Upload
anonymous-8nbutrurf
View
295
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
mecanica e dinamica
Citation preview
1
1
CapCapíítulo 1tulo 1Grandezas, unidades e dimensões. Vectores.
Mecânica Física I
2
ISELMecânica Física I – Capítulo 1
Grandezas
Física (Mecânica): Observação dos Fenómenos da Natureza, Ciência Experimental
Medição (numérica) → Grandeza física
ModeloDescrição simplificada do sistema físicoCorpos pequena dimensão: ponto material/partponto material/partíículacula
Descrição
EscalarVectorial
2
3
ISELMecânica Física I – Capítulo 1
Sistemas de Unidades
Medição ↓
Unidades Invariáveis (padrão)
Sistema Internacional de Unidades (SI)
Grandezas fundamentais (base)
Comprimento, massa, tempo
Grandezas derivadasForça: 1 N = 1 kg m s-2
Energia: 1 J = 1 kg m2 s-2
Sistema Internacional de Unidades (SI)
Grandezas de Base do SI
Grandeza (símbolo) Dimensão Unidade
Comprimento (l) L m (metro)
massa (m) M kg (quilograma)
tempo (t) T s (segundo)
Corrente eléctrica (I) I A (ampere)
Temperatura (T) Θ K (kelvin)
Quantidade de matéria (n) N mol (mole)
Intensidade luminosa (Iv) J cd (candela)
Grandezas Suplementares do SI
ângulo plano (α,β,γ,θ) adimensional rad (radiano)
ângulo sólido (Ω,ϖ) adimensional esterradiano (sr)
4
ISELMecânica Física I – Capítulo 1
Dimensões
Análise dimensional [X] = Ll Tt Mm IiΘθ Nn Jj
Natureza qualitativa grandeza físicaNão fornece factores numéricosHomogeneidade dimensional[v]=[x]/[t]=L T-1
[F] = [m] [a] = M L T-2
Notação Científica: 10x
5000 = 5x103
0,0002 = 2x10-4
Prefixos Múltiplos e Submúltiplos de Unidades SI
yota 1024 Y deci 10-1 d
zeta 1021 Z centi 10-2 c
exa 1018 E mili 10-3 m
peta 1015 P micro 10-6 µ tera 1012 T nano 10-9 n
giga 109 G pico 10-12 p
mega 106 M fento 10-15 f
kilo 103 k ato 10-18 a
hecto 102 h zepto 10-21 z
deca 101 da yocto 10-24 y
3
5
ISELMecânica Física I – Capítulo 1
Sistemas de coordenadasReferenciais Cartesianos
Sistema de eixos ortonormado OXYZPonto fixo O, eixos perpendiculares OX, OY, OZ
Coordenadas cartesianas (rectangulares) → x, y, z
Movimento planoCoordenadas polares → r, θ
Movimento espaçoCoordenadas esféricas → r, θ, ϕ
6
ISELMecânica Física I – Capítulo 1
Versores e componentes de um VectorVector
Módulo Orientação
DirecçãoSentido
VersorVector unitário,Sem dimensõesDefine uma orientação
Versores Eixos Cartesianos
OX; OY; OZ →Outros
vu
uvuv
≠
=
1=e
x y z
2 2 2x y z
u
ˆ ˆ ˆu u i u j u k
u u u u u u
u ˆu eu
= + +
= = = + +
= =( )kji ˆ;ˆ;ˆ
( ) ( )zyx uuueee ˆ;ˆ;ˆ;; 321 ≡
ki j
X
Y
Z
ux
uy u
uz
4
7
ISELMecânica Física I – Capítulo 1
Soma/Subtração
Operações com VectoresVectores livres
Multiplicação por escalar (α)
a
b
ba +x y z
x y z
x y z
ˆ ˆ ˆa a i a j a kˆ ˆ ˆb b i b j b kˆ ˆ ˆc c i c j c k
= + +
= + +
= + +
( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxx ±+±+±=±
a
b
a b−
2 c c -1,5 c
x y zˆ ˆ ˆc c i c j c kα = α +α +α
8
ISELMecânica Física I – Capítulo 1
Operações com VectoresProduto Interno/escalar
Projecção de um vector sobre o outro
Algumas propriedades
x x y y z z
a b a | b a b cos
a b a b a b a b
= = θ
= + +
i
i
a bi
a
b θ
2 2a a= a a
a b=b a
90º a b=0
=
θ = ⇒
i
i i
i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j=i k j k 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi i=j j k k 1
= =
= =
i i i
i i i
a cosθ
5
9
ISELMecânica Física I – Capítulo 1
( ) ( ) ( )
x y z
x y z
y z z y z x x z x y y x
ˆ ˆ ˆi j ka b a b a a a
b b b
ˆ ˆ ˆa b a b i a b a b j a b a b k
× = ∧ = =
= − + − + −
Produto externo/vectorialVECTOR perpendicular ao plano
Regra da mão direita
Operações com Vectores
a b a b sen× = θ
a
b
a b×
θ
b a a b× = − ×
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j=k j i=-kˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi k j k i jˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆj k i k j iˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi i=j j k k 0
× ×
× = − × =
× = × = −
× × = × =
i
jk
10
ISELMecânica Física I – Capítulo 1
Capítulo 1: Leituras RecomendadasCapítulo 1: Leituras RecomendadasR. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1-Mecânica Clássica”, Thomson, 2004
Capítulo 1, Secções 1.1 a 1.11 (p.5-37)
R. Resnik, D. Halliday & K. Krane, “Física 1”, 5ª Edição, LTC, 2003.
Capítulo 1, Secções 1-1 a 1-7 (p.1-14) – Grandezas e UnidadesCapítulo 2, Secções 2-1 e 2-2 (p.15-20) – Vectores
F. P. Beer, E. R. Johnston & W.E. Clausen. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Estática”, 7ª Edição, McGraw-Hill, 2006.
