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Mecânica Quântica
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ
1º período letivo, 2014
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Dificuldades conceituais– Superposição quântica
– Probabilidade subjetiva x objetiva
– Complementaridade
– O problema da medida
– Realismo vs. localidade
• Dificuldades matemáticas– Vetores
– Números complexos
– Espaços vetoriais complexos
– Operadores, autovalores, autovetores
– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 3
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996.
• I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.
• S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.
• G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000.
• M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.
• I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.
• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001.• E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization
understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002.
• K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.
• R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal ofPhysics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002.
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.
• F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.
• D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, 010105, 2007.
• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.
• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008.
• C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008.
• L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009.
• M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009.
• C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.
• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010.
• L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011.
• M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographiccategories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics -Physics Education Research 7, 020113, 2011.
• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlachexperiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.
• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012.
• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101118, 2012.
• O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, 2013.
• A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, 015001, 2014.
• J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.
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Leituras recomendadas
• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. • R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.• O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.• A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.• M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.• T. Hey, P. Walters, The New Quantum Universe, Cambridge UP, 2003.• V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP,
2006.• L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014• A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. • J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. • D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-
Wesley, 2012.• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.
2
Simulações
• Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/
• Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm
• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html
• PhET (University of Colorado)http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena
• SPINS (Oregon State University)http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html
• Quantum physics (École Polytechnique)http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html
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Internet
• Quantum Physics (IoP)http://quantumphysics.iop.org/
• Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter
• Quantum Entanglement (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall
• Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 8
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 9
Sumário
1. Fenômenos quânticos
2. Princípios da mecânica quântica
3. Sistemas quânticos simples: aplicações
4. Realismo, contextualidade e não-localidade
5. Partículas idênticas
6. Operadores, autovalores e autovetores
7. Simetrias
8. Posição e momentum
9. Partícula em uma dimensão
não estão nestas notas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 10
Charles Addams, New Yorker, 1940
Fenômenos Quânticos
Um experimento com a luz
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 11
feixe luminosopouco intenso
semiespelho (50-50%)
espelho
espelho
detetoresde luz D1
D2
Resultado do experimento
• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 12
D1
D2
D1
D2
ou
50% 50%probabilidade
3
Se a luz fosse uma onda
... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 13
D1
D2
Se a luz é composta por partículas
... ou D1 dispara, ou D2 dispara.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 14
ou
D1
D2
D1
D2
Conclusão
• A luz é composta por partículas: os fótons.
• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 15
caminho 2
caminho 1
D2
D1
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.
• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 16
ν1
ν2
átomo de cálcio τ = 4,7 ns
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 17
w = 9 ns
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 18
Resultado do experimento de Grangier et al.
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Sobre o ensino do conceito de fóton
• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.
• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.
• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)
– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 19
Outro experimento com a luz
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 20
interferômetro de Mach-Zehnder
D2
D1
segundosemiespelho
feixe luminoso“fóton a fóton”
Preliminares: um feixe bloqueado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 21
1
2
50%
25%
25%
O outro feixe bloqueado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 22
1
2
50%
25%
25%
Resultado fácil de entender com partículas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 23
= caminho do fóton
1
2
50%
25%
25%
De volta ao interferômetro
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 24
D1
D2
5
Resultado do experimento:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 25
0%
100%
D1
D2
Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 26
caminho 1 caminho 2
1
25%
25%2
25%
25%
Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferençase o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto valeo resultado do experimento preliminar.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 27
)2(D
)1(DD nnn
PPP +=
probabilidade dodetetor Dn disparar apenas o caminho
1 aberto
apenas o caminho2 aberto
Proposição:*
Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência:
* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5
Teste da Proposição
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 28
Experimentalmente:
)2(D
)1(DD nnn
PPP +≠
%100P1D =
%25P )1(D1
=
%25P )2(D1
=
%25P )1(D2
=
%0P2D =
%25P )2(D2
=
a proposição é falsa!
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 29
Repetindo:
A afirmativa
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
é falsa.
“\ um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível,de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si ocoração da mecânica quântica.”
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 30
Por onde vai o fóton?
1 e 2
ou 1 ou 2
nem 1 nem 2
12
6
Por onde vai o fóton?
• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
• Se os dois caminhos forem fechados, nenhumfóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2”também não é aceitável.
• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fótonsegue os dois caminhos ao mesmo tempo.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 31 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 32
Uma resposta melhor
• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro,pois a montagem experimental não permite distinguir oscaminhos 1 e 2.
• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a umaparato capaz de produzir uma resposta.
Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer comas palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron(em um sistema de referência), ele deve especificarexperimentos determinados com os quais pretende medir talposição; do contrário essas palavras não terão significado.
- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics
(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)
Fácil de entender num modelo ondulatório
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D1
D2
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
Comprimentos variáveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 34
L1
L2
PD2
PD1
L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro
Resultado experimental:
• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.
• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere comele mesmo”.
• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), ocomprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 35
L1 – L2
0
1
PD1
L1 – L2
1
0
PD2
(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD
(2))
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 36
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 37
L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)
Interferência de nêutrons
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 38
interferômetro de nêutrons
S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)
Interferência de átomos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 39
interferômetro de átomos
A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometrywith atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 40
Interferência de elétrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up
of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 41
E se os caminhos forem distinguíveis?
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
diferença de “caminhos” (ajustável)
interferênciadesaparece!
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 43
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
E se os caminhos forem distinguíveis?
N ↔ Massa
• Massa = 0• caminho
identificado• não há padrão de
interferência
• Massa → ∞• caminho não
identificado• padrão de
interferência
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C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 44
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
E se a informação sobre o caminho for apagada?
impossível determinar o caminho
interferência
Quando há interferência?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 45
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente
interferência(“1 e 2”)
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente
(“ou 1 ou 2”)
não há interferência
Princípios da Mecânica Quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 46
Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Colapso do vetor de estado
• Evolução unitária
• Sistemas de N estados
• Sistemas compostos. Emaranhamento
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 47
Vetores de Estado e o
Princípio da Superposição
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 48
Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo
• sim / não
• 0 / 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 49
9
Sistemas de dois estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 50
cara coroa
fóton refletido
fóton transmitido
Sistemas de dois estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 51
A = ? a2a1
=2
1
a
aAgrandeza física observável:
a2a1
a2a1medidor de “A”
ou
Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 52
Aa1 a2
sistema temA = a1
sistema temA = a2
Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 53
1a
2a
sistema temA = a2
sistema tem A = a1
A notação de Dirac
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 54
vetor ↔ L
identificação
↓↑
b↔
21 aa
direitaesquerda
10
exemplos:
O que muda?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 55
Passar de dois pontos em uma reta para doisvetores perpendiculares não parece ser mais domudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
1a
2a
Aa1 a2
O que muda é o seguinte:
?
10
O Princípio da Superposição
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 56
Qualquer combinação linear dos vetores |a1⟩ e |a2⟩representa um estado físico do sistema.
2211 acac +=ψ
1a
2a ψ
Significado de |ψ⟩
• A = a1 e A = a2 ?
• esquerda e direita?
• horizontal e vertical?
• sim e não?
• 0 e 1?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 57
1a
2a ψ
O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.
• Os estados |a1⟩ e |a2⟩ formam uma “base” do espaço de estados.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 58
1a
2a
Princípio da Superposição: formulação geral
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 59
Se |ϕ⟩ e |χ⟩ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.
χβ+ϕα=ψ
ϕ
χ ψ
Uma complicação
• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).
• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 60
1a
2a
ψc2
c1
Outras complicações
• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?
• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 61
1a
2a
?
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Produto escalar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 62
O produto escalar ⟨ϕ|ψ⟩ dos vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ é umnúmero complexo com as seguintes propriedades:
1. |ψ⟩ = |ψ1⟩ + |ψ2⟩ ⇒ ⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩
2. |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ⟨ϕ|χ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩
3. ⟨ψ|ϕ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩* (* indica o conjugado complexo)
4. ⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0 (note que (3) implica em ⟨ψ|ψ⟩ real)
5. ⟨ψ|ψ⟩ = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0 (“0” é o vetor nulo)
Produto escalar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 63
Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como
1. ⟨ϕ|ψ1+ψ2⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩
2. ⟨ϕ|cψ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩
Produto escalar
• É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto.
• Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento:
⟨ cϕ|ψ⟩ = c*⟨ϕ|ψ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 64
Ortogonalidade
Os vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ são ortogonais se seu produto escalar é zero:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 65
0=ψϕ
Norma
A norma ||ψ|| do vetor |ψ⟩ é definida por
• ||ψ|| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do vetor |ψ⟩
• |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ||χ|| = |c| ||ψ||
• ||ψ|| = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0
• outra notação: || |ψ⟩ || ≡ ||ψ||
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 66
ψψ=ψ
O produto escalar em termos das componentes
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 67
2211
2211
adad
acac
+=ϕ
+=ψ
121*2212
*1222
*2111
*1 aacdaacdaacdaacd +++=ψϕ
• Usando as propriedades (1), (2) e (3):
• Como |a1⟩ e |a2⟩ são ortogonais, ⟨a1|a2⟩ = ⟨a2|a1⟩ = 0 e portanto
222*2111
*1 aacdaacd +=ψϕ
• Como |a1⟩ e |a2⟩ têm comprimento unitário, ⟨a1|a1⟩ = ⟨a2|a2⟩ = 1, temos finalmente que:
2*21
*1 cdcd +=ψϕ
12
As componentes em termos do produto escalar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 68
2211 acac +=ψ
2121111 aacaaca +=ψ
• Usando as propriedades (1) e (2) temos
• Como ⟨a1|a1⟩ = 1 e ⟨a1|a2⟩ = 0,
ψ= 11 ac
• Da mesma forma,
ψ= 22 ac
2,1n,ac nn =ψ=• Ou seja:
A norma em termos das componentes
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 69
2*21
*1 cdcd +=ψϕ
2
2
2
12*21
*1 cccccc +=+=ψψ
2
2
2
1 cc +=ψ
A Regra de Born
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 70
A Regra de Born
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 71
2211 acac +=ψ
1a
2a
ψc2
c1
A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é
2
2
2
1
2
nn
cc
c)a(P
+=
(n = 1, 2)
A Regra de Born
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 72
2211 acac +=ψ
|ψ⟩ a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
2
2
2
1
2
11
cc
c)a(P
+=
2
2
2
1
2
22
cc
c)a(P
+=
A regra de Born
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 73
2
2
nn
a)a(P
Ψ
Ψ=
Como
e
a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas:
ψ= nn ac
2
2
2
1 cc +=ψ
13
Probabilidade total
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 74
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
1cc
c
cc
c)a(P)a(P 2
2
2
1
2
22
2
2
1
2
121 =
++
+=+
A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
Normalização do vetor de estado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 75
Ψ
Ψλ=Φ
2211 acac λ+λ=Φ2211 acac +=Ψ
|Φ⟩ e |Ψ⟩ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!
)a(Pcc
c
cc
c)a(P n2
2
2
1
2
n2
2
2
1
2
nn ΨΦ =
+=
λ+λ
λ=
Ψ×λ=Φ
Normalização do vetor de estado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 76
Todos os vetores ao longo de uma dada “direção” representam o mesmo estado
físico.
Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:
1=Ψ
1cc,acac2
2
2
12211 =++=Ψou seja,
1aa 21 ==Note que |a1⟩ e |a2⟩ já estão normalizados:
2
nn c)a(P =
Vetores normalizados: a Regra de Born
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 77
2211 acac +=ψ
a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
2
11 c)a(P =
2
22 c)a(P =
(normalizado)
|ψ⟩
Vetores normalizados: a Regra de Born
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 78
Em termos do produto escalar, se |Ψ⟩ está normalizado a probabilidade é dada por:
2
nn a)a(P Ψ=
Amplitude de probabilidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 79
cn = ⟨an|Ψ⟩ ⇔ amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
Ψ=Ψ nn x)x(função de onda:
2
nn )x()x(P Ψ=
14
Amplitude de probabilidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 80
De forma mais geral:
• ⟨Φ|Ψ⟩ = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩
• P(Ψ → Φ) = |⟨Φ|Ψ⟩|2 = probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩
• P(Ψ → Φ) = P(Φ → Ψ) embora ⟨Φ|Ψ⟩ ≠ ⟨Ψ|Φ⟩ (⟨Φ|Ψ⟩ = ⟨Ψ|Φ⟩*)
Frequência dos resultados de medidas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 81
N medidas de A(N→ ∞)
a2a1
a2a1
Ψ
Ψ
Ψ
a2a1
•••
N1 ↔ a1
N2 ↔ a2
podemos prevera frequência dos
resultados:
2
111 c)a(P
N
N==
2
222 c)a(P
N
N==
2211 acac +=Ψ
Valor médio dos resultados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 82
valor médio de A:
N
aNaNA 2211 +
=
a2a1
a2a1
Ψ
Ψ
Ψ
a2a1
•••
2211 acac +=Ψ
2
2
21
2
1 acacA +=
Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 83
2211 acac +=Ψ
