituir en la expresión anterior las ecuaciones inversas delmovimiento:

t·y)f(x,ezZ

yYxX

−=

==

0Reezyx 2y)f(x,2t·y)f(x,2222 =−⋅⋅++ −

( ) ( ) 0Rezyx 2yx,ft-12222 =−++

e) La cantidad de masa por unidad de tiempo que atraviesa una superficie se define de lasiguiente forma:

∫ ⋅ρ=φSS dSnv ( 2 )

Para este problema y según el apartado c), la densidad tiene la siguiente expresión:

AtA

e=ρ

Se observa que la densidad no depende de los puntos del espacio, sino que únicamentelo hace del tiempo, por lo tanto puede salir fuera de la integral.Y si la superficie encierra un volumen V y aplicamos el Teorema de la Divergencia queda:

∫∫ ⋅ρ=⋅ρ=φVSS dVdS vnv ∇∇∇∇ ( 3 )

Se calcula ahora el flujo de masa a través de cada superficie utilizando la expresión ( 2 ) yluego el flujo total mediante la ( 3 ). Así se despeja el resultado final.

Vamos a denominar a las diferentes superficies de la siguiente manera:

Sup. 1: la contenida en el plano z-y y con 0 x = .Sup. 2: la contenida en un plano paralelo al z-y y con L x = .



13

Sup. 3: la contenida en el plano y -x y con 0 z = .Sup. 4: la superficie irregular que cierra finalmente el volumen V .

Flujo de masa a través de la superficie 1:

0dS0dS)(dS1 11

1 S S1SS =ρ=−⋅ρ=⋅ρ=φ ∫ ∫∫ evnv


0dS0dSdS2 22

2 S S1SS =ρ=⋅ρ=⋅ρ=φ ∫ ∫∫ evnv


0dS0AzdSAAzdSdS)(dS333 33

3 SSS S3SS =ρ−=ρ−=−ρ=−⋅ρ=⋅ρ=φ ∫∫∫ ∫∫ evnv

Flujo de masa a través de todas las superficies:

ALSAVdV)A00(dV)zv

yv

xv(dV

Vz

V

yxVS ρ=ρ=++ρ=

∂∂+

∂∂

+∂∂ρ=⋅∇ρ=φ ∫∫∫ n

Por lo tanto, se puede encontrar 4Sφ de la siguiente manera:

4321 SSSSS φ+φ+φ+φ=φ

3214 SSSSS φ+φ+φ−φ=φ

ALS000ρALS4

ρ=−−−=φS

Y finalmente, el flujo a través de la superficie cilíndrica, formada por las superficies 3 y4, es:

ALS043 SS ρ+=φ+φ

ALSS ρ=φ

_____________________________________________________________________

PR 1-2 La descripción espacial del campo de velocidades de un fluido perfecto es:

( )T

zt v,

t1y,ezt,

+=xv

La descripción material del campo de presiones es ( )t1

eZ21t,

t2

0 +ρ=

−

Xp , siendo ctte0 =ρ .

Se sabe también que la superficie ( ) ( ) 0ket1zxtx, t =++−=ϕ es una superficie material.Se pide:

a) Ecuación de las trayectorias y de las líneas de corriente.b) Las fuerzas de volumen que originan el movimiento. ( )4Tema⇒c) En el punto *x se produce un vertido en el intervalo [ ] t,tt 21∈ . Obtener la ecuación

de la línea de traza y la posición de sus puntos inicial y final.d) Calcular el flujo de masa que atraviesa la superficie de la esfera de centro en (1,1,1) y

radio R . ( )5Tema⇒



14

Resolución:a) En primer lugar, hay que utilizar la información sobre la superficie ϕ para poder

completar el campo de velocidades espacial, ya que el enunciado no da explícitamentela componente zv . Que dicha superficie sea material significa que todas las partículasque la componen son siempre las mismas, y expresado matemáticamente queda:

0tdt

d =ϕ⋅+∂ϕ∂=ϕ ∇∇∇∇v

( )zv

t,0vt)e(1zet))(1ez(et)e1(,0,1

)t)(1ez(et

z

ztttt

t

tt

−=⇒

∀=+−+++−⇒

+−=ϕ

++−=∂ϕ∂

T∇∇∇∇

Por lo tanto:T

t z,t1

y,ze),(

−

+=txv

Ahora ya se puede calcular las trayectorias según la ecuación:

)t),t((dt

)t(d xvx =

de la que resultan 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden:

tZezzdtdz −=⇒−=

ZtXxZeZezedtdx ttt +=⇒=== −

)t1(Yyk)t1ln(ylnt1

dty

dyt1

ydtdy +=⇒++=⇒

+=⇒

+=

Las ecuaciones de las trayectorias son:

tZez

t)Y(1yZtXx

−=

+=+=

( 1 )

Para las líneas de corriente se debe cumplir:

)t,,C,C,C()t),(()(321 λ=⇒λ=

λλ xxxvxdd

donde t es fijo al integrar.

λ3eCzkλzlndλ

zdzz

dλdz −=⇒+−=⇒−=⇒−=

1λt

3tλ

3t CeCxeeCze

dλdx +−=⇒== −−

t1λ

2eCykt1

λlnyt1

dλy

dyt1

ydλdy +=⇒+

+=⇒

+=⇒

+=

Las ecuaciones de las líneas de corriente son:



15

λ3

t1λ

2

1tλ

3

eCz

eCy

CeCx

−

+

−

=

=

+−=

b) En el caso de un fluido perfecto se tiene que su tensor de tensiones es esférico:1p−=σσσσ

Y por lo tanto, sustituyéndolo en la Ecuación de Cauchy nos queda lo siguiente: ab ρ=ρ+− p∇∇∇∇ ( 2 )

Para calcular la aceleración a partiendo de la velocidad únicamente se ha de calcular laderivada material respecto del tiempo. Si se toma la expresión espacial de la velocidad

t),(xv se tiene que:

)t,()t,(t

)t,()t,( xvxvxvxa ∇∇∇∇⋅+∂

∂=

Pero si se trabaja con la expresión material t),(Xv :

dt)t,(d)t,( XvXa =

Se operará con esta segunda expresión utilizando las ecuaciones ( 1 ):

ZeZet),(vzet),(v ttx

tx ==⇒= −Xx

Yt1t)Y(1t),(v

t1yt),(v yy =

++=⇒

+= Xx

tzz Zet),(vzt),(v −−=⇒−= Xx

Derivando se obtiene la aceleración:

[ ]TtZe,0,0dt

),(d)t,( −== tXvXa

e invirtiendo las ecuaciones ( 1 ), se obtiene la expresión espacial:

[ ]Tz,0,0)t,( =xa

La expresión de la presión p viene en el enunciado de forma material, pero con lasinversas de las fórmulas ( 1 ) se puede calcular la expresión espacial. El gradiente secalcula de la siguiente forma:

Tt0

T

t1ze

,0,0z

)t,(,y

)t,(,x

)t,(

+

ρ=

∂∂

∂∂

∂∂= xxx pppp∇∇∇∇

Para calcular la densidad ρ se utiliza la fórmula:

)t,()0,()t,(

XFXx ρ=ρ



16

donde )t,(XF es el Tensor Gradiente de la Deformación

∂∂

=j

iij X

xF y la densidad inicial

0)0,( ρ=ρ X :

t

t

t)e1(e000t10t01

)t,( −

−

+=⇒

+= FXF

t1et

0

+ρ

=ρ ( 3 )

Únicamente falta sustituir estos resultados en la ecuación ( 2 ) y despejar b :

[ ]T2z,0,0)t,( =xb

c) Las partículas que pasan por el punto *x durante el intervalo de tiempo [ ]21 t,t∈τquedarían manchadas por el vertido si éste fuese un colorante (es una manera devisualizar el problema). Para detectar estas partículas (línea de traza) basta imponer:

=τ+

=

τ−=τ−=

⇒

==

τ+=

τ+=

τ∗

∗

τ∗∗∗

τ−∗τ−∗

∗

∗

ezZ1yY

ezxZxX

ZezZez

)1Y(y

ZXx

( 4 )

Sustituyendo estas partículas ZY,X, ( 4 ) en las ecuaciones ( 1 ), se obtiene ladescripción del movimiento de la línea de traza:

tt

τ

ezZez1

t1yt)Y(1y

)t(ezxtezezxZtXx

−τ∗−

∗

τ∗∗τ∗∗∗

==τ+

+=+=

−τ−=+τ−=+=

Para cada instante t , se puede visualizar la línea de traza según el parámetro τ , que dala situación espacial de las partículas tintadas.Se puede comprobar que para τ= t se debe cumplir:

=

=

=

∗

∗

∗

zz

yy

xx

ya que lo que indica es que la línea de traza está pasando por el punto de vertido.Ahora hay que delimitar esta línea para cada tiempo t :

En este caso, el primer punto que se tinta es el que pasa por el punto de vertido para1t=τ , mientras que el último estará pasando, en el instante t=τ , por el punto de

vertido.



17

Un extremo es ⇒=τ t *xx =

El otro extremo es ⇒=τ 1t

tt1

1t

1

1

ezz

t1t1yy

t)(tezxx

−∗

∗

∗∗

=

++=

−−=

Para 2tt > los extremos son los correspondientes a:

=++=

−−=

⇒=τ

−∗

∗

∗∗

tt1

1t

1

1

1

ezzt1t1yy

t)(tezxx

t

=++=

−−=

⇒=τ

−∗

∗

∗∗

tt2

2t

2

2

2

ezzt1t1yy

t)(tezxx

t

d) El flujo de masa Φ que atraviesa cualquier superficie Ω∂ se define de la siguientemanera:

∫∂⋅ρ=Φ

SdS)( nv

Y si se trata de una superficie cerrada que encierra un volumen Ω , se puede aplicar elTeorema de la Divergencia:

∫Ωρ⋅=Φ dV)( v∇∇∇∇

21 ttt <<

línea de traza

x

y

z

t=τ

( )*** zyx ,, punto de vertido1t=τ

x

y

z

( )*** zyx ,, punto de vertido2tt >

línea de traza2t=τ

1t=τ



18

Por otra parte, según la Ecuación de Continuidad (local, espacial):

t)(0)(

t ∂ρ∂−=ρ⋅⇒=ρ⋅+

∂ρ∂ vv ∇∇∇∇∇∇∇∇

y como se ha obtenido la expresión de la densidad en ( 3 ), se puede calcular suderivada local:

2

t0

t)1(te

t +ρ

=∂ρ∂

Hay que darse cuenta que dicha derivada es constante en el espacio. Así, únicamentehay que sustituir:

⇒∂ρ∂−=

∂ρ∂−=Φ ∫Ω

VdVtt

32

t0 R

34

t)1(te

π+

ρ−=Φ

1 Descripción del movimiento Cuestiones Propuestas


19

CUESTIONES PROPUESTASCP 1-1 Definir descripción material y espacial de un movimiento.

CP 1-2 Enunciar e interpretar físicamente las condiciones que debe verificar la formacanónica de la ecuación de movimiento: x X= Φ( , )t

CP 1-3 Definir y escribir las ecuaciones de:

a) Línea de corriente.b) Trayectoria.c) Línea de traza.

CP 1-4 Razonar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Dos líneas de corriente, correspondientes a un mismo instante de tiempo, no puedencortarse nunca, salvo que la velocidad en el punto de corte sea nula.

b) Dos trayectorias distintas no pueden cortarse nunca.c) Dos líneas de traza, correspondientes a dos puntos de vertido con el mismo periodo de

vertido, pueden cortarse en uno o más puntos.

CP 1-5 Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) En régimen estacionario, las trayectorias y líneas de corriente coinciden.b) Si un cierto flujo tiene como trayectorias y líneas de corriente rectas paralelas al eje x,

dicho flujo es estacionario.

CP 1-6 Dado el siguiente campo de velocidades (descripción material):[ ]T

311At CX,BtX,XAe=v

con A , B y C constantes, obtener su descripción espacial y las condiciones que debencumplir A , B , C para que el movimiento sea factible para ∞<< t0 .

CP 1-7 Dadas las ecuaciones del movimiento:ZtYz,tZYy,tZtYXx 22 +=+=++=

a) Justificar cual es el intervalo de tiempo para el que describen un movimientofísicamente posible.

b) Obtener la evolución de la densidad a lo largo del tiempo.

CP 1-8 Dadas las ecuaciones de movimiento tZez,Yy,Xx === y la distribución dedensidades en el instante de referencia ( ) aZZY,X,0 =ρ , obtener la variación de la densidadpor unidad de tiempo observada por:



20

a) Un observador situado en el punto del espacio (1,1,1) que midiera la densidad de laspartículas que van pasando por dicho punto.

b) Un observador que viajara con una partícula que en el instante 1t = ocupaba laposición (1,1,1) , midiendo su densidad.

CP 1-9 Dado el campo de velocidades de un medio continuo (descripción material) :

0v,eYv,(t)Xtd(t)d

Xv Zt

YX ==ϕ′=ϕ

=

obtener la expresión más general de la función )t(ϕ sabiendo que el movimiento esestacionario (la configuración de referencia se considera en 0t = ).

CP 1-10 Justificar si es cierta o falsa la siguiente afirmación: “Las trayectorias y líneas decorriente asociadas al campo de velocidades 3,2,1i,eX)t,(v t

ii ∈=X coinciden.”

CP 1-11 Calcular las trayectorias y líneas de corriente asociadas al campo de velocidades:

32,1,i,t)(1

xv i

i ∈+

= y comprobar si coinciden o no. Razonar el resultado.

CP 1-12 En un fluido, con el siguiente campo de velocidades:[ ]T2t2 0y,,ey −=v

se vierte un colorante desde el instante 1 t = hasta el instante 2 t = en el punto (1,1,1) .Obtener la ecuación de la línea de traza en el instante 5 t = y las coordenadas de suspuntos inicial y final.

CP 1-13 En el punto (1,1,1) del interior de un fluido, se vierte un colorante desde el instante 1 t = hasta el instante 2 t = . Si la ecuación de las líneas de corriente es :

t23

tλ2

tλ1 eCz,eCy,eCx λ===

determinar la ecuación de la línea de traza, indicando los puntos inicial y final de la mismapara 5 t = .

CP 1-14 La descripción espacial del campo de velocidades de un fluido es:[ ]Ttt 0,ze,ye−=v

En el instante 1 t = se vierte un colorante en el plano 0 y = . Obtener la ecuación espacialde la mancha a lo largo del tiempo.

CP 1-15 Un movimiento viene definido por el campo de velocidades: T

t1z,

t1y,

t1x

+++=v

Razonar si la superficie 0zyxt3|:t =++=Σ x es material.



21

CP 1-16 Dado el campo de velocidades: T

2tz,

2ty,

2tx

=v , demostrar que cualquiera

de las superficies tRzyx|: 2222t =++=Σ x , donde R es una constante, es una

superficie material.

CP 1-17 Dado el campo de velocidades: T

2tz,

2ty,

2tx

=v , y sabiendo que la superficie

βtαzyx|: 222t +=++=Σ x es material, encontrar todos los posible valores de α y β .

CP 1-18 Dado el campo de velocidades: ( )[ ]Tz,y,txϕ=v , y la superficie definida por lafunción )z(yeext)z,y,F(x, 222tt2 2

++≡ −− , determinar t)(ϕ sabiendo que las partículasque están sobre dicha superficie son siempre las mismas. Obtener las trayectorias y líneasde corriente justificando si coinciden o no.

CP 1-19 Sea un movimiento definido por la siguiente ecuación de sus líneas de corriente:

3λ

2tλ

21 Cz,eCy,f(t)eCCx ==+= +

y sea la superficie material tt ytexz|: −−==Σ x . Obtener la ecuación de las trayectoriasen forma canónica del movimiento así definido

1 Descripción del movimiento Problemas Propuestos


23

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

PP 1-1 Para el movimiento definido por el campo de velocidades:0v;yv;yev zy

tx === −

Se pide:

a) Hallar las trayectorias en forma canónica y las líneas de corriente.b) Obtener la expresión de la densidad sabiendo que su valor en el instante 0 t = es 0ρ .c) Calcular la cantidad de masa que por unidad de tiempo atraviesa la superficie cilíndrica

S de la figura. ( )5Tema⇒d) Obtener la ecuación espacial de la superficie material que, en el instante 1 t = , era una

esfera de centro (0,0,0) y de radio R .e) Calcular el volumen encerrado por dicha superficie material en el instante 2 t = .

( )2Tema⇒

PP 1-2 Para el movimiento definido por el campo de velocidades:

ctzv;byv;2axv zyx +

−=−==

Se pide:

a) Hallar la ecuaciones de las trayectorias en forma canónica y la ecuación de las líneas decorriente.

b) Determinar los posibles valores de a , b y c para que el movimiento tenga sentidofísico para ),0[t ∞∈ . (Para el resto del problema considerar 1 c b a === )

c) Obtener la expresión de la densidad sabiendo que su valor en el instante de referencia0) (t = es ctte0 =ρ .

d) Calcular el flujo de masa que atraviesa la superficie cilíndrica S de la figura. ( )5Tema⇒e) Obtener la descripción espacial de la superficie material que en el instante 1 t = era una

esfera de radio R y centro en (0,0,0) .f) Calcular el volumen encerrado por dicha superficie en el instante 2 t = . ( )2Tema⇒

a

S

x

y

a a

h

x

y

z

S

1 Descripción del movimiento Problemas Propuestos


24

PP 1-3 Un medio continuo tiene el siguiente campo de velocidades, en descripciónespacial:

[ ]Tt-22 z,0,ez=vSe pide:

a) La ecuación en forma canónica de las trayectorias y líneas de corriente, tomando comoinstante de referencia 0 t = .

b) La ecuación espacial a lo largo del tiempo de una superficie material que en el instante1t = es una superficie esférica de centro en (0,0,0) y radio R . Obtener el volumen

encerrado por dicha superficie en el instante 0t = . ( )2Tema⇒c) La longitud, en el instante 2 t = , de un segmento que en el instante 1 t = es recto y une

los puntos (0,0,0) y (0,0,1) . ( )2Tema⇒d) Suponiendo que se admite una ecuación constitutiva elástica-lineal entre las tensiones

de Cauchy y las deformaciones de Green-Lagrange respecto a la configuración 0 t = ,obtener la expresión de las fuerzas de volumen necesarias para mantener elmovimiento. ( )4Tema⇒

NOTA:( )

cttes,222

222

µλµ+δλ=σ

++++=+∫ijllijij EE

xaxLnaxaxdxxa

A

y

x

h

A

S

x

y

z

2 Descripción de la deformación Cuestiones Resueltas


25

222 DDDeeessscccrrriiipppccc iiióóónnn dddeee lllaaadddeeefffooorrrmmmaaaccciiióóónnn


CR 2-1 Se tiene el siguiente tensor espacial de deformación para el movimiento de unmedio continuo:

( )

−−

−=

)et(2e0te000te00

t,ttztz

tz

xe

Calcular la longitud, en el instante 0 t = del segmento que en el instante 2 t = es rectilíneo yune los puntos a(0,0,0) y b(1,1,1) .

Resolución:Se dan las condiciones existentes en 2 t = y el Tensor Espacial de Deformación y esto permitiráretroceder en el tiempo y calcular las condiciones iniciales para 0 t = .

En la deformación de un segmento se define el estiramiento en la dirección t como:

dSds

211 =

⋅⋅−=λ

tet

En este caso el vector unitario t vale:

( )T1113

1=t

Operando resulta lo siguiente:

Xx ≡

Yy ≡

Zz ≡

0t =

A

B

dS

x

y

z

2t =

a

b

ds

t



26

[ ] t

ttztz

tz

te31

31

111

)et(2e0te000te00

1113

1 −=

⋅

−−

−⋅=⋅⋅ tet

22t

t e341

1

te321

1

+=λ⇒

+=λ =

3111λ

=λ

=λ

== ∫∫∫b

a

b

a

B

AAB dsdsdSl

2AB e43 +=l

CR 2-2 En un cierto instante el movimiento de un medio continuo viene definido por:

2133322311 AXAXXx,AXXx,AXXx +−=−=+=

Hallar el tensor material de deformación. Demostrar que si A es pequeño, el movimientopuede entenderse como una rotación de sólido rígido y calcular el vector de rotación.

Resolución:El Tensor Material de Deformación (E ) se relaciona con el Tensor Gradiente de la Deformación (F )según la expresión:

)(21 T 1−⋅= FFE

por lo tanto, se debe encontrar el valor de F :

−−=

∂∂

=1AAA10

A01

Xx

j

iF

++−−+

=

−

−=

2

22

22

TT

2A1000A1A0AA1

;1AAA10A01

FFF

El tensor E resulta finalmente:

−

−=

200011011

A21 2E

Según la teoría general, se define el Tensor Gradiente Material de Desplazamientos como:

=−=

0AAA-00

A001FJ



27

En el caso de A pequeño se cumplen las condiciones de deformaciones infinitesimales,por lo tanto, el Tensor Infinitesimal de Rotación valdrá:

−−=−=

0AAA00

A00)(

21 TJJΩΩΩΩ

y el Vector Infinitesimal de Rotación:

=

Ω−Ω−Ω−

=0AA

12

31

23

θθθθ

El movimiento de las partículas puede definirse como:

XFx dd ⋅=donde

ΩΩΩΩεεεε ++=1F

y además, en pequeñas deformaciones se cumple que:

=+==

000000000

)(21 T JJE εεεε

Esto indica que no existen deformaciones, por lo tanto habrá un giro infinitesimal de sólidorígido:

( ) Xx ·dd ΩΩΩΩ+= 1

CR 2-3 En un cierto instante, el campo de desplazamientos de un medio continuo es:

( ) ( ) ( )Z1au;XαaY1au;X1au 3Z12Y1X −=+−=−= .

Determinar 1a , 2a y 3a sabiendo que el sólido es incompresible, que un segmento paraleloal eje Z no se alarga y que el área de un elemento situado en el plano XZ no se hamodificado.

Resolución:A partir del campo de desplazamientos se pueden encontrar las ecuaciones del movimientosegún:

=+=

+=+==+=

ZauZz

XαaYauYyXauXx

3Z

12Y

1X

Obtenidas éstas, se calcula el Tensor Gradiente de la Deformación y su determinante:

321

3

21

1

aaaa000aαa00a

=⇒

= FF



28

Que el sólido sea incompresible implica que no se modifica su volumen, y por lo tanto:

1aaadVdV 3210 ==⇒= FF

Que un segmento paralelo al eje Z no se alargue conlleva que:

1E2121 =+=⋅⋅+=λ⇒λ= zzzzdSds TET

donde el Tensor Material de Deformación vale:

−−

−+=−⋅=

1a0001aαaa0αaa1)α(1a

21)(

21

23

2221

212

1T 1FFE

así se concluye lo siguiente:

−==

⇒=⇒=+1a

1a0E12E1

3

3zzzz

Por último se estudia la condición de que el área de un elemento situado en el plano XZ nose ha modificado.

Si se define un área en el plano XZ según los vectores 1dX y 2dX y les aplicamos ladeformación correspondiente :

2

3

2222

11

1

1111

dSa00

dddS100

d

dS0αa

adddS

001

d

=⋅=⇒

=

=⋅=⇒

=

XFxX

XFxX

El área resultante será:

2131

31

3

1121 dSdS0

aaαaa

a000αaadd

−=

=×

kjixx

Al igualar las áreas inicial y final resulta:

212

312

31

21

dSdS)aa(α)a(afinal Área

dSdSinicial Área

−+=

=

1aaaa1)aa()aa( 23

21

223

21

231

231 =+α⇒=+α⇒

Si se tiene en cuenta que 1a 23 = queda lo siguiente:

⇒=α+ 1)1(a 221

α+

−α+=

2

2

1

11

11

a

Finalmente se obtienen las posibles soluciones:



29

1a,α1a,α1

1a:4Solución

1a,α1a,α1

1a:3Solución

1a,α1a,α1

1a:2Solución

1a,α1a,α1

1a:1Solución

32

221

32

221

32

221

32

221

−=+=+

−=

=+−=+

−=

−=+−=+

=

=+=+

=

CR 2-4 Para la deformación definida por:

mXZz,Yy,mZXx −==+=

donde m es una constante, hallar el volumen de la deformada de una esfera de centro A(0,0,0) y radio R .

Resolución:En primer lugar, se debe calcular el Tensor Gradiente de la Deformación y su determinante:

2

j

i m110m010m01

Xx

+=⇒

−=

∂∂

= FF

Teniendo en cuenta que F no depende del espacio, la relación existente entre volumeninicial y final queda de la siguiente manera:

⇒=⇒=⇒= ∫∫ 000 VVdVdVdVdV FFF

32 πR34)m(1V +=

CR 2-5 En un medio continuo se produce una deformación con las siguientesconsecuencias sobre el triángulo de la figura:

a) El segmento OA pasa a medir p) (1+ veces su longitud inicial.b) El ángulo AOB disminuye en q radianes su valor inicial.c) El área pasa a ser ( )r1 + veces la inicial.d) 1sr,q,p, <<

Sabiendo que la deformación es uniforme, que el eje z es una dirección principal del tensorgradiente de la deformación, que éste es simétrico y que el estiramiento en dicha direcciónes s1z +=λ , obtener el tensor de pequeñas deformaciones.

O A

B

x

y



30

Resolución:Como la deformación es uniforme entonces el Tensor Gradiente de la Deformación (F ) nodependerá de las variables espaciales. Consecuentemente, el Tensor de Deformación (E ) y losestiramientos ( λ ) tampoco.

Recordar que se está bajo condiciones de deformaciones infinitesimales.

Se tendrá que relacionar la longitud inicial y final de un segmento paralelo al eje x :

p1λOAp)(1OA

OAλdXλdXOAx

inicialfinal

inicialx

A

Ox

A

O xfinal+=⇒

+=

=== ∫∫ λ

pp11 xxxxx =ε⇒+=ε+=λ

Aquí relacionaremos un ángulo recto ( entre los ejes x e y ) inicial con el que queda despuésde la deformación:

2qq2∆Φ

∆Φ2

final Ángulo

2inicial Ángulo

xyxyxyxy

xy

=ε⇒−=ε−=γ−=⇒

+π=

π=

F es simétrico y el eje z es dirección principal:

⇒=∂

∂=

∂∂

⇒=∂

∂=

∂∂

⇒

∂∂

+∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

+∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂+

=+=

=

(z)u0y

ux

u

y)(x,uy)(x,u

0z

uz

u

zu

1y

ux

uz

uy

u1

xu

zu

yu

xu

1

F000FF0FF

zzz

y

xyx

zzz

yyy

xxx

33

2212

1211

JF 1

00x

uz

u21

xzzx

xz =ε⇒=

∂∂

+∂

∂=ε

00x

uz

u21

xzzx

xz =ε⇒=

∂∂

+∂

∂=ε

ss1λ

1λz

uzz

z

zz

zz =ε⇒

+=

−=∂

∂=ε

Además, según la expresión:ΩΩΩΩεεεε ++=1F

donde 033 =Ω ya que es un tensor antisimétrico, por lo tanto, se puede obtener zzF :

s1F1F zzzzzz +=⇒ε+=

La relación existente entre las áreas es:1

0dd −⋅= FAFA

Para calcular la inversa de F , se utiliza la siguiente notación:

+=

s1000BB0BB

2212

1211

F



31

donde se calcula la inversa de B y así se obtiene la inversa de F :

=−

2212

12111

CCCC

B

+

=−

s11000CC0CC

2212

12111F

Si definimos el vector área:

+

=⋅⇒

= −

0

10

0

0

dAs1

100

ddA

00

d FAA

y teniendo en cuenta que:( ) 1tr += εεεεF

Despreciando los términos de segundo orden resulta:

( ) prdA

s11sp1dA

r)dA(1dAyy

0yy

0−=ε⇒

+ε+++=

+=

Y finalmente, teniendo en cuenta que el Tensor de Deformación es simétrico:

−=

s00

0pr2q

02qp

εεεε

CR 2-6 Una barra (considerada como un sólido de una dimensión) sufre un estiramientouniforme en todos sus puntos dado por ate=λ ( )ctte a = . Obtener el tensor velocidad dedeformación y las ecuaciones del movimiento.

Resolución:Como la barra únicamente sufre un estiramiento en la dirección x se puede plantear lasiguiente ecuación:

CXexdXedxedXdx

dSds atatat +=⇒=⇒===λ

Para hallar la Forma Canónica de las Ecuaciones de Movimiento imponemos Xx = en 0t = yqueda:

x

λ=eat



32

===

ZzYy

Xex at

para encontrar la velocidad únicamente se tiene que derivar:

=

=

===

0v

0v

axaXedtdxv

z

y

atx

El Tensor Velocidad de Deformación: se obtiene de la siguiente forma:

( ) ⇒

∂∂

+∂∂

=i

j

j

iij x

vxv

21d

=

00000000a

d

CR 2-7 Demostrar que para todo proceso de deformación en el que los desplazamientosevolucionan linealmente con el tiempo ( ) ( )( )t·t, XfXu == , el tensor de deformacionesinfinitesimales εεεε puede obtenerse mediante la linealización en 0 t = del tensor material dedeformaciones, de la forma ( ) ( ) t0,t, ⋅== XEX &εεεε .( Utilizar la expresión FdFE ⋅⋅= T& )

Resolución:Para el tiempo 0 t = se cumple que el Tensor Gradiente de la Deformación se convierte en laidentidad ( )1=F , y teniendo en cuenta la expresión del enunciado, queda:

( )( ) ( )( )0,0,0,0, xXDxXE =&

donde D es el Tensor Velocidad de Deformación. Para el instante 0 t = , se tiene además queXx = y entonces:

ijε=⇒=

ε=

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

&ij

iji

j

j

i

i

j

j

iij

d 0 tparadtd

xu

xu

21

dtd

xv

xv

21)0,(d x

por lo tanto, resulta:)0,()0,( XXE εεεε&& =

Por otra parte, teniendo en cuenta la expresión de los desplazamientos u :

tXf

Xf

21

Xu

Xu

21

i

j

j

i

i

j

j

iij

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=ε



33

y definiendo un tensor A como

∂∂

+∂∂

=i

j

j

iij X

fXf

21A , queda una expresión lineal en t :

tA=⇒ ε εεε

que al desarrollar resulta:

⇒

=

=+=

)0,()0,()0,(

t)0,()0,()t,(

XEX0XXXX

&&

&

εεεε

εεεεεεεεεεεεεεεε

t)0,(),( XEX &=tεεεε

2 Descripción de la deformación Problemas Resueltos


35


PR 2-1 Sobre el tetraedro de la figura se produce una deformación uniforme ( ) ctte=F conlas siguientes consecuencias:

1. Los puntos O , A y B no se mueven.2. El volumen del sólido pasa a ser p"" veces el inicial.3. La longitud del segmento AC pasa a ser 2/p veces la inicial.4. El ángulo AOC pasa a ser de 45º .

Se pide:

a) Justificar por qué no puede utilizarse la teoría de la deformación infinitesimal.b) Obtener el tensor gradiente de la deformación, los posibles valores de p"" y el campo

de desplazamientos en sus formas material y espacial.c) Dibujar el sólido deformado.

Resolución:a) El ángulo AOC pasa de º90 a º45 por lo que, evidentemente, no se trata de una

pequeña deformación. Además en pequeñas deformaciones se cumple que 1<<Φ∆ , yen este problema 0,7854≈4/π=Φ∆ .

Observación: las deformaciones no tienen dimensiones; en ingeniería se acostumbra aconsiderar como pequeñas deformaciones cuando son del orden de -4-3 10 - 10 .

b) Impondremos una por una las condiciones del enunciado

1. Partiendo de que ctte)t,( =XF y sabiendo que XFx dd ⋅= , se puede integrar esta últimaexpresión y se obtiene:

CXFXFXFxx +⋅==== ∫∫∫ ddd

=

=

3

2

1

333231

232221

131211

CCC

,FFFFFFFFF

CF

O

C

B

A

x

y

z

aa

a



36

con lo que resultan 12 incógnitas.

Se imponen ahora las condiciones del enunciado:

El punto O no se mueve:

=⇒+

⋅=

000

000

000

CCF

El punto A no se mueve:

⇒

⋅⋅⋅

=

⋅=

31

21

11

FaFaFa

00a

00a

F0F0F1F

31

21

11

===

El punto B no se mueve:

⇒

⋅⋅⋅

=

⋅=

32

22

12

FaFaFa

0a0

0a0

F0F1F0F

32

22

12

===

Agrupando toda la información resulta:

=

33

23

13

F00F10F01

F

2. inicialfinal p·V V =

La igualdad 0f dVdV F= permite relacionar localmente volúmenes diferenciales endiferentes instantes de tiempo. En este caso F es constante para cada t fijado, por loque se puede integrar la expresión y sacar el determinante de F fuera de la integral:

0V

0V

0V

ff VdVdVdVV00

⋅==== ∫∫∫ FFF

Por lo que se debe de imponerpF33 ==F

3. inicialAC,finalAC, 2p ll =

Como F es constante la transformación es lineal, es decir, transforma rectas en rectas,por lo que AC en la configuración deformada también será un segmento rectilíneo.Así:

=

=⋅=

apaFaF

a00

p00F10F01

23

13

23

13

CC XFx

( ) =−=−== ′′ ap,aF1),a(F(a,0,0)ap),aF,(aF 23132313CAfinalAC, ll

( ) apa22

pl2

ppF1)(Fa(ap))(aF1)a(F AC22

232

1322

232

13 ⋅===++−=++−=

Por lo tanto:⇒=+−→=++− 0F1)(FppF1)(F 2

232

1322

232

13



37

0F;1F 2313 ==Se tiene ahora:

=

p00010101

F

por lo que falta encontrar el valor de p .

4. 4/45ºAOCfinal π==

=

=⋅=⇒=

=

=⋅=⇒=

p01

100

p00010101

dd)1,0,0(d

001

001

p00010101

dd)0,0,1(d

)2()2()2(

)1()1()1(

XFxX

XFxX

Seguidamente se imponemos que:

22

ddddº45cos)AOC(cos )2()1(

)2()1(

final =⋅⋅==xxxx

1dd,p1d,1d )2()1(2)2()1( =⋅+== xxxxPor lo tanto:

1p2

122

p1

12

±=→==+

.

Pero 0p >=F , y por tanto 1p = .

El Tensor Gradiente de la Deformación es, por tanto:

=

10001-0101

F

Las ecuaciones del movimiento son XFx ⋅=

+=

=

ZY

ZX

ZYX

zyx

100010101

El campo de desplazamientos en descripción material es:

( )

=−=

00Z

t, XxXU

Y en descripción espacial es:

( )

=

00z

t,xu



38

c) Representación gráfica del tetraedro deformado:

PR 2-2 El sólido de la figura sufre una deformación uniforme.

Se pide:

a) Obtener la expresión general de la descripción material del campo de desplazamientos t),(XU en función del tensor gradiente material de los desplazamientos J .

b) Obtener dicha expresión sabiendo que, además, se cumplen las siguientes condicionesde contorno:

δ=∀=∀==

=

=

LXX

0XX

ZY

UZY,,0U

ZY,X,,0UU

c) Justificar los valores posibles (positivos y negativos) que puede tomarδ .d) Calcular los tensores material y espacial de deformaciones y el de deformaciones

infinitesimales.e) Dibujar los gráficos

LLLδ−εδ−δ− xxxXX ;e;E para todos los posibles valores de δ

acotando los valores significativos.

O

C

B=B'

A=A'

x

y

z

aa

aC'

z

x

yL

O

δ



39

Resolución:a) Una deformación uniforme implica: XFXF ,t,)t(=t),( ∀

Se quiere obtener la expresión general de la descripción material del campo dedesplazamientos ( )t,XU en función del tensor Gradiente Material de los DesplazamientosJ . Por definición se tiene que: JF +=1

Por lo tanto, si F es constante según la posición, J también lo será. Teniendo encuenta la definición de J e integrando su expresión quedará lo siguiente:

CXJUXJU

XJUXJUXXUJ

+⋅=⇒=⇒

⇒=⇒=⇒∂

∂=

∫∫∫∫

dd

dddd)t,(

donde C es una constante de integración. Por lo tanto resulta:

CXJU(X) +⋅=

b) Partiendo del resultado anterior y aplicando las condiciones de contorno del problema,se obtendrá el valor de J y C .