Capítulo 1, Secções 1.1 a 1.6 (p.2-13) – Grandezas e UnidadesCapítulo 2 , Secções 2.1 a 2.8 (p.17-30) – Vectores
1
1
CapCapíítulo 2tulo 2Cinemática do ponto material
Mecânica Física I
2
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Cinemática do ponto material: ConceitosCinemática do ponto material: ConceitosCinemática
Estudo das propriedades geométricas do movimento das partículas/sistemas materiais, sem atender às causas
Ponto material/partículacorpo cujas dimensões são desprezadas no estudo do movimento
não se considera rotação, vibração, etc
Sistema material/corpo: conjunto de pontos materiais (rígido ou deformável)
Movimento cineticamentedeterminado/caracterizado
Equações do Movimento
Posição
Velocidade
Aceleração
Tipo de trajectória
Natureza do movimento
)t(r
)t(v
)t(a
2
3
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Movimento Rectilíneo (unidimensional)Movimento Rectilíneo (unidimensional)Deslocamento/espaço
∆s = sP´-sP
intervalo ∆t = tP´-tP
Velocidade média
Velocidade (instantânea)
Aceleração média
Aceleração (instantânea)
'
'
−∆= =
∆ −P P
P P
s ssvt t t
0lim
t
s dsvt dt∆ →
∆= =
∆
'
'
P P
P P
v vvat t t
−∆= =
∆ −
0lim
t
v dvat dt∆ →
∆= =
∆
4
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Movimento Rectilíneo: Casos particularesMovimento Rectilíneo: Casos particulares
Velocidade constanteIntervalo de tempo ∆t = t2 - t1; Deslocamento ∆x = x2 - x1
Aceleração constanteVariação de velocidade ∆v = v2 - v1
( )2 2
1 12 1 2 1
x t
x t
dxv cte dx v dt dx v dt x x v t tdt
= = ⇔ = ⇒ = ⇔ − = −∫ ∫1 1 0 00;t x x x x v t= = ⇒ = +
( )2 2
1 12 1 2 1
0
v t
v t
dva cte dv a dt dv a dt v v a t tv v a tdt
⎫= = ⇔ = ⇒ = ⇔ − = − ⎪ = +⎬⎪⎭
∫ ∫
( ) ( )0 0 00 0
x tdxv v a t dx v a t dt dx v a t dtdt
= = + ⇔ = + ⇒ = +∫ ∫
1 1 00;t v v= =
20 0
12
x x v t a t⇒ = + +
3
5
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Equações do Movimento 2Equações do Movimento 2--D/3D/3--DDVector posição
Eq. Vectorial movimento
Equações finitas ou paramétricas
TrajectóriaLugar geométrico das sucessivas posições do p.m. no referencialEquação trajectória
Elimina-se tEx:
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆr i+ j+ kt x t y t z t=
( ) ( ) ( )y zx x t y t z t= ==
( ) ( )y zy x z x= =
6
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Grandezas lineares do MovimentoGrandezas lineares do MovimentoVector Velocidade
MédiaInstantânea
0
r r ˆ ˆ ˆv lim i+ j+ kt
d dx dy dzt dt dt dt dt∆ →
∆= = =
∆
Vector AceleraçãoMédiamed
rvt
∆=
∆
2 2 2
2 2 2
v ˆ ˆ ˆa i+ j+ k=
ˆ ˆ ˆ= i+ j+ k
yx zdvdv dvd
dt dt dt dtd x d y d zdt dt dt
= =
v dsvdt
= =
medvat
∆=
∆
a v∆
4
7
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Casos particulares no movimento geralCasos particulares no movimento geral
Condições iniciais posição e velocidade em t = 0 s:
Velocidade constanteTrajectória Rectilínea
Aceleração constanteTrajectória Curvilínea
0r r v t= +
20 0
1r r v a2
t t= + +
0v v a t= +
0 0r , v
8
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Componentes cartesianas e da trajectóriaComponentes cartesianas e da trajectória
Velocidade tangente à trajectória
TrajectóriaComponentes normal e tangencial
ˆ ˆ ˆv i+ j+ kˆ ˆ ˆa i+ j+ k
x y z
x y z
v v v
a a a
=
=
Componentes cartesianas
ˆv tv e=
5
9
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
0, 0rr 1
rt
s tdsds
d eds
∆ → ∆ →
∆ → ∆ ⇒ =
∴ =
DemonstraçãoDemonstraçãoˆv tve=
0
r r rv
r rlims
d ds d dvdt dt ds ds
dds s∆ →
= = =
∆=
∆
Quando
vector unitário (versor) tangente àtrajectória
vˆv
vˆ
t
t
e
e
=
Sentido do movimento
Sentido positivo da trajectória
10
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Componentes intrínsecas da aceleraçãoComponentes intrínsecas da aceleraçãoAceleração: 2 componentes
Aceleração tangencialtangencialAltera o módulo da velocidade
Aceleração normalnormal, radial ou centrípeta
Altera a direcção da velocidade
ρ - Raio da trajectória
y
x
C
P
O
t ˆa tdv edt
=
t n
ˆvˆ ˆv a
ˆ ˆ
a a +a
tt t
tn
ded dvve e vdt dt dt
de v edt
= ⇒ = = +
=ρ
∴ =
2
n ˆa nv e=ρ
ta
a
na
2 2 2t na a a= +
ta
na
6
11
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Classificação de MovimentosClassificação de MovimentosTrajectória
Tipo
RectilíneaDirecção constante
paralelos
CurvilíneaDirecção variável
não paralelos
BvAv
Ba
Aaa e v
v
v a=0×
v a×
v
v a 0× ≠a e v
12
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Natureza do MovimentoNatureza do Movimento
Movimento Uniforme
Movimento uniformemente variado
Acelerado
Retardado
Mudança Sentido
Movimento variado
v
a
a
ta
ta
na
na
v
tv a 0tec= ⇒ =v a cos
t
ta
v a v a= θ =i
θ
θ
ta tec=
v a 0>i
v a 0<i
v a 0=i
( )ta f t=v a<0i
v a>0i
7
13
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Movimentos constrangidos (roldanas)Movimentos constrangidos (roldanas)
Partículas com movimentos dependentes de outra(s) partícula(s)
LigaçõesFios inextensíveis (Cabos), carris, atrelados, etc
Análise de movimentos ⇒ relação entre coordenadasNº coordenadas independentes (arbitrárias) para definir posições → nºgraus de liberdade
Máquina de Atwood(Rev. George Atwood, 1746-1807)
Roldanas fixas, móveis e associações(Cat. Museu Física ISEL)
14
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Movimentos constrangidos: 1 grau de liberdadeMovimentos constrangidos: 1 grau de liberdade
Fio inextensível de comprimento LRoldana de raio R2 blocos/partículas
s1s2
1 2
1 21 2 1 2
1 21 2 1 2
= const.
