Medidas de Centralização

Disciplina de Estatística – 2012/2 Curso de Administração em Gestão Pública

Profª. Me. Valéria Espíndola Lessa e-mail: lessavaleria@gmail.com

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Medidas - Resumo

Exemplo: Em um ponto de ônibus, uma pessoa pergunta sobre o tempo até a passagem de uma determinada linha. Suponha que você havia registrado, na semana anterior, os tempos (em minutos) e obteve os seguintes resultados:

9; 12; 8; 10; 14; 7; 10

Ao responder: “o ônibus demora, em média, 10 minutos”, você está trocando um conjunto de valores por um único número que os resume. Ao adotar este procedimento foi utilizada uma medida-resumo, neste caso a média aritmética.

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Medidas - Resumo

• A classificação da variável vai orientar a escolha da medida resumo mais adequada.

• A maior parte das medidas a serem apresentadas aplicam-se somente a variáveis quantitativas.

• As medidas-resumo podem focar vários aspectos no conjunto de dados. Os aspectos que iremos estudar, são:

– Medidas de Centralização(Tendência central);

– Medidas de Dispersão.

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Medidas de Centralização

• As medidas de tendência central indicam, em geral, um valor central em torno do qual os dados estão distribuídos.

• As principais medidas de centralização na Estatística são:

– Media aritmética (simples e ponderada), mediana e moda

• Além destas, outras medidas são utilizadas com fins específicos tais como:

– média geométrica, média harmônica, 4

Somatório

Seja os valores:

Notação matemática:

n321 x,...,x,x,x

n321

n

1i

i x...xxxx

5

Letra grega

“sigma”

maiúsculo

• A média aritmética também é conhecida como ponto de equilíbrio e centro de gravidade, denominações surgidas da Física. Ela indica o valor em torno do qual há um equilíbrio na distribuição dos dados. O seu cálculo é feito conforme:

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( )

n

x...xxx

n

x

x n321

n

1i

i

x

6

Exemplo:

• Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10, 11.

8,7

5

39

5

1110873

n

xx

7

No Excel...

OU

8

=MÉDIA(intervalo)

• É usado quando os dados estão agrupados numa distribuição de frequências;

• Isso significa que o valor do dado deverá ser multiplicado pela sua frequência;

• Exemplo:

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ( ) x

Dados Originais: 2,2,3,4,3,3,4,4,4,2,4

Xi Fi

2 3

3 3

4 5

9

• Com os dados originais, teríamos que somar cada número xi e dividir por 11.

• Mas tendo a distribuição de frequências, podemos multiplicar:

• Ou seja,

81,311

35

11

543332

x

n

Fx

FFF

FxFxFxx

n

i

ii

1

321

332211

10

No Excel...

• Não há fórmula específica;

• Teremos que inserir fórmulas...

• Desafio: Como você faria?

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Média Aritmética nas Tabelas de Distribuição em Classes:

Exemplo: Determinar a média da distribuição, sendo n=40.

Renda Familiar (milhares de R$)

2 |-- 4 4 |-- 6 6 |-- 8 8 |-- 10 10 |-- 12

Nº de Famílias (Fi)

5 10 14 8 3

Neste caso, as classes são representadas pelos seus pontos médios:

3, 5, 7, 9 e 11

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Classes Xi = ponto médio

Fi Xi . Fi

2 |-- 4 3 5 15

4 |-- 6 5 10 50

6 |-- 8 7 14 98

8 |-- 10 9 8 72

10 |-- 12 11 3 33

Total 40 268

7,640

268

40

3118914710553x

A média deste grupo é de R$ 6.700,00

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Exercícios de Médias – Faça no Excel também

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1) Qual é a média final de um estudante que obteve as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos? Se a média para aprovação é 6,0, ele foi aprovado?

2) Qual a média nas distribuições abaixo:

a)

b)

Xi 3 4 7 8 12

Fi 2 5 8 4 3

Classes 1,5|--3,5 3,5|--5,5 5,5|--7,5 7,5|--9,5 9,5|--11,5

Fi 12 18 20 10 5

x = 4,875; Não

x = 6,82

x = 5,823

• É a medida que está no centro de todas as outras;

• Numa Tabela de dados brutos:

É obtida colocando-se todos os valores em ordem e se a amostra tiver um número de termos:

– Ímpar: a mediana é o elemento médio

– Par: a medida é a semi-soma dos dois elementos médios.

MEDIANA ( ) Mdoux~

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Exemplo com número ímpar:

Encontre a mediana dos dados:

45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46, 46

Colocando em ordem crescente, temos:

41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 46, 50

Há 11 termos, a mediana está na 6º colocação.

Para calcular a ordem (posição) se faz:

lugarº6

2

12

2

111

2

1n

16

Exemplo com número par:

Encontre a mediana dos dados:

45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46

Colocando em ordem crescente, temos:

41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 50

Há 10 termos, a mediana está entre na o 5º e o 6º termo, portanto, se faz a média dos termos de ordem

5,422

85

2

4342

1

2

ne

2

n

17

No Excel...