possível prever o resultado(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
1a
2a
Ψc2
c1
c1, c2 ≠ 0
impossível prever o resultado de uma medida
0c,1ca 211 ==↔=ΨouSe
1c,0ca 212 ==↔=Ψ
Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 84
2211 acac +=Ψ
∆A = incerteza de A no estado |Ψ⟩
( ) 2222 AAAA)A( −=−=∆
1a=Ψou
2a=Ψ∆A = 0
Complementaridade e o
Princípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 85
15
Complementaridade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 86
a2a1
B
A
b2b1
1a
2a
2b
1b
duas grandezasfísicas: A e B
Grandezas compatíveis e incompatíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 87
1a
2a
1b
2b
2b
1b
2a
1a
A e B compatíveis
A e B incompatíveis
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
O Princípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 88
2b
1b
2a
1a
Ψ
A e B incertos (∆ A ≠ 0, ∆ B ≠ 0)
A bem definido, B incerto(∆ A = 0, ∆ B ≠ 0)
B bem definido, A incerto(∆ B = 0, ∆ A ≠ 0)
O Princípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 89
2b
1b
2a
1a
Ψ
A e B incompatíveis ⇒nenhum estado |Ψ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0
Exemplo: posição e momentum
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 90
Xx1 x2
duas posições: |x1⟩, |x2⟩ (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p1⟩, |p2⟩ (“repouso”, “movimento”)
2p1p
2x
1x
impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos
Resumo da “cinemática” quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 91
estado físicovetor no espaço
de estados
grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no
espaço de estados
16
Resumo da “cinemática” quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 92
probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1
ou A = a2
grandezas físicasincompatíveis
(complementares)
diferentes sistemas de eixos no espaço
de estados
2a
1a
projeção do vetor de estado no eixo |an⟩
⇓probabilidade damedida resultar
em A = an
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 93
• “Colapso” durante uma medida
• Evolução unitária (equação de Schroedinger)
Como o vetor de estado muda com o tempo?
Colapso do Vetor de Estado
Colapso do vetor de estado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 95
a2a1Ψ
a2a1 2a
antes damedida
depois damedida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 96
Colapso do vetor de estado
1a
2a
Ψ
resultadoA = a2
resultadoA = a1
medida de A resulta em an ⇒ logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an⟩
Colapso do vetor de estado
• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.
• O estado | an ⟩ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.
• |Ψ⟩ → |an⟩: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.
• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:
– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais fóton após a primeira medida.
– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 97
17
Medidas simultâneas de duas grandezas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 98
Ψ Φa2a1
b2b1
(A, B)
(∆ A ≠ 0, ∆B ≠ 0) (∆ A = 0, ∆B = 0)
Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado |Φ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0.
É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).
Evolução Unitária
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:
|Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩
• Dinâmica quântica: determinada pelaenergia do sistema (o conceito de forçaé pouco relevante).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 100
A (solução da) equação de Schroedinger
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 101
2E
1E
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
2211 EcEc)0t( +==Ψ
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ
• ћ = constante de Planck (÷ 2π) ≈ 1×10-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que ascomponentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,
para t ≠ 0 elas serão complexas:
• A evolução |Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩ ditada pela equação deSchroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) edeterminista (sem elementos probabilísticos).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 102
h/tEinn
nec)t(c −=
A (solução da) equação de Schroedinger Propriedades da equação de Schroedinger
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 103
• Linearidade:
)t()0(
)t()0(
bb
aa
Ψ→Ψ
Ψ→Ψ)0()0()0( ba Ψβ+Ψα=Ψ
)t()t()t( ba Ψβ+Ψα=Ψ
