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MEC2345
Mecânica dos Fluidos II
2017-2 Departamento de Engenharia Mecânica
Angela Ourivio Nieckelesala 163- L – ramal 1182 – e-mail: [email protected]
O que é um Fluido? É um material em
um estado tal que se deforma continuamente quando
sujeito a ação de cargas anisotrópicas (tensões
cisalhantes), por menor que seja a carga.
2
g = deformação = taxa de deformaçãog
Tensão cisalhante: t = F/ A = G g
G = módulo de elasticidadeg
Fluidos Newtonianos:
Lei de Newton: t = m = m d u / dy
m = viscosidade (propriedade do fluido)
Sólidos oferecem resistência a deformação. Apresentam
deformação finita quando submetidos a esforços cisalhantes
Sólido: equilíbrio estático Líquido: equilíbrio dinâmico
3
Previsões metereológicas:
Furacão Tornado
Estruturas e prédios
Aplicações
Geração de eletricidade
(barragens)
4
Carros
Aviões Barcos
Aplicações
5
Esportes:
bioengenharia :
6
Resfriamento de componentes eletrônicos:
Poluição
(atmosférica/hídrica)
Quais são os Fenômenos de
Transporte?
Dinâmica dos fluidos: transporte de quantidade de
movimento
Transferência de calor: transporte de energia
Transferência de massa: transporte de massa de
espécies químicas
Observação:
1. Freqüentemente ocorrem simultaneamente
2. As equações básicas são muito semelhantes e as
ferramentas matemáticas para resolver problemas são
similares, porque os mecanismos moleculares são
diretamente relacionados.
7
Equações de Conservação da
Mecânica
Conservação de massa
Conservação de quantidade movimento linear
(2ª. Lei de Newton)
Conservação de quantidade de movimento angular
Conservação de energia (1ª. Lei da termodinâmica)
8
Mecânica dos Fluidos utiliza experiências
juntamente com técnicas analíticas e computacionais na
resolução dos problemas. Resolver um problema
normalmente implica na determinação de campos de
velocidade. Daí obtém-se campos de pressão, forças, etc.
Experimentos são normalmente caros e demorados. Por
esta razão devem ser minimizados usando-se, sempre que
possível, soluções analíticas ou computacionais.
Soluções analíticas nem sempre são possíveis. Daí a
necessidade de simplificações. É necessário ter um “bom
senso educado” para cortar termos, fazer hipótese, etc.
9
10
Propriedades dos Fluidos Matéria é formada por moléculas em movimento, colidindo. As
propriedades de matérias estão relacionadas com o
comportamento molecular
Pressão (P): resultante da colisão das moléculas com as
paredes do recipiente
Densidade (r): relaciona-se com a ocupação da
matéria
Volume específico (n): relaciona-se com a
ocupação da matéria
Densidade relativa (d): razão entre a densidade
da substância e a densidade da água
(adimensional)
Pa
m
N
área
ForçaP
2
r
3m
kgm
r
n
kg
m1
m
3
O2H
dr
r
11
Temperatura (T): é uma medida da energia cinética das
moléculas. Medida relativa T (oC, oF) ou absoluta T (K, R)
Igualdade de temperatura equilíbrio térmico
Viscosidade absoluta(m): razão entre a tensão cisalhante(t)
e a taxa de deformação ( )
Viscosidade cinemática (u)
g
tm
g
r
mu
Fluidos
Líquidos: força coesiva entre moléculas é forte.
Possui superfície livre
Gases: força coesiva entre moléculas é fraca.
Ocupa todo recipiente.
12
Para entender o comportamento da matéria seria
necessário considerar cada molécula, conhecendo a
história de cada uma, velocidade, aceleração e modos de
iteração. Isto é inviável sem um tratamento estatístico,
devido ao elevado número de moléculas.
m/
d d*
Molecular Continuo
Na maioria das aplicações da engenharia, desejamos estudar
uma quantidade de volume de fluido contendo um grande
número de moléculas hipótese do contínuo: admite-se que os
fluidos são meios contínuos, esquecendo-se da sua estrutura
molecular.
Para demonstrar o conceito do contínuo, considere a
propriedade densidade:
ex: densidade: r(x,y,z,t) = lim m/
dd*
13
A hipótese do contínuo falha quando as dimensões
envolvidas forem da ordem do caminho médio livre entre
colisões moleculares:
Distância média entre colisões de moléculas do ar nas CNTP:
1, 6 x 10-5 cm
ex. arraste em satélites. A Teoria cinética dos gases trata desta área.
zyx ezeyexr
r
zr ezerr
)(r
),(r rerr
Não importa qual a partícula que está no ponto
em um determinado instante de tempo, mas sim
em que condições a partícula que passar pelo
ponto naquele instante possui.
