Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Mechanika - kinematika
Hlavniacute body
bull Uacutevod do mechaniky kinematika hmotneacuteho bodu
bull Pohyb přiacutemočaryacute
bull rovnoměrnyacute
bull rovnoměrně zrychlenyacute
bull Pohyb křivočaryacute Pohyb po kružnici
bull rovnoměrnyacute
bull rovnoměrně zrychlenyacute
bull Pohyb v prostoru Vrhy
Uacutevod do mechaniky
bull Budeme se zabyacutevat klasickou mechanikou
bull Studovaneacute objekty jsou nadmolekulaacuterniacutech velikostiacute a
bull Pohybujiacute se rychlostmi mnohem menšiacutemi než c
bull Kinematika se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu a nepaacutetraacute po jejich přiacutečinaacutech
bull Dynamika se zabyacutevaacute pohybem včetně přiacutečin a zachovaacuteniacutem veličin
bull Hmotnyacute bod maacute nenulovou hmotnost a zanedbatelneacute geometrickeacute rozměry
Kinematika I
Poloha
bull hmotneacuteho bodu M je
určena polohovyacutem
vektorem
bull Okamžitaacute rychlost v = drdt
např vx = dxdt
Maacute směr tečnyacute k draacuteze
v daneacutem okamžiku
mzyxr )(
d srd
Δr ne Δs rarr obecně draacuteha ne
změna polohoveacuteho vektoruRychlost
t
r
dt
dr
vv
t
r
dt
dr
vv
t (s)
r s
(m)
t (s)
To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou
stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu
bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost
bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
t
sv 1ms
dt
rdv
(ax = d2xdt2)
bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo
bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem
pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)
Budiž potom
2
2
2
msdt
rd
dt
vda
a
0
vv
r
vn
dt
dv
dt
dv
dt
dv
dt
vd 2
000
00
nt aa
Zrychleniacute
velikost směr
Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)
Definice radiaacutenu
dn anR
v
ds
dv
dt
ds
ds
dv
dt
dva
0
2
0200
dRds
dnd
00
Směr daacutevaacute normaacutela
velikost daacutevaacute uacutehel
Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute
bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např
x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se
ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a
Zůstaacutevaacute však orientace (+-)
Pohyb rovnoměrnyacute
přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =
0
v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t
kde x0 = x(t=0) je
integračniacute konstanta -
počaacutetečniacute podmiacutenky
Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute
a = at = konst
a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta
x(t) = x0 + v0 t + a t22
Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0
s0
s =s0 + v0t + 12at2
s
t
-Rychlost roste s časem lineaacuterně
-Draacuteha roste s časem kvadraticky
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Hlavniacute body
bull Uacutevod do mechaniky kinematika hmotneacuteho bodu
bull Pohyb přiacutemočaryacute
bull rovnoměrnyacute
bull rovnoměrně zrychlenyacute
bull Pohyb křivočaryacute Pohyb po kružnici
bull rovnoměrnyacute
bull rovnoměrně zrychlenyacute
bull Pohyb v prostoru Vrhy
Uacutevod do mechaniky
bull Budeme se zabyacutevat klasickou mechanikou
bull Studovaneacute objekty jsou nadmolekulaacuterniacutech velikostiacute a
bull Pohybujiacute se rychlostmi mnohem menšiacutemi než c
bull Kinematika se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu a nepaacutetraacute po jejich přiacutečinaacutech
bull Dynamika se zabyacutevaacute pohybem včetně přiacutečin a zachovaacuteniacutem veličin
bull Hmotnyacute bod maacute nenulovou hmotnost a zanedbatelneacute geometrickeacute rozměry
Kinematika I
Poloha
bull hmotneacuteho bodu M je
určena polohovyacutem
vektorem
bull Okamžitaacute rychlost v = drdt
např vx = dxdt
Maacute směr tečnyacute k draacuteze
v daneacutem okamžiku
mzyxr )(
d srd
Δr ne Δs rarr obecně draacuteha ne
změna polohoveacuteho vektoruRychlost
t
r
dt
dr
vv
t
r
dt
dr
vv
t (s)
r s
(m)
t (s)
To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou
stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu
bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost
bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
t
sv 1ms
dt
rdv
(ax = d2xdt2)
bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo
bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem
pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)
Budiž potom
2
2
2
msdt
rd
dt
vda
a
0
vv
r
vn