18

• Há uma fórmula pronta: =MED(intervalo)

Mediana nas Tabelas de Distribuição em Classes

• Exemplo: Qual é a mediana?

19

Classes Fi

35 |-- 45 5

45 |-- 55 12

55 |-- 65 18

65 |-- 75 14

75 |-- 85 6

85 |-- 95 3

Σ 58

Sabemos que se há 58

elementos, a mediana é a

média aritmética do

elemento de posição 29º e

30º (58/2 e 58/2 +1)

Então, em qual classe está

a mediana?

• Para facilitar a ordenação dos elementos da tabela, devemos organizar uma coluna com a Frequência Acumulada.

Classes Fi Fac

35 |-- 45 5 5

45 |-- 55 12 17

55 |-- 65 18 35

65 |-- 75 14 49

75 |-- 85 6 55

85 |-- 95 3 58

Σ 58

20

1º ao 5º

6º ao 17º

18º ao 35º

Quais destes valores é a mediana?

Fórmula da Mediana

classe

aant2n

iclasseF

hfLx~

classedafrequênciaF

classedaamplitudeh

anterioracumuladasfrequênciaf

elementosdenúmeron

classedaerioriteL

classe

aant

iclasse

inflim

21

1º) Encontrar a classe que está a mediana, como já fizemos: 3ª classe

2º)Aplicar a fórmula com

Liclasse = 55; n = 58; faant = 17; h = 10; Fclasse= 18

Classes Fi Fac

35 |-- 45 5 5

45 |-- 55 12 17

55 |-- 65 18 35

65 |-- 75 14 49

75 |-- 85 6 55

85 |-- 95 3 58

Σ 58

Classe que

contém 29º

e 30º

elemento

22

67,61667,655

18

12055

18

10172955

18

10172/5855~

x

23

Exemplo:

• Calcule a Mediana

Classes Fi Fac

7 |-- 17 6 6

17 |-- 27 15 21

27 |-- 37 20 41

37 |-- 47 10 51

47 |-- 57 5 56

Σ 56

1º) n/2 = 56/2 => 28º e 29º 2º) 3ª Classe 3º) Fórmula:

Liclasse = 27 Faant = 21 Fclasse = 20

h = 10

5,30

20

10212827x~

24

No Excel...

• Não há fórmula específica;

• Teremos que inserir fórmulas...

• Desafio: Como você faria?

25

MODA (Mo)

É o valor em um conjunto de dados que ocorre com

maior freqüência.

• Um conjunto de dados pode ser:

– Unimodal (uma moda); 0,0,0,1,1,1,3,3,3,3,3,3,5,5,7 → Mo = 3

– Amodal (não possuir moda, pois não existe nenhum valor que ocorre com maior freqüência);

1,2,3,4,5,6 → Mo = não existe

– Multimodal (possui mais de uma moda); 2,2,2,3,4,5,6,6,6,7,8 → Mo = 2 e 6

26

No Excel...

• Há fórmula: = Mo(intervalo)

27

• Exemplo: Calcular a Moda da distribuição:

• Como podemos ver, o valor que tem mais frequência (23) é o 248, portanto, Mo = 248.

Xi 243 245 248 251 307

Fi 7 17 23 20 8

28

Moda com Tabela de distribuição em Classes

• Exemplo: Calcular a moda.

• Conseguimos ver em qual classe está a moda, encontrando a classe com maior frequência.

• Classe modal: 3º

29

Classes 0|-- 1 1|-- 2 2|-- 3 3|-- 4 4|-- 5 Σ

Fi 3 10 17 8 5 43

• É preciso aplicar a fórmula:

30

hLMo21

1iclasse

classedaamplitudeh

eriornteimediatamea

ealclassedafrequênciaaentrediferença

eriornteimediatamea

ealclassedafrequênciaaentrediferença

classedaeriorLimiteLiclasse

sup

mod

inf

mod

inf

2

1

31

Exemplo: Calcular a moda.

Resolução:

1º) Devemos encontrar a classe modal, ou seja, a classe que possui a maior frequência, neste caso é a 3ª classe;

2º) Aplicar a fórmula:

Δ1= 17 – 10 = 7

Δ2= 17 – 8 = 9

h = 1

Liclasse= 2

Classes 0|-- 1 1|-- 2 2|-- 3 3|-- 4 4|-- 5 Σ

Fi 3 10 17 8 5 43

44,216

39

16

732

16

721

97

72Mo

Exemplo:

• Calcular a Moda

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Classes 1,5|--3,5 3,5|--5,5 5,5|--7,5 7,5|--9,5 9,5|--11,5

Fi 12 18 20 10 5

1) A 3º classe é de maior frequência, portanto é a classe modal;

2) Aplicar a fórmula:

Δ1= 20 – 18 = 2

Δ2= 20 – 10 = 10

h = 2

Liclasse= 5,5

38,533,05,5

ou

383,512

70

12

466

12

45,5

212

25,52

102

25,5Mo

No Excel...

• Não há fórmula específica;

• Teremos que inserir fórmulas...

• Desafio: Como você faria?

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- Lista de Exercícios -

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