Medidas Indice de Theil

8/18/2019 Medidas Indice de Theil

1/51

Valencia, 28 de noviembre de 2006Valencia, 28 de noviembre de 2006Universidad deUniversidad de

Castilla-La ManchaCastilla-La Mancha


2/51

Índice de Theil

Índice de Gini

Medidas deConcentración

Concepto de concentración económica

Índice E

Curva de Lorenz

Índices de

Concentración

Índice geométrico

Descomposición del índicede Theil intergrupos e

intragrupos


3/51

En la distribución de salarios de una empresa se

puede estudiar si la masa salarial o nómina de laempresa! se encuentra concentrada en unos pocostraba"adores o si# por el contrario# est$ bienrepartida entre ellos%

Concepto de Concentración EconómicaConcepto de Concentración Económica

9.000€9.000€

Estos sueldos estarían muy desproporcionados,Estos sueldos estarían muy desproporcionados,muy concentradosmu

y concentrados en una sola personaen una sola persona

10 empleados10 empleados el director 8.100 €el director 8.100 €

90 €90 € 8.100 €8.100 €


4/51

Concepto de Concentración EconómicaConcepto de Concentración EconómicaM$s e"emplos&Reparto de horas extraordinarias entre la plantilla de unaempresa

Grado de concentración de las ausencias laborales

El nivel de desigualdad en el reparto de la masa global depensiones entre los pensionistas de un país, etc.

En el ámbito financiero: concentración del volumen denegociación diario entre los distintos valores que conformanel !E"#$%,

Reparto del total invertido en fondos de inversión entre lasdistintas gestoras de patrimonio

&ómo se reparte el capital social de un banco entre los

accionistas, etc. Masa Total de la 'ariableMasa Total de la 'ariable MT'!


5/51

Los casos e)tremos serían*Los casos e)tremos serían*

Medidas de ConcentraciónMedidas de Concentración

'iden el grado de igualdad en el reparto del total de

los valores de la variable.ndican el grado de equidistribución de la variable (

grado de C+,CE,T-.C/0,C+,CE,T-.C/0,.

Concentración mínimaConcentración mínimao e1uidistribución*o e1uidistribución* &uando todos los

traba)adores recibenla misma cantidad:

Concentración m$)ima*Concentración m$)ima* &uando de los n traba)adoressólo uno percibe el total de las

rentas *de los salarios+ losdemás nada:

n x x x === 21 MTV x

x x x

n

n

=

==== − 0121


6/51

El estudio de la concentración en la distribución de la '- se puede abordar desde dos puntos de vista:

Medidas de ConcentraciónMedidas de Concentración

mediante la curva de

concentración, másconocida como

Curva de LorenzCurva de Lorenz

mediante los denominados

Índices de concentraciónÍndices de concentración

Gr$2icamenteGr$2icamente .nalíticamente.nalíticamente


7/51

MTV = (7.512,65 · 2) + (8.414,17 · 3) + (15.025,30 · 1) +

+ (24.040,48 · 2) + (39.065,79 · 2) = 181.505,66 €/año.

3alarios .nuales )3alarios .nuales )ii!! ,4 traba"adores,4 traba"adores nnii!!

5%678#96 8:%;7;#75 <

76%=86# 8


/rdenación de los valores/rdenación de los valores

de la variable de menorde la variable de menor

a maora maor


8/51


xi ni xini Ui pi qi

7.512,65 2 15.025,30 15.025,30 20 8,28

8.414,17 3 25.242,51 40.267,81 50 22,18

15.025,30 1 15.025,30 55.293,11 60 30,46

24.040,48 2 48.080,96 103.374,08 80 56,9539.065,79 2 78.131,58 181.505,65 100 100

10 181.505,65

'asa parcial acumulada'asa parcial acumulada

0orcenta)e de traba)adores0orcenta)e de traba)adores

con un salario igual ocon un salario igual oinferior al i#1simoinferior al i#1simo

