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THESE de DOCTORAT de l'UNIVERSITE PARIS 6
Spécialité
MECANIQUE APPLIQUEE A LA CONSTRUCTION
Option .
Dynamique des structures
Présentée à
TUT NATIONAL DES SCIENCES ET TECHNIQUES NUCLEAIRE S
Par
Boualem REZKALLA H
pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS 6
Sujet de la thèse
ABILITE MECANIQUE DES SYSTEMES CHUTANTSCAS DES BARRES DE COMMANDE
DE REACTEURS NUCLEAIRES .
soutenue le 27 Mai 199 1
devant le jury composé de
MM.
R. J. GIPERT
L. JEZEQUEL
M. LALANNE
C. PHALIPPO U
F. TEPHANY
J. M. GRANDEMANGE
Président
Rapporteurs
Examinateurs
THESE de DOCTORAT de l'UNIVERSITÉ PARIS 6
Spécialité
MECANIQUE APPLIQUÉE A LA CONSTRUCTION
Option
Dynamique des structure s
Présentée à
L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES ET TECHNIQUES NUCLEAIRE S
Par
Boualem REZKALLA H
pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS 6
Sujet de la thèse :
FIABILITÉ MÉCANIQUE DES SYSTEMES CHUTANT SCAS DES BARRES DE COMMANDE
DE RÉACTEURS NUCLÉAIRES .
soutenue le 27 Mai 199 1
devant le jury composé de
MM.
R. J. GIBERT
Président
L. JEZEQUELRapporteurs
M. LALANNE
C. PHALIPPOU
F. TEPHAN Y
J . M . GRANDEMANGE
Examinateurs
REMERCIEMENTS
Le présent travail a été réalisé au L aboratoire d'E tudes d eFonctionnement et Fiabilité du D.M.T au Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay .
Je tiens à exprimer mes vifs remerciements à Monsieur R .J. GIBERT,Professeur à l'INSTN, qui fût mon directeur de thèse, de m'avoir accueilli dans so nservice et pour les conseils qu'il m'a prodigués tout au long de ce travail .
Je remercie également Messieurs R . COUDRAY et C . PHALIPPOUpour leur aide et leurs conseils .
J'exprime ma sincère reconnaissance à Monsieur D. GUILBAUD pourl'aide et la disponibilité dont il a fait preuve lors de nos discussions .
Mes remerciements vont aussi à tous les membres des laboratoires EF Fet TCY pour leur accueil symathique .
Je n'oublie pas de remercier M . J. DEVOS pour m'avoir permis d econtinuer le présent travail dans son laboratoire (RDMS) .
Que tous ceux qui ont contribué de près ou de loin, à l'élaboration de c emodeste travail, trouvent ici l ' expression de ma sincère reconnaissance .
SOMMAIRE
CHAPITRE 0 : Introduction
0.1 Mesures de sûreté pour un réacteu r
0.1 .1 La méthode des barrière s
0 .1 .2 Système d'arrêt d'urgence
0.1 .3 Circuit de refroidissement de secours
0.2 Description des anomalies de fonctionnement des barres de command e
0.3 Organisation générale du mémoire
1 b..r.g. PARTIE,
CHAPITRE I : METHODOLOGIE
I.1 Introduction
I.2 Principales définitions
I-3 Méthodes d ' estimation de la fiabilit é
I3.1 Analyse qualitative
-I .3 .1 .1 Introductio n
-L3.1 .2 Connaissance du système et de ses conditions d'utilisatio n
-I .3 .1 .3 Analyse du risque
-L3.1 .4 Analyse par A .M.D . E
Elaboration d'une AMIDE (FMEA)
-I .3 .L5 Méthode des arbres de défaillance
-I.316 Diagramme de fiabilité
I .32 HABILITE DU DISPOSITIF DE BARRES DE COMMANDE
-I .3 .2 .1 Définition du problèm e
-L3.2.2 Historique des défaillance s
I .3 .3 Analyse quantitativ e
-L3.3 .1 Fiabilité
-I .3 .32 Disponibilité
-I .3 .3 .3 Maintenabilité
-1.3 .3 .4 Taux de défaillance
-
I .3 .3 .5 Calcul de la fiabilité d'un systèm e
- Système série
- Système parallèle
1
-I .3 .3 .6 Utilisation des graphes d'états
1 .4 Application â la mécaniqu e
I .4 .1 Introductio n
I .4 .2 Formulation d'un problème en fiabilité mécaniqu e
I .4.3 Méthode de la résistance contrainte
1 .4 .3 .1 Cas des distributions normales
1 .4 .3 .2 Cas des distributions log-normales
Io4 .3.3 Cas des distributions quelconques
1.4 .4 Méthodes de calcul de la fiabilité
I .4 .4 .1 Méthodes exacte s
1 .4 .4 .2 Méthodes approximative s
- Méthode du FOSM
- Avantages et inconvénients
I .4 .4 .3 Méthodes de simulation
Méthode d'échantillonnage "importance sampling
I.4 .5 Comparaison des différentes méthode s
1 .4.6 Conclusions
CHAPITRE II : Analyse dynamiqu e
IL 1 Introduction
I1 .2 Modélisation de l'impac t
11 .3 Modélisation du frottement
Z
ARTIE
CHAPITRE III : Modélisation et Simulatio n
III .1 Description du problème étudi é
III .1 .1 Données géométriques
III .1 .2 Données mécaniques
11I2 Equations du problèm e
1I1 .3 Intégration numériquedes équations du mouvement
I11 .4 Résultats de simulation numérique
III .4.1 Influence des paramètres numériques
Etendue de la base modale
- conditions initiale s
III .4 .2 Influence des paramètres physiques : le frottement
2
àl= PARTI E
CHAPITRE IV ANALYSE PROBABILISTE
IV-1 Analyse d'un cas simple
IV.1 .1 Calcul des forces d'impact
IV. 1 .2 Fonction de performanc e
IV.1.3 Calcul de la fiabilité
IV-2 Application au cas reèl
CHAPITRE V MODELE STOCHASTIQUE DES FORCES D'IMPACT S
V.1 Introductio n
V.2 Présentation du problèm e
V.3 Formulation mathématique
V.4 Détermination des Amplitudes et dates d'arrivée s
V.5 Méthode de simulatio n
V.6 Résolution de l'équation du mouvement
V.7 Résultats numériques du modèle
V.8 Calcul de la fiabilité
V.9 Conclusion
PARTIE,
CHAPITRE VI : ETUDE D'UN EVENEMENT RARE : LE COINCEMEN T
VI.1 Introductio n
VI2 Principe de l'étude
VI.3 Analyse et discussion des résultat s
VI- 4 Estimation de la probabilité de choc vertical
VI- 4.1 Distribution des trajectoires dans le plan des phase s
VI-42 Distribution du déplacement latéral du point C
VI- 4.3 Distribution du temps entre deux chocs verticaux
VI-4.4 Estimation de la probabilité de passage
VI-405 Calcul du nombre moyen d'impacts verticau x
VI-5 Conclusions
CHAPITRE VII CONCLUSIONS
ANNEXE S
ANNEXE 1 : Transformation de Rosenblatt
0.
INTRODUCTION
Les méthodes quantitatives de modélisation, d'analyse et d'évaluation constituen t
actuellement l'essentiel des outils de l'ingénieur . Avec l'avènement des puissants calculateurs ,
ces méthodes ont été enrichies et complétées par des techniques d'analyse numériqu e
sophistiquées . Cependant, un fait majeur dont il convient de tenir compte, est que bien souven t
ces méthodes sont élaborées selon des hypothèses quelque peu irréalistes, en particulier utilisen t
des conditions, initiales ou limites, idéales .
La plupart des données utilisées dans les problèmes d'ingénieur, souffren t
d'incertitudes. Les coefficients numériques utilisés dans les calculs sont le plus souvent issu s
de résultats expérimentaux . Ceux-ci varient d' une expérience à une autre, car obtenus dans de s
conditions qui apparemment identiques sont, en réalité, différentes . En d'autres termes, ce s
coefficients ne peuvent être exactement connus, mais seulement avec une certaine plage d e
variation. Ce qui pose un problème de choix, étant donné que l'occurrence de certaines valeur s
est plus fréquente que d'autres .
Si l'on ajoute à cela le caractère aléatoire de certains cas de chargement tel que la houle ,
le séisme ou le vent, on voit qu'une approche probabiliste des problèmes de la mécanique n' a
rien de surprenant. Elle devient même indispensable lorsq u 'il s'agit d'optimiser la conception
d'une structure aussi bien d'un point de vue économique que de celui de la sécurité .
0.1
Mesures de sûreté pour un réacteur :
La sûreté des réacteurs nucléaires a toujours été un des soucis majeurs du C .E.A et
c'est dans ce cadre que s ' inscrit cette étude . Sur le plan pratique, les mesures de sûreté pour un
réacteur reposent sur quelques principes de base, nous en citons quelques uns :
0 .1 .1 - La méthode des barrières : plusieurs barrières étanches sont interposées suc-
cessivement suivant le principe des poupées russes, entre les produits radioactifs e t
l'environnement . Ces barrières sont constituées de la gaine de combustible, de l'enveloppe d u
circuit primaire (cuve, tuyauterie) et d'une grande enceinte de confinement (Bâtiment du réac-
teur) capable d'éviter la fuite de la radioactivité à l'extérieur, si les deux premières barrière s
venaient à perdre leur étanchéité .
0 .1 .2 - Système d'arrêt d'urgence : c'est un système de régulation et de protection
capable d'arrêter une évolution anormale, dans tous les cas de phénomènes transitoires et
4
d'incidents prévisibles . Il permet l'insertion rapide dans le coeur d'éléments absorbants les neu-
trons (barre de commande) et qui stoppent la réaction en chaîne . C'est la modélisation de ces
anomalies de fonctionnement qui constitue une application de notre étude .
0 .1 .3 - Circuit de refroidissement de secours installé sur tous les réacteurs, il per -
met d'éviter un échauffement excessif du combustible .
0 .2 Description des anomalies de fonctionnement des barres de commande
Parmi les incidents très peu probables envisagés par les services de sûreté, le s
anomalies de fonctionnement des mécanismes de barres, consistent généralement en la no n
chute gravitaire, coincement ou retard dans la chute . Chacune de ces anomalies constitue ce qu e
l'on appelle un mode de défaillance .
La non chute gravitaire et le coincement constituent des défaillances catalec-
tiques : c'est-à-dire soudaines et complètes . Pour un dispositif dit de type 2 (Réf. 3), ces
défaillances peuvent survenir au niveau du boîtier de commande de pince et du tube de transla-
tion . L'autoblocage dynamique peut être dû soit au grippage, soit à la rupture obstruante de l a
bague cannelée (celle-ci guide la tige cannelée de commande de pince lors de la chute), o u
encore au gonflement du matériau absorbant . Un blocage peut se réaliser par perte de protectio n
ou rupture de barrière, ou bien par ascension d'impuretés bloquantes au niveau de la bague.
Le retard dans la chute est essentiellement dû au frottement de l'équipage mobile contr e
les guidages. Le contact entre l'ensemble mobile et le fourreau peut être soit continu, soi t
intermittent (cas d'impacts latéraux) . Ce dernier cas nous intéresse particulièrement et dans cette
étude, nous allons tenter de modéliser le mécanisme et d ' en comprendre le comportement en
vue d'en estimer la fiabilité . Cette caractéristique est déterminée par la probabilité pour que l e
système remplisse sa mission (arrêt d 'urgence) pendant un temps donné (temps de chute
tolérable) et dans des conditions données .
Il apparaît que cette caractéristique, (ayant fait l'objet d'une définition normalisée) ,
introduit quatre concepts
- Probabilité
- Mission
- Temps
- Conditions de fonctionnement
5
Il est donc impératif, pour estimer la fiabilité, de connaître le système, la mission qu'i l
doit accomplir, la durée de la mission et les conditions dans lesquelles il est appelé à fonctionne r
et en particulier d'analyser, comment la modélisation et la simulation numérique peut concouri r
à la solution de ce problème . Ce dernier point, constitue principalement la finalité de notre étud e
pour les barres de commande .
0 .3 Organisation générale du mémoire
Le présent mémoire est composé de quatre parties :
1ère partie :
Dans cette partie, on a essayé de faire le point des connaissances actuelles dans l e
domaine de la fiabilité . On s' est particulièrement attaché à explorer ces techniques en vue de leur
application à la mécanique et les élargir aux composants de l'industrie nucléaire. Elle comporte
également une revue des méthodes de modélisation mécanique des chocs, du frottement et d u
calcul de vibrations, sur lesquelles on s'est appuyé pour simuler le problème . On a traité plu s
ou moins en détail les points suivants :
Méthodologie en fiabilité :
- Principales définitions
- Méthodes qualitatives
- Arbres de défaillances-graphes d 'états-tableaux FMEA
- Méthodes quantitatives
Taux de défaillance
- Méthode de la résistance-contrainte
- Notion de fonction de performanc e
- Algorithme de résolutio n
- Modélisation des chocs et analyse modale .
2ème partie :
Dans cette seconde partie, on aborde la modélisation du problème . On a choisi pour
cela le schéma simple d'une poutre de section uniforme chutant dans un fourreau . Elle est
soumise uniquement à l'action de la gravité et à une faible vitesse initiale de rotation . La barre se
trouve ainsi soumise à deux mouvements : rotation et chute. En consommant le jeu latéral, ell e
impacte contre le guidage et rebondit en tournant dans le sens inverse. Elle effectue ainsi une
f
succession de rebonds et choque en plusieurs points du fait de vibrations . A chaque fois que le
contact est établi, une force de frottement contraire au sens du mouvement de chute, s'applique .
La phase d'adhérence (lors du choc) est détectée par le changement de signe de la vitesse
relative tangentielle et modélisée par un système ressort amortisseur . Les caractéristiques du di t
système sont choisies en sorte d'annuler la vitesse tangentielle en phase d'adhérence et à vérifie r
l'inégalité du modèle de Coulomb .
La technique de calcul utilisée est la synthèse modale. L'influence des paramètre s
physiques (frottement, conditions initiales) et numériques (troncature modale) y est mise en
évidence.
3ème partie :
Dans cette partie, on tente de faire une analyse probabiliste du problème . Les résultat s
de la seconde, nous permettent de faire un choix de paramètres susceptible d'être entachés
d'incertitude . En nous aidant d'un cas simple, consistant en une barre rigide glissant dans u n
fourreau et en se servant comme support à une étude statistique des résultats de la deuxièm e
partie, on propose moyennant quelques hypothèses, un modèle stochastique des forces de cho c
(donc de frottement) . Ce qui nous permet d'estimer la fiabilité de la structure et de la compare r
aux résultats obtenus avec le logiciel du DEMT (CASTEM 2000) .
4ème partie :
Dans ce chapitre on essaie d'étudier un événement " rare" consistant en un grippag e
ou arrêt intempestif du dispositif de barres de commande . Pour ce faire, on se propose d'étudie r
un système constitué d'une barre à inertie variable, chutant dans un conduit à rétrécissemen t
brusque. Bien que le système dynamique soit simple, son comportement est quelque pe u
compliqué. Comme dans les cas précédents, le système est soumis à une condition de vitess e
initiale . Le mouvement qui en résulte est très fortement sensible aux petites variations dans le s
conditions initiales. Ce qui nous amène à suspecter un mouvement chaotique du fait de forte s
non linéarités induites par les chocs . Après analyse des résultats, on s'attache à voir la manièr e
dont se répartissent les différentes grandeurs en fonction des paramètres influents (frottement ,
conditions initiales,géométrie) et dégager en conséquence un critère de coincement et en estime r
la probabilité .
7
Tuyauterie de retour.
Régulateur de debit .Boitier externe de commande de pince .
Ecrou de recopie visuelle et minirupteurs .
Limiteur de couote .
Moteur frei nRiducteuts.Visua{isation translatiôn .
ommande manueite(avec limiteurde couple.)
Signalisation(minirupteurs et r op ivisuelle.)
' -B oitier de reg opie (synchros etpotentiometres)
Coupleur électromagnétique .
Verrou de démortnge .
•871 5Boitier interne de command ede pince .
Verrou de blocage de l acremailere en position ddégagement .Boîtier coulissant .Ressort compensateur dedilatation é d ' amortissement
Clavet a
Carter d ' étanchéité.
Tige de commande de pince.
Galet -de réaction et 2tucfies de guidage .Tube de translation.Joints d ' étanchéité en FO1H
ler en sodium.
Mecanisme de barres de Commande
(Planche n°1)
c llllàIPI[TIR
Dilli :11°~mID~t~~~II
9
I.1. INTRODUCTIO N
Le terme "fiabilité" est la traduction de l'anglais "Reliability" . Elle est définie comm e
étant la caractéristique d'un dispositif exprimée par la probabilité qu'il accomplisse une mission ,
une fonction requise, dans des conditions données et pendant une durée donnée . Il en ressort
quatre concepts :
- probabilité : elle exprime dans ce cas, les chances de réussite de la mission ,
- accomplissement d'une fonction : le dispositif à étudier doit être dans un état lui permet -
tant d'accomplir la fonction requise de manière satisfaisante . Ceci implique un certain
niveau de performances en deçà desquelles, le dispositif est considéré comme défaillant ,
- conditions de fonctionnement : ce sont les contraintes dues à l'environnement physiqu e
(température, vibration, humidité etc . . .) subies par le dispositif,
- durée : elle peut être un temps, un nombre de cycles ou une distance parcourue .
I .2 . PRINCIPALES DEFINITIONS [ref. 3]
Fiabilité prévisionnelle : c'est la fiabilité calculée sur la base d ' un modèle mathéma-
tique, défini à partir des données du projet et de la fiabilité estimée des composants .
Fiabilité estimée ou intrinsèque : c'est la fiabilité d'un dispositif mesurée au cours
d'essais spécifiques .
Fiabilité opérationnelle : mesurée sur des dispositifs en exploitation normale ; elle
dépend des conditions réelles d'utilisation et du support logistique .
Défaillance soudaine : elle est pratiquement imprévisible .
Défaillance progressive : elle est prévisible par un suivi d'évolution des caractéristique s
du dispositif .
Défaillance complète : résulte de déviations d'un ou plusieurs constituants telle s
qu'elles entraînent la disparition de la fonction .
Défaillance par dégradation ou par dérive : elle est progressive, peut être partielle o u
complète, réversible ou non .
Défaillance catalectique : elle est soudaine, complète et irréversible .
10
M.T.B.F (Mean Time Between Failures) : moyenne des temps entre défaillances .
M.T.B.F (Mean Time To Failure) : moyenne des temps jusqu'à défaillance, s'appliqu e
aux systèmes, non réparables ou non réparés, à partir de la défaillance complète .
M.T.T.R (Mean Time to Repair) : durée moyenne de réparation .
M.U.T (Mean Up Time) : durée moyenne de bon fonctionnement après réparation .
M.D.T (Mean Down Time) : durée moyenne de défaillance à partir de l'instant de
défaillance .
I.3. METHODES D'ESTIMATION DE LA FIABILITE
I.3.1 Analyse qualitative [ref. 5, 6]
I.3.1.1 Introduction :
Malgré la haute performance des outils, moyens et méthodes de calcul en notre pos-
session, ceux-ci restent insuffisants si le problème n'est pas bien posé et bien délimité . Ainsi,
pour estimer la fiabilité d ' un système, il est nécessaire de déterminer les risques encourus ,
chose ne pouvant se faire sans la connaissance précise du système étudié, de son fonctionne-
ment, de ses conditions d'utilisation et une recherche des conséquences que pourrait avoir un
fonctionnement anormal ou intempestif en fonction du contexte d'utilisation. Connaissant par -
faitement le système et les risques qu'il fait encourir, l'analyse est souvent complétée par le s
points suivants :
- modélisation du système et de son fonctionnement,
- FoM.E.A (Failure Modes and Effects Analysis) ,
- recherche des combinaisons de défaillance pouvant entraîner l'apparition d'événement s
indésirables .
I .3 .1 .2 Connaissance du système et de ses conditions d'utilisatio n
La connaissance du système suppose l'utilisation d'un recueil d'informations et ell edoit se situer à deux niveaux :
11
- l'un relatif à l'aspect technologique propre du problème, c'est-à-dire qu'il faut connaître l e
rôle de chaque composant, son mode de fonctionnement, son mode d'intervention et le s
performances requises dans les différentes configurations possibles, de fonctionnemen t
du système,
- l'autre relatif aux conditions d'utilisation du système, qui comprennent les condition s
d'environnement, les procédures de conduite, de test et d'entretiens .
I.3.1.3 Analyse du risque
C' est une approche consistant à déterminer les risques et leurs causes . Il s'agit plus
précisément d'identifier les éléments suivants :
- éléments dangereux ,
- situations dangereuses ,
- les accidents potentiels .
Après quoi, de déterminer la gravité de leur conséquences et surtout de définir de s
règles de conception et des procédures permettant d 'éliminer ou de maîtriser les situation s
dangereuses et les accidents potentiels ainsi mis en évidence .
Pour décrire les résultats obtenus, deux types de présentation existent :
par tableaux à colonnes ,
- par arbres logiques .
Notons que ce procédé inductif d'analyse, doit être considéré comme une toute pre-
mière approche des risques présentés par un système .
1.3 .1 .4 Analyse des Modes de Défaillance et de leurs Effets (A.M.D.E. )
C'est une méthode inductive d'analyse de la fiabilité des systèmes, utilisée pour l'étud e
systématique des causes et des conséquences de défaillance qui peuvent affecter les éléments d e
ce système . Elle permet :
- d'identifier les pannes ayant des conséquences importantes relatives aux critères de réus-
site de mission, disponibilité etc . . .
12
- d'identifier les modes de défaillances qui peuvent avoir des conséquences sur l'exécutio n
des fonctions requises et d'en déterminer les causes ,
- d'établir la liste des modes de défaillances ayant de graves effets sur la sécurité, la dispo-
nibilité, la fiabilité etc. . .
- de préciser pour chaque mode les méthodes de détection et si possible les actions correc-
trices à mettre en oeuvre .
Elaboration d'une AMDE (en Anglais : Failure Modes and Effect s
Analysis) [ref. 6]
Une fois que le système à étudier et l'environnement dans lequel il est appelé à fonc -
Bonner sont parfaitement connus et sa mission bien définie, l 'élaboration d'une AMDE est alors
possible. Elle se fait en plusieurs étapes :
1ère étape :
Elle consiste en la décomposition du système en plusieurs sous-systèmes : on définit le
composant ; la plus petite partie d'un système pour lequel, d'une part on peut préciser a priori e t
sans ambiguïtés les modes de défaillances et d'autre part, on dispose de données de fiabilité ,
sans qu'il soit nécessaire de décomposer l'élément pour en faire l'analyse . Le niveau de décom-
position ne peut être a priori défini ; il dépend du système à étudier, de l'ampleur de l'analyse à
effectuer et des renseignements dont on dispose suivant la phase de conception à laquelle on se
situe .
2ème étape
Dans cette étape, on établit les modes de défaillance de chaque composant . Un mode
de défaillance est l'effet par lequel une défaillance est observée, ou encore, il est l'effet de l a
cause de défaillance sur la (les) fonction(s) du composant . On les détermine à l'aide de l'analyse
et/ou de l'expérience d'exploitation .
0
3ème étape :
En dernière étape, on étudie généralement pour chaque mode de défaillance les cause s
possibles ainsi que leurs conséquences et on présente les résultats sous forme de tableau .