Conceito do contínuo está associado com o conceito de
campo, i.e., todas as grandezas são definidas no espaço e
no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc.
O vetor posição r pode ser escrito em diferentes sistemas de
coordenadas:
Cartesiano:
Cilíndrico:
Esférico:
14
Sistemamassa constante
Sistema versus Volume de Controle
Volume de controleregião fixa do espaço
Fronteira
do sistema
Fronteira
do volume
de controle
15
Formulação Integral: equações de conservação são
aplicadas a um volume de controle finito
menor esforço; resultados globais.
ótima ferramenta quando se deseja valores médios e globais.
Não fornece detalhes do escoamento.
exemplo: força de arraste agindo sobre um objeto
Formulação Diferencial: equações de conservação são
aplicadas a um volume de controle infinitesimal
maior esforço; resultados pontuais.
soluções detalhadas, porém complicadas
exemplo: distribuição de pressão ao longo da superfície de um objeto
Técnicas Básicas de Análise
16
Método Lagrangeano versus Euleriano
Método Lagrangiano: As equações de conservação
são aplicadas a um sistema arbitrário, o qual pode ser
infinitesimal ou finito.
A variável física é descrita para um determinada partícula
A variável independente é um “rótulo” da partícula, como por
exemplo, a coordenada da partícula em um determinado
instante de tempo: é a posição da partícula P em t = 0
Esta função descreve como a função da
partícula P varia com o tempo
Ex: policial seguindo carro
Pr
),( trP
17
Método Lagrangeano versus Euleriano
Método Euleriano: As equações de conservação são
aplicadas a um volume de controle arbitrário, o qual
pode ser infinitesimal ou finito
A variável física é descrita em relação a um ponto do espaço
Para cada instante t, a partícula em é uma partícula
diferente
é a posição da partícula P em t
Esta função descreve a função na posição
da partícula P em função do tempo
Ex: controlador de tráfego
r
r
),( tr
Vamos utilizar a formulação
Euleriana, juntamente com o
conceito de campo, i.e., todas
as propriedades são definidas
em função de sua localização
no espaço e no tempo
Derivada total de uma grandeza (pressão, temperatura,
velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento
(= como varia com o tempo para uma determinada partícula
),,,( tzyx Descrição Euleriana
wvu
particula td
zd
ztd
dy
ytd
dx
xtd
dt
ttd
d
)(.)(
convectivavariaçãopartículadamovaodevidotempoocomvariaçãodetaxa
fixaposiçãotempoocomvariaçãodetaxa
wz
vy
uxttD
D
18
ii
xe
xe
xe
xe
33
22
11grad
19
Vetor Velocidade:
Produto escalar entre vetores:
Operador gradiente:
iii
iizyx eueueueueueweveuV
332211
iiijjijijijjii BABAeeBAeBeABA
Operador Divergente:
i
iij
i
jji
i
jjj
ii
x
A
x
Aee
x
AAe
xeAA
div
20
V
ttD
D Derivada Material
21
Tipos de Campos:
Campo escalar:
massa específica: r(r ,t); temperatura: T(r ,t); pressão p(r ,t)
Campo vetorial:
velocidade: V(r ,t); aceleração: a(r ,t); força F(r ,t)
Campo Tensorial:
tensão: s(r ,t); gradiente de velocidade: V(r ,t);
taxa de deformação D(r ,t)
Fluidos em Movimento
O escoamento dos fluidos é determinado a partir do
conhecimento da velocidade em cada ponto do
escoamento, isto é, a partir do campo das diversas
grandezas relevantes.
22
Regime permanente:
V = V(r ); isto é ( ) / t = 0
Regime transiente:
V=V(r ,t) Caso geral: ( ) / t ≠ 0
Tipos de Escoamento
Escoamento uniforme: a velocidade é a
mesma em qualquer ponto do escoamento
Escoamento não uniforme: a velocidade
varia de ponto para ponto do escoamento
Dimensão
Uni-dimensional: v depende somente de uma
coordenada espacial
Bi-dimensional: v depende somente de duas
coordenadas espaciais
Tri-dimensional: v depende das três coordenadas
espaciais, caso geral.
