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mohamud-lhaf
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cours et explications
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Rupture versus résistanceRupture versus résistance
F F
τ
σ
Exercice 1:
Le bloc a une dimension de 1 m × 1 m × 1 m. La force minimale exigée pour déplacer le bloc est de 20 kN. Calculez la résistance (capacité) de l'interface entre le bloc et le plancher.le bloc et le plancher.
Rupture versus résistanceRupture versus résistance
τ μστ =Sans colle
µF
1
δ
τ
σ
σ
τ μστ += c μστ +c
µδ
Avec colle
1
δF
τ
σ
σc
C'est quoi, l'angle δ?
δ
T
δ δδ
WN
WT δτ sin== angle de
AAτ ==
WN δμδ
δδτ
=== tansinfrottement
AW
AN δσ cos
== δσ coscoefficient de f tt tfrottement
U li t d t iUn glissement de terrain
État de contrainte le long du planÉtat de contrainte le long du plan de glissement
•Cercle de Mohr•Cercle de Mohr–État de contrainte en un seul point sur des plans à l'orientation quelconque
Méthode Analytiqueσα
α
σ3
ταα
σ
α
AAsinα
É ilib d l di ti h i t l
σ1Acosα
Équilibre dans la direction horizontale:
0sin)(cos)()sin(3 =−− ασατασ αα AAAÉquilibre dans la direction verticale:
0cos)(sin)()cos(1 =−+ ασατασ αα AAA1 αα
1 Composante normale
0sin)(cos)()sin(3 =−− ασατασ αα AAA0cos)(sin)()cos(1 =−+ ασατασ AAA 0cos)(sin)()cos(1 + ασατασ αα AAA
0sincossin =−− ασατασ 0sincossin3 =ασατασ αα
0cossincos1 =−+ ασατασ αα
( ) ααασατασ αα sin0sinsincossin3 ×=×−−( )αα3
( ) ααασατασ αα cos0coscossincos1 ×=×−+
( ) 0sincossinsin 223 =−− ασαατασ αα( )3 αα
( ) 0coscossincos 221 =−+ ασαατασ αα
( ) 0sincossinsin 223 =−− ασαατασ αα( )3 αα
( ) 0coscossincos 221 =−+ ασαατασ αα
ασασσα2
12
3 cossin +=
22cos1cos 2 αα +
=ααα 2cossincos 22 =−
1sincos 22 =+ αα
2
2cos1sin 2 αα −=1sincos =+ αα 2
sin α
22cos1
22cos1
13ασασσα
++
−=
22 13α
2 Composante Tangentielle
0sincossin =−− ασατασ 0sincossin3 =ασατασ αα
0cossincos1 =−+ ασατασ αα
( ) ααασατασ αα cos0cossincossin3 ×=×−−( )αα3
( ) ααασατασ αα sin0sincossincos1 ×=×−+
( ) 0cossincoscossin 23 =−− αασαταασ αα( )3 αα
( ) 0cossinsincossin 21 =−+ αασαταασ αα
( ) 0cossincoscossin 23 =−− αασαταασ αα( )3 αα
( ) 0cossinsincossin 21 =−+ αασαταασ αα
( )( ) αασστα cossin31 −−=
ααα cossin22sin =
ασστα 2sin2
31 −−=
État de contrainte en un point
σαα
σ3
ταα
σ
α
AAsinα
σ1Acosα
ασσσσσα 2cos22
3131 −+
+=
ασστα 2sin2
31 −−=
22
α 2
Exercice 2: Calculer les contraintes normales et de cisaillementExercice 2: Calculer les contraintes normales et de cisaillement sur différents plans d'orientation.