Se 0 0
Como 0 0
L s R sds dsdsv v v v v
dt dt dt
dv dvdva a a a adt dt dt
+ π + =
= ⇒ + = ⇔ + = ∴ = −
= ⇒ + = ⇔ + = ∴ = −
8
15
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Movimentos constrangidos: 2 graus de liberdadeMovimentos constrangidos: 2 graus de liberdade
2 Cabos A e B
( )= 2 .= .
2 02
2 04 2
2 02
2 04 2
A A D
B B C C D
AA D D
A BB c D c
AA D D
A BB c D c
L y y constL y y y y const
vv v v
v vv v v v
aa a a
a aa a a a
+ +
+ + − +
+ = ⇔ = −
+ − = ⇔ = − −
+ = ⇔ = −
+ − = ⇔ = − −
⇓
⇓
16
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Movimento CircularMovimento CircularCaso particular do movimento curvilíneo
Raio da trajectória ρconstante, r
Avaliação do movimento em função da variação angular φ(deslocamento angular ∆φ)Velocidade angular (rad/s):
Aceleração angular (rad/s2):
dt dt
∆φ φω = ⇒ ω =
∆
2
2
d dt dt dt
∆ω ω φα = ⇒ α = =
∆
9
17
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Relação entre grandezas angulares e linearesRelação entre grandezas angulares e linearesr = const.
( )222
ˆ ˆr - v1
ˆv
n t
t
t t
n n
re ves d ds vr dt r dt r
v r re
dv da r a rdt dt
rva a rr r
= =θ
θ = ⇒ = ⇒ ω =
∴ = ω ⇔ = ω
ω= = ⇒ = α
ω= = ⇒ = ω
18
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Grandezas angulares vectoriaisGrandezas angulares vectoriaisDirecção ω constante ≡Direcção eixo de rotação
no plano da trajectória
Vectorialmente:
r v∴ ⊥ ⊥ ωv
, vr
v ra r
a r v
d d ddt dt dt
ω= = × + ω× ⇔
⇔ = α× + ω×
ddtω
α =
v r= ω×
ˆa t tr e= α ˆan nv e= ω
10
19
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Movimento circular uniformeVelocidades constantes
Movimento circular uniformemente variado, α = const.
22
0
v . 0
. 0t
n
const a
const
va a rr
d d dt tdt
= ⇒ =
ω = ⇒ α =
= = = ω
θω = ⇔ θ = ω ⇒ θ = θ + ω
0
20 0
12
d tdtd t tdt
ωα = ⇒ ω = ω + α
θω = ⇒ θ = θ + ω + α
v
a
20
ISELMecânica Física I – Capítulo 2
Capítulo 2: Leituras RecomendadasCapítulo 2: Leituras RecomendadasR. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1- Mecânica Clássica”, Thomson, 2004
Capítulo 2, Secções 2.1 a 2.7 (p.40-76) – Movimento unidimensionalCapítulo 3, Secções 3.1 a 3.5 (p.77-93) – Movimento 2-D/3-D e circular
F. P. Beer, E. R. Johnston & W.E. Clausen. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Dinâmica”, 7ª Edição, McGraw-Hill, 2006.