t = 0 t ≠ 0
18
Demonstração da linearidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 104
2211b
2211a
EdEd)0(
EcEc)0(
+=Ψ
+=Ψ
222111
ba
E)dc(E)dc(
)0()0()0(
β+α+β+α=
Ψβ+Ψα=Ψ
( ) ( ))t()t(
EecEecEecEec
Ee)dc(Ee)dc()t(
ba
2/tEi
21/tEi
12/tEi
21/tEi
1
2/tEi
221/tEi
11
2121
21
Ψβ+Ψα=
+β++α=
β+α+β+α=Ψ−−−−
−−
hhhh
hh
Propriedades da equação de Schroedinger
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 105
• Conservação da norma do vetor de estado:
)0()t( Ψ=Ψ)t(Ψ
)0(Ψ
• Conservação da ortogonalidade entre vetores:
tamanho não muda
)0(Ψ
)t(Ψ
)0(Φ)t(Φ
dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares
Conservação do produto escalar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 106
2/tEi
21/tEi
1
2/tEi
21/tEi
1
EedEed)t(
EecEec)t(
21
21
hh
hh
−−
−−
+=Φ
+=Ψ
2*21
*1
/tEi2
/tEi*2
/tEi1
/tEi*1
cdcd
)ec)(ed()ec)(ed()t()t( 2211
+=
+=ΨΦ −−−+ hhhh
)0()0()t()t( ΨΦ=ΨΦ
conservação da norma:
conservação da ortogonalidade:
)0()t( Ψ=Ψ
0)t()t(0)0()0( =ΨΦ⇒=ΨΦ
• Determinismo
• Continuidade
• Linearidade
• Conservação da norma
• Conservação da ortogonalidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 107
Propriedades da equação de Schroedinger
“evolução unitária”
Estados estacionários
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 108
• |Ψ(0)⟩ e |Ψ(t)⟩ representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
nE)0( =Ψ n/tEi Ee)t( n h−=Ψ
mesma “direção” que |En⟩
• Estado de energia bem definida En:
Conservação da energia
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 109
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ
2
n
2/tEinn cec)t,E(P n == − h
)0()t(EE
ΨΨ=
)0t,E(P)t,E(P nn ==
2
2
21
2
12211)t(EcEcE)t,E(PE)t,E(PE +=+=
Ψ
19
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
• Equação de Schroedinger:– contínua
– determinista
– válida enquanto não se faz uma medida
• Colapso do vetor de estado:– descontínuo
– probabilístico
– ocorre durante a medida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 110
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Dois tipos de evolução temporal?
• Equação de Schroedinger:
– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.
– A = a1 e A = a2
• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).
– A = a1 ou A = a2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 111
O “problema da medida”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 112
Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
a2a1 a2a1 a2a1
Descrição quântica do aparelho de medida:
| ⟩| ⟩↑ | ⟩
22 aa ⇒↑
11 aa ⇒↑22112211 acacacac +⇒+↑ ↑
equação de Schroedinger:
o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo !
aparelho de medida:
O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradasno mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.
– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estadoscom a observação de apenas alguns poucos estadosmacroscópicos?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 113
Uma descrição do processo de medidabaseada na equação de Schroedingerdeve dar respostas a essas questões.
Física quântica x física clássica
• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquerprocesso de interação entre objetos clássicos e quânticos…
L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,não podem ser propriamente incluídos no domínio deaplicação da mecânica quântica.
N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935
• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo emuma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e nãofosse governado pela mecânica quântica.
J. Bell, Against measurement
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 114
Física quântica x física clássica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 115
físicaquântica
físicaclássica
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teoriasfísicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas aomesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
20
Sistemas de N Estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 116
Você está emtodo lugar
Sistemas de 3 estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 117
2a
1a
3a
a3a1a2
332211 acacac ++=Ψ
Três valores possíveis para a grandeza A:
3,2,1,||)( 2 == ncaP nn
Sistemas de N estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 118
2a
1a
3aNa...
(impossível desenharN eixos perpendiculares)
N valores possíveis para a grandeza A:
aNa1a2 ...
