Mechanika III Dinamika

Scharle Péter

MECHANIKA Dinamika

Készült a HEFOP 3.3.1-P.-2004-09-0102/1.0 pályázat támogatásával.

Szerző: dr. Scharle Péter egyetemi tanár

Lektor: dr. Meskó András fƉiskolai adjunktus

© Scharle Péter, 2006

Mechanika A dokumentum használata

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 3 ►


A dokumentum használata

Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader meg-szokott elemeit és módszereit használhatjuk.

Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegy-zékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a követ-kező oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket.

Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa található, amelynek bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja.

A tartalomjegyzék és a tárgymutató használata

Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk.

Keresés a szövegben A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíció-tól kezdve keres a szövegben.

Mechanika Tartalomjegyzék



Tartalomjegyzék

Előszó................................................................................................. 6

1. A dinamika tárgya, a feladatok általános jellemzése...................... 8

2. Az anyagi pont kinematikája.......................................................... 9 2.1. Vonatkoztatási rendszerek.......................................................................... 9 2.2. Alapfogalmak.............................................................................................. 10 2.3. Egyenes vonalú mozgás ............................................................................ 15 2.4. Síkmozgás ismert pályán ........................................................................... 16 2.5. Mozgás körpályán ...................................................................................... 18

3. A merev testek kinematikája ........................................................ 21 3.1. Eltolódás (haladó mozgás) ....................................................................... 21 3.2. Rögzített tengely körüli forgó mozgás.................................................... 22 3.3. Síkmozgás ................................................................................................... 24

4. Az anyagi pont kinetikája............................................................. 26 4.1. A dinamika alaptörvényei ......................................................................... 26 4.2. A dinamika alapfeladatai ........................................................................... 27 4.3. A lendületváltozás tétele ........................................................................... 28 4.4. A perdület, a perdületváltozás tétele ....................................................... 30 4.5. Az erő munkája és teljesítménye.............................................................. 31 4.6. Mozgási energia, a mozgási energia változásának tétele....................... 33 4.7. Potenciálos erőtér, helyzeti energia. A mechanikai energia

megmaradása .............................................................................................. 34 4.8. Járművek mozgását befolyásoló hatások egyenes pályán..................... 38

5. Merev testek kinetikája ................................................................ 42 5.1. Tömegközéppont, tehetetlenségi nyomaték .......................................... 42 5.2. Súlyponttétel ............................................................................................... 44 5.3. Lendülettétel ............................................................................................... 45 5.4. Perdületre vonatkozó összefüggések síkmozgás esetén....................... 46 5.5. Mozgási energia, a mozgási energia változásának tétele síkmozgás

esetén ........................................................................................................... 48

Mechanika Tartalomjegyzék



6. Ütközések ..................................................................................... 50 6.1. Ütközési jelenségek mechanikai modellezése ........................................ 50 6.2. Haladó mozgást végző test centrikus ütközése mozdulatlan

felülethez ..................................................................................................... 53 6.3. Két haladó mozgást végző test ütközése................................................ 55

7. Rezgések....................................................................................... 58 7.1. Alapfogalmak.............................................................................................. 58 7.2. Egy szabadságfokú rendszer szabad rezgései ........................................ 60 7.3. Gerjesztett rezgések. Dinamikus tényező. Rezonancia ........................ 68

8. Földrengés .................................................................................... 73 8.1. Földrengések észlelése............................................................................... 73 8.2. A Föld belső szerkezete. A Kárpát-medence szerkezete ..................... 76 8.3. A rengések jellemzése................................................................................ 80 8.4. Földrengések hatása épületekre, építményekre...................................... 82 8.5. Károk és védekezési lehetőségek............................................................. 84

Irodalomjegyzék ..................................................................................................... 88

Mechanika Előszó



Előszó

Vizsgakérdésekre nem található válasz ebben az előszóban. Ezért az az Olvasó, akit nyomaszt az időzavar, azonnal és nyugodtan lapozzon to-vább. Felkészülésre szánt idejét és figyelmét fordítsa azokra a fogalmakra és összefüggésekre, amelyek az építőmérnöki tevékenység körében legfon-tosabb dinamikai jelenségeket anyagi pontok, merev és szilárd testek moz-gására vonatkozó mechanikai modellekkel közelítik, és a gyakorlat számára alkalmazható eljárásokhoz vezetnek. Sikeres vizsga után akár el is felejtheti a tanultakat, ha pedig munkája során később mégis felmerülnek az e jegy-zetben taglalt kérdések, ráér akkor elolvasni ezt az előszót.

Ha nem ennyire súlyos a helyzet, akkor – már a jegyzet anyagának ta-nulmányozása előtt – érdemes tudomást szereznie arról, hogy a dinamika egyike a mechanika (fogalmak és matematikai eszközök szempontjából egyaránt) nagyon igényes, elmélyült tanulást megkövetelő fejezeteinek. Az Olvasó kezébe simuló, karcsú jegyzet a 2005-től kibontakozó alapképzés (BSc képzés) számára készült. Olyan építőmérnöki ismereteket tárgyal, amelyek korábban az egyetemi képzés részei voltak. A főiskolai tananyag-ban legfeljebb egy-egy részletkérdés erejéig jelentek meg a statikai és szi-lárdságtani fejezetek mellett, itteni feldolgozásuk alig jelentett többet a középiskolai szintű ismeretek felidézésénél.

Az összefüggő és alaposabb tárgyalásnak több oka is van, közülük ket-tő érdemel említést. Egyfelől tágul, szélesedik a dinamika tárgyát képező egyszerűbb jelenségek, gyakorlati feladatok köre, és a tervezői vagy szakér-tői jogosultság megszerzésére törekvő, alapképzettséget szerzett építő-mérnöknek tájékozottságra kell szert tennie felismerésük, megértésük, megoldási lehetőségeik tekintetében. Másfelől már az alapképzés keretei között el kell jutni addig a tudásszintig, amely alkalmassá tesz az összetet-tebb dinamikai feladatok megoldásában történő részvételre, egyszersmind megbízható alapot ad a mester-szintű (MSc) továbbképzéshez.

A dinamika építőmérnöki szemléletű oktatásának hazai hagyományai a BME mérnöki mechanikai iskolájában alakultak ki. A múlt század dereká-tól Rosivall Ferenc, Cholnoky Tibor, Vértes György, Györgyi József egye-temi előadásaiban, jegyzeteiben, könyveiben kristályosodott ki a tárgyalan-dó kérdések köre, az alkalmazandó matematikai eszköztár jellege. A tan-anyagba fokozatosan bekerültek azok a témák (például a különféle rezgé-sekkel összefüggő kérdések), amelyeket a műszaki fejlődés tett időszerűvé,

Mechanika Előszó



és azok is, amelyeket az épített környezet megóvására irányuló, erősödő törekvések indokoltak (például a földrengések hatására érzékenyebb épít-mények viselkedése). Emellett fejlődött a tananyag a feladatok modellezé-sének és gyakorlati megoldásának irányában is, mert a múlt század hetve-nes éveiben még kutatási-fejlesztési céllal kidolgozott, nagy hatékonyságú, számítógépes eljárások mára széles körben elérhetővé váltak a mérnöki gyakorlat számára.

A Széchenyi István Egyetemen folyó építőmérnöki BSc képzésnek van né-hány sajátos, a közlekedés infrastruktúrájának fejlesztésére, fenntartására irányított figyelemből következő, több évtizedes hagyományként kialakult és őrzött vonása. A csarnokszerkezetek, a hidak, a geotechnikai feladatok feldolgozása az átlagosnál alaposabb és mélyebb. A jegyzet a budapesti iskola tárgyalásmódja, jelölései mellett ehhez a hagyományhoz is igazodik, tükröződik benne a dinamikát az egyetemi képzés keretében Győrött több éven át oktató Brassai Kegyes Csaba által követett szemléletmód. A fogya-tékosságainak gyomlálásához kapott segítségért Meskó András lektornak, a Pécsi Tudományegyetem tanárának tartozom hálás köszönettel.

A kifejtett témakör terjedelme összhangban van a mechanika más feje-zeteinek megismeréséhez alapképzés keretében szükséges időigénnyel. Mintegy 2 kreditnek megfelelő, heti négy órában 9-10 hét alatt feldolgoz-ható, ezért a hagyományos szemeszteren belül a mechanika néhány más témakörével összevontan is tárgyalható a tananyag.

Az elektronikus formában történő megjelenés miatt az esetleges hibák javítása könnyen megoldható. Az ilyen irányú észrevételeket és javaslato-kat a [email protected] e-mail címen kéri, és köszönettel fogadja

a Szerző

mailto:[email protected]

Mechanika A dinamika tárgya, a feladatok általános jellemzése



1. A dinamika tárgya, a feladatok általános jellemzése

A dinamika a mechanika tudományának egyik részterülete. Anyagi pontok, véges kiterjedésű, el nem hanyagolható tömegű merev testek mozgásának leírására alkalmas fogalmakat alkot, és ezekre vonatkozó összefüggéseket tárgyal. Egyik fejezete (a kinematika) a mozgásokat önmagukban vizsgálja, egy másik (a kinetika) kiterjeszti a figyelmet a mozgásokat okozó erőkre is.

A mérnöki szempontból fontosabb mozgásfajtákat (ütközések, rezgé-sek) részletesebben is feldolgozza a dinamika. Elnevezése ezt a szerteága-zó tartalmat csak sejteti (a következetes szóhasználat szerint a mechanika alapképzésben oktatott részterületeit rendre erőtan, szilárdságtan, mozgás-tan néven említhetnénk), de a magyar építőmérnöki hagyományok követé-se ebben a vonatkozásban sem fog gondokat okozni.

A dinamikai jelenségek és mechanizmusok modelljeinek megalkotását megnehezíti az a körülmény, hogy a statikában és a szilárdságtanban beve-zetett változók köre kiszélesedik: megjelenik az idő. Emellett olyan továb-bi, származtatott jellemzők jutnak szerephez, amelyek bevezetésével a mozgó testek tömegének hatását lehet figyelembe venni.

Mechanika Az anyagi pont kinematikája


A do

2. Az anyagi pont kinematikája

2.1. Vonatkoztatási rendszerek A testek, felületek, vonalak, pontok térbeli helyzetét vonatkoztatási rend-szerekben adjuk meg. Ezek megválasztását a feladatok jellege, a matemati-kai összefüggések elérhető egyszerűsége, egy-egy szakterület hagyománya befolyásolja. A jelen jegyzet az utóbbihoz kapcsolódik, balkezes (balsodrá-sú) vonatkoztatási rendszereket alkalmaz.

A nemzetközi szakirodalom, és az EU tagországaiban teret hódító épí-tőmérnöki szabványrendszer (az EUROCODE) jobbkezes (jobbsodrású) rendszert használ, ennek hazai átvétele immár időszerű. Két érv azonban egyelőre a hagyomány követése mellett szól. Egyfelől a dinamikai jelensé-gek objektívek, függetlenek vonatkoztatási rendszereink megválasztásától, legfeljebb matematikai kifejezésük eltérő. Ezért nem a (vonatkoztatási rendszertől esetleg függő alakú) formulákat, hanem az általuk kifejezett mechanikai tartalmat kell megérteni és megtanulni. Másfelől a magyar nyelven elérhető szakirodalom1, és a gyakorló mérnökök többsége egyelő-re balsodrású rendszereket használ. A jegyzet fiatalabb olvasói azonban számolhatnak azzal, hogy tízévnyi távlatban ez a gyakorlat megváltozik, és

1 köegye
2.1. ábra. Háromdimenziós derékszögű, egyenes tengelyű,
balsodrású vonatkoztatási rendszer

kumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 9 ►

zöttük a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem irány- és mértékadó temi tankönyve (Györgyi József: Dinamika, Műegyetemi Kiadó, 2006)




érdemes folyamatosan észben tartani az objektív összefüggések mechani-kai tartalma és matematikai kifejezésük vonatkoztatási rendszertől függő alakja közötti megkülönböztetést.

A vonatkoztatási rendszer megválasztásának számtalan lehetősége kö-zül a legegyszerűbb és legfontosabb a derékszögű, egyenes tengelyű, Descartes-féle koordinátarendszer (2.1. ábra). Ezt – és az éppen tárgyalt feladat két- vagy egydimenziós jellegének megfelelően redukált változatait – a dinami-ka széles körben használja.

A dinamikai feladatok körében is előfordulnak olyan mozgások, ame-lyek tárgyalásánál (akár a mozgás pályája, akár a mozgó test geometriai jellemzői miatt) egyszerűbb fogalmak vezethetők be és könnyebben kezel-hető összefüggések adódnak, ha derékszögű koordináták helyett poláris vonatkoztatási rendszert használunk. Görbült pályák esetében rendszerint érdemes a pontok helyzetét sugarak és azok tengelyekkel bezárt szögei megadásával meghatározni (2.2. ábra), annak tudatában, hogy a térbeli irányszögek nem vehetők fel egymástól függetlenül, fennáll közöttük a

1coscoscos 222 =++ γβα (1)

összefüggés.

2.2. ábra. Síkbeli és térbeli polárkoordináták

2.2. Alapfogalmak A kinematika a dinamika ama fejezete, amelyben a pontok, testek mozgá-sának (helyük időbeli változásának) geometriai leírása a feladat. A mozgást valamilyen (a mozgó testhez képest rögzített) vonatkoztatási rendszerben értelmezzük, mert tudjuk, hogy minden mozgás relatív. Ha tehát kijelent-jük, hogy egy test nyugalomban van, ez az állítás a választott vonatkoztatá-




si rendszerben megállapítható mozdulatlanságot jelenti, és semmit nem mond arról, hogy a test és a vonatkoztatási rendszer együtt (egy mindket-tejüktől független másik vonatkoztatási rendszerben) egymáshoz képest változatlan helyzetben nem mozog-e. A helyzet (távolság) jellemzésére szolgáló távolság mértékegysége a méter [m], az idő mértékegysége a má-sodperc [s].

A dinamikai összefüggések egy részében el lehet tekinteni a testek ki-terjedésétől és alakjától. Esetenként egy test anyagi ponttal helyettesíthető, geometriai méreteit el lehet hanyagolni. Kinetikai feladatokban az anyagi ponthoz rendelhető a test tömege. Természetesen minden feladat eseté-ben tisztázni kell, hogy ezek a közelítések milyen és mekkora pontatlansá-gokkal járnak. Így előfordulhat, hogy ugyanazon testet bizonyos mozgása-inak vizsgálata során anyagi pontként kezeljük, más esetekben viszont figyelembe vesszük alakját és kiterjedését (az „égi mechanika” ezért tár-gyalhatja a bolygók mozgását az anyagi pontokra vonatkozó összefüggések körében, a Föld saját tengelye körüli forgásából következő hatásokat vi-szont már az égitest kiterjedésének elhanyagolása nélkül lehet csak megér-teni és vizsgálni).

Az anyagi pont mozgását jellemző elsődleges mennyiség a pont helyze-tét megadó r helyzetvektor (2.3. ábra). Ennek a helyzetvektornak a nagy-sága és az iránya is időben változó mennyiség lehet. Láttuk, hogy felírása (a vonatkoztatási rendszerekben felvett koordináták és egységvektorok függvényében) több módon lehetséges:

a) x, y, z derékszögű koordináta-adatokkal

ktzjtyitxtr )()()()( ++= , (2a)

b) r , a, β, γ polárkoordináta-adatokkal

retrr )(= , (2b)

ahol 222 zyxr ++= és γβα coscoscos kjier ++= . A pont térbeli mozgását általános esetben eszerint három független

adattal lehet jellemezni, a mozgás szabadságfoka ilyen értelemben három. A helyzetvektor végpontja által leírt görbe a pálya, ennek egyenlete – akár a (2a), akár a (2b) alakban felírt módon – a mozgástörvény.




2.3. ábra. Anyagi pont térbeli helyzetét jellemző koordináták

A mozgásállapot jellemzésére sok esetben alkalmasabbak más, a helyzet időbeli változására vonatkozó, a mozgástörvényből levezethető mennyisé-gek. Ezek sorában első a sebesség, amelynek átlagos nagysága a helyzetvek-tor r∆ megváltozásának t∆ időre vetített értéke (2.4. ábra). Mértékegysé-ge ezzel összhangban [ms-1].

2.4. ábra. Helyzetváltozás, átlagos sebesség




A sebességvektor határátmenettel adódik, mint a helyzetvektor idő szerinti első differenciálhányadosa:

rdtrd

trv

t==

∆∆

=→∆ 0

lim , (3)

A helyzetvektor megadásának lehetséges változataival összhangban a se-bességvektort is több, egymással egyenértékű módon ki lehet fejezni. Így

ktzjtyitxtv )()()()( ++= , (4a) vagy ktvjtvitvtv zyx )()()()( ++= . (4b) és 222

zyx vvvvv ++== (4c)

Az átlagos sebesség vektora határátmenetben a pont pályájának minden-kori érintőjére illeszkedik. Ennek megfelelően felírható az érintő irányú τe egységvektorral is: τetvv )(= . (5)

A sebességvektor (2.5. ábra) általános esetben változó mennyiség, nagysá-gát és irányát tekintve is. A változást a gyorsulásvektorral lehet jellemezni:

2.5. ábra. A sebességvektor értelmezése




rvdtvd

tva

t===

∆∆

=→∆ 0

lim , (6)

ahol átlatv =∆∆ / az átlagos gyorsulás, )()( tvttvv −∆+=∆ (2.6. ábra). A gyorsulás2 mértékegysége [ms−2].

A (2a) és (4a) egyenletekkel analóg módon írható fel a gyorsulásvektor a koordinátatengelyeknek megfelelő összetevőivel is:

ktzjtyitxta )()()()( ++= , (7) illetve ktajtaitata zyx )()()()( ++= . (8) és 222

zyx aaaaa ++== (9)

2.6.ábra. Az átlagos gyorsulás értelmezése

A mérnöki feladatok széles körében elegendő a pálya, a sebesség és a gyor-sulás figyelembe vétele. A mozgástörvény azonban tetszőleges függvénye lehet az időnek, így további, magasabb rendű deriváltak értelmezése is 2 A köznyelvi szóhasználat némiképp félreérthető, mert a változás nem feltétlenül növe-kedés, adott esetben lassulásnak is nevezhető lenne, sőt, mint látni fogjuk, jelenthet egy-szerűen irányváltozást is, v nagyságának változása nélkül.




indokolttá válhat. Az emberi szervezet például az állandó sebességű moz-gást közvetlenül nem érzékeli, a sebesség nagyságának, irányának megvál-tozására viszont kifejezetten érzékeny. Nagy sebességű (v >50 ms−1) vasúti pályák egyenes és köríves szakaszai között ezért alakítják ki úgy az átmene-ti íveket, hogy azok mentén a másodrendű gyorsulás (a mozgástörvény har-madik deriváltja) se lépjen túl egy – az utasok által érzékelhető, kényelmet-lenségérzetet keltő – mértéket.