Notons qu'il existe d'autres approches plus raffinées, telle que l'AMDEC (Analyse de s
Modes de Défaillance, de leurs Effets et de leur Criticité), qui n'est en fait qu'un prolongement
13
quantitatif de l'AMDE, où l'on considère la probabilité d'occurrence de chaque mode de défail-
lance et la classe de gravité des conséquences de ces défaillances ; on peut ainsi s'assurer que
les modes de défaillance ayant d'importantes conséquences ont des probabilités d'occurrenc e
suffisamment faibles, grâce aux méthodes de conception, aux diverses vérifications (en usine ,
in situ) et aux procédures de test . Une autre méthode est la MCP (Méthode de combinaison de
pannes), créée pour combler les insuffisances de l'AMDE, elle a particularité de tenir compt e
des interactions entre systèmes et permet de regrouper des pannes ayant "les mêmes effets" sur
le système étudié .
I .3 .1 .5. Méthode des arbres de défaillance [ref. 4, 6]
Contrairement aux méthodes déjà exposées, la méthode des arbres de défaillance es t
une méthode déductive . Partant d'un événement indésirable bien défini, il s'agit de représente r
graphiquement les combinaisons d'événements, qui conduisent à la réalisation de cet événe-
ment. L'arbre de défaillance sera formé de niveaux successifs tel que chaque événement soi t
généré à partir des événements de niveau inférieur, par l'intermédiaire de divers opérateurs (o u
portes logiques) . Le processus est poursuivi jusqu'à ce qu'on arrive à des événements élémen-
taires caractérisés par les trois critères suivant s
- ils sont indépendants entre eux ,
- leurs probabilités peuvent être estimées ,
- les événements élémentaires peuvent être des pannes, des erreurs humaines ou des condi-
tions extérieures .
Un arbre de défauts est dit indépendant du temps, si les événements élémentaires, un e
fois apparus, demeurent jusqu'à la fin de la mission (événements non réparables) .
I.3.1 .6 . Diagramme de fiabilité [ref 3, 4, 5, 61
C'est une représentation naturelle de la logique de fonctionnement d'un système . Dans
cette représentation, les blocs dont la défaillance entraîne la défaillance du système, sont placé s
en série . Ceux dont la défaillance ne provoque la défaillance du système, qu'en combinaiso n
avec d'autres blocs, sont placés en parallèle sur ces derniers .
14
L3.2 FIABILITE DU DISPOSITIF DE BARRES DE COMMANDE S
I.3.2.1. Définition du problèm e
a) Caractéristiques essentielles : [ref. 1, 2 ]
Le mécanisme a une longueur développée totale de 12520 mm et il pèse 1000 Kgf . La
transmission du mouvement, se fait par vis-écrou. La vis en tournant, provoque le déplacemen t
de l'écrou bloqué en rotation . L'équipage mobile est maintenu en position haute à l'aide d'u n
électro-aimant, qui lâche le dispositif en cas d'arrêt d 'urgence. L' amortissement en fin de
course est assurée par un dash-pot à huile . En cas de déficience de ce dernier, un parachute à
déformation plastique intervient. La liaison entre l'équipage mobile et l'absorbant es t
permanente, même en cas de chute correspondant à l'arrêt d'urgence .
I.3.2.2. Historique des défaillances [ref. 1 ]
Dans le cadre de notre étude, seules les défaillances d'origine mécanique, retiennent
notre attention . D'après les constats rendus par les services de sûreté, ces défaillances méca -
niques peuvent essentiellement se résumer en :
- blocage franc,
retard dans la chute .
Ces défaillances sont, dans la plupart des cas, dues à un gonflement par suite d'un e
élévation de température, un coincement dû à une remontée du sodium et diverses impuretés, o u
encore au frottement lors du contact entre la partie fixe et la partie mobile . La planche n° 2
montre l ' arbre de défauts du dispositif de barres de commande.
SIGNIFICATION DESSYMBOLESUTILISES
Symbole Nom du symbole Signification
dusymbol e
CercleReprésentation
d'unévénement
de
base
Losange
Représentation
d'unévénement
supposé
d ebase
pour
l'arbre
dontles causes ne sont pas et
ne
seront
pasdéveloppées
Rectangle
Représentation
d'unévénemen t
intermédiaire
résultantde
la combinaisond'autres
événement s
Triangle
La partie de
l'arbre
qu isuit le
symbole
A est transférée al'emplacement
parindiqué
le symmbole
Porte "OU"
L'événement
de
"sortie"S est réalisé si l'un
aumoins
des
événement s"d'entrée" E
1, E
2, E
3est
réalisé .
S
A
EE2
3E 1
Porte "ET"
L'événement
de
"sortie "S est réalisé si les
événement
d'entrée
E l ,
E2
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sont tous réalisés .s
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Parade
PLANCHE N° 2
mAutoblocag edu systimedynamique
1 2
oif "ut ,=ni-veau du tubede translation
Planche n° 2 (a )Arbre de défaut du mécanism e
de barre de command e"L'événement de base étan t
1'autublocage du système dynamique"
du boitier decommands pinc e
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fragilisation
fragilisation collerette
1_
Attaqu esève giomatrique ait au,qu.
om=~ u~=m
Oif aut au niveaudu boitler de com-sande de pine
11211r -- - -° -- --1laisse de risis -1
Io lane ou de oI
Iqualil iL__ .___. 1
mm
111
t
Coinceoent francdûilabaua9cannelie 23 0
~m
o ~ Oéfaul eon , o
iK
Non tupi" doigtd'entrelien sou sl'effort de chut e
hw. rr:ri..~orad•
1p ~ Otfaul pxi
~ o1
1
lloca e au dash -9pot lplston-res-sort-hullel
Blocag eparachute
Auto concernent ducurseur et de s acame 101 10 1
1 m~
Difer~ation sprohibitives
Non bon choix ma-tarimm lissan t9
(bronzai
11231
_Î --
-,I
1 tJi aul non ari 1 Io
f
p
oB~
0(~ approf ondir l
Ilit2 1
Planche n° 2 (b)
Arbre de défaut du mécanismede barre de command e
"L'événement de base étan tl'autoblocage du système dynamique'°
t o
Coincemen tfranc düilab agus cane, 23$
n»~Planche n° 2 (c )Arbre de défaut du mécanisme
de barre de commande"L'événement de base étant
Grippage
l'autobloeage du système dynamique"
1111221 1
Ruptur edo sou llet depinc e
Ruptur epar fia-gus sou-dain e
Ibo dit& None* O* ' 1 d oOéf aul i- M Oitaut
de Non irais rhlovatenante corrosion circuit
surface • sage tirer aspect i la sur -te rLkt! camel!' face inti Argon
Ibwe w ails,,' rieurs
111 1~~~ eeeereee.eeeee.A~q
o
Surplusd o
matériaux
Ruptureobstruant e
230
Rotation souseffort
mn111 c
~eeeee..r...r..••re~
Gonflementmalérieux
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111121 1Accrochage dur
ONAetc ..
1113»q
N'irise stion ba-gue lisse
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m3211,
Ruptur evis 23 2ou entretoise 231
Ruptur eIainIIUi
9
o%o'_o%,
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111)111
Aufourreau
206
Au tub ede trans-
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S~Ilkffrlion /i -siquiliti.
influenc esoudainecorrosiondepot s/ s
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Défautcarattl-ris l(Argon
Ruptured'une
fixation
Non visi-le bi-enHustle
Non les tcaffic iout d esécurité
Non l
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Iissamenpont agel
Déforma -tion d esuppor t
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11112 1
1 Perte deI protection
o
L . _ _J
L 11112
Ôa
Matit pari 1
Rupture de
o bamere
ot
L
~
Oiforwslio n
111) 1
~
Oilaul
I
0 8 non pari
o
0
111122
11131 1
excessive dusuppor t
I.3.3 Analyse quantitative : [ref 3, 4, 5, 7 ]
I.3.3.1 Fiabilité :
La définition mathématique de la fiabilité d'un système devant accomplir une mission
dans des conditions données pendant un temps donné, peut s'écrire :
R(t) = Proba (le système est non défaillant sur [O,t] )
On définit également d'autres propriétés intéressantes liées au fonctionnement d'u n
système .
I.3.3 .2 Disponibilité
C'est une caractéristique exprimée par la probabilité pour que le système soit no n
défaillant à l'instant t . Dans le cas de système non réparables, elle se ramène à la fiabilité :
A(t) = Proba (le système est non défaillant à l'instant t )
I.3.3.3 Maintenabilit é
Elle est caractéristique des systèmes réparables et est le complément à 1 de la probabi -
lité pour que le système ne soit pas réparé sur [O,t] sachant qu'il est défaillant à l'instant t = 0 .
On la note :
M(t) = 1 - Proba (le système non réparé sur [O,t]/qu'il est en panne à l'instant t = 0 )
I.3.3 .4 Taux de défaillanc e
On définit le taux de défaillance instantané, comme la probabilité qu'un système tomb e
en panne entre t et t + At, sachant qu'il est non défaillant sur [O,t] .
k(t) = lim
1 proba (le système tombe en panne entre t et t + A et il est non défaillant sur [O,t] )At -* o At
proba (système non défaillant sur [O,t] )
Ce qui peut finalement s'écrire, en tenant compte de la définition de la fiabilité :
20
dR(t)R(t) - R(t +fit) = dt
oc -* o
At .R(t)
R(t)
La résolution de cette équation différentielle, donne
R(t) =exp (- J tX(z) dz)
On remarquera que le taux de défaillance a la dimension d'une fréquence .
Des études statistiques faites pour les composants électroniques et mécaniques, mon-
trent que la courbe d'évolution du taux de défaillance en fonction du temps, a la forme d'un e
"baignoire". On y distingue, comme l'illustre la figure 1 trois région s
Taux de défaillance (s 1)
0
période de jeunesse
période de "vie utile"
période d'usureTemps
- la première région définit la période de jeunesse où le taux de défaillance décroît rapide -
ment,
- la seconde, définit "la période de vie utile", pendant laquelle, le taux de défaillance reste à
peu près constant ,
- la troisième correspond à la période des défaillances ou d'usure. Pendant cette période, le
taux de défaillance croît rapidement .
21
Pendant la période de "vie utile" de l 'élément, le taux de défaillance 2 est constant, parconséquent, l'expression de la fiabilité devient :
R(t) = e- X c
Et la densité de probabilité de la durée de bon fonctionnement est : f(t) = - dR(t)dt
eat, que l'on reconnait comme la densité de probabilité d 'une exponentielle de paramètre 7. On
peut aisément dans ce cas exprimer le M 'Y[F (moyenne des temps jusqu' à défaillance) par :
M rni = e-~t d t =Jo
2L
I.3.3.5 Calcul de la fiabilité d'un système
Système série : la configuration série ou structure chaîne, est le modèle defiabilité le plus simple et le plus commun . Un système est dit "série", si la défaillance d'un d eses éléments, entraîne la défaillance du système . Le diagramme de fiabilité d'un tel système es tle suivant :
o 3 n
Si l'on désigne par Ei, l 'événement : "l'élément i, fonctionne à l'instant t", la fiabilit édu système est alors :
R(t) = P[E 1 n E2 n E3 n . . .Er►] = P[En/E1 n E2. . .n En4]• P[En-1/E 1 n E2. . .n En-21 P[E2/E i]• P[E i ]
Lorsque les éléments sont statistiquement indépendants, on a :
R(t) = IIP [Ed
Si le taux de défaillance de l'élément i est ki(t), la fiabilité peut alors s'écrire :
Ri(t) = exp (- J t ?(u) du)
et
22
nR(t) = exp (- fOE X i(u) du )
Et toujours dans le cas d'éléments indépendants, on voit que le taux de défaillance
d' un système série est la somme des taux de défaillance des éléments qui le composent .
Système parallèle pour accroître la probabilité de bon fonctionnement d'un sys-
tème, il est parfois possible de faire fonctionner en "parallèle" plusieurs éléments remplissant l a
même fonction. Dans le cas de la redondance simple, le système fonctionne, lorsqu'au moins
un élément fonctionne. Le diagramme de fiabilité d'un tel système est :
E l
E i
E
On ay
R(t) = P~E1 u E2 u E3 .0 ..evEn]
Une formulation plus simple, consiste à prendre les événements contraires, Ei, ce qui
donne
R(t) = 1 - P[E1 n É2.n .o.n Et,]
Et pour des éléments indépendants on arrive à :
n
R(t) = 1 - ~ (1 exp (- JXi(u) du))
Evaluation de la disponibilité : nous considérons le cas où l'élément est markovien ,
c'est-à-dire dont le taux de défaillance (resp . de réparation) ne dépend pas explicitement du
temps. La connaissance de l'état de l'élément à un instant t est suffisant pour connaître tous se s
états aux instants ultérieurs. D'après la définition de la disponibilité, on peut écrire : A(t)
goba (système non défaillant à l'instant t) . Le théorème des probabilités totales, nous permet
23
et
d'écrire : A(t + At) = P(élément en marche à t et n'a pas de défaillance entre t et t + At) +
P(élément en panne à t et réparé entre t et t + At) . Soi t
A(t + At) = A(t) .[1 - kOt + O(At)] + (1 - A(t)).(µAt + O(At) )
1irn
A(t +At) -A(t)_- +xAt
_dA(t)At—4 o
at
µ(µ
) C)
dt
d'où il vient :
A(t) = . (1 - e-(X +g ) t) si A(0) = 0
A(t) = .
+ + - si A(0) = 1
? et µ représentent respectivement les taux de défaillance et réparation :
--('"
lr
On remarque que pour des temps suffisamment grands, la disponibilité tend vers une
valeur fixe () indépendante de la valeur initiale A(0) .1.1.+k
I.3.3.6 Utilisation des graphes des état s
Pour tenir compte des dépendances entre les différents éléments d'un système, o nconstruit un graphe dont les sommets correspondent aux différents états du système (dans le ca sd'éléments à deux états - Marche, Arrêt -, un système comprenant n éléments a au maximum 2nétats) et dont les arcs correspondent aux transitions entre états . Pour bien illustrer le principe de
Q
24
la méthode, nous allons considérer un exemple simple, qui consiste en un système redondant
formé de deux éléments identiques . Le graphe des états d'un tel système est le suivant : [ref. 6 ]
X
Dans le cas oil les éléments ne sont pas identiques, on a le graphe suivant :
I I
II I
Etat I : les deux éléments en pann e
Etat II : l 'élément 1 seul est en panne
Etat III : l 'élément 2 seul est en panne
Etat IV : les deux éléments en marche
A l'instant t, dans les états respectifs I, II, III et IV on a :
PI(t +fit) = Pl(t) .[1 - + X2)dt] + PE( (t) µ kit + Plu(t) 11,2dtP11(t +fit) = Pi(t) ~,ldt + PII(t) .[1 a (?Ç2, + µ idt)] + prv(t) µ2dtPffi(t + At) = PI(t) X 2dt + Puj(t) .[1 - (p. 2, + Xl)dt] + Piv(t) µ kit
Piv( t + At) = PI(t) k2dt + Pffi (t) ~. l dt + Piv(t) (1 -
+ µ2 t)
I V
25
En faisant intervenir les dérivées, il vient sous forme matricielle :
-(xl+x2)
o
X2
- (X2+11 1)
0
1-L2
2L 2
0
-(xl+k)
o
X-2
-(RI+112) __ P'Iv(t)
x
d[P]dt
[A]
x [P(t)]
La disponibilité du système s'obtient en résolvant le système précédent .
La matrice A = (aij) est la matrice des taux de transition .
aij est le taux de transition pij de l 'état i à l 'état j (i ~ j )
aii est égal à l'opposé de la somme des taux de transition de l'état i vers tous les autres états ,
(au =
1, .
On remarque que la somme des termes de chaque ligne est nulle, ce qui montre que l a
matrice A est singulière . Lorsque aii est nul, l'état i est dit "absorbant" .
La fiabilité est la probabilité pour que le système se trouve dans un état de marche sans
jamais être passé par un état de panne. Pour l'obtenir, il suffit donc de résoudre le système pré -
cédent, en prenant soin de supprimer préalablement, les transitions des états de panne vers le s
états de marche . C'est-à-dire si l'on suppose que les états de marche soient numérotés de 1 à I
et les états de panne de 1+ 1 àn :
i ) 1 et j I
aii = 0
Une fois cette condition remplie, soit P'i(t) la probabilité de se trouver dans l'état i
dans l'instant t . Soit [Al la matrice déduite de [A], par application des considérations ci-des-
sus. On a donc le système :
dP'2(t )
[
dP 'l( t )dt
dt dPdt [P' 1 (t), P'2(t), e . . P'n(t)] X[A']
dont la solution nous fournit la fiabilité du système .
26
1.4 Application à la mécanique : [ref. 8, 9, 10]
I.4.1 Introduction :
La nature aléatoire des efforts s'exerçant sur les structures et les incertitudes affectant
les caractéristiques mécaniques des matériaux, rendent souhaitable, pour toute analyse à l a
sécurité, une approche probabiliste des calculs mécaniques appropriés . De nombreux modèle s
mathématiques peuvent être utilisés en fiabilité mécanique. Ils peuvent être classés en troi s
grandes catégories :
approche utilisant les variables aléatoires ,
- approche utilisant les processus aléatoires ,
- approche utilisant les champs aléatoires .
Pour chacune des approches citées, existent des méthodes de calcul . Les plus impor-
tantes sont les méthodes du ler et 2ème ordres et la simulation par Monte-Carlo .
1 .4.2 Formulation d'un problème en fiabilité mécanique :
La fiabilité d'une structure mécanique s'exprime par la probabilité qu'un certai n
"critère" ne soit pas violé . Ce critère encore appelé fonction de performance peut être une fonc -
tion, linéaire ou non, d'un ensemble de paramètres influents, que l'on considère comme aléa-
toires. Si l'on désigne par g(x) avec x = (xi, x2, xn), cette fonction de performance. Le
domaine de sécurité (respectivement de défaillance) est alors :
Ds = {X g(X) ) 0) et Df = (X / g(X) ( 0)
On définit "surface de rupture" ou "surface de l'état limite" par : { X / g(X) = 0} . La
fiabilité est la probabilité de se trouver dans le domaine de sécurité soit :
Ps = Lfx (x i , x2 , Xn) dxl .dx2 dxn
fx (xi, x2,
Xn) est la densité de probabilité jointe des variables aléatoires xi(i=l,n) . La
probabilité de rupture est le complément à 1 de la fiabilité .
27
I.4.3 Méthode de la résistance - contrainte :
On a coutume d'exprimer la fiabilité en mécanique, par la probabilité que la résistanc e
soit supérieure à la contrainte appliquée pendant toute la mission considérée . La contrainte peu t
être un déplacement imposé, une contrainte, une pression, une température, etc . . . La résistance
peut être un déplacement maximum, une contrainte admissible, une pression limite, une tempé-
rature maximale etc . . .
Si l'on désigne par R la fiabilité, par C la contrainte et par p la résistance on a :
R =probabilité (C < p) =probabilité (C - p < 0) =probabilité (Ç < 1)P
Lorsque les distributions de la résistance et de la contrainte sont connues, la solutio n
est obtenue soit analytiquement, soit numériquement .
I.4 .3 .1 Cas des distributions normales :
On a : R = proba(x = p - c > 0) . La variable aléatoire x étant la différence de deu x
variables aléatoires normales, elle est donc elle-même une variable aléatoire normale . Les deux
variables c et p étant de plus indépendantes on a :
6X = 6P + 6 (variance de la v .a x)
et si l'on pose :
u = x -µX
6x
on a alors :
R = proba(x > 0 )
soit :
2 g
R = proba u) /~
N6p+6~22
Z
En vertu des propriétés des logarithmes, il est beaucoup plus commode de prendre
l'expression de la fiabilité sous la forme :
I2 = Prob~P ~ 1~ = proba~Z (1 ~
En tenant compte du fait que le quotient de deux variables aléatoires Log-normales est
aussi une variable aléatoire Log-normale, la variable x = Log z suit donc une loi normale d e
paramètres : µx = µc - gr et o2x = 62p + 62c. La fiabilité est alors R = proba(X < 0) et l'on s e
ramène donc au cas précédent.
1.4.3 .3 Cas des distributions quelconques :
Lorsque les distributions de la résistance et de la contrainte sont quelconques, le prom
blème est moins simple. Comme illustré par la figure ci-dessous, la probabilité de rupture es t
l'aire du domaine délimité par les deux courbes et l'axe des abscisses :
,fP(p),f~(c )
- La probabilité d'avoir une contrainte C , est égale à l'aire de l'élément différentie l1
dC, soit :
I.4 .3.2 Cas des distributions log-normales :
Proba(c 1- 2~ C1 5 c1 + 2~) = fC(c 1 ) dc
- La probabilité d'une résistance p supérieure à C1est :
00Proba (p > C 1 ) = ffP(p)dp
c l
-La probabilité d'avoir une contrainte C1
et d'y résister est donc le produit des proba-
bilités, vu l'indépendance statistique des événements "avoir une contrainte" et "y résister" . Elleest la probabilité relative à la possibilité d'une contrainte C
1, soit :
00dR = fC(c l )dc If
P(p)dp
c l
et il vient :
00 00 00
R = JdR = Sfc(c) [ Jf(P)dP]dc
ou encore :
pR = JdR = Jf(P)[ 5fc1c1 dp
Ces expressions peuvent se calculer analytiquement ou numériquement par la méthod edes transformées de Mellin ou par la méthode de Monte-Carlo par exemple .
I .4 .4 Méthodes de calcul
Dans la cas où les densités de probabilité de la résistance et de la contrainte ne sont pa sconnues et si l'on connait la densité jointe des paramètres influents considérés comme aléa-toires, la fiabilité est alors donnée par l'expression déjà définie, pour des problèmes indépen-dants du temps :
30
P s =gfx(x i, x2, . . .
n) 1x l .dx2 dxn
ou encore
P = Çf(x,x
. . .e . ., x )dx .dx e . . dxf
x o
n o t
n
Souvent, les méthodes numériques d'intégration directe sont lourdes et laborieuses .
Lorsque le domaine d'intégration est irrégulier et la fonction ff(x) est complexe, la solutio n
analytique du problème devient impossible . L'intégration numérique est efficace seulement dan s
le cas où le nombre de variables de la fonction ff(x) est réduit (disons inférieur â 6), ou l e
domaine d ' intégration est de type spécial (hypercube, hypercercle, etc . . .) . Ainsi, l'intégration
directe, qu'elle soit analytique ou numérique, n'est applicable que dans un nombre très limité d e
cas pratiques . Pour ces raisons, la recherche de méthodes approximatives devient si on peut
dire nécessaire .
1 .4 .4.1 Méthode exacte dans un cas particulie r
Dans le cas où par exemple la surface de rupture g(x) est de type hyperparaboloïdal on
a : [ref. 16]
_
2 2
2
g(x0
, x1
, .eo . . ., x ) =
g1
(x0
,
x1+x2+ . . . .o ^yy~e xn )n
1
x0 m h(
x1+x2+ +xn )
xo - h (P)
avec
®P
2Vxi+ + + xi
Ainsi, si l'on suppose que les variables xo, xi, xn sont normales centrées
réduites et indépendantes, alors la densité jointe ff(xo, xi, .e xn) peut être exprimée
par
f
ff(xo, xi, xn) ~ ç(xo) . ()tari1 (0)
31
F(1÷-2-)
112n0
n
0 [h(p)] [ PP -1 9(p)dP
où cp( .) est la densité de probabilité de la loi de Gauss .
On montre que :
P = f (x,x x)dx .dx . ..dxf
x o 1'
n
o
t
n
f
peut se ramener dans le cas d'une surface de rupture hyperparaboloïdale et des variables d e
Gauss, au cas d'une intégrale simple comme l'illustre la formule :
I.4 .4 .2 Méthodes approximative s
Méthode du FOSM (First Order Second Moment)
Pour illustrer le principe de cette méthode, considérons le cas où l a
fonction de performance est la différence de deux variables aléatoires indépendantes (marge d e
sécurité M) : la marge de sécurité s'écrit : M = X - Y et la fiabilité s'en déduit pa r
PS = Probabilité(M > 0) .