0orcenta)e de la masa salarial que se0orcenta)e de la masa salarial que sellevan los traba)adores conllevan los traba)adores con

un salario igual o inferior al i#1simoun salario igual o inferior al i#1simo


9/51

. continuación en unos e)es de coordenadas, se marca en

el de abcisas los siguientes valores de p i en porcenta)es:

%1001

%8080,0

%6060,0

%5050,0

%2020,0

5432155

43214

4

32133

2122

111

⇒=++++

==

⇒=

+++

==

⇒=++

==

⇒=+==

⇒===

N

nnnnn

N

N p

N

nnnn

N

N

p

N

nnn

N

N p

N nn

N N p

N

n

N

N p

que indican

los porcenta"es delos porcenta"es detraba"adores con un niveltraba"adores con un nivelde salario igual o in2eriorde salario igual o in2erioral i?ésimo%al i?ésimo% 0or e)emplo, sii ( $ tenemos que p $ es el

234, lo que significa que el234 de los traba)adoresobtienen un salario anualigual o inferior al tercero

en orden ascendente.



10/51

5obre el e)e de ordenadas se anotan los valores de q i , tambi1nporcenta)es:

que indican la parte 1ue del total de la masa salarial lesla parte 1ue del total de la masa salarial lescorresponde alos traba"adores cu@o salario es igual o in2erior alcorresponde alos traba"adores cu@o salario es igual o in2erior ali?ésimoi?ésimo. 0or e)emplo para i ( 6 se tiene que q 6 es el %2,7%4, esdecir, de los 898.%3%,22 , el %2,7%4 corresponde a los

traba)adores con salario igual o inferior al cuarto en ordenascendente.

%1001

%95,565695,0

%46,303046,0

%18,222218,0

%28,80828,066,505.18130,025.15

55443322115

443322114

332211

3

22112

111

⇒=++++

=

⇒=+++=⇒=

++

=

⇒=+

=

⇒===

MTV

n xn xn xn xn xq

MTV

n xn xn xn xq

MTV

n xn xn xq

MTV

n xn xq

MTV n xq



11/51

GRÁFICO 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

! (%) o"#$&a'$ a#*a+o +$ &"aa'a+o"$-

. ! ( % )

o " # $ & a ' $ a #

* a + o + $ * a

C"/a +$ #o#$&"a#! R$#&a +$ .!+!-& " !#! C"/a +$ !a Co#$&"a#!

(80 56,95)

(60 30,46)

(50 22,18)

(20 8,28)

C



12/51

Características generales*


Es siempre creciente *porque p q son acumulados+

En caso de e1uidistribución p i ( q i ., la curva deconcentración sería la diagonal, recta que se denominarecta de e1uidistribución .

5e sit;a siempre por deba)o de la diagonal, a que, al estarordenados los salarios de menor a maor, ning;n q i . podrá

ser maor que su correspondiente p i

En caso de m$)ima concentración , la curva deconcentración, denominada curva de m$)imaconcentración , vendría dada por

p 8 ( *?#8@?+ 4A q 8 ( 34p B ( 8334A q B ( 8334


13/51

GRÁFICO 5

pi (%)

qi (%)

pa

O

An

100

100

Crea&onc Crea

'áx &onc



14/51

&uanto maor sea el área de concentración respecto del

área máxima concentración, maor será la desigualdad enel reparto de la masa total de la variable. 0or consiguiente,de manera natural, las medidas de concentración seobtendrán por cociente entre estas dos áreas.

Índices de ConcentraciónÍndices de Concentración

Índice GeométricoÍndice Geométrico

Índice de Theil relativoÍndice de Theil relativo

Índice EÍndice EÍndice de GiniÍndice de Gini

10 ≤≤ AMC

AC


15/51

Es la medida de concentración más utiliDada, propuesta por

el que fue =ecano de la acultad de &iencias Estadísticas,=emográficas


16/51

Índice de Gini

∑−=

−1

1

)(n

i

ii q p ∑−=

1

1

n

i

i p

∑

∑ −

=−

=

−

=

1

1

1

1)(

n

ii

n

i ii

p

q p

IG

GRÁFICO 2

p2 -q2

p1 -q1

p3 -q3

pi-1-qi-1

pi -qi

pn-1-qn-1

pn-2-qn-2

p1 p2 p3 p i…. p i-1 pn-2 pn-1 100….

q1

q2

q3

q i-1

q i

q n-2

qn-1

100

...