2.3. Egyenes vonalú mozgás A mérnöki gyakorlatban sokszor előforduló mozgásfajta az egyenes vona-lú mozgás. Ebben az esetben pálya iránya egyetlen vektorral jellemezhető, erre illeszkedik a helyzetvektor, a sebességvektor, és (ha van) a gyorsulás-vektor is. A mozgást jellemző mennyiségek ( avr ,, ) matematikai kifejezé-sei akkor öltik a legegyszerűbb alakot, ha ezt az irányt választjuk a vonat-koztatási rendszer x tengelyéül.

Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó feladatok különböző változa-tai aszerint fogalmazhatók meg, hogy a helyzet, a sebesség vagy a gyorsu-lás közül melyik és milyen változó függvényében tekinthető ismertnek.

Egyszerűbbek azok az esetek, amelyekben a három jellemző mind-egyikét az idő függvényének tekintjük. Ismert lehet x(t ), v(t ) vagy a(t ) va-lamelyike, és a másik kettőt kell meghatározni. Ebben a feladatcsoportban az adott összefüggésből a keresett másik két kifejezés deriválással vagy integrálással közvetlenül előállítható, hiszen

)()( txtv = és )()()( txtvta == (10)

∫ ∫ ∫+−+=+=t

t

t

t t

ddattvxdvxtx0 0 0

')'()()()( 0000 ττττττ

(11)

(az utóbbi kifejezésben a 0 index utal arra, hogy a t =t0 időpontban a pont x0 helyét és v0 sebességét is ismernünk kell, ha az a gyorsulás ismeretében akarjuk meghatározni a hely és a sebesség későbbi értékét).

Különösen egyszerű alakot öltenek ezek a kifejezések, ha az a gyorsu-lás állandó, ekkor ugyanis

atvv += 0 és 200 2

1 attvxx ++= (12a, b)




Körülményesebb a feladat, ha a helyzet függvényében ismert a sebesség vagy a gyorsulás kifejezése, v(x) vagy a(x). Előfordul olyan eset is, amely-ben a gyorsulás a sebesség függvényeként, a(v) alakban ismert. Ilyen fel-adatokban a közönséges differenciálegyenletek megoldási módszereivel lehet meghatározni a mozgástörvényt és a többi származtatott összefüg-gést.

2.4. Síkmozgás ismert pályán Az egyszerűbb, ismert pálya mentén történő mozgások körében kitünte-tett figyelmet érdemel a síkmozgás. Nagyon sok mérnöki feladat igen jó közelítéssel tárgyalható így. A pálya tetszőleges pontjának helyzetét ebben az esetben a t = t0 időponthoz rendelt kezdőponttól számítva, a megtett s úttal (az ismert pálya ívhosszával) célszerű megadni (2.7. ábra).

2.7. ábra. Ismert síkbeli pálya jellemzői

A pálya minden pontjában ismertnek tekinthető az érintő irányú )(seτ , az erre merőleges, görbületi középpont felé mutató )(sen egységvektor, és a ρ görbületi sugár is.




2.8. ábra. Mozgásjellemzők ismert síkbeli pályán

A pálya mentén mozgó P anyagi pont helyzetét a t = t1 időpillanatban P1, a t = t2 = t1 + ∆t időpillanatban P2 jelöli (2.8. ábra). A két pont távolsága a pálya mentén ∆s, helyvektoraik különbsége r∆ .

A mozgás sebessége

=∆∆

=→∆ t

rvt 0

lim ττ evedtds

dtds

dsrd

ts

sr

t===

∆∆

∆∆

→∆ 0lim (13)

(itt figyelembe vettük v korábbi értelmezését és azt, hogy a dsrd / vektor éppen az érintő irányú τe egységvektor).

A sebességvektor eszerint a pálya érintőjére illeszkedik. A mozgás gyorsulása a (13) összefüggésből számítható:

)()( sevsevdtvda ττ +== (14)

Ebben a kifejezésben az első tag a sebesség érintő irányú változásának vektora. A második tag

dsed

vdtds

dsed

dted

e ττττ === (15)




alakba írható át. Az )(seτ vektor merőleges az )(seτ vektorra3, a pálya-görbe normálisának irányába mutat. Nagyságát a pályagörbe ρ lokális gör-bületi sugarú, elemi környezetében elvégezhető vizsgálattal lehet meghatá-rozni, eredményül

neveρτ = (16)

adódik. Ilyeténképpen

nn evevaaaρττ

2

+=+= (17)

Eszerint az érintő irányú gyorsulás a sebesség nagyságának változásától függ, a normális irányú gyorsulás azonban akkor is fellép, ha a pálya men-tén a sebesség nagysága állandó.

2.5. Mozgás körpályán Ha a síkbeli pályagörbe zárt kör, akkor a mozgásjellemzőket érdemes a kör r sugara, valamint a kör középpontjához illeszkedő (célszerűen a mozgás kezdőpontjához tartozó sugárral meghatározott) poláris koordinátarend-szerben értelmezett, φ szögelfordulás függvényeként kifejezni (2.9. ábra).

2.9. ábra. Körpályán mozgó anyagi pont mozgásjellemzői

3 Az ( e eτ τ⋅ ) = 1 skalárszorzat idő szerinti deriváltjára fennáll a 2( e eτ τ⋅ ) = 0 azonosság, ami tetszőleges irány esetén csak akkor lehet igaz, ha e eτ τ⊥ .




Ebben a vonatkoztatási rendszerben a mozgástörvény alakja

)()( trts ϕ= (18)

ahol s a pálya menti elmozdulás, φ mértékegysége [rad]. Az általánosabb, síkmozgásra vonatkozó összefüggéseket alkalmazva

az anyagi pont pálya menti, mindig érintő irányú sebességét

)()())(()( trdt

tdrdt

trddtdstv ωϕϕ

==== (19)

alakban lehet felírni, ahol ω(t) a szögsebesség, mértékegysége [rads−1]. A gyorsulásvektor két összetevőjét ugyancsak a síkmozgást végző

anyagi pontra vonatkozó általános összefüggések alkalmazásával kapjuk. Az érintő irányú ττ eva = (20a) gyorsulás nagysága

)()())(()( 2

2

trdt

tdrdt

trdtva κωϕτ ==== . (20b)

Itt )(tκ a szöggyorsulás, amelynek mértékegysége [rads−2]. Eszerint

ττ κ etrta )()( = . (21)

A gyorsulásvektor normális irányú (az adott esetben mindig a kör közép-pontja felé mutató) összetevője

nnnn etrer

trertvta )()()()( 2

222

ωω=== . (22)

A gyorsulásvektor nagysága így

)()())(())(()( 4222222 ttrtrtraata n ωκωκτ +=+=+= . (23)

Ha a körmozgás egyenletes (v = constans), akkor az ω = v/r szögsebesség is állandó, deriváltja tehát zérus. Ebben az esetben a gyorsulásnak nincs érin-tő irányú összetevője, a sugár irányú gyorsulás pedig szintén állandó nagy-ságú:

rvtan

2

)( = . (24)




Egyenletes körmozgás esetén a pont által megtett út s = vt = rωt . Egy teljes kör megtételéhez eszerint

ωπ

ωπ 22

==r

rT (25)

keringési idő tartozik (mértékegysége [s]). Az egységnyi idő alatt megtett fordulatok száma a fordulatszám:

πω2

1==

Tn . (26)

A fordulatszám mértékegysége [s]. Gyakorlati feladatokban elterjedten használatos mozgásjellemző a percenkénti fordulatok száma

πω30

=n . (27)

Mechanika A merev testek kinematikája



3. A merev testek kinematikája

Ha a mozgó test méretei nem hanyagolhatók el a pálya menti elmozdulá-sokhoz viszonyítva, akkor pontjainak mozgásállapotát nem lehet minden további nélkül egyetlen, az egész testre (mint anyagi pontra) vonatkozó (például a test súlypontjához tartozó) pályajellemzővel közvetlenül meg-adni.

Az ilyen értelemben általános térbeli mozgásra vonatkozó összefüggé-sek meglehetősen bonyolultak. Ezek tárgyalása a gépészmérnöki feladatok körében szinte nélkülözhetetlen. Az építőmérnöki gyakorlat szerényebb igényeket támaszt, az előforduló esetek nagy hányada vizsgálható néhány egyszerűbb mozgásfajta ismeretében. Ilyen, sokszor előforduló mozgásfaj-ta például

• az eltolódó, haladó mozgás – a merev test pontjai egymással azonos alakú, egybevágó pályákon mozognak;

• a rögzített tengely körüli forgó mozgás – a test két pontja (vagy a test-hez rögzítettnek képzelhető két pont) által meghatározott egyenes tér-beli helyzete a mozgás időtartama alatt nem változik;

• a síkmozgás – a merev test pontjai egymással párhuzamos síkok men-tén mozognak;

• az adott pont körüli forgó mozgás – a test egy pontja (vagy egy, a test-hez rögzítettnek képzelhető pont) a mozgás időtartama alatt változat-lan helyzetben marad.

Közülük ez a fejezet az első hármat tárgyalja.

3.1. Eltolódás (haladó mozgás) Eltolódó (haladó) mozgás esetén a test két tetszőlegesen kiválasztott pont-jának pályagörbéi egybevágóak. Ebben az esetben

rrr PP ∆+=, (28)

ahol r∆ bármely P ( ,..., BAP ≡ ) esetén állandó (3.1. ábra). Következés-képpen a mozgás egy tetszőleges t pillanatában a test valamennyi pontjá-




nak dt

trdtv PP

)()( = sebességvektora és dt

tvddt

trdta PPP

)()()( 2

2

== gyor-

sulásvektora azonos4.

3.1. ábra. Haladó mozgás jellemzői

3.2. Rögzített tengely körüli forgó mozgás A merev test rögzített tengely körüli forgó mozgására vonatkozó össze-függéseket célszerű olyan vonatkoztatási rendszerben felírni, amelynek egyik (például y ) tengelyére illeszkedik a rögzített tengely. Ilyen választás esetén a test forgástengelyen kívüli, egyébként tetszőleges helyzetű P pont-jai az y tengely körül, rendre olyan ( ',,' zyx P ) síkokban végeznek moz-gást, amelyekben a pályagörbe kör, sugara a pont 22

PPP zxr += távolsága az y tengelytől (3.2. ábra).

Ebből a szemléletes tényből azonnal következik, hogy a test valameny-nyi pontjának mozgásjellemzői meghatározhatók, ha – a forgástengely helyzete mellett –- ismeretes egyetlen, forgástengelyen kívüli pontjának mozgástörvénye.

4 Ez tehát az a kivételes eset, amelyben a test el nem hanyagolható mérete sem teszi szük-ségessé egynél több pont mozgásállapotának ismeretét.




3.2. ábra. Körpályán mozgó anyagi pont mozgásjellemzői

A mozgásjellemzőket a 2.5 szakaszban tárgyalt, körmozgásra vonatkozó összefüggések ismeretében lehet felírni. Láttuk, hogy ebben az esetben az

)()( trts ϕ= egyenletből rtst )()( =ϕ következik, és az

dttdt )()( ϕω =

szögsebesség, illetve a 2

2 )()()(dt

tddt

tdt ϕωκ == szöggyorsulás fogalmának

használatával célszerű jellemezni a mozgást. A forgástengelytől tetszőleges r távolságra lévő pontok5 sebességének

nagysága ωrvv == . A v sebességvektor közvetlenül felírható vektoriá-lis szorzatként is, ha értelmezzük a szögsebesség-vektort jω alakban:

rjv ×= ω (29)

(az y tengely irányába mutató szögsebesség-vektor helyvektorral képzett vektoriális szorzata a körpálya érintőjéhez simul).

A gyorsulásvektor na normális irányú összetevője a forgástengely felé – a körpálya középpontjába – mutat, a pályamenti τa összetevő a körpá-lya érintőjébe esik. A komponensek és az eredő nagysága a (20)…(23) összefüggések szerint számítható. Vektoriális alakban

rjraaa n ×+−=+= κωτ2 . (30)

5 Érdemes észrevenni, hogy ezek a pontok egy r sugarú hengerfelületen helyezkednek el.




Az ( zx, ) síkban kifejtve ugyanez az összefüggés

krrirra zxzx )()( 22 κωκω +−++−= . (31)

3.3. Síkmozgás A síkmozgás megértéséhez nincs szükség új fogalmak bevezetésére. Ez a mozgásfajta egy tengely körüli elfordulás és az e tengelyre merőleges sík-ban történő haladó mozgás egymásra halmozódásával jön létre6.

3.3. ábra. Síkmozgást végző test metszete az (x, z) síkban

A 3.3 ábrán feltüntetett vonatkoztatási rendszerben a mozgás síkja az ( zx, ) sík (a test pontjai ezzel párhuzamos síkokban mozognak). A test valamennyi pontja ω szögsebességgel fordul el az A pontra illeszkedő Ay tengely körül, miközben valamennyi pont az A pont elmozdulásával azo-nos, Ar haladó mozgást is végez. Egy tetszőleges P pont )(tv P sebesség-vektora ilyeténképpen

)()()()( trjttvtv APAP ×+= ω (32)

alakban írható fel.

6 A síkbeli tartók kinematikájában tárgyalt – kis eltolódások és elfordulások meghatározá-sával megoldható – feladatok teljes analógiában vannak az ide sorolható mozgásfajtákkal.




Ebben az összefüggésben a második tag nagysága attól függően válto-zik, hogy a kiszemelt P pont milyen távol van a forgástengelytől. Lesznek tehát olyan P* pontok a térben (ha nem a testen belül, akkor ahhoz kap-csoltnak képzelhetően, a forgástengellyel párhuzamos y* egyenes mentén), amelyekre nézve 0)()()()( =×+= ∗∗ trjttvtv APAP ω (33)

Ez más szóval azt jelenti, hogy a test mozgása a t időpillanatban az y* pil-lanatnyi forgástengely körüli elfordulásként is leírható.

Az ∗y tengely a mozgás síkját az ( ∗∗ zx , ) pontban döfi át. E pont he-lye a 13. ábra szerint, a kinematika kis mozgásokra vonatkozó megfontolá-sával analóg módon határozható meg: bármely tetszőlegesen felvett A

ponttól ω

AA

vd = távolságban van, a )(tv A pillanatnyi sebességvektorra

merőleges irányban. A síkmozgást végző test gyorsulásának számítása során is érvényes az

egymásra halmozás elve: a haladó mozgáshoz és a mozgás síkjára merőle-ges tengely körüli elforduláshoz tartozó gyorsulásokat kell összegezni. Eszerint a test pontjainak szöggyorsulása rendre

dr

tdt )()( ωκ = . (34)

A mozgás síkjában A ponttal jelölt forgásközéppontra vonatkozó mozgás-jellemzők ismeretében így egy tetszőleges, az A ponthoz illesztett vonat-koztatási rendszerben )(tr AP helyzetvektorral megadott P pont (3.3. ábra) gyorsulásvektora vektoriális alakban

)()()()()()( 2 trjttrttata APAPAP ×+−= κω (35) lesz.

Mechanika Az anyagi pont kinetikája



4. Az anyagi pont kinetikája

4.1. A dinamika alaptörvényei A kinetika a mozgásjellemzők mellett kiterjeszti a figyelmet a mozgásállapot megváltozását okozó erőkre is. Ezzel összhangban a kinematika fogalomtá-rát kiegészíti egy további alapfogalommal, a tömeggel amely az erők nagyságá-nak számítása során jut szerephez, mértékegysége a kilogramm [kg].

A kinetikai összefüggések elméleti alapja – a dinamika alaptörvénye – Newton második axiómája, amely szerint az anyagi pont mozgásának változása a mozgatóerő hatásával arányos, és ugyanannak az egyenes vonalnak az irányába esik, mint amelyben az erő működik. Newton ezt a megállapítást

)()( 00 vvmttF −=− (36)

alakban fogalmazta meg. A t-t0 = ∆t jelölést használva és határátmenetet végezve Euler ugyanezt az összefüggést

dt

vmdtvmF

t

)()(lim0

=∆

∆=

→∆ (37)

alakban fejezte ki. Az vm szorzat önállóan is értelmezett fogalom, a lendü-let7, mértékegysége [kgms−1]. A newtoni mechanikában a sebességek több nagyságrenddel kisebbek, mint a fénysebesség, ezért a tömeg állandónak tekinthető, és az

amdt

vmdF == (38)

eredmény adódik. Több erő egyidejű hatása vektoriális összegzéssel számítható, az egyes

erők által okozott gyorsulások eredője egyenlő az erők eredője által oko-zott gyorsulással. Ugyanez az egymásra halmozhatóság teszi lehetővé az eredő gyorsulásvektor komponenseinek felírását is az eredő erővektor összetevői szerint:

xx amR = , yy amR = , zz amR = . (39)

7 a magyar nyelvű szakirodalomban elterjedten használatos a mozgásmennyiség elnevezés is; a későbbiekben kiderül, hogy ez a szóhasználat nem teljesen következetlen




Adott pálya mentén történő mozgásnál az erő érintő és normális irányú összetevőire vonatkoznak analóg összefüggések:

ττ amR = , nn amR = . (40)

Az egymásra halmozhatóság következménye az is, hogy a véges kiterjedé-sű merev testek kinetikai szempontból anyagi pontnak tekinthetők, ha haladó mozgást végeznek.