Capítulo 11, Secções 11.1 a 11.5 (p.602-617) – Movimento unidimensionalCapítulo 11, Secções 11.9 a 11.11 (p.641-646), 11.13 (p.663-665) –Movimento 2-D/3-DCapítulo 11, Secção 11.6 (p.618-623) – Movimentos constrangidosCapítulo 15, Secções 15.3 a 15.4 (p.919-925) – Movimento circular
R. Resnik, D. Halliday & K. Krane, “Física 1”, 5ª Edição, LTC, 2003.Capítulo 2, Secções 2-3 a 2.6 (p.20-46) – Movimento unidimensionalCapítulo 4, Secções 4.1 a 4.3 (p.75-81) – Movimento 2-D/3-DCapítulo 8, Secções 8.1 a 8.6 (p.179-196) – Movimento Circular
1
1
CapCapíítulo 3tulo 3Leis de Newton
Mecânica Física I
2
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Dinâmica do ponto material: ConceitosDinâmica do ponto material: ConceitosDinâmica
Relação entre o movimento das partículas/sistemas materiais e as forças a que são submetidos (causas do movimento)Descrição da interacção de um corpo com a “vizinhança”:
Força(s)
Objectivo DinâmicaCaracterizar o movimento quando sujeito à acção de forçasDeterminação das forças responsáveis por um dado movimento
Movimento dinamicamente
determinado
Força (s)Contacto
Campo
Inércia (massa)
F( , , , , )x y z v t
2
3
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Inércia e momento linearInércia e momento linearInércia
Galileu Galilei (1564-1642)Propriedade universal dos pontos materiais (e dos sistemas materiais)Traduz a resistência à alteração do estado cinemático poracção de uma força (externa)Quantificada por parâmetro m: massa inercial
Isaac Newton (1643-1727)
Momento linear (quantidade de movimento)
Depende do referencial
p vm=
4
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Leis de NewtonLeis de Newton1ª - Lei da Inércia
Um corpo em repouso permanecerá em repouso, e um corpo em movimento continuará em movimento com velocidade constante (movimento rectilíneo uniforme), a menos que sobre ele actue uma força externa resultante diferente de zero
p Fdd t
=
m1
m2
F12
F21
F12 = - F21m1
m2
F12F12
F21F21
F12 = - F21
2ª - Lei fundamental da DinâmicaA variação temporal do momento linear de uma partícula/sistema material é directamente proporcional à resultante de todas as forças que a/o actuam:
3ª - Lei da Acção-ReacçãoQuando há interacção entre 2 corpos, a força que o 2º corpo exerce sobre o 1º é igual e oposta à força que o 1º corpo exerce sobre o 2º:
F a
m cte
m
=
⇓
=
Equação fundamental da Dinâmica
3
5
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Referenciais Referenciais inerciaisinerciais ((NewtonianosNewtonianos))
Referenciais onde são válidas as leis de NewtonUma partícula não sujeita a qualquer interacção possui aceleração nulaMovimento rectilíneo uniforme/RepousoOutro referencial com m.r.u. (ou em repouso) é igualmente referencial inercial
Referenciais não inerciais (ou acelerados)sujeitos a aceleração
pF 0 p .v .
vF a 0 a 0
d constdt const
dmdt
⎫= = ⇒ = ⎪⎪ =⎬⎪= = ⇒ = =⎪⎭
6
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Composição de Forças (Força resultante)Composição de Forças (Força resultante)Sistema de n forças actuando um ponto material
n
1 2 3 n i Ri=1
F F F F F F+ + + + = =∑…1F
2F
nF
3F
RFm
Força Resultante (vector principal)
Lei da independência das forças:O sistema de forças e a força resultante são equivalentes
n n
i i R i ii=1 i=1
n
ii=1
F a F F a
F a
m m
m
= ⇒ = =
∴ =
∑ ∑
∑
X
Y
Z
O
4
7
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Aplicações da 2ª lei de Aplicações da 2ª lei de NewtonNewton
Definição dinâmica de força
Massa inercial: coeficiente de proporcionalidade
Grandeza escalarIndependente condições anteriores do movimentoOrigina variações velocidade
Interacções dependerão:Posição das partículas (x,y,z)Velocidade vTempo t
Integrando
Alguns tipos de força:Campo
GravíticaElectrostáticaMagnética
ContactoAcção-reacção
NormalTracção/tensão
LigaçãoMovimento circular
ElásticaAtrito
Seco/CoulombViscoso
pF a F ad mdt
= = ⇒ ∝
F( , , , , )x y z v t⇒
( )2
2
rF r tdmdt
= →
8
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Força gravitacionalLei da atracção universal
Par acção-reacçãoMassa m ≠ Peso P (=Fg)
Terra esférica e referencial inercial
Nível do solo r = R
Exemplo: Mafra
Ponto (38º56’02’’;09º18’34’’)Precisão ∆g = ±0,001 mgal = ±10-8 m s-2
g 2 ˆF Tr
mmG er
= −gF
g 2F Tmm G m gr
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
2
0 02 2 2T Tm m Rg G g G g g
r R r= ⇒ = ⇒ =
20 9,800802g m s−=
Acção-ReacçãoForça de tracção/tensão
Força normal
g Pm =
P
( )P T a
a 0
T P
m+ =
⇓ =
= −
P N 0
N P
+ =
⇓
= −
5
9
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Força elásticaMola de comprimento L
k constante de proporcionalidade (constante de elasticidade)
Forças de ligaçãoTrajectória circularLigação (tensão/normal)
Movimento uniforme
P T am+ =
elF
0elF =
elF L∝ ∆
elF k L= ∆2
2na a va R
R= ⇒ = = ω
P N am+ =
10
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Forças de atritoAtrito seco (Coulomb)
Interacção/contacto superfíciesOrientação oposta ao movimento relativo
Coeficiente atrito µAtrito estático
Atrito cinético
Relação entre coeficientes
Atrito ViscosoMovimento num fluido
Velocidades baixas (Stokes)
AmortecedorVelocidades altas (Rayleigh)
aF bv= (v < 30 m/s)
2aF bv= (v < 300 m/s)
aF N∝
a eF N≤ µ
a cF N= µ
c eµ < µ
6
11
ISELMecânica Física I – Capítulo 3
Capítulo 3: Leituras RecomendadasCapítulo 3: Leituras RecomendadasR. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1-Mecânica Clássica”, Thomson, 2004
Capítulo 4, Secções 4.1 a 4.7 (p.108-129) – Leis de NewtonCapítulo 5, Secções 5.1 a 5.4 (p.141-161) – Aplicações Leis de Newton
F. P. Beer, E. R. Johnston & W.E. Clausen. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Dinâmica”, 7ª Edição, McGraw-Hill, 2006.
