MECCANICA MECCANICA

QUANTISTICAQUANTISTICA

Una particella è descritta mediante una funzione d’onda (posizione, tempo)

1o POSTULATO

Esempi:

Per una singola particella che si muove in una dimensione:

Per una singola particella che si muove in tre dimensioni:

Per due particelle che si muovono in tre dimensioni:

,x t

tzyxt ,,,, r

tzyxzyxt ,,,,,,,, 22211121 rr

Se abbiamo la funzione d’onda di un sistema, possiamo ottenere tutto ciò che è possibile conoscere di quel sistema.

(x,y,z,t) è soluzione dell’equazione di SCHRÖDINGER

EH

non è un’onda fisica.

è un’entità matematica astratta che contiene le informazioni sullo stato del sistema.

Soluzione:

x=x(t) (x)p=p(t)

Newton Schrödinger

EVdx

d

mdx

dVF

EHdt

xdmmaF

2

22

2

2

2

ˆ

O

X

Particella libera in moto lungo l’asse xMeccanica Classica

Sia una particella di massa m che si muove in assenza di potenziale. La sua posizione è data da x. L’espressione dell’energia totale, cioè dell’energia cinetica in funzione del momento lineare:

HxVm

pEEE potcin )(

2

2

m

pEH cin 2

2

V = 0

Particella libera in moto lungo l’asse xMeccanica Quantistica

)()(2 2

22

xExVdx

d

m

)(2

)(22

2

xEm

xdx

d

V = 0

)()(2 2

22

xExdx

d

m

m

kEkE

m

2

2 222

2

)()( 22

2

xkxdx

d

)()( 22

2

xkxdx

d

ikxikx ekedx

d 22

2

Ψ(x) = eikx è una soluzione

ma anche Ψ(x) = e-ikx è soluzione.

La soluzione generale è Ψ(x) = A eikx + B e-ikx

ikxikx

ikxikxikxikx

BeAek

edx

dBe

dx

dABeAe

dx

d

2

2

2

2

2

2

2

Qualunque valore di k è accettabile

Qualunque valore di E è accettabile

Energia NON quantizzata

m

p

m

kE

22

222

Energia è solo Ecin

p = ± k ħ

m

kE

2

22

Ψ(x) = eikx = cos kx + i sin kx

cos kx : onda di lunghezza d’onda λ = 2π/k k=2π/ λ

p = k ħ = 2π/λ ħ = 2π/λ h/2π = h/λ

λ = h/p ipotesi di de Broglie

Per una particella libera l’equazione di

Schrödinger implica la relazione di de Broglie.

PLAUSIBILITA’ dell’equazione di Schrödinger

E’ comunque un POSTULATO

fu

nzi

one

d’o

nd

a Ψ

1. HA UNA INTERPRETAZIONE

2. HA DEI VINCOLI

3. CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

INTERPRETAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA

• Secondo la teoria ondulatoria della luce, il quadrato dell’ampiezza di un’onda elettromagnetica è proporzionale all’intensità della luce– Poiché la luce si comporta come una particella (fotone), l’intensità

deve essere una misura della probabilità di trovare un fotone in un volume dello spazio

• Se applichiamo questa idea alle particelle, il valore di ||2 in un punto è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in quel punto

• La quantità fisicamente significativa è ||2

INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA

1

INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA

Se la funzione d’onda ha valore

(x) nel punto x, la probabilità di

trovare una particella tra x e

x+dx è proporzionale a |(x)|2dx

Max Born

dxxxxP *)()()( 22

22

**

ba

b+iab+iab-a=

ib)-a(ib)+a(

ib)+ib)(a+a(cc

reale ba,

ib+a =c

Interpretazione della funzione d’onda in 1-DΨ(x) ampiezza di probabilità: positiva, negativa, complessa