A (38) egyenlet egyszerű átrendezésével olyan összefüggéshez jutunk, amely formai szempontból azonos a statikában megszokott egyensúlyi egyenletekkel: 0)( =− amR . (41)

D’Alembert értelmezését és szóhasználatát követve az egyenlet baloldalán megjelenő am mennyiség a tehetetlenségi erő. Eszerint az értelmezés szerint a testre ható (mozgásállapotot megváltoztató) erők egyensúlyban vannak a tehetetlenségi erővel, az egyensúly azonban nem statikai, hanem kinetikai (4.1. ábra). Haladó mozgást végző merev testek esetében a tehetetlenségi erő a tömegeloszlás szerint megoszló erőként értelmezhető.

4.1. ábra. Kinetikai egyensúly

4.2. A dinamika alapfeladatai A dinamikai feladatokat jellegük szerint két csoportba lehet sorolni: vagy ismert mozgáshoz tartozó erőket, vagy adott erők hatására létrejövő moz-gásokat kell meghatározni.

a) Az első csoportba tartozó feladatok megoldása során egy ismert ki-nematikai jellemzőből (többnyire az idő függvényében megadott mozgás-törvényből) kiindulva, ismert kezdeti feltételek mellett számítható ki min-den további kinematikai jellemző. Közöttük kitüntetett szerepe van a gyorsulás-összetevőknek, mert ezek meghatározása után a kinetikai össze-




függésekből lehet számítani a mozgást (mozgásállapot-változást) létrehozó erőket.

Ebben a feladatcsoportban különösen előnyös a D’Alembert-féle fel-adatértelmezés, a kinetikai egyensúlyt kifejező egyenletek használata.

E körbe tartoznak például azok a feladatok, amelyekben ismert geo-metriájú közlekedési pályákon mozgó testekre ható, vagy az általuk a kör-nyezetükre kifejtett erőket kell meghatározni.

b) A második feladatcsoportban rendszerint az anyagi pontnak tekintett merev testre ható erők adottak a hely, az idő, vagy a sebesség függvénye-ként. Általános esetben az m tömegű anyagi pont mozgására vonatkozó (38) egyenlet másodrendű differenciálegyenlet-rendszerként jelenik meg:

),,,,,,( tzyxzyxFxm x= (42a)

),,,,,,( tzyxzyxFym y= (42b)

),,,,,,( tzyxzyxFzm z= . (42c)

Ezt az egyenletrendszer kell megoldani előírt kezdeti feltételek mellett, ami az első csoporthoz viszonyítva bonyolultabb feladat.

Ebbe a körbe tartoznak például azok az esetek, amelyekben egy anyagi pont periodikusan ismétlődő (rezgő) mozgást végez egy elmozdulásával arányos, de azzal ellenkező értelmű erő hatására.

4.3. A lendületváltozás tétele A (37) összefüggés közönséges elsőrendű differenciálegyenlet, amelyet a változók szétválasztásával és integrálással lehet megoldani. Vektorokkal kifejezve

[ ] )()()()( 1212

2

1

vvmtvtvmdttFt

t

−=−=∫ , (43)

derékszögű koordinátarendszerben, skalár egyenletekkel felírva pedig

[ ] )()()()( 1212

2

1

xxxx

t

tx vvmtvtvmdttF −=−=∫ , (44a)

[ ] )()()()( 1212

2

1

yyyy

t

ty vvmtvtvmdttF −=−=∫ , (44b)




[ ] )()()()( 1212

2

1

zzzz

t

tz vvmtvtvmdttF −=−=∫ . (44c)

A (43) egyenlet a lendület megváltozásának tételét fejezi ki: a tömegre ható erő adott időtartamra vonatkozó integrálja egyenlő a test lendületének (mozgásmennyiségének) ugyanezen időtartam alatti megváltozásával. Az

∫2

1

)(t

t

dttF (45)

mennyiség az erő impulzusa, ezért az összefüggést impulzus-tételnek is nevezik. A tétel egyetlen anyagi pontra, és több összekapcsolt pontból álló rendszerekre, merev testekre is fennáll. A lendület mértékegysége [Ns].

A gyakorlatban sokszor fordul elő, hogy ismert az erő az idő függvé-nyében, és ki kell számítani egy adott időpontban az anyagi pont sebessé-gét, vagy két pont között a sebesség adott értékű megváltozása végett ki-fejtett erő működésének időtartamát kell meghatározni. Ezekben a felada-tokban a lendülettétel előnyösen alkalmazható.

Newton első axiómája szerint az egyenes vonalú egyenletes sebességű test mozgásállapota mindaddig nem változik, amíg nem hat rá kiegyensú-lyozatlan erő. A lendülettétel ennek az axiómának másfajta, gyakorlatias megfogalmazásaként is értelmezhető, ha a (43) egyenlőséget

∫+=2

1

)()()( 12

t

t

dttFtvmtvm (46)

alakban írjuk fel. A lendülettétel ebben a felfogásban a lendület (mozgás-mennyiség) megmaradásának tétele.

A látszólag formális átalakításhoz kapcsolódó értelmezés gyakorlati je-lentőségét jól érzékeltetik az űrkutatás kritikus helyzetei. A Holdról vissza-térőben lévő, út közben megsérült Apollo 13 asztronautáinak az élete mú-lott azon, hogy 1v sebességgel Földhöz közelítő űrhajójuk (ismert nagysá-gú fékező erő kifejtésére képes) hajtóműveit megfelelő ideig működtetik-e, amikor a sebességet a légkörön való biztonságos áthaladáshoz szükséges

2v sebességre kell csökkenteni.




4.4. A perdület, a perdületváltozás tétele A statika és a kinetika eddig megismert fogalmai mellett a mérnöki felada-tok körében fontos szerepe van annak a mennyiségnek, amelyet egy m tömegű anyagi pont esetében a mozgásmennyiség valamely rögzített K pontra vonatkozó nyomatékaként értelmezünk – ez a perdület (4.2. ábra):

vmrK ×=Π . (47)

E vektoriális szorzat kiszámítása a

zyx

K

mvmvmvzyxkji

=Π (48)

determináns kifejtésével történik. A perdület mértékegysége [kgm2s−1], a statikai analógiára való tekintettel használatos a kinetikai nyomaték megne-vezése is.

4.2. ábra. A perdület értelmezése

Az analógia nem csak a fogalmak, hanem a velük felírható alapösszefüggé-sek körére is kiterjed. A KΠ perdület idő szerinti deriváltjának részletes kifejtése a

KK

K MRrdt

d=×=

Π=Π (49)

eredményre vezet – ez a perdülettétel, amely szerint a K pontra vonatkozó perdület idő szerinti differenciálhányadosa az anyagi pontra ható erők ugyanazon K pontra vonatkozó nyomatékával egyenlő.




A perdülettétel analóg a korábban látott Euler-féle (a lendület diffe-renciálhányadosára vonatkozó) összefüggéssel. Ezzel összhangban fogal-mazható meg (és bizonyítható) a perdületváltozás tétele, amely szerint az m tömegű anyagi pontra ható erők valamely rögzített pontra vonatkozó nyomatékösszegének egy t2−t1 időintervallumra vonatkozó integrálja egyenlő a pont perdületének megváltozásával:

)()( 12

2

1

ttdtM KK

t

tK Π−Π=∫ . (50)

Sajátos és fontos esetben előfordulhat, hogy a mozgó anyagi pontra ható erők eredője mindig ugyanazon rögzített K ponton megy át, más szóval az erők eredőjének nyomatéka zérus értékű. Egyszerű példa erre a lehetőség-re a Föld gravitációs erőterében mozgó anyagi pont, ha arra a Föld közép-pontja felé mutató nehézségi erőn kívül más erő nem hat. Ha az anyagi pontra ható erők eredője kielégíti ezt a feltételt, azaz centrális erő, akkor az m tömegű anyagi pont perdülete állandó:

állandóvmr =×=Π 0 . (51)

Az r és v vektorok vektoriális szorzata csak akkor lehet állandó, ha ugyanabban a síkban mozognak, amiből az következik, hogy centrális erő-térben az anyagi pont állandó perdületű síkmozgást végez.

4.5. Az erő munkája és teljesítménye A munka fogalmát a kinetikában is úgy értelmezzük, mint a statikában (4.3. ábra). Az )(rF erő a rd elemi eltolódás mentén rdFdL ⋅= mun-kát végez: ez a mennyiség a két vektor skaláris szorzata. Az A1 és A2 pon-tok között végzett munka ezzel az értelmezéssel összhangban az

∫ ∫ ∫∫∫ ++=⋅==−

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

21

x

x

y

y

z

zzyx

r

r

A

A

dzFdyFdxFrdFdLL (52)

integrállal egyenlő. A mechanikai munka egysége [Nm], ennek az egységnek a munka fogalmának más tudományterületeken is széles körű alkalmazása miatt önálló neve is van: joule [J].




4.3. ábra. Az erő munkája

Ha az erő nagysága és iránya állandó, a mozgás pedig ezzel az iránnyal α szöget bezáró egyenes vonalú mozgás (4.4. ábra), akkor az (52) kifejezés leegyszerűsödik: αcos)( 1221 xxFL −=− (53)

4.4. ábra. Egyenes vonalú pálya mentén ható állandó erő munkája

Hasonlóan egyszerű eredmény adódik, ha az erő valamelyik koordináta-iránnyal párhuzamos – például a gravitációs erőtérben a nehézségi gyorsu-lás iránya a z tengely (4.5. ábra). Ha az anyagi pontra csak súlyerő hat, akkor az (53) egyenlőségből az

)( 1221 zzFL −−=− (54) eredményre jutunk.




.

4.5. ábra. Gravitációs erő munkája

Általános esetben az anyagi pontra ható erő is, a pont helyzete is függhet az időtől. A pálya mentén az )(tF erő t∆ idő alatt rdFL ⋅=∆ munkát végez. A teljesítmény az időtartamra vetítve átlagos munkavégzés határát-menettel adódó értéke:

dtdL

tLP

t=

∆∆

=→∆ 0

lim , (55)

mértékegysége [Nms−1] – ennek az egységnek önálló neve a watt [W]. Ha az erő nagysága állandó, a teljesítmény kifejezése egyszerűbb alakot ölt:

vFdtrdF

dtrdF

dtdLP ⋅=⋅=

⋅== . (56)

4.6. Mozgási energia, a mozgási energia változásának tétele

A statika és a szilárdságtan fogalomrendszerében a mechanikai energia két fontosabb fajtája, a helyzeti energia és az alakváltozási energia játszott fontos szerepet. A dinamikában értelmezhető egy további, hasonlóan lényeges fogalom, a mozgási energia, amelyhez a (38) egyenlet – Newton törvénye – alábbi átalakítása vezet:

rdvdvmv

rdvdm

dtrd

rddvm

dtvmdamF ⋅=⋅=⋅=== . (57)




Az ilyen alakba átírt közönséges differenciálegyenletben a változók szétvá-lasztása után – és a 4.3. ábra jelöléseit használva, az A1 és A2 pontok kö-zötti pályaszakaszra elvégzett integrálással – az erő munkájával egyenlő, sebességfüggő mennyiséget kapunk:

∫∫ ∫ ∫ ∫ ++=⋅=⋅2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

z

z

x

x

y

y

v

vzz

r

r

v

v

v

v

v

vyyxx dvvmdvvmdvvmvdvmrdF . (58)

Az integrálási műveleteket elvégezve a sebesség-összetevőkben négyzetes kifejezések adódnak, amelyeket össze lehet vonni, és így a végeredmény az alábbi skalármennyiség lesz:

22

21

22 mvmv− . (59)

Az itt megjelenő, a pálya bármely pontján egyértelműen meghatározott, pozitív

2

2mvT = (60)

mennyiség az anyagi pont mozgási energiája, mértékegysége [Nm]. A mozgási energia megváltozásának tételét ezekkel a jelölésekkel a

2112 −=− LTT (61)

egyenlet fejezi ki, a mozgási energia változása egyenlő a pontra ható erők által végzett munkával.

4.7. Potenciálos erőtér, helyzeti energia. A mechanikai energia megmaradása

A mozgó pont pályája mentén ható erők figyelembe vétele általában na-gyon körülményes, alkalmasint kifejezetten nehéz lehet. Vannak azonban olyan fontos gyakorlati esetek, amelyekben az erőhatások nagysága időben állandó (stacionárius), és azokat a választott vonatkoztatási rendszer tet-szőleges pontjában meg lehet adni, függetlenül attól, hogy ugyanebben a vonatkoztatási rendszerben milyen pályán mozognak anyagi pontok. Az ilyen tulajdonságokkal jellemezhető „hatástartomány” neve stacionárius erőtér. A leggyakrabban előforduló stacionárius erőterek egyike a gravitá-ciós (nehézségi) erőtér.




4.6. ábra. Anyagi pontra ható z irányú Fz erő által végzett munkák

Matematikai leírás és gyakorlati jelentőség szempontjából érdekesek és fontosak azok a stacionárius erőterek, amelyekben a különféle li pályák mentén mozgó pontokra ható erők által végzett Li munkák nagysága nem függ a pályától, azokat egyértelműen meghatározza a mozgás kezdőpontja és végpontja. Egyszerű, ilyen jellegű esetet szemléltet a 4.6. ábra.

Az ilyen erőterekben mindig létezik olyan ),,( zyxU skalárfüggvény – potenciál – amelyből a tér tetszőleges pontjában ható erő közvetlenül meg-határozható:

kzUj

yUi

xUkFjFiFF zyx ∂

∂−

∂∂

−∂∂

−=++= (62)

Például a Föld nehézségi erőterében, a felszín közelében mozgó anyagi pontok pályáit és a rájuk ható nehézségi erőket célszerű olyan vonatkozta-tási rendszerben vizsgálni, amelyben a z tengely a Föld középpontjából kifelé mutató sugár, az erre merőleges ),( yx sík a felszín „érintősíkja”. Ebben a rendszerben a gravitációs potenciál igen jó közelítésként

CmgzzyxG +=),,( (63)

alakban vehető fel. Ezzel a választással a nehézségi erőtérben mozgó anyagi pontokra ható erők komponenseit

0=xG 0=yG mgGz −= (64a, b, c)

alakban nyerjük. A potenciálfüggvény dimenziója [Nm], munka-, illetve energiajellegű mennyiség.




A magyar szóhasználatban a potenciállal jellemezhető erőtereket poten-ciálos vagy potenciális erőtereknek nevezzük8. Érdemes észrevenni, hogy a lineáris rugóerőhöz is rendelhető

2

2kxU = (65)

potenciálfüggvény, ha a rugó tengelyének megfelelő egyenest egydimenziós térnek tekintjük. Ebben az esetben a rugóerőre – a (62) egyenlőség szerint elvégezve a differenciálást – a jól ismert kxF −= összefüggés adódik.

A bevezetett fogalmak jelentősége és hasznossága akkor válik világos-sá, ha egy anyagi pontra potenciálos erőtérben ható erők által végzett munkát kell kiszámítani. Az (52) összefüggésből a (62) értelmezéssel össz-hangban történő átalakítás után

∫∫ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=−

2

121

2

1

A

A

A

A

dUdzzUdy

yUdx

xUL (66)

következik, azaz 2121 UUL −=− . (67)

Az így kapott eredmény azt jelenti, hogy a potenciálos erőtérben végzett munka a potenciálfüggvény kezdő- és végpontbeli értékeinek különbsége.

A nehézségi erőtérben vizsgált mozgások körében ebből a tényből előnyös egyszerűsítési lehetőségek következnek. A fentebb értelmezett vonatkoztatási rendszerben a 1z koordinátájú pontokból a 2z koordinátá-jú pontokhoz vezető pályák bármelyikére (4.6. ábra) nézve

mghzzmgUUL =−=−= )( 2121 . (68)

A potenciálos erőtérben az azonos potenciállal jellemezhető pontok ekvipotenciális felületeken helyezkednek el (4.7. ábra – az U1 felületen min-den pontban azonos a potenciál). Amennyiben ezek közül kitüntetünk egyet, akkor hozzá viszonyítva értelmezhetővé válik minden további pont potenciális energiája (helyzeti energiája). Zárt pályát befutó pontok eseté-ben a munkavégzés zérus (ugyanez a helyzet akkor, ha a mozgás ekvipo-tenciális felületen történik).

8 A megkülönböztetés lingvisztikai kérdés, nem vezet félreértésekhez, ha az értelmezéssel a használók tisztában vannak.




4.7. ábra. Ekvipotenciális felületek

A potenciálos erőterekben nem értelmezünk olyan (például súrlódási, kö-zegellenállási stb.) erőket, amelyek valóságos viszonyok közepette működ-ni szoktak. Az ilyen jellegű erők tényleges jelenléte miatt fellépő energia-veszteségeket (energiaszóródást) elhanyagoljuk. Ez a közelítés jut kifeje-zésre abban a szóhasználatban, amely szerint a potenciálos erőtérben mozgó anyagi pontokra konzervatív erők hatnak.

Ha potenciálos erőtérben egy anyagi pont mozog, a rá ható erők mun-kájának megfelelő – a (61) egyenlet szerinti – mértékben megváltozik a kinetikai energiája. Eközben helyzeti energiája is módosul, amit a (67) egyenlet fejez ki. A két egyenletből

212112 UULTT −==− − (69)

következik. Mivel a mozgás pályája mentén kiszemelt kezdő- és végpon-tok tetszőlegesek lehetnek, ebből az összefüggésből az

állandóTUTU =+=+ 2211 (70)

összefüggésre lehet áttérni – ez a mechanikai energia megmaradásának törvénye. Tudatában kell lenni annak, hogy az energia megmaradását kifejező ál-

talános természettörvény ebben a formájában a merev testek külső erők hatására történő mozgására vonatkozik. A testek alakváltozását okozó, vagy nem-mechanikai energiaveszteségekkel járó hatások jelenléte eseté-ben már csak többé vagy kevésbé elfogadható közelítésként érvényes.




4.8. Járművek mozgását befolyásoló hatások egyenes pályán

A mérnöki gyakorlatban rendszeresen előforduló feladat az egyenes pályán mozgó járművek mozgásállapotának elemzése. A járművek viselkedésének vizsgálata, a közlekedési pályák tervezése, forgalomtechnikai kérdések tisztázása során figyelembe kell venni néhány olyan egyszerű hatást, ame-lyek már a középiskolai fizika tananyagában is megjelennek.