24
Fluido perfeito, sem viscosidade:
t ≈ 0 ( )
Fluido viscoso : t≠ 0
0g
Caracterização dos Fluidos quanto ao seu
comportamento sob esforços normais compressivos:
Compressíveis: quando há variação apreciável de volumes
devido à compressão. Gases em geral se comportam
assim. r ≠ constante (M>0,3), onde M= V/c é o número de
Mach; c = velocidade do som
Incompressíveis: quando a variação do volume é pequena
para grandes compressões. A maioria dos líquidos se
comporta desta forma. r≈ constante
25
Regime de Escoamento:
Escoamento laminar: movimento regular
Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no
escoamento, causando um movimento de mistura.
O turbilhamento provoca um regime não
permanente. Porém o tempo característico de
flutuação turbulenta < < escala de tempo que define
o regime permanente ou transiente
•Se o escoamento é laminar,
eventuais perturbações serão
amortecidas e desaparecerão
(Fig. a). Durante a transição,
picos esporádicos de turbulência
surgirão (Fig. b). Durante o
regime turbulento, o escoamento
flutuará continuamente (Fig. c).
26
Experiência de ReynoldsLaminar:
filamento de
corante não
se mistura
Turbulento: o
corante mistura
rapidamente
O escoamento turbulento
ocorre a altas velocidades. A
transição é caracterizada pelo
no. de Reynolds
m
r DVRe
Reynolds altos esc. turbulento
Reynolds baixo esc. laminar
27
Vetor tensão
A dependência de tn em n pode ser obtida através de um
balanço de forças em um tetraedro com a altura h 0.
Da 3ª. Lei de Newton
então
00 )e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxn dAdAdAdAF
O vetor tensão tn é a força de contato por
unidade de área que um material dentro
de (t) faz no material fora de (t).
Hipótese de Cauchy: tn = tn (n)
nt
zzyyxx tt;tt;tt
σnetetetn)e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxzzyyxxn
ex
ey
ez
28
Tensor tensão
Então substituindo as tensões nos planos perpendiculares
as direções x, y e z, tem-se
sé o tensor tensão:
Note que:
zzyyxx etetetσ
]t[ee]t[ee]t[eet
]t[ee]t[ee]t[eet
]t[ee]t[ee]t[eet
zzzzyyzxxz
yzzyyyyxxy
xzzxyyxxxx
]t[eee]t[eee]t[eee
]t[eee]t[eee]t[eee
]t[eee]t[eee]t[eeeσ
zzzzzyyzzxxz
yzzyyyyyyxxy
xzzxxyyxxxxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
tetete
tetete
tetete
σ
tzt-x
t-z
ty
tx
t-y ey
ez
ex
ez tz
ey
ex
A matriz s
29
Tensor tensão
Substituindo as tensões nos planos perpendiculares as
direções x, y e z, tem-se
Definindo
o tensor tensão sé :
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
sss
sss
sss
σ
etc;te;te;te xzxzxyxyxxxx sss
1º subscrito indica a superfície
do cubo na qual a tensão atua,
enquanto que o 2º índice
indica a direção da tensão
xxs
yxs
yys
y
x
z
yzs
zzs
xzs
xys
zxs
zys
30
Fluido em repouso:
I é a matriz identidade,
que também pode ser
representada pelo
operador
delta de kronecker
Compressão isotrópica:
Iσ PP
P
P
P
100
010
001
00
00
00
Pxx sPxx s
Pzz s
Pyy s
Pyy sPzz s
y
x
z
jise
jiseij
0
1
31
Fluido em movimento:
Surge uma tensão adicional: s PI t,onde té o tensor extra-
tensão (tensão de tensões viscosas)