...

Índice de Gini

∑−

=−

1

1)(

N

i

ii q p ∑−

=

1

1

N

i

i p

∑

∑−

=

−

=

−

= 1

1

1

1

)(

N

i

i

N

i

ii

p

q p

IG

∑

∑−

=

−

=−= 1

1

1

11 N

i i

N

i

i

p

q

IG


17/51

Índice de Gini10 ≤≤ Gini I Equidistribución

'áxima &oncentración

xi ni xini Ui pi qi

0 1 0 0 1% 0%

1.000 99 99.000 99.000 100% 100%

11

)(

1

1

1

1

1

1

1

1 =−=

−

=

∑

∑

∑

∑−

=

−

=

−

=

−

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

p

q

p

q p

IG

?¿

xi ni xini Ui pi qi

0 99 0 0 99% 0%

1.000 1 1.000 1.000 100% 100%


18/51

N

1

N

i

n N

L

∑=

+++= )...21(1

11

1

11

1 )...21(

propi

n MTV

x M

∑ ⋅

=+++=

N

n1

MTV

xn 11

Índice de Gini de la ConcentraciónÍndice de Gini de la Concentraciónde la rentade la renta

uente: Luman =evelopment Report, B332 */?F+

0 i l bl d l


19/51

0ara evitar el problema de que elíndice de Gini sólo sirve parafrecuencias unitarias,

'ontero JorenDo, K.'M, B33$N5obre &oncentración Económica: Ondice E para colectivosdiscretosPRevista Estadística EspaQola , vol 6%, n8%B, pp.BB a %6

Índice E

Índice Gini

∑

∑−

=

−

=

−

= 1

1

1

1

100

)(100

N

i

i

N

i

ii

Gini

p N

q p N

I

∑−

=

−=1

1

)(100 N

i

ii q p N

AC

∑−

=

=1

1

100 N

i

i p

N AMC

)1(50

1

1

−=

∑

−

= N p

N

ii


20/51

Índice E

Índice Gini

)1(5011

)(1

11

1

1

11

1

1

1

−−=−=

−

=

∑

∑

∑

∑

∑−

=−

=

−

=−

=

−

=

N

q

p

q

p

q p

IG

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

:1

1∑

−

=

N

i

iq

TABLA ! CO"#TR$CCI " !L "IC! !TABLA ! CO"#TR$CCI " !L "IC! !


21/51

TABLA ! CO"#TR$CCI " !L "IC! !TABLA ! CO"#TR$CCI " !L "IC! !

!

! !

1

1 (1/&)100

1= ( )100 ;1+2+...+n

1<

1

1 (21/&)100

.

...

.

.

1

1 (1

1/&)100

2

1 (1

1+

2/&)100

2=

n2 ( )100+ ( )100 ;1+2+...+n

2


22/51

=−

−

−=−

−=∑∑=

−

=

)1(50

100

1)1(501

1

1

1

N

M

N

q

IE

n

i

i

N

i

i

i

n

i

iii propiqn M i

⋅+= ∑=

− )(

1

1

Índice E

100

100...

100...

1

321

1111

1

1 1

3

2

2

1

1

−=

−++++=

−++++=

∑

∑∑∑∑∑

=

+=+=+==

−

= −

n

i

i

n

n

ni

i

n

ni

i

n

ni

i

n

i

i

N

i

i

M

M M M M

qqqqqn

n

)1(501

1 1

−−−

+

=

∑=

N

M

N

N

IE

n

i

i


23/51

o$?

qi-1

$* o"#$&a'$ $ *a a-a -a*a"!a* a#*ao o"

*o- &"aa'ao"$- $ $"#!$ -a*a"!o- !@$"!o"$- a* !

A-!o.

propi $* o"#$&a'$ $ *a a-a -a*a"!a* $ $"#!$ !!!o #o -a*a"!o i.

$- *a -a $ *o- ni "!$"o- B$"o- a&"a*$-.

2

)1(1)3()2()1(

1

iiiiii

n

i

nnnnnni

i +=++−+−+−+=∑

=

Índice E


24/51

-!$"$ IE I !om =

!&a"!a--$a-@"$#$#!a*a-#ao

Gini !om I IE I ==

Índice E


25/51

E"emplo*E"emplo*

Ventas (miles € !" emplea#$s

50100 30

100200 25

200500 40

5001.000 50

1.0002.000 25

2.0005.000 30

Calcule el índice E @ compruebe 1ue si las 2recuenciasCalcule el índice E @ compruebe 1ue si las 2recuenciasno son unitarias no coincide con el índice de Gini malno son unitarias no coincide con el índice de Gini malaplicado!aplicado!

Índice E

Í


26/51

xi ni xini !i Ui pi qi

75 30 2250 30 2250 15 1&125

150 25 3750 55 6000 27&5 3

350 40 14000 95 20000 47&5 10

750 50 37500 145 57500 72&5 28&75

1500 25 37500 170 95000 85 47&5

3500 30 105000 200 200000 100 100

6348,05,247

375,901 =−=Gini I

Índice E


27/51

xi ni xini !i Ui pi qis'ma prop i i

75 30 2250 30 2250 15 1,125 465 0,0375 17,4375

150 25 3750 55 6000 27,5 3 325 0,075 52,5000

350 40 14000 95 20000 47,5 10 820 0,175 263,5000

750 50 37500 145 57500 72,5 28,75 1275 0,375 978,1250

1500 25 37500 170 95000 85 47,5 325 0,75 962,5000

3500 30 105000 200 200000 100 100 465 1,75 2238,7500

t$tal 200 200000 4512,8125

5565,0

)1200(50

8125,4512

1200

1200=

−−

−

+= IE

Índice E


28/51

Coe2iciente de Theil

&onsideremos ? traba)adores cuos salarios son:

x8, xB, .. ,x?

Ja proporción de masa total de la variable*'-+ quecorresponde al individuo i#1simo será:

MTV

x

xn

x prop i

n

i ii

ii ==

∑=1

Índice de Theil

Entropía

∑∑ ==−=

=

n

i

iii

n

i i

iii N prop propn prop

propn prop " 11

)*(1

*)(

El mensa)e contiene maor cantidad de información cuanto menor sea laEl mensa)e contiene maor cantidad de información cuanto menor sea la

probabilidad de ocurrencia del sucesoprobabilidad de ocurrencia del suceso

Es un indicador del grado de desigualdad *desorden+ en el reparto de la masaEs un indicador del grado de desigualdad *desorden+ en el reparto de la masatotal de la variabletotal de la variable

Experimento con 8.333 posibles resultados:Experimento con 8.333 posibles resultados:#todos con la misma probabilidad de ocurrir desorden#todos con la misma probabilidad de ocurrir desorden

#si B de ellos acaparan una probabilidad del 734 orden, mando#si B de ellos acaparan una probabilidad del 734 orden, mando⇒⇒


29/51

/nconveniente* El valor de

equidistribución essuperior al de máxima

concentración.

Entropía

∑∑ == −= =n

i

iii

n

i i

iii N prop propn prop

propn prop " 11

)*(1*)(

no negativa

En caso deequidistribución

vale Jn*?+.

En caso demáxima concentración

vale 3.

Índice de Theil

5i todos5i todos

ganangananlo mismo:lo mismo:

N n x

x prop

xN N xn x

n

i

ii

i

n

i

iii

1

1

1

==⇒

==

∑

∑

=

='áx'áxconcentración:concentración:

1

1,,10

=−=∀=

n

i

prop

ni prop


30/51

Coe2iciente de Theil o redundancia* )(*oC i N prop " N T −=

N

prop "

N

prop " N T i N i N # *%

)(1

*%

)(*%−=

−

=

Índice de Theil

En caso deequidistribución

vale 3.En caso demáxima concentraciónvale Jn*?+.

/nconveniente* El valor máximodepende del n

total deobservacionesÍndice de Theil relativoo redundancia relativa*

10 ≤≤ #T Í


31/51

Coe2iciente de Theil o redundancia* )(*oC i N prop " N T −=

Índice de Theil

máx- ( Jn*?+ /nconveniente* El valor máximo dependedel n total de observaciones

xi ni xini p)$pi *n(1+p)$pi

0 1.999.999 0 0

1 1 1 1 0

2.000.000 1

xi ni xini p)$pi *n(1+p)$pi

0 1 0 0

1 1 1 1 0

2 1Índice TheilA Ln8! Índice TheilA Ln8%===%===!

xi ni

0 1.000.000

1 1.000.000 T A Ln8!

∞ ∞


32/51

E"emplo*E"emplo* =ada la siguiente distribución de salarios

semanales *+, determine el coeficiente de -heil

xi ni

80 10150 20

200 15

240 5

xini p)$pi

800 0,013000 0,019

3000 0,025

1200 0,03

8000

l$(1+p)$pi nip)$pil$(1+p)$pi

4,605 0,46053,963 1,5059

3,688 1,3830

3,506 0,5259

3,8753

Índice de Theil?o requiere la ordenación?o requiere la ordenación

de los valores de lade los valores de lavariable de menorvariable de menor

a maora maor

8753,3

1

*)( 1 =

= ∑=n

i iiii N prop propn prop "


33/51

8753,31

*)(1

=

= ∑

=

n

i i

iii N prop

propn prop "

0367,08753,39120,3)(* =−=−= i N prop " N T

0093,0912023,3

0367,0

*

)(*

==−

= N prop " N

T i N #

912023,350* =

ó d l í d d h l


34/51

Descomposición del índice de Theil intergrupos entregrupos! e intragrupos dentro de cada grupo!

74 Descomposición de la Entropía intergrupos e intragrupos

∑=

G

N 1

N N N

N

N

G

=+=

==

21

2

1

'$"$-D

a"o$-D

2

N N N N

N

N

N

G

=++==

==

321

3

2

1

$-*!#a&$&"aa'ao" D

$-Ea*$#!a&"aa'ao" D

Ca-&$**$-&"aa'ao" D

3

∑∑∑= ∈=

=

=

G

i i

i

G

i

ii prop

prop prop

prop prop " 11

1*

1*)(


35/51

+=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

∑

∑ ∑

∑∑

∈

∈ ∈

∈∈

i

i

i

i

i i

i

i

i

i

i

i

i i

i

prop prop

prop

prop " prop

prop prop

prop

prop prop

prop prop

prop prop

prop

prop prop

prop prop

prop

prop

prop prop

prop prop

prop prop

1*%)(

1*%

1*%

1*%

1*%

1*%

1*%

1*%

Entropía de los elementos del grupo g respecto del total deelementos de dicho grupo


36/51

∑∑∑= ∈=

=

=

G

i i

i

G

i

ii prop

prop prop

prop prop " 11

1*

1*)(

∑ ∑

∑

= =

=

+=

=

=

G

G

i

G

i

ii

prop prop

prop

prop " prop

prop prop prop "

1 1

1

1*)(

1*)(

Entropía intergruposEntropía intergrupos5uma de las entropías5uma de las entropías

intragrupos ponderadasintragrupos ponderadaspor sus proporcionespor sus proporciones


37/51

84 Descomposición del Índice de Theil intergrupos e intragrupos

=

−=−= ∑=G

iii prop prop N prop " N T 1

1

**)(*

=

−+

+

−−=

=

−−=

∑

∑ ∑

∑ ∑

=

= =

= =

G

i

G

G

G

G

i

prop

prop " N prop

prop prop N prop N

prop prop

prop

prop " prop N

1

1 1

1 1

)(*%

1*%*%*%

1*%)(*%

∑∑==

−+

=G

i

G

prop

prop " N prop

N

N

prop prop

11

)(*%*%

N N

prop

N

N prop

prop

N

N

==1


38/51


∑∑==

−+

=G

i

G

prop

prop " N prop

N

N

prop propT

11

)(*%*%

5uma de los índices de5uma de los índices de-heil intragrupos-heil intragrupos

ponderados por susponderados por sus

proporcionesproporciones

Expresión relacionadaExpresión relacionadacon la Entropíacon la Entropía

intergruposintergrupos

N

N prop

N

N

prop prop

G

=⇔=

∑=

0*%1


39/51


∑∑ ==

−+

=G

i

G

prop prop " N prop

N

N

prop propT

11

)(*%*%

Expresión relacionada conExpresión relacionada con

la Entropía intergruposla Entropía intergrupos

?o es exactamente el índice?o es exactamente el índice

de -heil intergruposde -heil intergrupos

∑=

−

G

prop

propG1

1*%*%5ólo coincidirían en el caso de que5ólo coincidirían en el caso de que

todos los grupos tuvieran eltodos los grupos tuvieran elmismo n;mero de elementosmismo n;mero de elementos

∑ ∑∑= ==

−=

=

G

G

G

prop

propG

G

prop prop

N

N

prop prop

1 11

1*%*%

1*%*%


40/51

5upóngase que se dispone del n;mero5upóngase que se dispone del n;merototal de contratos temporales en Gtotal de contratos temporales en G

comunidades autónomascomunidades autónomas

El índice de -heil de la distribución deEl índice de -heil de la distribución decontratos temporales entre las Gcontratos temporales entre las G

comunidades autónomas seríacomunidades autónomas sería

∑=

−=

G

G prop

propGT 1

1*%*%

5upóngase ahora que se conoce la5upóngase ahora que se conoce lamisma información sobre contratosmisma información sobre contratos

temporales pero desagregada a escalatemporales pero desagregada a escalaprovincial *? provincias+provincial *? provincias+

El índice de -heil de la distribución deEl índice de -heil de la distribución decontratos temporales entre las ?contratos temporales entre las ?

provincias seríaprovincias sería ∑

=

−=

G

i

i prop

prop N T 1

1**

∑ ∑∑= ==

−

+

−+

−=− G

G

i

G

i N G N N prop

prop prop " N prop

prop propG prop " N

1 11

*%*%*%1*%*%)(*%

Ondice de -heilOndice de -heilentre las Gentre las G

comunidadescomunidadesautónomasautónomas

&oncentración&oncentraciónintragruposintragrupos

globalglobal

ResiduoResiduo

E"emplo*E"emplo* En la siguiente tabla se muestran los datos relativos al nBmero


41/51

E"emplo*E"emplo* En la siguiente tabla se muestran los datos relativos al nBmerode contratos registrados en las o2icinas del /,EM en el mes de marzo de8==9 en las tres comunidades autónomas con ma@or volumend e contrataciónen dicho mes% Determine el coe2iciente de Theil @ realice su descomposiciónintragrupos e intergrupos

?contratos ?contratos.ndalucía.ndalucía


42/51


43/51

)i ni )i ni propi ln propi ni propi ln propi56 #8,3$7$2BS$

( ) 039363,1*1

*)(11

∑∑==

=−=

=

G

i

iii

G

i i

ii G prop propn prop

propn prop "

0592492,0039363,13*%

1*%*%

1

=−=

=

−= ∑

=

G

G prop

propGT

or Comunidades .utónomasor Comunidades .utónomas

Coe2icientes /ntragruposCoe2icientes /ntragrupos


44/51

( ) 0003210,2*)(8

1

∑=

=−=i

iii An$ An$ prop propn prop "

0791205,00003210,28*%

1*%*%

8

1

=−=

=

−= ∑

=i ii An$

prop prop N T


.ndalucía ni )i ni propi ln propi ni propi ln propi


45/51

( ) 7913549,0*)(4

1

∑=

=−=i

iiiCat Cat prop propn prop "

5949394,07913549,04*%

1*%*%

4

1

=−=

=

−= ∑

=i ii Cat

prop prop N T


Catalua )i ni )ini propi ln propi nipropiln propi

!arcelona 897.8B2 8 897.8B2 3,S228B2%% #3,B2263S78 #3,B3683B89-arragona B6.%%7 8 B6.%%7 3,37769%%6 #B,$3SS6B77 #3,BB7%9S3%Jleida 8B.338 8 8B.338 3,3692862 #$,3B$9$8$7 #3,86S33B$%Girona B8.8S6 8 B8.8S6 3,39%SS$$8 #B,6%236S$2 #3,B8322$$B

8;9%:9= #3,S78$%67


46/51

( ) 943194,0*)(3

1

.. ∑=

=−=i

iiiVa% C Va% C prop propn prop "

1554182,0943194,03*%

1*%*%

3

1

.

=−=

=

−= ∑

=i ii Va% C

prop prop N T


Comun% 'alenciana )i ni )ini propi ln propi nipropiln propialencia 92.32$ 8 92.32$ 3,%%%$98$B #3,%99833$6 #3,$B228776&astellón 89.8B$ 8 89.8B$ 3,8827%8B% #B,86%77939 #3,B%37SS8298 #3,76$87636%


47/51

∑ ∑= =

−

+

−+=

G

G

i G G

N

N prop

prop

prop " N propT T

1 1

*%*%*%

267168,0

)(15*

==−= i N prop " T

0592492,01*%3*%3

1

=

−= ∑

= G

prop propT

051464718,0−25938326,0

007785,0

propg Tg propgTg=%;5>;::7 =%=;> =%7>=8;:=58

=%8==5


48/51

=escomposición del índice de -heil

- 3,B2S829 0orcenta)e respecto del total

ntergrupos 3,33SS9% B,784

ntragrupos 3,B%7$9$ 7S,394

3,3S78B3

3,%767$7

3,8%%689

An$ T

Cat T

Va% C T .

/,C+ME D/3T-/FT/+,3 +H IJ/TE H.M/L/E3 .,D ,+,IJ/TE H.M/L/E3E"emplo*E"emplo*


49/51

/, TJE ,/TED 3T.TE3# 7>9<

income interval *T+ Uhite*4+ nonUhite*4+ midpoint of the intervalV8333 $.B 7.B %338333#8%33 B.2 9.$ 8B%3

8%33#B333 $.B 9 8S%3B333#B%33 $.2 7.2 BB%3B%33#$333 $.$ 9 BS%3$333#$%33 6.$ S.6 $B%3$%33#6333 $.7 2.8 $S%36333#%333 9.9 83.7 6%33%333#2333 88.$ 9.S %%332333#S333 83.% S.$ 2%33S333#9333 7.2 6.S S%33

9333#7333 9.B 6.6 9%337333#83333 2 8.S 7%3383333#8B333 9.7 B.% 883338B333#8%333 2.S 8.2 8$%338%333#B%333 6.9 8.6 B3333

WB%333 8.8 3.B $S%33

" p" p


50/51

1 T

2 T

=escomposición del índice de -heil

- 3,B$$883 0orcenta)e respecto del total

ntergrupos 3,33773S 6,B%4

ntragrupos 3,BB$B3$ 7%,S%43,B87$6%

3,B9B%32

&%an'ara(a )amT .

ra(a*otra* )amT .

Jo que permite concluir que prácticamente la totalidad de ladesigualdad existente en la distribución de las rentas de las familiasde Estados Fnidos en el aQo 872$ procede de la desigualdad entre las

familias, sea cual sea su raDa


51/51

Universidad deUniversidad de

Documents

Medidas Indice de Theil