Capítulo 12, Secções 12.1 a 12.6 (p.692-704) – Leis de Newton
R. Resnik, D. Halliday & K. Krane, “Física 1”, 5ª Edição, LTC, 2003.
Capítulo 3, Secções 3-1 a 3-8 (p.47-74) – Leis de Newton a 1-DCapítulo 4, Secção 4.2 (p.76-78) – Leis de Newton a 3-DCapítulo 5, Secções 5.1 a 5.4 (p.102-116) – Aplicações Leis de Newton
1
1
CapCapíítulo 4tulo 4Dinâmica do ponto material
Mecânica Física I
2
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Considerações sobre EnergiaConsiderações sobre EnergiaInteracções entre partículas e/ou sistemas materiais
ForçasLeis de Newton → Análise do movimentoPosição, velocidade, aceleração
→ Problemas com algumas situações
Abordagem alternativa: ENERGIA EProcessos físicos envolvem:
Transferências de energia Transformações de energiaDiferentes formas de energia
mecânica (trabalho, cinética, potencial), química, eléctrica, atómica
2
3
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Impulso (linear) de uma forçaImpulso (linear) de uma forçaForça actuante num intervalo ∆t = t2-t1
( )
( )
2 2
1 1
2
1
t p
2 1t p
t
F t
pF F p
F t p p p
I F t
d dt ddt
dt d
dt
= ⇔ =
⇒ = = −
=
∫ ∫
∫ Impulso da força F
FI
FI p= ∆Teorema da variação do momento linear
2pFI
2p1p 1p
Interpretação GráficaUnidade: N∗s
4
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
ImpulsoImpulso
Se constante,
Movimento rectilíneo e direcção de constante
( )
2
1
2 2
1 1
2
1
t
t
t t
F 2 1 2 1 t t
t
t
I p p v - v F
x x
y y
z z
m v F dt
m dt m v F dt
m v F dt
⎧ ∆ =⎪⎪⎪= − = = ⇔ ∆ =⎨⎪⎪ ∆ =⎪⎩
∫
∫ ∫
∫F
( ) ( )2 1 2 1m v v F t t⇒ − = −
2 2
1 1
t t
F t tI F F F F
F
dt dt t I F t
I Ft
= = = ∆ ⇔ = ∆
⇔ =∆
∫ ∫
F
3
5
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Trabalho de uma forçaTrabalho de uma forçaForça actua numa p.m.
Origina deslocamento
Trabalho infinitesimal da força
Trabalho no deslocamento
sendoUnidade S.I.: J (Joule)
F r cos
t
dW d FdsdW F ds= = α
⇔ =i
rds2
A1
A2
A
s1s
αds
rdF
2 2
1 11 2 F r
A s
tA sW d F ds→ = =∫ ∫i
F r x y zd F dx F dy F dz= + +i
1 J é o trabalho realizado por uma força de 1 N, cujo ponto de aplicação sofre um deslocamento de 1 m
6
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Trabalho: expressões alternativasTrabalho: expressões alternativas
Expressão do trabalho elementar de uma força
Em termos da velocidade
Se Ft = const.
Se
E o trabalho não depende da trajectória!
2
11 2
F rF v F vrv
t
t
dW ddt W dtd
dt→
⎫=⎪ ⇒ =⎬
= ⎪⎭∫
ii i
2
11 2
v
t t v
dvF ds ma ds m ds mv dv W mv dvdt →= = = ⇒ = ∫
( )1 2 2 1t tW F s s F s→⇒ = − = ∆
( )2
1
r
1 2 2 1rF=const. F r F r r F rW d→⇒ = = − = ∆∫i i i
4
7
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Casos particulares: trabalho da força Casos particulares: trabalho da força gravíticagravítica
Força Gravítica ou Peso
Trajectória no plano OXY, entre pontos A1 e A2
y1
y2
y
dy
A1
A2
A
P ( )2 2
1 1
2
1
1 2 P rA y
yA y
y
y yy
W d P dy
P dy P y
→∴ = = − =
= − = − ∆
∫ ∫
∫
i
O X
Y
ˆ ˆP yP j mg j= − = −
ˆ ˆrd dx i dy j= +
dx
rd
( )1 2 2 1W mg y y→⇒ = − − Elevação (∆y > 0) ⇒ W1→2 < 0Descida (∆y < 0) ⇒ W1→2 > 0
8
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Casos particulares: trabalho da força elásticaCasos particulares: trabalho da força elásticaForça Elástica
Trajectória rectilínea (OX), entre pontos A1 e A2
O
ˆ ˆF xF i kx i= − = −
ˆrd dx i=
B
B x1A1
A2
A
AO
B x2
x
F2 2
1 11 2
2 21 2 1 2
F r
1 12 2
A x
A xW d kx dx
W kx kx
→
→
∴ = = −
⇒ = −
∫ ∫i
Mola não deformada
W1→2 > 0 ⇒ mola regressa à posição não deformada
5
9
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Energia CinéticaEnergia CinéticaDa expressão do trabalho de uma força:
Energia Cinética, Ec:Grandeza escalarUnidade S.I.: J (Joule)
Princípio do trabalho e energia (ou Teorema da variação da energia cinética)
( )2
2 2
1 11
2 22 12 2
vv v
v vv
v mmv dv m v dv m v v⎡ ⎤= = = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫2
212 2c
pE mvm
= =
2 21 2 2 1
1 12 2cW E mv mv→ = ∆ = −
10
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
PotênciaPotênciaPotência: taxa temporal de realização/consumo de trabalho (ou energia)
Potência instantânea (∆t → 0):
Unidade S.I.: 1 J/s = 1 W (watt)Cavalo-vapor (“horse-power”): 1 cv (hp) = 746 W
Rendimento η (eficiência ε):
cmedia
EWPt t
∆→ = =
∆ ∆cdEdWP
dt dt= =
F r F vdW d dt= = ⇒i i F vP = i
saída saída
entrada entrada
W PW P
η = =
6
11
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Forças conservativasForças conservativasForças conservativas
W1→2 não depende da trajectória (A ou B)W1→2 depende apenas das posições/configurações inicial e final (pontos 1 e 2)W1→2 é nulo numa trajectória fechadaAssociadas a uma função potencial V ou energia potencial Ep
A energia mecânica é invariante (Emec constante)