Ezek közül a mérnöki számításokban a kinetika keretei között célszerű tárgyalni

• a súrlódás, • a gördülő ellenállás, • a menetellenállás és • a kis hajlásszögű lejtőn való mozgás

figyelembe vételének kérdéseit.

Súrlódás

Általános fizikai tapasztalat szerint egymással érintkező testek közös felü-letén akkor keletkezik a felület síkjában relatív elmozdulás, ha az e síkban ható F csúsztató erő túllép egy véges nagyságú

nFF 0µ= (71)

küszöbértéket (4.8. ábra). Itt nF a két felületet egymáshoz nyomó erő, 0µ a tapadási súrlódási együttható. Ha nFF 0µ≤ , akkor a csúsztató erőt az

tF tapadási súrlódási erő kiegyenlíti.

4.8. ábra. Súrlódási erők




Folyamatos csúszás esetén a mozgó testre a csúszó felület mentén a moz-gást gátló ns FF µ= (72)

súrlódási erő hat. Itt µ a csúszási súrlódási együttható, amely mindig ki-sebb, mint a tapadási súrlódási együttható.

A csúszási felület az építőmérnöki feladatok széles körében előre is-mert, mint egymással érintkező testek közös határfelülete.

Nem kevésbé fontos esetekben viszont térbeli testekben alakul ki ez a felület, éppen ott, ahol a testben keletkező feszültségek elérik azt a kü-szöbértéket, amelynél az anyag elnyíródással szembeni szilárdsága kimerül, már nem képes kiegyenlíteni a csúsztató erők hatását. Az ilyen jellegű (el-sősorban geotechnikai) feladatokban a csúszási felület megkeresése is ré-szét képezi a mérnöki tennivalóknak.

A súrlódás mérnöki szempontból nem minősíthető kedvező, vagy kedvezőtlen jelenségnek. Egyes esetekben a mozgások befolyásolásának nélkülözhetetlen követelménye, és elégtelensége gondot okoz, máskor csökkentéséhez fűződik komoly érdek.

Gördülő ellenállás

Tapasztalat szerint vízszintes, sík felületen csúszásmentesen gördülő kere-kekre is hat olyan erő, amely az (átmenetileg) érintkező, kicsiny felületek egymáson történő elcsúszása nélkül is gátolja a gördülést. Teljesen merev testek esetében a gördülő henger pillanatnyi forgástengelye a sík felületen lévő érintkezési vonal (a henger alkotója). A (mégoly kicsiny, de véges nagyságú) alakváltozások miatt a forgástengely ettől a vonaltól valamivel távolabb helyezkedik el.

4.9. ábra. Gördülő ellenállás értelmezése




A külpontosság figyelembe vételére az építőmérnöki feladatok körében megfelelő közelítést jelent az a modell (4.9. ábra), amelyben a forgást elő-idéző nyomaték küszöbértékét a gördülő kerék súlyának a pillanatnyi for-gásközéppontra vonatkozó nyomatékával fejezik ki:

GGrdM λ== . (73)

Itt λ a gördülő ellenállási tényező, dimenziója [m].

Menetellenállás

Az egyenes és vízszintes pályán mozgó járművek sebessége Newton tör-vénye szerint csak akkor változik, ha valamilyen erőhatás következtében lép fel gyorsulás vagy lassulás. A valóságban ilyen hatások mindig fellép-nek, az állandó sebességű mozgás fenntartásához szükség van vonóerőre. Ez az erő egyensúlyozza a menetellenállást, amely a jármű mozgó szerkezeti elemeiben fellépő súrlódások, gördülési ellenállások, a mozgás terében fellépő közegellenállás9 stb. következménye.

A menetellenállásban összegződő, a mozgási energia csökkenését oko-zó hatások nagysága függhet a sebességtől, a jármű tömegétől, műszaki állapotától (például elhasználódottságától), a pálya állapotától stb. (a légel-lenállás például a sebesség négyzetével arányos). Az építőmérnöki gyakor-latban előforduló sebességek és hatások tartományában megengedhető közelítéssel a menetellenállást mégis

GE µ= (74)

alakban vesszük fel, ahol mgG = a mozgó test súlya, µ a menet-ellen-állási tényező. A gyakorlatban előforduló, fontosabb esetekben µ kicsiny, ezrelék-nagyságrendű. Erre való tekintettel a súlyerőt sokszor [kN] egy-ségben fejezik ki, a menetellenállást pedig [‰] dimenzióban adják meg (ekkor E [N] egységben adódik). Minél alacsonyabb értékre való csökken-tése a járművek és közlekedési pályák műszaki fejlesztésének örök célkitű-zése, jó karban tartásuk soha meg nem szűnő indoka.

Mozgás kis hajlásszögű pályán

A föld felszíne közelében kialakított közlekedési pályák magassági vonal-vezetése elvileg lehetne „vízszintes” (illeszkedhetne egy kiválasztott, a

9 Ez a fogalom nem a légellenállás szinonimája.




Föld gravitációs erőterében ekvipotenciális felületre). A terepadottságok, a közlekedési csomópontok kialakítása és néhány más szempont miatt ez ésszerűtlen döntés lenne. Helyette a pályákat lehetőleg kis hajlásszögű lejtők és emelkedők alkalmazásával alakítják ki.

4.10. ábra. Mozgás- és pályajellemzők kis hajlásszögű lejtőn

Az utak és vasutak esetében a hajlásszög – kevés kivétellel - kicsiny. Meg-engedhető azoknak a közelítéseknek az alkalmazása, amelyeket a kinema-tikában a kis mozgások elemzése körében is elfogadunk (4.10. ábra):

1cos =α αα tansin =

Ha egy lejtő esetében élni lehet ezzel a közelítéssel, akkor a lejtőn való mozgáshoz szükséges (vagy éppen ezt a mozgást segítő) erőt – a menetel-lenálláshoz hasonlóan – egy e tényezővel, a mozgó test súlyára vonatkoz-tatva lehet kifejezni:

eGE = (75)

Az e tényező nagyságrendje is az ezrelékek tartománya, ezért célszerű [‰] dimenzióban megadni. Ilyen értelmezésekkel a menetellenállás és a kis hajlásszögű pálya hatása összevontan vehető figyelembe: a mozgás állandó sebességének fenntartásához

GeeGGR )( +=+= µµ (76)

vonóerő szükséges. Az összegzést előjel-helyesen kell megejteni, a mozgás irányától függően: emelkedőn e pozitív, lejtőn negatív értékkel veendő figyelembe.

Mechanika Merev testek kinetikája



5. Merev testek kinetikája

Az építőmérnöki feladatok körében a merev testeket nem mindig lehet anyagi pontként, térbeli kiterjedésüket elhanyagolva kezelni. Vizsgálni kell olyan mozgásokat is, amelyekben a test alakjának, méretének, tömegelosz-lásának legalább akkora szerepe van, mint súlypontja helyzetének, és tö-mege egészének.

Nagyobb szerkezeti elemek forgó mozgása, tömör hengeres testek, tárcsák gördülése, fékezése tartozik például ebbe a körbe.

5.1. Tömegközéppont, tehetetlenségi nyomaték A statikában és a szilárdságtanban is szükség van arra, hogy a véges kiter-jedésű testek elemi ),,( dVdAdL résztartományaihoz rendelt mechanikai mennyiségeknek a test egészére kiterjesztett integrálját határozzuk meg. A dinamikában (a tömeg és az idő szerepével összhangban) megjelenik a dm tömegelem és a dt elemi időtartam szerinti integrálás igénye.

A kinetikai vizsgálatokban előforduló mechanikai fogalmakhoz olyan integrálkifejezések tartoznak, amelyek többnyire tartalmazzák az zyx ,, koordináták első és másodfokú kifejezéseit, a pontokra, tengelyekre, sí-kokra vonatkozó, első- (statikai) és másodrendű (tehetetlenségi) nyomaté-kokat (5.1. ábra).

5.1. ábra. Tömegközéppont, első- és másodrendű nyomatékok




A három koordinátasíkra vonatkozó statikai és tehetetlenségi nyomatékok rendre az alábbi összefüggések szerint számíthatók:

∫=m

xy zdmS ∫=m

xy dmzI 2 (77a, b)

∫=m

yz xdmS ∫=m

yz dmxI 2 (77c, d)

∫=m

zx ydmS ∫=m

zx dmyI 2 (77e, f)

A koordinátatengelyekre vonatkozó első és másodrendű nyomatékokat az

∫=m

x dmS ξ ∫=m

x dmI 2ξ (78a, b)

∫=m

y dmS η ∫=m

y dmI 2η (78c, d)

∫=m

z dmS ς ∫=m

z dmI 2ς (78e, f)

kifejezésekkel értelmezzük és számítjuk. A tehetetlenségi nyomatékok ese-tében természetesen figyelembe vehetők a

222 zy +=ξ , 222 xz +=η és 222 xy +=ς (79a, b, c)

azonosságok. Ezért a (78b, d, f) integrálok kiszámítása helyett egyszerű összegzéssel is előállíthatók a tengelyekre vonatkozó másodrendű nyoma-tékok: xyzxx III += , yzxyy III += , yzzxz III += . (80a, b, c)

A koordinátarendszer kezdőpontjára vonatkozó nyomatékokat az

∫=m

dmrS 0 és ∫=m

dmrI 20 (81a, b)

kifejezések definiálják (eszerint a statikai nyomaték vektoriális jellegű mennyiség). A másodrendű nyomaték esetében itt is egyszerű összegzésre van lehetőség. Mivel 2222 zyxr ++= , azért

zxyzxyxyzzxyyzx IIIIIIIIII ++=+=+=+=0 (82)




A test tömegét (analóg értelemben nulladrendűnek nevezhető nyomaték-ként) a ∫=

m

dmm (83)

integrálkifejezéssel lehet felírni. A bevezetett mennyiségek felhasználásával értelmezhető kinetikai alap-

fogalom a test S tömegközéppontja (súlypontja), amelyet az

∫

∫==

m

mS

dm

dmr

mS

r 0 (84)

összefüggéssel számított vektor határoz meg.

5.2. Súlyponttétel A merev test mozgásának jellemzése végett a test olyan elemi részek ( dm tömegelemek) összleteként képzelhető el, amelyek önmagukban anyagi pontnak tekinthetők, rájuk külső erők és az anyagi összefüggést helyettesí-tő belső erők hatnak (5.2. ábra).

5.2. ábra. Tömegelemek és súlypontjuk mozgásjellemzői

Newton törvénye valamennyi elemi részre felírható,

dmaRdm = (85)




ahol dmR tartalmazza a tömegelemre ható összes külső és belső erőt, a pedig a tömegelem gyorsulása. Az így adódó egyenleteket összegezni lehet. Mivel bennük a belső erők párosával, egymás ellentettjeként szerepelnek, ezért az összegzett egyenletben csak a külső erők R eredője jelenik meg:

∫=m

dmaR . (86)

A súlypont helyzetére vonatkozó (84) egyenlet szerint viszont

∫=m

S dmrrm . (87)

Ezt az egyenlőséget az időváltozó szerint kétszer deriválva (és tudva, hogy a deriválás és integrálás sorrendje ebben az esetben felcserélhető) az

∫=m

S dmdt

rddt

rdm 2

2

2

2

(88)

összefüggésre térhetünk át. Itt a baloldalon a súlypont Sa gyorsulása, a jobboldalon pedig az anyagi pontként kezelt tömegelemek a gyorsulásai jelennek meg. Ez az eredmény a súlyponttétel, amely szerint

Rdmadmdt

rdammm

S === ∫∫ 2

2

, (89)

tehát a merev test súlypontja úgy mozog, mint egy anyagi pont, amelynek tömege egyenlő a test tömegével és a rá ható erő a testre ható erők eredője.

5.3. Lendülettétel A merev test lendületének meghatározása során is alkalmazható a súlypont esetében követett gondolatmenet. A dm tömegelem Id lendülete dmv , ahol a v sebesség természetesen a tömegelem helyének függvénye (5.3. ábra).

Az egész test lendülete a tömegre kiterjesztett integrálással állítható elő,

dmrdtdIdI

mm∫∫ == . (90)




5.3. ábra. Merev test lendülete

A (87) egyenlőséget felhasználva ebből az összefüggésből

SSm

vmrmdtddmr

dtdI === ∫ (91)

következik: a merev test lendülete a test tömegének és a súlypontja sebes-ségének a szorzata.

A lendület adott időtartamra számított változása merev test esetében is egyenlő a testre ható erők R vektorösszegének ugyanezen időtartamra vonatkozó integráljával. A 4.3 szakaszban látott átalakítás – a mozgásjel-lemzők tekintetében a tömegelemekről a súlypontra való áttérés lehetősé-gének köszönhetően – merev testek esetében is elvégezhető. Eredményül a (43) egyenlőséggel analóg tétel adódik:

)( 12

2

1

2

1

2

1

SS

v

vS

m

v

v

t

t

vvmvdmdmvdtRS

S

−=== ∫∫ ∫∫ . (92)

5.4. Perdületre vonatkozó összefüggések síkmozgás esetén

A merev testek kinetikája körében vizsgált egyszerűbb építőmérnöki fel-adatok a 3.3 szakaszban ismertetett, síkmozgásra vonatkozó feltevésekkel tárgyalhatók (ezt a mozgásfajtát a haladó mozgás és a rögzített tengely körüli elfordulás összegeként értelmeztük). A perdületre és annak megvál-tozására vonatkozó összefüggéseket ezért az alábbiakban a síkmozgásra szorítkozva tekintjük át.

Tételezzük fel, hogy a test az y tengelyre illeszkedő pillanatnyi forgás-tengely körül ω szögsebességgel és κ szöggyorsulással végez forgó moz-




gást (mindkettő valamennyi tömegelem esetében azonos nagyságú, a moz-gás síkja az xz sík). Vizsgáljuk meg ennek a testnek egy dy vastagságú szeletét és alkalmazzuk a korábban használt jelöléseket: egy tetszőleges elemi tartomány tömegét jelölje dm , sebességét v , forgástengelyhez vi-szonyítva helyzetvektora legyen yr (5.4. ábra).

5.4. ábra. Tömegelemek és perdületük síkmozgás esetén

A súlyponttétel esetében választott gondolatmenetet követve, az ott al-kalmazott feltevésekkel élve az

ymm

yy dmvrdmrI Π=×== ∫∫ 2ωω (93)

eredményre jutunk. A yΠ perdület a merev test tömegelemeihez rendel-hető, rendre azonos állású elemi perdületvektorok összege. Az yI tehetet-lenségi nyomaték a pillanatnyi forgástengelyre vonatkozik, a mozgás során változhat, de a (93) összefüggésben állandó. Ezzel összhangban a perdület idő szerinti deriváltja κω yyy II ==Π (94)

Ez a derivált – ismét az elemi tömegpontokra vonatkozó összegzés lehe-tőségével élve, és az anyagi pont perdületére vonatkozó (49) egyenlet ér-telmét figyelembe véve – a testre ható külső erők pillanatnyi forgástengely-re vonatkozó nyomatékával egyenlő, azaz

κyy IM = (95)




A (95) egyenlőség a perdülettétel síkmozgást végző merev testre vonatkozó, a pillanatnyi forgástengelyre vonatkoztatott mozgásjellemzők és külső hatások között érvényes alakja. A pillanatnyi forgástengely helyzete tetsző-leges lehet, áthaladhat a test súlypontján is. A perdülettétel ilyen, súlyponti tengelyre felírt κSS IM = (96)

alakjában a baloldalon a testre ható külső erők súlyponti tengelyre vonat-kozó nyomatékösszege, a jobboldalon a mozgás síkjára merőleges súly-ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték szerepel.

A síkmozgást végző merev test perdületének változása a (95) illetve a (96) egyelőségek folyományaként határozható meg. A (95) egyenletet dif-ferenciálegyenletként,

dtdIM yyω

= (97)

alakban felírva, a változók szétválasztása és integrálás után

∫∫ −==2

1

2

1

)( 12

ω

ω

ωωω yy

t

ty IdIdtM (98)

illetve

∫∫ −==2

1

2

1

)( 12

ω

ω

ωωω SS

t

tS IdIdtM (99)

eredményre jutunk. A síkmozgást végző merev testre ható erők nyoma-tékösszegének adott időintervallumra vonatkozó integrálja egyenlő a test perdületének megváltozásával.

5.5. Mozgási energia, a mozgási energia változásának tétele síkmozgás esetén

Az 5.4 szakaszban elfogadott, síkmozgásra vonatkozó feltevéseket és jelö-léseket használva a dm tömegelem mozgási energiája

dmvdT 2

21

= , (100)

a merev test mozgási energiája pedig a pillanatnyi forgástengelyre vonat-kozó változókkal kifejezve




∫∫∫ ====m

ymm

IdmrdmrdmvT 222222

21

21

21

21 ωωω . (101)

A pillanatnyi forgástengelyől a Steiner-tétel alkalmazásával lehet áttérni a súlyponton átmenő, a mozgás síkjára merőleges tengelyre számított moz-gásjellemzőket tartalmazó összefüggésre. Mivel

SSy ImrI += 2 és 222SS vr =ω ,

azért

22222

21

21

21

21 ωωω SSSS ImvImrT +=++= (102)

A mozgási energia tehát a súlypont haladó mozgásának és a test súlyponti tengely körüli forgásának megfelelő két tag összege.

A mozgási energia változására vonatkozó – az anyagi pontok mozgását tárgyaló fejezetben látott összefüggésekhez hasonló – tételeket is annak belátásával nyerjük, hogy a tömegelemekre felírható kifejezések összegzése során a fellépő, egymással ellentétes értelmű belső erők hatása elimináló-dik10. A mozgási energia változásának tétele ezért most is

LTT =− 12 (103)

alakban, a mechanikai energia megmaradásának tétele pedig

1122 UTUT +=+ (104)

alakban írható fel, de ezekben a kifejezésekben a mozgási energiát a (101) vagy a (102) összefüggések szerint kell értelmezni.

10 Belső erőkön ezúttal is merev tömegelemek közötti kapcsolati erőket kell érteni –- szilárdságtani értelemben vett (alakváltozást okozó) belső erőkkel a merev testekre vo-natkozó gondolatmenetekben nem kell számolni.