Condiciones de contorno:

ZY,X,,0UU ZY ∀== ⇒ Los puntos únicamente se desplazan en la dirección X.ZY,,0U 0XX ∀== ⇒ El plano YZ en el origen es fijo.ZY,,U LXX ∀δ== ⇒ Este plano se mueve en la dirección X uniformemente.

Escribiendo en componentes el resultado del apartado a), se verán mejor lasecuaciones y las conclusiones a las que se puede llegar:

3333231Z

2232221Y

1131211X

CZJYJXJUCZJYJXJUCZJYJXJU

+++=+++=+++=

De la condición de contorno 1:0CJJJZY,X, ,0 U 2232221Y ====⇒∀=0CJJJZY,X, ,0 U 3333231Z ====⇒∀=

De la condición de contorno 2:0CJJZY,,0U 113120XX ===⇒∀==

De la condición de contorno 3:

LJLJYU 1111LXX

δ=⇒δ=⇒Ζ,∀,δ==

Finalmente queda:



40

⇒

=

=000

;

000

000

00Lδ

CJ

δ

=+⋅=00

XL

)( CXJXU

c) Para justificar los posibles valores positivos y negativos que puede tomar δ lacondición a imponer es la siguiente:

0>F

Por lo tanto, se debe calcular el determinante de F :

⇒>δ+=⇒

δ+

=+= 0L

1

100

010

00L

1

FJF 1

L−>δ

d) Para calcular los tensores espacial y material de las deformaciones, así como el tensorde deformaciones infinitesimales, se parte de sus respectivas definiciones:

)( :malesinfinitesi nesdeformacio deTensor

)(21 :nesdeformacio de materialTensor

)(21 :nesdeformacio de espacialTensor

T

T

1T

JJ

FFE

FFe

+

−⋅=

⋅−= −−

22221111====εεεε

1

1

Aplicando estas definiciones y con los valores de F y J encontrados en el apartado b)y c), se obtienen las expresiones correspondientes:

δ

δ+δ

=

δ+

δ+δ

=

000

000

00L

;

000

000

00L2

1L

;

000

000

00L

1L2

1L 2

22

2

2 /====εεεεEe



41

XXE

xε

xxe

21

1−=δL

Lδ

21−

ε,eE,

e) Gráficos L

;L

e;L

E xxXXδ−εδ−δ− x :

XXE es una parábola de 2º grado que pasa por el origen, con un mínimo en:2/1E1L/ XX −=⇒−=δ

xε es la recta identidad (pendiente 45º y pasa por el origen).

xxe tiene dos asíntotas, una vertical en 1L/ −=δ y una horizontal en 2/1e =xx .

Se concluye, por tanto, que para deformaciones L/δ pequeñas las tres funcionestienen un comportamiento muy similar y tienen la misma pendiente en el origen. Esdecir, se obtendría el mismo resultado con cualquiera de las definiciones de tensor dedeformaciones.Sin embargo, fuera de este dominio (grandes deformaciones) se ve que las tres curvasson claramente diferentes.

2 Descripción de la deformación Cuestiones Propuestas


43

CUESTIONES PROPUESTASCP 2-1 Justificar la siguiente afirmación: “ Sólo son físicamente posibles los movimientosde medios continuos en los que el determinante del tensor gradiente de la deformación espositivo.”

CP 2-2 A partir de la definición de los tensores material y espacial de deformación deducir,justificando todos los pasos, las expresiones que relacionan los alargamientos unitarios condichos tensores.

CP 2-3 Definir estiramiento en un punto según una dirección y deducir su expresiónmatemática en función de:

a) El tensor material de deformación.b) El tensor espacial de deformación.c) Verificar que, para el caso de pequeñas deformaciones, ambas expresiones coinciden.

CP 2-4 Deducir en función del tensor espacial de deformaciones la expresión del ánguloque forman en la configuración material dos segmentos diferenciales que en laconfiguración espacial están orientados según dos ejes coordenados cartesianosdeformación finita).

CP 2-5 Demostrar la igualdad: 0dV)(dedV Ft= .

CP 2-6 Interpretar físicamente el significado de las componentes del tensor dedeformaciones material mediante el análisis de la deformación de un paralelepípedoelemental. Particularizarlo al caso de pequeñas deformaciones.

CP 2-7 Escribir la expresión de la descomposición polar del tensor gradiente de ladeformación para el caso de deformación finita y de deformaciones infinitesimales,indicando el significado de cada término e interpretándolo de forma gráfica.

CP 2-8 A partir de la descomposición polar en pequeñas deformaciones, justificar elmovimiento alrededor de una partícula como una deformación más una rotación.

CP 2-9 Deducir la expresión de la deformación volumétrica para los casos de deformaciónfinita y deformación infinitesimal.

CP 2-10 Deducir las expresiones de la derivada material de tensor gradiente de ladeformación y del tensor material de deformación.



44

CP 2-11 Justificar en qué condiciones el tensor “velocidad de deformación” coincide con latasa de variación (derivada material) del tensor material de deformación.

CP 2-12 Para el campo de velocidades [ ]Txby,ax, −=v se pide:

a) Obtener las ecuaciones del movimiento en forma canónica tomando como configuración dereferencia la correspondiente a 1 t = .

b) Las ecuaciones de las líneas de corriente.c) La evolución de la densidad a lo largo del tiempo en función de su valor en el instante de

referencia.

CP 2-13 Una deformación viene dada por las ecuaciones:XZz,2ZYy,4ZXx −=−=+=

Hallar los tensores espacial y material de deformación.

CP 2-14 Para los siguientes campos de velocidad:T

t13z,

t12y,

t1x

+++=1v

T

t13Z,

t12Y,

t1X

+++=2v

Se pide:a) Obtener la descripción material de 1v y la descripción espacial de 2v (configuración de

referencia 0 t = ).b) La distribución de densidades en ambos casos (densidad inicial 0ρ ).c) Para el campo de velocidades 1v , obtener las descripciones material y espacial del

campo de desplazamientos, así como de los tensores de deformación material (Green -Lagrange) y espacial (Almansi).

d) Repetir c) para configuraciones muy próximas a las de referencia ( )0t → .e) Demostrar que en este caso los dos tensores de deformación coinciden

CP 2-15 Mediante tres extensómetros se miden los alargamientos unitarios en un punto Pde una pieza sometida a tensión plana en tres direcciones, formando ángulos de º60 (verfigura). Sean dichos alargamientos a , b y c . Determinar el tensor de deformaciones en elpunto P .

3

ε = b ε = c

ε = a

y2

x1

60º60º

P



45

CP 2-16 Sean las ecuaciones del movimiento:

tYZz,tZYy,Xx 22 +=+==

Hallar la longitud, en el instante 1t = , del segmento que en la configuración de referencia 0t = es recto y une los puntos A(0,0,0) y B(0,1,1) .

CP 2-17 Sean las ecuaciones de movimiento de un medio continuo:Zz,Yy,YtXx ==+=

Obtener para 2t = la longitud del segmento de línea material que en el instante 1t = veníadefinido en forma paramétrica por:

10)(z,)(y,0)(x 2 ≤α≤α=αα=α=α .

CP 2-18 Sea el tensor material de deformación:

=

tY

tX

tX

te0000te0te0

E

Obtener la longitud en el instante 1t = del segmento que en el instante 0t = (configuraciónde referencia) es recto y une los puntos (1,1,1) y (2,2,2) .

CP 2-19 Sean las ecuaciones de movimiento de un medio continuo:

Zz,Yy,tYXx 2 β==α+=

a) Determinar el valor de α y β para que no haya cambios en la densidad de las partículas.b) Obtener la expresión de la longitud en el instante genérico t del segmento que en el instante

2 t = era recto y unía los puntos (0,0,0) y (1,1,0) .

CP 2-20 Las ecuaciones de movimiento de un cierto medio continuo vienen dadas por:tXZz,Yy,Xx −===

Calcular el ángulo que formaban en el instante 0t = los segmentos diferenciales que en elinstante tt = son paralelos a los ejes x , z .

CP 2-21 Sea el movimiento :

Zz,Yy,teXx tX ==+=

Estudiar cómo varía a lo largo del tiempo un elemento diferencial de área que en 0t =

toma el valor de 0dS y su vector normal es ( )1,1,13

1=0n .

CP 2-22 Calcular el tensor de pequeñas deformaciones en un punto, sabiendo que untriángulo rectángulo de lados 3ds , 4ds y 5ds situado en dicho punto sufre un alargamiento



46

de un %3 de la hipotenusa, una disminución de un %6 en el ángulo recto y un aumentodel %4 en su área.

CP 2-23 En un cierto instante de un proceso de deformación, el tensor de deformacionesinfinitesimales tiene el siguiente valor:

=

yz0zxy0yex

εεεε

Obtener el vector de desplazamientos y el tensor de rotación sabiendo que ambos seanulan en el punto 0) 0, 0, ( .

CP 2-24 El medio continuo de la figura está sometido a un estado de deformación planauniforme:

zy,x,, 0 u,y)(x, u u,y)(x, u u zyyxx ∀=== .

Determinar el tensor de pequeñas deformaciones sabiendo que:

1) El área pasa a ser p 1+ veces su valor inicial.2) El segmento AB pasa tener una longitud q 1+ veces la inicial.3) El segmento AC no se deforma.

CP 2-25 El elemento diferencial de la figura, se estira en la dirección del eje x una cantidad( )∞<<=δ t0,tdS . Dibujar los gráficos tE XX − , te xx − y txx −ε , donde xxE , xxe y xxε

son las componentes xx de los tensores material de deformaciones, espacial dedeformaciones y de pequeñas deformaciones, respectivamente (Acotar los valoressignificativos).

y y

dS (1+t)dS x x

t = tt = 0

A(0,0) B(1,0) x

y

D(0,1) C(0,1)



47

CP 2-26 Sean las ecuaciones de movimiento:

ϕ+==

∂∂ϕ−=

t)(X,ZzYy

t)(X,X

ZXx

Justificar que todos los planos, perpendiculares al eje X antes de la deformación,permanecen planos después de la misma (Hipótesis de Navier-Bernouilli para flexión devigas).

CP 2-27 Dados dos campos de desplazamientos ( ) ( ) ( ) ( )t,;t, 21 XUXU = y un tercero de laforma ( ) ( ) ( ) ( )213 tk UUU += , demostrar que sus respectivos tensores materiales dedeformación finita ( )3()2()1( ,, EEE ) e infinitesimal ( ( ) ( ) ( )321 ,, εεεεεεεεεεεε ) cumplen:

( ) ( ) ( )213 kεεεεεεεεεεεε +=

( ) ( ) ( )213 kEEE +≠ .

2 Descripción de la deformación Problemas Propuestos


49


PP 2-1 Se consideran los siguientes campos de velocidades en un medio continuo:

=

=

zyx

,ZYX

III vv

Se pide:

a) Calcular los correspondientes tensores materiales y espaciales de deformación ( III ,EE )y III ,ee .

b) Demostrar que en un cierto entorno muy próximo a la configuración de referencia( )0t,0t ≠→ , los cuatro tensores de deformación del apartado a) coinciden y calcularsu valor. Justificar esta coincidencia.

c) Obtener los correspondientes tensores Velocidad de Deformación ( )III , DD y lasderivadas materiales de los tensores de deformación ( )IIIIII ,,, eeEE &&&& .

d) Calcular el valor de los seis tensores del apartado c) en un entorno muy próximo a laconfiguración de referencia ( )0t,0t ≠→ y para la propia configuración de referencia( )0t = . Justificar los casos en que coinciden.

PP 2-2 Un medio continuo se mueve manteniendo un estado de deformación uniforme detal modo que los tres ejes coordenados son líneas materiales.

Se pide:

a) La expresión más general de las ecuaciones de movimiento bajo estas condiciones.b) Sabiendo ahora que los estiramientos según las tres direcciones coordenadas son

iguales y que la densidad evoluciona de la forma 3at0e−ρ=ρ , obtener la descripción

espacial del campo de velocidades y del tensor Gradiente de la Deformación.c) Suponiendo que el tensor de tensiones de Cauchy es de la forma:

ρ

ρ=

0000k(t)z-h(y)0t)z,g(x,K(t)x

σσσσ

y que el vector de tracciones actuante en el punto (1,1,1) sobre un plano de normalT

31

31

31=

n tiene la dirección del eje x y módulo unidad para todo instante

de tiempo, obtener las funciones g y h y el parámetro 0K ≥ , así como las fuerzas devolumen (descripción espacial) que generan el movimiento. ( )4Tema⇒

PP 2-3 Sobre la descripción material de un cierto campo de desplazamientos Z)Y,(X,U setiene la siguiente información:

1) Es lineal en ZY, X, .2) Es antisimétrico respecto al plano 0 Y = , es

decir, se cumple que:( ) ( ) ZY,X,ZX,-Y, ZY,X, ∀−= ,UU .

3) Bajo dicho campo de desplazamientos elelemento de la figura no cambia de volumen,el ángulo OAB permanece constante, elsegmento OB pasa a medir 2 veces sulongitud inicial y la componente vertical deldesplazamiento del punto B es positiva( )0w B > .

Se pide :

a) Determinar la expresión más general de dicho campo para que se cumplan lascondiciones 1) y 2).

b) Determinar la expresión del campo U cuando, además, se cumple la condición 3).Obtener el tensor gradiente de la deformación y el tensor material de deformación.Dibujar la deformada del elemento de la figura, acotando los valores significativos.

c) Determinar las direcciones (definidas por sus vectores unitarios T ) para los cuales ladeformación se reduce a un estiramiento (no hay rotación).

NOTA : Se considerarán deformaciones finitas (no infinitesimales).

PP 2-4 Sobre el sólido de la figura se produce una deformación uniforme tal que lospuntos A , B y C no se mueven. Suponiendo deformación infinitesimal, se pide :

a) Expresar el campo de desplazamientosen función de valores “genéricos” de lasdeformaciones y de las rotaciones.

b) Identificar las componentes nulas deltensor de deformaciones y expresar elvector de rotaciones en función de lasdeformaciones.

Se sabe además que:

1) El segmento AE pasa a medir p)(1+ veces su longitud inicial.

2) El volumen del sólido pasa a ser q)(1+ veces su valor inicial.

3) El ángulo θ se incrementa en un valorr (en radianes).

Bajo estas condiciones se pide:

Y, v

D

xθ=EBC

aADACAB∧

===

A

a

a

F

B

C

y

z

E

θ

a

O

a

X, u

Z, w

AD

C

a

a

B



51

c) Obtener el tensor de deformaciones, el vector de rotación y el campo dedesplazamientos en función de p , q y r .

NOTA : Los valores de p , q y r son pequeños y pueden despreciarse infinitésimos desegundo orden.

PP 2-5 Sobre el sólido de la figura se produce una deformación uniforme con las siguientesconsecuencias:

1) Los ejes x , z son dos líneasmateriales. El punto A no se mueve.

2) El volumen del sólido no varía.3) El ángulo xyθ no varía.4) El ángulo yzθ se incrementa en r

radianes.5) El segmento AF pasa a medir

p 1+ veces su longitud inicial.6) El área del triángulo ABE pasa a ser

q 1+ veces su valor inicial.

Se pide:

a) Expresar el campo de desplazamientos en función de valores “genéricos” de lasdeformaciones y rotaciones.

b) Identificar las componentes nulas del tensor de deformaciones y expresar el vector derotaciones en función de las componentes del tensor de deformaciones.

c) Obtener el tensor de deformaciones, el vector de rotación y el campo dedesplazamientos en función de p , q y r .

NOTA: Los valores de p , q y r son pequeños y pueden despreciarse los infinitésimos desegundo orden.

PP 2-6 Sobre el paralelepípedo de la figura se produce una deformación uniforme que lolleva a deformarse como se indica. Se pide:

a) Obtener el tensor material de deformación y el tensor de deformación infinitesimal(redondear la 4ª cifra decimal en ambos casos).

b) Observando los valores obtenidos para los dos tensores de deformación, analizar yjustificar si la hipótesis de pequeñas deformaciones sería adecuada para este caso. Estahipótesis se supondrá cierta para los siguientes apartados c) y d).

c) Obtener el campo de desplazamientos y el vector de rotación sabiendo que el puntoO permanece fijo, el punto A ′ está sobre el eje x , y el punto B′ está sobre el plano xy .

d) Obtener el volumen del sólido deformado.

x

y

a

a

Θyz

Θxy

A

B C

D

E F

z

a

PP 2-7 En el paralelepípedo de la figura, el plano DCBA ′′′′ sufre un desplazamiento devalor:

( ) ( ) ( ) 0U;XtU;YttU zyx =θ=θ−δ= ,

Todos los puntos del plano inferior se mantienenfijos. Sabiendo que la recta O-O ′ se deformamanteniéndose recta, se pide:

a) Qué condición deben cumplir δ y θ si ladescripción material del campo dedesplazamientos es lineal en ZY,X, (polinomiode 1er. grado). Obtener dicho campo.

b) Obtener el campo de desplazamientos paracualquier valor de δ y θ (suponer polinomios desegundo grado).

c) Obtener el correspondiente tensor material dedeformaciones para los casos de deformación finita e infinitesimal. Demostrar quecuando δ y θ son pequeños ambos coinciden. Interpretar en dicho caso losdesplazamientos del plano DCBA ′′′′ .

d) Obtener el tensor gradiente de la deformación y el volumen del sólido deformado paralos casos de deformación finita e infinitesimal.

e) Calcular el área de la superficie deformada de un plano horizontal genérico delparalelepípedo, para los casos de deformación finita e infinitesimal.

PP 2-8 La esfera de la figura sufre una deformación uniforme ( )ctte=F de tal forma quelos puntos A , B , C pasan a las posiciones A ′ , B′ , C′ y el punto O no se mueve. Se pide:

a) Obtener el tensor gradiente de la deformación en función de p y q .b) Obtener a ecuación de la deformada de la superficie exterior de la esfera, indicando qué

tipo de superficie es y dibujarla.c) Obtener los tensores material y espacial de deformación. Obtener el valor de p en

función de q si el material es incompresible.

D

a

y

C

x

b

O B

A

c

z

E

c1.008E'A'

b1.004D'C'

a0.996E'D'

.

.

.

=

=

=2π9980=Θ

2π9960=Θ

2π0051=Θ

3

2

1

A'

1.008c

E'

0.996aD' 1.004b

C'

yΘ1 Θ2

B'

x

z

Θ3

X

Ya

a

AB

Z

CD

A’B’

C’D’

O

O’

h



53

d) Repetir el apartado c) utilizando la teoría de deformación infinitesimal. Demostrar quecuando p y q son pequeños, los resultados de los apartados c) y d) coinciden.

y

x

A

A’

BB’

C

O

0q0p

qCC'

qBB'

pAA'

>>

=

=

=

z

C’R

3 Ecuaciones de compatibilidad Cuestiones Resueltas


55

333 EEEcccuuuaaaccciiiooonnneeesss dddeeecccooommmpppaaatttiiibbbiiillliiidddaaaddd


CR 3-1 En un cierto instante de un proceso de deformación, el tensor de pequeñasdeformaciones tiene el siguiente valor:

−

−

=

32

2

x0zx23

0x2y

zx23

2y8x

εεεε

Obtener el vector de desplazamientos y el tensor de rotación sabiendo que ambos seanulan en el punto (0,0,0) .

Resolución:Únicamente se han de utilizar las ecuaciones del Formulario Básico e integrarlas, teniendo encuenta que se está bajo condiciones de deformación infinitesimal.El tensor de pequeñas deformaciones viene particularizado para un instante determinadode tiempo, es decir:

( ) ( )

−

−

==

32

2

*

x0zx23

0x2y

zx23

2y8x

t, xx εεεεεεεε

VECTOR DE ROTACIÓN:

(t)C0z

;0y

;0x 11

111 =θ⇒=∂θ∂

=∂θ∂

=∂θ∂

( ) zx23x

23;0;xz3 2

222222 −=θ⇒−=

∂θ∂

=∂θ∂

−=∂θ∂

tCzyx

( ) y230;

23;0 33

333 +=θ⇒=∂θ∂

=∂θ∂

=∂θ∂

tCzyx



56

Se ha de imponer ahora que se anula en el punto 0) , 0 , (0 , obteniendo fácilmente que lasconstantes ( )iC son nulas:

−=

y23

zx23

0

2θθθθ

VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS:

( )tCy4xu0z

u;2y

yu

;8xxu '

122

1111 +−=⇒=

∂∂

−=∂∂

=∂∂

( )tCxyu0z

u;xy

u;yx

u '22

222 +=⇒=∂

∂=

∂∂

=∂

∂

( )tCzxuxz

u;0

yu

;z3xx

u '3

33

33323 +=⇒=∂

∂=

∂∂

=∂

∂

Se ha de imponer ahora que el punto origen no se desplaza. Así se obtiene tambiénfácilmente que las constantes ( )'

iC son nulas :

( )

−=

zxxy

y4x

3

22

xu

TENSOR DE ROTACIÓN:Lo obtenemos a partir del vector de rotación según la expresión:

( ) ⇒

θθ−θ−θ

θθ−=

00

0t,

12

13

23

xΩΩΩΩ

( )

−−

=

00zx23

00y23

zx23y

230

2

2

xΩΩΩΩ

CR 3-2 Determinar la descripción espacial del campo de velocidades correspondiente alsiguiente tensor velocidad de deformación:

( )

++=

01et01et00

00ett,

y

y

xt

xd

sabiendo que para 0x = se cumple: [ ]T0 0,0,1t −=w y [ ] t,t,0,t T

0 ∀=v .



57

Resolución:El método de resolución es ir integrando las ecuaciones diferenciales correspondientesteniendo en cuenta el paralelismo existente entre las variables:

θθθθεεεεu

ωωωωdv

VELOCIDAD DE ROTACIÓN:

( ) yy tete +=ω⇒=∂ω∂

=∂ω∂

=∂ω∂

tC0z

;y

;0x 11

111

( )tC0z

;0y

;0x 22

222 =ω⇒=∂ω∂

=∂ω∂

=∂ω∂

( )tC0z

;0y

;0x 33

333 =ω⇒=∂ω∂

=∂ω∂

=∂ω∂

Se imponen ahora las condiciones de contorno:

==−=

⇒

+=

−==

0C0C1C

CC

Ct

00

1t: para

3

2

1

3

2

1

0ωωωω0x

El resultado final es:

( )

−=

00

1tet,

y

xωωωω

VECTOR VELOCIDAD:

( ) tx11

11tx1 etCv0zv

;0yv

;texv

+′=⇒=∂∂

=∂∂

=∂∂

( ) z2tCv2z

v;0

yv

;0x

v22

222 +′=⇒=∂

∂=

∂∂

=∂

∂

( ) y33

3y33 te2tCv0z

v;te2

yv

;0x

v+′=⇒=

∂∂

=∂

∂=

∂∂

Se imponen a continuación las condiciones de contorno:

−==

=⇒

+

+=

==

tC0C

C

C2tC

C1

t0t

para '3

'2

'1

'3

'2

'1 1t-

: 0v0x

La descripción espacial del campo de velocidades queda finalmente:

( )

−

−+=

tte2z2

1te

y

tx

t,xv

3 Ecuaciones de compatibilidad Cuestiones Propuestas


59

CUESTIONES PROPUESTASCP 3-1 Indicar el papel que juegan las ecuaciones de compatibilidad de un campo dedeformaciones en la Mecánica de Medios Continuos, y explicar esquemáticamente elproceso de obtención de dichas ecuaciones para el caso de deformación infinitesimal.

CP 3-2 Hallar el campo de velocidades en un instante sabiendo que, en dicho instante t , eltensor velocidad de deformación es:

+=

03yxy30yxyexe xx

d

CP 3-3 Deducir el campo de velocidades correspondiente al tensor velocidad dedeformación:

( )

=

zt

yt

yt

et0000et0et0

t,xd

Se sabe que en el punto (1,1,1) se verifica:

[ ]Tttt e,e,e2=v , [ ]Ttet,0,021 −=×= v∇∇∇∇ωωωω

CP 3-4 Determinar la descripción espacial del campo de velocidades correspondiente altensor velocidad de deformación siguiente:

( )

=

00et0et0et00

t,zt

yt

zt

xd

Se sabe que:

∀∀==∀∀===

zx,,t , 0 v:1 y parayx,t,0 v v:0 zpara

y

zx ,

CP 3-5 Se tiene el tensor velocidad de deformación siguiente:

=

t0001y0y0

t),(xd

Obtener la forma canónica de las ecuaciones del movimiento sabiendo que en el punto(0,0,0) el campo de velocidades, )t,(xv , y el tensor velocidad de rotación, )t,(xw , seanulan en todo instante.

4 Tensiones Cuestiones Resueltas


61

444 TTTeeennnsssiiiooonnneeesss


CR 4-1 Un medio continuo se mueve con un campo de velocidades cuya descripciónespacial es: ( ) [ ]Ty,x,zt, =xv . El tensor de tensiones de Cauchy es de la forma:

( )

=

0000t)+z(1h(y)0t)z,g(x,y

t,xσσσσ

Determinar las funciones g , h y la descripción espacial de las fuerzas de volumen, ( )t,xb ,que generan el movimiento.

Resolución:El Tensor de Tensiones es simétrico y por lo tanto:

==

⇒=⇒=Ct)z,g(x,

Ch(y)t)z,g(x,h(y)Tσσσσσσσσ

donde C es una constante.

Además la divergencia del tensor es nula:

[ ]0000000t)z(1C0Cy

zyx=

+⋅

∂∂

∂∂

∂∂=⋅ σσσσ∇∇∇∇

La Ecuación de Cauchy queda de la siguiente manera:

ab0

ab=⇒

=⋅ρ=ρ+⋅

σσσσ∇∇∇∇σσσσ∇∇∇∇

Y si se aplica la fórmula de la derivada material sobre la velocidad:( ) vvvvxa ∇∇∇∇⋅+

∂∂==

tdtdt,

0v =∂∂

t

[ ]

=

∂∂∂∂∂∂

=001100010

yxz

z

y

xv∇∇∇∇



62

[ ] [ ]xzy001100010

yxz =

⋅=⋅ vv ∇∇∇∇

Las fuerzas de volumen son por tanto:

( ) [ ]Txzyt, =xb

CR 4-2 Las tensiones principales en un punto son:2=σ,5=σ,0=σ 321 1

En un cierto plano que pasa por dicho punto las tensiones normal y tangencial son σ y τ ,respectivamente. Razonar si son posibles los siguientes valores de σ y τ :

a) 1=τ,0=σ 1 .b) 4=τ,5=σ .c) 1−=τ,=σ 3 .

Resolución:Se dibujará el Círculo de Mohr en 3-D para el estado tensional que se define y para lospuntos pedidos:

La zona sombreada es la zona donde es posible encontrar puntos que representen estadostensionales. Únicamente hay que representar cada punto (estado tensional) y ver si cae endicha zona.

Se concluye que ningún estado tensional es posible.

Nota: en el caso c) el signo negativo de las tensiones tangenciales no se tiene en cuentaporque cuando se representa en el Círculo de Mohr en 3-D se considera el valor absoluto.Cosa que no sucede con las tensiones normales (tracción = positiva).

2=σ3 5=σ2 10=σ1σ

τPunto b

Punto c

Punto a



63

CR 4-3 De un estado tensional se sabe:

1) La dirección z es principal y azz =σ .2) La tensión media es 0am >=σ .3) La tensión tangencial máxima en planos paralelos al eje z es 0bmax >=τ .

Dibujar, acotando los valores significativos, los Círculos de Mohr en tres dimensiones deltensor de tensiones y de su desviador.

Resolución:Se debe tener en cuenta primero que la única diferencia que existirá entre las doscircunferencias es que estarán desplazadas un valor mσ .Según la definición del Tensor de Tensiones Desviador se llega a la siguiente conclusión:

00aam =σ′⇒=−=σ−σ=σ′⇒σ−=′ zzmzzzz1σσσσσσσσ

Teniendo en cuenta que la traza es un invariante y que 0)(Tr =′σσσσ , entonces se cumple:

=σ′+σ′=σ′=σ′

⇒=σ′+σ′00

031

2zzyyxx

Únicamente nos queda por determinar el radio de la circunferencia mayor ( entre 1σ′ y 3σ′ ),dato que es proporcionado por la condición 3):

CR 4-4 Del estado tensional en un punto se sabe lo siguiente:

1) 1x =σ ( donde el eje x es una dirección principal).2) La tensión tangencial máxima en planos paralelos el eje x es igual a 3.3) La tensión tangencial máxima en planos paralelos a la tensión principal menor es 2.

Obtener todos los posibles círculos de Mohr correspondientes a dicho estado, acotando losvalores de las tensiones principales.

Resolución:Para resolver esta cuestión, hay que tener en cuenta la siguiente propiedad del Círculo deMohr en 3-D:

b-a ba + a σ

τbmaxmax =τ′=τσσσσ′ σσσσ

b− b

3σ 1σ 2σ σ

τ

Círculo 1

Círculo 3Círculo 2



64

El círculo número:1 : Corresponde a planos paralelos a σ3.2 : Corresponde a planos paralelos a σ1.3 : Corresponde a planos paralelos a σ2.

Se tienen en cuenta ahora las siguientes consideraciones:

1. xσ es la tensión principal mayor:

2. xσ es la tensión principal intermedia:

3. xσ es la tensión principal menor:Es imposible pues las condiciones 2) y 3) son incongruentes ya que hablan de tensionestangenciales máximas sobre el mismo plano.

CR 4-5 Calcular las tensiones que actúan en el estado III = I + II.

Resolución:

93 −=σ 1x1 =σ=σ 32 −=σ σ

τ

3=τ2=τ

13 −=σ 51 =σ 1x2 =σ=σ σ

τ

3=τ

2=τ

15

1

245º 45º

1 3

τσ

ESTADO I ESTADO II ESTADO III

+ =



65

Para poder sumar los dos estados, las tensiones deben actuar sobre los mismos planos.Como los dos estados presentan orientaciones diferentes, deberemos buscar las tensionesdel estado II existentes sobre los planos del estado I. Para ello, representaremos el Círculode Mohr del estado II:

Para realizar el círculo, se representan los planos a y b, ya que conocemos todas suscoordenadas. Además, como pertenecen al eje de abcisas, definen el diámetro del círculo,por lo tanto, queda determinado.El polo se encuentra como intersección de líneas paralelas a los planos por los puntos quelos representan. Una vez obtenido, se pasa una línea vertical, para una plano vertical, y unahorizontal, para un plano horizontal, por el polo, encontrando así sus representaciones.

Finalmente queda:

Plano b:

=τ3=σ0

Plano c:

<τ>σ

00

Plano a:

=τ=σ

01 1 3

τσ

45º 45º

σ

τ

Plano bPlano a

Polo

Plano vertical

Plano horizontal

1

1 2 3

ESTADO I ESTADO II

+ =

ESTADO III

15

1

2

12

1

2

27

2



66

CR 4-6 En el medio continuo de la figura (a) se produce un estado tensional uniformecuyo valor sobre dos determinados planos es el indicado en la figura (b). Considerandoplanos tangentes a los puntos A, B, C, D, E, F, G, H, determinar dónde se producen:

a) Las mayores tensiones tangenciales, en valor absoluto.b) Las mayores tensiones normales.c) Las menores tensiones normales.d) La mayor tensión resultante, en valor absoluto.

Indicar además el correspondiente valor.

Resolución:Primero se tiene que representar el círculo del estado tensional:

Plano vertical:

>τ=τ

>σ=σ∗

∗

0

0Plano inclinado:

=ττ+σ=σ ∗∗

0

Ahora tan sólo hay que fijarse en los planos que, pasando por el polo, cumplen lacondición pedida:

⇒τmax planos horizontales y verticales ∗τ=τ⇒ max :G-E-C-A⇒σmax planos inclinados 450 positivos con la horizontal ∗∗ τ+σ=σ⇒ max :F-B ⇒σmin planos inclinados 1350 positivos con la horizontal ∗∗ τ+σ=σ⇒ max :H-D

El caso que provoca máximas tensiones coincide con el apartado b), ya que corresponde alcaso de tensión principal 1σ .

45º

AB

C

DE

F

G

H

figura a

45º

σ∗ + τ∗

σ*

τ*

figura b

Plano inclinado

Plano vertical

∗σ ∗τ

σ

τ

Polo

4 Tensiones Cuestiones Propuestas


67

CUESTIONES PROPUESTAS

CP 4-1 Enunciar los siguientes postulados de la Mecánica de Medios Continuos:

a) Postulado de Cauchy.b) Principio de acción y reacción.

CP 4-2 Deducir la ecuación de Cauchy a partir del principio de conservación de la cantidadde movimiento.

CP 4-3 Definir el tensor de tensiones esférico, la tensión media y el tensor desviador yescribir las relaciones entre ellos.

CP 4-4 Justificar la relación entre las direcciones y las tensiones principales de un tensor detensiones y de su parte desviadora.

CP 4-5 Hallar la relación entre el Círculo de Mohr correspondiente a un estado tensionalplano y el de su tensor desviador.

CP 4-6 Las componentes cartesianas del tensor de tensiones de Cauchy en un punto son:

−=

0b1a10101

σσσσ

Determinar los posibles valores de a y b , sabiendo que el módulo de la tensión tangencial

al plano cuya normal es T

21,0,

21

=n toma el valor

23=τ .

CP 4-7 El sólido de la figura está sometido al siguiente estado tensional en equilibrio:

( )MPaen 4x5y5yxy

=σσσσ

Se pide:

a) Obtener la expresión de las fuerzas por unidadde masa sobre el mismo.

b) Obtener la expresión de las componentesnormal y tangencial de las fuerza actuantes en elcontorno (indicando su signo de acuerdo con elcriterio del Círculo de Mohr).

______________________________________________________________________

1 cm

y

1 cm

x



68

CP 4-8 Se conoce la descripción espacial del tensor de tensiones de Cauchy ( )t,xσσσσ de unmedio continuo y su densidad ( )t,xρ . Sabiendo que no hay fuerzas de volumen, y que lavelocidad en el instante inicial es nula para todas las partículas, indicar detalladamente lospasos necesarios y las ecuaciones a utilizar para obtener la descripción espacial delcorrespondiente campo de velocidades.

CP 4-9 Un medio continuo está sometido a la acción de unas fuerzas másicas de la forma:

( ) [ ] cttes.) ma,(,m,atx,at,T2+=xb

El correspondiente tensor de tensiones de Cauchy tiene una descripción espacial uniforme( )( )tσσσσσσσσ = . Sabiendo que en el instante de referencia 0) (t = el campo de velocidades es

nulo, obtener la descripción espacial de dicho campo de velocidades y la ecuación de laslíneas de corriente.

CP 4-10 Una probeta cúbica, inicialmente descargada, se somete a los siguientes estados detensiones. (cada uno se superpone al anterior):

1) 2zyx =σ∆=σ∆=σ∆

2) 2xy =τ∆

3) 1z =σ∆

Dibujar los círculos de Mohr correspondientes a cada una de las fases del ensayo.

CP 4-11 En un punto de un sólido rígido, dos de las tensiones principales son 5−=σ y3=σ . Sabiendo que el módulo de la máxima tensión tangencial que se produce en el punto

es 6=τ , determinar en qué circunstancias son posibles los siguientes estados tensionales:

a) 1,3 =τ=σb) 1,5 =τ−=σc) 1,2 =τ−=σ

CP 4-12 Determinar todos los posibles valores de σ ( )0>σ y τ( )0>τ , de la figura sabiendo que la máxima tensión tangencialsobre cualquier plano en el punto es 1max =τ .

______________________________________________________________________

CP 4-13 El estado tensional en un punto de un medio continuo es tal que 1x −=σ , 0xz =τ ,0xy =τ y zy σ≥σ . Se sabe además que la tensión tangencial, sobre los planos paralelos al

eje x , toma un valor máximo 4* =τ . Si maxτ es la máxima tensión tangencial actuantesobre cualquier plano obtener todas las posibles combinaciones de yσ y zσ para que:

τ

τ

2

σ

σ



69

a) 6max =τb) 4max =τ

CP 4-14 Del estado tensional en un punto de un medio continuo se sabe que la máximatensión tangencial en planos paralelos a 1σ es 2max

1 =τ . Obtener todos los valores de 1σ ,2σ y 3σ que hacen posible el estado tensional 2,2 =τ=σ sobre un cierto plano, en los

siguientes casos (independientes entre sí):

a) La máxima tensión tangencial en planos paralelos a 2σ es 2max2 =τ .

b) La máxima tensión tangencial en planos paralelos a 3σ es 0max3 =τ .

c) La máxima tensión tangencial en planos paralelos a 2σ es 4max2 =τ .