Conversão entre formas de energia (Ec ↔ Ep)
1 2 1 2F r F r
F r F r F r 0
A B
A B
A B A B
W d d W
d d d
→ →
−
= = =
= − =
∫ ∫
∫ ∫ ∫
i i
i i i
A
B
12
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Função potencialFunção potencialTrabalho de uma força conservativa,
Função V (potencial) dependente apenas da posição (x,y,z)
Gradiente:
Rotacional:
( )F , ,x y z
( )1,2 1,2F r x y zW d F dx F dy F dz dV V= = + + = − = −∆∫ ∫ ∫i
( ), , V V VV x y z dV dx dy dzx y z
∂ ∂ ∂⇒ = + +
∂ ∂ ∂
F ; ;r x y zV V VF F Fx y
dz
W d dV ∂ ∂ ∂= − = − = −
∂ ∂= − ⇒
∂= i
ˆˆ ˆF grad V V VV V i j kx y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − = −∇ = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
;rot F F 0 ;y yx xz zF FF FF Fx y x z z y
∂ ∂∂ ∂∂ ∂= = =
∂ ∂= ∇× = ⇒
∂ ∂ ∂ ∂
7
13
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Energia potencial Energia potencial EEpp
Conhecer Ep (=V) ⇒ conhecer força conservativa
Determinar Ep num ponto ⇒ escolher ponto referênciaPonto de referência arbitra-se Ep = 0
Energia potencialTrabalho desenvolvido por uma força conservativa ao longo de uma dada trajectória desde um ponto Q (x,y,z) até um ponto de referência R (onde a energia potencial se anula)
1,2 1,2 1 2W V V V= −∆ = −
( )0
, ,R
Q R R Q Q PQW dW V V V E x y z→
=
⎛ ⎞= = − − = =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
14
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Conservação da energia mecânicaConservação da energia mecânicaForça conservativa
Princípio do trabalho-energia
Lei da Conservação da Energia MecânicaNo movimento sob acção de força(s) conservativas é constante a soma das energia cinética e potencial
P1 m
P2
F
1v
2v( )F , ,x y z1 21,2 p pW E E= −
2 11,2 c cW E E= −
1 2 2 1
1 1 2 2
1,2
const.p
p p c c
p c p cc
W E E E E
E E EE E E
∴ = − = −
⇔ + + == + ⇒
; 0mec p c mecE E E E= + ∆ =
8
15
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Forças Forças nãonão--conservativasconservativasO trabalho depende da trajectória
Exemplo: atrito
Energia mecânica não é invariante
Movimento actuado por forças conservativas e não conservativas
1 2 1 2A BW W→ →≠
1 2 0mec mec mecE E E≠ ⇔ ∆ ≠
2 1
1 2 2 1
1 2
1 2 1 2 1 21 2
1 2
cons Nconsc c Ncons
p p c cconsp p
W W W E EE E W E E
W E E→ → →
→→
⎫= + = − ⎪ − + = −⎬= − ⎪⎭
1 2Ncons
c p mecW E E E→∴ = ∆ + ∆ = ∆
16
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Energia potencial Energia potencial gravíticagravítica
Referência: r → ∞ ⇒ Ep → 0
Próximo da superfícieReferência: Ao nível do solo
2T
gm mF G
r= −
, 2
2 2
0 02 2
1
;
T TP R T pr
r
Tp
m m m mW G dr Gm m E Gr r r
m R Rg G g g E mgr r r
∞∞ ⎡ ⎤= − = ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
= = ⇒ = −
∫
2
0pRE mgr
= −
2TmmG
r−
pE mgh=
0pE =
0,r R g g→ →
( )R
p prE mgdr m E m hg r gR= − = − ⇒ =∫
9
17
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Energia potencial elásticaEnergia potencial elástica
Referência: xr = 0 (Fel = 0) ⇒ Ep = 0
elF kx= −
( )2
2 2, 2 2r
r
xx
P R rxx
x kW kxdx k x x⎡ ⎤
= − = − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
0pE =
212pE kx=⇒
Lei de Hooke:
212p iE kx=
212p fE kx=
( )2 212p f iE k x x∆ = −
Força elástica+gravíticael grav
mec p p cE E E E= + +
elF
gF
18
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Conservação do momento linearConservação do momento linearConservação do momento linear (quantidade de movimento)
Ausência de forças exteriores
extpF 0 0 p . p pi f
d constdt
= ⇒ = ⇒ = ⇔ =
1v
Av
Sistema inicialmente em repousoDeslocamento do passageiro ⇒deslocamento contrário da plataforma
1 1 0 1 1 0p p 0i f A Am v m v m v m v= ⇔ = + ⇒ = −
10
19
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Colisões (impacto)Colisões (impacto)Choque/colisão/impacto
Interacção decorre num ∆t→0Forças de interacção/contacto
Interiores, exercidas entre os corposVariam durante o choqueAtingem grande intensidade F→∞
Forças exteriores desprezáveisFext<<F
Alteração do movimentoLinha de impacto
Direcção da normal às superfícies de contacto
ChoqueCentral
Centros de massa dos corpos localizados sobre a linha de impacto
ExcêntricoCentros de massa exteriores à linha de impacto
Linha de impacto
20
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
ChoqueForças internas, impulsivas, repercutivas
F>>Fext (F→∞, Fext →0)IF finito (= Fmed ∆t)
Velocidade:Variação finita durante o choque
( )2
1
t
F 2 1t
F
I F t p p 0
I
dt
vm
= = − ≠
⇒ ∆ =
∫
( )F FI I 0 0rv r t tt m m
∆∆ = = ⇒ ∆ = ∆ → ∆ →
∆
Variação do momento linear Variação do momento linear durantedurante o choqueo choque
FIFmed
Posição:Aproximadamente invariável durante o choque
11
21
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
ext
A B A B
F 0 p .
