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1
Meccanica dei Fluidi• Definizione di Pressione:
Fr
τFr
nFr
SF
p n
∆≡
S∆
• Dimensioni e unità di misura:[ ] [ ] [ ] [ ]
Pam
NtlmlmltSFp
=
⋅⋅=⋅=⋅= −−−−−
2
21221
Pascal
unità Pascal dine⋅cm-2 millibar mmHg (torr) Atmosfere1 Pascal 1 10 10-2 0.75⋅10-2 0,9871⋅10-5
1dine⋅cm-2 0,1 11 millibar 102 1 0,75 0,9871⋅10-3
1mmHg (torr) 133 1,33 1 1,316⋅10-3
1 Atmosfera 1,013⋅105 1,013⋅103 760 1
• Tabella di conversione:
S
n
τ
θ
S
F
∆=
θcosr
2111 −−⋅= smkgPa
2
Densità e peso specifico• Si definisce densità di una sostanza omogenea il rapporto fra la
massa di tale sostanza e il volume da essa occupata
Vm
=ρ
• le dimensione di ρ sono: [ ] [ ]3−⋅= lmρ• e le unità di misura sono:
==
==⇒
→
→
−
−
−
−
lkg
lkg
cmg
mkg
mkg
cmg
mkgMKS
cmgCGS
110
101
101010
1
3
3
3
33
36
3
3
3
3
• La densità di una sostanza solitamente diminuisce con latemperatura; ci sono particolari e rare eccezioni:– l’acqua fra 0 e 4 °C
• Si definisce peso specifico il rapporto fra il peso e il volume:
gVmg
VP
ρσ ===
3
Fluidi: Liquidi & Aeriformi• Definizione intuitiva:
– Fluidi: sostanze non aventi forma propria• Liquidi: fluidi dotati di volume proprio• Aeriformi: fluidi non dotati di volume proprio
• Tale definizione ha problemi nel descrivere le gelatine
• Fluidi: sostanze in cui, all’equilibrio, tuttigli sforzi interni hanno direzione normale alle rispettive superfici (in una gelatina questo non succede)
• Liquido: fluido dotato di bassissima compressibilità isoterma
• Aeriforme: fluido dotato di elevata compressibilità isoterma
• Definizione corretta:
4
Pressione in un punto
• Consideriamo un punto Q in un fluido all’equilibrio. Consideriamo diverse areole ∆Sicontenenti Q. Si trova che– La pressione “p” non dipende dall’orientamento
della areola considerata.
• Quindi possiamo parlare di pressione nel punto Q senza alcuna altra specificazione
Q
∆S1
∆S2
∆S3
5
Leggi fondamentali dell’idrostatica• Consideriamo un liquido in quiete
• Il fatto di essere all’equilibrio ci permette di trattare il parallelipedo come se fosse rigido
• Per definizione di fluido, le forze agenti sulle superfici laterali sono ad esse normali e siccome il liquido è in quiete la risultante di esse è nulla (d’ora in poi le trascuriamo)
y
y1
y2
j y=0superficie libera
• Isoliamone un parallelipedo:
6
… le leggi fondamentali dell’idrostatica 2• Consideriamo la forza di gravità P agente sul centro di massa G
• Sulla faccia inferiore S2 del parallelepipedo agisce una forza |F2|=p2·S2 diretta verso l’alto
y
Gy1
y2
Pr
2Fr
1Frj y=0
superficie libera
• Sulla faccia superiore S1 del parallelepipedo agisce una forza |F1|=p1·S1 diretta verso il basso
7
… le leggi fondamentali dell’idrostatica 3
• Se chiamiamo ρ la densità del liquido (incomprimibile) e V=(y2-y1)·S il volume del parallelepipedo: ( ) ρρ ⋅−=⋅= SyyVm 12
( ) gyypp ρ⋅−=− 1212
• Essendo (y2-y1)>0 risulta p2>p1, cioè la pressione cresce con la profondità
( ) ( )( ) ( )
+=+=⇒=+−
⇒
=⋅−=⋅−=
⋅=⋅==++
mgSpSpPFFPFF
jmgPjSpjSpF
jSpjSpFPFF
12
1221
2222
1111
21
0
ˆˆˆ
ˆˆ0
rrr
rrr• Il parallelepipedo è in quiete anche verticalmente, quindi:
( ) gSyySpSp ⋅−+=⇒ ρ1212
8
Legge di Stevino• Supponiamo che nell’eq. precedente sia y1=0 → p1=p0
• La pressione in un liquido (incomprimibile) a profondità y, detta p0 la pressione esterna, è: ygpp ρ+= 0
• Possiamo quindi ribadire la legge di Stevino che afferma: “una colonna di liquido in quiete, di altezza h, esercita alla base una pressione (idrostatica) pari a ρgh”.