dt
dv
dt
dv
dt
dv
dt
vd 2
000
00
nt aa
Zrychleniacute
velikost směr
Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)
Definice radiaacutenu
dn anR
v
ds
dv
dt
ds
ds
dv
dt
dva
0
2
0200
dRds
dnd
00
Směr daacutevaacute normaacutela
velikost daacutevaacute uacutehel
Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute
bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např
x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se
ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a
Zůstaacutevaacute však orientace (+-)
Pohyb rovnoměrnyacute
přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =
0
v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t
kde x0 = x(t=0) je
integračniacute konstanta -
počaacutetečniacute podmiacutenky
Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute
a = at = konst
a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta
x(t) = x0 + v0 t + a t22
Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0
s0
s =s0 + v0t + 12at2
s
t
-Rychlost roste s časem lineaacuterně
-Draacuteha roste s časem kvadraticky
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Uacutevod do mechaniky
bull Budeme se zabyacutevat klasickou mechanikou
bull Studovaneacute objekty jsou nadmolekulaacuterniacutech velikostiacute a
bull Pohybujiacute se rychlostmi mnohem menšiacutemi než c
bull Kinematika se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu a nepaacutetraacute po jejich přiacutečinaacutech
bull Dynamika se zabyacutevaacute pohybem včetně přiacutečin a zachovaacuteniacutem veličin
bull Hmotnyacute bod maacute nenulovou hmotnost a zanedbatelneacute geometrickeacute rozměry
Kinematika I
Poloha
bull hmotneacuteho bodu M je
určena polohovyacutem
vektorem
bull Okamžitaacute rychlost v = drdt
např vx = dxdt
Maacute směr tečnyacute k draacuteze
v daneacutem okamžiku
mzyxr )(
d srd
Δr ne Δs rarr obecně draacuteha ne
změna polohoveacuteho vektoruRychlost
t
r
dt
dr
vv
t
r
dt
dr
vv
t (s)
r s
(m)
t (s)
To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou
stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu
bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost
bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
t
sv 1ms
dt
rdv
(ax = d2xdt2)
bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo
bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem
pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)
Budiž potom
2
2
2
msdt
rd
dt
vda
a
0
vv
r
vn
dt
dv
dt
dv
dt
dv
dt
vd 2
000
00
nt aa
Zrychleniacute
velikost směr
Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)
Definice radiaacutenu
dn anR
v
ds
dv
dt
ds
ds
dv
dt
dva
0
2
0200
dRds
dnd
00
Směr daacutevaacute normaacutela
velikost daacutevaacute uacutehel
Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute
bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např
x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se
ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a
Zůstaacutevaacute však orientace (+-)
Pohyb rovnoměrnyacute
přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =
0
v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t
kde x0 = x(t=0) je
integračniacute konstanta -
počaacutetečniacute podmiacutenky
Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute
a = at = konst
a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta
x(t) = x0 + v0 t + a t22
Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0
s0
s =s0 + v0t + 12at2
s
t
-Rychlost roste s časem lineaacuterně
-Draacuteha roste s časem kvadraticky
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Kinematika I
Poloha
bull hmotneacuteho bodu M je
určena polohovyacutem
vektorem
bull Okamžitaacute rychlost v = drdt
např vx = dxdt
Maacute směr tečnyacute k draacuteze
v daneacutem okamžiku
mzyxr )(
d srd
Δr ne Δs rarr obecně draacuteha ne
změna polohoveacuteho vektoruRychlost
t
r
dt
dr
vv
t
r
dt
dr
vv
t (s)
r s
(m)
t (s)
To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou
stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu
bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost
bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
t
sv 1ms
dt
rdv
(ax = d2xdt2)
bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo
bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem
pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)
Budiž potom
2
2
2
msdt
rd
dt
vda
a
0
vv
r
vn
dt
dv
dt
dv
dt
dv
dt
vd 2
000
00
nt aa