CP 4-15 Determinar para qué valores de *σ son posibles lossiguientes estados tensionales en planos que pasen por P :

a) 2,4 =τ=σb) 1,4 =τ=σc) 0,7 =τ=σ

CP 4-16 Determinar para qué valores de *σ es posibleencontrar un plano que pase por P cuyas tensiones normal ytangencial sean *2τ=σ y *τ=τ .

______________________________________________________________________

CP 4-17 Determinar de forma gráfica todos los posibles valoresde *τ sabiendo que en un cierto plano las tensiones normal ( )σy tangencial ( )τ son:

a) 1,3 =τ=σb) 1,1 =τ=σ______________________________________________________________________

CP 4-18 La figura representa el estado tensional en un puntodel que se sabe que la tensión tangencial máxima sobrecualquier plano es 2max =τ . Dibujar los correspondientesCírculos de Mohr en 3D. A dicho estado se le añade un estadotensional hidrostático ( )1*σ=σσσσ . Determinar todos los posiblesvalores de *σ para que sea posible, en un cierto plano, elestado tensional 0,6 =τ=σ .

2

6

σ*

P

τ*

τ*

σ*

P

τ*

τ*

2

1

1

τ*

11

0v >σ

1



70

CP 4-19 Del estado tensional en un punto se sabe lo siguiente:

1) La máxima tensión tangencial en planos paralelos a 2σ (tensión principal intermedia) esigual a 3.

2) La máxima tensión tangencial en planos paralelos a 1σ (tensión principal mayor) esigual a 2.

3) 03 =σ .

A este estado tensional se le suma un estado hidrostático de tensiones de valor1-p=σσσσ ( )0p ≥ . Obtener todos los posibles valores de p para los que es posible encontrar

algún plano para el cual el estado final de tensiones sea 1,3 =τ=σ .

CP 4-20 Determinar todos los posibles valores de σ para que:

a) Exista un solo plano en el punto con tensión normal nula.b) El estado tensional en el punto sea de cortante puro.

CP 4-21 Determinar todos los posibles valores de *σ y *τ en los siguientes casos:

a) El estado tensional es el mismo sobre cualquier plano quepasa por P .

b) La tensión normal a cualquier plano es de tracción.c) La máxima tensión principal es negativa y forma un ángulo de

30º con la horizontal .d) La máxima y la mínima tensión principal toman el mismo

valor.

NOTA : Se considerará la posibilidad de valores negativos de ∗σ y *τ .

CP 4-22 Determinar el valor de ∗σ y *τ en función de τ .

CP 4-23 Determinar los posibles valores de Aσ , Bσ yθ , sabiendo que la máxima tensión tangencial en elpunto es τ5 .

4

τ

4σ

τ∗

σ∗

y τ∗σ∗

x

P

60º

τ

τ

σ∗

τ*

5τ

6τ

Bσ 4τ

Aσ

4τ θ



71

CP 4-24 El estado tensional en un punto es el de la figura.Determinar todos los posibles valores de α , β , τ y *τsabiendo que 5max =τ .

CP 4-25 Obtener todos los valores posibles de τ , *τ y θ ,sabiendo que en un cierto plano el estado tensional es

3−=τ y 3−=σ .

CP 4-26 En la figura se representan los estados tensionalessobre cuatro planos que pasan por un punto. Determinarlos posibles valores de σ , τ , 1θ y 2θ y dibujar loscorrespondientes estados tensionales.

CP 4-27 Determinar los valores de α y β para los que son posibles los siguientes estadostensionales, siendo 0>σ y σ=τ 5.0 :

CP 4-28 Obtener todos los posibles valores de τ , *τ ,*σ y β para el estado tensional de la figura sabiendo

que 2max =τ .

a) º0=α

α β

4 2

33

τ τ*

25

4

*τ

θ

τ

τ

6

4 σ

4τ

τ θ1

θ2

σσ

τ

τ

τ α β

( a )

σσ

τ

τ

τ α β

( b )

σσ

τ

τ

τ α β

( c )

αβ

21

τ

σ*τ*



72

b) º45=α

CP 4-29 Determinar todos los posibles valores de σ ,*σ , **σ , *τ y β ,sabiendo que el estado tensional en

un punto es el de la figura y que 9max =σ y5max =τ .

CP 4-30 Sabiendo que la máxima tensión principal es de MPa0,5 , dibujar los estados tensionales en todos los lados del

siguiente hexágono regular:

CP 4-31 Un estado tensional plano es tal que, en el plano donde la tensión tangencial esmáxima positiva (criterio del Círculo de Mohr), la tensión normal viene dada por:

0,3510 *** ≥ττ−=σ

Se pide:a) Obtener el valor de las tensiones principales en función de *σ y *τ .b) Obtener el máximo valor que puede tomar una tensión principal en estas condiciones.

CP 4-32 Dados los estados tensionales planos I y II, determinar el valor de σ para que enel estado III = I + II, ocurra que:

a) No haya compresiones en ningún plano.b) No haya tracciones en ningún plano.c) Sea un estado de cortante puro.

σ

5 4σ*

σ**τ*

β

32

ESTADO I

34

3

4

ESTADO II

σ σ

σσ



73

CP 4-33 Calcular el valor de σ para que:

a) La máxima tensión tangencial en el estado I sea mayor que la máxima tensióntangencial en el estado II.

b) La máxima tensión normal en el estado I sea mayor que la máxima tensión normal en elestado II

c) La máxima tensión normal en el estado I sea menor que la mínima tensión normal en elestado II.

Dibujar los círculos de Mohr de los tres casos.

CP 4-34 Calcular los posibles valores de σ , τ , τ′ y α para que el estado tensional III seala suma de I y II. ( 0≥τ )

CP 4-35 Obtener, en función de τ , las tensiones principales y el valor de la máximatensión cortante del estado suma de los estados I y II.

τ

ESTADO I

σ

3

88

ESTADO II

τ

6τ′

α45º 45º

4 σ

34

τ τ

1 1

3

ESTADO I ESTADO II ESTADO III

60º

60º

τ

τσ∗a

τ∗α

332 τ

σ∗b

33τ

τ*b

45º

33τ

ESTADO I ESTADO II



74

CP 4-36 Dados los estados tensionales I y II, determinar los posibles valores de σ y de τpara que en el estado III = I + II se verifique que la tensión principal 2σ sea positiva yforme un ángulo de 30º con el eje y .

CP 4-37 Determinar todos los posibles valores de *τ para que en el estado tensional sumade I y II se verifique:

a) No existan tracciones en ningún plano.b) No existan compresiones en ningún plano.c) La máxima tensión tangencial, ( )maxτ , sea menor que 2.d) Sea un estado de corte puro.e) Sea un estado de tensión hidrostático.

ESTADO I ESTADO II

0≥τ4

y

4

x

30ºσ

σ

τ*

τ*

τ*

τ*

1

2 2

1

1

ESTADO I ESTADO II

5 Ecuaciones de conservación-balance Cuestiones Resueltas


75

555 EEEcccuuuaaaccciiiooonnneeesss dddeeecccooonnnssseeerrrvvvaaaccciiióóónnn---bbbaaalllaaannnccceee


CR 5-1 Justificar si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:

a) El flujo de masa a través de una superficie material cerrada sólo es nulo si elmovimiento es estacionario.

b) El flujo de masa a través de una superficie de control cerrada es nulo si este flujo esestacionario.

Resolución:a) La afirmación es falsa porque una superficie material siempre está formada por las

mismas partículas, y por tanto, no puede ser atravesada por ninguna partícula a lo largodel movimiento. Por este motivo, el flujo de masa a través de una superficie material essiempre nulo, independientemente de si el movimiento es estacionario o no.

b) La afirmación es cierta ya que la Ecuación de Continuidad aplicada a un flujo estacionarioimplica lo siguiente:

0)(0

tioestacionar Flujo

0)(t

dcontinuida de Ec.=ρ⋅⇒

=∂ρ∂⇒

=ρ⋅+∂ρ∂⇒

vv

∇∇∇∇∇∇∇∇

Resultando, así, lo que se quería demostrar:

( ) ( )∫ ∫ =⋅ρ=ρ⋅⇒=ρ⋅∂V V

dSdV 00 nvvv ∇∇∇∇∇∇∇∇


a) El flujo convectivo de una propiedad a través de una superficie material es siemprenulo.

b) El caudal neto (saliente menos entrante) a través de una superficie de control cerrada essiempre nulo.

Resolución:



76

a) La afirmación es cierta ya que una superficie material siempre está formada por lasmismas partículas, y un flujo convectivo implicaría que alguna debería atravesar lasuperficie.

b) La afirmación es falsa. Sería cierta si el material fuese incompresible, pero no se cumpleen general:

∫ ∫ =⋅=⋅⇒=⋅⇒=ρ∂V V

dSdV 00ctte nvvv ∇∇∇∇∇∇∇∇

CR 5-3 Para un cierto movimiento estacionario de un fluido se verifica que el caudal através de cualquier superficie de control cerrada es nulo. Obtener la expresión de laecuación diferencial que se debe cumplir y que relaciona la velocidad y la densidad.

Resolución:Al cumplirse que el caudal a través de cualquier superficie de control cerrada es nulo, severifica que:

VVdV

dVdS

V

VV

∈∀=⋅⇒∀=⋅

⋅=⋅

∫∫∫∂

xvv

vnv

0,0 ∇∇∇∇∇∇∇∇

∇∇∇∇

Si se tiene en cuenta la Ecuación de Continuidad: se puede escribir:

ble)incompresi es fluido (el0dtd

0

0dtd

=ρ⇒

=⋅

=⋅ρ+ρ

v

v

∇∇∇∇

∇∇∇∇

Finalmente, según la definición de derivada material y sabiendo que el flujo es estacionario,se obtiene:

⇒

=∂ρ∂

=ρ⋅+∂ρ∂=ρ

0t

0tdt

d ∇∇∇∇v

0=ρ⋅ ∇∇∇∇v

CR 5-4 Un gas a presión en un recipiente de masa M sale del mismo a una velocidadestacionaria v por un conducto de sección S . Justificar hacia dónde tenderá a moverse elconjunto y con qué aceleración lo hará.

Resolución:

v

S

M



77

Suponemos por hipótesis que el peso del gas es despreciable frente al del recipiente, y quela presión atmosférica también lo es frente a la presión interior.

La fuerza que actuará sobre el gas tendrá la siguiente expresión si se tiene en cuenta la 2ªExpresión del Teorema del Transporte de Reynolds:

eevnvvvF SdSdSdVt

dVdtd

VVVV

2vvv)()( ρ=ρ=⋅ρ+ρ∂∂=ρ= ∫∫∫∫ ∂∂

donde:n es la normal unitaria exterior a la superficie que encierra al gas.e es el vector unitario en la dirección de la velocidad.

Por otro lado, la fuerza que actúa sobre el gas es:

g/datm presióng/d FFFF =+=

Según el Principio de Acción y Reacción la fuerza que realiza el gas sobre el depósito será:

⇒=ρ−=−= dg /2

d/gg/d MSv aeFF

eaM

Sv2

g/dρ−=

CR 5-5 Un chorro de agua de sección S , presión p y velocidad v , incideperpendicularmente sobre un disco tal y como se indica en la figura. Calcular la fuerza F aejercer sobre el disco en régimen estacionario para que éste no se mueva ( atmpdespreciable).

Resolución:Si se tiene en cuenta la 2ª Expresión del Teorema del Transporte de Reynolds y que el régimen esestacionario, las fuerzas que actúan sobre el fluido tienen la siguiente expresión:

∑ ∫∫∫∫ ⋅ρ=⋅ρ+ρ∂∂=ρ=

∂ SVVVdSdSdVdV )()()( vnvvnvvvF

tdtd

ext/f

v

FS

p



78

En primer lugar, hay que notar que el vector velocidad del fluido a lo largo de lassuperficies 1-latS y 3-latS es perpendicular a la normal unitaria exterior al volumen queencierra al fluido:

0SS

3lat

1lat =⋅⇒

−

− nv

Lo mismo ocurre en la pared del disco.

En las secciones 2S y 4S los vectores v y n no son perpendiculares, pero como existesimetría y v es perpendicular a F , no aportan componentes de fuerza horizontales.

Así que únicamente quedará:

eeeeF

eeeevnvF

pSFpSaatmosféricpresión de fuerzasF

Sv)()(

ext/f

2ext/f

+−=++−=

ρ−=⋅−ρ=⋅ρ=

∑∫∫∑ ∂ SV

dSvvdS

Y ahora tan sólo hay que despejar el valor del módulo de la fuerza F :

pSSvF 2 +ρ=

Superficie Slat-3

S

Sección S4

Sección S2Superficie Slat-1

e

5 Ecuaciones de conservación-balance Problemas Resueltos


79


PR 5-1 Por la tubería de la figura circula, en régimen estacionario, un caudal de agua Qdesde el extremo A (de sección AS ) al extremo B (de sección AB S S < ). La tubería estásustentada en el punto O mediante el elemento rígido O-P .

Se pide:a) Determinar las velocidades de entrada y salida Av y Bv en función del caudal.b) Determinar los valores del ángulo θ que hacen máximo y mínimo el módulo de la

reacción F en O , y los correspondientes valores de dicha reacción.c) Lo mismo que en el apartado b) pero respecto al momento M en O .d) Determinar la potencia W de la bomba necesaria en cada caso para proporcionar el

caudal Q .

HIPÓTESIS:1) El agua es un fluido perfecto ( )ijij pδ−=σ e incompresible.2) Se desprecia el peso de la tubería y del agua.

Resolución:a) Que el agua sea un fluido incompresible significa lo siguiente:

0dtd partícula misma una para ctte= =ρ⇔ρ

La ecuación de Conservación de la Masa en forma local establece esta relación:

0dtd =⋅ρ+ρ v∇∇∇∇

De aquí se llega a deducir que :

V , 0dV 0V

∀=⋅⇔=⋅ ∫ vv ∇∇∇∇∇∇∇∇ ( 1 )

Se debe ahora establecer el volumen adecuado de integración. Para ello hay que buscarun volumen de control tal que su contorno sea una superficie cerrada ( )V = S ∂ , parapoder aplicar el Teorema de la Divergencia:

V , dS Vd VV

∀⋅=⋅ ∫∫ ∂vnv∇∇∇∇ ( 2 )

donde n es la normal exterior unitaria en el contorno del volumen V .

Así, por las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ), se llega a la conclusión que el flujo de volumensaliente neto, a través del contorno de un volumen de control, es nulo:

V , 0 dS V

∀=⋅∫∂ vn

O

pA vA

pB

R

θ

P

SA

MF

eA

vB

SB

eB



80

Considerando como volumen de control el definido por el agua comprendida en latubería entre las secciones AS y BS , y los vectores unitarios Ae y Be perpendiculares adichas secciones, respectivamente, y en el sentido del flujo de agua, se llega a lasiguiente expresión (hay que mencionar que la integral extendida sobre el contorno

V∂ , únicamente la aplicamos sobre las secciones AS y BS , ya que en las paredes de latubería se cumple 0=⋅vn , es decir, son perpendiculares):

∫∫∫ =⋅⋅=⋅∂ BA SSV

dS + dS dS vnvnvn

=⋅⋅−= ∫∫ dS v + dS v)( BA S BBBAS AA eeee

⇒=+= 0 SvSv- BBAA

QSvS v BBAA ==⇒

Se comprueba, por tanto, que el caudal de entrada y el de salida son iguales::

BB

AA

SQv

SQv

=

= ( 3 )

b) Para encontrar el valor de la fuerza F hay que aplicar la ecuación de Balance de laCantidad de Movimiento :

dV dtd dS + dV

VV V ∫∫ ∫ ρ=ρ=∂

vtbR ( 4 )

donde R es la resultante total de las fuerzas que actúan sobre el fluido.

Por otro lado, desarrollando el término de la derecha mediante la segunda expresióndel Teorema del Transporte de Reynolds, se obtiene la siguiente expresión:

( )dS + dV t

= dV dtd

V VV ∫ ∫∫ ∂⋅ρρ

∂∂ρ vnvvv ( 5 )

En este caso, se está en régimen estacionario, es decir, la derivada local de cualquierpropiedad es nula, y además, se sabe que existe únicamente flujo a través de lassecciones AS y BS , ya que se cumple que n y v son perpendiculares en las paredes dela tubería. Por lo tanto, según las expresiones ( 4 ) y ( 5 ), se obtiene:

∫∫ =⋅ρ+⋅ρ=BA SS

dS)( dS)( vnvvnvR

∫ ∫ ⋅ρ+⋅−ρ=A BS S BBBBBAAAAA dS )v(v dS )v(v eeeeee

BB2BAA

2A Sv Sv eeR ρ+ρ−= ( 6 )

Si se expresa en función de Q , según la expresión ( 3 ), resulta:

+−ρ= B

BA

A

2

S1

S1Q eeR



81

Se han de analizar ahora las diferentes fuerzas que forman parte de R . Al despreciarlas fuerzas másicas ( )0 b = , sólo se tienen en cuenta las fuerzas superficiales, es decir,las aplicadas en el contorno del volumen de control ( AS , BS y latS , ésta última,superficie lateral de las paredes):

∫ ∫ ∫∂ ∂=+ρ=

V V VdS dS dV ttbR

∫ ∫ ∫ =++=A B latS S S

dS dS dS ttt

∫∫ +−+=BA S t/fBBS AA dS)(p dSp Ree

Aquí t/fR representa las fuerzas ejercidas sobre el fluido por las paredes de la tubería,que en principio desconocemos, pero que utilizando la expresión ( 6 ) puedenobtenerse:

∫∫ −−−=BA S BBS AAt/f dS)(p dSp eeRR

BBBAAABB2BAA

2At/f Sp Sp Sv Sv eeeeR +−ρ+ρ−=

BBB2BAAA

2At/f S)pv(S)pv( eeR +ρ++ρ−= ( 7 )

Expresándolo todo en función de Q según la expresión ( 3 ), resulta:

BBBB

2

AAAA

2

t/f SpSQSp

SQ eeR

+ρ+

+ρ−=

Ahora habrá que pensar qué relación tiene t/fR con nuestra incógnita F . Para ellohay que tener en cuenta el Principio de Acción y Reacción, y considerar la tubería y elelemento rígido O-P como un sólido único. En estas condiciones, la fuerza que ejerceel fluido sobre la tubería es:

t/ff/t RR −=Como es la única acción que actúa sobre el sólido, y teniendo en cuenta que el peso dela tubería es despreciable, esta fuerza deberá ser compensada por la acción exterior Fpara llegar al equilibrio:

0FR =+f/t

t/ff/t RRF =−=Y por tanto, se obtiene finalmente el valor de F según ( 7 ):

BBB2BAAA

2A S)pv(S)pv( eeF +ρ++ρ−=

Expresándola en función de Q , según la expresión ( 3 ), resulta:

BBBB

2

AAAA

2

SpSQSp

SQ eeF

+ρ+

+ρ−= ( 8 )

Para encontrar los valores máximo y mínimo de F en función de θ , hay dosposibilidades:

1. Encontrar la expresión de F y buscar los extremos igualando a cero suderivada. (Opción no recomendable).

2. Método directo: donde nos fijamos en los dos vectores actuantes en el valor deF. (Opción que se desarrolla a continuación).



82

El valor de F , según ( 7 ), depende de unos valores positivos, AF y BF , queacompañan a los vectores ( )A - e y Be , respectivamente.

El vector ( )A - e es fijo, no depende de θ , mientras que Be varía con esta variable.Además, AF y BF son valores también constantes. Por lo tanto, los valores máximo ymínimo se obtendrán cuando AF y BF se sumen o se resten, respectivamente. Esdecir, cuando los vectores ( )A - e y Be sean paralelos.

Teniendo en cuenta las expresiones ( 3 y 8 ):

Valor mínimo de F :

2π=θ

AABBAB

2mínima SpSp

S1

S1Q −+

−ρ=F

Valor máximo de F :

23π=θ

AABBAB

2máxima SpSp

S1

S1Q ++

−ρ=F

c) Para encontrar el valor del momento M , respecto del punto O , hay que aplicar laecuación de Balance del Momento de la Cantidad de Movimiento:

dVtd

ddSdVVVliq ∫ ∫∫ ∂

ρ×=×+ρ×=V

vrtrbrM ( 9 )

donde liqM es el momento resultante de los momentos que actúan sobre el fluido.

Por otro lado, desarrollando el término de la derecha según la segunda expresión delTeorema del Transporte de Reynolds, se obtiene la siguiente expresión:

dS)()(dVt

dVtd

dVV V ∫∫ ∫ ∂

⋅ρ×+ρ×∂∂=ρ× vnvrvrvr ( 10 )

Igual que en el apartado b), se tiene un régimen estacionario, y por tanto, la derivadalocal es nula. También aquí, hay que tener en cuenta que n y v son perpendiculares enlas paredes de la tubería. De esta forma, según las expresiones ( 9 ) y ( 10 ), se obtiene:

- eA

eB

FFB eB

- FA eA

θ



83

∫∫ ⋅ρ×+⋅ρ×=BA SSliq dS)()(dS)()( vnvrvnvrM ( 11 )

donde hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. La solución de cada integral se puede realizar considerando la resultante de lasvelocidades en el punto medio de cada sección, ya que las distribuciones encada caso son uniformes y paralelas.

2. En el caso de la sección AS , se comprueba que el vector velocidad resultanteaplicado en el centro de la sección, pasa por el punto O , y por tanto noprovocará momento ya que el producto vectorial del vector posición del centrode AS y el de velocidad será nulo.

3. En el caso de la sección BS , los vectores r y v pertenecen al plano del papel, ypor tanto su producto vectorial tiene la dirección y sentido del vector ( )Z - e .Además son vectores perpendiculares, por lo que el módulo del producto es elproducto de módulos.

Aplicando estas consideraciones en ( 11 ) se tiene:

∫ ⋅−ρ=BS BBBZBliq dS)v()(vR eeeM

ZB

2

ZB2Bliq R

SQSRv eeM ρ−=ρ−= ( 12 )

El siguiente paso consiste en valorar las contribuciones de las fuerzas másicas, que eneste caso son nulas ( )0 b = , y de las fuerzas superficiales:

=×=×+ρ×= ∫ ∫∫ ∂ ∂dSdSdV

V Vliq trtrbrMV

=×+×+×= ∫∫∫latBA SSS

dSdSdS trtrtr

=++= ∫ t/fS ZBB

dSpR Me0

t/fZBB SpR Me +=

donde ft / M es el momento que ejerce la tubería sobre el fluido. Para hallar su valorse utilizará la expresión ( 12 ):

=−= ZBBliqt/f SpR eMM

ZZ ee BBB2B SpRSRv −ρ−=

ZZ eeM )SpSQ(R)pv(SR BB

B

2

B2BBt/f +ρ−=+ρ−= ( 13 )

Aplicando el Principio de Acción y Reacción, se averiguará el momento que ejerce el fluidosobre la tubería:

t/ff/t MM −=

Y aplicando equilibrio sobre la tubería y el soporte O-P , como un cuerpo conjunto yteniendo en cuenta que el peso de la tubería es despreciable:

t/ff/t

f/t MMM0MM

=−==+



84

Finalmente, se encuentra el valor del momento M , según ( 13 ):

( ) ZZ eeM

+ρ−=+ρ−= BB

B

2

B2BB Sp

SQRpvSR

Se puede comprobar que este resultado no depende del ángulo θ , y por tanto, sumódulo tendrá un valor constante.

d) Para determinar la potencia W necesaria para proporcionar el caudal Q , se debeutilizar el Teorema de las Fuerzas Vivas:

∫∫ +ρ=VV

dV:dVv21

tddW 2 dσσσσ ( 14 )

En un medio perfecto e incompresible la potencia tensional es cero, es decir:

0dV:V

=∫ dσσσσ

Esto se comprueba de la siguiente forma :

( )

0pz

vy

vx

vp

zv

yv

xv

zv

yv

xv

zv

yv

xv

Trp)(Trp

21Trp)(Trp:p:

zyx

zzz

yyy

xxx

T

=⋅−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

=

+−=−=−=

−=

=−=

v

ddd

∇∇∇∇

σσσσ

llll

llllllll1

donde se ha aplicado la expresión ( 1 ), referente a la incompresibilidad, para concluirque se anula la divergencia de la velocidad.

Aplicando al término de la derivada material (derivada material de la energía cinética delas partículas que constituyen V ) la segunda expresión del Teorema del Transporte deReynolds se obtiene:

∫ ∫∫ ∂⋅ρ+ρ

∂∂=ρ=

V V

2

V

22 dS)(v21dVv

21

tdVv

21

tddW vn

Y si se vuelve a considerar que se está en régimen estacionario y que n y v sonperpendiculares en las paredes de la tubería, la expresión de la potencia entrante W ,queda de la siguiente manera:

=ρ+−ρ=

=⋅ρ+⋅ρ=

∫∫∫∫

BA

BA

S B2BS A

2A

S

2

S

2

dS)v(v21dS)v(v

21

dS)(v21dS)(v

21W vnvn



85

B3BA

3A Sv

21Sv

21 ρ+ρ−=

Utilizando la expresión ( 3 ), se obtiene el resultado final:

−ρ= 2

A2B

3

S1

S1Q

21W

PR 5-2 Una burbuja esférica producida por fenómenos de cavitación en el seno de unfluido incompresible (que se considera de dimensión infinita) tiene un radio R(t) quedisminuye a una velocidad 0R ≤& . Sean R(0) R 0 = y 0)0(R =& el radio y su tasa de variación,respectivamente, en el instante de formación de la burbuja, supuesta constante a lo largodel tiempo. Se pide:

a) La velocidad del fluido a una distancia r del centro de la burbuja (en función de R yR& ).

b) La energía cinética K del dominio infinito de fluido.c) Si cttep =∞ es el valor de la presión en el fluido para ∞= r , calcular al valor de (t)p R .d) Suponiendo que 0(t)p R = , obtener la ecuación diferencial que describe la evolución del

radio de la burbuja. Indicar como se calcularía el instante en que desaparece la burbuja.

HIPÓTESIS:1) Fluido perfecto: 1p−=σσσσ2) Suponer una distribución radial de velocidades ( )rev r-v= .3) Densidad del fluido: ctte=ρ .4) Fuerzas másicas despreciables.5) El problema debe resolverse utilizando exclusivamente formas globales (integrales) de

las ecuaciones de conservación-balance.

pR

pR , vR

Rr

pr , vr



86

Resolución:a) Para encontrar la velocidad hay que utilizar el Principio de Conservación de la Masa, que en

forma global tiene la siguiente expresión:

0Vdtd

dtdM

V=ρ= ∫ d

Además se tendrá en cuenta el Teorema del Transporte de Reynolds:

∫∫∫ ∂⋅ρ+ρ

∂∂=ρ

VVVdSdV

tdV

dtd nv

Al tratarse de un fluido con ctte=ρ resulta:

0dVt

dVt VV

=∂∂ρ=ρ

∂∂ ∫∫

Si se aplican estas fórmulas a un volumen de control con un radio genérico r ylimitado por la burbuja de radio R y, se llega a la siguiente expresión:

0dSV

=⋅∫∂ nv

Si se desarrolla, sabiendo que el contorno de V se descompone en dos partes –una lasuperficie de la burbuja RΓ y la otra una superficie esférica Γr de radio arbitrario – , setiene:

∫ ∫∫∫∫

Γ Γ

ΓΓ∂

=⋅−+−⋅−=

=⋅+⋅=⋅

R

R

0dS)v()dS()v(

dSdSdS

rrrRRR

V

r

r

eeee

nvnvnv

Teniendo en cuenta que n es la normal exterior unitaria y que 0(t)RvR ≥−= & ,quedará:

0r4v(t)R4(t)R 2r

2 =π−π− &

2

2

r r(t)R(t)Rv &−=

b) La energía cinética K de un volumen V de un fluido es:

∫ ρ=V

2dVv21K

donde v es el módulo del campo de velocidades.

En este caso se tiene simetría esférica, por lo que habrá que integrar respecto de lavariable radio, desde R(t) hasta el infinito. El volumen diferencial de una esfera es:

drr4dV 2π=

Teniendo en cuenta estas consideraciones:



87

∫

∫ ∫∞

πρ=

=ρ=ρ=

)R(t 4

242

V V 4

422

r

drrr4(t)R(t)R

21

dVr

(t)R(t)R21dVv

21K

&

&

(t)(t)RR2K 32&πρ=

c) Se debe considerar ahora el Teorema de las Fuerzas Vivas:

∫ ∫∫∫ ∂+ρ=⋅+⋅ρ=

V VV

2

Ve dV:dVv21

dtddSdVP dvtvb σσσσ

donde Pe es la potencia mecánica entrante. En este caso 0b = por hipótesis. Además0: =dσσσσ , en el caso de fluido perfecto e incompresible.(⇒ ver el problema anterior).

Así queda:KdSP

V&=⋅= ∫∂ vte

Sabiendo que los fluidos únicamente sufren tensiones de compresión y que ∞p es unaconstante por hipótesis, se desarrolla el primer término:

=−⋅−∞→+⋅=⋅= ∫∫∫ ΓΓ∂dS)v())(p(rlim)dS)(tR()p(dSP rrrrRRRVe

R

eeeevtr

&

⇒

π−+π=π+π=∞→∞→

22

2

rr

2R

2rr

2R r4

r(t)R(t)Rplim(t)R4)(tRpr4vplim(t)R(t)4Rp &&&

r

π−π=⇒ ∞ 4(t)(t)RRp(t)R4(t)RpP 22Re

&&

El segundo término se obtiene del apartado b):

( )(t)(t)RRdtd2

dtdKK 32&& πρ==

Sustituyendo los valores obtenidos se tiene que:

( )(t)(t)RR

(t)(t)RRdtd

21p(t)p 2

32

R &

&&

ρ+= ∞

Por último se desarrolla el valor de la derivada y se sustituye en la expresión:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tR3tRt2RtRtRtRtRdtd 2232 &&&&& +=

( ) ( ) ( )

+ρ+= ∞ tR

23tRtRp(t)p 2

R&&&

d) Si 0(t)p R = entonces de c) se obtiene:



88

( ) ( ) ( )

+ρ−=∞ tR

23tRtRp 2&&&

donde)(tR(t)3R(t)R

dtd 23 &=

Entonces se tiene:( )(t)(t)RR

dtd

23(t)R

dtdp 323 &ρ−=∞

donde ρ y ∞p son constantes. Si se integra entre 0t = y un tiempo genérico t laanterior expresión y se impone que 00)(tR ==& y 0R0)R(t == , quedará la EDObuscada :

( ) ( ) ⇒ρ−=∞t

032t

03 (t)(t)RR

23)(tRp &

⇒ρ−=−⇒ ∞ (t)R(t)R23)R(t)R(p 233

03 &

(t)R(t)RR

3p2

(t)R 3

330 −

ρ= ∞&

Para encontrar el instante en el que desaparece la burbuja, únicamente hay que hallar R(t) e imponer 0)tR(t final == .

5 Ecuaciones de conservación-balance Cuestiones Propuestas


89


CP 5-1 Dada la descripción espacial de una cierta propiedad Ψ por unidad de volumen delas partículas, interpretar físicamente el valor de:

a)td

dΨ b)t∂Ψ∂ c) ∫Ψ

V

dVtd

d

d) ∫Ψ∂∂

V

dVt

______________________________________________________________________

CP 5-2 Indicar e interpretar físicamente el significado de las siguientes expresiones en laMecánica de Medios Continuos:

a) t

t),t),((-t)+t,t)+t,((0 ∆

Ψ∆∆Ψ→∆

XxXxt

lim

b) t

t),(-t)+t,(0 ∆

Ψ∆Ψ→∆

xxlimt

c) t

t)dV,()t+t,(

0∆

Ψ−∆Ψ ∫∫∆+

→∆

ttt VV

t

dVlim

xx

d) t

t)dV,()t+t,(

0∆

Ψ−∆Ψ ∫∫→∆

tt VV

t

dVlim

xx

______________________________________________________________________

CP 5-3 Interpretar físicamente los siguientes conceptos:

a) Derivada material y local de una propiedad.b) Derivada material y local de una integral de volumen.c) Justificar por qué motivos podría interpretarse que ∫

∂

⋅ΨρV

dSnv es la “derivada

convectiva” de la integral de volumen ∫ ΨρV

dV .

______________________________________________________________________

CP 5-4 Deducir las relaciones entre:

a) La derivada local y la derivada material de una magnitud Ψ .b) La derivada local y material de una integral ∫ Ψρ

V

dV , cuando todo el flujo de la

magnitud Ψ está asociado al transporte de masa.______________________________________________________________________

CP 5-5 Deducir la ecuación de la continuidad en sus formas material (o Lagrangiana) yespacial (o Euleriana).

CP 5-6 Deducir la expresión de la forma local espacial de la ecuación de conservación de una propiedad de un medio continuo para el caso más general.______________________________________________________________________

CP 5-7 Obtener la expresión del teorema del transporte de Reynolds interpretandofísicamente cada término.

______________________________________________________________________



90

CP 5-8 Justificar las siguientes afirmaciones:

a) “ En un flujo incompresible, el caudal a través de una superficie de control cerrada esnulo.”

b) “ En un flujo estacionario el flujo de masa a través de una superficie de control cerradaes nulo.”

______________________________________________________________________

CP 5-9 Justificar cuando es válida la siguiente afirmación:

“ Para un fluido incompresible en régimen estacionario, la densidad es uniforme”.

1) Siempre.2) Nunca.3) Sólo cuando la densidad en el instante inicial es uniforme.

CP 5-10 Justificar si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:

a) El flujo convectivo de una propiedad a través de una superficie material es siemprenulo.

b) El caudal neto (saliente menos entrante) a través de una superficie de control cerrada essiempre nulo.

______________________________________________________________________

CP 5-11 Para un cierto movimiento estacionario de un fluido se verifica que el caudal através de cualquier superficie de control cerrada es nulo. Obtener la expresión de laecuación diferencial, relacionando la velocidad y la densidad, que debe cumplirse.

______________________________________________________________________

CP 5-12 Deducir la forma espacial de la ecuación de Cauchy a partir del balance de lacantidad de movimiento.

CP 5-13 Demostrar la simetría del tensor de tensiones de Cauchy a partir de la ecuación deconservación del momento angular. (Aplicar la fórmula kjijki bae)( =×ba )

CP 5-14 Desarrollar los conceptos:

a) Potencia mecánica.b) Teorema de las fuerzas vivas.c) Potencia tensional.______________________________________________________________________CP 5-15 Deducir la expresión espacial de la potencia mecánica en un medio continuodeformable.

______________________________________________________________________

CP 5-16 Deducir el Teorema de las fuerzas vivas en Mecánica de Medios Continuos(utilizar la expresión ).:)()( vvv ∇∇∇∇σσσσσσσσ∇∇∇∇σσσσ∇∇∇∇ +⋅⋅=⋅⋅

______________________________________________________________________



91

CP 5-17 Obtener la expresión de la potencia calorífica entrante en un medio continuo,indicando el significado de cada término.

______________________________________________________________________

CP 5-18 Enunciar los postulados que se establecen en el primer principio de laTermodinámica y obtener la forma local Euleriana de la ecuación de conservación de laenergía, indicando el significado de los términos que intervienen.

______________________________________________________________________

CP 5-19 Significado del término ijij dσ de la ecuación de conservación de la energía,siendo:

ijσ : Tensor de Tensiones de Cauchy.

ijd : Tensor Velocidad de Deformación.

ijE : Tensor Deformación.______________________________________________________________________

CP 5-20 Definir:

a) Variables termodinámicasb) Variables de estadoc) Procesos termodinámicos reversibles e irreversibles.