• Esempio, corpo in immersione sott’acqua:– 10metri di acqua corrispondono a 1atm di pressione.
atmPammskg
msm
mkg
p
mhmkg
ghppp
11010108,910
10
10 52
25
233
33
0
≈=⋅
≈⋅⋅=∆⇒
=
=
=−=∆−
ρ
ρ
9
Applicazione della legge di Stevino: Pressione media nel corpo umano
00 =∆⇒=∆ py
mymh
02
==
0pp =
my 1=
( )
torrPap
mp
gypypp
sm
m
kg
sangue
7710029,1
18,91005,14
3
0
23
≈⋅=∆
⋅⋅⋅=∆
=−=∆ ρ
my 2=torrPagyp sangue 15510058,2 4 ≈⋅==∆ ρy
10
Vasi comunicanti• Consideriamo un sistema composto da due liquidi immiscibili (acqua e olio).• Il liquido meno denso (olio→1) si dispone sopra quello più denso (acqua → 2)
– ρ1<ρ2
• Consideriamo il livello a profondità h dalla superficie di separazione dei due liquidi. All’equilibrio, la pressione è costante su tutto il livello
• Quindi, la pressione data dalla colonna sinistra è uguale alla pressione data dalla colonna di destra. Per la legge di Stevino è:
A Bh
h1 h2
1
2
2
12211
22202110
ρρ
ρρ
ρρρρ
=⇒=
++=++
hh
ghgh
ghghpghghp
p0p0
11
Pressa & Martinetto idraulico• Supponiamo che la pressione esterna p0 varii di una quantità ∆p0
• Applicando Stevino, la pressione a profondità y varia come:
S1S2
1Fr
2Fr
0000
0 ppppppgyppp
gypp∆=−′=∆⇒
∆+=+∆+=′+=
ρρ
• Cioè, a profondità y arbitraria, si ha la medesima variazione di pressione imposta sulla superficie
Legge di Pascal
1212 FFSS >>⇒>>11
22
2
22
1
11
21
, FSS
FSF
pSF
p
pp=⇒
=∆=∆
∆=∆
• Su tale principio si basano la pressa e il martinetto idraulico:– Esercitiamo una forza F1 che determina una variazione di pressione ∆p1:
12
Principio di Archimede• Consideriamo una superficie chiusa S in un fluido in quiete, di
densità ρ’• La forza peso P=mg=ρ’·Vg della massa di fluido
racchiusa nella superficie S è equilibrata dalla risultante delle forze di pressione
ρ’
• Supponiamo di sostituire la massa di fluido racchiusa da S con uncorpo solido, liquido o gassoso avente lo stesso contorno S e densità ρ. ρ’
ρ• Le forze di pressione sono rimaste invariate,perchè dipendono solo dalla pressione esterna,dalla profondità e dalla densità ρ’ del fluido
• Esse, come prima, sono date da (ρ’Vg), cioè vale il principio di Archimede:– Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verticale verso
l’alto pari al peso del volume di fluido spostato
13
... principio di Archimede 2• Consideriamo un corpo di volume V, densità ρ completamente
immerso in un liquido di densità ρ’– La forza peso a cui è soggetto il corpo è: VgmgP ρ==– La spinta di Archimede è: VgF ρ ′=
ρρ ′>⇒> FP Il corpo affondaρρ ′<⇒< FP Il corpo galleggiaρρ ′=⇒= FP Il corpo è in equilibrio
indifferente– se è ρ<ρ’ il corpo galleggia lasciando immersa una frazione
del proprio volume affinchè:
ρρ
ρρ
′=
′====
VV
gVFVgmgP
immerso
immerso
%8989.01003,11092,0
1092,01003,1
3
3
3
3
3
32 ==⋅⋅
=⇒
⋅=⋅=
VVimmerso
mkg
ice
m
kgOH
ρρ
14
Misurazione della Pressione• Gli strumenti di misura della pressione si chiamano manometri. In
casi particolari:– barometri: per la pressione atmosferica– sfigmomanometri: pressione arteriosa
pa
p
Sh1
h2
( )12
21
hhgpp
gShSpgShpS
a
a
−=−+=+
ρρρ
Manometro differenziale
• Pressione normale– Barometro di Torricelli
hpaghpa ρ=
– g varia con la latitudine e altitudine– ρ con la temperatura– Pressione normale