Zrychleniacute
velikost směr
Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)
Definice radiaacutenu
dn anR
v
ds
dv
dt
ds
ds
dv
dt
dva
0
2
0200
dRds
dnd
00
Směr daacutevaacute normaacutela
velikost daacutevaacute uacutehel
Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute
bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např
x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se
ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a
Zůstaacutevaacute však orientace (+-)
Pohyb rovnoměrnyacute
přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =
0
v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t
kde x0 = x(t=0) je
integračniacute konstanta -
počaacutetečniacute podmiacutenky
Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute
a = at = konst
a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta
x(t) = x0 + v0 t + a t22
Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0
s0
s =s0 + v0t + 12at2
s
t
-Rychlost roste s časem lineaacuterně
-Draacuteha roste s časem kvadraticky
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
t
r
dt
dr
vv
t
r
dt
dr
vv
t (s)
r s
(m)
t (s)
To že ujedeme stejnou draacutehu za stejnyacute čas neniacute zaacuterukou
stejneacute okamžiteacute rychlosti v průběhu tohoto pohybu
bullPrůměrnaacute rychlost Okamžitaacute rychlost
bullObecně se v průběhu pohybu měniacute velikost (i směr)
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
t
sv 1ms
dt
rdv
(ax = d2xdt2)
bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo
bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem
pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)
Budiž potom
2
2
2
msdt
rd
dt
vda
a
0
vv
r
vn
dt
dv
dt
dv
dt
dv
dt
vd 2
000
00
nt aa
Zrychleniacute
velikost směr
Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)
Definice radiaacutenu
dn anR
v
ds
dv
dt
ds
ds
dv
dt
dva
0
2
0200
dRds
dnd
00
Směr daacutevaacute normaacutela
velikost daacutevaacute uacutehel
Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute
bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např
x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se
ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a
Zůstaacutevaacute však orientace (+-)
Pohyb rovnoměrnyacute
přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =
0
v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t
kde x0 = x(t=0) je
integračniacute konstanta -
počaacutetečniacute podmiacutenky
Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute
a = at = konst
a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta
x(t) = x0 + v0 t + a t22
Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0
s0
s =s0 + v0t + 12at2
s
t
-Rychlost roste s časem lineaacuterně
-Draacuteha roste s časem kvadraticky
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
(ax = d2xdt2)
bull Je to ldquorůst rychlosti s časemrdquo
bull Ačkoli jde o běžnyacute vektor je uacutečelneacute (pro plošneacute pohyby a předevšiacutem
pro pohyb kruhovyacute) rozložit zrychleniacute vzhledem ke směru rychlosti obecneacuteho pohybu na tečneacute a normaacuteloveacute(orientace vůči pohybu nikoliv vůči souřadneacutemu systeacutemu)
Budiž potom
2
2
2
msdt
rd
dt
vda
a
0
vv
r
vn
dt
dv
dt
dv
dt
dv
dt
vd 2
000
00
nt aa
Zrychleniacute
velikost směr
Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)
Definice radiaacutenu
dn anR
v
ds
dv
dt
ds
ds
dv
dt
dva
0
2
0200
dRds
dnd
00
Směr daacutevaacute normaacutela
velikost daacutevaacute uacutehel
Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute
bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např
x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se
ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a
Zůstaacutevaacute však orientace (+-)
Pohyb rovnoměrnyacute
přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =
0
v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t
kde x0 = x(t=0) je
integračniacute konstanta -
počaacutetečniacute podmiacutenky
Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute
a = at = konst
a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta
x(t) = x0 + v0 t + a t22
Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0
s0
s =s0 + v0t + 12at2
s
t
-Rychlost roste s časem lineaacuterně
-Draacuteha roste s časem kvadraticky
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Zrychleniacute normaacuteloveacute (dostřediveacute)
Definice radiaacutenu
dn anR
v
ds