Indicar la utilidad del 2º principio de la termodinámica en la Mecánica de MediosContinuos.______________________________________________________________________

CP 5-21 Para un estado tensional de “presión hidrostática” ( )ijij pδ−=σ :

a) Demostrar que la potencia tensional es dVddp

V tρ

ρ∫ .

b) Expresar la ecuación de la energía, en procesos termodinámicamente reversibles, enfunción de la temperatura, entropía, presión, energía interna, densidad y tiempo.

______________________________________________________________________

CP 5-22 Formular en forma Euleriana, indicando el significado de cada símbolo, lossiguientes principios tal y como se usan en Mecánica de Medios Continuos y en su formalocal:

1) Conservación de la Masa ( Ecuación de Continuidad ).2) Conservación de la Cantidad de Movimiento ( Ecuación de Cauchy ).3) Conservación del Momento Angular.4) Conservación de la Energía (Ecuación de la Energía).______________________________________________________________________

CP 5-23 Enunciar y escribir las ecuaciones necesarias para resolver un problema mecánico-térmico en Mecánica de Medios Continuos. Indicar cuales son las incógnitas del problemay su tipo (mecánico o térmico). Explicar cuando puede decirse que el problema estádesacoplado, y establecer las expresiones para este caso.

______________________________________________________________________

5 Ecuaciones de conservación-balance Problemas Propuestos


93


PP 5-1 El campo de velocidades de un fluido incompresible en régimen estacionario es:

( ) [ ]Tf(z)y;-xy;-x-=xvSe pide:

a) Determinar f(z) , sabiendo que la velocidad en (0,0,0) es nula.b) Obtener las ecuaciones de las trayectorias y líneas de corriente.c) Calcular el tensor velocidad de deformación y el vector vorticidad.d) Calcular las fuerzas de volumen necesarias para mantener este movimiento en un

medio ilimitado siendo constante la presión.e) Entre los tiempos

2 =t π y π=t se inyecta colorante en el punto (1,0,0) . Calcular las

correspondientes líneas de traza a lo largo del tiempo.

PP 5-2 Por el nudo de tuberías de la figura circula en régimen estacionario un fluidoperfecto e incompresible. El nudo está sustentado por un elemento rígido D-O . Se pide:

a) Determinar, justificando las fórmulas empleadas, las velocidades de entrada ( )BA y v vy de salida )(vC en función del caudal Q .

b) Calcular la resultante (fuerza y momento en el punto O ) de las acciones sobre el fluidodel interior del nudo.

c) Calcular las reacciones (fuerza y momento) en el punto D del soporte.d) Determinar la potencia W de la bomba necesaria para proporcionar los caudales

indicados.

HIPÓTESIS:1) Peso del fluido y de la tubería despreciables.

y

z

Qb = Qvb

Sb = S1

Pb =P1

x

Qc vc

Sc = S2

Pc =P2

Qa = 3Qva

Sa = S1

Pb =P1

A

B

C

O

h

D



94

PP 5-3 En el aspersor para riego cuya planta y alzado se presentan en la figura entra através de la sección C un caudal de agua Q a una presión P y sale por los extremos A yB a la presión atmosférica atmP . El flujo se supone estacionario.

Se pide:

a) Las velocidades de entrada y de salida. (Justificar la fórmula empleada).b) La resultante en el punto O de las fuerzas ejercidas sobre el fluido del interior del

aspersor (fuerzas y momentos).c) Las reacciones a ejercer sobre dicho punto O , para evitar que el aspersor se desplace

verticalmente.d) Suponiendo que 0I e 1I son, respectivamente, los momentos centrales de inercia del

aspersor en vacío y del aspersor lleno de agua, respecto del punto O , calcular laaceleración angular de giro del aspersor α .

e) Si *W es la potencia de la bomba necesaria para proporcionar el caudal Q , calcular lapotencia necesaria para proporcionar un caudal 2Q .

HIPÓTESIS:1) Fluido incompresible2) Fluido perfecto: ijij pδ−=σ3) Se desprecia el peso del aspersor y del agua de su interior.4) S S S BA ==

5) *C S S =

6) α= I m

PP 5-4 En el dibujo se esquematiza la planta de una turbina en la que entra un caudal Qde agua por la sección O que sale repartido a partes iguales por las toberas 1´-1 y 2´-2 alas velocidades 1v y 2v , respectivamente. Las secciones de salida de las toberas son 1S y

2S , y sus excentricidades respecto al eje de la turbina son R y Rα (ver figura). Se pide :

a) Las velocidades 1v y 2v en función del caudal Q (justificar las fórmula empleada).b) El momento respecto al eje O ejercido sobre la turbina por el fluido de su interior.

O

Q/2

Q/2

A

B

y

x

d d

h/2

h/2

PA = Patm

SA = SvA

PB = Patm

SB = SvB

PLANTA

C

Q/2 Q/2

Q vC

PC = PSC = S*

vBvA

A B

ALZADO

αz



95

c) La relación entre 1S y 2S (en función del parámetro α ) necesaria para que la turbinano gire.

HIPÓTESIS:1) Fuerzas másicas despreciables.2) Régimen estacionario.3) Fluido incompresible.4) Fluido perfecto: ijij pδ−=σ

PP 5-5 En la figura se presenta la sección longitudinal de una tubería de sección transversalcuadrada por la que circula agua que entra por la sección AE y sale por la sección CD . Enla sección de salida se dispone una compuerta BC que puede bascular alrededor de la rótulaB , y que se mantiene en posición vertical mediante la acción de la fuerza F . Se pide:

a) La velocidad de salida 2v en función de la de entrada 1v (justificar la fórmulaempleada).

b) La resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas sobre elfluido del interior de la tubería.

c) La resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas por elfluido sobre la compuerta BC .

d) El valor de la fuerza F y de las reacciones que ejerce la tubería sobre la compuerta enB .

e) La potencia de la bomba necesaria para mantener el flujo.

S1v1 p= patm= 0

S1

v1

y

xO

R

S2

v2

S2

v2

R

1

2′

1′

24

Q4

Q

Q4

RαRα

4Q

Q

h

h

p = patm ≈ 0

C h/2

h/2v2v1

A

E

B

D

F

y

x

z

$e1

$e23e



96

HIPÓTESIS:1) Régimen estacionario2) Fluido incompresible3) Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a

la presión de entrada p .4) Fluido perfecto: ijij pδ−=σ5) Se desprecia el peso del fluido y de la compuerta.

PP 5-6 En la figura se esquematiza un bomba para inyección de un fluido incompresibleprovista de una válvula de retención OA cuyo peso, por unidad de anchura, es W . Seconsidera un cierto proceso se inyección en régimen estacionario definido por la velocidaddel émbolo V y las presiones 1P (en el interior de la cámara de presión) y 2P (en elexterior). Determinar:

a) Las velocidades 1v y 2v en función de V (justificar la fórmula empleada).b) Las fuerzas, por unidad de anchura, ejercidas por el fluido sobre la válvula OA .c) El momento, por unidad de anchura, en O ejercido por fluido sobre la válvula.d) El valor de W para que la válvula OA se mantenga en la posición de la figura durante el

proceso de inyección.

HIPÓTESIS:1) Se desprecian las fuerzas másicas en el fluido.2) Fluido perfecto: ijij pδ−=σ .Considere el análisis por metro lineal.

v1

αaP2

b a

a/2 a/2

W

V

P1

v2

P2

B

A

O

B

A

Detalle

O

αa

P1

6 Elasticidad lineal Cuestiones Resueltas


97

666 EEElllaaassstttiiiccciiidddaaaddd llliiinnneeeaaalll



a) En un material termoelástico, los términos isentrópico y adiabático son equivalentes.b) Para materiales termoelásticos lineales, la segunda analogía térmica es aplicable siempre.

Resolución:a) Según el 2º Principio de la Termodinámica, tenemos la siguiente expresión:

0)( 000 ≥⋅−ρ−θρ=θρ q∇∇∇∇rss iloc &&

Para un material termoelástico siempre tendremos procesos reversibles y por tanto estadesigualdad se convierte en igualdad:

0)( 000 =⋅−ρ−θρ=θρ q∇∇∇∇rss iloc && ( 1 )

La definición de un proceso isentrópico (se mantiene la entropía constante) es:

0s =&

La definición de un proceso adiabático ( la variación de calor es nula) es:

00 =⋅−ρ q∇∇∇∇r

Por lo tanto, si se supone un proceso isentrópico, y se introduce su expresiónmatemática en la ecuación ( 1 ), quedará la definición de proceso adiabático:

00 =⋅−ρ q∇∇∇∇r

Y al revés, si se supone un proceso adiabático, y se introduce su expresión matemáticaen la ecuación ( 1 ), quedará la definición de proceso isentrópico:

0=s&

En conclusión, la afirmación es cierta.

b) La 2ª analogía térmica no es aplicable siempre. Se tiene que verificar la condición que elcampo de deformaciones térmicas sea integrable, es decir, tiene que verificar lasCondiciones de Compatibilidad. Puesto que las condiciones de compatibilidad involucranderivadas segundas de las componentes del tensor de deformaciones respecto z y, x, ,se verificará automáticamente si .ctte=α y .ctte=θ∆ , o bien, si θ∆α es lineal en

z y, x, .



98

rR

tCR 6-2 El cilindro indefinido de la figura, constituido porun material elástico lineal isótropo, está sometido alsiguiente estado de deformación (en coordenadascilíndricas):

1a;0

;2

a;a

rzzzz

r

<<===

θ=θ==

θ

θθθ

EEE

cosEsinEErr

Calcular el vector de tracciones t , en el contorno, encomponentes cilíndricas

HIPÓTESIS:1) λ , µ son las constantes de Lamé.

Resolución:El Tensor de Deformación coincidirá con el Tensor de Deformación Infinitesimal y tendrá lasiguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

( ) ( )

θθ

θθ

=θ=θ

000

0a2

a

02

aa

z,,rz,,r sincos

cossin

εεεεE

Utilizando la Ecuación Constitutiva de un material elástico lineal e isótropo se puede obtenerel Tensor de Tensiones en coordenadas cilíndricas:

EE µ+λ= 2)(Tr 1σσσσ

θλθµ+λθµ

θµθµ+λ=

sin2000sin)(2cos0cossin)(2

aσσσσ

El vector normal y exterior al cilindro tendrá la siguiente expresión en cilíndricas:

( )T0,0,1=nUtilizando la definición del vector de tracciones se obtiene la siguiente expresión encoordenadas cilíndricas:

θµ

θµ+λ=⋅=

0

)(2a cos

sinnt σσσσ

CR 6-3 Un sólido sin fuerzas de volumen ni coacciones exteriores, cuyo material esisótropo, está sometido a un incremento de temperatura θ∆ igual en todos sus puntos.Encontrar su campo de desplazamientos, tensiones y deformaciones en coordenadascartesianas.



99

Resolución:Para resolver este problema se aplicará la 2ª Analogía Térmica. Se tiene un problema I que sedescompondrá en suma de dos problemas: II y III.

PROBLEMA I:

θ∆=θ∆

Γ=

Γ=

=

∗

σ∗

I

ut en,

en,:Acciones

uu

0t0b

σσσσεεεε,,:Respuesta u

PROBLEMA II:

=θ∆

Γ=−=

Γ==

==

∗∗∗

σ∗∗

0

en,

en, :Acciones

II

uIIIII

II

II

0uuu

0tt

0bb

000u === IIIIII ,, :Respuesta σσσσεεεε

PROBLEMA III:

θ∆=θ∆Γ=

Γ=

=

∗σ

∗

III

uIII

III

III

en,

en, :Acciones

tuu

0t

0b

0uu === IIIt

IIIt

III ,, :Respuesta σσσσεεεεεεεε

Si el material es homogéneo e isótropo y tiene θ∆ uniforme, entonces tεεεε tendrá lasiguiente expresión:

( )ctte.t 1α∆θ=εεεε

Teniendo en cuenta que se está con deformaciones infinitesimales, se deduce:

CxuCXxF +⋅+=⇒+⋅++=⇒++= )()( tttt ΩΩΩΩεεεεΩΩΩΩεεεεΩΩΩΩεεεε 11

Resulta, por tanto, que el campo de desplazamientos es:

( )

+Ω+Ω+θ∆α+Ω+Ω+θ∆α+Ω+Ω+θ∆α

=

33231

22321

11312t

CyxzCzxyCzyx

zy,x,u

La solución final será:

0

uuuu

=+==+=

=+=

IIIII

IIIII

IIIII

σσσσσσσσσσσσεεεεεεεεεεεεεεεε t

t



100

CR 6-4 Un sólido elástico, lineal e isótropo, está sometido en todo su contorno exterior auna presión constante,de valor θ∆ , junto con un incremento de temperatura en su interiorde valor ( )zy,x,θ=θ∆ . Ambas acciones se compensan de forma que no se producendesplazamientos. Obtener el valor de θ∆ en cada punto del sólido.

Resolución:Se aplicará la 1ª Analogía Térmica: Para ello el problema original I se descompondrá en sumade dos problemas: II y III.

PROBLEMA I:

θ∆=θ∆

Γ=

Γ−=

=

∗

σ∗

uen,

en,p:Acciones

0u

nt

0b

σσσσεεεε ,, :Respuesta u

PROBLEMA III:

Se resuelve primero el problema III, cuya solución es trivial:

θ∆=θ∆Γ=

Γθ∆β−=

θ∆βρ

=

∗σ

∗

III

uIII

III

III

en,

en,

)(1

:Acciones0u

nt

b ∇∇∇∇

1θ∆β−=== IIIIIIIII ,, :Respuesta σσσσεεεε 00u

PROBLEMA II:

=θ∆

Γ==

Γθ∆β+−=

θ∆βρ

−=

∗∗σ

∗

0

en,

en,)p(

)(1

:Acciones

II

uII

II

II

0uu

nt

b ∇∇∇∇

Para resolver el problema II se tendrá en cuenta la Ecuación de Navier y que 0u =II :

⇒=ρ+µ+⋅µ+λ 0buu IIII2

II )()( ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇uniformees0)(II θ∆⇒=θ∆β⇒=⇒ ∇ ∇∇∇0b

Además se tiene que:0uu =⊗+⊗= )(

21

IIIIII ∇∇∇∇∇∇∇∇εεεε

0uuu =⊗+⊗µ+⋅λ= )()( IIIIII ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇σσσσ 1

⇒∀=θ∆β+−==⋅ ∗ n0ntn ,)p(IIIIσσσσ0p =θ∆β+−⇒

De esta forma se obtiene el valor del incremento de temperatura pedido:



101

β=θ∆ p

CR 6-5 Se conocen las respuestas de un sólido termoelástico lineal en equilibrio a unsistema de acciones I ( )(I)

u*(I)*(I)(I) ;en;en, θ∆ΓΓσ utb y a otro sistema de acciones II

( )(II)u

*(II)*(II)(II) ;en;en, θ∆ΓΓσ utb . Justificar cuál sería la respuesta al sistema I + II.

Resolución:Las acciones resultantes serían las siguientes:

u(II)I)(*

(II)(I)*

(II)(I)

(II)(I)

en

en

Γ+=

Γ+=

θ∆+θ∆=θ∆

+=

∗∗σ

∗∗

uuu

ttt

bbb

Por hipótesis, se supondrá que la solución es la suma de las soluciones de los dos sistemas:

)(II(I)

(II)(I)

(II)(I)

σσσσσσσσσσσσ

εεεεεεεεεεεε

+=

+=

+= uuu

Se tendrá que comprobar si se cumplen las ecuaciones de Equilibrio (o Cauchy), Geométricas yConstitutivas. Se sabe que la solución es única y, por tanto, si se encuentra una que cumplalas Ecuaciones de Gobierno en el dominio y las Condiciones de Contorno en los límites del dominio(La solución propuesta cumple las condiciones de contorno, por definición), dicha soluciónserá la correcta.

ECUACIÓN DE EQUILIBRIO:

000bbbbb =+=ρ+⋅+ρ+⋅=+ρ++⋅=ρ+⋅ )()()()( (II)(II)(I)(I)(II)(I)(II)(I) σσσσ∇∇∇∇σσσσ∇∇∇∇σσσσσσσσ∇∇∇∇σσσσ∇∇∇∇

ECUACIONES GEOMÉTRICAS:

]u[u21)]u(u)u[(u

21)u(u

21)u(u

21

ij,ji,(II)

ij,(I)

ij,(II)

ji,(I)

ji,(II)

ij,(II)

ji,(I)

ij,(I)

ji,(II)ij

(I)ijij +=+++=+++=ε+ε=ε

ECUACIONES CONSTITUTIVAS:

=θ∆β+ε+θ∆β+ε=σ+σ=σ ]C[][C (II)ij

(II)klijkl

(I)ij

(I)klijkl

(II)ij

(I)ijij

θ∆β+ε=θ∆+θ∆β+ε+ε= ijklijkl(II))(I

ij(II)kl

(I)klijkl C][][C

Se comprueba, por tanto, que se cumplen todas las condiciones y que esta es, entonces, lasolución del problema. Se concluye que el principio de superposición también funciona entermoelasticidad.

6 Elasticidad lineal Problemas Resueltos


103


PR 6-1 Una corona cilíndrica de altura h , radio interior R y radio exterior 2R , seencuentra en el interior de un cilindro de rigidez infinita de altura h y radio a2R + , con

Ra << . Se somete la corona a un campo uniforme de temperatura θ∆ . Determinar:

a) El valor de θ∆ para el que las paredes laterales de la corona y el cilindro entran encontacto.

b) Dibujar, acotando los valores significativos, la curva θ∆δ - , siendo δ el alargamientodel radio interior de la corona. Determinar el valor de θ∆ para el cual dicho radiorecupera su valor original.

c) Dibujar, acotando valores significativos, las curvas θ∆σ - rr , θ∆σθθ - , θ∆σ - zz , en lospuntos A y B .

HIPÓTESIS:1) Módulo de Elasticidad: E2) Coeficiente de Poisson: 0 =ν3) Coeficiente de dilatación térmica : α4) Material elástico lineal e isótropo.5) No se considera el peso propio.6) No se considera el rozamiento entre paredes.

Resolución:En el problema se pueden distinguir dos fases distintas:

Fase 1ª

Se considera que la corona cilíndrica no ha entrado en contacto con el cilindrorígido. La condición de contorno en las paredes laterales, tanto interna comoexterna, será que la tensión radial sea nula.Por tanto, se deberá controlar el momento en que se toquen, es decir, cuando secumpla:

a2R)(ru r ==

h B A

a

R2R

a

2R

BR

A



104

Fase 2ª

Se considera que existe contacto, y por tanto, la condición de contorno en la paredlateral externa es distinta que la de la primera fase. En este caso, se impondrá que eldesplazamiento radial sea nulo. Sin embargo, en la pared interna la condición decontorno es la misma que en el otro apartado.Al aplicar un θ∆ positivo, el radio interior disminuirá, pues el radio exterior nopuede aumentar más, al estar limitado por el cilindro infinitamente rígido. Así, laúnica posibilidad es que la corona se siga dilatando hacia dentro. Llegará unmomento en que el radio interior, que en la 1ª fase había aumentado, volverá arecuperar su valor inicial.

Se aplicará la primera analogía térmica y el principio de superposición. Para ello sedescompondrá el problema original (problema I) en la suma de dos: problema II yproblema III.

En el caso del problema III, llamado problema trivial, las acciones actuantes son:)(1

III θ∆⋅ρ

= ββββ∇∇∇∇b

Pero en este caso se tiene θ∆ uniforme y ββββ es un tensor esférico y constante ( )1β=ββββ portanto resulta:

0b =θ∆⋅ρ

= )(1III ββββ∇∇∇∇

Las condiciones de contorno son las siguientes:

1. En el contorno están los movimientos prescritos 0u =Γ IIIu :2. En el contorno están las tensiones prescritas nnt θ∆β−=θ∆β−=Γσ :

La solución de este problema ya se conoce:

1θ∆β−=

==

III

III

III

σσσσεεεε 0

0u ( 1 )

En el problema III no se considera el incremento térmico.

En el caso del problema II, llamado problema análogo, las acciones actuantes son:

)(1II θ∆⋅

ρ−= ββββ∇∇∇∇bb

En esta expresión 0b = es un dato y el otro término también se anula como antes se havisto. Por tanto se tiene:

0b =II

Las condiciones de contorno para el problema II son:1. En el contorno están los movimiento prescritos según *

IIu : uu =Γ , siendo *u elmovimiento impuesto del problema I.

2. En el contorno con tensiones prescritas en =θ∆β+=⋅=Γσ ntnt *IIII: σσσσ

nt θ∆β+= * , siendo t* el vector de tracciones impuesto del problema I.



105

Se va a resolver el problema análogo, y a continuación se le sumará la solución delproblema trivial y así se llegará a la solución final. (En este apartado no se añade elsubíndice II, pero hay que considerar que se está trabajando con los movimientos,deformaciones y tensiones del problema II).

Por simetría cilíndrica, se sabe que el vector de desplazamientos u tendrá estos valores:

( ) [ ](z)u0(r)uzr, zr=u

Además, se impondrá que 0(z)u z = en todos los puntos, ya que no se dispone de ningúndato sobre superiorS y inferiorS de la corona. Para estas caras no se puede plantear ningunacondición de contorno en desplazamientos y de aquí no se pueden determinar lasconstantes de integración de uz en caso de suponer uz ≠ 0 .Así que finalmente se adopta:

( ) [ ]00(r)ur r=u

Con la Ecuación de Navier-Stokes se podrá solucionar este problema:

0ubuu =∂∂ρ=ρ+µ+⋅µ+λ 2

2

002

t)()( ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇

Hay que tener en cuenta que se está trabajando en coordenadas cilíndricas y por tanto laecuación anterior hay que adaptarla a este sistema de coordenadas. Previamente, y partir delos datos, hay que establecer el valor de los parámetros que intervienen en el problema( )0, E, =να :

α=β⇒αν−

=β

==µ⇒ν+

=µ

=λ⇒µ+λ

λ=ν

EE

EGE

21

2)1(2

0)(2

( 2 )

Introduciendo los datos del problema se obtiene:

⇒=ω=ω=ω θ 0zr

⇒∂∂=⇒ )(1

rurrre

0)](1[ =∂∂

∂∂⇒ rurrrr

E

Si se integra esta última ecuación se obtiene:

( )

+=

+=

+=

=∂∂

=∂∂

00BA

BA

BA

A2)(

A2)(1

2

rrr

rru

rur

rurr

urrr

r

r

r

r

u

( 3 )

Con estos desplazamientos se pueden obtener fácilmente las correspondientesdeformaciones:



106

( )

+

−

=

000

00

00

r 2

2

rBA

rBA

εεεε ( 4 )

Por último, para obtener las tensiones se usa la ecuación constitutiva de un material elásticolineal isótropo, particularizado con las expresiones ( 2 ):

εεεεσσσσ

εεεεεεεεσσσσE

2))((=

µ+λ= 1Tr ( 5 )

Fase 1ª

Se tienen dos incógnitas a determinar ( A y B ) y por ello se deben establecer doscondiciones de contorno. Se pueden imponer en el problema las tensiones en las dosparedes laterales de la corona:

CONDICIÓN DE CONTORNO EN Rr 2=

Si 2Rr = se tiene, según las condiciones de contorno σΓ en el problema análogo:

ntntnt θ∆β+=θ∆+=⋅= ** ββββσσσσ

De aquí se conocen los siguientes datos:

[ ]001=n : normal unitaria exterior.0t =* : ya que en el problema I y en esta fase, las paredes laterales no tienen cargas.

σσσσ : viene dado por las expresiones ( 4 ) y ( 5 ).

Por tanto, queda la siguiente condición:

θ∆β==σ )2Rr(rr

Y sustituyendo el valor de la tensión radial y teniendo en cuenta ( 2 ) resulta:θ∆α=− 24R

BA ( 6 )

CONDICIÓN DE CONTORNO EN Rr =

Si Rr = y según las condiciones de contorno σΓ en el problema análogo se tieneque:

ntntnt θ∆β+=θ∆+=⋅= ** ββββσσσσ

De aquí se conocen los siguientes datos:[ ]001−=n : normal unitaria exterior.

t 0* = : ya que en el problema I y en esta fase, las paredes laterales no tienen cargas.σσσσ : viene dado por las expresiones ( 4 ) y ( 5 ).


θ∆β==σ )Rr(rr

Y sustituyendo el valor de la tensión radial y teniendo en cuenta ( 2 ) resulta:



107

A BR

− =2 α∆θ ( 7 )

Teniendo en cuenta ( 6 ) y ( 7 ):

0=

θ∆α=BA ( 8 )

Sustituyendo ( 8 ) en ( 3 ), ( 4 ) y ( 5 ) se obtendrán los desplazamientos, las deformacionesy las tensiones del problema análogo:

[ ]00II rθ∆α=u

θ∆α

θ∆α=

0000000

IIεεεε ( 9 )

θ∆α

θ∆α=

0000000

II EE

σσσσ

Teniendo en cuenta el principio de superposición, ( 1 ),( 2 ) y ( 9 ), se resuelve el problemaoriginal en la primera fase:

[ ]00rθ∆α=u

θ∆α

θ∆α=

0000000

εεεε ( 10 )

θ∆α−=

E00000000

σσσσ

Para obtener el valor de ∗θ∆ para el cual las paredes laterales del cilindro y la corona entranen contacto, basta imponer:

⇒== a2R)(rru

aR2 =θ∆α⇒

R2

aα

=θ∆ ∗ ( 11 )

b) Primero se determinará ∗∗θ∆ , para el que se cumple que el radio interior recupera suposición inicial.

Fase 2ª

Se volverá a usar la misma geometría que en el problema inicial, pero ahora existe contactoentre la corona y el cilindro. Es como resolver un problema aparte, con la misma geometríapero con diferentes condiciones de contorno.



108

En este apartado se prescindirá de la primera fase, pero recordando que el sólido parte deun estado que es el resultado de la anterior fase, es decir, ha tenido unos desplazamientos,deformaciones, tensiones e incrementos de temperatura. Se utilizará la variable θ∆ .

Se aplica la analogía térmica, igual que en el apartado anterior. El problema III queda igualy por tanto también su resultado ( 1 ).Por tanto hay que resolver el problema II con lasmismas expresiones ( 3 ), ( 4 ) y ( 5 ):(Aquí también se omiten los subíndices II, aunque hay que volver a remarcar que todo estáreferido al problema II y no al original)

Se tienen dos incógnitas a determinar: A , B . Por ello se deben establecer dos condicionesde contorno. Se pueden imponer las tensiones en la pared lateral interna de la corona y losdesplazamientos de la exterior:

CONDICIÓN DE CONTORNO EN Rr 2=

Si r=2R y según las condiciones de contorno uΓ en el problema análogo se tiene:

0)2( == Rrur

Por tanto, queda la siguiente condición: 0

22 =+

RBRA ( 12 )

CONDICIÓN DE CONTORNO EN Rr =

Si R r = se tiene según las condiciones de contorno σΓ en el problema análogo:ntntnt θ∆β+=θ∆+=⋅σ= ** ββββ

De aquí se conocen los siguientes datos:

[ ]001−=n : normal unitaria exterior.t 0* = : ya que en el problema I y en esta fase, la pared lateral interna no tiene cargas.σσσσ : viene dado por las expresiones ( 3 ) y ( 4 ).


θ∆β==σ R)(rrr

Y sustituyendo el valor de la tensión radial y teniendo en cuenta ( 2 ) resulta:

A BR

− =2 α∆θ ( 13 )

Teniendo en cuenta ( 12 ) y ( 13 ):

2

54

51

RB

A

θ∆α−=

θ∆α= ( 14 )

Sustituyendo ( 14 ) en ( 3 ), ( 4 ) y ( 5 ) se obtienen los desplazamientos, las deformacionesy las tensiones del problema análogo:

−θ∆α= 00)4(51 2

III rRru



109

−θ∆α

+θ∆α

=

000

0)41(510

00)41(51

2

2

2

2

III rR

rR

εεεε

−θ∆α

+θ∆α

=

000

0)41(510

00)41(51

2

2

2

2

III rRE

rRE

σσσσ ( 15 )

Teniendo en cuenta el principio de superposición, ( 1 ), ( 2 ) y ( 15 ), se resuelve elproblema original en la segunda fase:

−θ∆α= 00)4(51 2

rRru

−θ∆α

+θ∆α

=

000

0)41(510

00)41(51

2

2

2

2

rR

rR

εεεε ( 16 )

θ∆α−

−−θ∆α

+−θ∆α

=

ErRE

rRE

00

0)1(540

00)1(54

2

2

2

2

σσσσ

Hay que tener en cuenta que no se ha considerado para nada que se ha partido del estadofinal de la fase 1ª y no de un estado neutro como se ha supuesto en este apartado.

En realidad se parte del estado con movimientos, deformaciones, tensiones e incrementode temperatura correspondientes a ∗θ∆=θ∆ :

)(

)(

)(

Fase 1ª

Fase ª1

Fase ª1

∗

∗

∗

θ∆=θ∆=

θ∆=θ∆=

θ∆=θ∆=

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

inicial

inicial

inicial uu

( 17 )

Y, en realidad, la variable θ∆ en las expresiones ( 16 ) no es el incremento de temperaturatotal, sino que es la diferencia de temperatura del momento con ∆θ∗ . Es decir:

∗θ∆−θ∆=θ∆ ( 18 )

Así teniendo en cuenta ( 16 ), ( 17 ) y ( 18 ) se obtienen los movimientos, deformaciones ytensiones durante la fase 2ª:



110

)(

)(

)(

Fase 2ª

Fase 2ª

Fase 2ª

θ∆+=

θ∆+=

θ∆+=


εεεεεεεεεεεε

inicial

inicial

inicial uuu

Por lo tanto, para determinar ∗∗θ∆ , bastará con imponer que el movimiento del radiointerior, según la 1ª fase, sea igual pero de signo contrario al de la 2ª fase, para que así elmovimiento total sea nulo.

1ª fase: desplazamiento para R r = y ∗θ∆=θ∆ . Según ( 10 ) y ( 11 ) se obtiene:

2aR),R(ru r1 =θ∆α=θ∆=θ∆==δ ∗∗ ( 19 )

2ª fase: desplazamiento para R r = y ∗∗θ∆=θ∆ . Según ( 16 ) se obtiene:

δ α235

= = = = −∗∗ ∗∗u r R Rr ( , )∆θ ∆θ ∆θ

R6a5

21 α=θ∆⇒δ−=δ ∗∗ ( 20 )

Finalmente, según ( 18 ) se encuentra el incremento de temperatura total:∗∗∗∗∗ θ∆+θ∆=θ∆

R2a

R6a5

α+

α=θ∆ ∗∗

R3a4

α=θ∆ ∗∗

Ahora se dibujará el gráfico θ∆δ - ) corona la deinterior radio del entodesplazami ( :

c) Para dibujar las gráficas θ∆−σθ∆−σθ∆−σ θθ zzrr ,, para los puntos B ) R r ( = yA ) 2R r ( = , se deben tener en cuenta las expresiones ( 10 ) y ( 16 ):

δ

Rα

Rα53

θ∆∗θ∆ ∗∗θ∆

2a=δ



111

θ∆∗θ∆ ∗∗θ∆

zzσ

punto B y punto A

αE

RaE

34−=σ zz

θ∆∗θ∆ ∗∗θ∆

rrσ

αE53

RaE

21−=σrr

punto A

punto B:0=σrr

θθσ

θ∆∗θ∆ ∗∗θ∆

αE58

RaE

65−=σθθ

punto B

αE

RaE

34−=σθθ

punto A



112

PR 6-2 El cilindro macizo de la figura tiene impedido el movimiento de su base inferior yestá sometido al siguiente campo de deformaciones infinitesimales:

2x;

2y;0 yzxzxyzzyyxx

ϕ=εϕ−=ε=ε=ε=ε=ε

a) Obtener el campo de desplazamientos.b) Demostrar que dichos desplazamientos pueden interpretarse como un giro rígido,

alrededor del eje z , de cada sección horizontal del cilindro respecto a la base.Interpretar el valor de ϕ en ese contexto.

c) A la luz de lo indicado en el apartado anterior, obtener el campo de desplazamientos yde deformaciones en coordenadas cilíndricas.

d) Suponiendo que el material sigue la Ley de Hooke, obtener las componentes encilíndricas del tensor de tensiones y dibujar la distribución de tensiones sobre la secciónlateral del cilindro y sobre una sección horizontal cualquiera del mismo. Obtener lareacción, fuerza y momento en O , sobre la base del cilindro.

HIPÓTESIS:1) Propiedades del material: E , G .

COMENTARIO:Se va a demostrar que la solución de Coulomb en el caso de una pieza empotrada con unmomento torsor en el otro extremo no es una solución simplificada como la mayoría de lasde Resistencia de Materiales, sino que se trata de una solución exacta.

Resolución:a) Para obtener el campo de desplazamientos debemos integrar el campo de

deformaciones dado en el problema.

Primero se encuentra el Vector de Rotación θθθθ :

))( ( z de depende no 000

))( (y de depende no 000

2

1111

1111

1

zzE

yE

z

yzE

yE

y

zE

yE

x

yzzz

yyyz

xyxz

θ≠θθ⇒=−=∂

∂−

∂∂

=∂

∂θ

θ≠θθ⇒=−=∂

∂−

∂∂

=∂∂θ

ϕ−=∂

∂−

∂∂

=∂∂θ

11 2Cx +ϕ−=θ⇒

z

O

h

x

y

R



113

)(000 222 x

xE

zE

xxzxx θ≠θ⇒=−=

∂∂

−∂

∂=

∂∂θ

22

222

2

2

)(000

220

Cy

zxE

zE

z

xE

zE

y

zzxz

yzxy

+ϕ−=θ⇒

θ≠θ⇒=−=∂

∂−

∂∂

=∂

∂θ

ϕ−=ϕ−=∂

∂−

∂∂

=∂

∂θ

33

3

333

333

22

)(000

)(000

Cz

yE

xE

z

yyE

xE

y

xyE

xE

x

xzyz

xyyy

xxxy

+ϕ=θ⇒

ϕ=ϕ+ϕ=∂

∂−

∂∂

=∂

∂θ

θ≠θ⇒=−=∂

∂−

∂∂

=∂

∂θ

θ≠θ⇒=−=∂

∂−

∂∂

=∂

∂θ

Posteriormente se busca el Vector de Desplazamientos u :

123

21

22

1333

)(22

)(

0

CzCyCzyu

CydzzdyCyyE

zu

zyCzyuCzEyu

Exu

x

xzx

xxyx

xxx

′++−ϕ−=⇒

+ϕ−=ψ

+ϕ−=+ϕ−ϕ−=θ+=∂

∂

ψ+−ϕ−=⇒−ϕ−=θ−=∂

∂

==∂

∂

213

12

11

2333

)(22

0

)(

CzCxCzxu

CxdzzdxCxxE

zu

Eyu

zxCzxuCzExu

y

yzy

yyy

yxyy

′+−+ϕ=⇒

−ϕ=ψ

+ϕ=−ϕ+ϕ=θ−=∂

∂

==∂

∂

ψ++ϕ=⇒+ϕ=θ+=∂

∂

dyyd

CCxxEyu

yxCuCCyyExu

yzz

zxzz

)(22

)(22

3111

32222

ψ==+ϕ−ϕ=θ+=

∂∂

ψ+−=⇒−=−ϕ+ϕ−=θ−=∂

∂



114

0==∂

∂zz

z Ezu

312 CyCxCuz ′++−=⇒Para obtener las constantes se impondrán las condiciones de contorno, es decir, seimpondrá que el cilindro está empotrado en la base:

0,,0,,0 31130 ==′⇒∀=′+−⇒∀== CCyxCyCyxu zx

0,,0,,0 2230=′⇒∀=′+⇒∀=

=CyxCxCyxu

zy

0,,0,,0 2133120 ===′⇒∀=′++−⇒∀== CCCyxCyCxCyxu zz

Finalmente queda:

( )

ϕϕ−

=0zxzy

zy,x,u

b) Si 0 y x == entonces ( ) 0u =zy,x, , luego el eje z del cilindro no se mueve.