• latitudine 45°• livello del mare• temp. O°C
g=9,806m/s2
ρHg=13,595g/cm3
atmPaPatorrpmmh 110013,176,0806,910595,13760760 530 =⋅=⋅⋅⋅==⇒=
• Manometro ad aria libera:
15
Campo vettoriale• Consideriamo una regione di spazio in cui sia definita (in ogni
punto) una grandezza– Grandezza scalare→Campo scalare– Grandezza vettoriale→Campo vettoriale
• Un campo c≡c(x,y,z,t) si dice:– uniforme → La grandezza è costante in ogni punto: c=c0
– stazionario → La grandezza può variare da punto a punto, ma ècostante nel tempo, cioè c=c(x,y,z)
• Rappresentazione tramite linee di flusso– consentono di capire direzione e verso del vettore campo in ogni
punto dello spazio – in un campo vettoriale stazionario: 2A
r3A
r
1Ar
1B2B
3B
4Ar
4B5A
r
5B
16
Linee di flusso• La tangente alla linea di flusso, orientata come la linea di flusso
stessa, rappresenta in ogni punto la direzione e il verso del (vettore) campo in quel punto
Campo più intenso
Campo meno intenso
• E l’informazione sul modulo di tale vettore?
• Notiamo che non è possibile tracciare le linee di flusso in ogni punto• Si ricorre alla convenzione che:
– Il numero di linee che attraversano una superficie unitaria, normale alle linee stesse, sia proporzionale alla grandezza del vettore campo nella zona in cui la superficie è disegnata
• L’infittirsi quindi delle linee di flusso indica che lì il campo diventa più intenso, il diradarsi più debole:
17
Linee di corrente• Il campo rappresentato dalle linee di flusso può essere il campo
gravitazionale, quello elettrostatico, magnetico,…, idrodinamico.• In quest’ultimo caso la grandezza vettoriale definita in ogni punto
dello spazio è la velocità v=v(x,y,z,t) del fluido. Ad essa si aggiungono altre grandezze definite in ogni punto dello spazio: p=p(x,y,z,t); ρ=ρ(x,y,z,t).
• Nel caso di un campo velocità le linee di flusso si chiamano solitamente linee di corrente.
• La tangente alla linea di corrente in ogni punto rappresenta la direzione (e verso) del vettore velocità (del fluido) in quel punto.
• Il caso stazionario [v=v(x,y,z); p=p(x,y,z); ρ=ρ(x,y,z)] è estremamente interessante perché in questo caso il vettore velocità, la pressione e la densità sono costanti (nel tempo) in ogni punto. Ciò non vuol dire che il vettore velocità è ovunque uguale, ma che in ogni punto la velocità non varia nel tempo, anche se può essere diversa da punto a punto
18
Campo idrodinamico• Facciamo le seguenti ipotesi:
– Campo idrodinamico stazionario:( ) ( ) ( );,,;,,;,, zyxzyxppzyx ρρ ===vv rr
– Campo idrodinamico irrotazionale (“assenza di mulinelli”)
– Ipotesi semplificative: Fluido Ideale• Fluido incomprimibile: ρ=ρ0
• Fluido non viscoso: η=0• Assumere che un fluido sia non viscoso equivale a richiedere che
il sistema sia meccanicamente conservativo – (conservazione dell’energia meccanica E=Ep+Ek)
19
… campo idrodinamico 2• Per ogni punto di un campo idrodinamico stazionario passa una ed
una sola linea di corrente– Se così non fosse avremmo 2 velocità definite nel medesimo punto
L1L2
• Sia data una linea chiusa L1, immersa in un campo stazionario;• Consideriamo le linee di corrente passanti per ogni punto di L1;
consideriamo ora una seconda linea chiusa L2 che si appoggia alle medesime linee di flusso.