xxxx P ts
yxyx ts
yyyy P ts y
x
z
yzyz ts
zzzz P ts
xzxz ts
xyxy ts
zxzx ts
zyzy ts
zzzyzx
zyyyyx
xzxyxx
ttt
ttt
ttt
τ
32
Gradiente de Velocidade: vEm coordenadas cartesianas:
dr = ex dx + ey dy + ez dz e v = ex u + ey v + ez w
IV3
2VV T
div])grad(grad[ g
z
w
z
v
z
u
y
w
y
v
y
u
x
w
x
v
x
u
wvu
z
y
x
VV
grad
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
V T)(grad
;
100
010
001
I ij
d v = d r • v
VVV
2
1
2
1
33
Taxa de Deformação: D
Taxa de deformação
evorticidaddeformação
detaxa
2
1
2
1
TT VVVVV )()(
TVV )(D
2
1
z
w
y
w
z
v
x
w
z
u
z
v
y
w
y
v
x
v
y
u
z
u
x
w
y
u
x
v
x
u
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
D
Diagonal: taxa de
deformação linear do
elemento de fluido
Fora da diagonal: taxa
de deformação angular
do elemento de fluido
34
Taxa de deformação angular:
yxyx
tyx
yx
Dy
u
x
v
t
y
tdu
x
tdv
20
gg
g
lim
tantan
Taxa de deformação linear:
xxxx
txx
xx
Dx
u
t
x
tdu
gg
g
0lim
=dv t
=(v/x)xt
=du t
=(u/y)yt
v (x)
u (y)
u (x)
u (y)=dv t =(v/y)yt
=du t
=(u/x)xt
v (y)
Taxa de deformação volumétrica:
Vz
w
y
v
x
uzzyyxx
ggg
35
Vorticidade: W
Vorticidade
evorticidaddeformação
detaxa
2
1
2
1
TT VVVVV )()(
TVV )(W
2
1
0
0
0
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
xy
xz
yz
y
w
z
v
x
w
z
u
z
v
y
w
x
v
y
u
z
u
x
w
y
u
x
v
W
x, y e z são taxas de rotação médias (velocidades angulares)
= ex x+ ey y+ ez z vetor vorticidade
36
Taxa de rotação:
zyxyx
tyx
yx
Wx
v
y
u
t
y
tdu
x
tdv
2
1
2
1
2
1
0lim
tantan
=du t=(u/y)yt
v (x)
u (y)
=-dv t
=-(v/x)xt
37
VVat
V
tD
VD
z
v
y
v
x
v
t
v
t
v
tD
vDy wvuvVa
z
w
y
w
xw
t
w
t
w
tD
wDz wvuwVa
Aceleração:
aceleração aceleração
local temporal convectiva
i
kki
i
kkikt
ukk
kkj
ijikt
ukk
jjiit
eu
t
V
tD
VD
x
euu
x
ueueea
eux
ueeux
eeuVVa
k
kkk
)()(
kajaiaakwjviuV zyx
,Em coordenadas cartesianas:
z
u
y
u
x
u
t
u
t
u
tD
uDx wvuuVa
y ej
ej ei
ei
x
38
Coordenadas cilíndricas:
zzrr
zzrr
eaeaeaa
eueueuV
,
z
uzr
u
r
urt
uzt
u
tD
uDz
zzzzzz uuuuVa
VVat
V
tD
VD
Aceleração:
z
euu
r
euu
r
euu
z
ueu
r
ueu
r
ueueea k
kzk
kk
krk
kzk
kk
krkt
ukk
k
y er
e e er
r
x
jrirer
sincos jrire
cossin
ejrirer
cossin rejrire
sincos
i
kki
i
kkikt
ukk
x
euu
x
ueueea k
er
uu
z
uu
uu
r
uueea
r
euu
z
ueu
r
ueu
r
ueueea
rrz
rrrt
urrr
rr
rrz
rr
rrrrt
urr
r
r
rzrt
u
zrt
u
er
u
z
uu
uu
r
uueea
r
euu
z
ueu
r
ueu
r
ueueea
2
39
Exercício. Um corpo com rotação de corpo rígido, possui vetor
velocidade angular w = e. Determine o tensor taxa de
deformação angular e linear.
O vetor velocidade é v = r e ux = v • ex ; uy = v • ey ; uz = v • ez =0
sabe-se que
ex = er cos - e sin logo ux = - r sen = - y
ey = er sen + e cos logo uy = + r cos = x
002
1
yzxzxy
x
v
y
uggg ;
00
zzyyxx
z
w
y
v
x
uggg ;v
O resultado indica tensor extra-tensão é nulo para um fluido com
rotação de corpo rígido
40
Exercício: Considere o escoamento unidimensional, permanente,
incompressível, através do duto plano e convergente mostrado. O
campo de velocidade é dado por
Determine o componente x da aceleração de uma partícula movendo-se
no campo de escoamento.