Considérese una sección transversal del cilindro de cota ctte k z == . Supóngase ahora quetoda la sección gira un ángulo φ pequeño, ya que se están considerando pequeñasdeformaciones ( φ≈φtg ). Entonces se puede interpretar el desplazamiento de un punto Pcomo rφ , siendo r la distancia del punto en cuestión al eje z . Así, si toda la sección tieneun movimiento de giro de sólido rígido de ángulo φ, el campo de desplazamientos seescribe como:

( )

φφ−

=0xy

zy,x,u

Y comparándolo con el resultado del apartado a) se puede concluir lo siguiente:

kkz ϕ=φ =

Es decir, kφ=ϕ es el giro por unidad de altura z .

c) Se obtiene ahora el valor del desplazamiento en la dirección radial:

( ) [ ]0zxzyzy,x, ϕϕ−=u

zrrz)x(yz 22222222 ϕ=⇒ϕ=+ϕ= uu

Además 0uu zr == , es decir , no hay desplazamiento ni en la dirección del eje z niradialmente. Así que el campo desplazamientos en cilíndricas queda de la siguiente forma:



115

( )

ϕ=θ0zr

0z,r,u

Para hallar ( )z,r,θεεεε a partir de ( )z,r, θu se usarán las ecuaciones que relacionandesplazamientos y deformaciones en coordenadas cilíndricas. El campo de deformacionesresultante en cilíndricas es:

( )

ϕ

ϕ=θ

02r0

2r00

000

z,r,εεεε

d) Suponiendo que el material cumple la Ley de Hooke, el campo de tensiones se puedeescribir como:

εεεεεεεεσσσσ µ+λ= 2)( 1tr

Que en este caso queda como:εεεεσσσσ G2=

El campo de tensiones resultante es:

( )

ϕϕ=θ

0Gr0Gr00

000z,r,σσσσ

Las tensiones en la superficie lateral son, por tanto:

0=τ=τ=σ θ rzrrr

Y las tensiones sobre una sección horizontalcualquiera son:

0,,0 =σϕ=τ=τ θ zzzzr Grx

yRGϕ

RGϕ



116

REACCIÓN EN LA BASE DEL CILINDRO:Se puden calcular las reacciones según las siguientes fórmulas, aplicadas a la sección 0z = :

∫∫ ∧==SS

dSdS trMtR ,

donde r es el vector posición y nt ⋅= σσσσ .Otra manera es basarse en el dibujo de las tensiones en dicha sección:

R se calcula como la suma de las tensiones tangenciales en la sección empotrada.Por simetría, en cada diámetro de la sección la suma es nula, por lo tanto, la sumatotal (de todos los diámetros) es nula también.

0R =

Para calcular el momento se aplica la fórmula inicial:

( ) ( ) ( ) zzzz eeeeM 0S

2

SSIdSrrdSrrdS ϕ=ϕ=ϕ=τ= ∫∫∫ GGG

ϕ= 0GIM

Donde 0I es el momento de inercia polar de la sección respecto del eje z .

Así que la fórmula que se usa en Resistencia de Materiales

=ϕ

0

T

GIM no es ninguna

aproximación, sino que es exacta.

6 Elasticidad lineal Cuestiones Propuestas


117


CP 6-1 Obtener la ecuación constitutiva de un material elástico lineal a partir del potencialelástico.

CP 6-2 Justificar si es cierta o no la siguiente afirmación: “En un material termoelástico, lapotencia tensional es una diferencial exacta.”

CP 6-3 Sea la expresión del potencial elástico:

( )

ν+=

ν−=ε′ε′+=

)1(2)21(321ˆ 2 EGEKGKeu ijijεεεε

Determinar, justificándolo, el rango de valores posibles de E y ν .

CP 6-4 Obtención de la ley de Hooke en función de la parte esférica y desviadora de lostensores de tensión y deformación.

CP 6-5 Definir un problema cuasiestático:

a) Ecuaciones e incógnitas en el problema cuasiestático.b) Condiciones de contorno.

CP 6-6 Definir qué es un problema elástico cuasiestático en relación con el caso general delproblema elástico dinámico (qué lo caracteriza en cuanto a las acciones, las fuerzas deinercia y las condiciones iniciales). Partiendo de las ecuaciones de gobierno del problemadinámico, escribir las ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno que gobiernan elcaso cuasiestático.

CP 6-7 Condiciones de contorno e iniciales del problema elástico lineal.

CP 6-8 Explicar de forma esquemática (no hace falta escribir las ecuaciones en formaexplícita) el esquema de resolución (obtención de σσσσ , εεεε , u ) de un problema estático,elástico-lineal, planteado en tensiones, indicando cuándo se utilizan las diversas condicionesde contorno.

CP 6-9 Explicar de forma esquemática (no hace falta escribir las ecuaciones en formaexplícita) el esquema de resolución (obtención de σσσσ , εεεε , u ) de un problema estático,elástico-lineal, planteado en desplazamientos, indicando cuándo se utilizan las diversascondiciones de contorno.______________________________________________________________________

6 Elasticidad lineal Cuestiones Propuestas


118

CP 6-10 Analizar el concepto de reversibilidad en los materiales elásticos y matizar laafirmación: “ Para un material elástico, las relaciones tensión-deformación son únicas eindependientes del proceso de carga.”

CP 6-11 Desarrollar los siguientes conceptos en termoelasticidad lineal para materialesanisótropos:

a) Hipótesis.b) Ecuaciones de Lamé.

CP 6-12 Definir brevemente e indicar el campo de validez de los siguientes principios de laMecánica de Sólidos:

a) Principio de la unicidad de la solución.b) Principio de superposición.c) Principio de Saint-Venant.

CP 6-13 Enunciar el principio de superposición, establecer su campo de validez ydemostrarlo.

CP 6-14 Explicar gráficamente y escribir las ecuaciones y condiciones de contornonecesarias para resolver un problema termoelástico lineal aplicando:

a) La primera analogía térmica.b) La segunda analogía térmica.

CP 6-15 A partir de la descomposición de las tensiones en su parte térmica y no-térmica,justificar la primera analogía térmica.

CP 6-16 Definir las hipótesis básicas, estados a considerar y condiciones de contorno en laaplicación de la segunda analogía térmica para la resolución de un problema termoelásticolineal. Justificar en qué situaciones será o no aplicable.

6 Elasticidad lineal Problemas Propuestos


119

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPP 6-1 Un cilindro macizo de radio R y altura hestá situado entre dos paredes infinitamente rígidas,encajando perfectamente entre ellas sin producirseninguna tensión. Se somete al cilindro a unincremento de temperatura θ∆ . Se pide:

a) Obtener el campo de desplazamientos enfunción de las correspondientes constantes deintegración.

b) Determinar las constantes de integración.c) Determinar el estado tensional y dibujar su

variación a lo largo del radio.

HIPÓTESIS:1) Propiedades del material: µ=λ

( ) rr 10 α+α=α=α2) Se supone rozamiento nulo entre paredes.

PP 6-2 Un cilindro de radio iR está situado en el interior de una corona cilíndrica de radiointerior e2R i + y radio exterior eR . Entre el cilindro y la corona se encuentra una juntaelástica de radio interior iR y cuyo espesor es “ e ”. Se somete a la corona a una presiónexterior p . Se pide:

a) Obtener el campo de desplazamientos, deformaciones y tensiones en el cilindro y lacorona.

b) Dibujar los gráficos p - U r , donde rU es el desplazamiento radial, y p - rrσ , donde rrσes la tensión radial para los puntos A , B y C de la figura.

DATOS:1) 1 R i =2) 2 R e =3) 0=ν

Ri

Re B C

p

cilindro

junta

corona

e e

A

R R

r

∆θ

z

h



120

4) E (Módulo de Young)

HIPÓTESIS:1) Ley constitutiva de la junta elástica: ** K p δ= , donde *p es la presión que actúa sobre

la junta, *δ es el acortamiento de su espesor y K es su módulo de deformación.2) iR e << .3) Se admite un comportamiento de deformación plana en pequeñas deformaciones.

PP 6-3 Un cilindro de material isótropo, elástico y lineal, se encuentra apoyado sobre unabase rígida. A una distancia “ a ” muy pequeña ( h a << ) de su cara superior se encuentraotra superficie rígida. Sobre el cilindro actúa una presión uniforme p en toda la superficielateral. Dibujar, acotando los valores significativos, las siguientes curvas:

a) Curva δ-p , donde δ es el acortamiento del radio R del cilindro.b) Curva A-p σ , donde Aσ es la tensión normal a la superficie de contacto inferior en el

punto A .

HIPÓTESIS:1) No se considerará la acción del peso propio.2) Coeficientes de Lamé: µ=λ3) Se considera el problema cuasiestático.

PP 6-4 Dos cilindros macizos constituidos por materiales elásticos distintos se encuentransuperpuestos verticalmente y confinados entre dos paredes infinitamente rígidas. Loscilindros se hallan sometidos a la acción de las presiones exteriores p y pα ( 0>p , 0>α )tal como se indica en la figura. Se pide:

a) Obtener el campo de desplazamientos para los dos cilindros en función de lasconstantes de integración (a partir de hipótesis razonadas).

h

a

R R

p p

A



121

b) Indicar todas las condiciones de contorno a aplicar para los distintos contornos delproblema.

c) Suponiendo que el valor de la constante α es tal que la sección de contacto de los doscilindros no tiene desplazamiento vertical, calcular las constantes de integración y elvalor de α .

HIPÓTESIS:1) Cilindro superior: 11 µ=λ

2) Cilindro inferior: 22 µ=λ3) Se supone rozamiento nulo entre

cilindro-cilindro y cilindro-pared.4) Se desprecia el peso propio.

PP 6-5 La esfera maciza A de radio exterior 1R y la corona esférica maciza B , de radioexterior 2R son del mismo material. La superficie exterior de A y la interior de B seencuentran separadas una distancia muy pequeña “ a ” ( 1R a << y 2R a << ). Se pide:

a) Para qué valor de la presión normal uniforme p las dos superficies estarán en contacto.b) Dibujar, acotando los valores significativos, la curva δ-p , donde δ es el acortamiento

de 2R .

HIPÓTESIS:1) Módulo de elasticidad: E2) Coeficiente de Poisson: 0=ν3) R R1 =4) R 2 R 2 =

PP 6-6 En la figura se esquematiza la disposición de un carril de ferrocarril constituido porraíles rectos de longitud “ L ” entre los cuales se coloca una junta elástica de constante K .Por consideraciones de simetría y constructivas puede suponerse que la sección 0 x = no se

z

R R

r

h/2

h/2

p

pα

R 1R 2

A

B p



122

desplaza longitudinalmente y que la parte inferior del raíl no se desplaza verticalmente. Seconsidera un incremento de temperatura constante θ∆ en todos los puntos. Se pide:

a) Obtener la ecuación de los desplazamientos, deformaciones y tensiones en función delas correspondientes constantes de integración.

b) Indicar claramente cuáles serían las condiciones de contorno a aplicar para determinarlas constantes de integración.

c) Determinar dichas constantes y obtener los correspondientes campos dedesplazamientos, deformaciones y tensiones.

d) Particularizar dichos resultados para los casos 0K = (junta abierta) y ∞→K (carrilcontinuo).

HIPÓTESIS:1) Suponer desplazamientos de la forma: ( ) ( ) ( )[ ]Tzw,yv,xu=u2) Material elástico lineal.3) µ=λ .4) ctte=β .5) Peso del raíl despreciable.

L/2 L/2

junta junta

x

y

ALZADO

y

za

h

SECCIÓN

7 Elasticidad plana Cuestiones Resueltas


123

777 EEElllaaassstttiiiccciiidddaaaddd ppplllaaannnaaa

CUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCR 7-1 Justificar si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:

a) Si un estado tensional bidimensional tiene un punto singular, todas las isoclinas pasanpor dicho punto.

b) Si un estado tensional bidimensional es uniforme, todas las líneas de máxima tensióntangencial son paralelas entre sí.

Resolución:a) Un punto singular se define de la siguiente manera:

=τσ=σ0

21

Por lo tanto, todas las direcciones son principales y dado un ángulo θ cualquiera, latensión principal formará un ángulo θ con el eje x . Por dicho punto pasará entoncesuna isoclina de ángulo θ , y como esto se cumple para cualquier θ , todas las isoclinaspasarán por dicho punto.

La afirmación es cierta.

b) Al tener un estado uniforme de tensiones, esto implica que el Círculo de Mohr sea igualen todos los puntos, y por tanto, los planos de máxima tensión cortante serán losmismos en todos los puntos, así que las líneas de máxima tensión cortante serán rectasparalelas entre sí.

La afirmación es cierta.

σ

τEl estado tensional serepresenta por un punto

σ

τ

P

Direcciones de maxτ



124

CR 7-2 La placa rectangular de la figura está sometida a los siguientes estados de tensiónplana:

1) 0x =σ ; 0by >=σ ; 0xy =τ

2) 0x =σ ; 0y =σ ; 0m ,my xy >=τ

Dibujar para cada estado las líneas isostáticas, las líneas de máxima y mínima tensióntangencial e indicar los puntos singulares.

Resolución:

ESTADO TENSIONAL I:

Líneas isostáticas:

Líneas de máxima y mínima tensión tangencial:

No existen puntos singulares.

x

y

Iσ

σ

τ

b

P

Dirección de maxτ

IIσ

Dirección de minτ

21

b 2

1

Isostáticas IσIsostáticas IIσ

maxτ

minτ



125

ESTADO TENSIONAL II:

Líneas isostáticas:

Líneas de máxima y mínima tensión tangencial:

y>0

y<0

m y2

1

σ

τPDirección de maxτ

IσIIσ

Dirección de minτ

m y1

2

m y2

1

σ

τ

P

Dirección de maxτ

IσIIσ

Dirección de minτ

m y2

1

Isostáticas IσIsostáticas IIσPuntos singulares

maxτ

minτPuntos singulares



126

CR 7-3 La placa rectangular de la figura está sometida al siguiente estado de deformaciónplana:

( )0b,0ab;ax; zxyyx >>=σ=τσ=σ

Dibujar en el plano de la figura las líneas isostáticas, las líneas de máxima y mínima tensióntangencial e indicar los puntos singulares.

Resolución:Puntos singulares: 0x0ax =⇒==τLas tensiones normales ya cumplen que son iguales.Isostáticas y líneas de máxima y mínima tensión tangencial:

x

y

σ

τP

Dirección de maxτ

IσIIσ

Dirección de minτ

ax

1

2x > 0

a x2

1xσ

yσ

x < 0

a x2

1

xσ

yσIIσ

σ

τ

PDirección de maxτ

Iσ

Dirección de minτ

ax

1

2

x<0Isostáticas IσIsostáticas IIσPuntos singulares

x<0maxτ

minτPuntos singulares



127

CR 7-4 Una placa está sometida al siguiente estado tensional:0;yx3;xy3x2;x zyzxz

2xy

23y

3x =σ=τ=τ=τ−=σ−=σ

Obtener y dibujar los puntos singulares y las redes de isostáticas para cada tensiónprincipal.

Resolución:Los puntos singulares se definen según:

=τσ=σ0yx

Se impondrá la definición para obtener la condición que han de verificar los puntossingulares:

=⇒

=−=σ−=σ

⇒=

=−=σ=−=σ

⇒=⇒==τ

0232

0

0320

003

323

3

23

3

2

xxxyx

xy

xyxx

xyx

y

x

y

x

Se concluye que los puntos singulares son los que cumplen:

0x =

Las líneas isostáticas cumplirán la siguiente expresión:

1)2

(2

2 +τ

σ−σ+

τσ−σ

−=xy

yx

xy

yx

dxdy

En este problema resulta:

⇒=yx

dxdy 1

22 Cyx =−

⇒−=xy

dxdy 2Cxy =

Por tanto, las isostáticas son dos familias de hipérbolas equiláteras ortogonales entre sí.La recta singular 0x = divide a la placa en dos regiones. Para identificar la familia de las 1σse tendrá que tomar un punto en cada región:

Punto (1,0) : 0;2;1 1 =τ=σ=σ−=σ xyyx

Punto (-1,0) : 0;2;11 =τ−=σ=σ=σ xyyx

Por tanto, la red de las isostáticas es la siguiente:x<0

Isostáticas IσIsostáticas IIσPuntos singulares

x>0Isostáticas IσIsostáticas IIσPuntos singulares



128

CR 7-5 Dibujar las líneas isostáticas en la sección transversal del cilindro de la figura.Suponer un campo de desplazamientos de la forma:

==

>>+=

θ

00

0;0;

z

r

uu

BArBAru

Resolución:Se va a considerar la siguiente notación:

( ) ( )rurff r==

Por lo tanto, se tiene un campo de desplazamientos con la siguiente expresión:

[ ]T0,0,f=u

El Tensor de Deformación tendrá entonces la siguiente expresión en coordenadas cilíndricas:

=⇒+=

000

0rf0

00f')(

21 εεεε∇∇∇∇∇∇∇∇εεεε uu

Éste se podrá relacionar con el Tensor de Tensiones según la ecuación:

⇒µ+λ= εεεεεεεεσσσσ 2)( 1Tr

=σ=σ=σ

λ=

+λ=σ

µ+µ+λ=µ+

+λ=σ

µ−µ+λ=µ+

+λ=σ

⇒

θθ

θθ

0

2rff'

r2)(2

rf2

rff'

r2)(2'f2

rff'

2

2

zrzr

zz

rr

A

BA

BA

En estas expresiones todos los parámetros ( )BA,,, µλ son positivos:

σ=σσ=σ

⇒σ>σ θθθθ

rrII

Irr

r θ r

p




129

CR 7-6 Se tiene una tubería circular de radio interior mm 100r1 = y exterior mm 250r2 = ,suficientemente larga para suponer un estado de deformación plana, sometida a unapresión interior de MPa 1 . Para una sección normal del tubo se pide:

a) Calcular y dibujar las leyes de variación de las tensiones principales sobre el espesor.b) Dibujar las isostáticas diferenciando las dos familias

Resolución:Se utilizarán coordenadas cilíndricas. Considerando un campo de desplazamientos, porsimetría, uno factible sería:

[ ]0,0,)(rur=u

Si se aplica la Ecuación de Navier en coordenadas cilíndricas y con simetría radial, laexpresión que queda es:

T

r rBArru

rrr

+=⇒=

∂∂

∂∂ 0,0,0)(1 u

El Tensor de Deformación tendrá entonces la siguiente expresión:

+

−

=⇒+=

000

00

00

)(21

2

2

rBA

rBA

εεεε∇∇∇∇∇∇∇∇εεεε uu

Se puede ahora relacionar con el Tensor de Tensiones según la ecuación:⇒µ+λ= εεεεεεεεσσσσ 2)( 1Tr

=σ=σ=σλ=σ

µ+µ+λ=σ

µ−µ+λ=σ

⇒

θθ

θθ

02

2)(2

2)(2

2

2

zrzr

zz

rr

ArBA

rBA

Imponiendo las condiciones de contorno resulta:

−µ=

−µ+λ=

⇒

=σ⇒=−=σ⇒=

prrrr

B

prr

rA

rrprr

rr

rr

21

22

22

21

21

22

21

2

1

21

)(21

0

Y sustituyendo estos valores en las expresiones de las tensiones se obtienen los resultadosfinales:

ν=−

ν=−µ+λ

λ=σ

+=+−

=σ

−=−−

=σ

θθ

3808.02

047.1191904.0)1(

047.1191904.0)1(

21

22

21

21

22

21

22

22

21

22

21

22

22

21

22

21

prr

rp

rrr

rp

rr

rrr

rp

rr

rrr

zz

rr



130

Además se tiene que:

σ=σσ=σ

⇒σ>σ θθθθ

rrII

Irr


r

rrσ

θθσ

-1

0.3808

1.3808

100 250

7 Elasticidad plana Cuestiones Propuestas


131

CUESTIONES PROPUESTASCP 7-1 Definir cuáles son las hipótesis básicas que se realizan en los estados de tensiónplana y deformación plana, y cuáles son sus consecuencias. Citar, para cada caso, unejemplo en el que se puedan aplicar dichas hipótesis.______________________________________________________________________

CP 7-2 Describir el problema tipo de deformación plana: Geometría, cargas y coaccionesactuantes, hipótesis, campo de desplazamientos, deformaciones, tensiones y relacionestensión-deformación.______________________________________________________________________

CP 7-3 Describir el problema tipo de tensión plana: Geometría, cargas y accionesactuantes, campo de desplazamientos, deformaciones y tensiones. Poner un ejemplo deaplicación en Ingeniería Civil.______________________________________________________________________

CP 7-4 Definir líneas isostáticas y líneas de máxima tensión cortante. Deducir su ecuacióndiferencial y justificar el ángulo que forman entre sí.______________________________________________________________________

CP 7-5 Definir: Isoclinas, isobaras, isostáticas, líneas de máxima tensión cortante, puntossingulares y puntos neutros.______________________________________________________________________

CP 7-6 Definir y esquematizar gráficamente los siguientes conceptos en estados planos detensión-deformación: líneas isostáticas, líneas isoclinas, líneas isobaras, puntos singulares ypuntos neutros.

8 Plasticidad Cuestiones Resueltas


133

888 PPPlllaaassstttiiiccciiidddaaaddd


CR 8-1 Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) El punto (0,0,0) del espacio de tensiones principales debeestar en el interior de cualquier superficie de fluencia plástica.

b) La superficie de fluencia, cuya intersección con un ciertoplano octaédrico del espacio de tensiones principales vienedada en la figura, es factible.

Resolución:a) La afirmación es cierta ya que el origen representa el estado neutro y no puede estar en

estado de plastificación, sino que está en el interior de la superficie de fluencia, lugargeométrico del campo elástico.

b) La afirmación es falsa pues los tres ejes han de ser de simetría, y en la figura no lo son.

CR 8-2 Para cada uno de los siguientes casos, justificar la forma de la superficie de fluenciaen el espacio de tensiones principales:a) ( ) 0 I f 2

1 = .b) ( ) 0 J f 2 =′ .c) positivos nteestrictame cb, a, , cbaI 2

oct21 =τ+ .

Resolución:a) En este primer caso se tiene una condición sobre la tensión media ya que se cumple:

mzyxI σ=σ+σ+σ= 31

Como el primer invariante está elevado al cuadrado, esto impone la distancia a planosoctaédricos, tanto en un sentido como en el otro.

1σ

2σ

3σ

mσ3

mσ3

Eje de tensiónhidrostática

σ1

σ3

σ2



134

b) Aquí, lo que está impuesto es la distancia entre un estado tensional y un estadohidrostático de tensiones, por lo tanto el resultado es un cilindro de sección circular enlos planos octaédricos:

octoctJ τ=⇒τ= 3 distancia23 2'

2

c) Si se representa el plano definido por un punto cualquiera de la superficie de fluencia yel eje de tensiones hidrostático, queda la siguiente figura:

De donde se deducen las siguientes relaciones:

=τ=

⇒

τ==

=σ==

3Rx3

3yR333xd 11

octoct

octII

Así, si se sustituyen estos valores en la expresión de la superficie de fluencia queda:

1

b3cy

3ac

xc3

by3axcbaI

22

2222

1 =

+

⇒=+⇒=τ+ oct

Esta es la expresión de una elipse en ese plano y-x . Además, como no interviene el 3er

invariante en la definición de la superficie de fluencia, habrá simetría de revoluciónalrededor del eje hidrostático y, por lo tanto, la rotación de la elipse alrededor del eje x( ≡ eje hidrostático) acotará la superficie definitiva.

En conclusión, si se toman unos ejes x ( ≡ hidrostático), y , z la superficie de fluenciatendrá la siguiente expresión:

1σ

2σ

3σ

octτ3


x = eje hidrostático

R

d

Punto

y



135

1

b3cz

b3cy

3ac

x

222

=

+

+

CR 8-3 Justificar cuáles de los criterios de fluencia plástica, Von-Mises, Tresca, Drucker-Prager y Möhr-Coulomb, podrían ser adecuados para modelizar un material en cada uno delos siguientes casos.

a) La plastificación del material sólo depende de 2J ′ .b) La plastificación del material depende de 1I y 2J ′ .c) La plastificación del material depende de 1I , 2J ′ y 3J ′ .d) La plastificación del material depende de 2J ′ y 3J ′ .

Resolución:a) Que la plastificación dependa de 2J ′ , es decir, que dependa de octτ , significa que

depende únicamente de la distancia del estado tensional al eje hidrostático. Por lo tanto,la superficie de fluencia será un cilindro de directriz el eje de tensiones hidrostáticas. Elúnico criterio con esta forma es el de Von-Mises.

b) Aquí no hay dependencia de la variable 3J ′ , esto implica que existe simetría respecto aleje de tensiones hidrostático, cosa que cumplen los criterios de Von-Mises y Drucker-Prager. Pero como la superficie de fluencia depende de 1I , es decir, de la distancia alestado neutro )0( 321 =σ=σ=σ , Von-Mises se descarta.. Queda, finalmente, el criteriode Drucker-Prager.

c) Al depender de 1I , no cumplirán esta condición ni Von-Mises ni Tresca. Al dependerde 3J ′ , tampoco lo hará Drucker-Prager. Por lo tanto, únicamente queda el criterio deMöhr-Coulomb.

d) Al no depender de 1I , aceptaremos Von-Mises y Tresca. Como depende de 3J ′descartaremos Von-Mises, y por lo tanto, quedará el criterio de Tresca.

1σ

2σ

3σ


xz y



136

CR 8-4 Obtener gráficamente, y acotando los valores significativos, la cohesión y el ángulode rozamiento interno de un material elastoplástico, que sigue el criterio de fluencia deMöhr-Coulomb, a partir de los siguientes datos:

1) En un estado de tracción uniaxial ( 0, 321 =σ=σσ=σ ), el material plastifica paraAσ=σ .

2) En un ensayo de isotracción triaxial del mismo material ( σ=σ=σ=σ 321 ), ésteplastifica para Bσ=σ .

Resolución:En el estado de tracción uniaxial se tendrá un círculo de Mohr que pasará por el origen ypor Aσ=σ en el eje de las abcisas.Sin embargo, para la isotracción triaxial, el círculo de Mohr degenerará en un punto del ejede las abcisas Bσ=σ .

⇒

σ−σ

σ=φ

σ=φ

AB

A

B

21

21

sen

ctg

φσ=

σ−σ

σ=φ

tgc21

21

arcsen

B

AB

A

CR 8-5 Un material plástico perfecto se somete a un ensayo de tracción uniaxial ( σ=σ1 ,032 =σ=σ ) y empieza a plastificar para un valor de la tracción eσ . Si su cohesión es de

MPa c , determinar el ángulo de rozamiento interno que hay que considerar para aplicar almaterial el criterio de Möhr-Coulomb. (Basta con obtener la correspondiente ecuacióntrascendente).

Resolución:Se va a representar el estado tensional en el Círculo de Mohr cuando empieza la plastificación(círculo tangente a la superficie de fluencia):

τ

σBσAσ

c

φ2

R Aσ=



137

A partir del triángulo rectángulo ABC se puede deducir la relación buscada:

⇒

−

φσ=σ−

φ⇒

σ−

φσ

=⇒+

σ

σ

=φ

σ−φ

=⇒+σ

=φ

1sen

121

tgc

sen21d

d2

2sen

tgcd

dctg

ee

ee

e

e

ee

+

φσ

=φ

⇒ 1sen

12tg

c e

Y operando se obtiene la ecuación trascendente definitiva:

0cos2senee =φ−φσ+σ c

CR 8-6 Una probeta de hormigón sometida a compresión uniaxial uniforme rompe segúnun plano inclinado que forma un ángulo θ con el de carga. Determinar dicho ángulo enfunción del ángulo de rozamiento interno y de la cohesión del material.

Resolución:En el plano de tensiones de Mohr se representará la rotura de la siguiente manera:

σ

τ

φ

c

eσ

d

2eσ

A B

C

σσ

θ



138

A partir del triángulo rectángulo que se forma se puede obtener el valor de α :

φ−π=α⇒α+φ+π=π22

Fijándose en los ángulos inscritos en la circunferencia, se concluye:

⇒α=θ21

24φ−π=θ

Como se puede comprobar, el valor de la cohesión c no influye.

CR 8-7 Expresar el criterio de plastificación de Tresca en función de la tensión normal y latensión tangencial a una sección transversal de una viga trabajando a flexión compuesta.

Resolución:El estado tensional es el siguiente:

=τ=τ

τ=τ

=σ

=σσ=σ

00;

00

yz

xz

xy

z

y

x

τ2

1

σ σ

τ

σ

τR

2eσ

A B

C

1

2

P

φ

c

τ

σθ

σ−2σ−

α

z

x

y

στ M



139

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC:

24

2R

222

2 τ+σ=τ+

σ=

Y la condición a imponer es:

2R eσ

≤

El criterio de plastificación de Tresca resulta ser, por tanto:

e22 4 σ≤τ+σ

CR 8-8 Se considera un material isótropo elastoplástico perfecto que sigue el criterio defluencia de Von-Mises, cuyo límite elástico en un ensayo uniaxial es eσ . Determinar losvalores de eτ y eγ (ver Figura 1) que se obtendrían en el ensayo de corte esquematizado enla Figura 2.

Resolución:El Tensor de Tensiones para el ensayo de la figura 2 tendrá la expresión:

( ) σσσσσσσσσσσσ =′⇒=σ+σ+σ=σ⇒

τ

τ= 0

31

0000000

zyxm

Se define la tensión efectiva como:23J ′=σ

donde:2

2 ):(21):(

21 τ==′′=′ σσσσσσσσσσσσσσσσJ

El criterio de Von-Mises es:0e =σ−σ

La plastificación empieza para eτ=τ y por tanto, según la figura 1, resulta:

⇒σ=τ=σ ee3

G3;

3e

ee

eσ

=γσ

=τ

γ

τ

τ

τ

τ

Figura 2

G

γeγ

τ

τe

Figura 1



140

CR 8-9 De un cierto material se han determinado experimentalmente las siguientespropiedades:

1) En régimen de compresión hidrostática el material no plastifica nunca.2) En régimen de tracción hidrostática el material virgen plastifica para un valor de la

tensión media *m σ=σ

3) En régimen de tracción uniaxial el material virgen plastifica a tensión uσ .4) En otros casos la plastificación se alcanza cuando la norma de las tensiones desviadoras

varía linealmente con la tensión media ( ba: m +σ=′′=′ σσσσσσσσσσσσ ).

Dibujar la superficie de fluencia, acotando los valores significativos, y calcular los valoresde a y b en función de *σ y uσ .

Resolución:La forma aproximada de la superficie de fluencia es la siguiente (cono recto):

Utilizando la información del ensayo de tracción uniaxial,en el plano octaédrico que pasa por el origen, se tiene lasiguiente figura:

En el vértice del cono se aplica el criterio de plastificación ba: m +σ=′′=′ σσσσσσσσσσσσ :

0ba0ba0mm =+σ⇒=+σ⇒=′ ∗

σ=σ ∗σσσσ

Y se hace lo mismo para los puntos de interacción con los ejes 321 ,, σσσ :

b31a

32

32

100010002

300000000

uuuu

u

+

σ=σ⇒σ=′⇒

−−

σ=′⇒

σ= σσσσσσσσσσσσ

Con estas dos ecuaciones se pueden encontrar los valores buscados:

∗σ−σ

σ=

3

32

au

u

∗

∗

σ−σ

σσ−=

3

32

bu

u

1σ 2σ

3σ

uσ


∗σ=σ 33 m

2σ

3σ

1σ

8 Plasticidad Problemas Resueltos


141


PR 8-1 La pieza metálica PQRS tiene un espesor “ e ” y está constituida por materialesdistintos, (1) y (2), considerados elastoplásticos perfectos. Se somete la pieza a un ensayo decorte puro en la máquina de la Figura 1 de tal forma que se produce un estado de tensionesy deformaciones uniforme dado por:

h ; 0 ; 0 xyyzxzzyx

δ=γ=γ=γ=γ=ε=ε=ε

0 ; 0 ; 0 xyyzxzzyx ≠τ=τ=τ=τ=σ=σ=σ

Cuando se ensaya por separado una pieza de cada uno de los materiales se obtiene unacurva γτ - como la de la Figura 2. Se pide:

a) El límite elástico que se obtendría en un ensayo de tensión uniaxial de cada material porseparado, suponiendo que obedecen al criterio de Von-Mises.

Cuando se ensaya la pieza constituida por los dos materiales se obtiene la curva δ−P de laFigura 3. Se pide:

b) El valor de la carga y del desplazamiento elástico eP y eδ .c) Ídem para los valores plásticos pP y pδ .d) Las coordenadas δ−P de los puntos C y D de la Figura 3.

P

δp

Pp

Pe

δe 3δe

δ

A

B B’

CD Figura 3

τ

γ

τe

τe

G

Figura 2

Figura 1

Marco rígidoh / 2h / 2

h

h (1) (2)

Q

P

R

S

δ

τ(x)P

(2) (1)



142

HIPÓTESIS:Material (1): GG = ; *

e τ=τ

Material (2): GG = ; *e 2τ=τ

Resolución:a) Con los datos anteriores se quiere obtener el límite elástico que se obtendría en un

ensayo de tensión uniaxial de cada uno de los materiales por separado, suponiendo queobedecen el Criterio de Von-Mises. Así se sabe que la plastificación empieza cuando:

eσ=σ

Siendo σ la tensión efectiva y eσ el límite elástico. Se tienen las relaciones vistas enteoría para el caso de un estado tensional dado por un tensor de tensiones σσσσ :

)(31

)(21

)3(

m

22

21

2

σσσσ

σσσσ


σσσσ

Tr

TrJ

J

mesf

esf

=σ

σ=

−=′

′=′

′=σ

1

Para este problema resulta:

τ=σ⇒τ=′⇒

τ

τ=′⇒=′⇒

τ

τ= 3

0000000

0000000

22

2

2

2 Jσσσσσσσσσσσσσσσσ

Si se tiene en cuenta que el material (1) plastifica con ∗τ=τ e y el (2) con ∗τ=τ 2e ,entonces:

∗

∗

τ=σ⇒

τ=σ⇒

32 2 Material

3 1 Material

e

e

b) Al ensayar la pieza constituida por los dos materiales se obtiene un gráfico como el de laFigura 3. Se quiere hallar el valor de la carga eP y desplazamiento elástico eδ , quemarcan el final de la fase de comportamiento elástico de la pieza. En el enunciado sedice que al ensayar por separado cada material, el gráfico resultante es el de la Figura 2,siendo ∗τ=τ e para (1) y ∗τ=τ 2e para (2). Además, se dice que G es común a los dosmateriales, es decir, tienen la misma pendiente en la gráfica γ−τ .

Ahora bien, se busca saber el comportamiento conjunto de la pieza. Es de suponer queel comportamiento de ésta será elástico mientras los dos materiales estén en sudominio elástico correspondiente. Por lo tanto, como el intervalo elástico del material(1) es menor, será este material el que defina el dominio elástico del conjunto,(hasta elpunto A de la Figura 3).



143

Si se aplica equilibrio entre la fuerza P y las tensiones que tiene cada material en elpunto A resulta:(hay que igualar fuerzas, por tanto se multiplican las tensiones por la superficie en la queactúan, considerando la unidad como magnitud perpendicular al papel)

∗∗∗ τ=τ+τ=τ+τ= h2h

2h

2h

2hP 21e

AA

Para calcular el desplazamiento se aplica compatibilidad de movimientos entre los dosmateriales:

hG

hh

h

21e

∗τ=γ=γ=δ

γ=δ

AA

Resumiendo:

hG

hP

e

e∗

∗

τ=δ

τ=

c) Se busca ahora los valores plásticos pP y pδ . Lo que ocurre es que en el punto Aempieza a plastificar el material (1), mientras que en el punto B empieza a plastificar elmaterial (2), de modo que a partir del punto B el comportamiento de la pieza esplástico y entre A y B es elastoplástico.

Para buscar las coordenadas de B se procede como en el apartado anterior, dibujandolos gráficos tensión-deformación de ambos materiales, ensayados por separado. Ladiferencia es que ahora se analizará dónde está el punto B para cada material.