• Definiamo tubo di flusso la superficie tubolare realizzata dalle linee di flusso racchiuse da L1 e L2.
20
Principio & Equazione di Continuità• Non ci possono essere linee di corrente che attraversano
il tubo di flusso– Infatti, altrimenti per i punti della superficie passerebbero più
linee di corrente
• Quindi. si può enunciare il Principio di Continuità:La massa di fluido che attraversa in un dato intervallo di
tempo la sezione di un tubo di flusso deve essere uguale a quella che passa nel medesimo intervallo per ogni
altra sezione
• Questo è valido in assenza di pozzi e sorgenti.
21
Equazione di continuità• Vediamolo in formule:
• Per il principio di continuità:
1S
2S
t?x ∆⋅= 11 v
tx ∆⋅=∆ 22 vtSxSV ∆=∆⋅=∆ 11111 v
tSV ∆=∆ 222 vtStSmm ∆=∆⇒= 22211121 vv ρρ
2211222111 vvvv SSSS =⇒= ρρ
• Equazione di continuità:
Liquidi incomprimibili: ρ1=ρ2=ρ
tSVm ∆⋅=∆= 111111 vρρ
22
Portata
• Il prodotto ρSv rappresenta la massa che attraversa la superficie S nell’unità di tempo, cioè la portata in massa (kg/s). L’equazione di continuità è quindi detta legge della costanza della portata
cost222111 =⇒= vvv SSS ρρρ
costcost
2211
=⋅⇒
==
vvv
SSS
ρ
• Se il liquido è incomprimibile, il prodotto S·vrappresenta la portata in volume (m3/s, l/s). In questa ipotesi, la portata in volume è costante.
23
Teorema di Bernoulli• Consideriamo un fluido non viscoso → Vale la conservazione
dell’energia meccanica
1Fr
2Fr
2F ′r
1S
A
B 2S
C
D
A’
B’
C’
D’
0=h
• Analizziamo le forze agenti sul volume di fluido ABCD:
txDDCC
txBBAA
∆=∆=′=′
∆=∆=′=′
22
11
vv
gr
– La forza F1=S1P1 dovuta alla pressione che il fluido a monte esercita su ABCD
– La forza F2’=-S2P2 dovuta alla reazione del fluido a valle alla pressione che ABCD esercita su di esso.
– La forza peso
24
…teorema di Bernoulli 2• Consideriamo i lavori di tali
forze supponendo che il volume ABCD si sposta in A’B’C’D’: 2222222
1111111
:
:
xSpxFF
xSpxFF
∆−=∆⋅′=
∆=∆⋅=
lr
lr
• Per calcolare il lavoro della forza peso occorre notare che, grazie al principio di continuità, la massa che nell’intervallo di tempo ∆t attraversa la sezione S1 è uguale a quella che attraversa S2, cioè:
222111 xSxS ∆=∆ ρρ• è come se la massa contenuta in A’B’CD rimanesse ferma, mentre
quella contenuta ABB’A’ passasse da quota h1 a quota h2collocandosi in DCC’D’
1Fr
1S 2S
2Fr
2F ′r
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
1h
2h0=h
gr
25
…teorema di Bernoulli 3• Quindi il lavoro fatto dalla forza peso è (considerando
ρ=ρ1=ρ2=cost):
( ) ( )21112111 hhgtShhgxShmgP −∆=−∆=∆= vρρl
( )211122211121 hhgxSxSpxSpPT −∆+∆−∆=++= ρllll
• Per applicare il teorema dell’energia cinetica possiamo ripetere la considerazione precedente e considerare solo la variazione di velocità della massa contenuta in ABB’A’ che va in DCC’D’
( ) ( ) ( )21
2211
21
2211
21
22 2
121
21 vvvvvvv −∆=−∆=−=∆ tSxSmK ρρ
• Il lavoro totale è:
( )2111222111 hhgtStSptSpT −∆+∆−∆= vvv ρl
26
( ) ( )21