Mechanika Ütközések



6. Ütközések

6.1. Ütközési jelenségek mechanikai modellezése A dinamikai feladatok egy érdekes osztályában a vizsgálat tárgya két olyan mozgó test találkozása, amelyek azonos időpillanatban érkeznek a tér egy pontjához, egymástól különböző lendülettel11. Összeütköznek, addig foly-tonos pályagörbéjük megtörik. Egy viszonylag kicsiny környezetben igen rövid, elemi12 idő alatt igen nagy érintkezési erők alakulnak ki. Az ütköző testek mozgási energiája átmenetileg lecsökken, bennük rugalmas alakvál-tozási energiák halmozódnak fel, majd alakulnak vissza mozgási energiává. Az ütközés előtti mozgási energiák egy része disszipálódik (hangenergiává, hővé alakul), esetleg képlékeny alakváltozást okoz, sőt anyagszerkezetet is módosíthat. Ha ezek az energiaveszteségek elhanyagolhatóak, akkor az ütközést közelítően rugalmasnak tekinthetjük.

Általános esetben az ütközés után mindkét test megváltozott lendület-tel mozog tovább. Egyszerűbbek azok a feladatok, amelyekben az egyik test a mozgások leírásához felvett vonatkoztatási rendszerben mozdulat-lan, vagy mindkét test egyenes vonalú mozgást végez, lendületvektoraik egyenese közös, csak előjeles nagyságuk különböző (6.1. ábra). Gyakran feltételezhető, hogy az ütköző testeknek az érintkezési pontban közös érintősíkja van.

6.1. ábra. Egyszerűbb ütközési feladatok

11 A testek egyike lehet mozdulatlan is. 12 A matematikai értelemben „nem véges” mennyiség megnevezésére használt kifejezés: elemi, infinitezimálisan kicsiny, differenciális.




Az egymással ütköző anyagi pontok viselkedésének matematikai leírásához a lendületváltozásra vonatkozó, korábban látott

∫+=2

1

)()()( 12

t

t

dttFtvmtvm . (105)

összefüggés részletesebb elemzésére van szükség. Az ütközés ugyanis eleminek tekinthető időtartam alatt játszódik le, miközben az ütköző tes-tek lendülete (az vm mozgásmennyiség) nem differenciális, hanem véges mértékben változik meg. A közvetlen érintkezés kis környezetében nagy – a mozgást okozónál esetleg nagyságrendekkel nagyobb – erők lépnek fel.

A jelenség matematikai modelljét a 6.2. ábra szemlélteti. A pályagörbé-je mentén )(tF k külső erő hatására mozgó anyagi pontot a pálya C pont-jában )(tF ütközési erőhatás éri.

6.2. ábra. Véges mozgásmennyiség-változás pillanatnyi idő alatt

Feltételezzük, hogy az ütközés időtartama 21 τττ += . Az kF erő impul-zusa eközben

∫+

=τ1

1

t

tkk dtFS (106)

nagyságú érték, az ütközés időtartama alatt működő (ismeretlen és szintén változó) F ütközési erő impulzusa pedig

∫+

=τ1

1

)(t

t

dttFS . (107)

E két impulzus közül az utóbbi – amelyben igen nagy, kFF >> erő mű-ködik igen rövid ideig – véges (nem elemi) nagyságú lehet. Hozzá képest




az kF erő impulzusa a τ időtartam rövidségére való tekintettel elhanya-golható. A lendületváltozás tétele e megfontolással

Stvmtvm =− )()( 12 (108)

alakot ölt. Ebből az összefüggésből következik, hogy az ütközés során a C pontban az anyagi pont sebességvektora változik meg

Sm

vv 112 =− (109)

értékkel. A 6.2. ábrán a C pontban feltüntetett vektorok állása szemlélteti ezt a tényt.

Bonyolultabb a helyzet akkor, ha a test kiterjedése nem hanyagolható el, és bár mozgása jellemezhető tömegközéppontjának mozgástörvényé-vel, a sebességvektor nem az ütközési pontba mutat (6.3 a) ábra), vagy az ütközési pontban van közös érintősík, de arra a sebességvektor nem merő-leges (6.3 b) ábra). A biliárdjátékosok mindkét lehetőség (két golyó excent-rikus ütköztetése, illetve az asztal szélének bevonása megtervezett ütközé-sek sorozatába) várható következményeinek előrelátó mesterei.

6.3. ábra. Excentrikus ütközés, ferde ütközés

A véges kiterjedésű (biliárdgolyóknál jóval nagyobb méretű) testek excent-rikus, ferde ütközéseinek modellezése, számítása gyakorlati szempontból is fontos feladat. A közlekedési baleseteket elemző szakértők tudása például nagyrészt abban áll, hogy a mozgásjellemzők számítása mellett a pontszerű és a véges kiterjedés, a különféle nem rugalmas alakváltozások és excentri-citások – tapasztalatot és képzelőerőt is igénylő – modellezésére képesek.

Ugyancsak gyakorlati okok miatt érdemel megkülönböztetett figyelmet a haladó mozgást végző testek ütközése rugóval megtámasztott testtel. A mérnöki szerkezetek ugyanis ritkán tekinthetők merevnek. Velük ütköző




testek impulzusának hatására rugóként viselkednek: bennük igénybevéte-lek, és alakváltozások keletkeznek, amelyeket a tartószerkezetek elmélete és az ütközésre vonatkozó dinamikai megfontolások egyidejű alkalmazá-sával lehet meghatározni. Ebbe a feladatkörbe tartozik a leeső, gravitációs térben mozgó teher hatásainak vizsgálata, továbbá a lökésszerű terhelések (például nagynyomású lökéshullámok) hatására bekövetkező, képlékeny tönkremenetelt okozó hatások elemzése.

Ezekben a feladatkörben további segédfogalmak, bonyolultabb algeb-rai összefüggések bevezetése nélkül csak nagyon durva közelítéseket lehet elérni. A fejezet ezeket elkerülve csak néhány egészen egyszerű ütközési feladat megoldását mutatja be.

6.2. Haladó mozgást végző test centrikus ütközése mozdulatlan felülethez

A centrikus egyenes ütközés 21 τττ += időtartamának első, összenyomódási szakaszában az vm lendülettel érkező test és a mozdulatlan felület is ösz-szenyomódik, v nullára csökken (6.4. ábra).

6.4. ábra. Centrikus ütközés mozdulatlan felülethez

A mozgási energia alakváltozási energiává, hő- és hangenergiává alakul, egy része pedig rugalmas feszültségekkel arányos energiaként halmozódik fel mindkét testben.

Az ütközési impulzus értéke a 1τ időtartományban

∫=1

011

τ

dtNS , (110)

ahol 1N időben változó erő. A lendületváltozás tétele szerint

10 Svm −=− . (111)




Az ütközés második, alakvisszanyerő szakaszában a rugalmas feszültségek hatására az alakváltozások rugalmas része megszűnik, az így felhalmozó-dott energia visszaalakul mozgási energiává. A test, amelyre időben válto-zó 2N erő hat, elválik a felülettől, azt a beérkezés tengelyére illeszkedő u sebességgel hagyja el. A 2τ időtartományban az impulzus

∫=τ

τ1

22 dtNS . (112)

A lendületváltozás tétele erre az időszakaszra

20 Sum =− (113) alakban érvényes.

Ha (és a gyakorlatban mindig) a beérkező test mozgási energiája nem alakul teljes egészében rugalmas alakváltozási energiává, a kinetikai energia egy része disszipálódik, a sebességek nem lesznek azonosak, vu < . Az arányukat kifejező

1

2

SS

mvmu

vue === (114)

paraméter a visszapattanási tényező. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén 1=e , a teljesen képlékeny ütközéshez 0=e tényező tartozik. A 10 << e

intervallum a rugalmatlan ütközések tartománya. A mozgó test lendülete előjelet vált, nagysága csökken, az ütközés kö-

vetkeztében elvesztett lendület mve)1( − . A visszapattanási tényező anyagjellemző paraméter, egyszerre függ mindkét test tulajdonságaitól. Nagysága kísérletekkel állapítható meg, tapasztalat szerint például azonos anyagú ütköző testekre az alábbi számszerű értékek használhatók:

üveg-üveg 0,94 acél-acél 0,55 fa-fa 0.50.

Az impulzusveszteség mellett a mozgási energia is csökken. A kinetikai energia veszteség

)1(2

)(21

222

2222

22

emvvevmmumvE −=−=−=∆ . (115)




6.3. Két haladó mozgást végző test ütközése A mérnöki gyakorlatban előforduló ütközési jelenségek fontos, mindamel-lett viszonylag egyszerű eszközökkel vizsgálható változata az azonos egye-nes pályán mozgó, különböző tömegű, és sebességű testek centrikus ütkö-zése (6.5. ábra).

6.5. ábra. Haladó mozgást végző testek ütközése

A jelenség leírására vonatkozó dinamikai modellben feltételezzük, hogy az 1m és 2m tömegű testek sebességvektorai azonos állásúak, és az ütközés

oka „utolérés”, 21 vv > . Ilyen esetben a két test érintkezésének első, össze-nyomódási szakaszában a testek súlypontjai közelednek egymáshoz, alakvál-tozások kialakulása mellett közös u sebességet vesznek fel. Az érintkezés második, alakvisszanyerési szakaszában a rugalmas alakváltozási energiák mozgási energiává alakulnak vissza, a súlypontok távolodnak. A két test sebessége közötti viszony megfordul, szétválásuk pillanatában 21 ww < .

Az ütközés kezdetekor felvett közös u sebesség a lendületre vonatko-zó, a 4.3 szakaszban megismert tétel felhasználásával határozható meg. Külső erők nincsenek, a két testből álló rendszer együttes mozgásmennyi-sége nem változik, 221121 )( vmvmumm +=+ (116) amiből

21

2211

mmvmvmu

++

= (117)

következik. Az ütközési impulzusnak az összenyomódás 1τ időtartamára számított értéke

ISvmum −=− 111 , illetve ISvmum =− 222 , (118a, b)

az alakvisszanyerés 2τ időtartamához tartozó impulzusra vonatkozó érték pedig IISumwm −=− 111 , illetve IISumwm =− 222 . (119a, b)




A két test ütközés előtti kinetikai energiája nem alakul vissza teljes egészé-ben kinetikai energiává, a két impulzus nagysága sem azonos. Jó közelítés-sel feltételezhető azonban, hogy arányuk a visszapattanási tényezővel fe-jezhető ki, III eSS = . (120)

Ezekből az egyenletekből, algebrai átalakítások után, a visszapattanási té-nyezőre

21

12

vvwwe

−−

= (121)

kifejezés vezethető le, a visszapattanási tényező a sebességkülönbségek hányadosa. További átalakításokkal a tömegek és a kezdeti sebességek függvényeként kifejezhető a teljes ütközési impulzus is:

)()1()1( 2121

21 vvmm

mmeSeS I −+

+=+= . (122)

A (118)…(120) egyenletekből egyszerű algebrai műveletekkel levezethetők olyan kifejezések is, amelyek az ütközés utáni 1w és 2w sebességeket az üközés előtti adatokkal adják meg:

)()1(21

21

211 vv

mmmevw −

++

−= , (123a)

)()1(21

21

122 vv

mmmevw −

++

+= , (123b)

A kinetikai energiaveszteségre vonatkozó kifejezés ebben az ütközési mo-dellben

221

21

212 )()(2

)1( vvmm

mmeE −+

−=∆ (124)

alakot ölt. A bemutatott kifejezéseket hiba lenne memorizálni. Levezetésük sem

tananyag, legfeljebb a tanulás segédeszköze: előállításuk gondolatmenetét kell ismerni és érteni. Ilyen összefüggésben érdemes felfigyelni arra, hogy

∞=2m és 02 =v esetén a 6.1 szakaszban látott eredmények adódnak. Az alkalmazások szempontjából pedig azok a változatok érdemelnek fi-gyelmet, amelyekben a kifejezések lényegesen leegyszerűsödnek.




A haladó mozgást végző testek ütközése is lehet rugalmas, rugalmatlan vagy képlékeny. Ha például 1=e , és a tömegek azonosak, akkor az ütkö-zés nyomán sebességeik kicserélődnek. Képlékeny ütközés esetén a két test közös sebességgel halad tovább, miközben a rendszer impulzusa felé-re csökken.

Mechanika Rezgések



7. Rezgések

7.1. Alapfogalmak A rezgési jelenségek megértésére, a leírásukhoz szükséges fogalmak beve-zetésére és a legfontosabb összefüggések bemutatására egyaránt alkalmas, egyszerű modell a k merevségű, súlytalan rugóra függesztett m tömegű anyagi pont mozgása (7.1. ábra). Feltételezzük, hogy a rugóból és testből álló rendszer kezdeti állapotában a rugó terheletlen, a test egy állványon nyugszik, és ebben az állapotban vannak összekapcsolva. Ezt követően más történik, ha az állványt rövid idő alatt, pillanatszerűen távolítjuk el a test alól, mint ha ezt „nagyon lassan” tesszük.

7.1. ábra. A rezgés – alapfogalmak

Az utóbbi esetben a rugó fokozatosan megnyúlik, a test lassan süllyed. A megtámasztás teljes megszűnése után olyan ste elmozdulás mellett jön létre egyensúlyi állapot, amelynél a rugóban ébredő (a megnyúlással ará-nyosan kialakult) stke rugóerő megegyezik a test Ggm = súlyával. Az ilyen elmozdulást, teherátadást, illetve terhelésfelvételt statikusnak nevez-zük. Jellemzője az, hogy nem keletkeznek figyelembe vételt megkövetelő gyorsulások (a szilárdságtanban mindig feltételeztük, hogy a feszültségek és alakváltozások ilyen módon alakulnak ki). A példában tehát

k

mgkGest == (125)

Mechanika Rezgések



Ha az m tömeg alátámasztása pillanatszerűen szűnik meg, akkor a kiegyen-súlyozatlan G súlyerő azonnali hatására a test gyorsulni kezd, és valamek-kora sebességgel érkezik az ste eltolódással jellemezhető helyzetbe, ame-lyen áthalad. Ettől kezdve a megnyúlás nagysága stee > , a rugóerő nagy-sága meghaladja a test súlyát, a két erő különbsége a mozgás irányával ellentétes, lassulást okoz.

Ha a statikus egyensúlyi helyzethez illesztjük az elmozdulás jellemzésé-re választott koordinátarendszer kezdőpontját (7.1 ábra), akkor a lassulás tartományában egy 'x pontban a visszatérítő erő nagysága

')'( kxmgxek st −=++− . (126)

Az elmozdulás maximális értéke nyilvánvalóan függ a rugó merevségétől és a test tömegétől, de minden bizonnyal véges érték. Elérésekor a testre olyan kiegyensúlyozatlan rugóerő hat, amely felfelé irányuló gyorsulást okoz. Hatására a test felfelé mozogva halad át a kezdőponton, miközben a rugóerő folytonosan csökken.

A kezdőpont feletti "x pontban a testre

")"( kxmgxek st =+−− (127)

erő hat. A test lassulva emelkedik, majd egy pillanatnyi nyugalom után mozgásának iránya ismét előjelet vált. Ha a rendszert más hatás nem éri, ez az ismétlődő, periodikus mozgás – az egyensúlyi helyzet körüli mechani-kai rezgés – időtlen időkig folytatódhat.

A természetben és a mérnöki gyakorlatban előforduló rezgések több ok miatt sokkal bonyolultabbak. Például

a) a rendszerek egynél több anyagi pontból állhatnak, folytonos tömegel-oszlású testeket is tartalmazhatnak;

b) olyan testek rezgését is vizsgálni kell, amelyek nem tekinthetők anyagi pontnak;

c) a rendszer mozgásállapotát befolyásoló erők hatása időben is, térben is jóval bonyolultabb lehet;

d) a rendszer mozgási energiája más energiafajtákká alakul.

A gyakorlati feladatok osztályozása szempontjából különösen a szabadság-fok, a gerjesztés és a csillapítás fogalma fontos. A rezgésfajták megkülönböz-tetésének alapesetei vannak:

Mechanika Rezgések



• Egy szabadságfokú rezgés – A rezgő mozgást végző test egyetlen tömeg-pontnak tekinthető, és a mozgás egy paraméterrel jellemezhető.

• Több szabadságfokú rezgés – A rendszert több tömegpont alkotja, vagy a mozgást leíró függvények többváltozósak.

• Szabad rezgés – Egy kezdeti hatás következtében rezgésbe jövő rend-szer további külső erőhatás nélkül saját tulajdonságaitól függő mozgást végez.

• Gerjesztett rezgés – A rendszerre folyamatosan hat valamilyen gerjesztő erőrendszer.

• Csillapítatlan rezgés – A rendszer rezgését jellemző függvények paramé-terei időben változatlanok.

• Csillapított rezgés – A rendszer mozgási energiája a csillapító hatások következtében fokozatosan csökken.

A gyakorlatban előforduló rezgések dinamikai modelljei általában ezeknek az alapeseteknek a kombinációiként alkothatók meg. A rugóra függesztett anyagi pont mozgása például ebben a fogalomrendszerben egy szabadságfo-kú csillapítatlan szabad rezgés. A bonyolultabb változatok tárgyalása során további mechanikai fogalmakat is be kell vezetni, és a matematikai model-lek is összetettebbek. A jelen jegyzet ezért csak néhány egyszerűbb rezgés-fajta ismertetésére szorítkozik.

7.2. Egy szabadságfokú rendszer szabad rezgései 7.2.1. Csillapítatlan szabad rezgés A rezgés fogalmának bevezetéséhez használt egyszerű példa kissé módosí-tott változata látható a 7.2. ábrán.