Punto A

GG

τ

γA2γ

∗τ

τ

γA1γ

∗τ

Punto A

MATERIAL (1) MATERIAL (2)

τ

γA2γ

∗τ

∗τ2

τ

γA1γ

∗τ

B1γ B

2γ

Punto B

Punto B

Punto A Punto A

G G




144

Imponiendo las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad se obtiene el resultadobuscado::

⇒

τ=γ=γ=δ

τ+τ=τ+τ=

∗

∗∗

h2hh

22h

2h

2h

2hP

21p

21p

GBB

BB

ep

p

2G

h2

h23P

δ=τ=δ

τ=∗

∗

d) Se buscan las coordenadas de los puntos C y D de la Figura 3. Ya se han obtenido lascoordenadas de A y B . Se da como dato un punto B′ , en el cual, manteniendoconstante la carga pP y dentro del estado plástico, la deformación es e3δ .

Se va a considerar primero el material (1): se descarga a partir de B′ y, según los datos,este material plastifica cuando llega al valor ∗τ− . La pendiente de esta recta seguirásiendo el parámetro G del material, ya que éste es independiente de si se carga o sedescarga. Así, para llegar al punto C basta trazar por B′ la paralela a OA , hasta llegaral valor ∗τ− .

En el caso del material (2) ocurre lo mismo que en el caso anterior, únicamente que altrazar la paralela a OA por B′ se puede llegar hasta ∗τ− 2 (será el punto D ).

h23PP

3G

h33

BB

eA'B

'∗

∗

τ==

δ=τ=δ=δ

Analíticamente, las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad para el punto C son:


Punto D

τ

γ

∗τ

Punto C

Punto B′

∗τ−

Aδ3

τ

γ

∗τ

∗τ2

Punto C

Punto B′

Aδ3

∗τ− 2

Punto D



145

⇒

τ=γ=δ

τ−=+τ−=τ+τ=

∗

∗∗

Ghh

2h0

2h)(

2h

2h

2hP

1C

21C

C

CC

eC

C

Gh

2hP

δ=τ=δ

τ−=∗

∗

Y para el punto D :

⇒

τ−=γ=δ

τ−=τ−+τ−=τ+τ=

∗

∗∗∗

Ghh

2h3)2(

2h)(

2h

2h

2hP

2D

21D

D

DD

eD

D

Gh

2h3P

δ−=τ−=δ

τ−=∗

∗

PR 8-2 Se considera el cilindro macizo empotrado en la base de la Figura 1, al que se leaplica un momento torsor M en su extremo superior. Dicho cilindro está constituido pordos materiales (1) y (2), con un comportamiento tensión-deformación tangencial del tipoelastoplástico definido por la Figura 2. Se considera el siguiente campo de desplazamientosen coordenadas cilíndricas (torsión de Coulomb):

( ) [ ]T

Tzr 0rz

h0uuuz,r,

ϕ==θ θu

donde ϕ es el giro de la sección del extremo libre de la pieza. Suponiendo pequeñasdeformaciones, se pide:

a) Los tensores de deformación εεεε y de tensión σσσσ en coordenadas cilíndricas y en régimenelástico. Dibujar, acotando los valores significativos, las curvas rrr −σ y rz −τ θ parauna sección transversal del cilindro a altura z . Representar esquemáticamente ladistribución de tensiones zθτ sobre dicha sección transversal.

b) Determinar el valor de ϕ ( eϕ=ϕ ) (ver Figura 3) para el cual empieza la plastificaciónen algún punto del cilindro, indicando dónde se produce y el correspondiente valor delmomento eMM = ( )∫ θτ=

S zdSrM .

c) Calcular el valor mínimo de ϕ ( 1ϕ=ϕ ) para el cual se ha producido la totalplastificación del material (1) y el correspondiente valor de M ( 1MM = ) (ver Figura 3).Dibujar esquemáticamente el estado tensional sobre una sección transversal en dichoinstante.

d) Ídem para los valores 2ϕ=ϕ y 2MM = correspondientes al inicio de la plastificacióndel material (2).



146

e) Calcular el valor asintótico de M ( plástico MomentoMM p == ) correspondiente a laplastificación de toda la sección transversal. Dibujar el estado tensional de la seccióntransversal en dicho caso.

HIPÓTESIS:Material (1): GG = ; *

e τ=τ

Material (2): GG = ; *e 2τ=τ

Resolución:a) Se buscará primero el tensor de deformaciones en cilíndricas (pequeñas deformaciones)

a partir del campo de desplazamientos. Así se obtiene el siguiente resultado:

ϕ

ϕ

0h2r0

h2r00

000

====εεεε

Para encontrar el tensor de tensiones únicamente se debe tener en cuenta la ecuaciónconstitutiva de un material elástico e isótropo (nótese que los dos materiales quecomponen el cilindro tienen el mismo parámetro G ):

⇒=⇒

=µ=

µ+λ=

εεεεσσσσεεεε

εεεεεεεεσσσσ

GTr

Tr

2G

0)(2))(( 1

M

M2

Figura 3

Mp

M1 Me

eϕ 1ϕ 2ϕ ϕ

γ

ττe

τe

G

Figura 2

z

h

r

R

M

ϕ

R/2

Material (1)

Material (2)

Figura 1



147

ϕ

ϕ=

0h

rG0h

rG00

000

σσσσ

Las tensiones son lineales y no dependen dela z del plano de corte considerado, asíqueda la siguiente distribución de tensionesen una sección cttez = :

b) Dada la distribución de tensiones eϕ≤ϕ≤ϕ=τ 0h

rG el momento actuante vale:

ϕπ=ϕπ=θ

ϕ=τ= ∫ ∫∫ ∫π

S h2GRdr

hrG2rdrd

hrGrdS)r(rM

4R

0

32

0

R

0 ( 1 )

Esta es la relación existente entre el momento y el ángulo de giro en el extremo libre( ϕ−M ) cuando los dos materiales se comportan elásticamente.

El material (1) empieza a plastificar antes ya que lo hace para ∗τ=τ e , mientras que elmaterial (2) lo hace para una tensión mayor ∗τ=τ 2e . Además los puntos que tienenmayor tensión son los de la superficie exterior del cilindro ( Rr = ) y que pertenecen almaterial (1). Por lo tanto, el inicio de la plastificación se dará cuando se cumpla lasiguiente condición:

⇒τ=ϕ

τ=τ

∗

∗ϕ=ϕ=

hRG e

;Rr e

GRh

e

∗τ=ϕ

zθτ

hRGϕ

e0 ϕ≤ϕ≤

rR

rrσ

rR

zθτ

hRGϕ

rR

γ

hRϕ



148

Este es el valor del ángulo de giro del extremo libre del cilindro para el que empieza laplastificación en los puntos exteriores de la pieza (material (1)). El momentocorrespondiente se hallará sustituyendo eϕ en la relación ( 1 ):

⇒ϕπ=ϕ= e

4

ee h2GR)(MM

2RM

3

e

∗πτ=

c) Si el material fuese elástico al aumentar ϕ iría aumentando la pendiente de las tensionesτ (aunque aumenten, siguen siendo lineales con r ), pero como el material eselastoplástico las tensiones no pueden superar el valor eτ , que marca el inicio de la

plasticidad. Así, el valor límite se da en ∗τ=τ e cuando 1ϕ=ϕ para Rr2R ≤≤ . Es decir,

el material (1) tendrá una distribución de tensiones plástica, mientras que en el (2) seráelástica.

Para calcular este giro 1ϕ se debe imponerla siguiente condición:

⇒τ=τ ∗ϕ=ϕ= 1;

2Rr

⇒τ=ϕ

⇒ ∗

h2RG 1

GRh2

1

∗τ=ϕ

Este es el valor mínimo de giro para el que el material (1) se encuentra plastificado en sutotalidad.La relación ( 1 ) entre M y ϕ aquí no es válida ya que el material (1) se comportaelastoplásticamente y el (2) lo hace todavía elásticamente. La relación en este apartado esla siguiente:

∫ ∫∫ ∫∫∫π π ∗∗ ϕ

π+πτ=θ

ϕ

+θτ=2

02R

0

312

0

R

2R

22R

0

1R

2R1 drr

hG2drr2rdrd

hrG

rrdrdrM

31 R

4831M ∗πτ=

d) El inicio de la plastificación del material (2), para ∗τ=τ 2e , no se corresponde con elfinal de la plastificación del material (1), para ∗τ=τ e . La distribución de tensiones para

2ϕ=ϕ (inicio de la plastificación del material (2)) es la siguiente:

∗τ=τ e

1ϕ=ϕ



149

Por lo tanto se deberá imponer la siguientecondición:

⇒τ=τ ∗ϕ=ϕ= 2

2;2Rr

⇒τ=ϕ

⇒ ∗22h

RG 2

GRh4

2

∗τ=ϕ

Y el momento correspondiente será:

∫ ∫ ∫∫π π∗ θ

ϕ

+θτ=2

0

2

02R

0

2R

2R2 rdrdr

hGrrdrdrM

32 R

2417M ∗πτ=

e) Se busca el valor asintótico de M ( pM )correspondiente a la plastificación de latotalidad del material que compone elcilindro. La distribución de tensionesserá la siguiente:

Integrando se encontrará el momento correspondiente:

∫ ∫ ∫∫π π ∗∗ θτ+θτ=

2

0

2

02R

0

R

2Rp rdrd2rrdrdrM

3p R

43M ∗πτ=

∗τ

2ϕ=ϕ∗τ2

∗τ

pϕ=ϕ∗τ2

8 Plasticidad Cuestiones Propuestas


151


CP 8-1 Explicar los conceptos de plano octaédrico, octσ y octτ . Obtener las expresiones deoctσ y octτ en función de las tensiones principales.

______________________________________________________________________

CP 8-2 Justificar por qué las superficies de fluencia para materiales isótropos son simétricasrespecto a tres planos en el espacio de tensiones principales.______________________________________________________________________

CP 8-3 Justificar la siguiente afirmación: “Para una superficie de fluencia plástica de laforma ( ) 0Jf 2 =′ , un estado de tensiones hidrostático nunca produce plastificación.”. ¿A quésuperficie de fluencia conocida sería aplicable dicha afirmación?______________________________________________________________________

CP 8-4 Demostrar que si la superficie de fluencia plástica no depende del primer invariantedel tensor de tensiones, la deformación plástica es incompresible.______________________________________________________________________

CP 8-5 Indicar de forma concisa cuáles son las hipótesis fundamentales de la teoríamatemática de la plasticidad.______________________________________________________________________

CP 8-6 Enunciar las hipótesis fundamentales de la teoría matemática incremental de laplasticidad en tres dimensiones.______________________________________________________________________

CP 8-7 Interpretación de la condición de consistencia en la teoría de la plasticidad.

CP 8-8 Criterio de plastificación de Tresca: definición, expresión en función de lastensiones principales, justificación de su forma en el espacio de tensiones y particularizar alcaso de una dimensión.

CP 8-9 Justificar los motivos por los que el criterio de Tresca ( KF 31 −σ−σ≡ ), recibe elnombre de “criterio de máxima tensión cortante”.______________________________________________________________________

CP 8-10 Demostrar que la superficie de fluencia de Von-Mises puede expresarse enfunción de las tensiones principales como:

( ) 031

23

u21

2321

23

22

21 =σ−

σ+σ+σ−σ+σ+σ

_____________________________________________________________________

CP 8-11 Justificar si llegará a plastificar según los criterios de Von-Mises, Möhr-Coulomb yDrucker-Prager, un material sometido a un estado de:



152

a) Compresión hidrostática creciente.b) Tracción hidrostática creciente.______________________________________________________________________

CP 8-12 Obtener y justificar en función de los invariantes tensionales ( 1 I , 2J ′ , 3J ′ ) laexpresión matemática más general de la superficie de fluencia correspondiente a cada unade las siguientes condiciones:

a) La superficie de fluencia tiene simetría de revolución respecto al eje de presioneshidrostáticas.

b) Todo estado de tensión hidrostática es elástico.c) La plastificación sólo depende del valor de la parte esférica del tensor de tensiones.______________________________________________________________________

CP 8-13 Justificar cuál o cuáles de los criterios de fluencia plástica, Von-Mises, Tresca,Möhr-Coulomb y Drucker-Prager, podrían ser adecuados para modelizar un material encada uno de los siguientes casos:

a) El material no plastifica bajo estados de tensión hidrostática por grandes que estossean.

b) El material sólo plastifica cuando la máxima tensión tangencial alcanza un cierto valor.c) El material se comporta de forma sensiblemente distinta a tracción y compresión.

CP 8-14 Determinar la forma de una superficie de fluencia que en el espacio de Haigh-Westergard (espacio de tensiones principales) viene dada por:

( )3

ay0Jf m2 ≤σ=′

______________________________________________________________________

CP 8-15 Indicar la forma que tendrían las siguientes superficies en el espacio tridimensionalde tensiones principales:

a) cttem =σb) ctteoct =τ

c) ctteoct

m =τσ

______________________________________________________________________

CP 8-16 Obtener en función de octσ y octτ la expresión de la superficie de fluencia que enel espacio de las tensiones principales viene representada por un cono circular de vértice(1,1,1) y cuya generatriz forma un ángulo de 30º con la bisectriz del 1er octante.______________________________________________________________________

CP 8-17 Justificar, indicando sus valores característicos, la forma de la superficie defluencia que en el espacio de tensiones principales cumple simultáneamente las siguientescondiciones:

( )( )positivos nteestrictame ,,

0JfJ

2

2m γβα

=′γ=′β−ασ

______________________________________________________________________



153

CP 8-18 Dibujar esquemáticamente y acotando los valores significativos, el lugargeométrico en el espacio de tensiones principales de los estados tensionales elásticosdefinidos por 0C2

octoct ≤−τ+σ , donde C es una constante ( 0C ≥ ).______________________________________________________________________

CP 8-19 Un determinado criterio de fluencia plástica define el régimen elástico por lassiguientes condiciones, que cumple simultáneamente:

( )( )cttes. m K,

0K

0m

2

m

oct

2231

<−στ

<−σ−σ

Describir la correspondiente superficie de fluencia en el espacio de tensiones principales.

CP 8-20 Formular en términos de los invariantes 1 I , 2J ′ y 3J ′ la ecuación de una superficiede fluencia plástica que en el espacio de tensiones principales es un elipsoide de revoluciónde semiejes a y b , según se indica en las figuras.

______________________________________________________________________

CP 8-21 Un material plástico perfecto se somete a un ensayo de tracción uniaxial( 0, 321 =σ=σσ=σ ) y empieza a plastificar para un valor de la tensión eσ=σ . Si suángulo de rozamiento interno es de 30º , determinar el valor de la cohesión que habría queasignar al material para poder aplicarle el criterio de Möhr-Coulomb.______________________________________________________________________

CP 8-22 Un material elastoplástico se somete a un ensayo de corte puro (I) y a un ensayode tracción uniaxial (II). La plastificación se produce, respectivamente, para a=τ y b=σ .Determinar los valores de la cohesión y del ángulo de rozamiento interno suponiendo unmodelo de Möhr-Coulomb.

b

σ2σ1

σ3

Intersección con planooctaédrico por (0,0,0)

ba

τ (I)

τ

τ

τ (II) σσ



154

CP 8-23 El estado tensional en un punto de unsólido en tensión plana viene esquematizado en lafigura. Determinar los valores de σ y τ para loscuales el punto empieza a plastificar (suponer uncriterio de fluencia de Von-Mises y un límiteelástico uniaxial eσ ).

______________________________________________________________________

4π

σ

σ

τ

τ

ττ

8 Plasticidad Problemas Propuestos


155


PP 8-1 Se considera una esfera maciza de radio 1R rodeada de una corona esférica de radiointerior 1R y radio exterior 2R . La esfera y la corona son del mismo material y estáninicialmente en contacto sin ejercerse ninguna presión. En un cierto instante se empieza acalentar la esfera interior hasta un incremento de temperatura θ∆ . Se pide:

a) Determinar el valor de la presión exterior que seríanecesaria aplicar a la corona para que ésta no sufracambio de volumen (hipótesis de pequeñasdeformaciones).

b) Determinar los campos de desplazamientos, dedeformaciones y de tensiones, en la esfera y la coronaen estas condiciones.

c) Obtener el menor valor de θ∆ para el cual se inicia laplastificación en algún punto, suponiendo las anteriorescondiciones y considerando el criterio de Von-Mises.

HIPÓTESIS:1) Propiedades del material: E , 0=ν , α , fσ , 1R1 = , 3R 2 = .2) Se supondrán despreciables las fuerzas másicas.3) Se conoce la solución en desplazamientos y tensiones para una corona esférica de radio

interior iR y exterior eR sometida a una presión interior iP y exterior eP es, para0=ν :

( )

( )

+=σ=σ

−=σ

σσ

σ

−−

=−

−=+=

φφθθφφ

θθ

31

31

33

33

133

33

21

r

2

000000

=

200

u=

rCCE

rC

CE

RRRR

EPP

CRRERPRP

CrC

Crur

rrrr

ie

eiei

ie

eeiir

σσσσ

u

PP 8-2a) Obtener la expresión de los criterios de fluencia de Von-Mises y Tresca en función de

las tensiones principales y el límite elástico eσ para estados tensionales de la forma:

0,0,0 321 =σ>σ>σ

b) Obtener el campo de desplazamientos, deformaciones y tensiones de una coronaesférica de radios interior y exterior iR y eR , respectivamente, sometida a una presióninterior y exterior iP y eP , respectivamente.

c) Aplicar los resultados obtenidos al estudio de la corona esférica de la figura de radios1R i = y 2R e = , situada en el interior de una esfera infinitamente rígida de radio

2e2R += , donde 1e << . Entre ambas se sitúa una junta elástica de espesor e . La

R 1R 2



156

corona está sometida a una presión interior de valor P . Obtener la curva P−δ , dondeδ es el desplazamiento radial del punto B de la corona.

d) Calcular los valores de e que garantizan que la plastificación de la corona empiezadespués del aplastamiento total de la junta. Considerar el criterio de Tresca.

HIPÓTESIS:1) Corona: E , 0=ν , eσ .2) Junta: δ= K P .3) Fuerzas de volumen despreciables.

PP 8-3 Se considera una esfera maciza de radio 1R y material (1) rodeada de una coronaesférica de radio exterior 2R y material (2). Ambas esferas están inicialmente en contactosin ejercerse ninguna presión. Se somete al conjunto a una presión exterior P y a unincremento de temperatura θ∆ .Se pide:

a) Determinar los valores posibles de θ∆ y P (positivos o negativos) para que no sepierda el contacto entre la esfera y la corona. Representarlos gráficamente en undiagrama θ∆-P .

b) Obtener el estado tensional de la corona y de la esfera para dichos valores.c) En estas condiciones, obtener para cada valor de la presión P el valor de *θ∆ para el

que se inicia la plastificación en algún punto del conjunto según los criterios de Von-Mises y Möhr-Coulomb. Dibujar las correspondientes gráficas *-P θ∆ (gráficos deinteracción).

HIPÓTESIS:1) Material (1): E , 0=ν , α2 , fσ , C, º30=φ , 1R1 =2) Material (2): E , 0=ν , α , fσ , C , º30=φ , 2R 2 =3) Se conoce la solución en desplazamientos y tensiones para una corona esférica de radio

interior iR y exterior eR sometida a una presión interior iP y exterior eP es, para0=ν :

( )

( )

+=σ=σ

−=σ

σσ

σ

−−

=−

−=+=

φφθθφφ

θθ

31

31

33

33

133

33

21

r

2

000000

=

200

u=

rCCE

rC

CE

RRRR

EPP

CRRERPRP

CrC

Crur

rrrr

ee

eiei

ie

eeiir

σσσσ

u

Junta elásticaRe

Ri B

R

P

e e



157

PP 8-4 Un cilindro de radio R y altura h está sometido a una carga P y a un incrementode temperatura θ∆ uniforme tal y como se indica en la figura. Se pide:

a) Determinar el campo de desplazamientos,deformaciones y tensiones en función de lasconstantes de integración.

b) Determinar las constantes de integración y loscorrespondientes campos de desplazamientos,deformaciones y tensiones.

c) Dado 0 *pp >= determinar el correspondientevalor de *θ∆ para que no existandesplazamientos horizontales.

d) En las condiciones del apartado c), determinarel valor de *p para el cual el cilindro empiezaa plastificar de acuerdo con el criterio de Möhr-Coulomb.

HIPÓTESIS:1) Propiedades del material:

- cohesión: C- ángulo de rozamiento interno: º30=φ .- constante térmica: β- Constantes de Lamé: µ=λ

2) No se considerará el peso propio.3) Rozamiento cilindro-suelo nulo.

PP 8-5 Para el cilindro apoyado de la Figura 1 se propone la siguiente solución endesplazamientos y tensiones en coordenadas cilíndricas:

( )

0,2,

,0

,1,

=τ=τ=τ+ν−

==

=σ=

=σ=σν−ν−

==

θθ

θ

θθ

zrzrz

zz

rrr

EqpBBzu

qu

pE

qpAAru

a) Demostrar que la solución propuesta cumple todos los requisitos necesarios para sersolución del problema elástico lineal de la Figura 1.

b) Se consideran ahora los dos cilindros de la Figura 2, separados por una distancia muypequeña H e << . Se somete el cilindro inferior a un incremento de temperaturacreciente 0≥θ∆ . Se considera el material de los dos cilindros elastoplástico con undiagrama tensión-deformación uniaxial como el de la Figura 3. Dibujar, acotando losvalores significativos, las curvas θ∆−δ y θ∆−σzz en el punto C del cilindro inferior:

1. Antes del contacto entre los dos cilindros.2. Después del contacto y hasta el inicio de la plastificación.

h

R R

p p ∆θ



158

HIPÓTESIS:1) Se despreciarán el rozamiento, las fuerzas másicas y las de inercia.

PP 8-6 Se considera la viga de sección rectangular de la figura, empotrada en un extremo ysometida a un momento flector M en el otro. El material es elastoplástico perfecto delímite elástico eσ . Se considera el siguiente campo de desplazamientos:

( ) ( )

( )

ϕ==

ϕ−=ϕ′−=

xw0v

dxxdzxzu

Se pide:

a) Justificar que cualquier sección normal al eje x permanece, después de la deformación,plana y normal a la deformada del eje x (Hipótesis de Bernouilli).

b) Justificar que, si se desprecia el coeficiente de Poisson, 0=ν , el campo dedesplazamientos dado es solución del problema elástico. Obtener el valor de ( )xϕ y loscorrespondientes campos de desplazamientos, deformaciones y tensiones.

c) Obtener el máximo valor del momento M ( eM ) para el cual todos los puntos de laviga están en régimen elástico y el correspondiente valor de la flecha (desplazamientow ) δ en el extremo libre de la viga.

θ

z

r

q

p

Figura 1

δ e

H

H

R

∆θ C

Figura 2

ε

σ

σe

10σe

Figura 3



159

d) Para eMM > obtener el valor de M en función del tamaño de la zona plastificadadentro de una sección transversal de la viga.

e) Obtener el valor del máximo momento alcanzable ( pM ) y el cociente entre pM y eM .Dibujar, acotando los valores significativos, el diagrama δ-M para ∞<δ<0 .

HIPÓTESIS:1) No se considera el peso propio.2) Se considerarán pequeñas deformaciones.3) Momento de inercia de la sección respecto al eje y : 3hm

121I =

PP 8-7 Una pieza ABCD de un material elastoplástico perfecto se ensaya en la máquinaesquematizada en la Figura 1. La curva acción-respuesta ( δ−P ) viene indicada en la Figura2. Se supone un estado tensión-deformación uniaxial en la pieza tal que:

00

0yhL

yzxzxyzyx

yzxzxyzyx

=τ=τ=τ=σ=σ≠σ

=γ=γ=γ=ε=εδ=ε

Se piden los siguientes valores que acotan el gráfico de la Figura 2:

a) El valor de la carga elástica eP y el correspondiente desplazamiento eδ .b) El valor de las cargas últimas plásticas a tracción pP y a compresión qP .c) El valor de las ordenadas y abcisas correspondientes a los puntos (1) y (2) del gráfico de

la Figura 2.

z, w y, v

x, u

M

m h

A B

C D

y

x

P δ

L

hPieza infinitamenterígida

Figura 1



160

HIPÓTESIS:1) Módulo de Young: E2) Coeficiente de Poisson: 0=ν3) Límite elástico: eσ4) Espesor de la pieza: b

PP 8-8 Las barras articuladas OA , OB y OC de la figura son de hormigón al que se lesupone un comportamiento elastoplástico perfecto con un límite elástico a tracción eσ yun límite elástico a compresión e10 σ . Se aplica una carga vertical P en el punto O ,creciente desde 0P = , hasta que se alcanza un desplazamiento vertical en dicho punto de

valor LE

20 eσ=δ . Posteriormente se descarga nuevamente hasta 0P = . Se pide:

a) Dibujar el diagrama δ -P durante el proceso, acotando los valores significativos eindicando el estado de plastificación de las barras en cada instante.

b) Calcular el valor del desplazamiento del punto O una vez terminado el proceso.

δ

LE

2 eσ

(1)

Pp

Pe

Pq

δe

P

δ

(2)

σ

E

σe

σe

E

Figura 2

ε

σ

σe

10 σe

O

P

A

B C

L

δ

45º 45º

L L

9 Ecuaciones constitutivas en fluidos Cuestiones Propuestas


161

999 EEEcccuuuaaaccciiiooonnneeesss cccooonnnssstttiiitttuuutttiiivvvaaassseeennn fffllluuuiiidddooosss

CUESTIONES PROPUESTASCUESTIONES PROPUESTASCUESTIONES PROPUESTASCUESTIONES PROPUESTAS

CP 9-1 Definir los siguientes conceptos:

a) Presión hidrostática.b) Presión media.c) Presión termodinámica.

Justificar en qué casos serán iguales la presión media y la presión termodinámica y cuándolo serán las tres.

______________________________________________________________________

CP 9-2 Definir los siguientes conceptos:

a) Fluido de Stokes.b) Fluido Newtoniano.c) Fluido perfecto.d) Fluido incompresible.e) Flujo barotrópico.

______________________________________________________________________

CP 9-3 A partir de la fórmula general de la ecuación constitutiva para fluidos viscosos,deducir la ecuación constitutiva para un fluido Newtoniano isótropo en componentesesféricas y desviadoras.

NOTA: Utilizar la expresión: ( )jkiljlikklij δδ+δδµ+δδλ .______________________________________________________________________

CP 9-4 Obtener la ecuación constitutiva de un fluido Newtoniano, barotrópico e isótropoen componentes desviadoras y esféricas.

______________________________________________________________________

CP 9-5 Definir presión hidrostática, presión media y presión termodinámica para un fluidoNewtoniano y obtener las relaciones entre ellas.______________________________________________________________________

9 Ecuaciones constitutivas en fluidos Cuestiones Propuestas


162

CP 9-6 A partir de la ecuación constitutiva de un fluido Newtoniano isótropo, obtener laexpresión de la potencia tensional, indicando su parte recuperable y su parte disipativa.Obtener la expresión de la potencia disipativa en función de las componentes esféricas ydesviadoras del tensor velocidad de deformación y deducir las limitaciones impuestas a loscoeficientes de viscosidad.______________________________________________________________________

CP 9-7 Justificar las limitaciones que el segundo principio de la termodinámica imponesobre los coeficientes de viscosidad para los fluidos Newtonianos isótropos.

______________________________________________________________________

10 Mecánica de fluidos Cuestiones Resueltas


163

111000 MMMeeecccááánnniiicccaaa dddeee fffllluuuiiidddooosss


CR 10-1 Un fluido perfecto y barotrópico tiene una ecuación cinética de estado definida

por kp

0 +ρ=ρ , donde k es constante. Obtener la distribución de presiones en régimen

cuasiestático (aceleración nula) bajo la acción del campo gravitatorio [ ]( )Tg-00=b .

Resolución:La Ecuación Constitutiva de un fluido perfecto es:

1p−=σσσσ

La Ecuación de Conservación de la Cantidad de Movimiento para el caso cuasiestático es:0b0b =ρ+−⇒=ρ+⋅ p∇∇∇∇σσσσ∇∇∇∇

El hecho de que sea fluido barotrópico implica que la densidad es una función de lapresión. Esta relación es, precisamente, la Ecuación Cinética del enunciado:

kp)p( 0 +ρ=ρ⇒ρ=ρ

Utilizando estas tres expresiones y la definición de b se obtienen las siguientes ecuaciones:

p(z)p0

yp

0xp

=⇒

=∂∂−

=∂∂−

gpkg

dzdp0g

kp

dzdp

00 ρ−=+⇒=

+ρ−−

La solución de esta ecuación diferencial es la suma de la solución homogénea y unaparticular:

zkg

Cep0pkg

dzdp:homogéneaSolución

−=⇒=+

0kp:particularSolución ρ−=

Por lo tanto resulta:

zkg

0 Cekp−

+ρ−=



164

CR 10-2 El fluido barotrópico del interior de la tubería de la figura tiene por ecuacióncinética de estado:

( )cttes. y Lnp 00

ρβ

ρρβ=

Calcular en régimen estacionario la presión de salida 2P en función de las demás variablesde la figura. Justificar la fórmula empleada.

Resolución:Según la Ecuación de Continuidad (global, espacial) se tiene:

0dVdtd =ρ∫V

Utilizando la 2ª expresión del Teorema del Transporte de Reynolds se puede obtener:

0dSdVt

dSdVt

dVdtd =⋅ρ+ρ

∂∂⇒⋅ρ+ρ

∂∂=ρ ∫∫∫∫∫ ∂∂ VVVVV

nvnv

Además, si se consideran condiciones de régimen estacionario resulta:

0dS0dVt

=⋅ρ⇒=ρ∂∂ ∫∫ ∂VV

nv

Aplicando esta última expresión a nuestro problema, queda:

222111222111 SvSv0SvSv ρ=ρ⇒=ρ+ρ−

Introduciendo la Ecuación Cinética de Estado se obtiene la siguiente expresión:

βρ=ρ⇒

ρρβ=

p

00

eLnp

Ahora tan sólo hay que sustituir esta expresión en la anterior para encontrar el resultadoque se pide:

⇒=⇒ρ=ρ β−

ββ

22

11pp

22

p

011

p

0 SvSv

eSveSve1221

β+=

22

1112 Sv

Svlnpp

P1v1S1

P2v2S2



165

CR 10-3 Calcular el valor por unidad de espesor de la fuerza horizontal F que hay queaplicar en el punto B de la compuerta semicircular de la figura, que puede girar alrededorde la rótula A , para que la recta AB sea vertical. La compuerta separa dos niveles distintosde cotas h y hα , de un mismo fluido.

Hipótesis:1) Se desprecia el peso de la compuerta y la presión atmosférica.

Resolución:Las únicas fuerzas que actúan sobre la compuerta son las fuerzas de presión de los fluidos,la fuerza F y la reacción en A (componente horizontal H y componente vertical V ).

Como los fluidos ejercen una presión perpendicular a la superficie de la compuerta y ésta escircular, la resultante de integrar las presiones sobre la superficie pasará por el centro de lacircunferencia que define la compuerta. Así, si se plantea el equilibrio de momentosrespecto del centro de la circunferencia (ver Figura 1) resulta:

FHHRFR =⇒=Y si ahora se impone equilibrio de fuerzas horizontales, sabiendo que los fluidos ejercenuna presión horizontal con una distribución triangular (ver Figura 2), se tiene:

⇒ρ=ααρ+ gh)h(21)h)(hg(

21F2

( )22 1gh41F α−ρ=

A

B F

H

2gh21 ρ

Figura 2

22hg21 αρ

A αh

B

h

R

R

F

V

Figura 1

A

B F

H



166

CR 10-4 Un cajón triangular, compuesto por dos materiales de densidades 1ρ y 13ρ , flotaen el agua (de densidad 0ρ ). Calcular el calado h y la relación entre 0ρ y 1ρ para que laflotación sea estable.

Resolución:Si se consideran unos ejes cartesianos en el vértice del cajón, se puede calcular su centro demasas:

Consideramos que todo el cajón tiene densidad 1ρ resulta:

2111 mm(2m)

21W :Peso ρ=ρ= m

32y :gravedad de Centro

1G =

Como se ha considerado que la punta del cajón tenía densidad 1ρ , ahora se deberáconsiderar que tiene densidad 111 23 ρ=ρ−ρ :

2112 m

21)2(m

2m

21W:Peso ρ=ρ=

3m

2m

32y:gravedad de Centro

2G ==

Por lo tanto, el centro de gravedad del conjunto será:

m95

WWyWyW

y21

G2G1G

21 =++

=

El empuje del fluido será equivalente al volumen de fluido desplazado y, por estar enequilibrio, deberá ser igual al peso del cajón:

0

1

12

21

02

0E

23mh

m23WW

h)h(2h21W

ρρ

=⇒

ρ=+

ρ=ρ=

El centro de gravedad donde se aplica esta fuerza es el centro geométrico del volumen defluido desplazado, es decir:

0

1g 3

2mh32y

ρρ

==

Para que el equilibrio sea estable es necesario que el centro geométrico del fluido seasuperior al del cajón:

01Gg 5425yy ρ>ρ⇒>

Además, por condiciones de flotabilidad, deberá imponerse que h < m :

01 321

mh ρ<ρ⇒<

Finalmente, queda la condición siguiente:

010 32

5425 ρ<ρ<ρ

45º 45º m/2

mh 13ρ

1ρ



167

CR 10-5 Admitiendo que el contenido de una “copa de cava” es un fluido perfecto y que lapresión termodinámica es igual a la hidrostática, calcular la aceleración con que suben lasburbujas de gas de la copa desde el fondo de la misma.

Hipótesis:1) Densidad del gas: aρ2) Densidad del fluido: cρ3) ac αρ=ρ

Resolución:Si se admite que el contenido es un fluido perfecto, entonces se cumple que:

1p−=σσσσ

Aquí p es la presión termodinámica, pero por hipótesis se admite que es igual a lahidrostática. En estas condiciones se puede escribir:

1ppp 0 −=⇒= σσσσ

Según el Teorema de Arquímedes se puede evaluar el empuje ascendente que ejerce el cavasobre la burbuja como:

VgE cρ=En esta ecuación V es el volumen de la burbuja.

El peso de la burbuja, que tira de ella hacia abajo, se puede expresar de la siguiente manera:

VgW aρ=

Por lo tanto, la diferencia entre estas dos fuerzas será la resultante que actúe sobre laburbuja:

⇒ρρ−ρ

=⇒ρ−ρ=ρ⇒

−=ρ==

ga)Vg(VaWEF

VamaF

a

acaca

a

g)1(a −α=

CR 10-6 Un depósito circular de gran diámetro que está lleno de agua vierte por unpequeño orificio lateral situado a una altura H por debajo del nivel del agua en el depósito.Si el caudal vertido es Q , obtener el diámetro D del orificio.

a

A

B

H

D



168

Resolución:Como el depósito es de gran diámetro, se puede suponer que la diferencia de cotas H semantiene constante con el tiempo, por lo que se tendrá régimen estacionario.

Por otro lado, como se está tratando con agua, se está ante un fluido perfecto eincompresible.

Así, se concluye que se puede aplicar la Ecuación de Bernouilli:

corriente de línea unaen ,ctte.2gv

gpz

2=+

ρ+

Al aplicar la Ecuación de Bernouilli a los puntos A y B pertenecientes a la misma línea decorriente se obtiene:

2gHv

2gv

gp

0:B

0g

pH:A

B2Batm

atm

=⇒

+ρ

+

+ρ

+

Finalmente se tiene:

⇒==4

πD2gHSvQ2

BB

gH2Q4D

π=

CR 10-7 Se considera un fluido perfecto e incompresible que circula por el canal de lafigura en régimen estacionario. Determinar el valor de H .

Hipótesis:1) Se desprecia la presión atmosférica.

Resolución:Teniendo en cuenta la Ecuación de Continuidad se puede establecer la siguiente relación en elvolumen de control que definen las secciones consideradas:

122

1122211 h

21h

vv

hhhvhv =⇒=⇒=

Aplicando ahora la Ecuación de Bernouilli en los puntos extremos de dicho volumen decontrol, resulta:

h1

H

v1=1 m/s

h2

v2=2m/s



169

⇒−

+−=⇒

++

+++

2gvv

hhH

2gv

0h:2

2gv

0)h(H:1 21

22

1222

2

21

1

2g3hH 1 +−=

CR 10-8 Calcular la relación entre la fuerza F aplicada al émbolo de la figura y su velocidadde descenso δ& .