∑=
=ΨN
1nnn ac
N,2,1n,|c|)a(P 2nn K==
Sistemas de infinitos estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 119
• N pode ser infinito:
∑∞
=
=Ψ1n
nn ac
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
∫=Ψ a)a(cda
∫′′
′
=′′′a
a
2|)a(c|da)a,a(P
2|)a(c|)a(p =densidade de probabilidade:
probabilidade:
Exemplo: a = x = posição de uma partícula
Sistemas de infinitos estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 120
∫ Ψ=Ψ x)x(dx
∫ Ψ=2
1
x
x
221 |)x(|dx)x,x(P
2|)x(|)x(p Ψ=densidade de probabilidade:
probabilidade:
função de onda: Ψ(x)
Sistemas de infinitos estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 121
• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:
∫∑ +=Ψ a)a(cdaacn
nn
Exemplo: a = E = energia de uma partícula
∫∑ +=Ψ E)E(cdEEcn
nn
21
Produto escalar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 122
∑∑==
=Φ=ΨNN
1nnn
1nnn ab,ac
∑∑∞∞
==
=Φ=Ψ1n
nn1n
nn ab,ac
∑=
=ΨΦN
1nnn c*b
∑∞
=
=ΨΦ1n
nn c*b
∫∫ Φ=ΦΨ=Ψ x)x(dx,x)x(dx
∫ ΨΦ=ΨΦ )x()x(*dx
Produto escalar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 123
∫∑
∫∑+=Φ
+=Ψ
E)E(bdEEb
E)E(cdEEc
nnn
nnn
∫∑ +=ΨΦ )E(c)E(*bdEc*bn
nn
Sistemas Compostos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 124
Sistemas compostos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 125
|an⟩I
sistema I
|bs⟩II
sistema II
∑β=χs
IIssIIb∑α=ϕ
nInnI
a
Sistemas compostos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 126
∑=Ψs,n
sns,n b,ac
subsistema I
|an, bs ⟩
subsistema II
sistema composto
Produto tensorial
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 127
IIsInIIsInsn babab,a ⊗≡≡
A notação do produto tensorial tornaevidentes algumas propriedades que osestados do sistema composto devem ter.
22
Produto tensorial
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 128
Por exemplo:
∑β=χs
IIssIIb
∑α=ϕn
InnIa• sistema I no estado
• sistema II no estado
sistema composto no estado
∑
∑
∑∑
βα=
βα=
β
α=χϕ=χϕ
s,nsnsn
s,nIIsInsn
sIIss
nInnIII
b,a
ba
ba,
Produto tensorial
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 129
IIsIIInIsnsn ba,b,a χϕ=βα=χϕ
Note que
ou, de maneira geral,
IIIIII
sss
nnnsn
s,nsn **)(*)(,,
χχ′ϕϕ′=
ββ′
αα′=βαβ′α′=χϕχ′ϕ′ ∑∑∑
)b(P)a(P)b,a(P sIInIsn =
Uma consequência disso é
Estados separáveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 130
• Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):
IIIχϕ=Ψ ↔ sistema I no estado |ϕ⟩, sistema II no estado |χ⟩
∑ βα=Ψs,n
snsn b,a
∑=Ψs,n
sns,n b,acEstado geral do sistema composto:
sns,nc βα=
Nem todo estado é separável, pois nem sempre .sns,nc βα=
Estados emaranhados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 131
2211 b,a2
1b,a
2
1+=Ψ
0e2
112212211 =βα=βα=βα=βα
Estados não-separáveis são chamados deestados emaranhados.
Exemplo: o estado
não é separável, do contrário deveríamos ter
o que é impossível. A primeira equação diz que todos os α’s e β’s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos.
Estados emaranhados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 132
∫ Ψ=Ψ 212121 x,x)x,x(dxdx
)x()x()x,x( 2121 χϕ=Ψ
Outro exemplo: a função de onda de duas partículas
O estado |Ψ⟩ é separável se
pois nesse caso
( ) ( )IIIII222I111 x)x(dxx)x(dx χ⊗ϕ=χ⊗ϕ=Ψ ∫∫
Se o estado |Ψ⟩ é emaranhado.)x()x()x,x( 2121 χϕ≠Ψ
Emaranhamento
• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemasindividuais.
• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando ossubsistemas estão separados por distâncias macroscópicas,
• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos damecânica quântica.
“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui omelhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmoquando essas estão completamente separadas umas dasoutras e no momento não influenciam umas às outras.”
- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 133
23
Aplicações a sistemas simples
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 134
Informação quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 135
Aplicações a sistemas simples
• Interferômetro de Mach-Zehnder
• Medida sem interação
• O problema de Deutsch
• Molécula de H2+
• Benzeno, amônia
• Polarização do fóton
• Oscilação de neutrinos
• Spin ½
• Informação quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 136
ainda não estãonestas notas
Interferômetro de Mach-Zehnder
• Interferência de uma partícula
• Descrição quântica do interferômetro
• Interferência e indistinguibilidade
• Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 137
O interferômetro de Mach-Zehnder
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 138
0%
100%
D1
D2
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
“ondas”
O interferômetro de Mach-Zehnder
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 139
D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”
1
2
50%
25%
25%
24
Descrição quântica do interferômetro
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 140
1
2
(caminho 1)
(caminho 2)
Espaço de estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 141
2c1c 21 +=Ψ
=
=2
22
2
11
cP
cPprobabilidades:
2
1
Semiespelho
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 142
22
11
21
1 +→
22
11
21
2 −→
1 1
2
1
2
2
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
evoluçãounitária
Semiespelho
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 143
22
11
21
+
22
11
21
−
2
1 sinal negativo: evolução unitária conserva a
ortogonalidade
Interferômetro
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 144
D1
D2
1
2
1
Interferômetro
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 145
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1 +→
Estado inicial: 1
25
Interferômetro
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 146
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
−+
+→+ 2
21
12
12
12
21
12
12
12
21
12
1
1221
21
121
21
=
−+
+
interferência destrutiva
interferência construtiva
P1 = 100%P2 = 0%
O que interfere?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 147
221
21
121
21
−+
+
(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)
1
1
1
2
1 1
22
soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis
Caminho bloqueado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 148
1
2
D2
D1
Caminho bloqueado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 149
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1 +→
Estado inicial: 1
Bloqueio: ⊗+→+2
11
21
22
11
21
fóton bloqueado
Caminho bloqueado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 150
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
⊗+
+→⊗+
2
12
2
11
2
1
2
1
2
11
2
1
⊗++2
12
21
121
P1 = 25%P2 = 25%P⊗ = 50%
Por que não há interferência?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 151
(1-1-1)(1-1-2)
não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais ⇒ não há interferência
1
1
1
⊗++2
12
21
121
(1-2-⊗)
1 1
2
1
2⊗
26
Caminhos alternativos distinguíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 152
D1
D2
mola
Caminhos alternativos distinguíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 153
Primeiro semiespelho: M22
1R1
21
R1 +→
Estado inicial: R1
• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento
M2,M1,R2,R1
Caminhos alternativos distinguíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 154
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
−+
+→+ M2
2
1M1
2
1
2
1R2
2
1R1
2
1
2
1M2
2
1R1
2
1
M22
1R2
2
1M1
2
1R1
2
1−++
P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%
P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%
soma de probabilidades,não de amplitudes
Apagando a informação sobre o caminho
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 155
D1 100%
D2 0%
mola
Apagando a informação sobre o caminho
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 156
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
−+
+→+ M2
2
1R1
2
1
2
1M2
2
1R1
2
1
2
1M2
2
1R1
2
1
R1
a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida
Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 157
L1 – L2 (λ/50)
As probabilidades P1 e P2 dependem de diferenças entre os dois caminhos.
distânciapercorrida
densidade do material atravessado
27
Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 158
características do caminho percorrido ↔ “fase”
ϕ11e 1iϕ1
ϕ2
2e 2iϕ2
Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 159
D1
D2
ϕ1
ϕ2
Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 160
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1 +→
Estado inicial: 1
Defasadores:
2e2
11e
21
22
11
21
21 ii ϕϕ +→+
Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 161
Segundo semiespelho:
ou seja,
−+
+→+
ϕϕϕϕ
22
11
21
2e
22
11
21
2e
22
e1
2e 2121 iiii
22
ee1
2ee
22
e1
2e 212121 iiiiii
−+
+→+
ϕϕϕϕϕϕ
Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 162
2c1c 21 +=Ψ• Após o segundo semiespelho:
2ee
c21 ii
1
ϕϕ +=
2ee
c21 ii
2
ϕϕ −=
• Probabilidades:
( )[ ]21
2
11 cos12
1cP ϕ−ϕ+== [ ])cos(1
2
1cP 21
2
22 ϕ−ϕ−==
ϕ1 – ϕ2
0
1P1
π ϕ1 – ϕ2
1
0
P2
π
Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 163
L1 – L2 (λ/50)
λ
nnn LkL2
=λπ
=ϕ
após uma distância “extra” x: nen xki→
28
Medida sem interação
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 164
O palito de fósforo quântico
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 165
fóton
fóton
• fósforo “bom”
• fósforo “ruim”
O palito de fósforo quântico
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 166
palitos bons e ruins misturados
Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?