22112111222111 2
1 vvvvvv −∆=−∆+∆−∆ tShhgtStSptSp ρρ
…teorema di Bernoulli 4• Imponendo il teorema dell’energia cinetica:
• Imponendo l’eq. di continuità S1v1=S2v2:
cost21 2 =++ vρρ ghp
⇒∆= KTl
( ) ( )2222
2111
21
22112111112111
21
21
21
vv
vvvvvv
ρρρρ
ρρ
++=++
−=−+−
ghpghp
ShhgSSpSp
Teorema diBernoulli
27
…teorema di Bernoulli 5
• Il teorema di Bernoulli sancisce la costanza della somma di tali 3contributi pressori ed è uno dei più importanti strumenti influidodinamica
• Imponendo v=0 il teorema di Bernoulli contiene la legge di Stevino:
gyghpp ρρ =−=− 0
• Dato che p ha le dimensioni di una pressione (pressione dinamica),anche gli altri 2 termini hanno dimensioni analoghe:– ρgh rappresenta il contributo alla pressione dato dalla legge di
Stevino e si chiama pressione di gravità– ½ρv2 rappresenta l’energia cinetica del volume in
considerazione e prende il nome di pressione cinetica
cost21 2 =++ vρρ ghp
28
Teorema di Torricelli
• Possiamo applicare il teorema di Bernoulli al liquido sulla superficie superiore e a quello che sta per fuoriuscire
v =?h
Pa
2
21 vρρ +=+ aa pghp
Sulla superficieesterna
Al foro di uscita inferiore• Quindi:
gh2=v
Pa
29
Am
bientein cuisi
vuole crearela
depressione
Applicazioni del teorema di Bernoulli• Aspiratore a caduta d’acqua
p
h2
h1S2
S1
p2≈pa
p1
• Dobbiamo creare una depressione in un ambiente apressione p
• Siccome è S1<<S2 per l’eq.di continuità è v1>>v2
• Applicando Bernoulli:
( ) ( ) appphhgpp ≈<<⇒−−−−= 2122
212121 2
1 vvρρ
• Essendo (almeno all’inizio) p≈pa è p1<<pa e quindi aria viene richiamata dal volume da svuotare e viene miscelata all’acquadiminuendo la pressione p
30
Cannello Bunsen• Il cannello Bunsen è uno strumento diffusissimo nei laboratori di farmacia. Si
usa per l’individuazione dei componenti di una sostanza. Si pone la sostanza da analizzare su un filo di platino e la si pone sulla fiamma uscente dal cannello. In base alla temperatura e al colore a cui la sostanza ossida si può determinarne icomponenti
gas
aria
agas pp ≥auscitacannellouscita ppSS <<⇒<<
• A causa della strozzatura all’uscitadel cannello la pressione dinamicap è molto inferiore a quella del gas e a quella atmosferica
• Per questa depressione, aria (equindi ossigeno) viene richiamata dall’orifizio O
O
• Regolando la velocità del gas e la larghezza dell’apertura O è possibile regolarela fiamma, la sua dimensione e la composizione della miscela: più ossigeno →fiamma ossidante, più gas → fiamma riducente
31
Inalatori• Il gas propellente contenuto nello stantuffo viene fatto uscire da un
foro di ridotte dimensioni. Il gas acquista velocità causando una depressione proprio all’altezza del foro
• Tale depressione richiama lasostanza da spruzzare conservata all’interno di unserbatoio a pressione ambiente
ap
app <<
32
Aneurismi & StenosiS1
S2S1 S2
• Considerando il condotto (aorta, uretere,...) orizzontale (h=0) il teorema di Bernoulli diventa:
( )
−+=⇒=⇒=