Dans le cas où les variables X et Y sont normales de paramètre srespectifs (µx, ax) et (µy, ny). La surface de rupture a pour équation : X - Y = 0 qui s'écrit e n
coordonnées centrées réduites :6xX - 6yY + (µx - µy) = 0 avec X —
et Y' Y- t y
ayX
En définissant "l'indice de fiabilité"
la uantite = ~M= µx - µY
la fiabilité est alorspar q
~ 6M -V G2x +62 Y
Ps = ~(~3) où cl) est la fonction caractéristique de la loi de Gauss . Dans le diagramme (X', Y') ,
1 représente la plus courte distance de la droite M = 0 à l'origine des coordonnées .
Pour la généralisation à une fonction de performance linéaire à plusieur s
variables, le même procédé reste applicable . Comme on l'a vu ci-dessus pour une fonction à
32
deux variables, chercher la fiabilité revient donc à chercher 3 ou la plus petite distance de l a
surface de rupture à l'origine des coordonnées. Le point de la courbe le plus proche de l'origine
des coordonnées, est dit : "point de rupture le plus probable". On a donc un problèm e
d'optimisation classique sous contraintes dont la formulation est :
1trouver X tel que
(x' Tx')l = D minimaleavec X vérifiant g(X) = 0
avec :X (X I , X2, Xn)
X' (Xi, X' )
X i -µXet
X?
la ième composante du vecteur X'
En utilisant les multiplicateurs de Lagrange, la fonctionnelle à minimiser devient :
n
L
D 92 + .g(X I , X
X2 ,
n )
i=l
On a
81,= (n équations )8X' i
& O (1 équation)6X
La résolution de ce système à (n+1) équations, nous fournit le point de rupture le plu s
* *
*probable
X* (xi, x2 , x n) .
Soit G ®( -?--e— ,
9 • .••?
), il vient en notation matricielle :aX1 aXi
DX'
X '(X TX)l/2
d'où :
+ X.G =
33
X'=-7 DG avec D = (X'TX')1/2
Il vient :1
1
- 1
D = [(2DGT)(XDG)]2 = IXID(GTG)2
= (GTG) 2
Or X' = - XDG, on peut donc écrire : X' = - (GTG) /2 DG
En définitive : la distance D minimale, notée traditionnelement par tous les auteurs est :
- G*TX' *R – (G*TG*)1/ 2
avec G* est la valeur de G au point de rupture le plus probable .
Dans le cas où les variables Xi(i=1,n) sont corrélées, le se calcule par la formule
suivante :
- G*TX'
(G*Ilc 'IG*)1/ 2
où C' est la matrice des coefficients de corrélation .
La fiabilité s°en déduit alors par Ps = ~((3 )
Interprétation du
dans le cas d 'une surface non linéaire :
Dans le cas où la fonction g est non linéaire, on peut l'approximer au point de rupture
X* par le plan tangent . En effet, développons au sens de Taylor, la fonction g au voisinage du
point (x*1, x*2, x*n). Au premier ordre on a :
n
g(X 1 , X2 , . . ., Xn) = g(x l , x2 , . . ., xn) + 1(X i - x i )(aX , ) *
i= 1
Comme g(x* 1 , x*2, x*n) = 0 par définition du point X*, on a :
34
g(X,X2, . . .,X )1
n
n
1 (X- -Xi)(ai)*
i=1
, on trouve pour laCompte tenu du fait que : (Xi mx i ) = 6X. (X?i xi ) et
moyenne :n
lxi(aX' I.)*i= 1
de même pour la variance :
n
n2
2 *
ag2 _
e~g =
6xi caxi~* —
axi
i=1
i= 1
On a donc :
n
Ix iealg-CO *
i=l
g
' n
qui n'est rien d'autre que la formule précédente écrite sous forme développée .
Sensibilité paramétrique :
La fiabilité telle que définie, est fonction d'un certain nombre de paramètres . I l
est intéressant de connaître l'incidence qu'aurait une variation d'un de ces paramètres sur l e
résultat de la fiabilité . Pour cela, définissons un facteur de sensibilité par :
dPf
'YO
d6
~ù Pf
désigne la défiabilité ( complément à 1 de la fiabilité) et 0 le paramètre dont on veu t
étudier l'influence sur la fiabilité .
µ
g
35
Compte tenu de Pf = (D(-(3), il vient : [ ref 19 ]
4) et cl) désignent respectivement la densité de probabilité et la fonction de répartition de la lo i
de gauuss .
dPf = -0(13)d
R
d'oùd8
d8
FIGURE I- 7 (b)
Principe de la méthode du FOSM
On montre que pour des surfaces de ruptures concaves [ref . 12], la &fiabilité es t
donnée par un encadrement de la forme :
0(-P) < P f < 1 - x22)
(D(.) représente la fonction de répartition de la loi normale centrée réduit e2
Xn (.) est la fonction de répartition de la loi du Khi-2 à n degrés de libertés, dont l a
ndensité de probabilité est donnée par : nf (x) = 2r n (2)2
-1 exp f -2 1 . Le nombre de degrés
(2)
de liberté du Khi-2 est égale au nombre de variables de la fonction de performance .
Pour les problèmes d'ingénieur, la borne inférieure de l'encadrement précédent
donne une estimation de la probabilité de rupture [ref. 12] . On constate cependant, comm e
l'illustrent la figure I-2, que dès que le nombre de variable aléatoires dépasse 4, l'amplitude de
l'intervalle précédent devient très grande pour de faibles valeur de 3 .
1
ag( X-003 ) [
*IVg(x )1
a O0o
Où •
36
nva = nombre de variables aléatoires du problèm e
4(- )
--
2
x
H32 )
rnva
2 !
1 .50 2 .00 2.50 3.00 3 .50 4 .00 4.50 5 .0 ,bet a
0 .40 7
0,20
.00
.50
1 .001-T"T
.00
.50 1 .00 1 .50 2 .00 2 .50 3 .00 3.50 4 .00 4 .50 5.0 0
Beta
nva
Lnva =
0 .60
0 .00-{-- -T
r--T
.00
.50 ' .00 1 .50 2.00 2 .50 3 .00 3 .50 4 .00 4.50 5 .00beta
inâ-d
1 .50 2 .00 2 .50 3 .00 3 .50 4 .00 4,50 5 .00beta
Figure 1-Z
Algorithme de résolution : [ref. 12, 13]
Pour résoudre numériquement le problème, Rackwitz propose un algorithme qui permet d e
trouver le point de rupture le plus probable (Design point) et l'indice de fiabilité P . Il consiste à
approcher point par point la surface de rupture par un hyper plan tangent . Lorsque les lois de s
variables aléatoires ne sont pas normales, elles sont approchées à chaque point d'itération pa r
une loi normale équivalente en utilisant les transformations de Rosenblatt ( voir annexes) . La
'convergence est généralement assurée après seulement quelques itérations . Les différentes
étapes de l'algorithme sont :
1 Se donner un estimé initial X* = (x* 1 , x*2, x*n)
Sg2 Calculer : , et ai =
Sxi
Sg
Sxi
i=1
xi3 Écrire x*; =µXi ' a*i 6Xi
4 Remplacer x*i dans g(x* 1, x*2, x*n) = 0 et résoudre l'équation en 3 ainsi obtenue .
5 Utiliser le f3 ainsi évalué en 4 et calculer x'* i = ai
6 Aller en 2 et répéter la boucle jusqu'à convergence, c'est-à-dire :
13n+1 - In
Pn
Avantages et inconvénients de la méthode :
L'avantage essentiel de la méthode est sa convergence en un nombre fini d'itérations e t
son coût relativement réduit . Le point de rupture le plus probable nous indique la région d u
domaine contribuant le plus à la rupture. Pour des variables normales et une fonction de per-
formance linéaire, la méthode est exacte.
Les inconvénients de la méthode sont :
(E
38
- comme pour toute méthode d'optimisation, il est impossible de savoir si le calculé es t
réellement la distance minimale car une fonction peut avoir deux minima locaux ,
- l'erreur commise augmente de façon drastique avec la dimension du problème .
39
I.4.4 .3 Méthodes de simulation :
Généralités :
Les méthodes de simulation, particulièrement celles de Monte-Carlo, sont irès prisées ,
non seulement des fiabilistes, mais aussi des mathématiciens . Elles constituent un outil puissant
de calcul d'intégrales et de résolution d'équations différentielles . Leur intérêt réside dans le fai t
qu'elles peuvent prendre en compte exactement la complexité des lois d'un processus physique ,
sans grande augmentation du temps de calcul . Ces méthodes ont été discutées dans beaucou p
d'ouvrages, nous en citons : [ref. 3, 7, 12, 15] . Nous nous contenterons ici, d'exposer unique -
ment une des méthodes de Monte-Carlo, connue dans le jargon des fiabilistes sous le nom d e
méthode "importance sampling", basée sur de l'échantillonnage .
Méthode d 'échantillonnage ou " importance sampling" :
Dans le cas général, soit à calculer l ' intégrale :
00
P = $(x)f(x)dx-00
Où f(x) est la densité et la fonction indicatrice définie par :
1
six €
A0
sino n
P est donc la probabilité que x soit dans le domaine A . Elle peut encore s 'écrire sous la forme :
00
P = f(O(x)f(x)f*(x) dx
f(x)-00
Où e( .) est une autre densité de probabilité .
* *
*
Désignons par x 1 , x 2 , x n une série de réalisations de densité f* ( .) . Un
estimateur non biaisé de P est alors :
40
-* 1Pn n
xiX 1
1n
i= 1i=1
*Si la densité f* ( .) est choisie de manière à concentrer le maximum des x 1• dans A
f(Xi)
*et si le rapport
* ne varie pas beaucoup pour les différentes valeurs de xi , alorsf*(xi )
_ *Var[Pn ] sera très petite devant 1 . Par conséquent, un bon choix de f* nous permet, avec
seulement quelques tirages, d'estimer correctement la probabilité P à l'aide de l'estimateur
précédent.
Il existe dans la littérature [ref 15], quelques techniques permettant de bien
choisir la densité fi' appelée en anglais "importance density". Brièvement, le bon choix de f* es t*
celui qui rend minimale la variance de l 'estimateur Pn Pour cela, on préconise en pratique de
prendre une densité f* de même nature que f mais dont les paramètres sont à déterminer e n_ *
écrivant que la variance de l'estimateur Pn est minimale .
L4 .5 Comparaison des différentes méthodes
Pour nous permettre de comparer les différentes méthodes, considérons l'exempl e
suivant
Exemple
Considérons le cas où le domaine de rupture est caractérisé par les deux conditions
suivantes
e tte
(2)
Y 2 _ y _ 1 c n
Les variables aléatoires x et y sont supposées normales et indépendantes de paramètres
respectifs (0.1 ; Ool) et (0 .05 ; 0.2) .
41
domain e
d erupture
La probabilité d'échec est la probabilité de se trouver dans le domaine défini par l a
figure ci-dessus . Elle s'écrit :
Pf
~ x(x,y)dxdy =
x µ 1 e-2{( 6 x
aX6y2n
x
~f
y-µ.1)2 1
6Y
dxdy
I,
Les résultats numériques obtenus en calculant cette quantité par différentes méthodes ,
sont consignés dans le tableau suivant :
Nom de la méthode
~.~.
1- Probabilité de défaillance Coût de la méthode
Intégration numérique 2,3 x 10-6 2,5 secondes CPU
Simulation directe
(200 000 tirages)
aucun cas de rupture 200 sec CPU
FOSM 1,6 x 10-6 1,0 sec CPU
Importance sampling _
2,3 x 10-6 13 sec CPU
4 2
1 .4.6 Conclusions :
De l'analyse des différentes méthodes et au regard de l'exemple précédent nous pou-
vons conclure
- les méthodes numériques d'intégration ne sont praticables que dans des cas très limités d e
problèmes, ceci en raison de leur coût élevé . Vu le nombre réduit des variables du
problème, l'exemple que nous venons de traiter ici ne nous permet pas de comparer l e
coût des différentes . Cependant, le nombre d'opérations requises en général par cette
méthode est une loi exponentielle de la forme aN (N nombre de variables du problème) .
- les méthodes de simulation directe sont exactes, mais leur coût est aussi très élevé, ce qu i
rend leur utilisation très limitée. Cependant l 'effort et le temps de calcul peuvent être con -
sidérablement réduits et une précision suffisante est obtenue en utilisant la méthode de
"importance sampling" . Elle est surtout utilisée pour l'estimation de faibles probabilité s
(événements rares) ,
les méthodes approximatives (FOSM, SORM) sont adaptées pour les problèmes mêm e
fortement non linéaires, mais elles perdent leur importance dès que le nombre de variable s
du problème dépasse 4 . Ceci, du fait de la précision du résultat qui devient médiocre .
Le nombre d'opérations requis par ces trois dernières méthodes est une puissance de N .
43
ARIAIL'YSIE IID'YMA pl1IIICQUIE
44
Dans CAS'l'EM 2000, le logiciel de calcul mécanique des structures développé a u
DEMT, le modèle de frottement implanté est le modèle de Coulomb . La phase d'adhérence y es t
détectée par le changement de signe de la vitesse relative tangentielle . La force tangentielle à
l'interface pendant cette dernière phase est donnée par le produit d'une raideur (dite tangentiell e
de contact) par le déplacement relatif tangentiel des deux corps en contact (le déplacement es t
très petit) . Cette raideur tangentielle peut être interprétée comme représentant l'effet d'élasticit é
locale de la structure . D'autre part, elle est indispensable pour la convergence de l'algorithm e
numérique utilisé (cf. pargraphes suivants) . La difficulté d'annuler numériquement la vitesse
tangentielle en phase d'adhérence (une série d'oscillations numériques y subsiste), fait que c e
modèle de force tangentielle doit être complété par un amortissement .
Q
46
IL1 Introduction
Les effets dynamiques soulèvent de réelles difficultés quand ils font intervenir des
phénomènes contacts. La complication est d'autant plus significative que le contact se fait ave c
frottement. Les différents mécanismes mis en jeu lors du contact avec frottement de deux corp s
glissant l'un sur l'autre constituent le thème de nombreux travaux de recherche . Le modèle de
frottement le plus utilisé par l'ingénieur, en raison de sa simplicité, est le modèle de Coulomb .
Malheureusement, un tel modèle, ne tient pas compte de la physique réelle du contact . Pour
expliquer à peu près correctement la physique du frottement, Oden et Martins proposent d e
classer les effets liés au frottement en trois grandes catégories : [ref. 22]
- frottement sec quasi statique
- glissement dynamique avec frottement
- usure
Le premier type s'observe lors du contact de surfaces plus ou moins lisses, pressée s
l'une contre l'autre et en équilibre statique ou dont le déplacement relatif tangentiel est très faibl e
(c'est le cas de l'adhérence) . L'effort normal est généralement assez important pour provoque r
des déformations plastiques, mais sans grande interpénétration des surfaces en contact . Dans ce
cas, ce sont surtout les déformations plastiques des aspérités et la formation d'espèces de jonc -
dons élasto-plastiques qui caractérisent l'effet du frottement .
Le cas du glissement avec frottement, se rencontre dans beaucoup de cas réels. Un tel
cas implique un certain nombre d'effets, tels que l'amortissement et des mouvements du genr e
"stick-slip" . Notons que dans de pareils cas, la structure de l'interface est stable c'est-à-dir e
qu'il y a absence de déformations plastiques, et dans une moindre mesure, la force de frotte -
ment apparaît comme "dépendante" de la vitesse relative tangentielle des corps en contact .
Le 3ème cas est le cas où la structure de l'interface est endommagée et les déformations
plastiques y sont importantes et l'on assiste à des phénomènes d'usure . Ces phénomène s
d'usure, bien qu'ils soient présents dans les deux premiers cas, sont supposés négligeables .
Les figures II-O. (a) et (b) ci-après, montrent les modèles utilisés pour étudier l e
frottement. Les figures ILO (c) et (d) montrent l'allure du déplacement pour les mouvement s
"stick-slip" . On sait que la condition essentielle (Blok 1940) pour l'apparition de tels
mouvements oscillatoires est la "diminution" de la force de frottement avec la vitesse de
glissement .
46
= Coefficient de frottemen t
K = rigidit é
N = effort normal = M. g
C = Amortissement linéaire
Û
C
(a)c '//////////////,
U
11= Vitess e
(a) = du support
(b) = de la bas e
(c)
U TStic k
T
Slip
Stic k
Slip
Sli p
U
1
Stic k
UT
(d)
FIGURE II-0(a) support mobile(b) base mobile
(c) mouvement du système (a)(d) mouvement du système (b)
44-
II.2 Modélisation de l ' impact :
Dans les problèmes d'impact, la manière la plus simple d'exprimer le contact entre
deux corps A et B est de dire que leur déplacement relatif est nul . Soit :
xA - XB = 0
Si l'on désigne par e le jeu toléré, la condition de contact s'écrit donc :
IxA -xBI> e
Cependant : - d'une part, compte tenu de la modélisationdes structures considérées ,
cette relation n'est pas exacte pour les degrés de liberté utilisé pratiquement dans les calculs (e n
particuliers quand on utilise une base modale tronquée) .
- d'autre part, certains algorithmes numériques (de type explicite) ne son t
pas stables si certaines préventions ne sont pas prises .
Pour ces raisons, on introduit une raideur équivalente dite de " choc " simulant le s
effets locaux non contenus dans la modélisation globale des structures et permettant l a
convergence des algorithmes .
Dès que le déplacement relatif dépasse le jeu, il se produit une force de contact, don t
l'action est dans la direction normale aux surfaces de contact, qui n'est rien d'autre que la forc e
de rappel du ressort de choc, et dont l'expression est donnée par :
Fc(s, t) = ° 1(c (~xA - xBI - e) n si IxA xgl e
0
si
non
Kc est la raideur du ressort de choc, dont une bonne approximation s'obtient par u n
calcul statique de la déflexion engendrée par une force unité appliquée au point de choc et en
prenant en compte la souplesse due aux modes négligés dans la base modale . Il vient donc de
ces considérations :
[ref2let 27] 1
1
Kchoc
Kstat
N $n(S)_ 2
n =1 mnwn
4R
Avec .
= délexion engendrée par une force unité appliquée au point de choc .KstatOn(s) = déformée modale du mode de rang n au point de choc
mn = masse généralisée du mode de rang n
con = pulsation propre du mode de rang n
1
49
Ça1ci1desfarcespiechocsplansdins CASTEM 240Q,
B
Surface commune aux deux solides
Surface communeaux deux solides
L'enfoncement du ressort de choc est donné par
x = S/AB
et la force de choc se déduit par
F = K .xc
S = surface commune aux deux solidesAB = corde reliant les points d'intersection A et BKc = raideur de chocx = enfoncement
Avec :
50
II.3 Modélisation du frottement :
L'une des causes importantes conduisant à des dissipations d'énergie est le frottement .
Pour pouvoir évaluer cette énergie dissipée par frottement, on introduit "un coefficient de frot -
tement", qui selon Coulomb, est le rapport de la force tangentielle à la force normale, compo-
santes de la force résultant uniquement de l'interaction des deux corps glissant l'un sur l'autre .
La force de frottement ne dérive donc pas d'un potentiel .
Le modèle de frottement de Coulomb s'écrit :
F L = µ f 1Fr4 . I
si glissement (v � 0)
F< µa.(FNI
si adhérence (v = 0)
coefficient de frottement (dynamique)
coefficient d'adhérence (statique)
vitesse relative tangentielle
force normale de contac t
Les hypothèses du modèle sont :
- le coefficient de frottement dynamique est indépendant de la vitesse relative tangentiell e
- la force tangentielle d l'interface est indépendante de l'aire de la surface de contac t
- le coefficient de frottement statique (d 'adhérence) est supérieur au coefficient dynamique
Ce modèle de frottement est le plus simple d'utilisation, c'est pourquoi il est prisé pa r
les ingénieurs . Néanmoins, il n'est pas simple à traiter numériquement . En effet, s'il est aisé
de prendre en compte la premiere condition car on peut connaître la vitesse tangentielle et effor t
normal lors de chaque recombinaison modale, il n'est pas de même pour la seconde. Celle-ci ,
ne donne qu'une valeur maximale de l'effort tangentiel en phase d'adhérence . La nécessité de
connaître à chaque instant du calcul, l'effort normal transmis à l'interface, fait que ce modèl e
doit être complété par une loi de comportement qui supprime la discontinuité de la forc e
tangentielle en phase d'adhérence .
avec :
51
KRAGELSKY et DOBICHIN choisissent d'introduire le concept de raideu r
d'adhérence. C'est à dire qu'en phase d'adhérence la force tangentielle à l'interface est donnée
par la réponse d'un système ressort (à raideur non linéaire) - amortisseur : [ref.25]
Ft = Kt.ut + c.ut - Ct .ut
où
ut =
déplacement relatif tangentie l
u t =
vitesse relative tangentielle
Kt =
coefficient de raideur
e =
coefficient de non linéarité
Ct =
coefficient de dissipation visqueuse
Sans doute pour raison de simplicité, le modèle implanté dans CAS'l'EM 2000 est
linéaire : [ ref. II.3]
Ft - Kt.utt.fi t
Des études effectuées au laboratoire de vibrations du DEMT, notamment l'étude d 'un
frotteur et d'une bille impactant sur un plan, ont montré qu'un choix des paramètres Kt et Ct de
telle sorte à obtenir un amortissement critique en phase d'adhérence, peut être : [ref 24]
Cc = 211M(K + Kt) -VKM
avec :
M = masse frottante
K =
coefficient de raideur
Kt =
raideur tangentiell e
0 =
amortissement
5 < Kt <1 0Kc
Remarquons que ce choix de paramètres est issu de l'étude d'un oscillateur amort i
frottant sur un plan . Il doit par conséquent être utilisé avec prudence. La figure II .3, donne le s
résultats obtenus avec un tel modèle au laboratoire de vibrations du D.E.M.T .
et
52
CHAPITRE 1 H
MODIELISATION - SIMULATION
53
III.1 Modélisation :
Le système réel tel qu'il est décrit en introduction (planche 1), es t
très complèxe. Pour le simplifier, nous avons choisi le schéma d'une poutre chutan t
verticalement et guidée dans sa chute par deux butées ( voir figure III-0) . L'ensemble est
soumis à son poids propre et à une vitesse de rotation autour de son centre de gravité : la
vitesse initiale de rotation repésente un effet perturbateur, elle peut être induite par u n
choc initial,une vibration du sytème de fixation ou encore par les efforts extérieur s
amenant l'électro - aimant à déclencher le mouvement de chute ( séisme par exemple) .
III.2 Description du problème étudié :
Dans sa course, la barre effectue deux mouvements : l'un vertical de
translation, l'autre transversal de rotation . En consommant le jeu, elle heurte le guidage ,
rebondit et tourne dans le sens inverse . Lors de chaque choc, une force de frottement
freine le mouvement de chute .Dans cette partie, on cherche à comprendre l'influence de s
divers paramètres géométriques et physiques et évaluer leur incidence sur le temps d e
chute. La finalité de cette étude, est de servir de support à une étude probabiliste du
problème, après avoir élucidé la sensibilité de certaines grandeurs tels que le déplacement ,
l'accélération ou le temps de chute aux conditions initiales et aux paramètres physiques d u
problème .