Teste clássico
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 167
palito ruim
palito bomqueimado
Teste quântico
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 168
D1
D2
Palito ruim
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 169
D1 100%
D2 0%
transparente
palito ruim ⇒ D2 nunca dispara
29
Palito bom
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 170
D2 25%
D1 25%50%
palito bom ⇒ D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto
Teste quântico
• D2 → fósforo bom intacto
• D1 → fósforo bom intacto ou fósforo ruim
• Fósforo acende → fósforo bom queimado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 171
Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida
Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.
O problema de Deutsch
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 172
Como saber se uma moeda é honesta ou viciada?
1ª lado 2ª lado
moeda honesta
1ª lado 2ª lado
moeda viciada
O problema de Deutsch
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 173
Resposta “clássica”: olhando os dois lados
1ª lado 2ª lado
4 possibilidades
honesta
viciada
O problema de Deutsch
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 174
Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton?
Aparentemente, não!
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 175
ϕ2
ϕ1
cara: ϕ = 0 coroa: ϕ = π
D1
D2
2
1
30
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 176
cara: ϕ = 0 coroa: ϕ = π D1
D2
2
1ϕ1
ϕ2
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 177
D1
D2
2
1ϕ1
ϕ2
moeda honesta:
ϕ1 ≠ ϕ2
ϕ1 − ϕ2 = ±π
fóton em D2
moeda viciada:
ϕ1 = ϕ2
ϕ1 − ϕ2 = 0
fóton em D1
( )[ ]21
2
11 cos12
1cP ϕ−ϕ+==
[ ])cos(12
1cP 21
2
22 ϕ−ϕ−==
O início da computação quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 178
• D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p. 97-117 (1985).• D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p. 553-558 (1992).• R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p. 339-354 (1998).
x = 0 x = 1
f1 0 0
f2 1 1
f3 0 1
f4 1 0
f constante
f “balanceada”
}1,0{}1,0{:f →
É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ?
Realismo, Contextualidade e Localidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 181
“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”
Variáveis ocultas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 182
)(A λ
variável “oculta” quedetermina o valor de A
Medidas:• revelam um valor preexistente?• criam o resultado encontrado?
grandeza medidano experimento
Experimentos com um sistema composto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 183
I II
AI = ±1 AII = ±1
BII = ±1BI = ±1
incompatíveis
compatíveis
31
Quatro experimentos com um sistema composto
Quatro experimentos possíveis:
1) Medida de AI e AIIAI = +1 e AII = +1 ↔ encontrado algumas vezes
2) Medida de AI e BIIAI = +1 e BII = +1 ↔ nunca encontrado
3) Medida de BI e AIIBI = +1 e AII = +1 ↔ nunca encontrado
4) Medida de BI e BIIBI = -1 e BII = -1 ↔ nunca encontrado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 184
Quatro experimentos com um sistema composto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 185
A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)
1) P(AI+, AII+) (em %)
grau de emaranhamento
2) P(AI+, BII+) = 03) P(BI+, AII+) = 04) P(BI−, BII−) = 0
Experimentos com um sistema composto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 186
AI = +1 AII = +1
BI = -1 BII = -1
sempre
Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas:
!!
Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!
Estados de Hardy
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 187
( )+−+−++++=Ψ IIIIIIIII B,BB,BB,B3
1
estado emaranhado
P(BI−, BII−) = 0 ⇐ experimento 4
L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)
Estados de Hardy
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 188
( )
( )−++−=−
−++=+
AA2
1B
AA2
1B +B
−B
−A
+A
Experimentos 1, 2 e 3:
Estados de Hardy
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 189
( )−−+−+++−=Ψ IIIIIIIII B,AB,AB,A26
1
( )−−++−+−+=Ψ IIIIIIIII A,BA,BA,B26
1
( )−−++−+−++++−=Ψ IIIIIIIIIIII A,A3A,AA,AA,A12
1
Experimentos 1, 2 e 3:
3)
2)
1)
32
Contextualidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 190
)C,(A 21 λ
o que está sendo medido em 2 (A2 ou B2)
)C,(B 21 λ
a2a1
b2b1
(A, B)
Contextualidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 191
)C,(A III λ
o que está sendo
medido em II (AII ou BII)
)C,(A III λ
o que está sendo
medido em I (AI ou BI)
)C,(B III λ
)C,(B III λ
Não-localidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 192
I II
AI AII
BIIBI
O teorema de Bell
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 193
Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica
é necessariamente não-local.