Probabilità

*2 )()(|)(| xxx sempre positiva e reale

densità di probabilità

Probabilità

Ψ = Ψr + i Ψi

Ψ* = Ψr - i Ψi

|Ψ|2 = Ψr2 + Ψi

2

Ψ(x)

positiva

e negativa

|Ψ(x)|2 = Ψ(x)Ψ(x)*

sempre positiva e reale

Densità di probabilità

Funzione d’onda

Ψ

dy

dzdx

ProbabilitàElemento di volume

Densità di probabilità =probabilità per unità di volume

Interpretazione della funzione d’onda in 3-D

Se la funzione d’onda di una particella vale Ψ(x,y,z) nel punto (x,y,z), allora la probabilità di trovare particella tra x e x+dx, y e y+dy, z e z+dz, cioè nel volume infinitesimo d = dx dy dz è proporzionale a |(x,y,z)|2d

P(x,y,z)=Ψ(x,y,z)Ψ(x,y,z)*dx dy dz

Voi siete probabilmente qui

Meccanica classica : deterministica

Meccanica quantistica: probabilistica

PARTICELLA LIBERAikxe

Tutte le energiesono permesse

posizione x

Re(Ψ)

Proprietà matematica dell’equazione di Schrödinger Se Ψ è una soluzione

x)(x)()(x)(

2 2

22

ExV

dx

d

m

allora N Ψ è pure una soluzione

x)(x)()(x))((

2 2

22

ENNxV

dx

Nd

m

Prova:

NORMALIZZAZIONE

x)(x)()(x)(

2 2

22

NExNV

dx

dN

m

Interpretazione di Born e normalizzazione della

– Deve valere la condizione:

1)()(* dxxx

1*2 dN

La probabilità che la particella sia da qualche parte deve essere 1

– Se la soddisfa questa condizione viene detta normalizzata.

– Se la non soddisfa questa condizione, viene moltiplicata per un fattore costante N per normalizzarla

d

N*

1

1. HA UNA INTERPRETAZIONE

2. HA DEI VINCOLI

3. CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

V X

L’interpretazione di Born introduce dei vincoli sulla

In corrispondenza al punto X ci sia una variazione di potenziale.

X

La deve essere continua in tutto lo spazio, inclusi i punti in cui si ha variazione del potenziale

Se la avesse una discontinuità in X, la probabilità di trovare la particella in X avrebbe due diversi valori se tendiamo ad X da differenti direzioni

Ψ non è continua

dΨ/dx e d2Ψ/dx2 non sono definite

L’eq. di Schrödinger non è definita

dΨ/dx non è continua

Quindi d2Ψ/dx2 non è definita

L’eq. di Schrödinger non è definita

P(x) = Ψ(x) Ψ*(x) non può assumere valori multipli

dxxxNb

a

*2 )()(

VINCOLI SULLA FORMA DELLA LEGATI ALL’INTERPRETAZIONE DI BOHR

1. deve essere continua

2. La derivata seconda della deve essere definita

3. deve essere a valore singolo

4. deve essere ovunque finita; altrimenti non potrebbe essere normalizzata

2

L’ INTERPRETAZIONE DI BORN E I VINCOLI SULLA

Una particella può avere solo certi valori dell’Energia, altrimenti la sarebbe fisicamente inaccettabile

ENERGIA QUANTIZZATA

I vincoli impediscono di trovare soluzioni accettabili dell’equazione di Schrödinger per valori arbitrari dell’Energia

1. HA UNA INTERPRETAZIONE

2. HA DEI VINCOLI

3. CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

COME OTTENIAMO

ALTRE INFORMAZIONI

(OLTRE ALLA POSIZIONE)

DALLA Ψ

?

• Le proprietà misurabili di un sistema fisico sono dette “osservabili”

• Un’osservabile può essere una proprietà statica: massa, durezza, colore, …

• Un’osservabile può essere una variabile dinamica: posizione, momento lineare, … che caratterizza i cambiamenti di stato di un sistema

Ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica

2o POSTULATO

)()(ˆ xgxfA Definizione generale di operatore

Un operatore è una regola che trasforma una funzione in un’altra funzione

x x

cosx x cos()

3f f 3

(x)f' f dx

d

f(x)A f Funzione A Operatore

La nuova funzione g(x) può essere diversa dalla funzione originale f(x).