h = 10 mσvφ' = 30°γ 20 kN/m3σh γ = 20 kN/m3
σv α
Méthode Graphique
ασσσσσα 2cos22
3131 −+
+=
ασστα 2sin2
31 −−=
ασσσσσα 2cos22
3131 −=
+−
ασστα 2sin2
31 −−=
σσσσ 22⎞⎛⎞⎛ +
2
2⎞⎛
ασσσσσα 2cos22
23131 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
ασστα 2sin2
2312 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
σσσσ 22
312
31 ⎟⎞
⎜⎛ −
⎟⎞
⎜⎛ +
σσ 2⎞⎛ −
ασσσσσα 2cos22
23131 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
ασστα 2sin2
2312 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
( )αασστσσσ 2sin2cos 222
3122
31 +⎟⎞
⎜⎛ −
=+⎟⎞
⎜⎛ +
− ( )αατσ αα 2sin2cos22
+⎟⎠
⎜⎝
=+⎟⎠
⎜⎝
2312
231
22⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−σστσσσ αα
⎠⎝⎠⎝
État de contrainte en un point
σσσσ 23131 −+σα
α
ασσσσσα 2cos22
3131 ++
=
σ3
ταα
α
ασστα 2sin2
31 −−=
σ1
AAsinα
Acosα
2312
231 ⎟
⎞⎜⎛ −
+⎟⎞
⎜⎛ + σστσσσ
Acosα
3131
22⎟⎠
⎜⎝
=+⎟⎠
⎜⎝
− τσ αα
Exercice 3: Tracer les cercles de Mohr des états de contraintes totales et effectives pour h =Tracer les cercles de Mohr des états de contraintes totales et effectives pour h = 10 m et 20 m, respectivement.
Estimer les contraintes normales et de cisaillement sur un plan incliné de 30° parEstimer les contraintes normales et de cisaillement sur un plan incliné de 30 par rapport à l'horizontale.
h = 10 mφ' = 30°φγ = 20 kN/m3α = 30°
Critère de CoulombCritère de Coulomb
Capacité(Disponibilité)
φστ tan+= c
( p )
φστ tan+= c
Demande(Appliquée)
Exercice 4: Pour un sable donné estimer les capacités et les demandes sur des plans différentsPour un sable donné, estimer les capacités et les demandes sur des plans différents.
α (°) Capacité Demande C – D
h = 10 mφ' = 30°γ = 20 kN/m3α
σ tanφ (kPa) τ (kPa) (kPa)
0 115.5 0.0 115.55 115.0 8.7 106.310 113.7 17.1 96.615 111.6 25.0 86.620 108.7 32.1 76.62525 105.2 38.3 66.930 101.0 43.3 57.735 96.5 47.0 49.540 91.6 49.2 42.40 91.6 49.2 42.445 86.6 50.0 36.650 81.6 49.2 32.355 76.7 47.0 29.760 72.2 43.3 28.965 68.0 38.3 29.770 64.5 32.1 32.375 61 6 25 0 36 675 61.6 25.0 36.680 59.5 17.1 42.485 58.2 8.7 49.590 57.7 0.0 57.7
Plan de rupture du critère de Coulomb σα
σ3 ταα( )φστ tan+cfσ1
( )φστ αα tan+−= cf
⎬⎫
⎨⎧
⎟⎞
⎜⎛ −+− φσσσσσσ 22i 313131f
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−= φασσσσασσ tan2cos
222sin
2313131 cf
0=∂∂αf 0tan2sin2cos =+ φαα
φ2
45 φα +°=
Critère de Coulomb• La surface de rupture ou les plans de glissement font toujours un
angle de 45°‐φ/2 avec la contrainte principale maximale et un angle d 45° φ/2 l i i i l i i lde 45°+φ/2 avec la contrainte principale minimale
σ145°‐φ/2φ/
45°+φ/2
σ3σ3
plans de rupture p pusuellement observés pendant un essai triaxial
C itè d C l bCritère de Coulomb dans le plan de contraintes principalesp p p
φφσ
φφσ
i1sin1
i1cos2
31+
+=c
φφ sin1sin1 31 −−
( ) ( )2/45tan2/45tan2 231 φσφσ +°++°= c
ψσσ tan31 +=UCS
Exercice 5: Des essais de cisaillement direct donnent les résultats montrés sur la fifigure.