Hipótesis:1) Suponer que el fluido es perfecto, incompresible y que el régimen es estacionario.2) Se desprecia la presión atmosférica.3) 1S y 2S son secciones transversales.4) La densidad del fluido es ρ .

Resolución:Como es un fluido perfecto el estado tensional será de la forma:

1p−=σσσσSi se aplica la ecuación continuidad se obtiene la siguiente relación entre velocidades delfluido:

δ==⇒= &

2

11

2

122211 S

Sv

SS

vSvSv

Si se tiene en cuenta la Ecuación de Bernouilli entre un punto arbitrario en contacto con elémbolo y otro en la salida, pertenecientes a la misma línea de corriente, resulta:

gH1SS

2p

g21

SS

00g2g

pH 22

2

12

2

12

ρ−δ

−

ρ=⇒

δ++=δ+

ρ+ &&&

De aquí se deduce que p ha de ser constante para cualquier punto en contacto con elémbolo ( Hx = ). Entonces se obtiene que:

1pSFHx,ctte.p =⇒=∀=

Finalmente, la fuerza F se relaciona con δ& según:

Hδ&

S1

S2

F



170

12

2

2

11 gHS1

SS

S2

F ρ−δ

−

ρ= &

CR 10-9 Un fluido Newtoniano incompresible de viscosidad µ , fluye en la dirección deleje de coordenadas x entre dos placas paralelas )0vvv(y),v( zyx === . Se sabe que elgradiente de presiones es constante y que tiene la siguiente expresión:

[ ]T00,a,p =∇∇∇∇

Calcular y dibujar sobre una sección transversal la distribución de velocidades (flujo dePoiseuille).

Hipótesis:1) Se desprecian las fuerzas másicas.2) Flujo estacionario.

Resolución:La Ecuación de Navier-Stokes tiene la siguiente expresión:

dtd)()(p 2 vbvv ρ=ρ+µ+⋅µ+λ+− ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇

Si se desprecian las fuerzas másicas queda:

dtd)()(p 2 vvv ρ=µ+⋅µ+λ+− ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇

Si se tiene en cuenta que el fluido es incompresible ( 0=⋅ v∇∇∇∇ ):

dtdp 2 vv ρ=µ+− ∇∇∇∇∇∇∇∇

El término de la derivada material se puede escribir de la siguiente forma:vvvv ∇∇∇∇⋅+

∂∂=

tdtd

[ ]0v

0vv

0v

=⇒

=

∂∂⋅=⋅

=∂∂

dtd

000

00y

)v(y000

00v(y)

t

∇∇∇∇

Finalmente, queda:

h/2

h/2

x

y

v(y)



171

µ=

∂∂⇒=

∂∂µ+−⇒=µ+− a

y)v(y0

y)v(yap 2

2

2

22 0v∇∇∇∇∇∇∇∇

212

1 CyCy2av(y)Cya

yv(y) ++

µ=⇒+

µ=

∂∂

Imponiendo las condiciones de contorno se obtendrán los valores de las constantes:0v(y)v(y)

2hy

2hy == −==

µ−=

=⇒

=+−

−µ

=++

µ

8ahC

0C

0C2hC

2h

2a

0C2hC

2h

2a

2

2

1

21

2

21

2

Finalmente se obtiene:

−µ

=4

hy2av(y)

22

CR 10-10 Un depósito circular de gran diámetro y sección AS está lleno de agua. Estedepósito vierte por un pequeño orificio lateral de sección BS situado a una distancia H(t)por debajo del nivel del agua en el depósito. Obtener la ecuación diferencial( )0)S,S,Hf(H, BA =& que gobierna el problema de vaciado (se supone régimen estacionario).

Resolución:Según el Teorema de Bernouilli se verifica esta expresión para una línea de corriente:

ctte.2gv

gpz

2=+

ρ+

Por lo tanto, aplicando esta propiedad a los puntos A y B se obtiene:

⇒+ρ

+=+ρ

+2g

vg

pz

2gv

gp

z2

BBB

2AA

A

v(y)

A

B

H(t)

SB

SA



172

⇒+ρ

+=+ρ

+⇒2gv

gp

02gv

gp

H(t)2Batm

2Aatm

0vv2gH(t) 2B

2A =−+⇒

Basta plantear, por último, las siguientes consideraciones sobre velocidades del fluido en lassecciones consideradas:

⇒

−==

−==

B

A

BB

AA

SHS

SQv

HSQv

&

&

0SS

1H2gH 2B

2A2 =

−+ &

CR 10-11 En el seno de un fluido Newtoniano, incompresible y de dimensión infinita,existe una burbuja esférica de gas cuyo radio R(t) varía con el tiempo. Determinar enfunción de R(t) y (t)R ′ el campo de velocidades en el fluido. No se consideran las fuerzasmásicas y se supone inmóvil el punto O .

Resolución:Como se tiene simetría esférica, se va a considerar la velocidad en coordenadas esféricas. Sehará la hipótesis de que este campo de velocidades es de la forma:

Tr 0),0,(r)(v=v

Al tratarse de un fluido incompresible se deduce:

( ) 2rr2

r2

2 rAvAvr0vr

rr10 =⇒=⇒=∂∂⇒=⋅ v∇∇∇∇

Como la posición del contorno viene definida por: )R(tr = resulta:

RRARRA(t)R

dtdR(t)v 2

2Rrr ′=⇒′=⇒′===

Finalmente queda:

2

2

r r(t)R(t)Rv′

=

R(t)O



173

CR 10-12 A partir del teorema de las fuerzas vivas demostrar que para un fluidoNewtoniano incompresible que se mueve en el interior de un recipiente rígido, inmóvil ycerrado y despreciando las fuerzas másicas, se cumple:

dd :4dt

dv 2

ρµ−=

Hipótesis:1) Condición de adherencia: Γ= en ,0v

Resolución:El Teorema de las Fuerzas Vivas tiene la siguiente expresión:

∫∫∫∫ +ρ=⋅+⋅ρ=∂ VVVV dt

d dV:dVv21dSdVP 2

e dvtvb σσσσ

Como no se consideran fuerzas másicas ( 0b = ) y como el recipiente está inmóvil, cosa queimplica por adherencia que la velocidad del fluido en el contorno es nula, entonces sepuede concluir:

∫∫ −=ρ⇒=VV

dV:dVv21

dtd0P 2

e dσσσσ

A partir del Teorema del Transporte de Reynolds se puede reescribir la expresión anterior como:

∫ ∫ −=ρ⇒∀−=ρV V

dd :dt

dv21V,dV:dV

dtdv

21 2

2

2σσσσσσσσ

Por otra parte, en un fluido incompresible se cumple:0)(tr =d

Por lo tanto, su ecuación constitutiva será:

ddd µ+−=µ+λ+−= 2p2)(trp 111σσσσ

En estas condiciones, la expresión d:ó queda de la siguiente forma:dddddd :2:2)(ptr: µ=µ+−=σσσσ

Finalmente, se concluye:

dd :4dt

dv 2

ρµ−=

Γ

10 Mecánica de fluidos Problemas Resueltos


175


PR 10-1 Un flotador en forma de pirámide y de base cuadrada es utilizado para obturar elorificio (cuadrado) de desagüe de un depósito que contiene agua. Se pide:

a) Obtener la resultante del empuje hidrostático F ejercido sobre el flotador para todoslos posibles niveles de agua H del depósito, es decir:

bH0 ≤<bH ≥

b) Dibujar el gráfico H-F , acotando los valores significativos.c) A la vista del gráfico anterior, y siendo W el peso del flotador, razonar e indicar en qué

condiciones y para qué valores de W y H el flotador actuará realmente como unobturador.

HIPÓTESIS:1) Se desprecia la presión atmosférica.

Resolución:a) El empuje hidrostático se puede calcular como el empuje que sufriría la pirámide sin

tener en cuenta la presencia del orificio y, posteriormente, restarle la fuerzacorrespondiente al empuje del agua del agujero, ya que en el problema ésta no existe.

bH0 Caso ≤<

El volumen sumergido en este caso es :

( )33sumergido Hb

31b

31V −−=

Por lo tanto, el empuje hidróstatico considerándolo sin agujero es:

]H)(b[b31ρggVF 33

sumergidototal −−=ρ=

El contacto entre el agujero y la pirámide se produce a una profundidad constante H .Por lo tanto, el agua que estaría en el orificio provocaría un empuje:

2agujero a·ρgHsuperficie·presiónF ==

b

b

a

a

Planta

b

Hb

a

W

Alzado



176

Pero como el agujero está vacío, esta fuerza deberá ser restada a la total ya que enla realidad no actúa:

agujerototalresultante FFF −=

( )[ ] 233resultante gHaHbb

31gF ρ−−−ρ=

bH Caso ≥

En este caso el volumen sumergido es:

3sumergido b

31V =

El resto del razonamiento será igual que antes:

agujerototalresultante2agujero

sumergidototalFFF

gHaF

gVF−=⇒

ρ=

ρ=

23resultante gHagb

31F ρ−ρ=

b) ( )HFresultante es un polinomio cúbico, en el primer caso, mientras que es una recta en elsegundo caso:

Donde el valor de H para maxF se obtiene derivando F(H) , del primer caso, respectode H e igualando a cero:

( )

−+ρ=−= 233max baa32b

31gabFF

Y el valor del calado 0H para el que la fuerza ejercida por el agua sobre el flotador valecero:

resultanteF

H

2gaρ

bb-a H0

)aF(bFmax −=

( )

−ρ= 22 ab31gbbF



177

2

3

0 3abH =

c) Se va a discutir en qué casos el flotador actuará como un obturador:

Si maxFW > : el agujero estará siempre obturado.Si maxFW < : hay dos posibilidades:

Si [ ] [ ] ⇒∪∈ 021 H,HH0,H hay obturación ya que FW > .Si [ ] ⇒∈ 21 H,HH no hay obturación, pues aquí FW <

Si ⇒≥ 0HH siempre hay obturación, pues aquí F tendrá el mismo sentido (haciaabajo) que W , por lo tanto el líquido ayuda a cerrar el agujero.

PR 10-2 Sobre una placa rígida indefinida, de densidad *ρ y espesor t , actúa una fuerzatangencial *f por unidad de superficie. La placa desliza a una velocidad *v sobre un planoinclinado con un ángulo α . Entre la placa y el plano inclinado hay dos fluidosNewtonianos, distintos e inmiscibles, de viscosidades 1µ y 2µ , que se distribuyen en doscapas del mismo espesor h . Se pide:

a) Establecer y razonar las hipótesis correspondientes a los campos de presión y develocidad.

b) Integrar las correspondientes ecuaciones diferenciales y obtener, salvo las constantes deintegración, la distribución de velocidades y presiones en cada fluido.

c) Indicar y justificar las condiciones de contorno que hay que aplicar para determinardichas constantes de integración.

d) Determinar completamente los campos de velocidades y de presión, así como lastensiones en cada fluido. Dibujar la distribución de cada variable (velocidades, presión ytensiones) sobre una sección transversal como la A'-A , acotando los valoressignificativos.

e) Obtener el valor de *v en función de *f y el caudal q que pasa por una secciónsemicircular como la B'-B .

W

H1 H2 H0

Fmax

H

F



178

HIPÓTESIS:1) Fluidos incompresibles.2) Régimen estacionario.3) Fuerzas de masa despreciables en los fluidos.4) Presión atmosférica despreciable.

Resolución:a) Comentar primero que la dimensión z perpendicular al papel no interviene.

Se supondrán una presión y una velocidad del tipo:

[ ]Tx 00y)(x,vy)(x,

y)p(x,p

==

=

vv

De hecho, la velocidad no dependerá de x , pues será la misma en todas las seccionestransversales tipo A-A ′ . Si no se ve esto a priori, se puede obtener al imponer laEcuación de Continuidad, teniendo en cuenta que se tienen fluidos incompresibles:

[ ]Txxx

xy

yx

00(y)v(y)vv

0v

0 vpero,0y

vx

v

00dtd

=⇒=⇒

⇒=∂∂

⇒==∂∂

+∂∂

⇒=⋅⇒=⋅ρ+ρ

v

vv

x

∇∇∇∇∇∇∇∇

Por lo tanto, los campos de presiones y velocidades tendrán esta forma:

[ ]Tx 00(y)v

y)p(x,p

=

=

v

b) Se van a integrar las ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes en coordenadascartesianas para obtener las expresiones de v y p salvo constantes:

2x

2

yv

xp0 x componente

∂∂

µ+∂∂−=⇒

x

y

A'

µ1

µ2

B'

A B

α

h

h

*ft

v*



179

p(x)p yp0 y componente =⇒∂∂−=⇒

La presión p sólo depende de x y la componente xv de v sólo depende de y , por lotanto, según la ecuación en la componente x , se pueden sustituir las derivadasparciales por derivadas totales. De esta forma se tiene una igualdad de funciones en laque el término de las presiones depende únicamente de x , mientras que el término dela velocidad depende de y , debiendo entonces las presiones ser constantes:

ctte.kdy

vddxdp

f(y)f(x)dy

vddxdp

2x

22x

2

==µ=⇒

=

µ=

⇒= kdxdp Akxp(x) +=

⇒µ

= kdy

vd2x

2

CByy2k)(yv 2

x ++µ

=

Para obtener las tensiones, se utilizarán las correspondientes fórmulas en coordenadascartesianas:

−−

−−

+µ

+µ−−

=⇒

∂∂

µ=τ=τ

−=σ=σ=σ

Akx00

0AkxByµk

0ByµkAkx

)yx,(y(y)v

p(x)

x σσσσyxxy

zyx

Donde las constantes de estas expresiones ( k , A , B , C ) serán diferentes para cada fluido.

c) Las condiciones de contorno a aplicar en el problema serán::

CONDICIONES DE CONTORNO PARA LA VELOCIDAD

1. ∗== v(y)v

hy1x , pues la placa se mueve con velocidad ∗v y 0>µ .

2. 0(y)vhy

2x =

−=, puesto que el plano inclinado no se mueve y 0>µ .

3. 0y

2x0y

1x (y)v(y)v

=== , condición de continuidad para v en el límite entre los dos

fluidos.

CONDICIONES DE CONTORNO PARA LAS PRESIONES

Para el fluido de densidad 1µ está prescrita la presión para hy = o, directamente, como pno depende de y (ya que no se considera el peso propio del fluido), está prescrita toda lapresión 1p . El valor de 1p es el correspondiente a la presión que ejerce la placa sobre elfluido de densidad 1µ , que es la proyección según el eje y del peso de la placa.

1. tgW ∗ρ= , peso de un trozo de placa de largo la unidad, según eje x y eje z . Se haconsiderado aquí 0 patm = .



180

2. x,costgp1 ∀αρ= ∗ , proyección sobre el eje y . Como se ha considerado un trozo deplaca con área unidad, el peso es directamente la presión ejercida.

3. x,pp0y

20y

1 ∀===

, condición de continuidad para la presión en la zona entre ambosfluidos.

CONDICIONES DE CONTORNO PARA LAS TENSIONES

La condición de continuidad en tensiones que hay que imponer en la interfase de los doslíquidos no afecta a todo el tensor σσσσ , sino sólo al vector de tracciones t . Deberáverificarse:

0y2

0y1

==−= tt

Teniendo en cuenta que la normal n es la normal exterior: [ ][ ]

=−=

T2

T1

010010

nn

Para este problema se tiene:

0y2xy0y

1x ==

τ=τ y

d) Se dispone de 6 condiciones de contorno y hay que determinar 8 constantes, pero essuficiente, pues hay ecuaciones que dan dos constantes a la vez. Sustituyendo lasexpresiones de p , v y σσσσ en las condiciones de contorno se obtiene:

221121

21

212211

1

111

21

222

2

2

112

1

1

BB0kk

0ycostgAA

0kkx,AxkAxk

costgA0k

x,cosAxk

CC

0ChBh2k

vChBh2k

µ=µ⇒

===

αρ====

⇒∀+=+

αρ==

⇒∀αρ=+

=

=+−µ

=++µ

∗

∗∗

∗

tg

Resolviendo y sustituyendo estos valores resulta:

+

µµ

+µµ

=

µµ

+

µµ

+=

∗

∗

1hy

1

v(y)v

hy

1

v(y)v

2

12

12x

2

1

2

1

1x

ctte1h

v

ctte.costgpp

2

11

2xy

1xy

21

=

µµ

+µ=τ=τ

=αρ==∗

∗



181

e) Para determinar la relación ∗∗ − vf se plantea el equilibrio de fuerzas sobre unelemento de placa de longitud unidad. Las fuerzas que actúan son tres:

1. La fuerza ∗f que empuja la placa en el sentido positivo de x .2. La proyección sobre el eje x del peso propio de la placa. Esta fuerza tira hacia la

dirección negativa del eje x .3. Las fuerzas tangenciales del fluido sobre la placa , que intentan oponerse al movimiento

de la placa, por lo que van en el sentido negativo de las x .

Para saber el criterio de signos de éstas últimas basta dibujar las tensiones que actúansobre un elemento de fluido.

Planteando el equilibrio resulta:

h1

vtgf

2

11

µµ

+µ+αρ=

∗∗∗ sin

)tgf(1hv2

1

1αρ−

µµ

+µ

= ∗∗∗ sin

Para calcular el caudal que atraviesa la superficie B-B ′ , basta con tener en cuenta quelos fluidos son incompresibles y por tanto el caudal que pasa es el mismo siconsideramos el segmento recto que une B y B′ :

dy(y)vdSdSqh

h xrectaBB'curvaBB' ∫∫∫ −=⋅=⋅= nvnv

µ+µµ

+= ∗

21

1

21hvq

PR 10-3 En la Figura 1 se presenta la sección transversal de un amortiguador de longitudindefinida constituido por el émbolo BAAB ′′ que desliza dentro de un recipiente lleno deun fluido Newtoniano incompresible de viscosidad µ . El descenso del émbolo, a velocidad

)t(δ& , produce un flujo de fluido entre las paredes laterales y el émbolo (ver Figura 2). Sepide:

x

yfluido

xy1τ

tensiones tangencialespositivas



182

a) Determinar los campos de velocidad y presión en la zona del fluido de la Figura 2 (zonaABCD ), salvo las constantes de integración.

b) Indicar y justificar las condiciones de contorno necesarias para determinar el valor delas constantes de integración.

c) Obtener dichas constantes y las correspondientes expresiones de los campos develocidad y presión.

d) Obtener la expresión de las tensiones en la zona ABCD del fluido.e) Suponiendo que el campo de tensiones yσ en la superficie A-A ′ es uniforme e igual

al del punto A , demostrar que existe una relación entre la fuerza por unidad delongitud F , aplicada sobre el émbolo, y la velocidad de descenso del mismo, )t(δ& , de laforma t)(F δη= & . Obtener el valor de η .

HIPÓTESIS:1) Fuerzas de masa despreciable en el fluido.2) Peso del émbolo despreciable.3) Flujo estacionario.4) Presión atmosférica despreciable.

Resolución:a) HIPÓTESIS AÑADIDAS:

Nada depende de la dirección z perpendicular al papel, pues el problema está indefinidoen esta dirección. Considérese una situación bidimensional, siendo, en principio porhipótesis:

( ) ( )[ ]Tyx 0yx,vyx,v=v

Por otro lado, sobre las paredes AB y CD , debe cumplirse: 0v x = , por condición deimpenetrabilidad (un fluido no puede penetrar en un sólido).

Sin embargo, es conveniente introducir otra hipótesis más para simplificar el problema.Se trata de una hipótesis aproximada, no exacta. Se supondrá que 0v x = en toda la zona

C B

A

D

x

y

h

O

B

h

m

F

x

y

L

B'

a

A A'

CD

O

Figura 1 Figura 2 (detalle)



183

ABCD . En realidad las líneas de corriente del fluido tienen aproximadamente lasiguiente forma:

Incluso es posible que se formen vórtices en esta región si lavelocidad es muy elevada. En definitiva, se supondrá un campode velocidades del tipo:

( ) ( )[ ]Ty 0yx,v0yx, =v

Para la presión, en principio, se supondrá que:

( )yx,pp =

Se impone la Ecuación de Continuidad . Como el fluido es incompresible ( ctte.=ρ )quedará:

0=v·∇∇∇∇

Si se aplica a este problema se obtiene:

( )xvv0y

vyy

y =⇒=∂∂

Así para una misma vertical, la velocidad es la misma, ya que la descripción espacial de lavelocidad no depende de y .

Se imponen las Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas, teniendo encuenta las hipótesis del enunciado y las añadidas. Como el problema es bidimensional, laecuación para la componente z no aporta información:

2y

2

2y

2 x

vyp

x

vyp0

)p(ypxp0

∂

∂µ=

∂∂⇒

∂

∂µ+

∂∂−=

=⇒∂∂−=

De esta ecuación se sabe que el término de la derecha depende de x , mientras que el dela izquierda lo hace respecto de y . Así se concluye, que ambas expresiones sonconstantes:

⇒=∂∂ Kyp

1CKyp +=

⇒+µ

=∂∂

⇒=∂

∂µ 2

y2y

2

CxKx

vK

x

v

( ) 322

y CxCxK21xv ++µ

=

CONDICIONES DE CONTORNO PARA LA VELOCIDAD

( ) y , 0xv 0xy ∀== : no existe deslizamiento relativo del fluido respecto de la pared.

( ) y , -xv axy ∀δ==& : igual que antes, no existe desplazamiento relativo.

D A

BC



184

CONDICIONES DE CONTORNO PARA LAS PRESIONES

0pp(y) atmhmy ==+=

CONDICIONES DE CONTORNO PARA EL CAUDAL

Para un fluido incompresible se verifica salienteentrante QQ = , donde :

∫= S· dSQ nv

El émbolo baja a una velocidad δ& y, por tanto, el émbolo se introduce en el fluidoganándole espacio a éste. Es decir, es como si entrase una sección (la del émbolo) a ciertavelocidad, empujando al fluido hacia fuera. Por esta razón se puede definir como un caudalentrante (velocidad ⋅ superficie):

L·Qentrante δ= &

En cambio, el caudal saliente de fluido a través de los espacios entre el émbolo y lasparedes laterales se puede calcular según la definición general de caudal:

( )∫∫ ==a

0 ysaliente dxxv2dS2QaS·nv

Igualando los caudales, queda:

( ) Ldxxv2a

0 y δ=∫ &

Determinación de las constantes:

( ) ( ) ⇒=⇒== 3y0xy C0v0xv

0C3 =

( ) ( ) ⇒+µ

=⇒δ−== aCaK21avxv 2

2yaxy

& a2K

aC2 µ

−δ−=&

( ) ⇒δ=

+µ

=

+µ

= ∫∫ L2

aC3

a2K2dxxCx

2K2dxxv2

2

2

3a

0 22a

0 y&

( )Laa6K 3 +δµ−= &

+δ=aL32

aC2

&

( ) ( ) ⇒++⇒=+= 1hmy ChmK0yp

( )( )hmLaa6C 31 ++δµ= &

Así, finalmente se obtienen las siguientes expresiones:



185

( ) ( )( )

( ) ( ) xaL32

axLa

a3xv

yhmLaa6ypp

23y

3

+δ+δ+−=

−++δµ==

&&

&

d) Para obtener las tensiones en la zona ABCD del fluido, basta con utilizar lasexpresiones correspondientes a las Componentes del Tensor de Tensiones para FluidosNewtonianos en Coordenadas Cartesianas. Utilizando las expresiones del apartado c) de lavelocidad y la presión se obtiene lo siguiente:

p;p;p zyx −=σ−=σ−=σ

0;0;x

vzyyzzxxz

yyxxy =τ=τ=τ=τ

∂∂

µ=τ=τ

El Tensor de Tensiones es por tanto:

−

−∂∂

µ

∂∂

µ−

=

p00

0px

v

0x

vp

y

y

σσσσ

donde ( )

+++−δµ=

∂∂

µa2

aL3La

ax6

xv

23y &

COMENTARIO:De hecho, la hipótesis de flujo estacionario, mientras el émbolo baja, es una hipótesisexcesiva y no rigurosa, pues en algún instante el émbolo llegará hasta el punto másbajo y el flujo variará. Para poder aplicar ésta hipótesis, hm + debería ser una longitudmuy grande o δ& una velocidad muy baja.

e) Las tensiones que actúan sobre el émbolo son las siguientes:

Se van a calcular las tensiones correspondientes para obtener las fuerzas resultantes yaplicar equilibrio.

A A’

Ayσ−=σ∗

aLxxy2 +=∗ τ=τ

axxy1 =∗ τ−=τ

F

Criterio designos positivo



186

En la superficie inferior del émbolo:

( ) ( ) δ+µ=σ⇒+==σ−=σ =&hLa

a6CKmyp 3

*1myAy

*

En las superficies laterales, por simetría se tiene que ∗∗ τ=τ 21 , por lo tanto sólo secalculará ∗τ1 :

( )

+δµ=τ=τ⇒

+++−δµ−=τ−=τ=τ ∗∗

=∗∗ 4

aL3

aa2

aL3La

aa6 2123axxy21

&&

Aplicando equilibrio de fuerzas (ya que δ& es una velocidad constante):

⇒τ+τ+σ= *2

*1

* hhLF

++µ=η

δη=

4aL6

aL3

ah2

F

2

2

&

10 Mecánica de fluidos Cuestiones Propuestas


187

CUESTIONES PROPUESTASCP 10-1 Escribir las ecuaciones de gobierno del problema general de Mecánica de Fluidos,enunciando cada ecuación y caracterizando el número de ecuaciones y de incógnitas.Particularizar para las ecuaciones del problema mecánico cuando éste está desacoplado delproblema térmico.

CP 10-2 Escribir las ecuaciones de gobierno de un problema de Mecánica de fluidos señalandoel número de ecuaciones disponibles y las incógnitas del problema. Hacer lo mismo para elcaso particular en que el fluido sea Newtoniano, indicando cuándo los problemas mecánico ytérmico están desacoplados.

CP 10-3 Deducir las siguientes ecuaciones:

a) Ecuación fundamental de la hidrostática (equilibrio).b) Ecuación de equilibrio de un fluido perfecto (ecuación de Euler).

CP 10-4 Demostrar el teorema de Arquímedes.

CP 10-5 Deducir la expresión del Teorema de Bernouilli para un fluido perfecto,incompresible y en régimen estacionario, bajo fuerzas gravitatorias. Interpretar gráficamente elresultado.

CP 10-6 Deducir la ecuación de Bernouilli para un fluido perfecto, incompresible y en régimenestacionario, indicando el significado de cada término y el significado de cada término.

NOTA: Utilizar la igualdad:

∧⋅ 2vvvv21+2= ∇∇∇∇ωωωω∇∇∇∇

CP 10-7 Justificar en qué condiciones la ecuación de Bernouilli se cumple para cualquier puntode un fluido perfecto en movimiento.

CP 10-8 Sea la ecuación de movimiento de un fluido perfecto barotrópico:

vwv ∧+∂∂=

Φ− 2

tv

21++P 2∇∇∇∇ donde

( )zgpd

p1P

0

=Φρ

= ∫p

Integrar dicha ecuación en los siguientes casos:

a) Flujo potencial.



188

b) Flujo potencial estacionario.c) Flujo potencial estacionario e incompresible.

CP 10-9 Demostrar que para un flujo potencial de un fluido incompresible se cumple lasiguiente ecuación, donde χ es el potencial de velocidades:

0· 2 =χ=χ ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇

Demostrar que ( )22 yxA −=χ puede ser la función potencial de un flujo de estascaracterísticas y obtener el correspondiente campo de velocidades.

CP 10-10 Deducir las ecuaciones de Navier-Stokes indicando el significado físico de cadatérmino.

CP 10-11 Interpretar físicamente cada uno de los términos que aparecen en las ecuaciones deNavier-Stokes y de la energía, para un fluido Newtoniano isótropo.

CP 10-12 Dar la interpretación física de los distintos términos de las ecuaciones de Navier-Stokes. Particularizar dichas ecuaciones en los casos de:

a) Fluido incompresible.b) Fluidos con viscosidad volumétrica nula.c) Fluidos perfectos.d) Hidrostática.

CP 10-13 Indicar y razonar los distintos tipos de condiciones de contorno, en velocidades ypresiones, a considerar en la mecánica de fluidos viscosos y no viscosos.

CP 10-14 Obtener las componentes horizontal y vertical de la resultante de las acciones queejerce el agua de un embalse sobre la presa de gravedad de la figura, por unidad de anchura dela misma.

y

x

a

H



189

CP 10-15 Calcular la fuerza F , por unidad deespesor, que hay que ejercer en el punto A de lacompuerta de la figura, para mantenerla enequilibrio bajo el empuje del agua embalsada.

HIPÓTESIS:1) Se desprecia el peso de la compuerta

CP 10-16 Determinar el valor mínimo de la fuerza F que hay que hacer en el punto B de lacompuerta AB de la figura articulada en el punto A, para que no se produzca pérdida de agua.

HIPÓTESIS:1) Se desprecia el peso de la compuerta.

CP 10-17 Calcular la resultante en el punto O delas acciones, por unidad de espesor, (fuerzas ymomento) que el agua en reposo ejerce sobre lacompuerta de la figura.


CP 10-18 Calcular el valor de la fuerza F que hay queejercer sobre el punto A de la compuerta circular dela figura, articulada en el punto B , para que semantenga en la posición indicada.


B

FA

αH

c

F

B

b

aA

Rx

y

O

A

B

F

ORα R ρ



190

CP 10-19 En la pared de un depósito existe una llave de cierre que gira alrededor del punto Ode la figura. Calcular las fuerzas y el momento resultante, por unidad de espesor, que el fluidoejerce sobre la llave.

HIPÓTESIS:1) Se desprecia el peso de la

compuerta.

CP 10-20 Calcular el peso del lastre W ′ que hay que poner en el fondo del cajón de la figura,de peso W , para que éste flote en equilibrio estable.

NOTA: Los pesos son por unidad de espesor.

HIPÓTESIS:1) La densidad del agua es ρ .

CP 10-21 Un gran depósito de sección 1S contiene un fluido perfecto, barotrópico ycompresible, que sale en régimen estacionario por el orificio B , de sección 2S , debido almovimiento muy lento del émbolo en A . Se sabe que la ecuación cinética de estado del fluidoes:

ctte.k , kp =ρ=Calcular la velocidad de salida Bv .

h R

O1e

3e

2e

hW

W’h/2

B PB = Patm

vB

x

z

H S1

S2

A PA

vA ≈ 0g



191

CP 10-22 Un depósito que contiene una altura H de agua,se deja caer por un plano inclinado un ángulo θ , con unaaceleración constante de valor a . Obtener la distribuciónde presiones y la ecuación de la superficie libre en funciónde a , H , θ y la presión atmosférica ap .

CP 10-23 Calcular la forma que tomará la superficie libre delagua contenida entre dos cilindros de radios 1R y 2R quegiran solidariamente sobre su eje a velocidad angularconstante ω.

θ

Hx

y

a

R2

R1

10 Mecánica de fluidos Problemas Propuestos


193


PP 10-1 La figura muestra la sección longitudinal de una canal con una compuerta por el quecircula agua en régimen estacionario. Para secciones transversales suficientemente alejadas de lacompuerta como la 1, aguas arriba, y la 2, aguas abajo, puede considerarse un campo develocidades horizontal y uniforme y una distribución de presiones hidrostática. Se pide:

a) Obtener los valores de la velocidad en las secciones 1 y 2.b) Calcular el valor del empuje E que ejerce el agua sobre la compuerta (por unidad de

anchura del canal).c) Admitiendo que la distribución de presiones 0p sobre cada punto de la solera del canal es

igual al peso de la columna de agua por encima de la misma ( hgp0 ρ= ) , obtener ladistancia d a la solera del punto de aplicación de dicho empuje.

NOTA: Todos los resultados deben darse en función de 1H , 2H y la densidad del aguaexclusivamente.

HIPÓTESIS:1) Se considera al agua como un fluido perfecto incompresible.2) Presión atmosférica despreciable.3) Fuerzas de rozamiento agua-solera y agua-compuerta despreciables.4) No se considera el peso propio de la compuerta.

1) PP 10-2 Un cilindro macizo de longitud indefinida se mueve a velocidad 1v en el interiorde otro cilindro hueco que se mueve a velocidad 2v en sentido opuesto al anterior. Entreambos cilindros hay un fluido Newtoniano incompresible de viscosidad µ . En el punto Ala presión es AP . Calcular:

a) Los campos de velocidades, presiones y tensiones (en función de las constantes deintegración)

b) Las constantes de integración, aplicando las condiciones de contorno pertinentes.

H1

H2

y

x

1

2

E

ρd

h

hgp0 ρ=

compuerta

solera



194

c) Las fuerzas, por unidad de longitud, 1F y 2F ejercidas sobre cada cilindro para que seproduzca el movimiento descrito.

d) La energía disipada, por unidad de tiempo y de longitud, debida a los efectos viscosos (enfunción de las constantes de integración).

HIPÓTESIS:1. Régimen estacionario.2. Se desprecian las fuerzas de masa y las de inercia.3. Debido al carácter indefinido de la longitud se considerará que el flujo (y sus propiedades)

no varían en dirección longitudinal.

PP 10-3 Una placa de longitud indefinida y espesor a2 separa dos fluidos newtonianosincompresibles que se mueven entre dos contornos de longitud indefinida situados a unadistancia h de la placa (ver figura). La placa y el contorno superior se mueven a velocidadesv/2 y v , respectivamente. Se pide:

a) Los campos de velocidades, presiones y tensiones (en función de las constantes deintegración).

b) Las constantes de integración, aplicando las condiciones de contorno pertinentes.c) Las fuerzas por unidad de superficie 1F y 2F ejercidas sobre la placa y el contorno superior

necesarias para que se produzca el movimiento descrito.d) La energía disipada, por unidad de tiempo y de superficie perpendicular al plano del dibujo,

debida a los efectos viscosos.

HIPÓTESIS:1) Las presiones en los puntos A y B son Ap y Bp , respectivamente.2) Régimen estacionario.3) Debido al carácter indefinido de la dirección x se considerará que el flujo, y sus

propiedades, no varían en esta dirección.

v1F1

v2

z

F2

v2

R1R2

A

v/2F1

x

F2 v

ah

B

A

ah 11 ρµ

22 ρµ



195

PP 10-4 Entre la placa y la superficie horizontal circula un caudal Q de un fluido Newtoniano,incompresible e isótropo en régimen estacionario. La placa se mantiene horizontal e inmóvilmediante la aplicación de una fuerza puntual de componentes H y V actuando en un puntoapropiado de la misma. Se pide:

a) El campo de velocidades.b) El campo de presiones.c) El valor de la componente vertical de la fuerza y distancia d al origen de su punto de

aplicación para que la placa no gire.d) El valor de la componente horizontal de la fuerza.

HIPÓTESIS:1) El flujo se supone paralelo al plano y-x .2) Se desprecian las fuerzas de inercia.3) Se consideran Q , V y H por unidad de longitud en dirección z .4) El peso de la placa y la presión atmosférica son despreciables.

PP 10-5 Un sólido se peso W desliza con una velocidad v sobre una superficie horizontallubricada mediante un fluido Newtoniano de viscosidad µ . La superficie inferior del sólidoestá inclinada, con una pendiente muy pequeña α , respecto a la horizontal. Se pide:

a) Obtener el campo de velocidades en el fluido en función de v , h(x) y q , donde q es elcaudal de fluido que fluye por unidad de anchura a través de una superficie vertical entre elsuelo y el sólido.

b) Obtener la distribución de presiones en el fluido en función de µ , α , q , v , h(x) , 1h y0P , sabiendo que en el punto A la presión es la atmosférica 0P .

c) Obtener el caudal q en función de v , 1h y 2h sabiendo que la presión en el punto B el0P .

d) Obtener la nueva expresión de la presión en función de µ , α , v , h(x) , 1h , 2h y 0P .e) Obtener las componentes del tensor de tensiones en función de µ , α , v , h(x) , 1h , 2h y

0P .

dy

VH

x

p = 0

L

a

a



196

f) Obtener la expresión del peso del sólido W y de la fuerza horizontal F , necesaria paramoverlo en función de µ , α , v , h(x) , 1h y 2h .

g) Obtener el cociente F/W=λ (coeficiente de rozamiento efectivo).