X1=0
X2=L
y
x
V
iLxVV
)]/([ 11
VVat
V
tDVD
zzyyxx eaeaeaa
regime permanente: 0t
V
0 zyxx aaeaa ;
1-D:
x
uxz
u
y
u
x
u
tD
uDx uawvuuVa
L
V
L
xVax
11 1
41
Lei de Newton de viscosidade
O tensor extra é proporcional a taxa de deformação do
elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de
compressão ou expansão):
onde
Viscosidade:
m : primeiro coeficiente de viscosidade molecular, viscosidade
absoluta ou viscosidade dinâmica
l – 2/3 m : segundo coeficiente de viscosidade
l 0: para escoamento de fluido incompressível
: viscosidade global
em geral 0para escoamentos compressíveis, com
exceção de escoamento com ondas de choque e explosões
IDτ V
mm
3
22
TVV )(D
2
1
42
Viscosidade Absoluta é relacionada com a transferência de quantidade de
movimento a nível molecular
Unidades: Pa s = kg/(ms); P(poise)= g/(cm s)
gases: variação da viscosidade com a temperatura é
pequena
Para gases com baixa densidade, pode-se mostrar que
onde V é a velocidade característica das moléculas, e lé
o caminho médio livre entre colisões. A viscosidade
cresce com a temperatura
Líquidos: em geral viscosidade decresce com o aumento
da temperatura
lrm V
Tm
)/(exp TBAm
43
Validade da Lei de Newton para viscosidade
Materiais que obedecem a Lei de Newton da viscosidade
são chamados de “fluidos Newtonianos”
Gases, água, glicerina, querosene, óleo de cozinha, etc.
Líquidos com micro-estruturas complexas não obedecem a
Lei de Newton da viscosidade e são chamados de “fluidos
não-Newtonianos”
Soluções polimétricas, cristais líquidos, emulsões,
suspensões, etc.
44
Viscosidade de suspensões e emulsões
suspensão: um sistema com duas fases, onde a fase
contínua é líquida e a fase dispersa é sólida
emulsão: um sistema com duas fases, onde ambas as
fases contínua e dispersa são líquidas
Espuma: um sistema com duas fases, onde a fase
contínua é líquida e a fase dispersa é gasosa
Em alguns processos é possível considerar que emulsões
e suspensões são fluidos Newtonianos, com uma
viscosidade efetiva mef, a qual depende da fração de volume
da fase, definida como
totalvolume
dispersafase davolume
45
Fluidos Não-Newtonianos: Modelos
Newtonianos Generalizados
Fluido Power-Law:
Fluido de Carreau:
)(γ
)()()(
Tse
Tseγγ
o
oo
tt
ttt
g
0
Fluido de Bingham e Herschel-Bulkley : só existe
escoamento se a tensão for superior a tensão limite (to =yield stress).
Para o fluido de Bingham, n=1
D)(τ 2g Dτ 2mNewtoniano: Newtoniano Generalizado:
Tv)(vD
2
1D:D
2
1g
Taxa de
deformação: magnitude de D:
1 nm gg )(
1 nm gg )(
2121 /)(])([
n
o
gl
o: viscosidade para taxa de cisalhamento nula
∞: viscosidade para taxa de cisalhamento infinita
l: parâmetro com
unidade de tempo
46
Exercício. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,
estacionárias, separadas pela distância 2 h. O escoamento ocorre devido a
diferença de pressão. A coordenada y é medida a partir da linha de centro do
espaço entre elas. O campo de velocidade é dado por u = umax [ 1- (y/h)2].
Avalie as taxas de deformação linear e angular. Determine a tensão
cisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expressão para a
vorticidade, . Determine o local onde a vorticidade é máxima.
02
1
2
yzxzxy
h
yu
x
v
y
uggg ;max
v = u ex u= umax [ 1- (y/h)2] ; v = w = 0
deformação angular:
00
zzyyxx
z
w
y
v
x
uggg ;vdeformação linear:
2h
yuxyxy maxmgmt tensão cisalhante
y
xh
uhy
h
uhy
xy
xy
max
max
)(
)(
mt
mt
n
y
x
n
47
Exercício. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,
estacionárias, separadas pela distância 2 h. O escoamento ocorre devido a
diferença de pressão. A coordenada y é medida a partir da linha de centro do
espaço entre elas. O campo de velocidade é dado por u = umax [ 1- (y/h)2].
Avalie as taxas de deformação linear e angular. Determine a tensão
cisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expressão para a
vorticidade, . Determine o local onde a vorticidade é máxima.
02
1
2
yxz
h
yu
y
u
x
v ;max
= ex x+ ey y+ ez z
|| é máxima nas paredes: em y=h e y=-h
vorticidade