1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb.2 Q els sont les paramètre d ritère de Mohr Co lomb?2. Quels sont les paramètre du critère de Mohr‐Coulomb?3. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ = 5 kPa)?4. Si un tel matériaux est subit à un essai de compression triaxiale, à quelle valeur la contrainte
axiale qu'il y aurait la rupture si la contrainte de confinement est de 10 kPa?axiale qu il y aurait la rupture si la contrainte de confinement est de 10 kPa?5. Si la contrainte axiale est de 100 kPa, quel est la valeur minimale dans la direction
horizontale pour éviter la rupture?6 Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale avec tel matériaux?6. Quel angle le plan de rupture fera avec l horizontale avec tel matériaux?
τ
24 kPa
12 kPa
19 kPa
Exercice 6: Des essais de cisaillement direct donnent les résultats montrés sur la figure.
1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb.2. Quels sont les paramètre du critère de Mohr‐Coulomb?3 Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa σ = 5 kPa)?3. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ = 5 kPa)?4. Si un tel matériaux est subit à un essai de compression triaxiale, à quelle valeur la contrainte
axiale qu'il y aurait la rupture si la contrainte de confinement est de 10 kPa?5 Si la contrainte axiale est de 100 kPa quel est la valeur minimale dans la direction5. Si la contrainte axiale est de 100 kPa, quel est la valeur minimale dans la direction
horizontale pour éviter la rupture?6. Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale quand tel matériaux est subi un essais
de compression triaxiale?de compression triaxiale?
τ
15.6 kPa
3.5 kPa
10.4 kPa
Conditions de drainage
Phase 1: Phase 2: SymboleConsolidation Cisaillement
Non consolidé(Un‐consolidation)
Non drainé(Un‐drained)
UU
Consolidé Non drainé(Un‐drained)
CU
Consolidé Drainé CDConsolidé Drainé CD
Essais en compression triaxiale en condition non consolidée et non drainée (UU)
ττ
Pas besoin de mesurer la pression
ll
cu ou su
interstitielleφu = 0
σσc1 σc2 σa1 σa2
C t i t d' bt i l é i t d' il ditiCet essai permet d'obtenir la résistance d'une argile en condition non consolidée et non –drainée (dans la pratique on dit tout simple résistance au cisaillement non drainée), cu ou su. L'angle de frottement est 0est 0.
Essais en compression triaxiale en condition consolidée et drainée (CD)
ττ
φ'
c'σσc1 σc2 σa1 σa2
c
C t i t d' bt i l é i t d' l diti lidéCet essai permet d'obtenir la résistance d'un sol en condition consolidée et drainée. Les deux paramètres sont:
cohésion effective c'cohésion effective, cangle de frottement effectif, φ'
Essais en compression triaxiale en condition consolidée et non drainée (CU)
ττφ'
φ
Besoin de mesurer la pression interstitielle
σσc1 σc2σa1 σa2σ'c1 σ'c2 σ'a2σ'a1
Avec la mesure de pression interstitielle, cet essai permet d'obtenir les paramètres de résistance au cisaillement d'un sol équivalents d'en condition consolidée et drainée c' et φ'condition consolidée et drainée, c et φ .
Exercice 7: Vous avez réalisé deux séries d'essais de compression triaxiale. Les résultats sont résumés comme suitrésumés comme suit
1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb.2 Quels sont les paramètre de résistance à court terme?2. Quels sont les paramètre de résistance à court terme?3. Quels sont les paramètre de résistance à long terme?4. Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale avec tel matériaux?5. Si un état de contrainte totale est σ = 200 kPa et σh = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la5. Si un état de contrainte totale est σv 200 kPa et σh 100 kPa, est ce qu il y aurait la
rupture? Quel est le FS?6. Si un état de contrainte totale est σ'v = 200 kPa et σ'h = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la
rupture? Quel est le FS?p7. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ' = 5 kPa)?