7.2. ábra. Csillapítatlan szabad rezgést végző anyagi pont modellje

Mechanika Rezgések



A k merevségű rugóhoz ellenállásmentesen gördülő, m tömegű anyagi pontnak tekinthető kocsi kapcsolódik. Ha a pont a terheletlen rugónak megfelelő egyensúlyi helyzettől )(tx távolságban van, sebessége )(tx , gyorsulása13 pedig )(tx , miközben rá )(tkx− rugóerő hat, akkor Newton törvénye

)()( txmtkx =− (128)

alakban írható fel, a csillapítatlan szabad rezgés differenciálegyenlete így

0)()( =+ tkxtxm . (129)

Ennek a közönséges másodrendű, homogén, lineáris, állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletnek az általános megoldását tDetx λ=)( alak-ban célszerű keresni. A behelyettesítés után lehetséges egyszerűsítéseket végrehajtva adódik a differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete:

02 =+ kmλ (130)

(ennek a másodfokú egyenletnek a két gyöke, 1λ és 2λ értékek mellett a megoldás alakjára vonatkozó feltevés kielégül). Ha bevezetjük az

mk

=0ω (131)

jelölést, akkor a (130) egyenlet megoldásait

02,1 ωλ i±=

alakban írhatjuk fel. Matematikai átalakítások után az általános megoldás

tBtAtx 00 sincos)( ωω += (132)

alakban adódik. Az 0ω mennyiség dimenziója a (131) összefüggésből kö-vetkezően [s−1].

Az adott feladathoz tartozó partikuláris megoldást kezdeti feltételek kiszabásával és figyelembe vételével határozhatjuk meg. Célszerű például kezdeti feltételként előírni, hogy a 00 =t időponthoz 0xx = elmozdulás tartozzon. Az ennek megfelelő

13 Emlékeztetjük az olvasót arra, hogy a ”gyorsulás” adott esetben lassulás is lehet – itt a rugóerő irányából éppen ez következik.

Mechanika Rezgések



0sin0cos0 BAx += (133)

feltételi egyenletből 0xA = következik. Második kezdeti feltételként a sebességre adhatunk előírást: tartozzon a 00 =t időponthoz 0vx = kez-deti sebesség. Az általános megoldásból kiindulva

tBtAtx 0000 cossin)( ωωωω +−= , (134)

ezt felhasználva

0cos0sin 000 ωω BAv +−= , (135)

következésképp

0

0

ωv

B = . (136)

Ezekkel az átalakításokkal a csillapítatlan szabad rezgést végző anyagi pont mozgásegyenlete

tv

txtx 00

000 sincos)( ω

ωω += . (137)

Ugyanennek a mozgástörvénynek egy másik, egyenértékű alakját lehet

előállítani az 22 BAa += és BAarctan=α állandók használatával:

( )αω += tatx 0sin)( . (138)

Ez a kifejezés a harmonikus rezgőmozgás egyenlete. A 7.3. ábra szemlélteti a mozgásjellemzőket az idő függvényében.

A (138) felírásmód azért hasznos, mert a rezgő mozgás néhány jellem-zője közvetlenül jelenik meg benne. A maximális kitérés, az amplitúdó érté-ke a . A sinus függvény αω +t0 argumentuma a rezgés adott időpillanat-hoz tartozó fázisa, benne α a kezdeti fázis.

A fázis és az amplitúdó láthatóan függ az előírt kezdeti feltételektől is. Az 0ω mennyiséget közvetlenül meghatározzák a rezgő rendszer mecha-nikai jellemzői (a pont tömege és a rugó merevsége), neve saját körfrekven-cia. Ennek a szóhasználatnak a hátterét a 7.4. ábra világítja meg.

Mechanika Rezgések



7.3. ábra. Harmonikus rezgőmozgást végző anyagi pont

helyzete, sebessége, gyorsulása

7.4. ábra. Körmozgás és harmonikus rezgőmozgás

Ha egy anyagi pont a 0=t , 0=x kezdeti feltétellel a sugarú körpályán, állandó 0ω szögsebességgel mozog, akkor helyzetvektorának függőleges vetületét éppen az tatx 0sin)( ω= egyenlet adja meg. A körfrekvencia dimenziója ebben a felfogásban [rads−1] alakban is írható, megegyezik a szögsebességével14. Hasonló megfeleltetés lehetséges a 0)( ωatv = sebes-

14 Mivel a radiánban mért szögérték egysége természetes szám, a [rads−1] és [s−1] dimen-ziók egyenértékűek.

Mechanika Rezgések



ség és függőleges vetülete, valamint az 20ωa gyorsulás és függőleges vetü-

lete között. A harmonikus rezgés és az egyenletes szögsebességű körmozgás kö-

zötti szoros kapcsolatból következik az is, hogy egy teljes rezgéshez (ah-hoz, hogy a pont ugyanoda ugyanolyan sebességgel érkezzen vissza)

0

02ωπ

=T (139)

saját – a kezdeti feltételektől nem függő – rezgésidő tartozik (dimenziója [s]). Az egységnyi idő alatt történő rezgések száma, a frekvencia, harmoni-kus rezgés esetében

πω2

1 0

00 ==

Tn (140a)

alakban adható meg. Ez a sajátrezgésszám (más szóval önrezgésszám), dimenziója [s−1], önálló neve a Hertz [Hz]. A műszaki gyakorlatban kiter-jedten használt egység az

00 60nN = (140b)

percenkénti önrezgésszám is (forgó berendezések, például motorok fordu-latszámát például ilyen egységben szokás megadni).

7.2.2. Csillapított szabad rezgés A csillapítatlan rezgést (annak amplitúdóját, frekvenciáját) módosító kü-lönféle kényszerek pontos leírása a differenciálegyenletek elméletének eszköztárát ismerők számára is nehéz feladat. A csillapító hatások néme-lyike azonban (többé-kevésbé elfogadható közelítésként) a harmonikus rezgés differenciálegyenletének kisebb módosításával figyelembe vehető. Ezek egyike a sebességgel arányos külső csillapítás.

Ha az egyensúlyi helyzetéből kimozduló testre a sebességével arányos, de azzal ellentett értelmű csillapító erő hat (7.5. ábra), akkor a rendszer viselkedését leíró differenciálegyenlet

0)()()( =++ tkxtxctxm (141)

alakban írható fel. Az itt megjelenő c csillapítási tényező az egységnyi sebességhez tartozó ellenállási erőnek felel meg, dimenziója [Nsm−1].

Mechanika Rezgések



7.5. ábra. Csillapított szabad rezgést végző anyagi pont modellje

Ennek a közönséges, másodrendű, homogén, lineáris, állandó együtthatójú differenciálegyenletnek a megoldása ugyanolyan gondolatmenetet követve található meg, mint a csillapítatlan rezgésre vonatkozó, valamivel egysze-rűbb (129) egyenleté. A megoldást ismét tDetx λ=)( alakban lehet keres-ni, a karakterisztikus egyenlet

02 =++ kcm λλ (142)

lesz. A két gyök

mk

mc

mc

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

2

2,1 22λ (143)

és a rendszert jellemző kcm ,, paraméterek egymáshoz viszonyított nagy-ságától függően három esetet kell megkülönböztetni.

a) Ha a csillapítás nagy,

mk

mc

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2 azaz kmc 2> ,

akkor 1λ és 2λ két egymástól különböző, negatív valós szám. Ebben az esetben az általános megoldás

tt eDeDtx 2121)( λλ −− += (144)

alakban adódik. A két exponenciális függvény összege monoton csökkenő görbe, az eredeti állapotából kimozdított anyagi pont aszimptotikusan közeledik kiinduló helyzetéhez (7.6. ábra) – nem alakul ki rezgő mozgás. A

1D és 2D együtthatók a kezdeti feltételek függvényeként számíthatók ki.

Mechanika Rezgések



7.6. ábra. Sebességgel arányos, nagy csillapítású mozgás amplitúdója

b) Ha a csillapítás kicsi,

mk

mc

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2 azaz kmc 2< ,

akkor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van. Ebben az esetben a csillapítatlan rezgés esetéhez hasonló lépésekkel lehet eljutni az

( )tBtAetxt

mc

*0

*0

2 sincos)( ωω +=−

(145)

általános megoldáshoz, amelyben

kmc

kmc

mk

mc

mk

41

41

2

2

0

22*0 −=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ωω (146)

a kialakuló, csillapodó rezgés frekvenciája. A rezgés amplitúdója – a (145) egyenlet jobboldalán megjelenő exponenciális függvény szerint – fokoza-tosan csökken (7.7. ábra).

Az A és B állandókat ezúttal is a kezdeti feltételekből lehet meghatá-rozni. Az építőmérnöki gyakorlatban fontos, egyszerű esetben ismert a mozgás kezdetén az anyagi pont helyzete és sebessége: 0)0( xx = és

0)0()0( vvx == . Ezekkel az értékekkel a (145) általános megoldás parti-kuláris megoldása

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++=

−t

xmcv

txetxt

mc

*0*

0

00*00

2 sin2cos)( ωω

ω (147)

Mechanika Rezgések



alakban adódik15 (a 7.7. ábrán az 0)0( 0 == xx esetnek megfelelő görbe látható).

t

x

0

7.7. ábra. Sebességgel arányos, kis csillapítású mozgás amplitúdója

c) Ha a csillapítás kritikus,

mk

mc

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2 azaz kmc 2= ,

akkor a karakterisztikus egyenlet két gyöke azonos, mc

221 −== λλ , ezért

az általános megoldás alakja

( )tDDetxt

mc

212)( +=

− (148)

lesz. Rezgés nem alakul ki, az a) esethez hasonlóan alakul az amplitúdó. A sebességgel arányos csillapítás hatása egyetlen anyagi pont esetében

matematikailag jól értelmezhető és viszonylag egyszerűen számítható. A gyakorlatban előforduló, összetettebb rendszerek viselkedése jóval bonyo-lultabb modellekkel is csak közelítően írható le. Ráadásul a tapasztalat szerint a szabad rezgést végző rendszerek mozgása akkor is csillapodik, ha külső hatást nem éri őket. Ennek az az oka, hogy a szerkezetek anyaga nem tökéletesen rugalmas, a szerkezeti kapcsolatokban súrlódás lép fel, általában energiadisszipáció következik be. A szerkezeti csillapítás jellemzése, mértékének becslése elmélyültebb, az alapképzés követelményeit meghala-dó mechanikai ismeretek birtokában lehetséges.

15 Ezt az összefüggést tilos – mert felesleges – megtanulni. Kizárólag a matematikai tár-gyalás jellegének szemléltetése végett szerepel a jegyzetben.

Mechanika Rezgések



7.3. Gerjesztett rezgések. Dinamikus tényező. Rezonancia

A szabad rezgést végző rendszerek mozgásállapotát a kezdeti feltételek (elmozdulás és sebesség) mellett saját (a mozgást leíró differenciálegyenlet együtthatóiként megjelenő) paramétereik határozzák meg. A rezgések egy másik, fontos osztályában a rendszerre gerjesztő erő is hat, amely időben változó lehet.

7.8. ábra. Csillapítatlan gerjesztett rezgést végző anyagi pont modellje

Az egy szabadságfokú gerjesztett rendszer (7.8. ábra) esetében például a csillapítatlan rezgésre (7.1. ábra) vonatkozó (129) egyenlet kiegészül egy taggal: a )(tq gerjesztő erő is megjelenik a Newton-törvényben a rugóerő mellett:

)()()( txmtkxtq =− . (148)

Ezzel összhangban az erővel gerjesztett csillapítatlan rezgés differenciál-egyenlete

)()()( tqtkxtxm =+ . (149)

alakot ölt. Ha lenne a rendszerben sebességgel arányos csillapítást okozó elem, akkor a (141) egyenlet egészülne ki hasonló módon,

)()()()( tqtkxtxctxm =++ (150)

Mechanika Rezgések



alakra. A gerjesztő erő figyelembe vétele esetén eszerint homogén diffe-renciálegyenletek helyett inhomogén differenciálegyenleteket kell megol-dani.

Egyszerűbb esetekben (például, ha a gerjesztő erő állandó, qtq ≡)( , vagy időbeli változása harmonikus, tqtq ωsin)( = ) az inhomogén diffe-renciálegyenlet partikuláris megoldása viszonylag egyszerűen meghatároz-ható, és a homogén változat általános megoldását használva a megoldás megtalálható. Általában a gerjesztő erő maximumának megfelelő, statiku-san működő erő hatásához hasonlítjuk az állandósult rezgések amplitúdó-ját, illetve (csillapítástól függően) a létrejövő elmozdulásokat, de ezek kö-zelítő becslése is körültekintő elemzéseket követel meg.

Az eddig részletesebben tárgyalt rezgésfajták matematikai modelljeinek megnevezésekor a „közönséges”, „állandó együtthatójú”, „lineáris”, „ho-mogén” jelzőket használtuk.

Ha a rezgő mozgás nem egy tengely mentén, hanem a háromdimenzi-ós térben történik, akkor parciális differenciálegyenletekre kell áttérni.

Ha a rezgő rendszer anyagát jellemző paraméterek (például a rugók tu-lajdonságai, vagy a csillapítás tényezője) változnak a terhelés függvényé-ben, fel kell adni az együtthatók állandóságára vonatkozó feltevést.

Többféle értelemben is nemlineárissá válhat a feladat, emellett sok anya-gi pontból, alkalmasint szilárd testekből is állhat egy rezgő rendszer.

A külső erőknek megfelelő, a differenciálegyenletekben inhomogeni-tást okozó kifejezések megállapítása további nehézségek forrása. Könnyű elgondolni, hogy a gyakorlatban előforduló mérnöki szerkezetek dinamikai viselkedésének elfogadható pontosságú vizsgálata milyen bonyolult me-chanikai modellek megalkotását követeli meg, ezek matematikai kezelésé-hez milyen sok és nehezen megállapítható anyagjellemzőre van szükség, és miért nélkülözhetetlenek a numerikus vizsgálatokhoz a nagysebességű számítógépek.

Az alapképzés tananyagának kereteit a dinamikai feladatok további, részletesebb tárgyalása ezek miatt az okok miatt szétfeszítené. Csak a fizi-kai viselkedést jellemző néhány fontos további fogalom megemlítésének lehet még helye. Ez utóbbiak körében kitüntetett szerepe van a mérnöki gyakorlatban

statikus

dinamikus

xx

=ν (151)

Mechanika Rezgések



kifejezéssel értelmezett dinamikus tényezőnek, amely a rendszerre ható erők dinamikus, illetve statikus működése nyomán kialakuló (a rendszer mozgá-sára jellemző) elmozdulások hányadosa16.

A dinamikus tényező állandó nagyságú erővel gerjesztett csillapítatlan rezgés esetén 2 körüli érték lehet. Harmonikus gerjesztő erők hatására azonban olyan állandósult rezgés alakulhat ki, amelynek ω körfrekvenciá-ja különbözhet a gerjesztett rendszer saját 0ω körfrekvenciájától. Ilyen

esetben a rendszer viselkedése nagy mértékben függ az 0ωω hányados

értékétől. Ha 10

≈ωω , akkor rezonancia keletkezik, és a gerjesztő erő által

okozott elmozdulás sokszorosa lehet a statikus hatás esetén várhatónak

( 1>>ν ). Ha 10

<<ωω , akkor a rezgés amplitúdója alig nagyobb, mint a

statikusan működő gerjesztő erő által okozott elmozdulás. Ha pedig

0

1ωω

<< , akkor a gerjesztő erő csak igen kis amplitúdójú rezgéseket okoz.

A gyakorlati feladatok körében szélesedik az a terület, ahol a dinamikai viselkedésre vonatkozó ismereteket használni lehet és kell. Közülük há-rom érdemel kiemelést.

a) Csillapított gerjesztett rezgés – A mérnöki szerkezetek viselkedését jelen-tős mértékben lehet befolyásolni adott tulajdonságú csillapító elemek elhe-lyezésével. Ez a lehetőség véletlen és periodikus gerjesztések esetében is fennáll. Különösen akkor jöhet szóba, ha a tervezés szakaszában még fel nem ismert és figyelembe nem vett rezgésképek alakulnak ki egy szerkeze-ten, és azt emiatt módosítani kell.

Ilyen utat követtek a londoni Millennium Bridge tervezői, amikor 2000. nyarán kiderült, hogy a gyalogos forgalomra tervezett, építészeti szempontból kivételesen elegáns, innovatív szerkezet a rendeltetésszerű használat első óráiban komoly ijedelmet okozó lengésbe jött (www.arup.com/millenniumbridge).

b) Támaszrezgés – A 7.9. ábra egy anyagi pont támaszrezgés hatására be-következő mozgásának jellegét szemlélteti. A tömegpontra az alátámasztó

16 A dinamikus tényező értelmezésének több lehetősége is van, az itt használt változat ezek egyike – szabványokban, előírásokban másféle értelmezéseket is definiálnak.

http://www.arup.com/millenniumbridge

Mechanika Rezgések



szerkezet (az adott esetben a függőleges oszlop) rugalmas viselkedésének megfelelő )(tkx visszatérítő erő és az )(ty eltolódáshoz tartozó y gyor-sulás miatt fellépő tehetetlenségi erő hat. A mozgás differenciálegyenletét ebben az esetben is fel lehet írni a (129) egyenlet esetében követett mó-don:

0)()( =+ tkxtym . (152)

A )()()( txtytz −= összefüggésre tekintettel ebben az egyenletben kétfé-le módon is szerepeltetni lehet a támasz z elmozdulásfüggvényét. A lehe-tőséggel élve (129) helyett az

)()()( tzmtkxtxm −=+ (153a)

)()()( tkztkytym =+ . (153b)

egyenletek bármelyikére át lehet térni. Mindkettő esetében egyértelmű, hogy a támaszrezgés olyan gerjesztett rezgésként tárgyalható, amelyben a gerjesztő erő a támasz z gyorsulásából származó tehetetlenségi erő.

7.9. ábra. Támaszrezgés egyszerű modellje

Ez a rezgéstípus különösen a földrengések hatásainak vizsgálatában játszik kiemelt szerepet. Az építmények, létesítmények sok szabadságfokú rezgés-re képes szerkezetként történő modellezése mellett az őket megtámasztó talajkörnyezet mozgásainak, kitüntetetten gyorsulásainak mérése, becslése, figyelembe vétele jelenti a mérnöki feladatot.

Mechanika Rezgések



c) Gépalapok rezgései – A vízszintes tengely körül forgó elemeket tartal-mazó gépek alaptestjeire működésük közben a forgástengelyre merőleges irányban kiegyensúlyozatlan tömegerők hatása miatt gyakran adódnak át függőleges irányú, harmonikus rezgéseket keltő erők. Az alaptest „válasza” (amely függhet a környező szerkezet- vagy talajviszonyoktól is) sokszor tekinthető jó közelítéssel rugalmasnak, és számítani lehet csillapító hatásra is. Az adott terhek és elmozdulások tartományában a körülményektől füg-gően mégis igen jelentős és káros dinamikus hatások léphetnek fel, ha a gép működésére jellemző frekvencia közel van a gép-alap rendszer saját-frekvenciájához.