)cos()sin( kxkkxdx

d

Se la nuova funzione è un multiplo della funzione originale:

 f(x) = λ f(x)

f(x) è detta essere un’autofunzione dell’operatore  con associato autovalore λ

kxkx keedx

d Operatore d/dx

sin(kx) non è un’autofunzione

ekx è un’autofunzione e l’autovalore associato è k

OSSERVABILE OPERATORE

POSIZIONE x

MOMENTO px

ECINETICA

EPOTENZIALE V(x)

ETOTALE E=T+V

m

pT x

2

2

x

xp

T

V

H

x

dx

di

2

22

2 dx

d

m

)(2 2

22

xVdx

d

m

V(x)

COME SI OTTENGONO LE INFORMAZIONI (OLTRE LA POSIZIONE) DALLA ?

3

3o POSTULATO

iii ˆ

In ogni osservazione dell’osservabile associata all’operatore Ω, i soli valori che si possono misurare sono gli autovalori ωi che soddisfano all’equazione agli autovalori

Autovalori ed autofunzioni

(operatore)(autofunzione) = (autovalore)(autofunzione)

(operatore)(funzione) = (costante)(stessa funzione)

Risolvere l’equazione di Schrödingervuol dire trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore Hamiltoniano per il sistema

Se l’operatore è l’operatore Hamiltoniano, l’equazione agli autovalori è l’equazione di Schrödinger

EH

OPERATORE HAMILTONIANO

x d

dipx ˆ

ikxikx

ikx kedx

deiep = ˆ

OPERATORE MOMENTO LINEARE

La componente px del momento lineare della particella

è data da:

V=0 particella libera.

1) Autofunzione Ψ+(x)=eikx

2) Autofunzione Ψ-(x)=e-ikx

ikxikx

ikx kedx

deiep

-= ˆ

Autovalore px = kħ

Particella si muove per x crescenti

Autovalore px = -kħ

Particella si muove per x decrescenti

sin(x) sin(2x)

ORTOGONALITA’ DELLE FUNZIONI DI STATI DIVERSI

2

0

0)2sin()sin( dxxx

0 dji

sin(x) e sin(2x) sono autofunzioni di d2/dx2 con autovalori -1 e -4

OPERATORE ENERGIA CINETICAE

CURVATURA DELLA

ALTA CURVATURAALTA ENERGIA CINETICA

BASSA CURVATURABASSA ENERGIA CINETICA

In matematica la derivata seconda di una funzione è una misura della sua curvatura

2

22

2ˆ

dx

d

mT

REGIONE CON ALTO CONTRIBUTO A T

REGIONE CON BASSO CONTRIBUTO A T

POSIZIONE x

EN

ER

GIA

ENERGIA CINETICA T

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

A

B

DESCRIZIONE

CLASSICA QUANTISTICA

PA A PA=|A|2

PB B PB=|B|2

1 FENDITURA

2 FENDITURE

B

A

A

B

DESCRIZIONE CLASSICA

PAB = PA + PB

DESCRIZIONE QUANTISTICA

AB = A + B

PAB = |A + B|2 =

|A|2 + |B|2 + A* B+B

* A

PA PB interferenza

Importante :

in nessun modo possiamo predire dove un elettrone colpirà lo schermo.

Possiamo solo predire probabilità.

PARTICELLA LIBERA

• MOTO PER x CRESCENTI + = exp(ikx)

• DECRESCENTI - = exp(-ikx)

Una misura del momento lineare della particella dà

+kħ se = + = exp(ikx) oppure

-kħ se = - = exp(-ikx).

Inizialmente non conosciamo se la particella si muove per x crescenti o decrescenti. Poiché entrambe le direzioni sono ugualmente probabili, non possiamo predire in che direzione la particella si muove.La funzione che la descrive non è quindi un’autofunzione.Una funzione d’onda arbitraria può essere espressa come combinazione lineare delle autofunzioni.