Zo
z °0
r
FIGURE III-0
Système étudié
54
(
III.2.1 Données géométriques :
Longueur : 4 m
Diamètre de la section = 3 cm
Jeu : 2 mm
longueur des guidages = 2*1 = 20 cm
ZO =1 .6 m
Z5= 2.4 m
III.2.2 Données mécaniques :
Module d'Young = 2.1E+1 1
Coefficient de poisson = 0.3
III.3 Equations du problème :
L'abscisse Z d 'un point de la poutre à l'instant t, s'écrit :
Z(t) =Z (t)+ zp
Où Z (t) désigne l'abscisse de l 'extrêmité supérieure de la poutre dans le repère fixe et zP
l'abscisse d 'un point de la poutre dans le repère attaché à la poutre .
La condition d'impact en un point de la barre d'abscisse Z .(t )
candidat au choc, s'écrit dans le repère fixe (OX, OY, OZ) :
Fc(Z.(t),Y.(t),t) = Kc (I Y(Z,(t),t)1- S) H(I Y(Z . (t),t) I - S ) [ H(1- I Z , (t) - 70 I) + H(1- I Z.(t) Zô I ) i1
1
1
1
1
1
1)
où H( x ) est la fonction d'Heaviside définie comme suit :
j 1 si x> 0~~X~ — 1 0
si no n
b est le jeu latéral permis
55
Y(z. (t),t) = déplacement latéral instantané du point d'abscisse z de la poutre .
Kc = Raideur de choc
La force de frottement en phase de glissement est donnée par
Fz(t) = µ 1 Fc(Z(t),Y(t),t) 1 sgn ( Z )
avec sgn ( Z ) = +1 (car le mouvement s'effectue toujours dans le sens de chute )
Les noeuds de choc ne peuvent à priori être connus à l'avance .
Pour les déterminer on doit donc opérer de la manière suivante :
On se donne à l'avance un certain nombre de points régulièrement espacés qu'on di t
"candidats au choc" . On le fait varier jusqu'à ce que les grandeurs de sortie ne varien t
que très peu. Nous avons retenu pour la suite de l'étude un nombre de 68 noeuds
"candidats" au choc . La poutre a été maillée à l'aide d'éléments "segments à deu x
noeuds" et en comporte 80 .
Les équations du problème s 'écrivent :
1 0/ Mouvement horizontal selon O y
MY + K Y
avec la condition de vitesse initiale :
2 zY(z,t=O) = 00 (1 - L )
Où : M et K sont respectivement les matrices de masse et de rigidité de la poutre .
La somme s'effectue sur tous les points de la poutre choquant simultanément .
0o : vitesse initiale de rotation
Fc(Z i (t),Yi(t),t)
(Z)
56
2 °l Mouvement Vertical selon o Z
d2 Zm 2 +
dt~ FcCZ i(t),Y i (t),t) I sgn ( Z ) = mg (3 )
i
m : masse de la poutre
µ : coefficient de frottemen t
g : accélération de la pesanteur
Le deuxième terme du premier membre de l'équation (3), correspond à la force totale d e
frottement qui s'exerce sur la poutre à l'instant t . Elle est donnée par l'expression (1) . La
somme s 'effectue sur les points de la poutre choquant simultanément.
La résolution des équations (1), (2) et (3) s'effectue suivant le s
étapes ci-après :
- recherche d 'une base de modes propres de la structure libre .
- projection des équations (2) sur la base de modes propre s
calcul pas à pas à l'aide d 'un schéma temporel explicite (il s'agit de l'algorithme de
Devogelaere que nous décrirons ultérieurement) des contributions de chaque mode.
- recombinaison modale sur les points jugés intéressants .
a/ modes propres du système :
Les modes propres du système pris en compte sont de deux catégories :
- les modes de corps solide
- les modes de flexion
Pour décrire dans le plan, les mouvements d'ensemble de notr e
système, nous avons pris en compte 3 modes rigides :
- mode de translation verticale ( selon l'axe OZ)
mode de translation horizontale (selon l'axe OY)
57
- mode de rotation par rapport à l'axe OX
Les mouvements de flexion sont décrits en utilisant les modes de
flexion d'une poutre libre - libre . La figure I-0, montre les modes pris en compte dans
les calculs .
La raideur de choc utilisée dans ce qui suit est : 1 .E+7 N/m
III.4 Intégration numérique :
Les systèmes d'équations différentielles (2) et (3) sont munis de
termes représentant des forces d'impacts, qui les rendent fortement non-linéaires . Leur
résolution s'effectuera pas à pas dans le temps . En effet, chaque degré de liberté de
liberté à l'état Em+1 peut être connu d 'après l ' état Em en utilisant des relations du
genre :
0
00am+1 = aam+ barn +cam
et
0
0
00
am+1= dam + eam
dans le cas d'un algorithme explicite .
58
Les algorithmes explicites calculent directement, sans fair e
d'inversion , l'état Etn+1 en utilisant les valeurs de l 'état Ftn. Ceci, leur donne
l'avantage d'être nettement moins coûteux que les algorithmes implicites, car le nombre
d'itérations y est réduit . L'inconvénient majeur, réside dans le fait qu'il ne sont pas
inconditionnellement stables : c'est à dire que la convergence des calculs est soumise à
une valeur critique du pas de temps que l'on ne doit pas dépasser . Ce qui n'est vrai qu'en
partie dans notre cas, car dans le cas de problèmes à chocs fortement non linéaires ,
l'excitation ( force de choc) a un caractère impulsif, d'où la nécessité de prendre un pa s
de temps plus petit que le pas critique de stabilité pour pouvoir la représenter
correctement.
Dans castem 2000, le logiciel de calcul mécanique des structure s
du DMT, l'algorithme utilisé pour traiter les problèmes d'impacts est l ' algorithme de
DEVOGELAERE-FU . La philosophie du schéma est la suivante : [ ref 26]
Les équations du système (2) sont ramenées sous la forme ;
. .
.ai + A . a i
=G . (t i ai ) ,(i,j = 1, 2, n )L
A
avec les conditions initiales :
ai
(o) = aio ai (0) ° ai0
Ceci étant, on utilise alors les relations ci - après pour prédire l'état
Em+1 sachant l'état Em. C'est à dire que connaissant les solutions à l'instant t m =
mh, on peut aisément les calculer à l'instant tm+1 ° (m+l)h en utilisant les résultats à
l'instant intermédiaire t m + 1 = (h :2
2
h
h2
.
.
ai,m+= Œi,m + cc-
1.
+ 24[4G i,m- G i9m 1 - Ai(4a i m -aim _ L) ]
2
2
2
59
4
~
ha'
1 =
[ i,m( G i m + G.
1 - Ai a . ) ]1,m+24 + A i h
1'm + 2
1,m
h2
.
.
a im+l - a,m + hai,m + 6 [ G i,m + 2 G iem+l - A . (ai,m + 2 ai,m+1)]'
2
2
6 ~
hai m+ 1 - [a .
+-[G .
i m+ 1 + 4 G . 1 + G,
6+A . h
6
1,m+ 2
l,m1
Où :.
.
.
a1,m = a i (mh)
a1,m(mh) = ai (mh)
Gi m = (mhajm)9
L'initialisation à l'instant t = 0, utilise les valeurs de
ai
1
et2
.
ai
que l'on calcule d'après les relations suivantes :'
2
a
1
_h
h2
a10
_a 10 +
[ G .2
S - Al ai1,
0,02
a a
G
1
+
G 10 )A
h ){O. +
.2 4-A i h 2
L'algorithme présente une erreur de troncature en o(h 5) par rapport
au développement de Taylor de la solution . Il paraît assez-bien adapté pour le traitemen t
de systèmes à grand nombre de degrés de libertés .
Stabilité de l'algorithme :
Le pas de temps critique de stabilité est donné par la relation
suivante :
t critiqueAmax
.
.
-Ai ( 4 a .
1 +a . )]]1,m+2
l,m
6 0
Où fmax est la fréquence maximale prise en compte dans les calculs .
Une précision satisfaisante est obtenue avec un pas de temps d e
l'ordre du dixième du temps critique .
[ref 27]tcritique
1 0h
61
III.5 Résultats numérique s
Initialement, la barre est lancée avec une vitesse de rotation autour
de son centre de gravité . Cette condition de vitesse initiale peut être induite par un cho c
initial contre les guidages, une vibration du système de fixation ou encore par les efforts
extérieurs amenant l'électro-aimant à déclencher le mouvement de chute . La
méconnaissance de la valeur exacte de cette vitesse initiale, nous conduit à la faire varie r
entre [ 0. - 1 . rd/s ] . Les bornes de l'intervalle sont choisies de telle sorte qu e
l'enfoncement du ressort de choc soit inférieur au jeu (2.E-3 m). Une fois le jeu latéral
consommé, la barre vient heurter les guidages, s'enfonce00 dans l'obstacle, oscill e
légèrement pendant un temps 't et s'en éloigne en vibrant . Le temps 't correspond au
temps de contact entre la barre et la butée qui est de l'ordre de la demi période du dernie r
mode pris en compte dans la base modale . En quittant la butée, la structure se trouve
animée d'un mouvement latéral de corps rigide, d'un mouvement de vibration en flexion
et d'un mouvement de chute. La vitesse du mouvement latéral de corps rigide se trouv e
diminuée après le premier impact de presque de moitié (z: 46 % ) . Cette perte de quantit é
de mouvement sert à exciter les modes de flexion . Cette proportion est d'autant plu s
importante que la vitesse initiale est grande . La figure 111 .3 montre pour une valeur initiale
de 0,5 (rd/s) l'évolution de la vitesse généralisée du mode de rotation initialement excité .
On remarque que celle - ci varie de façon très irrégulière en fonction du temps .
III . 5.1 Influence de paramètres numériques :
- Etendue de la base modale :
En vue de caractériser l'influence de la troncature modale, nou s
avons choisi de faire varier la dimension de la base et de regarder la sensibilité des
résultats. le Calcul a été fait avec des bases de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, et 1 1 mode s
propres. Les figures (III .4 et III.5) rendent compte des résultats obtenus avec chacun e
d'elles. Pour obtenir une précision satisfaisante ( quelques %) sur le déplacement, une
base d'au moins 6 modes est nécessaire . On remarque par ailleurs sur la série de courbe s
III-4, que la valeur du déplacement se stabilise pour une base modale de dimension
supérieure ou égale à 7 . Les figures III-5, font état de la variations de l'accélération d e
chute, qui est directement reliée au forces d'impact . On y remarque que Lorsqu'on
augmente la dimension de la base, donc la valeur de la raideur de choc, les pic s
augmentent en amplitude mais diminuent en largeur ( le temps de contact diminue), ce qu i
fait que l'intégrale de la force de choc reste sensiblement constante (figure III-6) .
62
- Influence des conditions initiales :
Dans notre cas, les conditions initiales portent sur la valeur de l a
vitesse du mode rigide de rotation . Comme l'on devait s'y attendre, les condition s
initiales ont une large part dans l'histoire de tout le mouvement du système . Ainsi ,
comme le montre la figure III-8, pour de faibles valeurs de la vitesse initiale et pour u n
coefficient de frottement donné (frottement = 0,5 dans le cas de la figure III-8), l a
dépendance entre l'accélération moyenne et la vitesse initiale est quasiment linéaire et ave c
une pente négative . Cela voudrait dire que pour de faibles vitesses, seuls les mode s
basses fréquences contribuent à la réponse du système . Par contre, pour de fortes valeur s
de la vitesse initiale, la dépendance est non linéaire, ce qui veut dire que les force s
d'impact ne varient plus linéairement en fonction de la vitesse initiale . D'autre part la
figure III-7, montre la variation de l'accélération de chute pour différentes valeurs de l a
vitesse initiale . La remarque première que l'on peut faire est que les pics sont d'autan t
plus grands que la vitesse augmente et que le spectre est d'autant plus serré ( le temp s
entre deux chocs successifs diminue) .
Pour mieux caractériser l'influence des conditions initiales sur le s
grandeurs moyennées, définissons une grandeur Xe, que l'on peut considérer comme u n
amortissement visqueux équivalent au système à chocs . Il est calculé par le rapport de l a
puissancede frottement moyenne à l'énergie cinétique moyenne acquise par le systèm e
durant toute la durée de chute considérée ( 0 .4 seconde dans notre cas) . Il s'obtient en
linéarisant l'équation de chute . En effet , de l 'équation (3) précédente, il vient :
d2Z(t)
µ
dZ(t )
dt2
+
m
I F ( Z l (t),Y 1(t ),t)I Sgn (dt ) =
g
( 4 )
i
En vue de simplifier l 'écriture, nous poserons : F(t) =
Fc
(Z i (t),Y . (0,0 1 .
En posant sgn(dtt) ) _ +1 , l'équation (4) précédente s'écri t
2d dt2 t) + m FN L (t)
g (5)
63
Si nous remplaçons dans l'équation (5) le terme non linéaire m FNL(t) par une force
linéaire de viscosité : dz(t) , l'erreur commise sera alors :dt
E = m FNL(t)
dit)
Appelons E l'opérateur linéaire de la moyenne, il vient :
E(e2) - E( ( m FNL(t) )2 )+ ( ?Ç dtt) )2 - 2 FNL(t) . d(t t) )
= E((11- m FNL
(t) )2) + E(( ~ dZ(dt t) )2) - 2 E(4- FNL( t) . ~. dt )
Le minimum de cette expression est obtenu pour X, vérifiant - E(E2) = 0
soit 2k.E((dZ(t))2) = 2 E lm F~( t)• d
tt) )
d'où
Elm FNL~ t~ 'dZ(t)
>
µ E(FNL(t) (d dtt> ) )
E( (dZ(t))2 )
m
~E(( (t) )2)dt
dt
Tsi l'on suppose que E(x(t)) = T j
0x(t)dt , il vient en définirive
Au numérateur, on reconnaît l'expression de la puissance d'usur e
moyenne et au dénominateur l'énergie cinétique moyenne pour toute la durée de chut e
considérée . Si l'on essaie de représenter cette quantité en fonction de la valeur de l a
vitesse initiale, on constate comme l'illustre la figure III-9, une évolution linéaire pour le s
faibles vitesses initiales, cela veut dire physiquement que l'amortissement induit par le s
T
T JFNL(t) 'a dtt) d t
oT
T ,I('dZ(t)
)2dt
d t1O
m
64
impacts est directement proportionnel à la valeur de la vitesse initiale . Cette
proportionnalité se perd pour des grandes valeurs de la vitesse initiale car les modes d e
fréquences élevée contribuent grandement à la réponse du système .
III . 5.2 Influence du frottement :
Outre l'influence évidente du frottement sur le mouvement de
chute, il convient de voir son influence sur les vibrations de flexion du système. Lors de
chaque choc, les éléments de réduction du torseur s'appliquant à la structure sont :
La force de choc donnée par : Fc(t) = Kc . B(t)
La force tangentielle à l'interface donnée par :
a) - en phase de glissement : Ft = µ.l Fc(t)I sgn(Z(t) )
b) m en phase d' adhérence : Ft = K T . UT
CT uT
Le moment de flexion donné par : Mx = µ I Fc(t) LR OX
EFFORTS S ' EXERCANT SUR LA STRUCTURE LORS DU CHOC
Avec les notations suivantes :
65
F c(t) = Force de choc
A(t) = Enfoncement du ressort de choc
KT = Raideur tangentielle d' adhérence
C T = Coefficient d'amortissement du modèle numérique d'adhérence
µ
= Coefficient de frottement
UT et ur respectivement micro-déplacement et micro-vitesse en phase d'adhérence .
On voit bien qu'outre les forces d'impact qui servent d'excitation
au système, les forces de frottement produisent un moment de flexion supplémentaire
M ci-dessus défini et dont l'intensité est directement proportionnelle à celle des force s
d' impact . Cependant, son influence se trouve très légère, elle est même quasimen t
imperceptible pour les faibles coefficients de frottement : il peut par conséquent êtr e
négligé . La figure ll[-10 ( a et b) donne l'évolution de la force d'impact avec le coefficien t
de frottement. Enfin, la figure III-11 montre l'allure du déplacement et de l'accélération ,
de chute en phase d'adhérence . On voit que l'accélération oscille autour d'une valeu r
nulle et le déplacement est constant .
III. 5 Conclusions :
Le but de cette analyse, est d'étudier l'influence de tous les
paramètres sur le déplacement de chute du système étudié . Ceci, nous a permi de dégage r
un ensemble de paramètres influents que nous considérerons par la suite comm e
"aléatoires" dans l ' optique d 'une étude probabiliste du problème qui fera l'objet de s
prochains chapitres .
Il ressort de cette analyse que les conditions initiales influen t
beaucoup sur l'histoire du mouvement de chute . Le frottement ne modifie que très peu le
mouvement de flexion de la barre, seule son action sur le mouvement de chute peut pa r
conséquent être prise en compte.
66
AMPLITUDE
1 . 00 .00E+00
MODE NUMÉRO
FRE ?+CE
7 °F -FE3 HZ
CASTEM;' 00
MODE NUMERO
3
FREC NŒ
I . 07I
-ûi HZ
MODE N°f FRE et4CE .40
FIGURE III- 1
Modes propres utilisés
(a) modes de corps solide
1 e
O .00E+00
CASTEM2000
AmPLCTUD E
1 . 00 .00E+00
At !TUBE
o . Ov€'ûO1 . 0
CASTEM2000
t1Q1E NU1ERo
4
FPEQ.I:NCE
a, bb1
CASTEM20Û0
MCDE MICRO
b FRECLE 4i 4b. 791
Figure III-1 (b)modes de flexion
MIME N7 7 FRE pÆ?OE 77. 34
1
. 15 . 500
HZ
Figure III-1 (c )modes de flexion
n E _P zFi)
F 61E 1*1 {169 .274
6‘3
o .s00 0
0.4000
oa00 0
o.i000
0 .1000
o.0000
-0 .2000
VfIE 1J2ALfA
L I 1
-0.3000 I I I I I I IITDIP
S I0 .000
0 .040
0.080
0.120
0.160
0.200
0.240
0.280
0J20
0 .360
o . qd QWIN• -21864E-01
MW. 5.0000E-01
0.44hY/r 11AN w w
Figure III .3
Evolution de la vitesse généralisée du mode initialement excité
Vitesse initiale = 0.5 rd/s
a . 809
x E- 3
7 . See
DER. 13ZAi.!A
TE 1PS
b . ses
4.989
3. 98@
2. ses
199e 8
9 .ae8 3a .abe
aa.t
a .aaa
a.3#'Z
a.9 b
.r329
a.
a .azé
a .a3Z
a .a~
ô .34AMIJ e . eeeectee
MAX= 7 .74b8E-e3
b. eee
x E-3
5 .8e9
4 .80 3
3 .98 9
2 .989
1 .99ee
DEPT 13 ZMJ A
e . s e
9 .9_
.8_
9 . 9-
MI1~F
9 .8698Et99S .81Z
8 .8îb
8 .9Z9
9 .8z 4M AX= 5 .9155E-93
8 .9TEMPS
ll8 .83Z
8.83b
9 .648
ACŒLER-IT I a4 CASTEM200 0
( b )
FIGURE III .4 : Valeur du déplacement Vertical
(a) : 3 modes rigides et un mode de flexio n(b) : 3 modes rigides et 3 modes de flexion
4. 888 DEP1, 13ZA11 A
FIGURE 111.4 : Valeur du déplacement Vertica l
(c) : 3 modes rigides et 4 modes de flexion(d) : 3 modes rigides et 5 modes de flexio n
4 . 499
x E° 3
40 899
3. bee
3.2E8
20888
2 .488
2 .99 8
S . bel
8.8
DEAL 132ALPA
4 . 248
X E•3
3. 68 6
3 . gee
2.46 6
1 .2A A
9 .6999
.OA96
(e )
FIGURE III .4 Valeur du déplacement Vertica l
(e) 3 modes rigides et 6 modes de flexion
132AI-FA
;3
ACtE 1711Z
9 .8e8
a. 86€
7. ses
b. 8e8
5 .888
4 .888
3 .888
2.88 8
8 .®88A 88d
8.8t3'i
0.8~8
3 .8 Z
3 .tifb
8 .8
8 .0-1
t8.8-Z8
8 .9 Z
8 .83b
8 .898MIN= 8 . 9880E+%
MiAX= 9 .99TbEt88
18 . ses
18.888
a. ses
b. se s
4 .A88
2.888
ACa 1 na
TEMP Sa.8 Z4
a .8
8 .a
a . a
a . a4A
CASTEM2000
°2.8e 8
- . ses
-8 . Be e
-18.898
-129888 8E38
8.984
9.-
a.
a. e+
8. 8
rIlN= -1 .1 t 7aEt81
11AX=
9.99TbEt88
ACCELE TtO1
(b)
FIGURE III .5 : Valeur de l'accélération de chute
(a) : 3 modes rigides et un mode de flexion(b) : 3 modes rigides et 3 modejde flexion
12 . 888 ACCL 1711Z
4 . *a
8 .888 8
-4 . eee
-a . 888
8 .8%
8 .a134
8.8
8 .8Z
8.8 6
8 .8 8
MIF1= -1 .5989Et61
MAX= 1 .997bEt%
(c )
~a . ses
-14.888
-29 . 980
-ab . eee
4, see
-32. 11sv .a
-3 . a6T5Et9 1
FIGURE 111.5 : Valeur de l'accélération de chute
(c) : 3 modes rigides et 4 modes de flexion(d) : 3 modes rigides et 5 modes de flexion
ACCELE ATYa
CRSTEM200 0
(e)
FIGURE III .5 : Valeur de l'accélération de chute
(e) : 3 modes rigides et 6 modes de flexion
4-6
0: 4 000nr'tniY-Irl
RCIdea'de
~~h oc
FIGURE III-b
"Variation de l'intégrale de la ,force de choc (quantité de mouvement)
avec la raideur de choc "
;0.000
6 .000
2 .000
-2.000
-6 .000
-10 .000
N.0 1U1
-14 .000
-18.000
-22.00?
-26 .000
-30.0000 .000
0 .010
6.
0.160
9IN= -2.4850E+01
00u= 9 .9916E+00
TEM ,S
0200
. I
0.240 I
0 .280 1
0 .320 I
0_060 I
0 . 450
•00 =0.2rd/s
L
10 .000ACCE 1U 1
0 .0000
-10.000
-20.000
-30.000
-40.000
-50.000
•00 =0.3rd/s
-60.0000 .000
0.040YIN= -5.191641401
0 .080
0.12 0
0k 1= 9 .9916E+00
1
0.160
I
0.200
0.24 0 I
0.280
E8ps , I
0.320
0.360 0 . 4 0 0
-60 .000
20 .000
0.0000
•. 20.000
-40.000
-80 .000
-100.00•00 = 0.5 rd/ s
-120.000 .000
0040
0.080
0.120
WIN= -1.1212E+02
uul= 1,206E+0I
0 .160 I
0.203 10 .340
0.280 1
0 .320
0.360 D . 4O C
ACEILRA20N
CAST EM 2000
o. 5
Figure III-7Variation de l'accélération en fonction de la vitesse initiale
Acceleration moyenne (m/s/s)
2
i
(
1
1
!
[
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
1 .0 0Vitesse initiale angulaire (rd/s)
FIGURE III-8Variation de l'accélération moyenne
en fonction de la vitesse initiale ; frottement = 0,5 39
(S -1)
4 .5 0
4 .00
3 .50-1 •
0.1235 - 2 .848 x + 48.73 x2 - 124.4 x3 + 115 .9 x4
3 .0 0
2 .5 0
2 .0 0
1 .5 0
1 .0 0
0 .5 0
0.00T t t
.100 .150 .200 .250 .300 .350 .400 .450 .500 .550 .60 0
v ;A-e,tae
- ( rd/S)
FIGURE III-9Variation de "l'amortissement visqueux équivalent"
en fonction de la vitesse initiale –
0 . 5
LIAI
Ilsr Y
600 OC c
PC
f
50C o
u
ÿÛ
u .ub uMAX=
6,5965E+02
"'lbTEMP S
1J tu
(j
iU I
000 0
oo) is
D r.)m,N .