dv
dt
ds
ds
dv
dt
dva
0
2
0200
dRds
dnd
00
Směr daacutevaacute normaacutela
velikost daacutevaacute uacutehel
Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute
bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např
x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se
ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a
Zůstaacutevaacute však orientace (+-)
Pohyb rovnoměrnyacute
přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =
0
v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t
kde x0 = x(t=0) je
integračniacute konstanta -
počaacutetečniacute podmiacutenky
Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute
a = at = konst
a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta
x(t) = x0 + v0 t + a t22
Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0
s0
s =s0 + v0t + 12at2
s
t
-Rychlost roste s časem lineaacuterně
-Draacuteha roste s časem kvadraticky
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Pohyb přiacutemočaryacute - rovnoměrnyacute
bull Zavedeme-li souřadnou soustavu tak aby se jedna osa (např
x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu potom vystačiacuteme se
ldquoskalaacuterniacuteldquo rychlostiacute v = vx a se ldquoskalaacuterniacutemldquo zrychleniacutem a
Zůstaacutevaacute však orientace (+-)
Pohyb rovnoměrnyacute
přiacutemočaryacute v(t) = v0 a =
0
v = dxdt =gt x(t) = x0 + v t
kde x0 = x(t=0) je
integračniacute konstanta -
počaacutetečniacute podmiacutenky
Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute
a = at = konst
a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta
x(t) = x0 + v0 t + a t22
Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0
s0
s =s0 + v0t + 12at2
s
t
-Rychlost roste s časem lineaacuterně
-Draacuteha roste s časem kvadraticky
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Pohyb přiacutemočaryacute ndash rovnoměrně zrychlenyacute
a = at = konst
a = dvdt =gt v(t) = v0 + a t kde v0 = v(t=0) je opět integračniacute konstanta
x(t) = x0 + v0 t + a t22
Po druheacute integraci přibyla dalšiacute integračniacute konstanta Počaacutetečniacute podmiacutenky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0
s0
s =s0 + v0t + 12at2
s
t
-Rychlost roste s časem lineaacuterně
-Draacuteha roste s časem kvadraticky
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
bull Kdy se jednaacute o rovnoměrnyacute pohyb zrychlenyacute a kdy o pohyb zpomalenyacute
bull Zaacutevisiacute na zrychleniacute a i na počaacutetečniacute rychlosti v0
bull Je-li v gt 0 znamenaacute
a gt 0 pohyb zrychlenyacute
a lt 0 pohyb zpomalenyacute
bull Ale je-li v0 lt 0 je tomu naopak - zvolenaacute orientace
a gt 0 pohyb zpomalenyacute
a lt 0 pohyb zrychlenyacute
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Pohyb křivočaryacute
bull Normaacutelovaacute složka zrychleniacute an musiacute byacutet obecně alespoň někdeněkdy nenulovaacute a poloměr křivosti r se může měnit
bull Speciaacutelniacute přiacutepad je pohyb po kružniciOdehraacutevaacute se v jedneacute rovině a poloměr křivosti r je konstantniacute
Umožňuje analytickeacute vyjaacutedřeniacute časovyacutech zaacutevislostiacute sledovanyacutech veličin
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Pohyb po kružnici I - rovnoměrnyacute
bull Vzhledem k periodičnosti pohybu použiacutevaacuteme uacutehloveacute veličiny
bull ds = r d
bull v = dsdt = r ddt = r
bull = ddt = 2 T ( = 2 za dobu jednoho oběhu T = 2 f )
bull Takto se zavaacutediacute uacutehlovaacute rychlost [s-1] kteraacute je zde konstantniacute = rovnoměrnyacute pohyb
bull Normaacuteloveacute dostřediveacute zrychleniacute
bull ad = v2r = 2r = vbull ad = konst at = 0
r
0
sad
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull s(t) = s0 + r t
bull 0 nebo s0 jsou
integračniacute
konstanty opět daneacute
počaacutetečniacutemi
podmiacutenkami
= ddt = konst at = 0 ad = 2r = v2r
r
0
ad
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Pohyb po kružnici ndash pohyb kmitavyacute
Průměty rovnoměrneacuteho kruhoveacuteho pohybu do kolmyacutech os jsou pohyby kmitaveacute
Souřadnice hmotneacuteho bodu B
x(t)= rcos (t) = rcos(0 + t)
y(t)=rsin (t) = rsin(0 + t)
0 se zde nazyacutevaacute
počaacutetečniacute faacuteze (v čase t = 0)
r asymp A hellipse nazyacutevaacute amplituda
Uacutehlovaacute rychlost x uacutehlovaacute frekvence
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Pohyb po kružnici II - zrychlenyacute