= c+ + + c- -

ikxikx

ikx kedx

deiep = ˆ

Una misura del momento lineare della particella dà o +kħ o –kħ, ma non sappiamo quale.

Possiamo soltanto predire che la probabilità che dia +kħ è |c+|2

Non conosciamo in che stato è il sistema finché non lo osserviamo

Immediatamente dopo la misura, la funzione d’onda è una delle autofunzioni dell’operatore. La misura cambia la funzione d’onda Ψ del sistema nell’autofunzione Ψ+ (o Ψ-) dell’operatore momento lineare con autovalore +kħ (o -kħ)

Ψ+

Ψ misura Ψ-

COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA

Un sistema quantistico è descritto da una sovrapposizione di statiSolo dopo la misura il sistema assume uno stato definito.

SHUT UP AND CALCULATE

R. Feynman

Gatto di Schrödinger

4o POSTULATO

dτΨΩΨΩ *

Il valore atteso è la media pesata di un gran numero di osservazioni della proprietà eseguite su un insieme di sistemi preparati in modo identico.

Se il sistema è descritto da un’autofunzione Ψ che non è un’autofunzione dell’operatore Ω, il valore medio o valore atteso dell’osservabile è dato da

Se uno fa un gran numero di misure di Ω su un insieme di sistemi preparati in modo identico, ottiene un insieme di valori ω1, ω2, …, ωN.

La media di Ω è data dalla regola:

Il 4o postulato della meccanica quantistica afferma che l’integrale e la sommatoria danno lo stesso valore, che è il valore atteso.

N

iiN 1

1

ii*ii

ii*ii

*i

ωdτΨΨω

dτΨωΨdτΨΩΨΩ

Se è un’autofunzione di Ω

iii

i

ΨωΨΩ

ΨΨ

ˆ

Ogni osservazione di Ω da come risultato ωi

<Ω> = ωi

Se non è un’autofunzione di Ω 2211 ΨcΨcΨ

dτΨΨωccdτΨΨωcc

dτΨΨωccdτΨΨωcc

dτΨωcΨωc*ΨcΨc

dτΨcΨc*ΨcΨc

dτΨcΨcΩ*ΨcΨc

2*122

*11

*211

*2

2*222

*21

*111

*1

2221112211

22112211

22112211

2

221

21 ωcωc 1 0

1. Quando Ω è misurato su un singolo membro di un insieme, il risultato è uno degli autovalori di Ω, ma non può essere predetto in anticipo.

2. L’autovalore ωi sarà ottenuto in una singola misura con probabilità ci

2.

3. Per singole misure ci sono specifici valori di Ω che sono possibili, ω1, ω2, …, ωN, ma su un insieme il valore atteso di < Ω > può essere un valore continuo.

iic

dτΨΩΨΩ * ˆ

iii ˆ

Postulato 1: una particella è descritta mediante una funzione d’onda (r,t)

Postulato 2: ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica

Postulato 3:

Postulato 4:

POSTULATI

H(ri)(ri)= E(ri)

i=1,3N

"The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of..the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations much to complicated to solve."

P.A.M. Dirac (1929)

Un elettrone in moto attorno al nucleoMoto circolare : l’elettrone acceleraCariche accelerate emettono radiazione

L’elettrone perde energiaCade sul nucleo in circa 10-9 secondiVariando il moto la frequenza emessa varia

con continuitàIl modello planetario non conduce ad atomi

stabili

+Ze

-e

F

ATOMO e FISICA CLASSICA

Alla particella è associata un’onda

(a) Solo onde di lunghezza d’onda opportuna possono generare onde stazionarie (chiudendosi su se stesse danno interferenza positiva)

(b) Altrimenti le onde danno interferenza negativa e si annullano

= h/mv solo certi valori di energia esistono

ATOMO e MECCANICA QUANTISTICA

Supponiamo di conoscere esattamente il momento della particella

Ψ(x) = Aeikx la particella si muove verso destra con momento px = +kħ.