p 0 p p 0 p p
const= ⇒ =
∆ = ⇔ ∆ + ∆ = ⇒ ∆ = −∆
Choques: Conservação do momento linearChoques: Conservação do momento linear
Choque Central DirectoChoque entre corpos/partículas A e B
Forças interiores FA e FB
Forças exteriores desprezáveis
v – velocidade antes do choqueu – velocidade antes do choque
Choque DirectoDirecção do movimento constante
0A BF F⇒ + =
Antes e depois do choque!
ip p f A A B B A A B Bm v m v m u m u= ⇔ + = +
n
Linha de impacto
A
tAv
B Bv
AFBF
A A B B A A B Bm v m v m u m u⇒ + = +
22
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Natureza do ChoqueNatureza do ChoqueChoque elástico
Domínio da elasticidadeDeformação não permanente, recuperação da forma após a colisãoConservação da Emec ⇒ Ec = const.
Choque inelástico (plástico)Domínio da plasticidadeDeformação permanente: junçãoEmec não se conservaConservação momento linear
Choque: caso geralDeformação “intermédia”, entre elasticidade e plasticidade perfeitaColisão “dividida” em 2 períodos
DeformaçãoRestituição2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2
i fc c
A A B B A A B B
E E
m v m v m u m u
= ⇔
⇔ + = +
( )A A B B A Bm v m v m m u+ = +
12
23
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Choque: coeficiente de restituiçãoChoque: coeficiente de restituiçãoCoeficiente de restituição, e
Mede capacidade dos corpos “recuperarem” a forma após uma colisãoBalanço entre os impulsos das forças associadas à deformação (Fd) e à restituição (Fr) durante os respectivos períodos
r
d
F r r B A
F d d A B
I p m v u ue eI p m v v v
∆ ∆ −= = = ⇒ =
∆ ∆ −
Choque elástico ⇒ e = 1
Choque plástico ⇒ e = 0Corpos seguem juntos
Caso geral: 0 < e < 1
( )B A A Bu u e v v− = −
( )B A B Au u v v− = − −
24
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Direcção inicial das velocidades não coincidente com a linha de impactoForças de contacto actuam na direcção da normal à superfície de impacto ⇒ variação do momento linear apenas na direcção n
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
' '
' 't t t t
t t t t
m v m v v v
m v m v v v
= ⇒ =
= ⇒ =
Choque Central Oblíquo
Conservação do momento linear do sistema na direcção da normal n
Momento linear de cada partícula constante na direcção tangencial t
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2' 'n n n n
m v m v m v m v+ = +
Coeficiente de restituição na direcção n:( ) ( )( ) ( )
2 1
1 2
' 'n n
n n
v ve
v v−
=−
13
25
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Movimento relativo (translação)Movimento relativo (translação)Movimento da partícula P, massa m2 referenciais cartesianos
Referencial inercial S[Oxy]Referencial acelerado S’[O’x’y’]
Posição:
Posição relativa:
Lei da transformação de velocidades
Aceleração:
' 'r r rPS S S PS= +
' 'r r rPS S S PSd d ddt dt dt
= + ⇒ ' 'v v vPS S S PS= +
' 'r r r rPS PS S S rel= − =
' 'v v vPS S S PSd d ddt dt dt
= + ⇒ ' 'a a aPS S S PS= +
Referencial S’Movimento de transporteVelocidade de transporteAceleração de transporte
'rS S
'v vS S tr=
'a aS S tr=
26
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Translação em referenciais Translação em referenciais inerciaisinerciais2 Referenciais inerciais
S[Oxyz] fixoS’[Ox’y’z’] em translação com velocidade constante
R '1
F F a an
i PS PSi
m m=
∴ = = =∑
' ''
' '
v v va a
v v .PS S S PS
PS PSS S O O const
= + ⎫=⎬= = ⎭
2 observadores medem exactamente a mesma força, em qualquer referencial inercial
14
27
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Equilíbrio dinâmicoEquilíbrio dinâmicoMovimento aceleradoReferencial inercial (fixo) S[OXY]
Referencial ligado ao corpo s[oxy]Referencial não-inercial ou aceleradoCorpo em repouso no referencial
Força fictícia ou de inércia
Equilíbrio dinâmico “similar” ao equilíbrio estático
RR
FF F a amm
= = ⇒ =∑
RF a 0m− =
a
inF am= −R inF F 0+ =
Princípio de Princípio de D’AlembertD’AlembertEquilíbrio entre a(s) força(s) que actuam um ponto material e a(s) força(s) de inércia decorrente(s) do movimento
28
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Princípio de Princípio de D’AlembertD’Alembert num referencial num referencial aceleradoacelerado
Ponto material em A(x,y,z)Referenciais
[OXYZ] inercial[Bxyz] acelerado
/r r r a a aA B rel A B A B= + ⇒ = +
aceleração de transporte
aceleração relativa
( )
in in
R
R
F F
F F a a a
F a a 0tr rel
tr rel
tr rel
m m
m
= = = +
⇔ − − =
∑
aceleração absoluta
Força de inércia de transporte
Força de inércia relativa
Equação generalizada do Equação generalizada do Equilíbrio dinâmicoEquilíbrio dinâmico
R in inF F F 0tr rel
∴ + + =
15
29
ISELMecânica Física I – Capítulo 4
Capítulo 4: Leituras RecomendadasCapítulo 4: Leituras RecomendadasR. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1- Mecânica Clássica”, Thomson, 2004
Capítulo 6, Secções 6.1 a 6.8 (p.179-202) – Trabalho e PotênciaCapítulo 7, Secções 7.1 a 7.4 (p.212-226) – Forças conservativasCapítulo 8, Secções 8.1 a 7.4 (p.245-262) – Impulso e colisões Capítulo 3, Secção 3.6 (p.93-96) – Movimento relativo
F. P. Beer, E. R. Johnston & W.E. Clausen. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Dinâmica”, 7ª Edição, McGraw-Hill, 2006.