bull Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po
kružnici
bull Hmotnyacute bod se pohybuje s
konstantniacutem Uacutehlovyacutem a tečnyacutem
zrychleniacutem
= d dt = d2dt2 = konst [s-2]
at = dvdt= r = konst
bull Po integraci
bull (t) = 0 + t
bull (t) = 0 + 0 t + t22
Srovnej s
x(t) = x0 + v0 t + a t22 = r (t) = r (0 + 0 t + t22)
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Pohyb rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
bull = d dt = konst
bull at = dvdt= r = konst
bull Dostřediveacute zrychleniacute je funkciacute nebo v a tedy času
bull ad = v(t)2r v(t) = (t) r
bull ad = (t)2 r (t) = 0 + t
bull Je-li 0 gt 0 a gt 0 jde o pohyb zrychlenyacute Při lt 0 jde o
pohyb zpomalenyacute
bull Je-li 0 lt 0 je tomu samozřejmě naopak
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Pohyb po kružnici - obecně
bull Protože rovina kruhoveacute draacutehy může miacutet
různou polohu v prostoru je nutneacute pro
obecnyacute přiacutepad pohybu použiacutet vektorů
bull Orientovanyacute uacutehlel d maacute směr normaacutely
ke kružnici orientovaneacute tak že je uacutehel
vidět jako pravotočivyacute
(proti směru hodinovyacutech ručiček)
bull Obdobně je definovaacuten i směr a orientace
uacutehloveacute rychlosti a uacutehloveacuteho zrychleniacute
ra
rv
t
t
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Přiacuteklady
1 Centrifuga
2 φ = -025t2+10t +10
3 Vlak sniacutežil rovnoměrně rychlost z v = 30 na 20ms-1 na
obloukoveacute draacuteze s = 500 m r = 500m
staaa nt 1 0
staaa nt 1 0
pro R = 2m
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Pohyb v prostoru
bull Při obecneacutem pohybu v prostoru je nutneacute pracovat s kompletniacutemi vektory a operace se provaacutedějiacute v souřadniciacutech
bull Pro zjednodušeniacute se snažiacuteme využiacutet přiacutepadneacute symetrie a sniacutežit počet složek ve kteryacutech dochaacuteziacute ke změně
bull Přiacutekladem je pohyb v bliacutezkosti povrchu Země -vrhy odehraacutevajiacuteciacute se ve svisleacute rovině xz
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Vrhy
bull U všech vrhů předpoklaacutedaacuteme
bull Zrychleniacute ktereacute působiacute svisle dolů a maacute
velikost tiacutehoveacuteho zrychleniacute a = (0 0 -g)
bull pohyb začiacutenaacute z bodu r0 = ( x0 y0 z0)
bull počaacutetečniacute rychlostiacute v0 = (vx0 vy0 vz0)
bull Vrhy se děliacute podle počaacutetečniacutech podmiacutenek na
speciaacutelniacute přiacutepady
bull Všechny vektory se dajiacute volbou souřadneacuteho systeacutemu
převeacutest na dvourozměrneacute ndash jde o pohyb v rovině
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Vrh svislyacutebull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g) r0 = (0 0 z0) v0 = (0 0 vz0)
bull Smysl maacute soustředit se jen na svislou osu z
bull vz(t) = vz0 ndash g t
bull z(t) = z0 + vz0 t ndash g t22
bull Podmnožinou jsou a) volnyacute paacuted vz0 = 0
b) vrh vzhůru vz0 gt 0 z0 = 0
Rychlost se zmenšuje až dosaacutehne nuly v čase tm = vz0g
horniacute uacutevrati kde draacuteha (max vyacuteška) z(tm) = v2z02g
Potom těleso padaacute a rychlost je zaacutepornaacute Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn kteryacute je řešeniacutem kvadr rovnice
z(tn) = tnvz0 ndashgt2n 2 = 0 =gt tn = 0
tn = 2vz0g = 2tm
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Vrh vodorovnyacute
bull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 0)
bull Pohyb je nyniacute nutno popsat ve dvou osaacutech Ve svisleacute z se
jednaacute o volnyacute paacuted - ve vodorovneacute x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlenyacute rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute
bull vz(t) = ndash g t vx(t) = vx0
bull z(t) = z0 ndash gt2 2 x(t) = x0 + vx0t
Vrh je ukončen dopadem tělesa
t (maximaacutelniacute) = doba vrhu t společnaacute pro obě složky pohybu
z
x
z0
x0
v0
v0
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
Vrh šikmyacute Ibull Počaacutetečniacute podmiacutenky
bull a = (0 0 -g)
bull r0 = (x0 y0 z0) (x0= y0 = 0)
bull v0 = (vx0 0 vz0)
bull Počaacutetečniacute rychlosti jsou spolu vaacutezaacuteny
bull vx0 = v0 cos()
bull vz0 = v0 sin()
bull Těleso je tedy vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 pod
elevačniacutem uacutehlem s vodorovnou rovinou
z
x
z0
v0
v0x
v0x
v0z
bull Uveacutest přiacuteklady
bull Uveacutest přiacuteklady