Quale è la posizione della particella? Ψ* Ψ = A2 e-ikx eikx = A2

C’è una ugual probabilità di trovare la particella in qualunque punto dell’asse x

CONCLUSIONE:Conosciamo il momento della particella esattamente

Ma non sappiamo NULLA sulla sua posizione

Supponiamo di conoscere esattamente la posizione della particella

Posizione della particella

• Per ottenere una localizzata occorre fare una combinazione lineare di funzioni sin(kx) o cos(kx) (oppure eikx e e-ikx) con diversi k

• Ogni funzione eikx corrisponde ad un diverso momento lineare

• Più localizziamo la particella meno conosciamo il suo momento

CONCLUSIONE:Conosciamo la posizione della particella esattamente

Ma non sappiamo NULLA del suo momento

Fotone

Fotone

Microscopio

Microscopio

Elettrone

Elettrone

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG

Illuminiamo l’elettrone e riveliamo la luce riflessa con un microscopio

L’incertezza minima sulla posizione è determinata dalla lunghezza d’onda della luce

Per determinare la posizione accuratamente, è necessario usare luce di lunghezza d’onda corta

E = hν =hc/λ, un fotone con lunghezza d’onda corta ha energia grande

Quindi tramette un ‘impulso’ grande all’elettrone

Ma per determinare il suo momento accuratamente, l’elettrone deve ricevere un ‘impulso’ debole

Questo vuol dire usare luce di lunghezza d’onda lunga

Luce di lunghezza d’onda corta:

misura accurata della posizione, ma non del momento

Luce di lunghezza d’onda lunga:

misura accurata del momento, ma non della posizione

Misura della posizione di un elettrone

L’azione di misurare influenza l’elettrone, viene trasmesso un impulso e viene disturbata la posizione ed il momento della particella. Essenza del principio di indeterminazione.

Misure della posizione

L’esperimento assume che, mentre prima dell’osservazione abbiamo valori ben definiti, è l’atto di misurare che introduce l’incertezza disturbando la posizione e il momento della particella.

Oggigiorno l’opinione prevalente è che l’incertezza quantistica (la mancanza di determinismo) sia intrinseca alla teoria.

Ruolo dell’Osservatore in Meccanica Quantistica

• L’osservatore non è obiettivo e passivo

• L’atto di osservare cambia il sistema fisico irrevocabilmente

• Questo è noto come realtà soggettiva

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG

• E’ impossibile specificare SIMULTANEAMENTE sia la posizione che il momento di una particella

• L’ interpretazione quantitativa del principio di indeterminazione è:

2 xpx

Indeterminazione nel momento

Indeterminazione nella posizione

posizione momento

Se x oppure px tendono a zero, l’altra osservabile deve tendere ad infinito.

/ 2

/ 2

/ 2

x

y

z

x p

y p

z p

Non possiamo determinare esattamente e simultaneamente variabili ‘coniugate’ come posizione e momento.

0yx p Tuttavia

Una precisione arbitraria è possibile in linea di principio per la posizione in una direzione e il momento in un’altra

…

Implicazioni

E’ impossibile conoscere simultaneamente ed esattamente sia la posizione che il momento,

cioè Δx=0 e Δp=0

Queste incertezze sono inerenti nel mondo fisico e non hanno nulla a che fare con l’abilità dell’osservatore

Poiché h è così piccolo, queste incertezze non sono osservabili nelle normali situazioni di ogni giorno

Il tempo e l’energia

Se un sistema permane in uno stato per un tempo t, l’energia di questo sistema non può essere determinata più accuratamente di un errore E.

2

tE

Questa indeterminazione è di importanza fondamentale in spettroscopia

Un elettrone in n = 3 decade spontaneamente ad un livello inferiore dopo una vita media ½ ~ 10-8 s

Le transizioni fra i livelli energetici degli atomi non sono linee perfettamente sottili in frequenza.

n = 3

n = 2

n = 1

32E h

32

Inte

nsi

tà

Frequenza

32Esiste una corrispondente ‘dispersione’nelle frequenza emesse.

Larghezza naturale della linea

Se la costante di Planck fosse molto più grande...