A rezonancia kialakulásának megelőzése végett többnyire az alaptest méreteinek, tömegének megváltoztatásával (elhangolással) lehetséges és célszerű módosítani a sajátfrekvenciát, ezzel távolabb kerülni a gerjesztő frekvenciától.

Mechanika Földrengés



8. Földrengés

A földrengés hatásainak azonosítása, mechanikai modellezése, a vele ösz-szefüggő műszaki beavatkozások megtervezése és megvalósítása a mérnö-ki fogalomalkotás, elemzés, tervezés és megvalósítás egyik próbaköve. A jelenség annyira összetett, hogy a rá vonatkozó észlelések évezredes sora, következményeinek sok maradandó nyoma, a fokozatosan gyarapodó és finomodó műszeres megfigyelések eredményeinek feldolgozása mindmáig nem volt elegendő ahhoz, hogy az ember alkotta létesítmények esetében elvárt pontosságú és megbízhatóságú módszerek alakuljanak ki a földren-gésekkel összefüggő kérdések megoldására.

Az építőmérnöki megfontolások geológiai, lemeztektonikai ismeretekre épülnek. A műszaki tennivalók szinte kizárólag a károk előzetes megítélé-séhez, lehetséges megelőzéséhez vagy csökkentéséhez, bekövetkezésük után felszámolásukhoz kapcsolódnak. A földrengésekkel foglalkozó tu-domány- és szakterület – természetéből következően – multidiszciplináris, és folyamatos fejlődésre van ítélve. A dinamikai kérdések tárgyalása a megszokottnál kevésbé szabatos, az „alkotó” mérnöki feladatok ritkábbak.

Ezek a körülmények inkább növelik, mint csökkentik az alapképzés keretében megszerzendő, földrengésekkel összefüggő ismeretek jelentősé-gét. Minél kiszolgáltatottabb egy társadalom életvitele, gazdasága az élette-rében előforduló földrengések hatásának, annál több felkészült építőmér-nököt kell foglalkoztatnia a tennivalók felismerése, a károk csökkentése, a biztonság elérhető és megfizethető optimumának elérése végett.

Magyarország földrajzi helyzete ilyen összefüggésben szerencsés, szemben például olyan, nem is távoli térségekkel, mint Észak-Olaszország vagy Dél-Románia. A veszélyeztetettség alacsonyabb, de fennáll. Emellett gyarapszik azoknak a létesítményeknek a száma, amelyek érzékenyebbek a földrengések hatásaira (e körbe sorolhatók egyebek mellett a földalatti építmények, magas házak, különféle rendeltetésű tornyok). Nem felesleges a kérdéskörrel összefüggő dinamikai ismeretek elsajátítása, a jegyzet ezért tárgyalja az alapképzés szintjén esedékes tudnivalókat.

8.1. Földrengések észlelése A földrengéshez kapcsolódó mechanikai fogalmak többsége a közbeszéd-ben is használatos, általában szemléletes, elsősorban a rengések idején észlelt erőhatásokat, mozgásokat, a bekövetkező károk komolyságát jel-




lemzi. A társadalmak életét komolyan megzavaró rengésekről évezredek óta készülnek feljegyzések (a Kárpát-medence területén kipattant rengé-sekről mintegy másfél évezredre visszamenően vannak adatok). Ezek sok-szor pontatlanok, megbízhatóságuk nehezen ítélhető meg (érthető okok miatt drámai túlzásokkal is terheltek), de sok szempontból jól használha-tók, többségük legalább statisztikus feldolgozásra alkalmas.

A XIX. századtól kezdve kibontakozó műszaki fejlődésnek köszönhe-tően a megfigyelések mérnöki felhasználhatósága folyamatosan javul. Kö-zülük különösen a mérhető mennyiségek, így elsősorban a különböző he-lyeken különböző időpontokban észlelt gyorsulások fontosak. Ezek fo-lyamatos észlelésének, gyűjtésének és feldolgozásának fontossága régóta ismert, a műszeres megfigyeléseket végző obszervatóriumok közel két évszázada végzik ezt a tevékenységet világszerte.

A rengések enyhébb vagy erősebb voltának jellemzésére használt fo-galmakat (intenzitás, megrázottság) az észlelt károk gondos (olykor több évig tartó) feldolgozása után mennyiségi jellemzőként, izoszeiszta térképeken tüntetik fel a szeizmológusok. Egy-egy konkrét földrengés esetében a föld-felszín közelében megállapított, legmagasabb értékek az epicentrum kör-nyékén, az ún. epicentrális területen mutatkoznak (8.1. ábra).

8.1. ábra. Rengési fészek, epicentrum




A térképek alapján becsülhető az epicentrum környékére jellemző intenzi-tás, következtetni lehet a földrengés fészkének mélységére, a megrázott kőzetek bizonyos mechanikai tulajdonságaira is.

Az intenzitás fokozatainak meghatározása szakmai megállapodás kér-dése, empirikus megfigyelések számszerűsítését kívánó feladat. Különösen igaz ez a múltbéli rengésekre vonatkozó leírások esetében. Például a meg-rázottság kezdőértéke (I) lehet az a szint, amelyet különösen érzékeny személyek kedvező körülmények között egyáltalán érzékelnek, és végérté-ke (X) rendelhető a teljes épített és természeti környezetet elpusztító ren-géshez. A közbenső fokozatokat az észlelt mozgások és károk jellege, mértéke alapján lehet meghatározni.

Egy ilyen leíró jellegű besorolás sem a határok, sem a lépcsőzés vonat-kozásában nem tekinthető jól definiáltnak. A szakértők ezért a XX. század kezdetétől folyamatosan vitatják és fejlesztik az intenzitás jellemzésére alkalmas skálákat. Felismerték például, hogy a maximális intenzitás nem feltétlenül azonos a tapasztalt legnagyobb intenzitással (ez a helyzet példá-ul akkor, ha az epicentrum a legközelebbi lakott területtől 10-20 kilomé-terre vagy annál távolabb van).

A hatások minél objektívebb megítélése végett az Európai Makroszeiz-mológiai Skála (MSK–92) részletezi, és sérülékenységi osztályokba sorolja az építési módokat, megadja a nekik megfelelő, lehetséges, földrengés okozta károk jellegét.

A magnitúdó ( M ) fogalmát először Richter definiálta (kaliforniai rengé-sek nagyságát jellemezte szeizmográffal mért adatokhoz rendelt számmal, megadva a mérőeszköz jellemzőit is). Későbbi, általánosabb javaslatai nyomán ma viszonylag széles körben használják az

HcbaIM log++= (154)

képletet, ahol I az epicentrális intenzitás (az észlelt tönkremenetelnek megfelelő skálaérték), H a rengés fészekmélysége, a , b és c pedig olyan állandó, amely a rengés és az obszervatórium földtani környezetétől kis-mértékben függ. A (154) képletet egy-egy körzetre és obszervatóriumra vonatkozóan, statisztikai (illeszkedési) vizsgálattal állítják elő. Az így szá-mított magnitúdó megbízhatóságának korlátai a lineáris kapcsolat feltevé-séből következnek.

A tapasztalatok szerint az epicentrális intenzitás – és így nagy rengé-seknél a pusztítás is – függ a felszín közeli rétegek rugalmas tulajdonságai-tól. Laza talajon (ilyen a lösz, a folyami üledék, a feltöltés) számos ismert




rengés szomorú példájának tanúsága szerint a megrázottság akár egy vagy két fokozattal nagyobb is lehet, mint kemény kőzeten.

A földrengéskutatók szokványos statisztikai módszerekkel kapcsolatot találtak a rengések magnitúdója és gyakorisága között is. Jó közelítéssel

qMpN −=log (155)

ahol N az évenkénti rengések száma, p és q a vizsgált körzetre jellemző állandó17.

8.2. A Föld belső szerkezete. A Kárpát-medence szerkezete

A Föld átmérője 71027,1 ⋅≈ m, tömege 24100,6 ⋅≈ kg. Égitestként anyagi pontnak tekinthető, forgó mozgásának jellemzői szempontjából gömb alakú merev testként vizsgálható. Ezek a közelítések mindaddig nagyon jók, vagy legalábbis megengedhetők, ameddig elhanyagolható az égitestet alkotó anyagok fizikai állapota, mechanikai tulajdonságai, a vizsgált tarto-mány méretei pedig a Föld sugarának nagyságrendjébe esnek, vagy még nagyobbak.

A földrengések esetében ezek a feltevések nem teljesülnek. A jelenség a Föld köpenyének nevezett (alsó és felső köpenyből álló) tartományban leját-szódó folyamatok következménye, hatásait a felszín közelében (a felső kö-penyt héjaló kéregben) észleljük, okai között a felső köpeny és a kéreg szer-kezetének és mechanikai viselkedésének van meghatározó szerepe, a vizsgá-landó állapotváltozások tartománya pedig 101…103 km nagyságrendű.

A 8.2. ábrán a Föld szerkezetének fontosabb egységei, a felszín-közeli kéreg, a felső és alsó köpeny, a külső és a belső mag láthatók. A mag suga-ra mintegy 3500 km. Külső, mintegy 2200 km vastagságúnak becsült réte-gében az anyag folyadékszerű állapotban van, sűrűsége nagyobb, mint 5 gcm3. E tartományban a nyírási modulus nagyon kicsiny, benne transzver-zális (nyírási) hullámok nem terjednek és a longitudinális hullámok sebes-sége is csekély. A belső, mintegy 1300 km sugarú magban terjedhetnek nyírási hullámok és a longitudinális hullámok sebessége is nagyobb. A magnak, fentebb röviden jellemzett állapotának a tudomány a földrengé-sek kialakulása szempontjából jelenleg nem tulajdonít érdemi szerepet.

17 Ez az eredmény alig lép túl a trivialitáson – szemilogaritmikus léptéket használva csak-nem minden görbe közelíthető egyenessel




8.2. ábra. A Föld felépítése

A kéreg vastagsága széles határok között változik: az óceánok alatt 6-10 km, a szárazföldek alatt átlagosan 30-40 km, a lánchegységek alatt 70 km is lehet.

A kéreg és a felső köpeny együtt alkotja a litoszférát. Ez a hasonlóan széles határok között változó (az óceánok alatt legalább 30-40 km, átlago-san 100 km, a nagy kontinensek alatt 300 km-t is meghaladó) vastagságú héj egymáshoz illeszkedő, szilárd kőzetként viselkedő, kontinentális mére-tű lemezdarabokból áll18. A litoszféra alatt (közötte és a mag között) elhe-lyezkedő alsó köpeny az asztenoszféra. Ennek vastagságát jelenleg mintegy 2700 km-re becsülik.

A megkülönböztetést a mechanikai állapotok különbözősége indokolja:

• a litoszféra anyaga viszonylag rideg, szilárd, töredezésre is, rugalmas alakváltozásokra is képes, benne alakváltozási energia halmozódhat fel, mechanikai rezgéshullámok terjedhetnek,

• az asztenoszféra anyaga is szilárd halmazállapotú, de jóval kevésbé rideg, izzó állapotban van, alakváltozásai képlékenyek, benne rugalmas alakváltozási energia nem halmozódik fel.

18 A jobb világatlaszokban szemléletes térképek tüntetik fel a litoszférát alkotó lemezeket, ezek érintkezési tartományaira irányítva a figyelmet.




A felső és alsó köpenyréteg nem válik el éles határfelület mentén. Az át-meneti (200-400 km vastagságú) tartomány helyének és kiterjedésének becslése szempontjából relatív merevségüknek van meghatározó szerepe. A jelenleg elfogadott, a múlt század 60-as éveiben kiépült, lemeztektonikai elmélet szerint

• a litoszférát alkotó kisebb-nagyobb, viszonylag merev, átlagosan 100 km vastagságú lemezek beborítják a bolygó egész felületét,

• a szárazföldek és az óceánok alatt is vannak – zeg-zugos – érintkezési tartományaik (ezeket nevezik mélytengeri árkoknak, óceáni hátságok-nak),

• az asztenoszféra legfelső, mintegy 4-500 km vastagságú rétegén „úsz-nak”,

• egymáshoz képest a tér bármelyik irányában elmozdulhatnak.

A mozgások okai között ott van a Föld forgása, valamint az asztenoszférá-ban olvadt állapotban lévő anyag hőmérsékletének és sűrűségének inho-mogenitása, amely hő- és anyagáramokat indukál. A lemezek rövid idő alatt végbemenő relatív elmozdulásaival együtt járó folyamatokat észleljük földrengésként.

A litoszféra lemezei közötti (a kéreg mentén mérve 105 km nagyság-rendű hosszban elnyúló) érintkezési tartományok szilárdsága a relatív mozgások irányától függően más és más lehet. A lemezek távolodhatnak egymástól, összenyomódhatnak, kialakulhat nyírási jellegű relatív elmozdu-lás. Vastagságuk, helyzetük, tömegük függvényében egymás alá vagy fölé csúszhatnak, töredeznek. A kialakuló diszkontinuitások mentén elérhetik a kéreg felszínét a mélyebb rétegekből nyomás alatt feltörő kőzetolvadékok. Mivel a kőzetanyagok ellenállása nyomással és nyírással szemben jelentős, húzással szemben kisebb, domináns jelenség az óceáni medencék tágulása.

Ezek az adottságok magyarázzák azt, hogy a külső köpenyben keletke-ző repedések, csúszások a térben gyorsan terjedve, a különböző tulajdon-ságú rétegek határfelületein megtörve, visszaverődve nagyon bonyolult felszíni rezgéseket gerjeszthetnek. Ezek elemzése a szaktudomány nagy kihívása, az ismeretek bővülésének gyakorlati jelentőségét pedig a sűrűn belakott földrengés-érzékeny térségekben időről időre keletkező károk nagysága jelzi.

A rengések kipattanása szempontjából meghatározó tartomány anya-gának szilárdsági tulajdonságai is nagyon változóak. A közvetlen megfigye-lés szintjén, a felszín közelében szinte általánosíthatatlan változatossággal




lehetnek jelen különböző telepedésű (rétegzett, repedésekkel, törésvona-lakkal tagolt), nagyon eltérő geotechnikai tulajdonságokkal jellemezhető talajok.

A néhány száz méteres méretek nagyságrendjében a terepadottságok, a geológiai tagoltság eltérései szembeszökőek. A tíz kilométeres nagyság-rendben fokozatosan elenyésznek a felszínközeli tartományban (az ember által belakott és feltárt térben) még jelentős különbségek, így a domborzat vagy a tengerek szerepe is.

A litoszféra lemezei az őket érő erőhatásokra mozgásokkal, rugalmas és képlékeny alakváltozásokkal válaszolnak. Az alakváltozásokkal járó fe-szültségek időről időre elérhetnek olyan határértékeket, amelyek a leme-zekben – anyaguktól, geometriai alakjuktól stb. függően – töréseket, véges elmozdulásokat pattantanak ki. Kiterjedés, összenyomódás, szögtorzulás léphet fel és terjedhet tova rugalmas, csillapodó rezgéseket, longitudinális (kompressziós) és transzverzális (nyírási) rengéshullámokat gerjesztve.

Ha a változások lassúak, kicsinyek és folytonosak, akkor érzékelésük szinte lehetetlen. Jelenlétük, felhalmozódásuk akkor válik érzékelhetővé, ha a felhalmozódó feszültségek – a kéreg anyagának szilárdsági jellemzői-től függő helyeken és időpontokban – meghaladják a folytonosság szem-pontjából mértékadó küszöbértékeket.

A folytonosan megoszló alakváltozások ilyenkor igen rövid idő alatt átrendeződnek: repedések, szakadások, érintkező felületek mentén elcsú-szások jönnek létre. Eközben a korábban felhalmozódott feszültségek, és alakváltozások jelentős hányada lecsökken, alakváltozási energiák szaba-dulnak fel. Ezeknek a kéregben lejátszódó folyamatoknak a földfelszín közeléig ható következményeit észleljük földrengés formájában.

A földtani adottságok tekintetében a Kárpát-medence, és azon belül Magyarország teljes területe „alacsony szeizmicitású” körzet, földrengéses veszélyeztetettsége jóval kisebb, mint Japáné vagy az Egyesült Államok nyugati területeié. Sokkal nagyobb azonban, mint Nagy Britanniáé és nagyjából az Egyesült Államok keleti területeinek megfelelő mértékű.

Ez a kedvező helyzet – amelynek ismeretében építményeink méretezé-se során a földrengés hatásaival csak korlátozott mértékben kell számolni, és így komoly költségek terheitől mentesülünk – annak köszönhető, hogy a medence környezetében a korábbi geológiai korokban lejátszódott ké-regmozgások konszolidálódtak, a jelenleg aktív állapotban lévő, kontinen-tális léptékű törésvonalak viszonylag távol húzódnak.




Tapasztalat szerint viszonylag ritkán fordul elő olyan rengés, amelynek erőssége meghaladja a Richter-skála szerinti 5-ös szintet (az eddig észlelt legerősebb földrengések19 magnitúdója 9 felett volt). A magyarországi rengések többsége a medencét kitöltő üledékes kőzetekben pattan ki, vi-szonylag kisebb mélységben (nem a litoszféra alsó, medencealjzatot alkotó tartományában). A MTA által elfogadott osztályozás Magyarországon négy szeizmikus zónát különböztet meg, ezek közül a legveszélyeztetettebb körzetben sem haladja meg a földmozgás gyorsulásának várható értéke a nehézségi gyorsulás tizedét.

8.3. A rengések jellemzése A földrengések véletlenszerű hatások. Nem csak előfordulásukra vonatko-zóan igaz ez, hanem kvantitatív jellemzőikre is, amelyek valószínűségi változóként értelmezhető fogalmak. Vizsgálatukhoz, a közöttük fennálló összefüggések leírásához, így az építményekre gyakorolt hatásuk figyelem-be vételéhez is valószínűségelméleti módszereket kell használni.