Pression de Contrainte axiale
Essais UU
Pression de confinement
Contrainte axiale appliquée à la
Pressioninterstitielle
Essais CU
confinement(kPa)
appliquée à la rupture (kPa)
10 30
confinement(kPa)
appliquée à la rupture (kPa)
interstitielle(kPa)
35 80 1510 30
20 4065 100 54100 180 56
Exercice 8: Vous avez réalisé deux séries d'essais de compression triaxiale. Les résultats sont résumés comme suitrésumés comme suit
1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb.2 Quels sont les paramètre de résistance à court terme?2. Quels sont les paramètre de résistance à court terme?3. Quels sont les paramètre de résistance à long terme?4. Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale avec tel matériaux?5. Si un état de contrainte totale est σ = 200 kPa et σh = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la5. Si un état de contrainte totale est σv 200 kPa et σh 100 kPa, est ce qu il y aurait la
rupture? Quel est le FS?6. Si un état de contrainte totale est σ'v = 200 kPa et σ'h = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la
rupture? Quel est le FS?p7. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ' = 5 kPa)?
Pression de confinement Contrainte axiale appliquée à
Essais CD
Pression de Contrainte axiale
Essais UU
(kPa) la rupture (kPa)
35 8065 100
confinement(kPa)
appliquée à la rupture (kPa)
10 30 65 100100 180
10 30
20 40
Exercice 9: Vous faites une construction sur un sol argileux submergé en surface sur une f d d h l d k f dfondation de 5 m par 8 m. La charge totale est de 2000 kN. Supposons que vous avez fait des essais de laboratoire. Les résultats sont montrés à l'exercice 8. En négligeant le poids de la fondation, calculez
1. le FS (facteur de sécurité) à court terme au point A et au point B;2. le FS (facteur de sécurité) à long terme au point A et au point B?
2000 kN
5 m
A B
4 m
Tassement
DéfinitionsLe tassement d'une structure est le résultat de la déformation du sol de fondation. L'origine de cette déformation peut être un ou plusieurs suivant(s):plusieurs suivant(s):– La déformation sous une charge totale croissante est appelée
"mouvement" ou "déplacement"mouvement ou déplacement .– Le changement de volume associé à la diminution du volume
d'air, provenant d'un effet dynamique ou d'un chargementd air, provenant d un effet dynamique ou d un chargement statique, est appelé "compactage".
– Les changements de volume progressifs associés à une g p gréduction de la teneur en eau du sol est appelé "consolidation".
– La déformation sous contrainte effective constante est appelée "fluage".
Composantes du tassementCompressibilité du sol: Diminution du volume
‐ Compressibilité de l’aire qui remplit le vide: Quasi instantané‐ Evacuation de l’eau: Consolidation primaire (le volume diminue)‐ Compression du squelette solide: Consolidation secondaire (phénomène du
fluage)
Tassement final: Différentes composantes tS
scispt SSSSSS ++=+=
primaireTassementS =ondairesecTassementSs =
primaireTassementSp
immédiatTassementSi =
iliddTS ionconsolidatdeTassementSc =
Composantes du tassement
Pour les sols argileux, le tassement total, st:
où si = tassement immédiate (déformation élastique des fondations scit SSSS ++=
structurales);sc = tassement de consolidation (variation de teneur en eau);s = tassement secondaire (fluage)ss = tassement secondaire (fluage).
Pour les sables, le tassement total, st:, , t
sit SSS +=où le tassement immédiate, si, comprend le tassement élastique, se, et le tassement de consolidation (appelé plutôt "compression"), sc:
cei SSS +=
Tassement immédiatiS- indépendant du temps- Déterminé à partir du calcul d’élasticité
Tassement de consolidationfonction du temps
cS- fonction du temps(peut prolonger pendant des mois ou des années)- se produit dans les sols à grain finse produit dans les sols à grain fin(faible coefficient de perméabilité)
Tassement de consolidation- fonction du temps
d i à i ff i
sS
- se produit à contrainte effective constantesans variation de pression interstitielle- Phénomène de fluage- Phénomène de fluage
1‐ Tassement d’un sol Grenu (sable, gravier)
Coefficient de perméabilité est élevé
Saturé ou non
é ’Le tassement est immédiat au moment d’application de la charge
Il n’est dû qu’à la Compression du squelette solide
Les tassements sont les mêmes que le sol soit sec, humide ou saturé
Les déformations sont dues à deux choses
‐ Réenchevêtrement des grains ce qui provoque une diminution deRéenchevêtrement des grains ce qui provoque une diminution de
l’indice des vides
‐ Déformation des grains eux même sous l’action des forces de contact.