0 .0000E+00
I f%
cASTEM200 C
FIGURE III-10Variation de la force de contac tavec le coefficient de frottement
-?A
600 .0 0
500 .0 0
400 .0 0
200 .0 0
100 .00
LIAI
116F Y
0 .000 00 .0 u
u .u,u
u .u0 oMIN=
0 .0000E+00
MAX=
5 :5812E+0 2
G181
FECIT
CASTEL!2 0 ;:2 C
FIGURE HI-10 (b)Variation de la force de contactavec le coefficient de frottement
8L
pE_P 1– gu7-ACLS~0.088
30 .0©0
20 .N
f
i
4 .00°
MIN = -5 .9371E+01 MAX =
3.5181E19 1
10 . 8
9 .0099
-1 G . 000
-28 . 808
-38 . O @
-410 . 0
-59 . 099
-i29 . 008
~ . ood
.000
D
FIGURE III-1 1Déplacement et accélération obtenus avec les paramètre s
Coefficient de frottement = 0, 5Coefficient d'adhérence = 0, 5
Raideur tangentielle d'adhérence =10*Raideur de cho cAmortisseur d'adhérence = 3 .E+4
eaeDurant la phase d'adhérence, l'accélération oscille autour d'une valeur nulle et le déplacement
tant .y
é~,blfo
E 3
EeLCEE:V O Mtel.lCkEVMV li
SI I ll drIa
t8
IV.1 ANALYSE D'UN CAS SIMPLE
On se propose dans ce chapitre d'analyser, par souci de simplicité ,
un cas consistant en une barre parfaitement rigide, glissant dans un fourreau et soumis e
initialement à une vitesse initiale 8 0. ( Figure IV-1 ci - dessus) .
(a)
(b )
FIGURE IV-
La structure étant absolument rigide, seules les extrémités peuven t
choquer contre les guidages, le centre de gravité G reste dans l'axe du fourreau du fait d e
la condition initiale qui porte uniquement sur la rotation . Dans ces conditions, l e
problème admet une solution analytique et le calcul de l'expression exacte de la fonctio n
de performance est alors possible .
IV.1.1 Calcul des forces d'impac t
L'énergie cinétique du système s'écrit :
.
.I j 2E c
2
28
=
2 J (2 L )
=
2J( )
1
2Compte tenu de J = m12 L,onarriveà :
: DY
Z
85
L'énergie potentielle d'un ressort s'écrit :
u
21
K c x 2
L'équation différentielle du mouvement s'obtient en écrivant les équations de Lagrange :
at
aL
aL 0
a~
a~
avec : L la fonctionnelle de Lagrange donnée par :
1
•L
Uc = -6- m x2
ZKc x
(4.3)
et q
désignent la ième coordonnée généraliser et sa dérivée temporell e
respectivement .
En désignant par x(t), l'enfoncement instantané du ressort de choc ,
l'équation différentielle régissant les oscillations du système " ressort de choc - poutre "
est alors :
(4.4)*0
=-MX + Kc X
avec les conditions initiales :
L00 2 avec t k = temps nécessaire pour parcourir le je u
Ec 6
'2m x
(4.1 )
(4.2)
q i
.
.L
00 2 )x ( t k
x (t k ) o
86
posons La solution est alors : x(t) = A sin (ait + cp )c
• Lavec A = 90
et
cp = - t k2w
o0
L'expression de la force de choc s'exerçant sur une extrémité de l a
barre est donc :
avec
è tk = (2k - 1~ . Jeu+ (k - 1) tchoc• L
8 e 20
de du kème choc .
La figure IV-2 nous montre l'allure des forces de frottemen t
s'exerçant sur la barre. Conformément à la formule précédente, on voit que c'est un e
somme d'impulsions de même amplitude et de durée t choc ' correspondant au temp s
de contact défini par la relation ci dessus . Elles se répètent avec une période P défini e
par
P = 2h + tchoc ; h est le temps entre deux
k
k
impulsions donné
= t _ t
_ t
_
Jeupar : h
2 .
(4.6)k
k k-1 choc
L
0. 2
L'équation de chute s'écrit alors, en explicitant les forces de contac t
d2z
dt2 + 2m
Fk(t) I = a
(4 .7 )
k
Si l'on considère une durée de chute T, l'accélération moyenne est donc
F k (t)
= Kc 8o L
sin( o (t- tk)) H(t - tk) H( t choc +2coo
tk
t~ (4 .5 )
n'Choc
Wo
k = indice
87
Si l'on considère une durée de chute T, l'accélération moyenne est donc :T
—
1Jdt
d2zy =T dt2
o
T(1'
Y K 5 Lc o
sin((')o (t tk )) H ( t - tk ) H ( t choc +
t )Ÿc2o)ok
o
dt
N
211 1g - m TY
Il o KcL
mw0T
fsin(wo(t t k ) )dt
+ tchoc
tkk = 1
En définitive on a :
2 o KcL
7 = g
mT
(4.8 )
Si de plus, on considère T comme un nombre entier de périodes, il vient :
Navec
T 4jeu +
o Lo
0)0
2J.iO oKcL
m( 4 jeu
2 - + -)cog
o
(4.9)
88
L'expression (4 .9), montre que l'accélération moyenne définie pa r
le formalisme précédent est indépendante du temps de chute considéré . Ceci indique, que
le processus des forces de frottement est stationnaire, comme on le voit d'ailleurs sur l a
courbe de la figure IV-2. La décélération est directement proportionnelle à la vitess e
initiale, inversement proportionnelle au jeu latéral permis et à la masse de la poutre .
On constate aussi que l'expression précédente tend vers une valeu r
fixe lorsque la raideur de choc Kc devient très grande. En effet :
N
211'0021
lim y
K c –~ g -3(
4 jeu)
e oL
g (4.10)
b jeu
Si l'on écrit l'expression de la décélération sous la forme :
d(x) _ax
avec a=2µKc L b=mc,2
4 L u
c=mnc,b
et si on fait varier x d'une quantité Ax, on constate que la décélération varie de la quantit é
définie par :
Ad(x) 1 Ax(_ (c+
c ) -dx)
1 + b x
Ainsi, il apparaît que l'expression de la décélération est très sensible à la variation de l a
vitesse initiale . Cette sensibilité diminue quand x augmente .
IV .1 .2 Définition de la fonction de performance :
Pour pouvoir définir la fonction de performance, on doit tou t
d'abord se fixer un objectif à atteindre, c'est à dire une valeur limite à ne pas dépasser .
Dans notre cas l'objectif est que l'accélération moyenne soit supérieure à 90 % de l a
valeur de la pesanteur . Il vient :
89
2p. é oxc L
7 =g- m(4 jeu + iz)w
Ô
•6 o L
coo
2µ B oKCL
m( 4 jeu+ n )w2o
Ao L
0)o
IVe1 .3 Calcul de la fiabilité :
Nous rappelons que la fiabilité est d'une façon simple, l a
probabilité pour qu'un critère ne soit pas violé . Dans notre cas, elle est la probabilité
pour que F ci - dessus définie, soit positive . On a :
P
f x(x)dx avec f est la densité de probabilité jointe de tous les paramètre s
(F~O }
influents ( vitesse initiale, jeu ) .
Cas où seule la vitesse initiale 00 est aléatoire
Dans ce cas , l'intégrale précédente est simple à calculer. La variable 9 0
est supposée suivre une loi uniforme dans l'intervalle [0 . 1 .rd/s] de moyenne µ et
d'écart - type a , donnés par :
>_ 0 .9 g
soit : F (4.11)
90
FIGURE IV-3,
( a ) - Densité de probabilit é
( b ) - Fonction de répartition
1 X
(b)
14
1= fl .dx =
(rd/s)o
1
G [ fx2dx - 2 =µ ]
30
= 0,288 rd/s-\1 1 2
Application numérique :
g 10. m/s2
m
= 5.514 Kg
K
=C 1 .E+4 - 1 .E+8 N /m
L
= 1 . m
Jeu
= 2 .E-3 m
La courbe de la figure IV-4, montre l'évolution de la fiabilité e n
fonction du frottement, pour différentes valeurs de la raideur de choc . On remarque que :
9 1
• La fiabilité décroît avec le coefficient de frottement . Cette décroissance est rapide a u
début (pour des coefficients de frottement < 0 .5) et très lente à la fin pour deveni r
asymptotique au voisinage de O .
• La seconde remarque est qu'au delà d'une certaine valeur de la raideur de cho c
(l .E+6), l'influence de cette dernière devient nettement moindre pour ne pas dir e
nulle .Ceci est en accord avec le résultat précédent, qui montre que l'expression de l a
fonction de performance tend vers une limite finie quand la raideur de choc devient
grande .
• En prenant une loi normale N(0.5,0.167) pour la vitesse initiale, la probabilité
d'atteindre l'objectif fixé est nettement plus faible que dans le cas d'une loi uniforme .
Cependant, les tendances d'évolution restent les mêmes .
Sensibilité paramétrique :
L'expression de la fonction de performance F (équation (4 .11) ) es t
fonction de beaucoup de paramètres dont le jeu . Pour déterminer les conséquence sur l a
fiabilité d 'une variation de ce paramètre (le jeu), on peut exprimer le facteur dit d e
sensibilité et défini par :
où P est la fiabilité et le paramètre par rapport à qui on veut étudier la sensibilité du
résultat .
Compte tenu de P = (N(3), on a
âP = 0cR> âR et avec les notations du paragraphe I.4.4.2, on arrive à :
1 @g(u)_ = (1)0 ) Ivg(u*)I[ ref. 1 9
p Avec
P : Probabilité
cl) : Fonction de répartition de la loi normale centrée réduit e
: Densité de probabilité de la loi normale centrée réduite
92
u * : Point de rupture le plus probable ( ou le plus vraisemblable) ; dans la
littérature anglo-saxonne, on le désigne par "Design-point" .
g(.) : Fonction de performance (cf. I .4 .4 .2) ( Dans notre cas : y >_ 0.9 g)
J3 : plus petite distance de l'origine des coordonnées à la surface de rupture
(g(x) = 0 .)
Ce résultat est d'ailleurs intéressant lorsqu'on veut alléger le s
calculs, donc réduire le nombres de paramètres aléatoires .On peut obtenir des résultat s
avec une précision suffisante en remplaçant le paramètre fournissant un faible coefficien t
de sensibilité par sa valeur moyenne . La figure IV- 8 montre l'évolution de la sensibilit é
du résultat par rapport au jeu en fonction du coefficient de frottement . On constate qu'i l
diminue à mesure que le frottement augmente . La figure IV-9, donne pour une raideur d e
choc de 1 .E+6 N/m une comparaison entre les résultats obtenus en utilisant la méthode
directe de simulation de Monté-Carlo et ceux obtenus en utilisant la méthode
approximative d'ordre 1 (FOSM) .
- Cas où le Jeu et 8o sont aléatoires :
Dans ce cas, on considère que les paramètres influents d u
problème, susceptibles d'être empreints d'incertitude, sont la vitesse initiale de rotation e t
le jeu latéral permis . Ces deux variables sont définies comme étant continues et peuven t
prendre des valeurs appartenant aux intervalles [ O . - 1 .rd/s ] et [ 1 .5 mm - 2.5 mm ]
respectivement . Dans le but de simplifier les calculs, on a supposé que les deux variable s
sont normales et indépendantes dont les paramètres se déduisent des considérations ci -
après :
On pose :
Y = Jeu
il vient :0 . +
x = 2 = 2 (rd/s )
6 x est calculé de telle sorte que x appartienne à l'intervalle [ p. - k c ; µ + k 6]
12
1avec k un entier généralement pris égal à 3 . Ainsi, on a : 6 x = 3 = b (rd/s)
93
1 .5De même pour la variable Y : y =
+ 2 . 52
= 2. mm
2 .- 1 .5
16y = 3 = mm
Ka borasup .
Le calcul de la fiabilité dans ce cas est laborieux par intégratio n
directe, c'est pourquoi on utilise la méthode du FOSM détaillée dans le chapitre II . Les
résultats obtenus sont représentés par la figure IV-6 . On remarque notamment qu'ils n e
sont pas très influencés par l'ajout d'un second paramètres et cette influence diminue e t
devient pratiquement négligeable pour des coefficients de frottement élevés . Ce résultat
confirme celui donné par la courbe IV-8 où l'on voit que la fiabilité n'est pas très sensible
à la valeur du jeu. Ceci est bien entendu dû au fait que le jeu est un paramètre bien connu ,
sa plage de variation est donc petite, ce qui n'a pas grande incidence sur les résultats .
94
IV .2 APPLICATION AU CAS REEL (barre flexible )
Dans le cas d'une barre flexible, le problème est plus complexe car
on ne peut trouver une forme analytique exacte de la fonction de performance . Le
problème est résolu numériquement (CHAPITRE III) et pour chaque valeur de la vitess e
initiale, on calcule la valeur de l'accélération moyenne . Compte tenu de la forme de l a
fonction de performance donnée par l'equation (8), la fonction de performance est alor s
générée par moindres carrés en calculant les coefficients A, B et C du modèle :
A . 0 0
B+ C
0 o
Ceci revient en fait à calculer les coefficients A et B et C du cas rigide équivalent au ca s
flexible . Les coefficients A, B et C du modèle peuvent donc être considérés comme pour
le cas rigide, dépendant de la raideur de choc, de la masse de la barre et du jeu, et d u
temps de contact respectivement .
En appliquant la même méthode que précédemment et en utilisan t
plusieurs objectifs de fiabilité, on obtient les résultats représentés par la courbe IV-10 O n
y a représenté l'évolution de la défiabilité en fonction du frottement pour divers objectif s
de la fiabilité . Il est assez difficile de juger de l'erreur introduite du fait de l'approximatio n
qui constitue l'adoption d'une loi valable dans l'hypothèse rigide . Le chapitre suivant ,
vise à améliorer le modèle en introduisant un aléa sur les forces de choc .
Conclusions :
L'étude de ce cas simple, nous a permis de calculer analytiquemen t
la fonction de performance et d'appliquer en suite les techniques approximatives d u
FOSM (chapitre I), pour estimer la fiabilité .Le calcul de la sensibilité paramétrique, nou s
a montré que la valeur du jeu a une faible incidence sur le résultat de fiabilité et il peut par
conséquent être remplacé dans l'expression de la fonction de performance par sa valeu r
moyenne .
Dans le cas d'une barre flexible, la fonction de performance es t
générée par moindres carrés . Pour cela, on a cherché les caractéristiques du cas rigid e
équivalent au cas flexible étudié .
95
LIAI 23F Z
-0 .200 0
-0 .400 0
-0 .000 0
-0 .900 0
-1 .000 0
-1 .200 10 .000
0 .020
0 .040MIN= -1 . 1519E+00
0 .060
0 .090
0 .100
0 .120
0 .140MAX .
0 .0000E+00
TEMPS
I
0 . 160
0 . 19 0
CASTEM2000
96FIGURE IV-2Evolution de la force de frottement totale s'exerçant sur la barre
Raideur de choc =1 .E+6 N/mVitesse initiale 0 .2 (rd/s)
Frottement = 001
11'46‘*
um#64.trw,
Probal(qz,c, . . i= 0.9g)
FIGURE IV- 4 (a )Evolution de la fiabilité en fonction du frottemen t
Vitesse angulaire initiale uniforme dans [0 .1 ]
0 .900.80 -10.7010.60-q0.500 .40-!0.30-40.200.1 00 .00
.10 .20
Raideur = 1 .E+ 4
4- Raideur = 7 .E+3
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
1 .00Frottement
97
ud*èès, tniAal. ‘‘÷,tn*
0.450
0.400%0.350
0.300-i \\a'ff,
sr0.250
••f.
0.200 ,
.,~~..
`•. .
tet''•+•.~
0.1500.100
0.05Q
0000,.
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
1 .00
frottement
FIGURE IV-4 (b )Evolution de la fiabilité en fonction du frottement
Vitesse angulaire initiale uniforme dans [0. 1]
98
,.tee.,
.N(0 .5,0.
,a+~wry~. awr •..wsw~d ...w••v+++~oe~a•+r~:aT:~.++~^'~'raw+w+rwwr,:++e~cv.+•-+~ ...rv+~w+rw -.Proj2Çj . moy.
0.4000 .380+0.360-:10.340-i0.320- '0.3000.2800 .2600.2400.2200.2000.1800.160 10.140
"0 .1200.1000.0800.0600.0400.0200.000-F
ttttlPtt
+• Raideur = 1 .E+5 1
.10 .20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
1 .00Frottement
FIGURE IV-5Evolution de la fiabilité en fonction du frottemen tVitesse angulaire initiale normale N(0.5 ; 0.167)
99
club» uerialdAo, :/*Ab 42.8—3,1 .1678— 4)
„tf66.. .N('0.5, 0 .167)
Probc%c. m°y' i_ 0.9g)
0.4004
0.350
t
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
1 .00Frottement
FIGURE IV- 6 (a )Evolution de la fiabilité en fonction du frottemen tVitesse angulaire initiale Normale N(0.5 ;0.167 )
Jeu aléatoire normal N(2 .E-3;O.167E-3 )
0.300
0.250
0.200
0.150
0.100
0.050
0.000
k4-Rcîdeur= 7 .E+8
I o Rcdeur = 1 .E+ 7
-►— Raideur = 1 .E+5
100
&mho& in,34.7no,if,
Prob(cg moY i = 0.99)b
~- Jeu = 5.e–3 m
.9-- Jeu = 2.e--3 m
.10 .30.20 .40
.50
.60
.70
.80
.90
1 .00Frottement
FIGURE IV- 7Influence de la valeur jeu sur la Fiabilité
10 1
FACTEUR DE SENSIBILIT E
O . 10 0
0 .09 7
C . (19 0
0 .0 2 5
0 .090
0 .0I7
0 .010
0 .065
0 .06 0
0 .()5 5
0 .05 0
0 .045
0 .040
0 .027
0 .020
0 .025
0 .02 0
0 .01 5
0 .010
0 .005
1
1
T
t
1
I
I
1
-e A _ RR rDEJR
0 .000 1 t I tFRO TEMEN T
I t I I
0 .1
0 .4
0 . 5
0 .0
0 .1
0 .S
0 .9
1 . 0
FIGURE IV-6 (O ) ; t-O T S NORMALES JEU ET VIT )
FIGURE IV- 8Evolution du facteur de sensibilité en fonction du frottement
102
F IABILITF—RCHOC
1 .E+ 6
0 . ~J ' J'`~ 0
0 .(`t )
0 .24 00 .23 70 .23 00 .2250 .22 00 .21 50 .21 00 .2050 .2000 . 19 50, 19 00 . 19 50 . 18 00 . 1"1 50 . 1'1 00 . 10 50 . 16 00 . 15 50 . 15 00 . 1450 . 1400 . 13 50 . 13 00 . 12 50 . 12 00 . 11 50 . 11 00 . 10 50 . 10 00 .0950 .0900 .0850 .0900 .0'1 50 .0'1 00 .0650 .0600 .0550 .0500 .0450 .0400.03 50 .03 00 .0250.02 00 .0150 .0100 .0050 .000
0 . 1 0 .I
o . g
. LOI!'; NORMALES JEU ET VI T
ç) .0 . 30 .2 0 . G0 .5 1 . 00 . 9
FIGURE IV- 9
Comparaison entre la méthode dircte de Monte Carlo et du FOSM
103
Acceleration moyenne (m/s/s )1C' l
8
6
4
Courbe issue Castem200 0
-a- Models :
=Z =.2(''-)ç2 .09 9. ..
1
.30
.40
.50
.60
.70
.8 0Vitesse initiale angulaire (rd/s )
Probablllte de defalilance enfonction du frottemen t
Barre flexibl ePbo b
Oabilit e
•NNN-
. NNNYn
NNïNNN =N.Y. NiNNN
nnnnn..NNNNNNNN,
. . .... . . . .... . . . ..... . . . . ... . . . . ... . . .. ...
Probabilite(acce moyenne 40.8*g)0 . 40
Probabilite(Acce moyenne 0 .9*g).nN.nn./.7
0 . 20-1 i i
--.---.i j t- t -
.00
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
1 .00Coefficient de frottemen t
FIGURE IV-10Evolution de la défiabilité en fonction du frottemen t
" Lafonction de performance est générée par moindres carrés"
2
0
• 0 .20 .90
0.80--
10 4
1 .00
CHAPITRE V
MODELE STOCHASTIQUE DES FORCES D'IMPACTS
105
MODELE STOCHASTIQUE DES FORCES D'IMPACT S
VI.1 INTRODUCTION :
L'étude du cas rigide simple exposée au chapitre IV, nous a permi s
de voir que la force de frottement s'exerçant sur la barre est composée d'une séri e
d'impulsions en forme d ' un demi sinus régulièrement espacés, de même durée et de
même amplitude. Pour une barre flexible l'histoire de ces forces d'impact est modifiée .
Nous allons tenter dans ce chapitre, d'analyser ce phénomène en vue d'améliorer l e
modèle du chapitre précédent , en ce qui concerne la représentation des forces d'impact .
Pour cela, on considère le problème d'une poutre flexible, d e
section circulaire chutant dans un fourreau cylindrique de longueur infinie . A l'instant t =
0, le système (poutre seule) est animé d'une vitesse de rotation autour de son centre d e
gravité. En consommant le jeu latéral permis, elle heurte les guidages et effectue ainsi un e
succession de rebonds . Les contacts s'effectuent avec frottement . La force de frottemen t
en phase de glissement est, selon le modèle de Coulomb, le produit du coefficient d e
frottement et de la force de choc et s'applique dans la direction contraire au mouvement de
chute. La barre se trouve ainsi freinée dans son mouvement de chute par une série "
d'impulsions " d'amplitudes et de dates d'occurrences irrégulières . La durée de s
différentes impulsions est par contre sensiblement la même et égale au temps de contac t
estimé par la relation déterministe: tchoc =
zt
m3K ; m désigne la masse de la poutr ec
et Kc
la raideur de choc .
Si l'on s'intéresse à la répartition dans l'espace et dans le temps d e
ces impulsions, on voit qu'elle se fait de façon très complexe qu'on peut considére r
aléatoire . Comme on l'a vu dans les chapitres précédents, toute analyse probabiliste e n
vue de la détermination de la probabilité d'atteindre un objectif donné, est soumise à l a
connaissance préalable d'une fonction dite de performance . Cette fonction de
performance est en fait un critère que l'on ne doit pas violer pour se situer dans l e
domaine de sécurité (resp de défaillance) . En l'absence d'une solution analytique du
problème, la fonction de performance ne peut être obtenue directement . D'où il apparai t
clairement que pour résoudre le problème, une modélisation des forces d'impact es t
nécessaire .
106
En vertu de ce qui est dit ci-dessus, la manière qui nous a par u
judicieuse dans la modélisation du problème est la représentation des forces d'impact s
par un processus aléatoire . Celle-ci est justifiée du fait que l'histoire de ces forces es t
irrégulière et les influences difficiles à caractériser .
V.2 Présentation du problème :
Pour simuler ces forces d'impacts, on part du concept de base
utilisé dans les problèmes d'impacts . Le contact est simulé par un système masse-ressor t
( et amortisseur) activé dès que le déplacement du point candidat au choc dépasse le je u
toléré. La force de contact est alors donnée par le produit de la raideur de choc par la
longueur de pénétration. Elle est en forme d'un demi sinus de période égale à 2n
T-Mc
D'où l'idée de modéliser les forces d'impacts par une série d'impulsions dont le s
amplitudes et les dates d'occurence sont aléatoires .