Capítulo 13, Secções 13.1 a 13.5 (p.758-764) – Trabalho e PotênciaCapítulo 13, Secções 13.6 a 13.8 (p.781-785) – Forças conservativasCapítulo 13, Secções 13.10 a 13.15 (p.805-827) – Impulso e colisõesCapítulo 11, Secção 11.12 (p.646-647) – Movimento relativoCapítulo 12, Secção 12.6 (p.697-698) – Equilíbrio dinâmico
R. Resnik, D. Halliday & K. Krane, “Física 1”, 5ª Edição, LTC, 2003.Capítulo 11, Secções 11.1 a 11.6 (p.259-273) – Trabalho e PotênciaCapítulo 12, Secções 12.1 a 12.3 (p.289-296) – Forças conservativasCapítulo 6, Secções 6.1 a 6.5 (p.134-144) – Impulso e colisõesCapítulo 4, Secção 4.6 (p.86-88) – Movimento relativoCapítulo 5, Secção 5.6 (p.118-120) – Equilíbrio dinâmico
1
1
CapCapíítulo 5tulo 5Introdução à dinâmica de rotação
Mecânica Física I
2
ISELMecânica Física I – Capítulo 5
Momento de uma força (Momento de uma força (torquetorque))Aplicação de uma força
Movimento de rotaçãoGrandezas angulares, ω e α, dependentes:
Orientação da forçaComponente tangencial Ft
Intensidade da forçaPonto de aplicação da força
↓Momento da força M0
ou Torque τ
2
3
ISELMecânica Física I – Capítulo 5
Momento da força
Módulo
Braço da força r (ou d)Unidade: N mEquilíbrio estático:
0M r F= ×
0 sent
t
F
M r F r F= θ =
0F 0 M 0= =∑ ∑
4
ISELMecânica Física I – Capítulo 5
Momento angularMomento angularMomento angular L0 (ou H0)
“Quantidade de movimento” de rotação
Módulo
Unidade: kg m2 s-1
0L r p= ×
0 sen senL r p r mv= θ = θ
3
5
ISELMecânica Física I – Capítulo 5
Variação do momento angularVariação do momento angularVariação temporal de L0
Momento da força que actua uma partícula, em relação a 0, é igual à variação temporal do momento angularAcção de várias forças:
0
0
L r pp r v p r Fd d ddt dt dt
=
= × + × = × + ×
00
LM ddt
∴ =
00
LM r Fi i
i i
ddt
= × =∑ ∑
6
ISELMecânica Física I – Capítulo 5
Impulso angular e variação de LImpulso angular e variação de L00
Impulso angular:
Teorema da variação do momento angularA variação do momento angular de uma partícula, num determinado intervalo de tempo ∆t, é igual ao impulso angular aplicado durante esse ∆t
2 2
1 1
t t00 0 0 0 0t t
LM L M L Md d dt d dtdt
= ⇔ = ⇒ =∫ ∫
2
1
t
0tM dt∫
( ) ( ) 2
1
t
0 0 2 0 1 0tL L t L t M dt∆ = − = ∫
0 0 0M . L Mconst t= ⇒ ∆ = ∆
4
7
ISELMecânica Física I – Capítulo 5
Conservação do momento angularConservação do momento angular
Princípio da conservação do momento angularSe o momento resultante externo que actua num ponto material for nulo, o vector momento angular permanece constante
Exemplo:
000
L 0r 0,F 0, r
r
F
M F 0L .d
ds
tcon t
= × ==
⎫⎪ = ⇒⎬= = ⎪⎭
20
i f i f
v r L rmv mr
r r
= ω ⇒ = = ω
∴ > ⇒ ω < ω
8
ISELMecânica Física I – Capítulo 5
v
ω0L
Momento de inérciaMomento de inércia
Movimento Circular
Momento de inércia: I = m r2
Unidade: kg m2
20
ˆ
ˆˆ ˆr , v , ,ˆˆ ˆL r v
n t
n t
k
re ve k v r
m mrve e mr k
= = ω = ω = ω
⇒ = × = × = ω
0 0L MI I∴ = ω⇒ = α
5
9
ISELMecânica Física I – Capítulo 5
Energia cinética de rotação Energia cinética de rotação
Alternativamente
Potência
( )2 221 12 2
12c cE mv m r E I= = ω = ω⇒
20
1 1 1L2 2 2cE I I= ω = ω ω = ωi i
00F v t
MP F v r P Mr
= = = ω ⇒ = ωi
10
ISELMecânica Física I – Capítulo 5
Capítulo 5: Leituras RecomendadasCapítulo 5: Leituras Recomendadas
R. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1- Mecânica Clássica”, Thomson, 2004
Capítulo 10, Secções 10.5 (p.327-330) – Momento de forçasCapítulo 10, Secções 10.7 a 10.9 (p.334-345) – Momento angular
F. P. Beer, E. R. Johnston & W.E. Clausen. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Dinâmica”, 7ª Edição, McGraw-Hill, 2006.
Capítulo 12, Secções 12.7 a 12.9 (p.718-721) – Momento angular
R. Resnik, D. Halliday & K. Krane, “Física 1”, 5ª Edição, LTC, 2003.
Capítulo 9, Secções 9.1 a 9.2 (p.197-208) – Momento de forçasCapítulo 10, Secções 10.1 a 10.4 (p.233-245) – Momento angularCapítulo 11, Secção 11.7 (p.273-275) – Energia cinética de rotação