−+=⇒+=+
22
212
11212
122211
22
2112
222
211
121
21
21
21
SS
ppSS
SS
pppp
vvvvv
vvvv
ρ
ρρρ
• Aneurisma: S2>S1→ p2>p1e l’aneurisma tende ad allargarsi ulteriormente
• Stenosi: S2<S1→ p2<p1e la stenosi tende a restringersi ulteriormente
33
Viscosità• Finora abbiamo ipotizzato che il fluido sia ideale e che il sistema
sia meccanicamente conservativo. Rimuoviamo quest’ultima condizione:
• Esistono delle forze dissipative all’interno del fluido inmovimento
vrFluido ideale
( )Rvv rr=
Fluido viscoso
R
34
… viscosità 2
• Il fluido all’interno del tubo scorre come su tante guaine cilindriche che scivolano una dentro l’altra:– Questo tipo di moto si chiama laminare– Esso è dovuto all’attrito fra:
• strati di fluido e le pareti del tubo• internamente fra strati adiacenti di fluido
– La forza di attrito esercitata su un’areola ∆S è
Sdyd
F ∆=v
ηed ha verso opposto al moto del
fluido
( )Rvv rr=
R
35
... Viscosità 3• il rapporto dv/dy rappresenta la variazione (gradiente) di velocità
dv fra due straterelli di fluido a distanza dy
• η è detto coefficiente di viscosità o semplicemente viscosità• Le sue dimensioni ed unità sono:
[ ] [ ] [ ]
(Poise):
:11
11
1112211
PscmgCGS
sPasmkgSI
tlmltllmltlSFddy
SF
=⋅
⋅=⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇒∆
=
−−
−−
−−−−−−− vv
η
• La viscosità dipende fortemente dalla temperatura: al crescere di T, η diminuisce rapidamente
( )
P
PP
cPmP
cPC
8amorfipecivetri
2olii
alcoli
OH
10~,,
101~
~
0,120@2
ηηη
η
η
η
÷
÷
=°
36
Effetti della viscosità• La viscosità di un fluido invalida la legge di Bernoulli
(sistema non più conservativo)• Esempio: perdita di carico
Tubopiezometrico
h
pa
p
– Liquido reale η>0– Liquido ideale η=0
Tubo piezometrico: 2
21 vρρ +=+ pghp a
37
Legge di Hagen-Poiseulle• Nel caso di tubo estremamente piccolo la legge di Bernoulli non è
verificata neanche qualitativamente e il tipo di scorrimento èlaminare
• Vale la legge di di Hagen-Poiseuille:– Il volume V di liquido con viscosità η che fluisce
nell’intervallo di tempo t in un tubicino di raggio R elunghezza l, ai cui estremi ci sia una differenza di pressione ∆p costante è:
tlRp
V ⋅⋅
∆=
ηπ 4
8
l1p 2p
21 ppp −=∆R
lRp
tV
q⋅
∆==
ηπ 4
8
q è la portata in volume
38
Sedimentazione• Un corpo solido in moto, immerso in un fluido, subisce, oltre alla forza peso P e
alla spinta idrostatica di Archimede Fs, la forza di attrito viscoso F.
• Se il moto è sufficientemente lento sussiste: vrr
⋅−= lkF η• dove h è la viscosità, l è una dimensione lineare del corpo e k è un coefficiente di
forma del corpo (cx):• In assenza di vortici (scia) per una sfera di raggio R:
v⋅= RF ηπ6r
Legge di Stokes• Consideriamo un corpo di densità ρ e volume V che cade, con velocità costante,
all’interno di un fluido di densità ρ’. Il moto è rettilineo uniforme:
• Se il liquido è il sangue e i corpuscoli in caduta erano i globuli rossi si parla di:– velocità di eritrosedimentazione o v.e.s.