Vannak természetesen egészen egyszerű paraméterek is. Például jelle-mezni lehet a földrengésveszélyt a szeizmikus esemény visszatérési periódusidejé-vel. Ez az adat azt mutatja, hogy egy meghatározott intenzitású rengés egy adott térségben bizonyos valószínűséggel hány évenként fordul elő.

Az évadatok természetesen becslések, amelyeket korábbi megfigyelé-sek, összehasonlító statisztikus vizsgálatok adatainak felhasználásával lehet javítani.

A magnitúdó és maximális (epicentrális) intenzitás közötti, empirikus lineáris kapcsolatot elfogadva a MTA Szeizmológiai Obszervatóriuma a (154) képlet

HIM log8,13,16,0 +−= (156)

alakú változatát használja. Ugyanez az intézmény a gyakoriság és az 0I maximális intenzitás között, valamivel több mint 100 év megfigyelési anyagának alapján meghatározott állandókkal, a

042.073,1log IN −= (157)

képletet fogadja el. Eszerint például 4o intenzitású rengésre minden évben kell számítani, 6o intenzitású rengés nagyjából évtizedenként egy esetleg

19 Chile, 9,5 (l960), Alaska, 9,2 (1964).




kettő fordul elő, 8o epicentrális intenzitású rengés egy évszázadban nagyjá-ból kétszer pattanhat ki. Természetesen ez a kapcsolat is statisztikus jellegű.

A kéregben kialakuló rengések hatása hullámjelenségként érzékelhető az epicentrum környezetében (8.3. ábra). A hullámok a hypocentrumból indulnak. Többnyire a kompressziós (longitudinális) hullámok érik el elő-ször az epicentrumot és körzetét, valamivel később, kisebb sebességgel következnek a rendszerint jóval pusztítóbb hatású transzverzális hullá-mok.

8.3. ábra. Földrengés-hullámok

A földrengés fészke (a hypocentrum) és a felszín közötti tartományban a kialakuló kompressziós és transzverzális (nyírási) hullámok amplitúdói, valamint terjedési sebességük és a csillapítások nagyságát befolyásoló, fon-tos tényező a felszín közeli talajok rétegzettsége, tömörsége, víztartalma. A felszín-közeli építményeket leginkább károsító nyírási hullámok Sv terje-dési sebessége például nagyobb a szilárdabb rétegekben, kőzetekben, tö-mör szemcsés talajokban, kemény agyagokban ( Svms <−1800 ), alacsony a laza homok- és iszaptalajokban, puha agyagokban ( 1200 −< msvS ). A hul-lámok a rengés fészkétől távolodva csillapodnak, de az erősebb rengéseket a Föld szinte valamennyi obszervatóriumában érzékelik.

A dinamikai hatások szempontjából – a tehetetlenségi erők kialakulását meghatározó szerepük miatt – a gyorsulások nagysága a legfontosabb kér-dés. Ezzel összhangban a földrengés hatását az építmények veszélyezte-tettségét jellemző egyik fontos alapadat az ga tervezési talajgyorsulás.




Ennek referenciaértékét egy-egy térségre, szeizmikus körzetre, és ott sziklata-lajra vonatkoztatva szokás megadni. Ha gag 10,0≤ , akkor a térség szeizmicitása alacsony20. Ha gag 04,0≤ , akkor földrengés-hatásra nem kell méretezni az építményeket. Gyakorlati tapasztalat szerint egyetlen jellemző adattal nem lehet a talajkörnyezet építményt károsító potenciálját kielégítően jellemezni, de az ga gyorsulás elfogadható közelítéseket tesz lehetővé a szerkezetek méretezése szempontjából.

A geológiai adottságok szerepe elsősorban a nagy méretű, környeze-tükre nézve nagy kockázatot jelentő létesítményeknél, például nukleáris létesítmények, völgyzáró gátak, földalatti létesítmények esetében fontos. A rengéshullámok terjedése, visszaverődése ugyanis a felszín közelében is nagy mértékben függ korábban keletkezett vetők, más geológiai alakzatok jelenlététől.

8.4. Földrengések hatása épületekre, építményekre

A földrengések hatása szinte minden elgondolható mérnöki létesítményt, szerkezetet fenyeget. Még az sem állítható, hogy elsősorban az erőtani, dinamikai következmények a legsúlyosabbak. Megsérülnek (eltörnek, el-szakadnak) ugyanis az anyag- és energiaellátó vezetékek. A földrengések legnehezebben megelőzhető következményei közé tartoznak ezért a tűz-vészek, amelyek rendszerint az éghető anyagokat szállító vezetékek és a vízellátó rendszerek egyidejű tönkremenetele miatt következnek be.

A szokványos építmények körében különösen a csekély húzószilárd-sággal rendelkező (például falazott kő- és tégla) szerkezetek károsodhat-nak. Általában sérülékenyek a tömbszerű épülettömegekből kinyúló szer-kezeti elemek, az alapozásukhoz kis felületeken mereven kapcsolódó építmények. A gyorsulást szenvedő testekre vonatkozó egyensúlyi egyenlet D’Alembert-féle (a 4.1. szakaszban megismert) értelmezésével összhang-ban, a tehetetlenségi erő hatására az ilyen szerkezetek „lerázódhatnak” alapozásukról, kéményeik, egyéb elemeik rögzítésüktől függően válhatnak el a nagyobb szerkezeti elemektől.

A középmagas falazott építmények a legsérülékenyebbek. Merev falaik törések árán tudják csak a rájuk ható tehetetlenségi erőt áthárítani a többi szerkezeti elemre és az alapozásra. A tartószerkezetekben képlékeny alak-változások keletkezhetnek, folyási mechanizmusok alakulhatnak ki. 20 Utaltunk arra, hogy ez a helyzet Magyarország egész területén.




A korábban már említett Európai Makroszeizmológiai Skála (MSK–92 skála) részletesen megadja az építési módokat (például acélvázas épület, vasbetonszerkezet, faanyagú szerkezet stb.) és ezeket sérülékenységi osztá-lyokba sorolja (például vályogépület, megerősített betonszerkezet). Ponto-san megadja a földrengés okozta épületkárok jellegét (hajszálrepedésektől a teljes pusztulásig) és százalékosan definiálja a régebbi, a földrengések intenzitását épületkárok alapján minősítő skálák „kevés”, „sok”, „majd-nem minden” elnevezéseit.

A földrengés építményekre gyakorolt hatása a dinamikai feladatok kö-rében támaszmozgásként tárgyalt jelenséghez áll a legközelebb. A talajkör-nyezetben haladnak el azok az összenyomódási és nyírási hullámok, ame-lyek a rengés centrumában keletkeztek. A megrázott körzet geológiai szer-kezete általában annyira változatos, hogy a hullámok iránya, visszaverődé-seik, interferenciáik, a csillapodás pontosan szinte soha nem azonosítható, mérésekkel sem (a nehézségek nagyobbak, mint azok, amelyekkel az épí-tőmérnök a talajfeltárás megszokottabb korlátai vonatkozásában szembe-sül). Ezért van szükség gyakorlatias egyszerűsítő megfontolások sorára.

A sokféle hatás mennyiségi jellemzésére leggyakrabban alkalmazott közelítés szerint a talajkörnyezet gyorsulása használható kiinduló, gerjesz-tést jellemző adatként. Az általában térbeli állású gyorsulásvektor három komponensének periódusideje, amplitúdója szerencsés esetben mérési adatokból (akcelerogramokból) megállapítható, kikövetkeztethető. Ezeknek az adatoknak az ismerete a legfontosabb a földrengés-biztos szerkezetek tervezése, létrehozása szempontjából is.

A gyorsulást rendszerint a gravitációs gyorsulás tört részeként adják meg (például 1 ms−2 ≈ 0.1g, 2 ms−2 ≈ 0.2g stb.). Lényeges a gyorsulás csúcsértéke is, de még fontosabb az az időtartam, amely alatt – mindvé-gig – nagy a gyorsulás. Ennek meghatározásához rendszerint a 0.05 s kü-szöbértéket használják, és azt adják meg, milyen hosszú időtartamban na-gyobb a gyorsulás a küszöbértéknél.

A talajrezgések T periódusideje általában néhány tizedmásodperc (0,1 s < T < 0,5 s). A vízszintes síkban fellépő gyorsuláskomponenseknek általában fele-kétharmada a függőleges komponens.

Minden építménynek állékonynak kell lennie a gravitációs térben. A gyakorlatban a teherviselő szerkezeteket természetesen az önsúly mellett ennél nagyobb értékű „függőleges” terhekre méretezik, a szabványok vagy előírt nagyságú biztonsági tényezők alkalmazásával. Emiatt a földrengés-hullámok vertikális (függőleges irányú) összetevőjének hatása - eltekintve




különlegesen nagy rengésektől és szélsőségesen fenyegetett helyzetű épít-ményektől - nem mértékadó. A vertikális irányú gyorsulásokat az építmé-nyek még akkor is károsodás nélkül viselik, ha a potenciális földrengések hatását a tervezésnél nem vették figyelembe.

Sokkal fontosabb a horizontális (vízszintes síkba eső) gyorsulás-összetevő ismerete. Tapasztalatok szerint egy kritikus értéknél nagyobb vízszintes gyorsulás okozza a legjelentősebb károkat. Hatására röviden utalt már a 7.3. szakasz, amely megvilágította a támaszmozgás mibenlétét.

Alapvető fontosságú tapasztalat szerint szilárd talajon, néhányszor tíz kilométer távolságban kipattant, mérsékelten nagy (5 és 7 közötti magnitú-dójú) földrengések esetében a maximális gyorsulás 0.05g és 0.35g közé esik.

A rengéshullámok laza talajon mért gyorsulása jóval nagyobb, mint ugyanazon földrengés hullámainak ugyanakkora távolságban, de kemény kőzeten mérhető gyorsulása. Mi több, a rezgések az érintett körzetben a laza talajrétegek felszínén mintegy felerősödnek. Szomorú gyakorlati pél-dát adott erre a Mexikóváros környéki, 1985. szeptember 19-i földrengés. A város egyes – szilárd alapozásra épült – részei mérsékelten sérültek, míg a laza talaj fölötti épületek szinte teljesen elpusztultak.

Mért akcelerogram hiányában számításokkal lehet meghatározni egy adott helyen a várható legnagyobb gyorsulásokat. A helyi geológiai viszo-nyok mellett ekkor szükség van egy bemeneti akcelerogramra is. Az adott helyet érintő lehetséges földrengések távolságát, a rengéshullámokat ger-jesztő diszlokáció (felszakadás, kipattanás) helyének és helyzetének adatait, az úgynevezett fészekmechanizmust és a várható legnagyobb rengés mag-nitúdóját kell figyelembe venni.

Mivel igen sok és sokféle fészekmechanizmusú, magnitúdójú és távol-ságú rengés akcelerogramját regisztrálták és tárolják az adatbankokban, rendszerint sikerül kiválasztani néhány bemeneti akcelerogramot, melyek elég jól jellemzik a veszélyeztetett létesítmény közelében elhelyezkedő földrengéses terület várható legnagyobb rengéseit. Feltételezve, hogy a szilárd alapkőzeten a gyorsulás az így kiválasztott bemeneti akcelerogram szerint fog változni, az építéshelyi geológiai viszonyok alapján számítani lehet azt is, hogy milyen gyorsulás várható a felszínen.

8.5. Károk és védekezési lehetőségek A földrengés hatásai soha nem célzottak, a természetes és az épített kör-nyezet minden elemére kiterjednek. Egy-egy 8-9 magnitúdójú rengés sű-rűn lakott körzetekben százezernyi emberéletet követelhet (Kína, 1976,




>300 ezer áldozat, Indonézia, 2004, >200 ezer áldozat). Az anyagi veszte-ségek nagysága nagy mértékben függ az érintett körzet kiépítettségétől, nem ritka a 100 milliárd dolláros (Magyarország egy éves bruttó nemzeti össztermékének megfelelő nagyságú) kárösszeg.

Ez az összkép az építőmérnöki tevékenység szinte minden eredménye szempontjából károsodást jelent (elhanyagolhatóan csekély annak a való-színűsége, hogy egy szerencsés helyen kipattanó rengésnek köszönhetően a pisai ferde torony függőlegessé válik21). Az épületekkel azonos mérték-ben veszélyeztetettek a közlekedési pályák, ideértve a földszerkezeteket is, a vízgazdálkodás valamennyi létesítménye, anyagellátó hálózatok és táro-lók vezetékei és műtárgyai is.

A magas intenzitású rengésekkel fenyegetett térségekben élő népesség tisztában van ezzel a ténnyel, és számol a kockázatokkal (Los Angeles, Istanbul, Tokyo, Lima a keserves, sőt tragikus élmények ellenére ugyanúgy növekszik, mint a világ többi nagyvárosa). A tudomásul vétel a mérnöki tevékenységet keretező szabályozásban (szabványokban, technológiai elő-írásokban, üzemeltetési módokban) tükröződik.

A dinamikai ismeretek és a tapasztalatok jelenlegi szintjén az is elfoga-dott adottság, hogy nem léteznek olyan tervezési és építési megoldások, amelyek még ésszerű ráfordítással teljes védelmet biztosítanak még való-színűsíthető erejű földrengések hatása ellen.

Ebben a helyzetben a műszaki szabályozás alapelvként rögzíti a tervezés-sel szemben támasztott követelményeket. Az európai szabályozás (az EURO-CODE 8) a tervezés és kivitelezés számára három alapvető célt jelöl meg:

• az emberi élet védelme, • a károsodások korlátozása, • a polgári védelmi rendszerek működőképességének fenntartása. A tervezési paraméterekkel összemérhető intenzitású (ésszerűen megvá-lasztott gyakorisággal várható) rengésekkel szemben az építménynek két szempontból kell megfelelnie:

• elvárt cél az összeomlás elkerülése, ennek megfelelő teherbírási határ-állapotra kell méretezni;

• a keletkező károk nagyságrendje kisebb kell legyen, mint a teljes újraé-pítés költsége; használhatósági határállapotot kell értelmezni és annak kell megfelelni.

21 …mielőtt összedőlne.




A károk megelőzése, korlátozása különleges, szerteágazó dinamikai tu-dást, szerkezettervezői kreativitást, különleges és költséges megoldások alkalmazására való készséget követel meg. Az építmények kialakításánál elsődleges szempont a várt gyorsulások nagyságának és jellegének helyes becslése. Az ezekre vonatkozó előírások és várakozások ismeretében a függőleges és vízszintes teherhordó szerkezetek megválasztását adott esetben döntően meghatározhatja a nagy intenzitású fölrengéssel szem-beni ellenálló képesség igénye. A kaliforniai építési előírások hatálya alatt tervezett magas épületek jelentős részénél például az önsúlyra és a hasz-nos terhekre vonatkozó megfelelőség gyakran csak ellenőrzési feladat – a szerkezeti kialakítást és a méreteket a földrengés esetére számított terhe-lések döntik el.

A gyakorlott szerkezettervezés és kivitelezés a károk megelőzésének, mérséklésének fontos eszköze. Megfelelően erősített, rugalmas-képlékeny viselkedésre képes alapozások, energiaelnyelő elemek, csuklók, csomó-pontok valóban elérhetővé teszik a fentebb említett megfelelőségi célokat.

A magyarországi előírások – az alacsony szeizmicitásnak köszönhetően – viszonylag szerény követelményeket támasztanak. Közvetlen törvényi kötelezettséget nem ír elő törvény; az OTÉK (az országos településrende-zési és építési követelményeket tartalmazó kormányrendelet) csak általá-nosságban említi azoknak a várható ártalmaknak a körében a földrengést, amelyek ellen védelmet kell nyújtani.

A korábbi nemzeti szabvány (MSZ 15021/1) és az EUROCODE8 már közzétett magyar verziója (MSZ EN 1998–1:2005) egyaránt előírja, hogy az épületeket tervezni kell földrengésre. A nemzeti szabvány 2006-ban hatályos, részletes szövegezése ezt az általános kötelezettséget egyértelmű-en leszűkíti azzal, hogy hatósági előírás esetén rendeli figyelembe venni a földrengés hatását.

Az MSZ EN (várhatóan 2009–2010-ben életbe lépő) előírásai nem lesznek enyhébbek. A Magyar Mérnöki Kamara Tartószerkezeti Tagozata ezért tervezési segédletet adott ki, és ajánlja ennek használatát. A segédlet a Magyarországon várható, kis intenzitású rengésekhez tartozó ag relatív gyorsulások értékét három körzetre adja meg, és ezekbe besorolja a me-gyéket:




ag Megye

0,06g Békés, Borsod-Abaúj-Zemplén, Csongrád, Hajdú-Bihar, Jász-Nagykun-Szolnok, Nógrád, Szabolcs-Szatmár-Bereg, Tolna

0,08g Baranya, Bács-Kiskun, Fejér, Győr-Moson-Sopron, Heves, Pest és Budapest, Somogy, Vas, Veszprém, Zala

0,10g Komárom-Esztergom

A legkevésbé fenyegetett körzetben a segédlet néhány szerkesztési szem-pont érvényesítését javasolja. A második körzetben ajánlja a földrengés-vizsgálat elvégzését, és ennek megkönnyítése végett – a bonyolult és mun-kaigényes szabatos vizsgálatot kiváltandó – helyettesítő statikai méretezési módszert ismertet. A legveszélyeztetettebb körzetben már műszakilag is indokolt a vizsgálat, és azt az európai szabályozás hatályba lépése után el kell majd végezni, ezért (az építmények élettartamára is gondolva) célszerű azt már most megejteni. A tervező akkor jár el helyesen, ha erre – doku-mentáltan – felhívja az építtető figyelmét.

Mechanika Irodalomjegyzék



Irodalomjegyzék (felhasznált, illetve tanulmányozásra ajánlott szakirodalom)

Vértes Gy. – Györgyi J.: Mechanika, kinetika, kinematika. Budapest, 1984, Tankönyvkiadó (J–9–1060 jegyzet, 2. kiadás).

Heinemann, H. et al.: Most már értem a fizikát. Budapest, 1983, Műszaki Könyvkiadó.

Györgyi J.: Dinamika. 2006, Műegyetemi Kiadó. Tongue, B.H., Sheppard, S,D.: Dynamics – analysis and design of systems in

motion. 2005, Wiley

Documents

Mechanika III Dinamika