V.3 Formulation mathématique :
On écrit que ce processus est de la forme :
NF(t) _ lAksin(w(t - tk)).H(t - tk) .H(tk + tchoc - t)
(5 .1 )
k= 1
Avec
amplitude de chaque impulsion
date d'occurrence de chaque impulsion
Ak
tk
a)
=
tch0c
pulsation du système "masse - ressort de choc "
temps de contact (_ — )c )
H ( . )
=
fonction d'Heaviside telle que :
H(Y-Y)
lsiY>_ Yo
o0
si no n
N est le nombre d'impulsion pouvant se produire dans l'intervalle detemps [0 . ; t ] .
107
Si l'on désigne par h
le temps séparant deux impulsionsk
successives , 'on peut écrire :
h = t
-t -t
k = 1, 2, N-1
(5 .2)k
k+l k tchoc
ho = t =
ou 6o est la vitesse initiale et L la longueur de l a0
1 .0 0L
poutre .
N, hk
et co sont reliés par la relation suivante :
N-1
Tc1hk + N . wk=0
= T ( durée de chute considérée)
(5 .3)
La plupart des modèles de la littérature, utilisent pour l a
représentation de l'occurrence de ces impulsions, un processus de comptage poissonnier .
_'
!
I
I
!!
!
i
. . . . .. . . . ... ... .. .... . . . ...
Ak
hk
tk+1
FIGURE V- 1
Principe de simulation des forces d'impact s
V.4 Détermination des amplitudes et des dates d'occurence :
108
V.4 Détermination des amplitudes et des dates d'occurenc e
Pour déterminer les amplitudes Ak
et les dates d'arrivée tk
des
impulsions, nous avons procédé par une statistique sur ces deux grandeurs , en utilisan t
les résultats numériques issus de CASTEM2000 . Ceci, est effectué en moyennant
quelques hypothèses :
- Durant le premier choc, l'influence des vibrations est négligeable, ce qui rend
possible un calcul analytique du premier pic de l'accélération .
- Les intensités des pics sont indépendantes mais dépendent toutes de l'intensit é
du premier .
- Détermination des amplitudes Ak
:
Pour déterminer les Ak
, on procède de la façon suivante :
Ak
- On calcule le rapport A ( k = 2, N) pour chaque valeur de k .1
- La série statistique ainsi obtenue est arrangée par ordre croissant .A
- On utilise pour la fréquence cumulée correspondant a x =
l'estimateur défini park
F =
. Où : i correspond à l'ordre de x dans la série ordonnée et N le nombr ek N+1
p
k
total d'observations .
Les couples de valeurs (xk ; F) ainsi obtenus sont ensuite reportés sur un graphique àk
échelle linéaire . La courbe obtenue est approximée par la droite d'équation : Y
1.0903 X -1.6E-2 qui est en fait l'équation inverse de la fonction de répartition de l aloi suivie par les x
k( Figure V-3 a). On en conclut que les x
ksont uniformément répartis .
Test d'ajustement du Khi-deux :
Considérons un échantillon de K valeurs observées d'une variabl ealéatoire x . Le test d'ajustement du Khi-2, consiste en la comparaison des fréquences de s
valeurs observées pour chaque classe, avec celles obtenues à partir de la distributio najustée. Le test s'effectue sur la distribution de la quantité :
1
109
K
( n . - e .)2
e .i
e .1
i= 1
qui , lorsque l'échantillon est grand, est voisine de la distribution du Khi - 2 à f degré s
de liberté, dont la densité de probabilité est donnée par :
f
- x2xf(X) f1fX(2 0 e2
22 r(2)
Avec :n . : fréquence observée de la ième classe .
e .
: fréquence théorique de la ième class e
f
: est le nombre de degrés de liberté du khi - deux et tel que :
f = K - 1 (nombre de classe - 1) si les paramètres de la loi sont connus .
= K - 1 - n si les n paramètres de la loi sont inconnus et doivent donc être estimés à
partir des observations .
00
n-1 -xI'( .)
fonction gamma définie par : F(n) = x
e dx = (n - 1)F(n - 1 )0
Si la distribution supposée donne :
K
(n . - e .)2S =
1 1
<_ X
,f
X
est la valeur du Khi- 2e•
1 - a,f
1 - a,fi=1
X
s
correspondant à une probabilité de 1 - a
( 1 – a =fX
f(x)dx ) ..
-00
Le test de l'hypothèse d'équiprobabilité des valeurs de xk dans
notre cas, nous donne ( en utilisant 6 classes ce qui généralement admis) :
110
CLASSE EFFECTIF
0.0000 0.166667 6
0.16667 0.333334 4
0.33334 0.500000 5
0.50000 0.666667 7
0.66667 0.833334 5
0.83334 1 .200000 5
K
(ni - ei) 2
e .i
e .1
1=
5(1+1+4)= 5S = 1 .2
i=1
Le nombre de degrés de liberté du x2 dans ce cas est : 6 -1= 5
En définitive on a :
2 ~P( x 5
® 1 .2 ) = 0 .94487 7
D'où l'on conclut que la distribution supposée est acceptable avec risque d 'erreur de 5, 5%
11 1
m (rang occupé dans la séri e
après ordre)
Xk mFk
= N +
1 0.04 0.029411763
2 0.0667 0.0588235259
3 0.0668 0.088235259 1
4 0.10667 0.117647052
5 0.1200 0.147058785
6 0.160 0.17647158
7 0.1867 0.20588231 1
8 0.22667 0.235294104
9 0.2667 0.26470578
10 0.3334 0 .29411763011 0.3734 0 .323529363
12 0.3735 0 .35294115513 0.42667 0.38235288914 0.45333 0.41176468 1
15 0.45335 0.441176414
16 0.5200 0.470588207
17 0.5334 0.50000000
18 0.55999 0.529411733
19 0.57334 0.558823526
20 0.6267 0.588235259
21 0.65333 0.61764705222 0.6667 0.64705878 5
23 0.69334 0.67647057 8
24 0.72009 0.70588231 1
25 0.7466667 0.735294104
26 0.786667 0.764705837
27 0.8066672 0.794117630
28 0.89333256 0.823529363
29 0.94666718 0.85294115530 0.97333328 0.882352889
31 0.9866656 0.91176468 1
32 1 .0533328 0 .94117641 4
33 1 .87999916 _
0 .970588207
FIGURE V-I I
Echantillon de 33 valeurs de x obtenues avact,
un coefficient de frottement = 0 .5
11 2
V.5 Méthode de simulation :
Pour simuler ce processus de forces d'impacts, nous utilisons l a
méthode classique de Monté Carlo dont le schéma est le suivant :
Génération de nombres aléatoires uniformes : :
La méthode communément utilisée pour générer des nombre s
aléatoires est la méthode des congruences multiplicatives encore dite méthode du modulo .
Un tel ensemble de nombres n'est en réalité pas aléatoire, car généré selon un schém a
déterministe fixe . Il est dit " pseudo aléatoire " .
D'une façon générale, considérons la relation suivante :
Z = Y modulo (B )
Où la notation "modulo" signifie que Z est le reste entier de la division de Y par B
On constate en effet que Z est nécessairement compris entre 0 (
zéro) et B. Si Y est très grand devant B, le nombre Z occupera une position plus o u
moins accidentelle dans l'intervalle [O . B]. On norme ensuite l'intervalle en introduisan tZ
la variable U = B
En pratique, le nombre Z est généré par une relation récurrente d e
la forme :
Z i = (a Zi~ l + c ) [ modulo M
~ù : M un nombre entier de grande taille, généralement une grande puissance de 2
ou de 10 ;a , c et Z. sont des entiers compris entre 0 et M - 1 . La méthode donne de
bons résultats en prenant
c
impai re t
La . 1 [modulo 4 ]
113
C
C
C
C
C
Le sous programme utilisé pour la génération de nombres aléatoire est le suivant :
SUBROUTINE RANDOM(IRAND,EPSI)
C
C
Ce sous programme permet de générer des nombres aléatoires uniformes entre 0 et 1C
C
WAND = nombre initial nécessaire pour démarrer les calcu l
C
il doit être impair
C
C
IGENER = a
VDIGZ2 = M = 23 2
EPSI
= nombre aléatoire compris entre 0 et 1
DATA VDIGZ2/Z49100000/, IGENER/452807053 1
IRAND = IRAND * IGENE R
EPSI
= 0.5 + FLOAT(IRAND)/VDIGZ 2
RETURN
END
Pour générer des nombres aléatoires selon une loi normale o u
autre, on opère de la façon suivante :
- On génère une suite de nombres aléatoires u1 ,
uniformément répartis entre O . et 1 . que
l'on considère comme une suite de valeurs de la fonction de répartition F x(x) d'une loi
donnée .
- Les nombres aléatoires x, sont alors calculés par la relation : X . = F (u .1 )1
1
114
densité de probabilité de la variable x
%%TkX )
Y = F(x) Fonction de répartition de x x
f(Y)
ri)ME
Y
FIGURE V-4 (a )
Princi pe de ~imu1tion par Monte Car1 Q
Notons que dans le cas d'une loi normale, la méthode suggéré e
n'est pas simple à utiliser car la fonction de répartition d'une loi normale n'admet pas un e
forme analytique. Cependant, il existe un algorithme assez simple d'utilisation, dû à
BOX & MULLER (1958), qui permet de générer des nombres aléatoires selon un e
distribution normale et qui consiste en les étapes suivantes : [
Etape 1 : On génère deux nombres aléatoires uniformes u . et u .1
1+1Etape 2 : On calcule w
1. = 2u
1. - 1 et w
l.+1 = 2u
1.+1 -1
Etape 3 : On pose S = (w1. )
2+ (w. 1 )2 et on teste : si S 1 on répète Etape 1
sinon,
on continue
L0
1
11
115
Etape 4 : Les nombres v1. = w .
-21nSS
et v, = w.
-21nS S
sont distribues
1
1+1
1+ 1
selon une normale centrée réduite .
A l'étape 2, On génère deux nombres aléatoires dans le pav érectangulaire [-1, 1] x [-1, 1] . A l'étape 3 on effectue un test pour voir si les nombre s
générés appartiennent au domaine limité par le cercle de rayon 1 et de centre 0 (origin edes coordonnées) . La probabilité pour que le test soit négatif a été estimée par Knuth en
1969 et trouvée égale . La figure V-44
(b) donne un ensemble de nombres aléatoire s
générés par ce procédé .
V .6 Résolution de l 'équation du mouvement de chute :
L 'équation d'équilibre dynamique du mouvement en translatio n
verticale est comme on l'a vue au chapitre précédent :
2dt2 + M F(t) – g
(5 .4)
L'intégration de cette équation différentielle donne :
N1
2z(t) = 2
g t - Ltm
Ak . t pour le déplacement de chute
(5.5)co
= g.t - pour la vitesse .
(5.6)dz(t)dt
k== 1k 1mm
Avec N, le nombre d'impulsions ayant lieu dans l'intervalle (O . t).
L'adhérence a lieu aux instants ta
donnés par :
N
t = 2µ
Ak
(5.7)a
m- g
a)k=1
116
Tirage des Ak
et ,hk
Comme nous l'avons précédemment signalé, que les Ak
sont
générés en émettant deux hypothèses : Les vibrations n'ont pas d'influence sur le premie r
pic de l'accélération et les différents pics sont indépendants entre eux, mais dépenden t
tous du premier. Il vient :
I R
Avec :Rchoc =
raideur de choc ; J = moment d'inertie de la barre Par rapport à son centre
de gravité ;
= vitesse initiale de rotation.
Ak ( k = 2, N) _ (1 .0903 ;( - 1 .6E-2) A l
(5 .9)
4k est un nombre aléatoire uniforme appartenant à l'intervalle [0. 1 .] .
Les hk
( temps entre deux chocs successifs ) n'interviennent pa s
dans l'expression du retard dans la chute ( on le verra dans les chapitres suivants), mai s
uniquement dans celle de N (nombre de chocs ayant lieu dans intervalle de temps) .
Comme nous l'avons signalé, beaucoup d'auteurs utilisent un processus poissonnie n
pour leur représentation . Ce que nous n'avons pas pu prouver statistiquement . Pourcela, On a procédé comme on l'a fait pour les amplitudes A
k, en déterminant la
2hrépartition du rapport h 0 (k =1,N-1) .
k
h0 = t0_~ (Temps nécessaire à une extrémité de la poutre pour parcourir le jeu en
e001,
rotation )
(5 .11)
2hLa courbe de la fonction de répartition
0du rapport h est représentée par la figure V-3
k(b) . Elle peut être approximée par la droite d'équation : Y = 5 .37 X - 4.42 . On peut don c
Pour k = 1 , A l = 2 Rchoc ch
~
(5 .8) choc
8~ v choc8
0
117
2hdire que le rapport h
suit une loi uniforme dans l'intervalle [0.8 , 1 .] . Le test dek
Kolmogorov - Smimov [ ref. 12 ], nous donne un niveau de confiance à 90% . Les hk
sont alors donnés par :
pour k =1, N-1
(5.10)•
[0 .8 + 0 .gk] L 8 0
Avec
k = nombre aléatoire uniforme appartenant à l'intervalle [0 . 1 . ]
L = longueur de la poutre .
Ceci, n'est bien entendu qu'une formulation approchée, ell e
suppose en effet qu'en quittant la butée la barre n'est animée que d'un mouvement de
rotation (mouvement de corps solide) dont la vitesse varie de façon aléatoire entr e
0.800
et 8 0 . Si l'on appelle Wn
la vitesse de rotation après chaque impact on peu t
écrire :
•= [0.8 + 0.24;1 ]0
o
n = nombre aléatoire uniforme pris entre 0 et 1
V.7 Résultats numériques du modèle :
Les Figures V-5 à V-8 illustrent les résultats obtenus avec ce
modèle .
La figure V-5 (a) fait état du nombre moyen de choc obtenu pou r
une durée de chute voisine de 0 .4 seconde en fonction de la vitesse de la vitesse initiale .
La figure V-5(b) montre l'évolution de l'amplitude de la force d e
choc en fonction du temps .
4 . Jeu
118
La simulation de l'accélération pour une vitesse initiale de 0.5 rd/ s
est représentée par la figure V-5(c) . On constate que les pics sont assez singulièremen t
séparés et le processus peut être considéré comme à bande étroite .
En fin les figures V-6(a,b,c), montrent une comparaison entre le s
résultats obtenus avec Castem 2000 et la simulation par processus aléatoire . On peut faire
la remarque suivante : Cette représentation semble assez convenable pour les grandeurs
intégrales (vitesses, déplacement vertical) et pour les grandeurs moyennées telle qu e
l'accélération moyenne . Notons que ce modèle ne rend pas compte de ce qui se pass e
dans le sens transversal .
V.8 Calcul de fiabilit é
L'expression de la moyenne temporelle de l'accélération pour une
durée de chute T, s'écrit :
Tr
N= 1
[ ¢
VA sinw(tt)H(t-t)H(t
+t
t)] dtk
k
k
choc kis=1
2 µg - -T co m
T
1 (d2z t dt
y
T J dt2o
2 µg -
T eù m
ok=N N
[1+1 .O9O3 k 'k=2
(5 .11 )
N
On remarque que la quantité Dk est la somme de (N-1) variables indépendante s
k = 2
uniformément distribuées dans l ' intervalle (0 . 1 .), donc conformément au théorèmecentral - limite suit, si N est assez grand, une loi normale N(.,;a) dont les paramètres µ et
a sont tel que :N-1
2 _ N- 1µ- 2
' 6 – 12 '
On voit de plus, que ces paramètres sont fonction de N qui lui même fonction de l avitesse initiale et de . Ceci rend difficile l'utilisation directe de la relation précédente pou restimer la fiabilité .
La relation (5 .11) précédente est calculée pour différentes vitesses
initiales, et la fonction de performance est générée par moindres carrés . Nous avons
119
distingué deux cas : celui oùk
et qc des relations (5 .9) et (5 .10) sont parfaitemen t
corrélés (p = 1) et celui d 'indépendance .
La fonction analytique approchant l'expression de y est alor s
a) Corrélation parfaite (p = 1)
=
x2 + 0.2 x )
(5 .12)
b) Indépendance
y = 10-µ(30 .S x2 + 0.2 x)
(5.13)
Avec
= coefficient de frottemen t
x = vitesse initiale
Si on définit le critère de succès par y > 0 .9 g , la fiabilité est tout
simplement donnée par :
F = P(y > 0.9 g)
(5.14)
La variable aléatoire x, varie de façon uniforme dans l'intervalle [0 ,
1] et compte tenu que y - 0.9 g = f(x) est continue strictement décroissante dans cet
intervalle, on peut écrire
P(y > 0 .9 g) = P(y - 0 .9 g > 0) = P(x < f-1 (0)) . (5.15)
La courbe V- 7 fait état de l'évolution de la probabilité d'échec e n
fonction du frottement. On y voit clairement, comme l'on devait s'y attendre d'ailleurs ,
que plus le frottement est grand plus la probabilité d'échec est grande et plus l'influenc e
de la corrélation est moindre d'une part, et plus la confrontation avec les résultats issus d e
Castem-2000 est nette d'autre part .
Pour des raisons d'ordre pratique, il est plus intéressant d'exprime r
la fiabilité de ce dispositif en termes de probabilité d'un retard dans la chute ( le retard es t
calculé par rapport au temps de chute libre) . Pour une barre de 4 mètres de longueur et d e
masse égale à 22 .04 kg, le temps mis pour parcourir une course de 80 cm en fonction de
la vitesse initiale est obtenu par moindres carrés et donné par les expressions :
120
a) Cas de variables corrélées :
tchute0.40 - 0.27 x + 2.93 x2 - 7.80 x3 + 7 .91 x4
(5 .16)chute
b) Cas de variables indépendantes :
tchute0.41 - 0.41 x + 4.30 x2 11 .72 x3 + 11 .61 x4
(5.17)chute
Le critère de succès est cette fois : le retard < 0 .1 seconde. La
fiabilité se calcule comme dans le précédent . La courbe V-8 montre l'évolution de l a
fiabilité avec le coefficient de frottement . On constate que la fiabilité décroît rapidement
pour des coefficients
de frottement inférieurs à 0.5 . Cette décroissance est ensuite plus lente pour devenir
quasiment asymptotique . Ce qui n'est pas du tout surprenant car à partir d'une certain e
valeur du coefficient de frottement, il y a adhérence à chaque fois qu'il y a contact.
Enfin, les figures V-8 à V-14, représentent les accélérations de
chute issues de castem 2000 pour quelques valeurs de la vitesse initiale .
V.9 Conclusions :
Nous avons proposé une approche probabiliste d'un problème d e
poutre chutant dans un fourreau . Elle s'appuie sur la représentation des forces d'impact s
par un procéssus aléatoire filtré constitué d'une série d'impulsions sinusoidale s
d ' amplitudes et de dates d'occurences aléatoires. La durée de chaque impulsion
correspond au temps de contact donné par les calculs déterministes .
Après résolution de l 'équation du mouvement de chute, le s
résultats obtenus en utilisant cette approche sont ensuite comparés à ceux issus de calcul s
numériques utilisant le progiciel CASTEM2000 .
Le modèle a été validé par la comparaison avec les simulation snumériques CASTEM2000 . Il peut certainement's'appliquer au cas de la chute d'un ebarre sous excitation sismique . Il serait intéressant à ce titre, de le comparer à de s
résultats d'expérimentation en vraie grandeur effectués les mécanismes de commande d eSuperphenix.
121
N-0
p. .,,.,
--"'''
'
M
Q
kgU
O UM'
I
1 J.:..
r
A n
,,,1
- • F ),
lt-t
( ; IN+ )P rOb a 1-3 1
ice! n%.., ) ,P."
FIGURE V-3 (CL)
"Distribution des pics de décélération frot = 05X22
Freqluôrice cumules.0 U
0.80 -
0 .60 -
0 .40 -
0.20 -
.840
- Y=5 .3749X—4.4197
e
i
I
.860 .880I
I
I
1
I
1
.900 .920 .94-0 .960 .980 1 E0 0rapport (2h ./s ,,)
Figure V- 3 (b)2h-
Distribution du rapport hk
Frottement = 0,5
123
LOI NORMALE SELON SCHEMA DE BOX & MULLE R
FRED ENCE
--- .-.~- NORMALE SIMULEZ
f- N W .Et 0 . .1. )
0 .0'2 0
O . 06 5
O . 06 0
0 .055
0 .0504
p
0 .045
0 .040
0.035
0 .030
L
k0 .025
0 .020
0 .015
0 .010
r
. l . l . t t . t 1 .t
t
VRLUR DE
0 .00 5
0 .000-3.5 -3.0 -2.5 -2 .0 -1.5 -1.0 -0.5
0 .0
0 .5
1 .0
1 .5
2 .0
2 .5
3 .0
3, 5
FIGURE v-3 (BIS )
FIGURE V-4 (b)
"Simulation d' une distribution normalepar le schéma de box et MULLER" " 44 4
-~ Y=72.363X+0 .63643
o
'
1
1
f
1
1
1
I
i
1
.000 .050 .100 .150 .200 .250 .300 ,350 .400 ,450 ,50 0
Vitesse initiale
FIGUREFIGURE V- 5 (a )
"Variation du nombre moyen de chocs en fonction de la vitesse initialepour une durée de chute de 0 .4 secondes - coefficient de frottement = 0 .5" "
as
t,18 0o
m 160
140 —o
120 —
®100
80 —E
60
40 —
20
r-1
`U
0 -,
1
.000
.050
.100
.150
.200
.250
.300
.350
À-0 0Temps an secondes
FIGURE V- 5 (b)
"Procéssus utilisé pour simuler les amplitudes des pics"
Accélération
20-i
01
j T
-40-d
-8 0 -
-10 0
-120-
-140-i
-160
.000
.G50
. i 00
.1 5'
0
.250
.300
.350
.40 0
Temp s
FIGURE V- 5 (c)
"Simulation de l' accélération de chutevitesse initiale = O.Srdls - Frottement = 0 .5
Vitesse
2.00-
1 .50 -
1 .00 -
0.50 -
0.00 ,
I
1
I
~
I
.000
.050
.100
.150
.200
.25 0I
.3I00
.350
.40 0
Temps
FIGURE V- 5 (4)
"Simulation de la vitesse de chute
vitesse
='initiale = 0.Srd1 s - Frottement 0 .5
126
,zo
't 1311W
05 0
a2oco
CDXDOOCD
O.040
0190
0.120
a160
0 .200
0 .74 0O. 0.03Of1E+-00
MX . 1 .1446E40
Vitesse - Résultats Castem 200 0
1 .40
1 .20
1 .00
0 .80 —u,
Ec 0 .60Q)
a,
0 .40
0 .20
0 .00
1 1'1111'11 1 1
.000 .020 .040 .060 .080 .100 .120 .140 .160 .180 .200 .220 .24 0Temps en se c
Vitesse- Résultat Simulation par impulsions aléatoires
FIGURE V- 6 (a )
Comparaison Simulation par impulsions aléatoires I Logiciel Castem 2000
CAS1E1}2000
Déplacement - Résultats Castem 2000
0 .14 0
.000 .020 .040 .060 .080 .100 .120 .140 .160 .180 .200 .220 .24 0Temps en se c
Déplacement- Résultat Simulation par impulsions aléatoires
FIGURE V- 6 (b)428
Comparaison Simulation par impulsions aléatoires / Logiciel Castem 2000
D.1200DER 13IIUA
0.0600
0.0600
D.DWO
&000ODOOOE4-CO
IW' 1.0e62E-01
4 -
.0-4 Calcrul s costern 2000
f simulation par pulses stochastiques
I
1
I
I
I
I
1
I
I
I
I
000 .050 14a ,150 ,200 .250 ,300 .350 ,400 ,450 .500Vitesse initiale
Accélération moyenne en fonction de la vitesse initial e
Frottement = 0 5
FIGURE V- 6 (c )
Comparaison Simulation par impulsions aléatoires / Logiciel Castem 200 0
Z
0
429
-r Variables depend ante s
-)- Variables idependantes
-~- GaSTEM 2000
T
I
I
1
1
i
I
1
I
1
.00
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
1 .0 0coefficient de frottemen t
FIGURE V-7 (a )
"Evolution de la défiabilité (Probabilité d' echec)
En fonction du fronement "
430
1 .00
0.80
0 .60
0e40
Fiabilite = Prob abilite(retard '(0 . l sec )
M = 22 .05 kgL = 4 .mJeu =2mm
Course = 0.8 m
0 .2 0
0 .00
0 : Variables corrélées (h k et A k )
e: Variablesindépendante s
.00
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
1 .0 0
Coefficient de frottement
FIGURE V- 7 (b)
Fiabilité en fonction du frottement
43-1
)00
I
j
1
(
i
I
1
0 .000
0.040
0.080
0.120MIN= -1 .5667E+01
MAX= 9 .9976E+000.160
0 .200
0.240
0 .280
0 .320
0 .360
L000 ACCE 1UZ
Zi
000
000
000
00 0
ao 0
000
CASTEM200 0
FIGURE V- 8
Valeur de L'accélération obtenuspour :
coefficient de frottement = 0 .5
Vitesse initiale = 0 .1 rd/s "
4 32,
10 .000
ACCE 1UZ
6 .000
2 .000
- 2.000
-6.00 0
-10 .000
-14 .000
-18 .000
-22.000
-26 .01
-30 .000 I 1 G0 .000
0 .040
0.080
0 .120
0.160
0.200
0 .240
0 .280
0.320
0 .360
0 .
MIN= -2.9850E+01
IBX= 9 .9916E+00
CASTEM200 0
FIGURE V- 9
Valeur de l'accélération obtenuepour :
coefficient de frottement = 0 .5
Vitesse initiale = O2rd/s "
433
300
000
).000
0.000
;0 .000
30.000
100.000.000
0.040
0.080
0 .120
MIN= -9 .7225E+01
MX= 9 .9916E+00
TEUPS
0 .160
0 .200
0.240
0 .280
0.320
0 .360
a
CASTEM 2000
FIGURE V .. 1 0
Valeur de l 'accélération obtenutpour :
coefficient de frottement = O S
Vitesse initiale = 0 .4 rdls
X13¢
40.000 ACCE 1UZ
1
1
1
1
1
1
1
1
20.000
0.0000
-20.000
-40 .000
- 60 .000
-80.000
- 100.00
- 120 .00
-140 .00
-160.00
TE?JPS
F—1
CASTEM2000
FIGURE V- 1 1
Valeur de l'accélération obtenuepour :
coefficient de frottement = 0 . 5
Vitesse initiale = 0 .8 rd/s "
X35
L000
AOCE 1 UZ
L000
r v-l 1
)000
).000
La00
L000
0.00
r1
r-'
.040 1
0.080
0.120 I0.000
a
0.160 1
0.200
0.240
0 .280
0.320
0.360
0 . q Ct ü
CASTEM200 0
FIGURE V- 12
Valeur de l'accélération obtenuepou r
coefficient de frottement = 0 .5
Vitesse initiale = 0 .9 rd/s "436
D.000
'0 .000
0.000
0 .000
.0000
?0 .000
!0.000
i0.000
10.000
00.00
20.00
ACCE 1UZ
1
40.00MIPS
0 .000
0 .040
0 .080
0 .120
0 .160
0.200
0.240
0.280
0 .320
0.360
cAsrEM2ao o
FIGURE V- 13
Valeur de l'accélération obtenuepour :
coefficient de frottement = 0 . 5
Vitesse initiale = 1 rd/s 433-
'.200 1TE 131ALFA
.800
400
1000
000
?000 I I0 .000
0 .040
0.080
0.120MIN= -1 .0776E-02
MAX= 2 .0526E+00
ISP
0.160
0.200
0.240
0 .280
0.320
ERFO a
FIGURE V- 1 4
"Vitesse obtenuer :
coefficient de frottement = 0 .5
Vitesse initiale = 0 .5 rd/s "
t̀
438
k:
CAIPIITIU2 VII
IDJIkT 1:V1ERT2I11I:il''T IRER
IBILDCAGk IIAÏC
hi
139
VI-1 Introduction :
Dans ce chapitre, on tente d'étudier un évènement plutôt rare : le
blocage franc ou coincement . Celui - ci, dans le cas des barres et dispositifs d e
commande, est la plupart du temps dû soit à un grippage causé par remontée du sodium et
diverses impuretés, soit à un gonflement par suite d'une élévation de température [ ref. 1
et 2 ] . Ces phénomènes peuvent engendrer des déformations de la géométrie de tout l e
système qui sont loin d'être sans incidence sur la mission qui lui est assignée .
Pour étudier ces incidences sur la chute du dispositif et l 'éventualité
de blocage, on s'est proposé d'étudier un système simplifié constitué d'une barre à inerti e
variable chutant dans un conduit à rétrécissement brusque .( Voir figure VI-1) .
On a donc à un problème de chute avec impacts . La différence par
rapport aux cas étudiés dans les chapitres précédents, est que dans ce cas, les choc s
peuvent s'effectuer, simultanément ou non, dans deux plans, ce qui confère au disposti f
une éventualité de blocage .
Le critère de passage, porte sur la valeur du déplacement latéral d u
point C ( voir figure VI- l) lorsque il arrive au niveau du ressaut . Cette valeur doit êtr e
inférieure au jeu latéral permis . Si le critère est vérifié, la barre passe directement et l e
problème du coincement ne se pose pas. Si par contre il est violé, la barre heurt e
nécessairement le ressaut, rebondit et part dans le sens inverse avec de nouveau x
paramètres (vitesses, angle de rebond) . La distance parcourue après chaque rebon d
dépend elle aussi de ces nouveaux paramètres qui pourraient être "redistribués" une
seconde fois, car dans sa course, la barre peut choquer latéralement avant de rechuter .
Tout se passe comme si l'on effectuait plusieurs essais de chute avec de nouvelle s
conditions initiales . Nous allons tenter dans ce chapitre de comprendre comment se fon t
ces "redistributions de paramètres", leurs incidences sur la trajectoire de la barre, essaye r
de prévoir leur variations futures et enfin pouvoir se prononcer en fonction des
paramètres du problème sur l'état futur de la barre : passage ou blocage .
Le mouvement du système est loin d'être régulier dans le cas où l a
barre ne passe pas directement . On assiste dans notre cas, comme dans beaucoup d e
problèmes de dynamique non linéaire, à une grande sensibilité par rapport aux condition s
initiales et on a tendance à perdre de l'information au cours de chaque itération . Beaucoup
de chercheurs ont tenté de quantifier ces phénomènes d'irrégularités et de "chaos" e t
proposé des méthodes d'identifications et dans le cas de systèmes simples, des modèle s
mathématiques régissant leur états futurs . Nous avons cherché à utiliser de telles
140
méthodes en vue de bien caractériser notre problème et d'apporter des éléments d e
solution .
L 1 = 2 m
Jeu2
L 2 =1 m1
Point C
Jeu1
i
FIGURE VI- 1
Système utilisé pour l'étude du coincement
141
VI .2 Principe de l 'étude
L'étude a été menée selon la méthode classique de synthèse modale
dont les grands axes sont exposés au chapitre II . La base de modes propres utilisée es tcomposée uniquement de modes rigides ( fig. V-2) . Comme dans le cas traité dans le schapitres précédents, à l'instant initial (t = 0), on imprime à la barre une vitesse d erotation autour de son centre de gravité .
(I)
(II )
(III )
Figure V- 2
Modes propres utilisé s
(I) = Translation horizontale
(II) = Rotation
(III) = Translation verticale (chute )
Paramètres du problème :
VI.2.1 Géométrie
La géométrie du problème est exposée sur la figure VI-1, le s
valeurs des paramètres utilisés dans les calculs sont :
= 0.052
Jeu 1 = 0 .03 4
1
Jeul 1jeu2 — 3
= 0 . 52
Jeu2
142
(D = 6.E-2 m2
Jeu2 = 3 .E-3 mL
L =5 . m
d = 3.E-2 et 30 .E-2 m
VI.2.3 Modèle de frottement
Le modèle de frottement utilisé est le modèle de Coulomb déjà trait é
assez en détail dans le chapitre III .
VI.2 .4 Modélisation de l 'impact
La méthode de modélisation de l'impact utilisée reste la même qu e
celle exposée dans les chapitres précédents . Pour les chocs ayant lieu dans le pla n
vertical, le formalisme utilisé est le suivant : (Voir figure VI - 3 )
L'enfoncement est donna par :
S AB 1ABLs. force d* choc
F
s'en déduit: K x enfoncement
c
C
FIGURE VI — 3
Schéma de calcul des forces d'impact
143
L'enfoncement du ressort de choc est donné par le rapport de l a
surface commune aux deux solides en interpénétration à la longueur de la corde reliant le s
deux points d'intersection des profils . La force de contact supportée par la médiatrice d e
la corde AB est alors calculée par le produit de la raideur du ressort de choc et de
l'enfoncement .
Nous avons utilisé une raideur de choc de 5 .E+7 N/m, Calculée e n
utilisant la relation du paragraphe II .2 (Chapitre II) et un pas de temps de 1 .5 E-5
secondes .
VI,3 Analyse et discussion des résultats
Les calculs ont été faits à l'aide du logiciel CAS'IEM2000, pour
différentes valeurs de la vitesse initiale, du coefficient de frottement et de la distance de
chute d. Pour certaines valeurs de ces paramètres, la barre passe directement sans heurte r
le ressaut, les chocs n'ont alors lieu que dans un seul plan et le problème peut se ramene r
au cas précédent . Par contre pour d ' autres valeurs de ces mêmes paramètres, la barre e n
heurtant le ressaut effectue une succession de rebonds . La hauteur de rebond varie d e
façon très irrégulière entre o(zéro) et d (distance de chute initiale) . Elle dépend
principalement de paramètres : vitesse d'impact, angle d'incidence, frottement et bien sû r
de la valeur de la vitesse initiale. Une caractéristique importante de ce mouvement, est l a
forte sensibilité par rapport aux petites variations dans les conditions initiales . En effet ,
en représentant dans un plan de phases, les orbites obtenues pour des valeurs initiale s
voisines, on voit que pour des temps assez grands, celles-ci divergent de façon notable .
Un plan de phases, est en fait une représentation graphique du mouvement de chute ou du
mouvement latéral du point C dans le diagramme (X, X) :
X(0) = X oX(o )
Où X et X représentent les composantes des vecteurs vitesse et déplacement .
La mesure de la divergence entre deux orbites initialement voisine s
se fait par l'intermédiaire de coefficients appelés : puissances caractéristiques d e
Lyapounov [ ref. 34] .
144
VI.3.1 Puissance caractéristique de Lyapunov :
La puissance caractéristique de Lyapounov est l'un des moyens le s
plus utilisés dans la détection du chaos . Dans un système déterministe le chaos implique
toujours une forte dépendance des conditions initiales . Si l'on considère deux orbite s
initialement voisines et si l'on appelle w la distance entre elles, on voit qu'au bout d'u n
temps t, cette distance croît de façon exponentielle . Elle s'écrit :
w(t) = w 2At
0
où w0
est la distance initiale et A la puissance de Lyapounov .
Notons que le choix de la base 2 dans l'expression de w(t) est arbitraire .[ref 34, 36, 40] .
FIGURE VI - 4
Illustration de la divergence entre orbites obtenue en faisant varier les conditions initiale sdans une petite sphère.
t,
La puissance de Lyapounov est donnée par l'expression suivante :
145
N
1 w(tk)
A = t
t
log2
~ t ~
[ref. 34 et 36]N o
o k- 1k=1
Le critère du chaos est alors :
A > 0
—~
mouvement chaotiqu e
A <_ 0
-5
mouvement régulie r
Le calcul de l'expression précédente, ne peut se faire que
numériquement . Ce n'est seulement dans un nombre restreint de cas pédagogiques que l e
calcul analytique explicite est possible . La puissance caractéristique de Lyapunov exprime
en quelque sorte le "taux de divergence" . Elle est l'inverse d'un temps et mesurée par
certains auteurs en "bit / itération" [ ref. 34] et interprétée comme étant la pert e
d'information de l'état initial .
La figure VI-6, montre l'évolution de cette puissanc e
caractéristique en fonction du temps obtenue avec les paramètres suivant : vitesses
initiales 0.1414 et 0 .1412 rd/s, coefficient de frottement et d'amortissement nuls . On
constate que cette puissance caractéristique est négative au début . Ce qui indique que le
mouvement de la barre avant qu'elle n'heurte le ressaut est régulier . La transition vers le
chaos n'apparaît qu'après le premier rebond vertical .
Un autre indicateur du chaos est la densité spectrale de puissanc e
dont l 'expression est donnée par la formule suivante [ ref. 21 ]
lim IX,I,(c,))12
TS(w) =
T-->oo T XT(o)) = Jx(xt) e-i(')t dt
o
et que l'on peut évaluer numériquement en utilisant pour la transformée de Fourier
l'algorithme de la T.F.R (transformée de Fourier rapide) [ ref. 21]. Cette grandeur nous
montre que lorsque le mouvement est chaotique, a une allure d'un bruit large bande . La40
figure VI-7, montre la densité spectrale de la vitesse YC
pour une vitesse initiale de
0.1414 rd/s et un coefficient de frottement et d'amortissement nuls .
VI.4 Estimation de la probabilité de choc vertical :
146
Comme on l'a souligné dans les paragraphes précédents, Pou r
certaines valeurs de la vitesse initiale et du frottement, la barre passe directement san s
choquer . Il est intéressant d'estimer la probabilité de passage direct ou de choc . Le critère
de passage ou de choc peut se formuler de la manière suivante :
Où (Y \
désigne le déplacement latéral du point C (voir figure VI4) à la côte z = d~ C)z=d
La probabilité de choc peut alors s'écrire :
Pc
= Probabilité (YC
> Jeul / z d) . La probabilité de passage direct étant l e
complément à 1 de cette dernière, elle s'écrit: Ppd
=1- Pc. Le déplacement Y
Cdurant
la première phase de chute (avant que la barre n'arrive au niveau du ressaut) est calcul é
analytiquement . La probabilité de choc vertical est alors calculée par simulation d e
Monte Carlo en prenant une répartition uniforme de la vitesse initiale dans l'intervall e
[0. L]. Elle est donnée par :
Avec .
ei = ~ (YC)z=d
~ i - Jeu1
H(.) : fonction d'Heaviside
N le nombre total de réalisations .
bJeu l
=
) et de la distance de chute d, pour différents coefficients de frottement . Lesjeu2
résultats sont représentés par les figures VI .9 (a et b et c) . Le nombre de réalisations 1utilisé est de 10
6et l'erreur statistique commise est de l'ordre de 0 .1 %
) . OnSI N
constate notamment :
- plus le rapport (donc le jeu 1) est grand, plus la probabilité de choc vertical est faible .
I <
Jeul
~ passage direct
>
Jeul = choc vertical
I (YC)z=d
(YC)z=d
Cette expression est calculée en fonction de la géométrie (rapport
147
- Le frottement ne change pas beaucoup les chances d'accrochage lorsque 8 < 1 . Son
influence est par contre plus grande dans les cas où 8 avoisine l'unité .
- la distance de chute n'influe pas beaucoup sur la probabilité de passage direct . En
comparant les courbes VI-9 (a) et VI-9 (d) on constate que l'ecart maximum obtenu es t
de l'ordre 8% .
VI.4.1 Distribution des trajectoires dans l'espaces des phases :
Sur la figureVl-10 (a), représentant le plan des phases (YC
, YC
)
obtenu pour une vitesse initiale de 0 .1414 rd/s et un frottement nul, on voit que pour de s
temps assez grands, toutes les régions du plan de phases sont presque entièremen t
balayées et le remplissage s'est effectué dans le désordre. Ceci nous amène à dire que
deux états du systèmes assez espacés dans le temps peuvent être considérés comm e
indépendants. La figure VI-10 (b) représente le plan de phases (Z, Z) obtenu avec les
mêmes paramètres. On constate que là aussi, le remplissage se fait dans le désordre . la
différence est que chaque orbite du plan (Z, Z), correspond à une ou plusieurs orbite s
dans du plan (YC
, YC
). Ce qui veut dire qu'en rebondissant, la barre peut effectuer u n
ou plusieurs chocs avant de rechuter, comme le montre d'ailleurs la courbe VI-10 (C) ,
représentant la trajectoire du mouvement du point C dans le plan (Y,Z) .
La figure VI-11 (a) montre le plan de phase (Z, Z), obtenu avec u n
coefficient de frottement de 0 .01 et une vitesse initiale de 0 .20044 rd/s . On constate dan s
ce cas, qu'après un certain nombres de rebonds, la barre passe . Enfin, la figure VI-1 1
(b) fait état du plan de phases (Z, Z) dans le cas où la barre passe directement sans heurte r
le ressaut . Il est obtenu pour un coefficient de frottement nul et une vitesse initiale de 0 .5
rd/s et représente le graphique de Z = 12gZ où g est l'accélération de la pesanteur .
VI.4 2 Distribution du déplacement latéral du point C : (YC
)
Dans de nombreux cas pratiques, les systèmes dynamiques non
linéaires même simples, ont un comportement chaotique ou étrange. Une prédiction
précise de l'histoire du mouvement est pratiquement impossible . On peut en revanche à
148
l'aide d'une statistique déterminer la distribution spatiale d'une grandeur chaotique (l e
déplacement latéral du point C dans notre cas) indépendamment du temps .
Pour ce faire, on échantillonne le déplacement latéral du point C e n
un nombre fini de points. Le pas d'échantillonnage est pris égal à At = net où ti est le
pas de temps de calcul (1 .5E-5 s) et n = 50. n est choisi de telle sorte que l'on ait
l'indépendance statistique entre les différentes valeurs de l'échantillon. En effet e n00
représentant la fonction d'autocorrelation A(ti) = Jx(t) .x(t+'r)dt pour le déplacement Y ,o
~
on voit que A(t) —~ 0 quand t --> ~ . La figure VI-12 (a) rend compte de la façon dont
évolue A(t) en fonction de ti (exprimé en nombre de pas de temps ), calculée pour une
vitesse initiale de 0.1414 (rd/s) et un coefficient de frottement nul .
Les figures VI-12 à VI-16 font état de la répartition du déplacemen t
du point C (sur lequel porte le critère de passage ou de choc) pour quelques coefficient s
de frottement. Les résultats ont été moyennés sur 25 valeurs de la vitesse initiale. On y
remarque notamment que
- Le frottement modifie la répartition du déplacement, dans le sens où , à mesure que le
frottement augmente, la plage de variation diminue . On constate aussi une fort e
concentration au voisinage de la moyenne pour des coefficients de frottement élevés . Les
distributions sont voisines d'une loi normale dans le cas où le frottement est relativemen t
élevé ( frottement = 0 .4 et 0.6 ) et d'une distribution uniforme pour des coefficients de
frottement faibles (frottement <_ 0 .2) . Le test d'ajustement du Khi-2 nous donne u n
niveau de confiance de 90 % .
- La souplesse des butées fait que le déplacement (YC
) dépasse les bornes [-jeu2, Jeun
imposées par la géométrie du fourreau, ce qui fausse quelque peu les distributions e t
accroît l'erreur statistique . Cet effet est principalement lié à la dimension de la bas e
modale prise en compte . La figure ci dessous rend compte de façon schématique del'évolution du déplacement (Y C) au moment du contact en fonction de la base modale .
149
solution exact e
En prenant une base composée uniquement de modes rigides, o n
voit que le déplacement est formé uniquement d'une seule oscillation de grande amplitud e
. Par contre le résultat obtenu avec une base modale incluant les modes de flexion es t
composée d'une série d'oscillations de faibles amplitudes qui se rapproche de la solutio n
exacte. Les distributions des figures VI-12 à VI-16, se trouvent donc modifiées e t
devraient être approximativement de la forme suivante :
Fréquences
solution correspondant au x
modes rigide s
solution correspondant au x
modes de flexio n
Déplacement YC
-Jeu2
-Jeu 1
Jeu 1
Jeu2
150
Si l'on suppose qu'il y a un passage direct si IYCI calculé avec un e
base modale réduite est inférieur à Jeul, on peut utiliser une base modale réduite pour le s
les calculs des probabilités, les distributions empiriques tirées de simulations numériques .Ceci revient à admettre que ces distributions pour I YCI < Jeul ne sont pas affectées par la
troncature de la base modale .
VI.4.3 Examen de la ditribution du temps entre deux chocs verticau x
Vu le nombre de paramètres qui influent sur le système, il est trè s
difficile, voire impossible de tenir compte de l'influence précise de chacun sur la
trajectoire du mouvement. Cependant, on peut représenter globalement ces influences e n
essayant de regarder comment se distribuent les temps entre deux chocs verticau x
successifs comme expliqué par la figure VI-19 (a) et (b) .
En effet, ce paramètre est directement relié à la hauteur de rebond ,
le frottement, l'angle de rebond etc . . .Ce paramètre dont la valeur moyenne est appelé e
"Return Period", dans la littérature anglosaxone est très utilisé pour estimer la probabilit é
de dépassement d'un seuil par une grandeur fluctuante . On l'utilisera pour notre part ,
pour calculer le nombre moyen de choc par unité de temps .
Les figures VI-20 à VI-22, montrent la distribution de ce paramètre
pour différentes valeurs de la vitesse initiale et du coefficient de frottement . On remarqu e
que la distribution suit approximativement une loi exponentielle, mais s 'en écarte pou r
des coefficients de frottement élevés .
VI.4 .4 Estimation de la probabilité de passage :
Comme on l'a signalé dans les paragraphes précédents, pou r
certaines valeurs de la condition initiale et du frottement, la barre passe directement san s
heurter le ressaut . La probabilité de passage direct se déduit des graphiques représenté s
par les figures VI.9 (a, b et c) . Pour d'autres valeurs de la vitesse initiale et du frottemen t
, la barre heurte le ressaut, rebondit et part dans le sens inverse avec de nouveau x
paramètres (vitesse, angle de rebond etc . . .) . La hauteur parcourue après chaque rebon d
varie aussi d'un bond à un autre . Tout se passe comme si l'on effectuait plusieur s
"essais", de chute . La probabilité de passage à chaque "essai" est calculée à partir de s
distributions des figures VI-12 à VI-17 . Elle est s'écrit :
p = proba (-Jeul < Y < jeul )c
151
et donnée en fonction du frottement pour b = 0.334 par le tableau VI .1 .
La probabilité de passage en N "essais" s'écrit alors :
N
PN 1Pkk=1
Pk
=Pc
(1 - p)k-2p
si k > 1
Pk
=1-Pc
sik= 1
Pc
= probabilité de choc vertical tirée des graphiques (VI .9 a, b et c )
La figure VI-23 (a) donne la variation de la probabilité de non passage en N "essais "pour b = 0.334, en fonction du nombre de rebonds et paramétrée en fonction d u
frottement . On remarque que plus le frottement est grand, plus la probabilité de no n
passage est faible . Le frottement semble favoriser le passage . En effet, si l'on calculeB C B+C
-calcule les rapports A' D et A+ comme indiqué par la figure ci dessous, e nDfonction du frottement et de b (cf . tableau VI-3 ), on voit que ces rapports croissent à
mesure que le frottement augmente . On peut dire que la probabilité de passage es tB+C
proportionnelle au rapport p = A+D
Axe du Foureau
I'
Enfoncemen tEnfoncement
152
Remarques
D'un point de vue pratique N peut être associé soit à un retard ( nombre moye n
de rebonds n (cf. paragraphe suivant)), ou à un blocage si l'on admet un nombre limite de rebonds a u
delà duquel le système a perdu toute son énergie ( ceci revient a supposer ce qui n'est pas fait dans le s
calculs, une perte d'énergie par rebond) . On peut prendre par exemple N = 10 pour fixer les idées .
VI.4.5 Calcul du nombre moyen d'impacts verticau x
Connaissant la distribution du temps entre deux impacts verticau x
successifs (figures VI .20 à VI .22), on peut calculer le nombre moyen de chocs verticau x
par unité de temps .
La densité de probabilité du temps entre deux impacts successifs ,
peut être approchée par une loi de type Weibull donnée par :
f(t) = 13.(at)R_le(a0Le nombre moyen de chocs par unité de temps s'en déduit par
00
Oû F ( .) est la fonction d'Euler définie par : r(x) = (t x- e- t dt
(x réel positif) .6
Le tableau VI-2 donne les valeurs de n ( nombre moyen de chocs / seconde ) en
fonction du coefficient de frottement et pour 8 = 0.334. On voit que le nombre moyen de
chocs (par unité de temps) diminue avec le frottement.
Cas où b est voisin de 1 . :
En pratique, le rétrécissement brusque de la section du conduit ,
dans le cas que nous avons traité, est dû à des déformations par suite de chocs o u
d'origine thermique, elles restent par conséquent très petites (le rapport b voisin de 1 . ) . I l
est donc intéressant d'extrapoler ces résultats aux cas où b proche de 1 . Si comme on l'a
vu, la probabilité de choc vertical est relativement faible, on peut en revanche penser
+1
=
1
+ 11
1
13- 1 e-(at) r3dt
a(3 r( (3 )
n 00
0) t .j3 .(at)
153
qu'une fois la barre a heurté le ressaut, le déplacement latéral du point C (sur lequel port e
le critère de passage), se répartit de la même façon que dans le cas précédent . Les figuresVI-17 et VI-18 donnant la répartition du déplacement Y C obtenu avec b = 0 .834 et
comparée au cas où b vaut 0.334 tendent à confirmer ce point .
Pour application numérique, nous avons pris le cas où le cas oùb vaut 0 .834 et 0.99 respectivement. Les figures VI.23 (b et c ) donnent l'évolution de
probabilité de non passage en fonction du nombre de rebonds paramétrée en fonction d ufrottement . On remarque comme dans le cas précédent que le frottement tend à favorise rles passages .
VI.5 Conclusions :
On a vu dans ce chapitre qu'un système dynamique simple n'a pa s
nécessairement un comportement dynamique simple . En effet, bien que le système étudié
soit déterministe, son comportement pour certaines valeurs des conditions initiales es t
véritablement chaotique . Le chaos vient du fait d'impacts successifs dans le plan vertical .Jeu 1
On a vu que plus le rapport b = Jeu2 est proche de 1, plus la probabilité qu'il y ait cho c
vertical ( donc transition vers le chaos) est faible .
L'utilisation de concepts probabilistes pour traiter le problème es t
possible . C'est ce que nous avons tenté de faire en déterminant la distribution d u
déplacement latéral du point C (sur lequel porte le critère de passage) à l'aide d'un e
statistique sur les résultats numériques . Nous avons constaté que le frottement diminue l aplage de variation du deplacement (Y C) et le nombre de chocs verticaux (par unité d e
temps) mais tend à favoriser les passages .
L'approche utilisée bien que simplifiée est assez bonne de s
coefficients de frottement élevés .
En vue d'une application pratique, nous avons essayé d' extrapole r
ces résultats au cas où b = ' eu '. est voisin de 1. Pour cela si comme on l'a vu, l aJeu2
probabilité que la barre ne passe pas directement est relativement faible, nous avon sadmis qu'une fois que la barre a heurté le ressaut, la distribution du déplacement Y C se
fait de la même manière. L'application numérique a porté sur le cas où 5 vaut
154
respectivement 0 .834 et 0 .99. La probabilité de non passage obtenue est très faible ( d el'ordre de 1 .E-7) pour un nombre de rebonds supérieur à 4 .
155
Coefficient de frottement Probabilité de passage
0 . 0 .20
0.2 0 .30
0.4 0 .50
0.6 0 .55
Tableau VI-1
Variation de la probabilité de passage (notée p dans le texte)après chaque rebond en fonction du frottement
S = 0.334
Coefficient de frottement n (s- 1 )
0 . 19
0.2 16
0.4 1 1
Tableau VI-2Variation du nombre moyen de choc s
en fonction du frottemen t
Coefficient defrottement
BA
CD
B+CA+D
0 . 1 .03 1 .21 1 .25
b = 0 .334 0 .2 2.34 2.40 2 .37
0 .4 4.40 3 .25 3 .92
0 .6 5,62 8.98 6 .67
b = 0 .884 0 0.5 0.54 0.51
Tableau VI-3
Variation du rapport p avec le coefficient de frottement
FIGURE VI. 6
Evolution du coefficient de Lyapounouven fonction du temps - d = 2 .E-4
0Frottement = 0. ; Amortissement = 0 .
MESURE DU CHAOS
2. 6. 6. 3 .10.12.16 . 11.111.20.22.36.20. 26.30 .12.3.136.31.60haJ16.6/.65 .50.52 .56.5i.36 .00.62.
IVO1.UT10N 01 FONCTION OU Tan
0 .2100 .7650 .71 00 .2550 .2500 .2630 .2600 .2350 .2300 .2250 .2200 .21 50 .21 00 .2050 .2000 .1350.1900 .1150 . 1900.1150.1100.1650.1600.1550 .1500 .1650.1600.1350.1300.1250 .1200 .11 50. 1100. 1050 .1000 .0550 .0900 .0650 .0600 .0150 .0100 .0650 .0600 .0550 .05 00 .0650 .0600 .0350 .0300 .0250 .0200 .0150 .01 00 .0050 .000
-0 .005-0 .010
X1 .E -1 0
4 .50
DSP UNf .2 /HZ
FREQ
H Z
A rW1~AAAAAAAAA,A,.
4 .00
3.50
3.0 0
2 .5 0
2.00
1 .50
1 .00
0.50
0 .00
0 .00
1 .00
2.00
3 .00
4 .00
5.00
6 .00
7 .00
8 .00
9 .00
10.00
X1 .02
FIGURE VI.7
Densité spectrale de puissance de la vitesse latérale du point CVitesse initiale = 0 .1414 rd/s ; Frottement = 0 ; Amortissement = O .
156
DISTANCE DE CHUTE = 3 .E-2 m
---eProbabilite de choc vertica l0 .850 ô = 0.334
0 .800
0 .750 H
0 .7001
0 .650f
0 .600
0 .550 R
0 .500
0 .450 -:
S = 0.458
= 0 .834
.10
.20
.30
.40
.50
.6 0
Coefficient de frottemen t
FIGURE VI-9 (a)
Variation de la probabilité de choc verticalen fonction de la géométrie et du forttement
distance de chute = 3 .E-2 m
45I
Distance de chute = 3 .E-1 m
Probati ite de choc vertica l0 .900
0 .850-~—''
0 .80 0
0 .750
= 0.334
Ei = 0 .458
~-
4---
-~ = 0 .583
0 .70 0
0 .650î
0 .600 -1
0 .55 0
0 .500-i
0 .4504H
0 .400t
o' ) =0.708
= 0 .834f
0 .350 H
0 .300
.00
I
.20
.30
.40Coefficient de frottement
f
.10
i.6 0.5 0
FIGURE VI-9 (b)
Variation dd la probabilité de choc verticalenfonction de la géométrie et du forttement
distance de chute = 3 .E-1 m
458
Probablilte de choc vertica l
0.150
0 .140
0 .130
0.120
0.11 0
0 .100
0.090
0.080
0 .070.00 .10 .20
-f-~ l TT-1.30 .40 .50 .60 .70 .80 .90 1 .00 1 .1 0
frottement
FIGURE VI.9 (c)
Probabilité de choc vertical en fonction du frottemen tdistance de chute = 3 .E-2 m ; cas où 8 -1
469
VITESSE
2 .00
1,50
0 .50
0, 00
-0 .50
-1 .50
-2 .00
-2 .50
-6 .00 -4 .00 -2 .00 2 .00 4 .00
6 .00
X1 . E- 3ESPACE PHASES VIT INITIALE = 0 .14140
FROTTEMENT 0 . - AMOR 0
oEspace des phases : Y = f(Y)Vitesse initiale = 0.1414 rd/s
Frottement = 0 .
ViTESSE
0, 6
Û,4 ù
0 .20
-0,2 0
-0,40
-0,60
0,00
0 .50
1,00
1,50
ESPACE PHASES VET IN[TtALE = ),141*
FROTTEMENT O . - AMOR 0
oEspace des phases Z = F(Z )Vitesse initiale = 0.1414 rd/s
Frottement = O .
FIGURE VI-10
2 .00 2,50 3,sc)3 .00
XI .E-2
160
X 1 . E-2
OEPLACT -Z (ni )3 .50
3.00
2.50
2.00
1 .50
1 .00
0 .50
0 .00
-6 .00
-4 .00
-2 .00
0 .00
2 .00
4 .00
6 .00
X 1 . E-3TRAJECTOIRE -VIT INITIALE = 0 .14140
FROTTEMENT 0 . - AMOR 0
Figure VI -70 (,c)
Trajectoire du point de choc : Zc
= f(Yc
)
Vitesse initiale = 0 .1414 rd/s - frottement = 0 .
X61
y(rt .
rnf5
de-
cEPLcr On)
/'VV
4 . !I)
O .66
f 3
? . 03
'' 78
3 :d
4 . Xs
4, 73
5 .41
t, 6
6 .76
,f 0E- ?
Figure VI-11 (a )
Espace des phases (Z, Z )vitesse initiale = 0.1414 rd/s
Frottement = 0 .01
162
'
AutocrIaflon` � 1E-4
•3.00-
.
2.50
.
.2.00
1 .50-
•
1 .00
•
0.50 • e•• a j
•
e
0.00_ -o
10
20
30
40
50
60
70Ecart t (en nombre de pas de temps)
FIGURE VI.12 (a )
Fonction d 'autocorrélation de YC
Vitesse initiale 0 .1414 rd/s ; Frottement = 0 .
DISTRIBUTION DE YC
11 0
ICI
N(-7 .2E-4, 2 .6E-3 )~__--,
I,
OfPUCEVOiT
-0904
,2.0;13
-aCM
-a.=
Q
am1
OLQ1
O Q3
OD04
O.CCS
UCU6
aID1
Wtif SUR 2 11R1Œ5 CE I11ME N11~1L
i
FIGURE VI-12 (b )
Distribution du déplacement Xc
Frottement = O .Résultats moyennés sur 25 valeurs
de la vitesse initiale
165
distribution du deplacement lateral du point Cmoyenne sur 25 valeurs de vitesse initial e
frottement = 0 .
FIGURE VI-1 3
Distribution du déplacement YcFrottement = 0 .
Résultats moyennés sur 25 valeursde la vitesse initiale .
Fonction de repartitio n1 .00 7
0 .904J
0 .80-;
v . 7 -,
0 .50 –
0.40 -.~1
0 .30 -
0 .2 0
J .-o ;
1
f
1
j
– .0040
-- Normale(–2 .72e–3 , 2 .6e–3 )
FDR emp!ncu e
.0000 .0020 .0040 .006c .008 0Deplacement Yc ( M ~
166
DISTRIBUTION DE YC
A
ENffOUE
- - hioait E (-017,25)
.c
IFDfi%iE
0.1 1
0 .0 9
0 .0 9
0 .05
0.03
L A
-1
0.04
_ 1
0 .02
0.011
DEPIACEMENT CTM)
0.00 I , !
L i < ! ' ! , l -0 .0050 -0.0045 -0 .0040 -0 .0035 -0 .0030 -0 .0025 -0.0020 -0 .0015 -0 .0010 -0 .0005 0.0000 0 .0005 0 .0010 0 .0015 0 .0020 0 .0025 0 .0030 0.0035 0.0040 0.0045 0 .00É0
U01ENNE SUR 25 T1R/CES DE V11'SSE INIIIüE
FIGURE VI-14
Distribution du déplacement YcFrottement = 0 . 2
Résultats moyennés sur 25 valeur sde la vitesse initiale .
16~
0.20
0.1 9
0.1 8
0.1 7
0.1 6
0.1 5
0.1 4
0.1 3
oi l
0 .1 0
0.07
0 .06
0 .04
0.03
0.02
0.01
0.00
DISTRIBUTION DE YC
-0.003
-0 .002
-0 .001
0.000
0 .00 1
IID hNE SUR 11RX;ES 0E MIME U~f1W.E
-0.004 0.0030 .002 0.0050 .004
FIGURE VI-1 5
Distribution du déplacement YcFrottement = 0 .4
Résultats moyennés sur 25 valeursde la vitesse initiale .
168
FIGURE VI-1 6
Distribution du déplacement Y'
Frottement = 0 . 6Résultats moyennés sur 25 valeurs
de la vitesse initiale .
DISR(BUTION DE Y C
0 .1 0
0.09
û~
0.07
N(—3 .3E—4, 1 .6E—3 )
o.uC
0 .01
-0 .004
-0.003
-0.002
-4.001
0 .000
0.001
0 .001
0.003
0.00 4
110TINE SUR 25 TIRAGES OE Y1T
1Nf 1WI
los
0 .04
0 .03
OEPUCBIENf
ooP
'169
DISTRIBUTION DE Y C
0 .08
0 .01
3 .1
0.04
0.03
0.01
-0 .004 -0 .003
-0 .022
--0.001
0 .000
0 .DO1
YO't NNE SUR 251IRXES OE ‘‘11 USE P 1P LE
0.002
0?UcaIENT
0 .003
0 .004 0 .005
1.006
FIGURE VI-1 7
Distribution du déplacement Yc
Frottement = 0 . - S = 0.834Résultats moyennés sur 25 valeurs
de la vitesse initiale .
-4 E-3
FIGURE VI- 18Comparaison des distributions du déplacement YC
pour s=0.834et8=0.334"moyenne sur 25 valeurs de la vitesse initiale"
111 .E-2
DEPl11kLFA
1.0 0
230
230
130
1 .00
030
0.00
0 .05
0.10
0.15
0 .20
015
030
035
0.40
0.45
0.50
1OUEMENT 0 .-VffQSE INfflALE 0.14140
DQp/ocialtn' de la barre (ver/ico/j(o) Le pramètre t . désigne le temps
entre le ième et le (i+1)eme choc .
TE ! i ALF A
0, 05
0,10
0 .15
` 20
FR MT DENT . ]T EKE IN] Tl
(b) Vitesse de chute
FIGURE VI-1 9
DAO
}a ,
0, 60
0,40
0, c.:
-0,29
0, co 0,E 0, 35 0,40 0,45 0,50
472
o-90
0.75
o.70
ass
0.60
osc
0 .4 5
0.4C
0 30
0 .25
0 .20
0.1 5
0.1 0
o.os
o .00
DISTRIBUTION DU TIPS ENTRE DEUX CHOCS
Densité de probabilité
FIGURE VI-20 (a )Distribution du temps entre deux
chocs verticaux successifsFrottement = 0 .
4'n
Fonction de répartitio n
FIGURE VI-ZO (b )Distribution du temps entre deux
chocs verticaux successifsFrottement = O .
0 . 2 5
0 .10
O . 650 .60
0 .55
0.50
0.45
0.40
0.35
0 .30
0 .25
0 .20
0 . 1 5
0 . 1 0
0 .05
0 .00
• .N
r
n
l 1 I 1 1 . 1 1 1 1 1 1 I It TEMPS iSECpNOS) 1
O .OM . OM . 033 . 0 IL . 053 . OM . 0T . 0M . 053 .1C0 .11t .120 .13J .1140 .150 .1E . IT . 1EO . 190 . 2 0
♦ Points expérimentau x
1 - F(x)
e'(a x )
a = 15 . 8
f3 = 1 .07
474
♦ Points expérimentau x
-(ax )1
F(x) = e
a = 15 .2 8
R = 1 .9 1
i
r
1 1 1 1 .t
. t t t . t . i t .
t
TEMPS (Sp)NOEI )'0 .00
0,020 0 .025 0 .030 0 .035 0 .040 0 .045 0 .050 0 .055 0 .060 0 .065 0 .010 0 .015 0 .080 0 .085 0 .090 0 .095 0 .100
Fonction de répartition
FIGURE VI. 2 1Distribution du temps entre deux
chocs verticaux successifsFrottement = 0 .2
~~s
0.95FF OUEt~CE EuikiE 'ri
T
T T T l T F
0.90
0.85
Points expérimentau x
0.80 . . . . 1
F (x) = e0 .'2 5
.
a = 14 .6 7
0 .65 —
0 .60
0 .55 —
—
0 .50
a
—
.
0 .45
0 .40r
0.35 .0.30
0.25
0 .20
0 .15
o . 1 0
0 .050 .00 l l t I l 1 1 1
1 TEMPSt(SEC~ONOS )
o . OM . 025. 030. 035. 040 . o4~. 053 . OSS. OM. 065. O'3. O715. Q . 085 . 09D. 095.100
Fonction de répartition
FIGURE VI-22Distribution du temps entre deux
chocs verticaux successifsFrottement = 0.4
a
s
Probabilite de non passagedelta = 0 .334
Lo0q (P(n))
-H- Frottement = 0 . 4
-~- Frottement = 0 . 2
.+— Frottement = 0 .
( a )
-14 I
I
I
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
2 0Nombre de rebond s
Probabilite de non passag edelta = 0 .834
-4- Frottement = 0 . 4
Frottement = 0 . 2
-+– Frottement = 0 .
I
I
I
I
I
I
I
!
8
10
12
14
16
1 8Nombre de rebond s
Figure VI-23 (c )Probabilité de non passage en fonction du nombre de rebonds
(a) b = 0.334 - (b) S = 0.834Echelle semi - logarithmique
2 64 2 0
Probabilite de non passag edelta = 0 .99
Lo8(P(n))
_2-
I
frottement = 0 . 444-
Frottement = 0 .2
4— Frottement = O .
8
10
12
1 4Nombre de rebond s
-16642 16
18
20
Figure VI-23 (c )Probabilité de non passage en fonction du nombre de rebonds
(c) b = 0 .99Echelle semi - logarithmique
178
CDHCIUSIOMS
179
CONCLUSION S
Le but essentiel du présent travail est d'analyser du point de vue de
la fiabilité un dispositif de sécurité qu'est le dispositif de barres de commande . Nou s
avons vu que les principales défaillances consistent en un retard dans la chute et dans une
mesure beaucoup moindre en un blocage . L'étude a été dans un premier temps axée surl'analyse des causes de défaillance . Pour simplifer le problème, nous avons choisi d e
représenter le système par une poutre chutant dans un conduit . L'étude dynamique du
système soumis à une condition de vitesse initiale de rotation, nous a permis de voi r
l'influence des paramètres physiques sur l'accélération de chute moyenne du dispositif .
Ainsi, nous avons vu que la vitesse initiale, qui peut être due à des vibrations d u
système de fixation ou au lâcher lui même, a une grande influence sur la chute d udispositif. L'effet du coefficient de frottement sur les vibrations de flexion de la poutr epeut - être négligé .
L'aléa sur le jeu n'a pas grande influence sur la mission comme l e
montre l'étude de sensibilité effectuée au chapitre IV .
Pour traiter convenablement le problème, nous avons montré qu e
les forces de frottement peuvent être représentées par un procéssus aléatoire de la forme :
NF (t) = µ
A s i n ( (t - t ) .H(t - t ) .H(t
+ t - t )k
k
k
choc
ki= 1
Où les amplitudes Ak
et les dates d'arrivée tk
sont issues d'une statistique sur les
résultats obtenus numériquement en utilisant le progiciel Castem 2000 . Ils sont tiré s
comme suit :
1 .1
A(A\
•k k=2 , N
k 1A = 2 . R
1
choceo
J chocc
(h \kk=1, N-1
t k+lt - t
k
choc4 . Jeu
o2 .jeuh
o= t
1=
8 Lo
180
ket
k sont des nombres aléatoires uniformes appartenant à l'intervalle [0 . 1 . ]
Les résultats obtenus à l'aide de cette représentation sont asse z
satisfaisants . La corrélation entre
etk ne semble pas avoir une grande influenc ek
sur le résultat de fiabilité .
En dernière partie, nous avons traité un cas dynamique simple don t
la géométrie est choisie de telle sorte que le système ait une éventualité de blocage . Les
non linéarités induites par les impacts et la forme de la géométrie font que le mouvement
du système est chaotique et très sensible aux conditions initiales . Le problème est étudié
en utilisant des concepts probabilistes qui consistent à déterminer la répartition d u
déplacement latéral du point sur lequel porte le critère de passage, indépendamment d uJeu1
temps . Nous avons ensuite extrapolé ces résultats au cas où le rapport b = jeu2 est
voisin de 1, en admettant qu'une fois la barre a heurté le ressaut, la répartition d u
déplacement Yc se fait de la même façon que lorsque S < 1 .
PERSPECTIVES
Le présent travail, peut être utilement complété par une étud e
expérimentale du même dispositif. Ce qui permettrait de faire une statistique sur le srésultats expérimentaux et vérifier le choix les paramètres Ak et tk du modèle des force s
d'impacts .
On pourrait également songer à prendre en compte les aléas sur l a
géometrie et les caractéristiques mécaniques du matériau constituant la barre d e
commande en modélisant par exemple le module de young par un processus aléatoir e
spatial .
Nous avons étudié en dernière partie, un cas particulier de ressau t
(figure a) . L'approche proposée est assez simplifiée et mériterait d'être approfondie e n
termes de sensibilité paramétrique . Nous avons vu en particuliers, que la souplesse desbutées peut induire une erreur supplémentaire sur les distributions du déplacement Y
C, i l
serait donc souhaitable d'étudier son influence sur la précision des résultats . Il est auss i
intéressant de voir l'incidence de la géométrie du ressaut sur le comportement du systèm een étudiant par exemple le cas exposé en (b) .
181
Jeu2
Jeu -1
(a)
Jeu2
Jeu -1
( b )
Une reflexion sur la validation expérimentale d'une telle étude doi t
également être faite, en particuliers dans le cas des petits défauts (8 =V 1) où des problèmes
de caractérisation se posent.
On pourrait ensuite penser à confronter le modèle à des résultats de
taux de défaillance des dispositifs réels .
182
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188
189
ANNEXE I
TRANSFORMATION DE ROSENBLAT T
Soit un ensemble de n variables aléatoire sque l'on note sous forme vectorielle X = (x
1, x
2, x
n) . Désignons par
FX
(X) sa fonction de répartition jointe . On peut alors trouver un ensemble U = (u , u2
,
un) de n variables normales standard statistiquement indépendantes en utilisan t
les équations suivantes : [ Rosenblatt 1969 ]
(D (u l ) = F(x l)
0(u2) = F2(X2/x1 )
(AI .1 )
(1)(un) = Fn (xn/x l , Xn-1)
Où (1) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite .
L'ensemble U est simplement obtenu en inversant les équations (A .1) :
u l = (D- CF (Xl)l
u2 = (D- [F2(x2/x 1 )]
(AI.2)
un = (D-1 [Fn(xn/x l , Xn-1 )]
Les équation (A.2) sont appelées : transformation de Rosenblatt.
L'utilisation de la méthode approximative du FOSM pour calculer
la fiabilité, exige que les variables de bases de la fonction de performance soien t
normales . Lorsque ces variables de bases ne sont pas normales, on calcule alors de s
normales équivalentes en utilisant les transformations de Rosenblatt .
190