( )lk
gVlkgVgV
FFPFFPFFP sss
ηρρ
ηρρ′−
=
=′−=−⇒=−−⇒=++
v
v00
rrr
39
Centrifugazione• La sedimentazione può essere usata per separare solidi (o liquidi) immersi in
liquidi di densità diversa, ma il processo è estremamente lento. Lacentrifugazione risolve tale problema
R
ω
• Per il primo pricipio della dinamica, per mantenere il corpuscolo in rotazione adistanza R dall’asse occorre una forza centripeda:
RVRmR
mmaF cc22
2
ρωω ====v
• E’ il fluido a fornire questa forza. Infatti applicando (molto liberamente) il teorema dei Bernoulli, possiamo dire che a distanza R dall’asse esiste, nel fluido,una pressione crescente con R:
22
21
Rgypp a ωρρ ′+′+=
• Consideriamo un solido di densità ρ e volume V immerso in un fluido di densità ρ’.Mettiamo il tutto in una provetta a distanza Rdall’asse di rotazione:
40
... Centrifugazione 2• la componente dinamica di tale pressione nelle condizioni
operative domina:
⋅=′
⋅=′⇒
==
==
=′
⋅=
−
−
PaR
Pagy
s
mRmy
mkg
Pap a
622
2
12
33
5
10221
1081.9
102
1.01.0
10
10013,1
ωρ
ρ
πω
ν
ρ
• la distribuzione radiale delle pressioni fa sì che, come per la legge di Archimede, si formi una spinta (idrodinamica) verso l’asse di rotazione pari a quella che avrebbe la massa di liquido spostata:
RVamF rr2ωρ ′=′=
41
… centrifugazione 3• Se tale forza è superiore a quella centripeda Fc necessaria per
mantenere il corpuscolo in moto circolare uniforme, esso si sposterà verso l’asse di rotazione, se è inferiore esso si sposteràverso l’esterno: quindi c’è separazione fra i due mezzi (solido eliquido)
• La velocità con cui avviene tale separazione si ottiene ipotizzando che la differenza fra la forza centripeda necessaria e quella di spinta presente sia uguale alla forza di attrito viscoso
• sostituendo dei valori numerici di esempio si può verificare chetale velocità è ben superiore a quella ottenibile per sedimentazione
( )( )
lkRV
lkRVFFF arc
ηωρρ
ηωρρ2
2
′−=
=′−⇒=−
v
v
42
Flusso turbolento e numero di Reynolds• Intorno ad un oggetto in moto in un fluido viscoso si stabilisce un flusso
laminare se la velocità di traslazione dell’oggetto è sufficientemente piccola• Altrimenti si forma un flusso turbolento (scia)• Le due situazioni sono distinte da una grandezza adimensionale, il numero di
Reynolds (nella sua prima definizione):
ηρ l
NRv
=′l è la stessa lunghezza caratteristica che compare
nella legge della resistenza viscosa
• Possiamo distinguere regime laminare o vorticoso anche in un condotto percorso da un fluido. In questo caso la definizione del numero di Reynolds è leggermente diversa:
àInstabilit10002.0o turbolentRegime1000
laminare Regime2.0
⇒<′<⇒>′⇒<′
R
R
R
NN
N
ηρ R
NRv2
=dove R è il raggio del condotto e v è la velocità
media assunta dal fluido nel condotto
àInstabilit30001000o turbolentRegime3000
laminare Regime1000
⇒<<⇒>⇒<
R
R
R
NNN
43
Pressione arteriosa• Aumentando la pressione dello sfigmomanometro si arriva a chiudere l’arteria radiale.
Non passando il sangue il fonendoscopio non segnala alcun rumore• Riducendo la pressione nel bracciale, ad un certo punto il sangue ricomincia a fluire, ma
in modo turbolento a causa dell’elevata velocità del sangue. Il fonendoscopio registra il rumore caratteristico del flusso turbolento (pressione massima)
• Riducendo sempre più la pressione nel bracciale, il flusso del sangue diventa laminare facendo scomparire il rumore (pressione minima)
• Consideriamo un’arteria:
laminare flusso2002
1008,205,1
25,1 portata102
0
23
1320
10
⇒≈=
⋅==
==⇒==−−
−−
sangue
sangueR
sanguesangue
RN
Pcmg
scmRqscmmmR
ηρ
ηρ
π
v
vv
• Restringiamo l’arteria, la portata deve rimanere costante, quindi aumenta lavelocità:
o turbolentflusso40001008,2
101096,305,122
1096,31,0
2
23
132
⇒≈⋅
⋅⋅⋅⋅=
′′=
⋅=′
=′=′
−
−
−
sangue
sangueR
RN
scmRq
mmR
η
ρπ
v
v