‐ Variations de l’indice des vides
• ‐Compression d’un échantillon sable sans déformation latérale
• Au début déformation importante (Mouvement des grains)L l i• Lorsque les contraintes augmenteCompression élastique des grains
• Cycle ABCA : Montre comportement incompressible
Très forte contrainte il y a écrasement des grainsy g
• Il se traduit par un coude sur la courbe(rarement rencontré dans la pratique)
Lae tassement dans un sol grenu est dû
aux réenchevêtrement des grains:g
‐ Sol densité faible (sol lâche): Compressible
‐ Sol densité élevée (sol serré): très peu compressible
Rq: Le tassement d’un sol grenu est négligeable au voisinage d’une couche sol finRq: Le tassement d un sol grenu est négligeable au voisinage d une couche sol fin
saturé.
2‐ Tassements des sols fins ‐ Consolidation
‐Faible coefficient de permiabilité‐Sous l’action d’une charge l’eau libre ne peut s’évacuer
Pour les sols argileux le tassement total s :Pour les sols argileux, le tassement total, st:
où si = tassement immédiate (déformation élastique des fondations structurales par exemple);
sp = tassement de consolidation (variation de teneur en eau): Tassement primaireprimaire
ss = tassement secondaire (fluage).
Si on écrit la relation
- Analogie MécaniqueSi on écrit la relation
On obtient par différentiationOn obtient par différentiation
Ce qui donne
Cette étape correspond au transfert de la contrainte de l’eau vers le squelette solide
Essai Œdométrique
Hypothèses:Loi de comportement :
consolidation unidimensionnelle
df i
Hypothèses:
zz defonctionen σε
Tassement:HΔ
L’essai Oeudométrique fournit deux type de courbes:
Courbe de consolidationTassement de l’échantillon en fonction du
temps pour une contrainte constante
Essai répété pour plusieurs contraintes
sur le même échantillonsur le même échantillon
Courbe de compressibilitéTassement de l’échantillon en fonction deTassement de l échantillon en fonction de
la contrainte appliquée.
Courbe de consolidation
Deux phases:
-Consolidation primaire qui correspondp q p
au phénomène de la dissipation
interstitielle.
- Consolidation secondaire pour
laquelle le squelette solide continue à
tasser bien que la surpressiontasser bien que la surpression
interstitielle est nulle. Ils sont faibles en
généraleg
Branche BC:
Courbe de consolidation
Branche BC:
Zone de consolidation primaire correspond à
l’évacuation de l’eau en excèsl évacuation de l eau en excès
B h BCBranche BC:
Caractérise la consolidation secondaire qui est le
résultat du réarrangement progressif de la structurerésultat du réarrangement progressif de la structure
du sol
Le point A:
Fin du tassement primaire
Courbe de compressibilité
Elle traduit la déformation verticale ou l’indice desElle traduit la déformation verticale ou l indice des
vides en fonction de la contrainte effective
Ou en fonction de
'vσ
)log( 'σ
Branche AB: Zone de recompression
)log( vσ
correspond à faible tassement
Branche BC: Zone de transition La
'pσ
Branche BC: Zone de transition. La
contrainte de transition est 'pσ
Contrainte effective verticale maximale
exercé sur le sol dans son passé
'pσ
Branche CD: Zone de compression
géologique
p
vierge. Correspond à une linéarité de la courbe
Indice de gonflement
La pente du cycle de déchargement et de
rechargement
-Non constant
- Dépend de l’état initial considéré et de'σ- Dépend de l état initial considéré et de
l’intervalle des contraintes
σ'σΔ