HIPÓTESIS:1) Fluido incompresible en régimen estacionario.2) Peso del fluido despreciable.3) Flujo muy lento (fuerzas de inercia despreciables).

4) La pendiente α es suficientemente pequeña y se considera: 0v y = , ( )yx,vv xx = , 0x

v x ≈∂∂

PP 10-6 Un fluido Newtoniano incompresible de viscosidad µ , se mueve en régimentransitorio con el siguiente campo de velocidades:

( ) ( )[ ] 0a,zgy -at -ytz,y, T >=v

Se pide:

a) Determinar g(z) sabiendo que la velocidad v 3 en 0) 0, (0, es nula en todo instante t .b) Obtener las ecuaciones de las trayectorias y las líneas de corriente.c) Calcular el tensor velocidad de deformación y el vector vorticidad.d) Calcular las fuerzas de volumen necesarias para mantener el movimiento sabiendo que la

distribución de presiones es uniforme.e) Entre los instantes 1t = y 2t = se inyecta colorante en el punto 0) 0, (0, . Calcular la

ecuación de la línea de traza a lo largo del tiempo y dibujarla para los instantes 1t = , 2t = ,3t = .

PP 10-7 Un cilindro hueco, indefinido y de radio R , gira en régimen estacionario convelocidad angular ω en el interior de un dominio infinito ocupado por un fluido Newtoniano

L= α− 12 hh

v

x

y

BA

h2h1 h(x)

F

W

α



197

incompresible de viscosidad 2µ . En el interior del cilindro existe otro fluido Newtonianoincompresible de viscosidad 1µ . Se pide:

a) Obtener el campo de velocidades y presiones en el fluido interior.b) Obtener el campo de velocidades y presiones en el fluido exterior.c) Calcular el momento que hay que aplicar al cilindro para mantener su velocidad.

PP 10-8 Un disco de radio R gira con velocidad angular constante ω a una distancia a de unasuperficie horizontal. Entre el disco y dicha superficie se encuentra un fluido decomportamiento Newtoniano con viscosidad µ . Se pide:

a) La expresión del campo de velocidades en el fluido antes de aplicar las condiciones decontorno.

b) Dicha expresión después de aplicar las condiciones de contorno.c) La expresión de la presión y de la tensión tangencial θτ z .d) El valor del momento M que se ha de aplicar en el eje del disco para mantener el

movimiento.

HIPÓTESIS:1) Pueden despreciarse las fuerzas de inercia por ser el movimiento suficientemente lento.2) Fluido incompresible.3) No se considera el efecto de las paredes laterales (se desprecian los efectos del rozamiento

fluido-pared lateral).4) Se considerará que el campo de velocidades varía linealmente con la distancia a la superficie

inferior.

µ2

µ1

ω

R

r

R

M

aµ

zω



198

5) Flujo en régimen estacionario.

PP 10-9 Una corona cilíndrica de radio interior R y espesor Rα , se sitúa en el interior de uncilindro hueco lleno de un fluido Newtoniano de viscosidad µ , tal y como se indica en lafigura. Se supone que tanto el cilindro como la corona son de longitud indefinida. Mediante laaplicación de un momento por unidad de longitud constante M , se proporciona a la coronauna velocidad angular de rotación ω. Se pide:

a) Obtener, salvo constantes de integración, loscampos de velocidades y de presiones en elinterior y exterior de la corona.

b) Plantear y justificar las condiciones de contornonecesarias para determinar las constantes deintegración y obtener dichas constantes.

c) Obtener µ en función de M y ω. Particularizarpara el caso 1<<α y 1<<β .

HIPÓTESIS:1) Fluido incompresible.2) No se consideran las fuerzas de volumen.3) Régimen estacionario.

PP 10-10 Un cilindro macizo de longitud indefinida y radio R gira con una velocidad ωconstante, concéntricamente con otro cilindro hueco de radio interior 2R que a su vez gira avelocidad angular constante a+ω . En el espacio entre ambos cilindros hay un líquidoNewtoniano incompresible de viscosidad µ . Se pide:

a) Determinar el campo de velocidades del fluidoen régimen estacionario.

b) Determinar los momentos que hay que aplicarsobre ambos cilindros para mantenerlos a lasvelocidades indicadas (indicando los sentidos).

c) Determinar el valor de la presióntermodinámica en las siguientes condiciones:

1. Los dos cilindros giran a la mismavelocidad.

2. El cilindro interior no se mueve.3. El cilindro exterior no se mueve. ω + a

Rω

2R

R

ω

αR

R

M

ω

αR βR



199

PP 10-11 En el interior de un cilindro hueco de longitud indefinida se encuentra otro cilindromacizo que se desplaza verticalmente a velocidad constante v y gira con velocidad angular ω.Entre ambos cilindros se encuentra un fluido Newtoniano con viscosidad µ . Se pide:

a) Determinar el campo de velocidades del fluido.b) Determinar el campo de tensiones en el fluido.c) Determinar el momento y la fuerza vertical que hay que

aplicar sobre el cilindro exterior por unidad de longitud delmismo para que no se mueva.

HIPÓTESIS:1) Movimiento estacionario.2) Movimiento suficientemente lento para despreciar las

fuerzas de inercia.3) Flujo incompresible.

PP 10-12 En la figura se presenta la sección transversal de un pistón cilíndrico constituido porel émbolo B'ABA' , que desliza dentro de un recipiente lleno de un fluido Newtonianoincompresible de viscosidad µ . El movimiento del émbolo a una velocidad δ& produce el flujodel fluido a través del conducto E'DED' . Se pide:

a) Determinar, salvo las constantes de integración, los campos de velocidad y presión en lazona E'DED' del fluido.

b) Indicar y justificar las condiciones de contorno necesarias para determinar el valor de lasconstantes de integración.

c) Obtener dichas constantes y las expresiones de los campos de velocidad y presión.d) Obtener la expresión de las tensiones en la zona E'DED' del fluido.e) Suponiendo que la tensión normal a la superficie BB' en el fluido es constante e igual a la

presión en los puntos D y D' , demostrar que existe una relación entre la fuerza F aplicadasobre el émbolo y su velocidad de avance δ& de la forma δη= &F . Obtener el valor de η .

HIPÓTESIS:1) Fuerzas másicas despreciables

en el fluido.2) Peso del émbolo despreciable.3) Flujo estacionario.4) Presión atmosférica despreciable

v

µ

R1

R2

ω

a

x

R2

z

B'

F

δ&

R1µ

A' B'

A

C'

D' E'

ED

C



200

A

Q

αR

WR

PP 10-13 Un fluido Newtoniano incompresible fluye por el espacio entre dos esferas,concéntricas y muy cercanas, al ser introducido por un pequeño orificio en la parte superior dela esfera exterior. Sea BA PPP −=∆ la diferencia de presión entre los puntos A y B de lafigura y BP la presión atmosférica. Se pide:

a) Plantear el campo de velocidades y presiones y las correspondientes ecuacionesdiferenciales y condiciones de contorno.

b) Obtener el campo de velocidades y presiones en función de P∆ .c) Calcular el caudal que atraviesa la superficie horizontal N-M en función de P∆ .

OBSERVACIÓN:

θ=θθ∫ 2

tglndsen

1

HIPÓTESIS:1) Movimiento muy lento (fuerzas de inercia despreciables).2) Fuerzas de volumen despreciables.3) No se considera la perturbación del flujo

producida por el orificio de entrada.4) El ángulo α es muy pequeño (puede tomarse

α=αtg ).5) Régimen estacionario.

PP 10-14 Un semicilindro de radio R y longitudindefinida está colocado en el interior de otrosemicilindro indefinido de radio Rα tal como semuestra en la figura. Entre ambos se inyecta uncaudal por unidad de longitud ctte.Q = de unfluido viscoso, Newtoniano e incompresible. Sepide:

N

R/2

α

B

M

R

kRA



201

ω

z

v1 ρ1

µ1

R

v1 p1

ρ1 µ1

v2 p2

ρ2 µ2

a) Plantear las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema.b) Obtener las expresiones de la velocidad y la presión en función de las correspondientes

constantes de integración.c) Plantear analíticamente las ecuaciones necesarias para la determinación de las constantes de

integración (no hace falta resolverlas).d) Plantear analíticamente la ecuación necesaria para obtener el peso W del cilindro interior

(no es necesario resolverla).

HIPÓTESIS:1) La presión en el punto A es la atmosférica.2) El movimiento es muy lento (pueden despreciarse las fuerzas de inercia).3) La entrada de caudal Q no perturba el flujo entre ambos cilindros.4) No son despreciables las fuerzas gravitatorias.

PP 10-15 Una esfera hueca de radio R gira convelocidad angular constante ω alrededor de su ejevertical en el interior de un dominio infinito ocupadopor un fluido Newtoniano incompresible de densidady viscosidad 2ρ y 2µ , respectivamente. El interior dela esfera está parcialmente ocupado por otro fluidoNewtoniano incompresible, de densidad y viscosidad

1ρ y 1µ , siendo el resto aire. Sabiendo que el régimendel movimiento es estacionario se pide:

a) El campo de velocidades y presiones para el fluidointerior de la esfera.

b) El campo de velocidades y presiones para el fluidoexterior de la esfera.

c) Obtener la ecuación de la superficie libre delfluido interior. Demostrar que es un paraboloidede revolución y expresar su ecuación en funciónde las coordenadas cilíndricas r y z .

HIPÓTESIS:1) Presión atmosférica despreciable.2) Se sugiere considerar campos de velocidades para los fluidos de la forma:

( ) [ ]T

2T

r rBAr00vvv,,r

θ

+==φθ φθ sinv

debiendo justificarse que se cumplen todas las ecuaciones de gobierno del problema.3) Despreciar las fuerzas de inercia y de masa en el exterior de la esfera, pero no en el interior.



202

PP 10-16 Sobre un fluido perfecto que está en reposo en el instante 0t = actúan unas fuerzaspor unidad de masa [ ]T00yα=b (descripción espacial). La distribución (espacial) depresiones es ( ) ( ) -tzett,p α=x y la distribución espacial de la densidad es ( ) ( )tt, ϕ=ρ x .Se pide:

a) Las descripciones espaciales del campo deaceleraciones y del campo de velocidades y lasecuaciones de las trayectorias (en formacanónica) y de las líneas de corriente.

b) Determinar la función ( )tϕ sabiendo que en elinstante inicial ( ) 00 ϕ=ϕ .

c) Determinar el valor del parámetro α para queel flujo sea irrotacional. Para dicho casodeterminar los potenciales de fuerzas másicasΦ ( Φ−= ∇∇∇∇b ) y de velocidades χ ( χ= ∇∇∇∇v ).Demostrar que en estas condiciones secumple la ecuación:

t,,t

v21p 2 x0 ∀=

∂∂χ++Φ+

ρ∇∇∇∇

d) Calcular el caudal que atraviesa la superficie (abierta) de la semiesfera de la figura.

y

x

R

z

11 Principios variacionales Cuestiones Resueltas


203

111111 PPPrrriiinnnccciiipppiiiooosss vvvaaarrriiiaaaccciiiooonnnaaallleeesss


CR 11-1 A partir de la expresión del principio de los trabajos virtuales:

uVVendSdVdV Γ=δδ∀δ+δρ=δ ∫∫∫

σΓ0··

0000 uuutubεεεε::::σσσσ

demostrar el principio de minimización de la energía potencial para un material elástico linealen régimen de pequeñas deformaciones.

Resolución:Al ser el material elástico lineal, entonces será un material hiperelástico, y por lo tanto existiráun potencial elástico:

( ) εεεε::::σσσσεεεε δ=δεσ=δ⇒σ=ε∂

∂∃ ijijijij

WWW

Además, si las fuerzas exteriores son conservativas se cumple:

utuutu δ⋅−=δ⇒

∂∂−=∃ ∗∗ GGG )()(

ubuubu δ⋅ρ−=Φδ⇒

∂Φ∂−=ρΦ∃ )()(

Ahora se puede reescribir la expresión del principio de los trabajos virtuales como:

000

00 =Γδ+Φδ+δ ∫∫∫σΓddVdV

VVGW uen0 Γ=δδ∀ uu

000

00 =

Γ+Φ+δ ∫∫∫σΓddVdV

VVGW uen0 Γ=δδ∀ uu

Si se define la Energía Potencial Total como:

∫∫∫σΓ

Γ+Φ+= ddVdVVV

GWU00

00)(u

se puede concluir:

0=δU uen Γ=δδ∀ 0uu

que es lo mismo que decir que U tiene un extremo en u .

Teniendo en cuenta que:εεεεεεεεεεεε ::

21)( CCCC=W

donde:

klijijkl ε∂ε∂

∂= WC2

Si se calcula:

∫∫∫σΓ

Γδ+⋅−δ+⋅ρ−δ+δ+=δ+ ddVdVVV

)()()(::)(21)( *

0000

uutuubuuuuuu εεεεεεεε CCCCU

∫∫∫σΓ

Γ⋅−⋅ρ−= ddVdVVV

utubuuu *00

00

)(::)(21)( εεεεεεεε CCCCU

y teniendo en cuenta que:)()()( uuuu δ+=δ+ εεεεεεεεεεεε

resulta:

∫∫∫∫∫

σΓΓδ⋅−δ⋅ρ−δδ+

+δ+δ=−δ+

ddVdV

dVdV

VV

VV

utubuu

uuuuuuu

*00

00

00

00

)(::)(21

)(::)(21)(::)(

21)()(

εεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεεεεε

CCCC

CCCCCCCCUU

y utilizando:εεεεσσσσεεεεεεεεεεεεεεεε δ=δ=δ :)(::)()(::)( uuuu CCCCCCCC

∫∫∫∫σΓ

Γδ⋅−δ⋅ρ−δδ+δ=−δ+ ddVdVdVVVV

utubuuuuu *000

000

)(::)(21:)()( εεεεεεεεεεεεσσσσ CCCCUU

Teniendo en cuenta que:

∫∫∫σΓ

Γδ⋅−δ⋅ρ−δ=δ ddVdVVV

utub *00

00

: εεεεσσσσU

se tiene que:

∫ δδ=−δ+0

0)(::)(21)()(

VdVuuuuu εεεεεεεε CCCCUU

Y considerando que el tensor klij

ijkl ε∂ε∂∂= WC

2 es definido positivo:

0)()( ≥δ−δ+ uuu UU

Por lo que se ve que la energía potencial tiene un mínimo en el estado de equilibrio.

CR 11-2 Justificar qué términos de la siguiente expresión del trabajo virtual interno, ennotación ingenieril:

Ωδγτ+δγτ+δγτ+δεσ+δεσ+εδσ=δ ∫Ω d)( yzyzxzxzxyxyzzyyxxintW

son intrínsecamente nulos para cada uno de los siguientes casos:

11 Principios variacionales Cuestiones Resueltas


205

a) Tensión plana.b) Deformación plana.

Resolución:En tensión plana se cumple:

0zyzxz =σ=τ=τ

Por lo tanto se tiene que:

Ωδγτ+δεσ+εδσ=δ ∫Ω d)( xyxyyyxxintW

En deformación plana se cumple:

0yzxzzyzxzz =δγ=δγ=δε=γ=γ=ε

Por tanto resulta:

Ωδγτ+δεσ+εδσ=δ ∫Ω d)( xyxyyyxxintW

11 Principios variacionales Cuestiones Propuestas


207

CUESTIONES PROPUESTASCP 11-1 Indicar y justificar cuál es el ámbito de validez y aplicación en Mecánica de Sólidos delos siguientes principios variacionales:

a) Principio de los Trabajos Virtualesb) Principio de la Energía Potencial mínima.

CP 11-2 Enunciar el principio de minimización de la energía potencial, indicar su campo devalidez y deducirlo a partir de la expresión del Principio de los Trabajos Virtuales.

CP 11-3 Demostrar que el principio de los trabajos virtuales es una condición necesaria para elequilibrio de un medio continuo.

CP 11-4 Demostrar que el Principio de los Trabajos Virtuales es condición suficiente para queun sistema de tensiones y desplazamientos sea solución de las ecuaciones de equilibrio.

1999 by: X. Oliver & C. Agelet de SaracíbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politècnica de Catalunya)

FFFooorrrmmmuuulllaaarrriiiooo bbbááásssiiicccooo

Tema 2. Deformación

( ) ( ) jijijiji dxedxdXEdXdSds 2222 ==−XFx dd ·=

)·(21)(

21 JJJJFFE TTT ++=−⋅= 1

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=j

k

i

k

i

j

j

iij X

UXU

XU

XU

E21

)·(21)(

21 1 jjjjFFe TTT −+=⋅= −−-1

∂∂

∂∂

−∂∂

+∂∂

=j

k

i

k

i

j

j

iij x

uxu

xu

xu

e21

tetTET

⋅⋅−=⋅⋅+=λ

211 21 tt ··1 εεεε+=λ

dSds λ= 1−λ=ε dSdSds ε=−( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2211

21

21 21

2

TETTET

TET

⋅⋅+⋅⋅+

⋅+⋅=θ 1cos

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2211

21

21 21

2

tettet

tet

⋅⋅−⋅⋅−

⋅−⋅=Θ 1cos

θ⋅⋅−=θ∆

sin

)2()1(2 tt εεεε

YYXX 21 212

2 EEEarcsin XY

xy++

−π=θyyxx 21 21

22 ee

earcsin xy

XY−−

+π=Θ

xyxy γ−=ε−=θ∆ 2xy

xxXXX eE

21121−

=+=λ xx ε+=λ 1

QVUQF ⋅=⋅= FFU ⋅= T TFFV ⋅=

0dVdV tt F= ( ) 01 dVTrdV εεεε+= 1· −= FAFa dd

( ) ANUNUa dd2/12 ·· −= 0

1 ρ=ρF

T

dd −⋅= AAAA

Ω−Ω−Ω−

==

12

31

23

u××××∇∇∇∇θθθθ21 xdx ddds

dtd ⋅⋅= 22 FF ⋅=

•

llll ( )llll⋅−= −

−1

1

FFdt

d

FdFE ⋅⋅=• T ( ) llll⋅−⋅= aava ddd

dtd ∇∇∇∇)( ( ) ( )dVdV

dtd v⋅= ∇∇∇∇ vF

F⋅= ∇∇∇∇

dtd

FORMULARIO BÁSICO


Tema 3. Condiciones de compatibilidad

022

2

2

2

2

=∂∂ε∂

−∂ε∂

+∂

ε∂=

zyyzS yzzzyyxx 0

2

=

∂ε∂

−∂ε∂

+∂ε∂

∂∂+

∂∂ε∂−=

zyxzyxS xyxzyzzzxy

022

2

2

2

2

=∂∂ε∂

−∂ε∂

+∂ε∂

=zxzx

S xzxxzzyy 0

2

=

∂ε∂

+∂ε∂

−∂ε∂

∂∂+

∂∂ε∂

−=zyxyzx

S xyxzyzyyxz

022

2

2

2

2

=∂∂ε∂

−∂

ε∂+

∂ε∂

=yxxy

S xyyyxxzz 0

2

=

∂ε∂

+∂ε∂

+∂ε∂

−∂∂+

∂∂ε∂

−=zyxxzy

S xyxzyzxxyz

( ) 0=××= ∇∇∇∇εεεε∇∇∇∇S 0, =ε qrijnirmjqee 0,,,, =ε−ε−ε+ε ikjljlikijklklij

zyxxyxz

∂ε∂

−∂ε∂

=∂θ∂ 1

zyyyyyz

∂ε∂

−∂ε∂

=∂θ∂ 1

zyzyzzz

∂ε∂

−∂ε∂=

∂θ∂ 1

xzxxzxx

∂ε∂

−∂ε∂

=∂θ∂ 2

xzyyzxy

∂ε∂

−∂ε∂

=∂θ∂ 2

xzzzzxz

∂ε∂

−∂ε∂

=∂θ∂ 2

yxxxxxy

∂ε∂

−∂ε∂

=∂θ∂ 3

yxyxyyy

∂ε∂

−∂ε∂

=∂θ∂ 3

yxzxzyz

∂ε∂

−∂ε∂

=∂θ∂ 3

xxx

xu

ε=∂∂

3θ−ε=∂∂

xyx

yu

2θ+ε=∂∂

xzx

zu

3θ+ε=∂∂

xyy

xu

yyy

yu

ε=∂∂

1θ−ε=∂∂

yzy

zu

2θ−ε=∂∂

xzz

xu 1θ+ε=

∂∂

yzz

yu zz

z

zu

ε=∂∂

Tema 4. Tensiones

( ) ( )θτ+θσ−σ

+σ+σ

=σθ 2222

sincos xyyxyx ( ) ( )θτ−θ

σ−σ=τθ 22

2cossin xy

yx

Tema 5. Ecuaciones de conservación-balance

∫∫

⋅µ+µ=µtVtV

dVdtddV

dtd v∇∇∇∇ ∫∫∫∫

∂∂

−ψρ−ρ=ψρ∂∂

VVVV

dSdSdVkdVt

· · AA njnv

AA j⋅−ρ=ψρ ∇∇∇∇kdtd qrd: ⋅−ρ+=ρ ∇∇∇∇σσσσ

dtdu

∫∫∫∂

Γ⋅θ

−θ

ρ≥ρVVV

ddVrdVsdtd nq 0≥

θ

⋅+θ

ρ−ρ q∇∇∇∇r

dtds

( ) 01 ≥⋅ρθ

+θ

−= q∇∇∇∇rss ilocal && ( ) 01

2 ≥θ⋅ρθ

−= ∇∇∇∇qiconds&

0≥+ρ−ρθ d:σσσσus && 0≥+θρ−ψρ− d:σσσσ&& s θ−=ψ su

FORMULARIO BÁSICO


Tema 6. Elasticidad lineal

( )02 θ−θδβ−εµ+δλε=σ ijijijllij ( )01 θ−θαδ+σν++δσν−=ε ijijijllij EE

( )03 θθα −+−= KKep ijij Gε′=σ′ 2

( )( )ν−ν+ν=λ

211E

( )ν+=µ12E

( )αν−=β

21E

( )ν−=

213EK ( )ν+=

12EG

( )µ+λµ+λµ= 23E ( )µ+λ

λ=ν2 µ+λ

β=α23 3

23 µ+λ=K G=µ

( ) ( ) 2

2

002

t∂∂ρ=ρ+µ+⋅µ+λ ubuu ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇

σΓ=⋅⊗+⊗µ+⋅λ en )()( *tnuunu ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇

( ) jijii ntt 0*ˆ θ−θβ+= ( )( )

jijii bb,0

0

1ˆ θ−θβρ

−=

( ) ( ) ijjillijijllij bb ,0,02

,2

111 ρ−ρ−=σ∇δ

+νν−σ

ν++σ∇

( ) ( ) ( )ijjillijijllij bbb

,0,0,0,2

111 ρ−ρ−ρδ

ν−ν−=σ

ν++σ∇

Tema 7. Elasticidad plana

yx

xytgσ−σ

τ=α

22

α−α

=α 212

2tgtgtg

( )( )( )

( )( )

σ+σν=σ

ν−ν−

ν−ν

ν−ν

ν−ν+ν−=

yxz

EplananDeformació

122100

011

01

1

2111CCCC

( )

ε+εν−

ν−=ε

ν−ν

ν

ν−=

yxz

E

planaTensión

1

2100

0101

1 2CCCC

FORMULARIO BÁSICO


Tema 8. Plasticidad

kkI σ=1 ´´21´2 ijijJ σσ= '

23J=σ

31I

moct =σ=σ [ ] 2123

2 Joct ′=τHE

HEEep′+

′=

0´3 2 =σ− fJ fσ=σ−σ 31 β=+ασ ´3 2Jm

φσ−=τ tgc nn ( ) 02 3131 =φσ+σ+φ−σ−σ sincosc

)3(3cos6

)3(32

φφβ

φφα

sinc

sinsin

−=

−=

Tema 9. Ecuaciones constitutivas de fluidos

ijijllijij ddp µ+δλ+δ−=σ 2 ( )dTrpp

µ+λ+=

32

dtdpp ρ

ρ−= 1 K

( ) ´´: 2 2 ddd µ+= 2222TrWD K ( ) ( )dtdp vbvv ρ=ρ+µ+µ+λ+− 2· ∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇∇

( )jkiljlikklijijklC δδ+δδµ+δλδ= ctegg

pzH =+ρ

+=2v2

0

Tema 10. Mecánica de fluidos

( ) ( )∫ ρ=p

dpp

p0

1P p∇ρ

=∇ 1P

+×=⋅ 2v

212 ∇∇∇∇∇∇∇∇ vvv w

( ) ( ) ( )θ+ρ+µ++−=ρ ∇∇∇∇∇∇∇∇ k·´´:22 rTrpTrdtdu dddd K

Tema 11. Principios variacionales

∫ ∫∫∂

δ+δρ=δV VV t

dSdVdV utub: ·· *σσσσεεεε

FORMULARIO BÁSICO


Tensor infinitesimal de deformación

Coordenadas cilíndricas

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

−

∂∂+

∂∂=

∂∂=+

∂∂=

∂∂=

=

θrz

rz

rrθr

zrθrr

εεεεεεεεε

zθθz

zrrz

θθrrθ

zzz

rθθθ

rrr

zzθzrz

θzθθrθ

rzrθrr

u1u21

uu21

uuu121

uuu1u

ε

ε

ε

εεε

εεεε

Coordenadas esféricas

−

∂∂

+∂∂=

−

∂∂

+∂∂=

−

∂∂+

∂∂=

++∂∂

⋅=

+∂∂=

∂∂=

=

φφ

φ

φφ

φφ

φ

φφφ

cot1sin1

21

sin1

21

121

cotsin1

1

ru

θu

ru

θrε

ru

ruu

θrε

ru

ru

θu

rε

ru

ruu

θrε

ru

θu

rε

ruε

εεεεεεεεε

θθ

φφrr

θθrrθ

rθ

rθθθ

rrr

φφθφrφ

θφθθrθ

rφrθrr

εεεε

=

θ=

θ=

≡θ

zz

sinryrx

zr

cos

),,(x

( )

=

=

=

≡

θ

φθ

φθ

φθ

cos

sin sin

cos sin

,,

rz

ry

rx

rx

FORMULARIO BÁSICO


Tensor velocidad de deformación


∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

−

∂∂+

∂∂=

∂∂=+

∂∂=

∂∂=

=

θ

θ

θ

θθ

θθθ

θθθ

θ

θθθθ

θ

zz

zrrz

rr

zzz

rrrr

zzzrz

zr

rzrrr

rzd

rzd

rrrd

zd

rrd

rd

ddddddddd

v1v21

vv21

vvv121

vuv1v

d


−

∂∂

+∂∂

=

−

∂∂

+∂∂=

−

∂∂

+∂∂

=

++∂∂

⋅=

+∂∂

=∂∂

=

=

φθφθ

φθ

θ

φφθ

θ

φφθθφ

φφφ

θθθ

θφφφ

θθθ

φφθφφ

θφθθθ

φθ

cotvv1v

sin1

21

vvvsin1

21

vvv121

vcot

vvsin1

vv1v

rrrd

rrrd

rrrd

rrrd

rrd

rd

ddddddddd

rr

rr

r

rrrr

r

r

rrrr

d

=

θ=

θ=

≡θ

zz

sinryrx

zr

cos

),,(x

( )

=

=

=

≡

θ

φθ

φθ

φθ

cos

sin sin

cos sin

,,

rz

ry

rx

rx

FORMULARIO BÁSICO


Ecuaciones de Navier


( ) 2

2

222tu

bz

GrG

reG r

rz

∂∂

ρ=ρ+∂ω∂

+θ∂ω∂

−∂∂+λ θ

( ) 2

2

2212tu

br

Gz

Ger

G zr

∂∂

ρ=ρ+∂ω∂

+∂ω∂

−θ∂∂+λ θ

θ

( ) ( ) 2

2222tu

brGr

rrG

zeG z

zr

∂∂

ρ=ρ+θ∂ω∂

+ω∂∂−

∂∂+λ θ

donde

∂∂

−θ∂

∂=Ω−=ω θ

θ zuu

rz

zr1

21

∂∂

−∂∂

=Ω−=ωθ ru

zu zr

zr 21

( )

θ∂∂

−∂

∂=Ω−=ω θ

θr

rzu

rrru

r11

21 ( )

zuu

rru

rre z

r ∂∂

+θ∂

∂+

∂∂= θ11


( ) ( ) 2

2222tu

bsinrGsin

sinrG

reG r

r ∂∂

ρ=ρ+φ∂ω∂

θ+θω

θ∂∂

θ−

∂∂+λ θ

φ

( ) ( ) 2

2222tu

bsinrrsinr

GsinrGe

rG r

∂∂

ρ=ρ+θω∂∂

θ+

φ∂ω∂

θ−

θ∂∂+λ θ

θφ

( ) ( ) 2

2222tu

brGr

rrGe

sinrG r

∂

∂ρ=ρ+

θ∂ω∂

+ω∂∂−

φ∂∂

θ+λ φ

φθ

donde

( )

φ∂

∂θ

−θθ∂∂

θ=Ω−=ω θ

φθφu

sinrsinu

sinrr11

21

( )

∂

∂−

φ∂∂

θ=Ω−=ω φ

φθ rru

ru

sinrr

r11

21

( )

θ∂∂

−∂∂=Ω−=ω θθφ

rr

ur

rurr

1121

( ) ( ) ( )

φ∂∂+θ

θ∂∂+θ

∂∂

θ= φθ rusinrusinur

rsinre r

22

1

=

θ=

θ=

≡θ

zz

sinryrx

zr

cos

),,(x

( )

=

=

=

≡

θ

φθ

φθ

φθ

cos

sin sin

cos sin

,,

rz

ry

rx

rx

FORMULARIO BÁSICO


Tensor de tensiones para fluidos newtonianos

µ+λ=

32

K

Coordenadas cartesianas

( ) vv ··32v

2 ∇∇∇∇∇∇∇∇ K+−

−

∂∂

µ=σ pxx

x

∂∂

+∂∂

µ=τ=τxyyx

yxxy

vv

( ) vv ··32v

2 ∇∇∇∇∇∇∇∇ K+−

−

∂∂

µ=σ pyy

y

∂∂

+∂∂

µ=τ=τyzzy

zyyzvv

( ) vv ··32v

2 ∇∇∇∇∇∇∇∇ K+−

−

∂∂

µ=σ pzz

z

∂∂

+∂∂

µ=τ=τzxxz

xzzxvv


( ) vv ··32v

2 ∇∇∇∇∇∇∇∇ K+−

−

∂∂

µ=σ prr

r

θ∂

∂+

∂∂µ=τ=τ θ

θθr

rr rrrr

v1v

( ) vv ··32vv12 ∇∇∇∇∇∇∇∇ K+−

−

+

θ∂∂

µ=σ θθ p

rrr

θ∂∂

+∂∂

µ=τ=τ θθθ

zzz rz

v1v

( ) vv ··32v

2 ∇∇∇∇∇∇∇∇ K+−

−

∂∂

µ=σ pzz

z

∂∂

+∂∂

µ=τ=τzrrz

rzzrvv

( )zr

rrr

zr ∂

∂+

θ∂∂

+∂∂= θ vv1v1·v∇∇∇∇


( ) vv ··32v

2 ∇∇∇∇∇∇∇∇ K+−

−

∂∂

µ=σ prr

r

θ∂

∂+

∂∂µ=τ=τ θ

θθr

rr rrrr

v1v

( ) vv ··32vv12 ∇∇∇∇∇∇∇∇ K+−

−

+

θ∂∂

µ=σ θθ p

rrr

φ∂

∂θ

+

θθ∂

∂θµ=τ=τ θφφθθφ

v1vsinrsinr

sin

( ) vv ··32vvv12 ∇∇∇∇∇∇∇∇ K+−

−

θ++

φ∂∂

θµ=σ θφ

φ prcotg

rsinrr

∂∂+

φ∂∂

θµ=τ=τ φ

φφ rrr

sinrr

rr

vv1

( ) ( )φ∂

∂θ

+θθ∂∂

θ+

∂∂= φ

θ

v1v1v1· 22 sinr

sinsinr

rrr rv∇∇∇∇

FORMULARIO BÁSICO


Ecuaciones de continuidad


( ) ( ) ( ) 0vvv =ρ∂∂+ρ

∂∂+ρ

∂∂+

∂ρ∂

zyx zyxt


( ) ( ) ( ) 0vv1v1 =ρ∂∂+ρ

θ∂∂+ρ

∂∂+

∂ρ∂

θ zr zrr

rrt


( ) ( ) ( ) 0v1v1v1 22 =ρ

φ∂∂

θ+θρ

θ∂∂

θ+ρ

∂∂+

∂ρ∂

φθ sinrsin

sinrr

rrt r

Ecuaciones de Navier - Stokes

Fluido incompresible; ρ ,µ constantes


Componente x

xxxxx

zx

yx

xx b

zyxxp

zv

yxtρ+

∂∂

+∂∂

+∂∂

µ+∂∂−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ 2

2

2

2

2

2 vvvvvv

vv

v

Componente y

yyyyy

zy

yy

xy b

zyxyp

zyxtρ+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂µ+

∂∂−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ 2

2

2

2

2

2 vvvvv

vv

vv

v

Componente z

zzzzz

zz

yz

xz b

zyxzp

zyxtρ+

∂∂

+∂∂

+∂∂

µ+∂∂−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ 2

2

2

2

2

2 vvvvv

vv

vv

v

FORMULARIO BÁSICO



Componente r

( ) rrr

rr

zrr

rr b

zrrr

rrrrp

zrrrtρ+

∂∂

+θ∂

∂−

θ∂∂

+

∂∂

∂∂µ+

∂∂

−=

∂∂

+−θ∂

∂+

∂∂

+∂∂

ρ θθθ2

2

22

2

2

2 vv2v1v1vv

vvvvv

v

Componente θ

( ) θθθ

θθθθθθθ ρ+

∂∂

+θ∂

∂+

θ∂∂

+

∂∂

∂∂µ+

θ∂∂

−=

∂∂

++θ∂

∂+

∂∂

+∂∂

ρ bzrr

rrrr

przrrrt

rz

rr 2

2

22

2

2

vv2v1v11vv

vvvvvv

v

Componente z

zzzzz

zzz

rz b

zrrr

rrzp

zrrtρ+

∂∂

+θ∂

∂+

∂∂

∂∂µ+

∂∂−=

∂∂

+θ∂

∂+

∂∂

+∂∂

ρ θ2

2

2

2

2

vv1v1vv

vvvv

v


Componente r

( ) ( ) rrr

r

rrrr

r

bsinr

sinsinrsinr

sinsinr

rrrr

rp

rsinrrrt

ρ+

φ∂

∂

θ−θ

θ∂∂

θ−

φ∂∂

θ+

θ∂∂

θθ∂∂

θ+

∂∂

∂∂µ+

+∂∂

−=

+−

φ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ

φθ

φθφθ

v2v2v1v1v1

vvvvvvvv

v

222

2

2222

2

22

Componente θ

( ) θφθ

θθ

φθθφθθθθ

ρ+

φ∂

∂

θθ

−θ∂

∂+

φ∂∂

θ+

θ

θ∂∂

θθ∂∂+

∂∂

∂∂µ+

+θ∂∂

−=

θ−+

φ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ

bsinrcotg

rsinrsin

sinrrr

rr

prr

cotgrsinrrrt

r

rr

v2v2v1v11v1

1vvvvvvvvv

v

222

2

2222

2

2

Componente φ

( ) φθφ

φφ

φθφφφφθφφ

ρ+

φ∂∂

θ+

φ∂∂

θ+

φ∂

∂

θ+

θ

θ∂∂

θθ∂∂+

∂∂

∂∂µ+

+φ∂∂

θ−=

θ++

φ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ

bsinrcotg

sinrsinrsin

sinrrr

rr

psinr

cotgrrsinrrrt

r

rr

vθ2v2v1v11v1

1vvvvvvvvvv

v

222

2

2222

2

Documents

MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS - agelet.rmee.upc.eduagelet.rmee.upc.edu/mmc/MMC-problemas-2002.pdf · t e (1 t) t(e 1) e 0 t 0 2 ⇒ ≈ − < ≠ 1.157 e 1 e t t 0 2 2 GENERALIZACIÓN: