Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme , hetedik eleme

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

1

Megoldások

1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 𝟒, hetedik eleme 𝟔𝟒. Számítsd ki a sorozat második tagját!

Megoldás:

Először számítsuk ki a sorozat hányadosát:

𝑎7 = 𝑎3 ∙ 𝑞4 → 64 = 4𝑞4 → 𝑞1 = 2 és 𝑞2 = −2

Ezek alapján két megoldás adódik:

𝑞 = 2 esetén: 𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑞 → 4 = 2𝑎2 → 𝑎2 = 2 𝑞 = −2 esetén: 𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑞 → 4 = (−2) ∙ 𝑎2 → 𝑎2 = −2

2. Egy mértani sorozat első tagja 𝟕, kvóciense 𝟐. Írd fel a sorozat általános (𝒏 - edik) tagját! Mennyi a sorozat első 𝟓 tagjának összege? Tagja - e a sorozatnak a 𝟒𝟒𝟖?

Megoldás:

Írjuk fel a sorozat általános (𝑛 - edik) tagját: 𝑎𝑛 = 7 ∙ 2𝑛−1.

Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét: 𝑆5 = 7 ∙25−1

2−1= 217.

Amennyiben tagja a sorozatnak a 448, akkor legyen 𝑎𝑛 = 448, s számoljuk ki az 𝑛 értékét.

Írjuk fel a következő egyenletet: 7 ∙ 2𝑛−1 = 448.

Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy 𝑛 = 7.

Ezek alapján a 448 a sorozat hetedik tagja.

3. Egy mértani sorozat negyedik és második tagjának különbsége 𝟏𝟖. Az ötödik és harmadik tag különbsége 𝟑𝟔. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa?

Megoldás:

Az adatokat 𝑎1 és 𝑞 segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk:

𝑎4 − 𝑎2 = 18𝑎5 − 𝑎3 = 36

} → 𝑎1 ∙ 𝑞

3 − 𝑎1 ∙ 𝑞 = 18

𝑎1 ∙ 𝑞4 − 𝑎1 ∙ 𝑞

2 = 36} →

𝑎1 ∙ 𝑞 ∙ (𝑞2 − 1) = 18

𝑎1 ∙ 𝑞2 ∙ (𝑞2 − 1) = 36

}


2

A második egyenletet elosztva az első egyenlettel a következő adódik: 𝑞 = 2.

Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 3.

4. Egy mértani sorozat második eleme 𝟔, ötödik eleme 𝟏𝟔𝟐. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű?

Megoldás:

Először számoljuk ki a sorozat első elemét és hányadosát:

𝑎5 = 𝑎2 ∙ 𝑞3 → 162 = 6𝑞3 → 𝑞 = 3

𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 → 6 = 3𝑎1 → 𝑎1 = 2

A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb háromjegyű szám a 999, és tudjuk, hogy a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek.

Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget, s számoljuk ki az 𝑛 értékét:

10 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 999 → 10 ≤ 2 ∙ 3𝑛−1 ≤ 999 → 15 ≤ 3𝑛 ≤ 1 498,5

lg 15 ≤ lg 3𝑛 ≤ lg 1498,5 → lg 15 ≤ 𝑛 ∙ lg 3 ≤ lg 1498,5 → 2,5 ≤ 𝑛 ≤ 6,65

Mivel 𝑛 csak egész szám lehet így a következő adódik: 𝑛 = 3; 4; 5; 6.

Ezek alapján 4 olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű.

5. Egy növekvő mértani sorozat első három tagjának összege 𝟑𝟏. Az első és harmadik tag összege 𝟐𝟔. Mennyi a sorozat első tagja és kvóciense?

Megoldás:

Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk:

𝑎1 + 𝑎3 = 26𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 31

} → 𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞

2 = 26

𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞2 = 31

}

A második egyenletből az elsőt kivonva, rendezés után a következő adódik: 𝑎1 =5

𝑞.


3

Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s a következő adódik: 5𝑞2 − 26𝑞 + 5 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 5 és 𝑞2 =1

5.

Mivel a sorozat növekvő, ezért a 𝑞2 nem felel meg a feladatnak.

Ezek alapján a megoldás: 𝑞 = 5 és 𝑎1 =5

5= 1.

6. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 𝟏𝟏𝟐, a következő három tagjának összege 𝟏𝟒. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa?

Megoldás:


𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞2 = 112

𝑎1 ∙ 𝑞3 + 𝑎1 ∙ 𝑞

4 + 𝑎1 ∙ 𝑞5 = 14

} → 𝑎1 ∙ (1 + 𝑞 + 𝑞

2) = 112

𝑎1 ∙ 𝑞3 ∙ (1 + 𝑞 + 𝑞2) = 14

}

A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 =1

2.

Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 64.

7. Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 𝟏𝟓, a második, harmadik, negyedik és ötödik tag összege pedig 𝟑𝟎. Melyik ez a sorozat?

Megoldás:


𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2 + 𝑎1 · 𝑞

3 = 15

𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2 + 𝑎1 · 𝑞

3 + 𝑎1 · 𝑞4 = 30

} → 𝑎1 · (1 + 𝑞 + 𝑞

2 + 𝑞3) = 15

𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3) = 30

}

A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 = 2.



4

8. Egy mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 𝟐𝟓, a második és negyedik tag összege 𝟓𝟎. Melyik ez a sorozat?

Megoldás:


𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞2 = 25

𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞3 = 50

} → 𝑎1 · (1 + 𝑞

2) = 25

𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞2) = 50

}

A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 = 2.


9. Egy mértani sorozat első három tagjának összege nyolcadrésze a következő három tag összegének. Mennyi a sorozat hányadosa?

Megoldás:

Írjuk fel a következő egyenletet: 8 · (𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2) = 𝑎1 · 𝑞

3 + 𝑎1 · 𝑞4 + 𝑎1 · 𝑞

5.

Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 8 · 𝑎1 · (1 + 𝑞 + 𝑞2) = 𝑎1 · 𝑞

3 · (1 + 𝑞 + 𝑞2).

Ezek alapján a megoldás: 𝑞 = 2.

10. Egy mértani sorozat harmadik tagja 𝟑𝟔 – tal nagyobb a másodiknál. E két tag szorzata −𝟐𝟒𝟑. Mennyi a sorozat első tagja?

Megoldás:

Legyen 𝑎3 = 𝑎2 + 36.

Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎2 ∙ (𝑎2 + 36) = −243.

Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑎22 + 36𝑎2 + 243 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑎21 = −9 és 𝑎22 = −27.


Ha 𝑎2 = −9, akkor 𝑎3 = 27; 𝑞 = −3 és 𝑎1 = 3.

Ha 𝑎2 = −27, akkor 𝑎3 = 9; 𝑞 = −1

3 és 𝑎1 = 81.


5

11. Egy mértani sorozat ötödik és hetedik tagja is −𝟏𝟐. Mennyi az első tíz tag összege?

Megoldás:

Írjuk fel a következő egyenletet: −12 = (−12) ∙ 𝑞2.

Ebből azt kapjuk, hogy 𝑞1 = 1 és 𝑞2 = −1.


Ha 𝑞 = 1, akkor 𝑎1 = −12 és 𝑆10 = 10 ∙ (−12) = −120.

Ha 𝑞 = −1, akkor 𝑎1 = −12 és 𝑆10 = 12 ∙(−1)10−1

−1−1= 0.

12. Hány tagot kell összeadnunk az első tagtól kezdve az 𝒂𝒏 = 𝟑 ∙ 𝟐𝒏 sorozatból, hogy az

összeg 𝟏 milliónál nagyobb legyen?

Megoldás:

A szöveg alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 6 és 𝑞 = 2.

Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 6 ∙2𝑛−1

2−1≥ 1 000 000.

Az egyenlőtlenséget rendezve azt kapjuk, hogy 𝑛 ≥ 17,34.

Ezek alapján legalább 18 tagot kell összeadni a feltétel teljesüléséhez.

13. Egy számtani sorozat második tagja 𝟕, s e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a mértani sorozat

hányadosát!

Megoldás:

Legyenek a tagok sorrendben a következők: 7 − 𝑑 7 + 𝑑 7 + 6𝑑

Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik.

Írjuk fel a következő egyenletet: 7 + 𝑑

7 − 𝑑=

7 + 6𝑑

7 + 𝑑.

Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑑2 − 3𝑑 = 0.

Ebből azt kapjuk, hogy 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 3.


6


Ha 𝑑 = 0, akkor a sorozat tagjai 7; 7; 7, vagyis 𝑞 = 1.

Ha pedig 𝑑 = 3, akkor a sorozat tagjai 4; 10; 25, vagyis 𝑞 =3

2.

14. Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 𝟓 – öt, 𝟔 – ot, 𝟗 – et és 𝟏𝟓 – öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozd meg a mértani sorozat

hányadosát!

Megoldás:

A számtani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 𝑎2 + 𝑑 𝑎2 + 2𝑑

A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 + 5 𝑎2 + 6 𝑎2 + 𝑑 + 9 𝑎2 + 2𝑑 + 15


Írjuk fel a következő egyenletrendszert:

𝑎2 + 6

𝑎2 − 𝑑 + 5=

𝑎2 + 𝑑 + 9

𝑎2 + 6

𝑎2 + 𝑑 + 9

𝑎2 + 6=

𝑎2 + 2𝑑 + 15

𝑎2 + 𝑑 + 9 }

Az egyenletrendszert rendezve a következő adódik: 𝑎2 = 2𝑑.

Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑑1 = 3 és 𝑑2 = −3.

Ha 𝑑 = 3, akkor 𝑎2 = 6 és a sorozat tagjai: 8; 12; 18; 27. Ezek alapján 𝑞 =3

2.

Ha 𝑑 = −3, akkor 𝑎2 = −6 és a sorozat tagjai: 2; 0; 0; 3 . Ez nem mértani sorozat.

15. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 𝟐𝟎. A második, a harmadik és az ötödik tag ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd

meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait!

Megoldás:

A számtani sorozat tagjai: 𝑎3 − 2𝑑 𝑎3 − 𝑑 𝑎3 𝑎3 + 𝑑 𝑎3 + 2𝑑

A mértani sorozat tagjai: 𝑎3 − 𝑑 𝑎3 𝑎3 + 2𝑑


7

A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎3 = 4.

Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 4 − 𝑑 4 4 + 2𝑑


Írjuk fel a következő egyenletet: 4

4 − 𝑑=

4 + 2𝑑

4.

Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 2𝑑2 − 4𝑑 = 0.

Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 2.


Ha 𝑑 = 2, akkor a számtani sorozat tagjai 0, 2, 4, 6, 8; a mértanié pedig 2, 4, 8.

Ha 𝑑 = 0, akkor a számtani sorozat tagjai 4, 4, 4, 4, 4; a mértanié pedig 4, 4, 4.

16. Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 𝟓𝟒. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 𝟗 - cel, a harmadikat 𝟔 - tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozd meg a számtani

sorozat és a mértani sorozat tagjait!

Megoldás:

A számtani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 𝑎2 + 𝑑

A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 − 9 𝑎2 + 𝑑 − 6


Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 18 − 𝑑 9 12 + 𝑑



18 − 𝑑=

12 + 𝑑

9.


8

Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 − 6𝑑 − 135 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 15 és 𝑑2 = −9.

Mivel növekvő számtani sorozatról van szó, így a 𝑑2 nem felel meg a feladatnak.

Ezek alapján a megoldás: a számtani sorozat tagjai 3, 18, 33; a mértanié pedig 3, 9, 27.

17. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 𝟑𝟓. Ha a harmadik számot 𝟓 - tel csökkentjük, egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozd

meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait!

Megoldás:


A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 𝑎2 𝑎2 + 𝑑 + 5





10 − 𝑑=

15 + 𝑑

10.

Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 + 5𝑑 − 50 = 0.



Ha 𝑑 = 5, akkor a számtani sorozat tagjai 5, 10, 15; a mértanié pedig 5, 10, 20.

Ha 𝑑 = −10, akkor a számtani sorozat tagjai 20, 10, 0; a mértanié pedig 20, 10, 5.


9

18. Egy mértani sorozat első három elemének összege 𝟒𝟐. Ugyanezek a számok egy növekvő számtani sorozat első, második és hatodik elemei. Melyek ezek a számok?

Megoldás:

A számtani sorozat tagjai: 𝑎1 𝑎1 + 𝑑 𝑎1 + 5𝑑

A mértani sorozat tagjai: 𝑎1 𝑎1 + 𝑑 𝑎1 + 5𝑑

A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎1 = 14 − 2𝑑.

Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 14 − 2𝑑 14 − 𝑑 14 + 3𝑑


Írjuk fel a következő egyenletet: 14 − 𝑑

14 − 2𝑑=

14 + 3𝑑

14 − 𝑑.

Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 7𝑑2 − 42𝑑 = 0.

Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 6.


Ha 𝑑 = 0, akkor 𝑎1 = 14 és a mértani sorozat tagjai 14, 14, 14.

Ha 𝑑 = 6, akkor 𝑎1 = 2 és a mértani sorozat tagjai 2, 8, 32.

19. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjához rendre 𝟏 - et, 𝟏𝟒 - et és 𝟐 - t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 𝟏𝟓𝟎. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait!

Megoldás:


A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 − 1 𝑎2 − 14 𝑎2 + 𝑑 − 2




10



49−𝑑=

48 + 𝑑

36.

Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 − 𝑑 − 1056 = 0.



Ha 𝑑 = 33, akkor számtani sorozat tagjai 17, 50, 83; a mértanié pedig 16, 36, 81.

Ha 𝑑 = −32, akkor számtani sorozat tagjai 82, 50, 18; a mértanié pedig 81, 36, 16.

20. Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 𝟔 - ot, 𝟕 - et és 𝟏𝟐 - t adva egy olyan mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata

𝟏𝟑 𝟖𝟐𝟒. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait!

Megoldás:


A mértani sorozat tagjai: 𝑎2 − 𝑑 + 6 𝑎2 + 7 𝑎2 + 𝑑 + 12

Mértani sorozat esetén egy elem négyzete megegyezik a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő

elemek szorzatával: (𝑎2 – d + 6) ∙ (𝑎2 + d + 12) = (𝑎2 + 7)2.

Írjuk fel a következő egyenletet: (𝑎2 + 7) ∙ (𝑎2 + 7)2 = 13 824.

Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎2 = 17.




23 − 𝑑=

29 + 𝑑

24.

Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 + 6𝑑 − 91 = 0.


11



Ha 𝑑 = 7, akkor a számtani sorozat tagjai 10, 17, 24; a mértanié pedig 16, 24, 36.

Ha 𝑑 = −13, akkor a számtani sorozat tagjai 30, 17, 4; a mértanié pedig 36, 24, 16.

21. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának szorzata 𝟔𝟒. Ha az első elemhez hozzáadunk 𝟏 – et, a másodikhoz 𝟒 – et, a harmadikhoz pedig 𝟓 – öt, akkor egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Melyek a sorozatok tagjai?

Megoldás:

A mértani sorozat tagjai: 𝑎2

𝑞 𝑎2 𝑎2 ∙ 𝑞

A számtani sorozat tagjai: 𝑎2

𝑞+ 1 𝑎2 + 4 𝑎2 ∙ 𝑞 + 5

A mértani sorozat tagjait összeszorozva rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 4.

Ezt helyettesítsük vissza a számtani sorozat tagjaiba: 4

𝑞+ 1 8 4𝑞 + 5

Számtani sorozat esetén a szomszédos tagok különbsége megegyezik.

Írjuk fel a következő egyenletet: 8 − (4

𝑞+ 1) = 4𝑞 + 5 − 8.

Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑞2 − 5𝑞 + 2 = 0.


2.


Ha 𝑞 = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 2, 4, 8; a számtanié pedig 3, 8, 13.

Ha 𝑞 =1

2, akkor a mértani sorozat tagjai 8, 4, 2; a számtanié pedig 9, 8, 7.


12

22. Egy mértani sorozat négy egymást követő tagja közül a két szélső összege 𝟏𝟏𝟐, a két középső összege 𝟒𝟖. Mennyi a sorozat hányadosa?

Megoldás:

A mértani sorozat tagjai: 𝑎1 𝑎1 · 𝑞 𝑎1 · 𝑞2 𝑎1 · 𝑞

3


𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞3 = 112

𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2 = 48

} → 𝑎1 · (1 + 𝑞

3) = 112

𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞) = 48} →

𝑎1 · (1 + 𝑞) · (1 − 𝑞 + 𝑞2) = 112

𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞) = 48}

Az első egyenletet elosztva a másodikkal a következőt kapjuk: 1−𝑞+𝑞2

𝑞=

7

3.



3.

23. Egy pozitív tagú mértani sorozat első és kilencedik tagjának szorzata 𝟐𝟑𝟎𝟒, a negyedik és hatodik tag összege 𝟏𝟐𝟎. Határozd meg a sorozat első elemét és a hányadosát!

Megoldás:


𝑎1 · 𝑎9 = 2304𝑎4 + 𝑎6 = 120

} → 𝑎1

2 · 𝑞8 = 2304𝑎5

𝑞+ 𝑎5 · 𝑞 = 120

}

Az első egyenletből azt kapjuk, hogy (𝑎1 · 𝑞4)2 = 2304, vagyis 𝑎51 = 48 és 𝑎52 = −48.

Mivel a sorozat pozitív tagú, így az 𝑎52 nem felel meg a feladatnak.

Ezt helyettesítsük vissza a második egyenletbe: 48

𝑞+ 48𝑞 = 120.


A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 2, vagy 𝑞2 = 0,5.

Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑞1 = 2 esetén 𝑎1 = 3, ha pedig 𝑞1 = 0,5, akkor 𝑎1 = 768.


13

24. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának összege 𝟏𝟐𝟔, szorzata 𝟏𝟑 𝟖𝟐𝟒. Határozd meg a sorozat hányadosát!

Megoldás:

A mértani sorozat tagjai: 𝑎2

𝑞 𝑎2 𝑎2 · 𝑞


𝑎2

𝑞+ 𝑎2 + 𝑎2 · 𝑞 = 126

𝑎2

𝑞· 𝑎2 · 𝑎2 · 𝑞 = 13824

}

A második egyenletet rendezve a következőt kapjuk: 𝑎2 = 24.

Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe: 24

𝑞+ 24 + 24𝑞 = 126.

Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 4𝑞2 − 17𝑞 + 4 = 0

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑞1 = 4, vagy 𝑞2 =1

4.

25. Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 𝟎. A sorozat harmadik tagja 𝟕. Határozd meg a 𝟐𝟎𝟎𝟖. tagot!

Megoldás:

Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 ·𝑞4−1

𝑞−1= 0.

Egy szorzat értéke csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

Ebből azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 0, vagy 𝑞4−1

𝑞−1= 0.

Az 𝑎1 = 0 nem lehetséges, mert akkor minden tag 0 lenne.

A 𝑞4−1

𝑞−1= 0 egyenletből azt kapjuk, hogy 𝑞1 = −1, vagy 𝑞2 = 1.

A 𝑞2 nem lehetséges, mert akkor minden tag 7 lenne, melyek összeg nem 0.

Ezek alapján a megoldás: 𝑞 = −1 esetén 𝑎2008 = 7 · (−1)2005 = −7.


14

26. Egy mértani sorozat első 𝟓 tagjának az összege 𝟏𝟓𝟓, e számok reciprokának az összege 𝟎, 𝟑𝟖𝟕𝟓. Határozd meg ennek az öt tagnak a szorzatát!

Megoldás:


𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2 + 𝑎1 · 𝑞

3 + 𝑎1 · 𝑞4 = 155

1

𝑎1+

1

𝑎1·𝑞+

1

𝑎1·𝑞2+

1

𝑎1·𝑞3+

1

𝑎1·𝑞4= 0,3875

} → 𝑎1 · (1 + 𝑞 + 𝑞

2 + 𝑞3 + 𝑞4) = 1551+𝑞+𝑞2+𝑞3+𝑞4

𝑎1·𝑞4= 0,3875

}

Az első egyenletet elosztva a második egyenlettel a következőt kapjuk: 𝑎12 · 𝑞4 = 400.

Ebből azt kapjuk, hogy (𝑎1 · 𝑞2)2 = 400, vagyis 𝑎31 = 20 és 𝑎32 = −20.

A 𝑎32 = −20 nem felel meg a feladat szövegének.

Ezek alapján a megoldás: 20

𝑞2·20

𝑞· 20 · 20𝑞 · 20𝑞2 = 3 200 000.

27. Egy mértani sorozat első tagja 𝟐. A sorozat első néhány tagjának az összege 𝟔𝟐, ugyanezen tagok reciprokának összege pedig 𝟎, 𝟔𝟐. Melyik ez a sorozat?

Megoldás:


2 + 2𝑞 + 2𝑞2 +⋯+ 2 · 𝑞𝑛−1 = 621

2+

1

2𝑞+

1

2𝑞2+⋯+

1

2 · 𝑞𝑛−1= 0,62

} → 1 + 𝑞 + 𝑞2 +⋯+ 𝑞𝑛−1 = 31

1+𝑞+𝑞2+⋯+𝑞𝑛−1

𝑞𝑛−1= 1,24

}

Az első egyenletet elosztva a második egyenlettel a következőt kapjuk: 𝑞𝑛−1 = 25.

Az első egyenletet alakítsuk át a következőképpen: 1 ·𝑞𝑛−1−1

𝑞−1+ 𝑞𝑛−1 = 31.

Helyettesítsük be a kapott értéket: 24

𝑞−1+ 25 = 31.

Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑞 = 5.

Ezek alapján a megoldás: 𝑎𝑛 = 2 · 5𝑛−1


15

28. Egy mértani sorozat első tagja 𝟎, 𝟏. Az első négy tag összege 𝟏 – gyel nagyobb a sorozat hányadosánál. Határozd meg a sorozat első négy tagját!

Megoldás:

Írjuk fel a következő egyenletet: 0,1 ∙𝑞4 − 1

𝑞 − 1= 𝑞 + 1.

Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 0,1 ∙(𝑞2 + 1) ∙ (𝑞 − 1) ∙ (𝑞 + 1)

𝑞 − 1= 𝑞 + 1.

Ebből azt kapjuk, hogy 𝑞1 = −1, 𝑞2 = −3 és 𝑞3 = 3.

Ezek alapján három megoldás is adódik:

Ha 𝑞 = −1, akkor a sorozat első négy tagja: 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = −0,1; 𝑎3 = 0,1; 𝑎4 = −0,1.

Ha 𝑞 = −3, akkor a sorozat első négy tagja: 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = −0,3; 𝑎3 = 0,9; 𝑎4 = −2,7.

Ha 𝑞 = 3, akkor a sorozat első négy tagja: 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = 0,3; 𝑎3 = 0,9; 𝑎4 = 2,7.

29. Öt szám közül az első három egy mértani, a négy utolsó pedig egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A négy utolsó szám összege 𝟐𝟎, a második és az ötödik szám szorzata 𝟏𝟔. Melyik ez az öt szám?

Megoldás:

Legyen az öt szám: 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒.

Számtani sorozat esetén teljesül a következő: 𝑏 + 𝑒 = 𝑐 + 𝑑.


𝑏 + 𝑒 = 10𝑏 ∙ 𝑒 = 16

}

Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: 𝑏 = 10 − 𝑒.

Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: 𝑒2 − 10𝑒 + 16 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑒1 = 2 és 𝑒2 = 8.

Ha 𝑒 = 2, akkor 𝑏 = 8.

A számtani sorozatból azt kapjuk, hogy 𝑐 = 6 és 𝑑 = 4.

A mértani sorozatból pedig 8

𝑎=

6

8 adódik, vagyis 𝑎 =

32

3.


16

Ha 𝑒 = 8, akkor 𝑏 = 2.

A számtani sorozatból azt kapjuk, hogy 𝑐 = 4 és 𝑑 = 6.

A mértani sorozatból pedig 2

𝑎=

4

2 adódik, vagyis 𝑎 = 1.

Ezek alapján a megoldások: 1; 2; 4; 6; 8 és 8; 6; 4; 2;32

3.

30. Egy mértani sorozat második tagja négyszer akkora, mint a negyedik tagja. A

harmadik és az ötödik tag szorzata 𝟏𝟎𝟎. Melyik ez a sorozat?

Megoldás:


𝑎1 · 𝑞 = 4 · 𝑎1 · 𝑞3

𝑎1 · 𝑞2 · 𝑎1 · 𝑞

4 = 100}

Az első egyenletből a következőt kapjuk: 𝑞1 =1

2 és 𝑞2 = −

1

2.

Mindkét hányados esetén a második egyenletből a következő adódik: 𝑎12 = 6400.

Ebből a következőt kapjuk: 𝑎11 = 80 és 𝑎12 = −80.

Ezek alapján négy megoldás adódik:

𝑎𝑛 = 80 · (1

2)𝑛−1

𝑎𝑛 = 80 · (−1

2)𝑛−1

𝑎𝑛 = −80 · (1

2)𝑛−1

𝑎𝑛 = −80 · (−1

2)𝑛−1

31. Az 𝒂𝒏 mértani sorozat első négy tagjának az összege 𝟖𝟏. Tudjuk továbbá, hogy 𝒂𝟒−𝒂𝟏

𝒂𝟑−𝒂𝟐=

𝟏𝟑

𝟑. Melyik ez a sorozat?

Megoldás:

Alakítsuk át a megadott képletet a következőképpen:

𝑎4−𝑎1

𝑎3−𝑎2=

𝑎1 · 𝑞3 − 𝑎1

𝑎1 · 𝑞2 − 𝑎1 · 𝑞=

𝑎1 · (𝑞3−1)

𝑎1 · 𝑞 · (𝑞−1)=

𝑎1 · (𝑞−1) · (𝑞2+𝑞+1)

𝑎1 · 𝑞 · (𝑞−1)=

𝑞2+𝑞+1

𝑞.


17

Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑞2+𝑞+1

𝑞=

13

3.



3.

Ezt követően írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 ·𝑞4−1

𝑞−1= 81.

Ekkor 𝑞1 = 3 esetén 𝑎1 =81

40, míg 𝑞2 =

1

3 esetén pedig 𝑎1 =

2187

40.

Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑎𝑛 =81

40· 3𝑛−1 és 𝑎𝑛 =

2187

40· (

1

3)𝑛−1

.

32. Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 𝟐𝟖. Ha a második tagot megszorozzuk az első és a harmadik tag összegével 𝟏𝟔𝟎 – at kapunk. Melyik ez a sorozat?

Megoldás:

Legyen a következő: 𝑎2 = 𝑥 és 𝑎1 + 𝑎3 = 𝑦.


𝑥 + 𝑦 = 28𝑥𝑦 = 160

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 8; 𝑦1 = 20 és 𝑥2 = 20; 𝑦2 = 8.

Az első esetben a következő adódik: 𝑎3 = 20 − 𝑎1.

Mivel 𝑎22 = 𝑎1 · 𝑎3, így felírhatjuk a következő egyenletet: 64 = 𝑎1 · (20 − 𝑎1).

Ebből azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 4, vagy 𝑎1 = 16.

Ekkor 𝑎1 = 4 esetén 𝑞 = 2, míg 𝑎1 = 16 esetén pedig 𝑞 =1

2.

A második esetben a következő adódik: 𝑎3 = 8 − 𝑎1.

Mivel 𝑎22 = 𝑎1 · 𝑎3, így felírhatjuk a következő egyenletet: 400 = 𝑎1 · (8 − 𝑎1).

Ebből azt kapjuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása.

Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑎𝑛 = 4 · 2𝑛−1 és 𝑎𝑛 = 16 · (

1

2)𝑛−1

.


18

33. Egy mértani sorozat első nyolc tagjának az összege 𝟐𝟓𝟎. Tudjuk továbbá, hogy (𝒂𝟐 + 𝒂𝟒 + 𝒂𝟔 + 𝒂𝟖) − (𝒂𝟏 + 𝒂𝟑 + 𝒂𝟓 + 𝒂𝟕) = 𝟏𝟓𝟎. Határozd meg az első tagot és a sorozat hányadosát!

Megoldás:

Tekintsük a következő jelöléseket: 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + 𝑎7 és 𝑦 = 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + 𝑎8.


𝑥 + 𝑦 = 250𝑦 − 𝑥 = 150𝑥 · 𝑞 = 𝑦

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 50; 𝑦 = 200; 𝑞 = 4.

Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 ·48−1

4−1= 250

Ebből azt kapjuk, hogy 𝑎1 =50

4369.

34. Négy, adott sorrendben felírt számról a következőket tudjuk:

a két szélső szám összege 𝟏𝟒

a két középső szám összege 𝟏𝟐

az első három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja

az utolsó három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja.

Melyik ez a sorozat?

Megoldás:

Legyen a négy szám a negyedik pontnak megfelelően a következő: 𝑥; 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2; 𝑎2 + 𝑑.

A második pontnak megfelelően írjuk fel a követkeőzt: 𝑎2 − 𝑑 + 𝑎2 = 12.

Ebből a következő adódik: 𝑑 = 2𝑎2 − 12.

Az első pontnak megfelelően írjuk fel a következőt: 𝑥 + 𝑎2 + 𝑑 = 14.

Helyettesítsük be a kapott kifejezést: 𝑥 = 14 − 𝑎2 − (2𝑎2 − 12) = 26 − 3𝑎2.


19

A harmadik pontnak megfelelően írjuk fel a következőt: (𝑎2 − 𝑑)2 = 𝑥 · 𝑎2.

Helyettesítsük be a kapott kifejezéseket: (12 − 𝑎2)2 = (26 − 3𝑎2) · 𝑎2.

Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑎22 − 25𝑎2 + 72 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑎2 = 8, vagy 𝑎2 =9

2.

Ekkor 𝑎2 = 8 esetén 𝑑 = 4, míg 𝑎2 =9

2 esetén pedig 𝑑 = −3.

Ezek alapján két megoldás adódik: 2; 4; 8; 12 és 25

2;15

2;9

2;3

2

35. Az 𝒂; 𝒃; 𝒄 egy mértani sorozat első három tagja. Ha a 𝒄 – t az 𝒂 és a 𝒃 összegével csökkentjük, egy számtani sorozat három szomszédos tagjához jutunk.

Az 𝒂; 𝒃 + 𝟏𝟎; 𝒄 pedig szintén egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Határozd meg az 𝒂; 𝒃; 𝒄 számokat!

Megoldás:


𝑏2 = 𝑎𝑐

𝑏 =𝑎+𝑐−(𝑎+𝑏)

2

𝑏 + 10 =𝑎+𝑐

2

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 5; 𝑏1 = 15; 𝑐1 = 45 és 𝑎2 = 20; 𝑏2 = 0; 𝑐2 = 0.

Ezek alapján két megoldás adódik: 5; 15; 45 és 20; 0; 0.

36. Egy pozitív tagú, nem állandó számtani sorozat első, második és ötödik tagja egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Milyen 𝒌 – ra teljesül, hogy a sorozat első, harmadik és 𝒌 – adik tagja ugyancsak egy mértani sorozat egymást követő tagjai lesznek?

Megoldás:

Mértani sorozat esetén egy elem négyzete megegyezik a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő

elemek szorzatával: 𝑎1 · (𝑎1 + 4𝑑) = (𝑎1 + d)2.

Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑑 = 2𝑎1.


20

A második feltételből írjuk fel a következőt: 𝑎32 = 𝑎1 · 𝑎𝑘.

Ebből a következő egyenlet adódik: (𝑎1 + 2𝑑)2 = 𝑎1 · [𝑎1 + (𝑘 − 1) · 𝑑].

A kapott kifejezést behelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑘 = 13.

37. Van – e olyan nem állandó számtani sorozat, ami mértani sorozat is egyben?

Megoldás:

Legyenek a számtani sorozat szomszédos tagjai: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2; 𝑎2 + 𝑑.

Mértani sorozat esetén teljesül a következő: 𝑎22 = (𝑎2 − 𝑑) · (𝑎2 + 𝑑).

Ebből azt kapjuk, hogy 𝑑 = 0.

Ezek alapján a számtani sorozat csak konstans tagok esetén lehet mértani is.

38. Melyek azok a számtani sorozatok, amelyeknek az első három tagját 𝟐 – vel megszorozva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk?

Megoldás:

Amennyiben 2𝑎1; 2𝑎2; 2𝑎3 egy mértani sorozat egymást követő tagjai, akkor az 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3 számhármasra is tagja egy mértani sorozatnak, továbbá a két sorozat kvóciense megegyezik.

Ezek alapján csak a konstans sorozatok tesznek eleget a feladat feltételének, mert csak abban

az esetben lesz a számtani sorozat tagjai mértani sorozatnak is tagjai.

39. Van – e olyan mértani sorozat, amelynek minden tagja irracionális?

Megoldás:

Lehetséges, ha az első tag irracionális, a hányados pedig racionális (𝑞 ≠ 0).

40. Van – e olyan nem állandó mértani sorozat, amelynek minden tagja négyzetszám?

Megoldás:

Lehetséges, ha az első tag és a hányados is négyzetszám.


21

41. Igazold, hogy √𝟐 + 𝟏

√𝟐 − 𝟏;

𝟏

𝟐 − √𝟐;𝟏

𝟐 egy mértani sorozat három egymást követő tagja!

Megoldás:

Számítsuk ki az egymást követő tagok hányadosát:

1

2 − √2

√2 + 1

√2 − 1

=√2 − 1

(2−√2) · (√2+1)=

√2 − 1

√2=

2 − √2

2

1

21

2 − √2

=2 − √2

2

Mivel a kapott értékek megegyeznek így a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai.

42. Igazold, hogy a következő számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai √𝟓 − 𝟐

𝟗;𝟏

𝟑; √𝟓 + 𝟐;

𝟑

𝟗 − 𝟒 · √𝟓!

Megoldás:

Számítsuk ki az egymást követő tagok hányadosát:

1

3

√5 − 2

9

=3

√5 − 2=

3 · (√5+2)

(√5−2) · (√5+2)= 3 · (√5 + 2)

√5 + 2

1

3

= 3 · (√5 + 2)

3

9 − 4 · √5

√5 + 2=

3

9 − 4 · √5·

1

√5 + 2=

3

√5 − 2= 3 · (√5 + 2)

Mivel a kapott értékek megegyeznek így a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai.

43. Írj fel egy olyan mértani sorozat három további tagját, amelynek a tagjai között

vannak a következő számok: 𝟑;𝟖

𝟗;𝟑𝟐

𝟖𝟏!

Megoldás:

Számítsuk ki a lehetséges hányadost: 8

9: 3 =

8

27, illetve

32

81:8

9=

2

3.

A kapott értékek 𝑞 egész kitevőjű hatványai, vagyis a kvóciens egy lehetséges értéke: 𝑞 =2

3.

Ezek alapján egy lehetséges megoldás: 3; 2;4

3;8

9;16

27;32

81;64

243…


22

44. Van – e olyan mértani sorozat, amelynek az 𝟏, a 𝟐 és a 𝟑 is tagja?

Megoldás:

Tegyük fel, hogy lehetséges, így a sorozat tagjai: 𝑎𝑘 = 1; 𝑎𝑚 = 2; 𝑎𝑛 = 3.

Számítsuk ki a tagok hányadosát: 𝑎𝑚

𝑎𝑘= 2;

𝑎𝑛

𝑎𝑘= 3;

𝑎𝑛

𝑎𝑚=

3

2

A kapott értékek a 𝑞 pozitív egész kitevőjű hatványai.

Ebből azt kapjuk, hogy 𝑞 = √3𝑥

= √2𝑦

, vagyis 3𝑦 = 2𝑥.

Ellentmondást kaptunk, mert a prímtényezős felbontás miatt nem lehet egyenlő a két oldal.

Ezek alapján nincs ilyen sorozat.

45. Számítsd ki a 𝟐 első tíz nemnegtaív egész kitevőjű hatványának összegét!

Megoldás:

Írjuk fel a következő összeget: 20 + 21 +⋯+ 29.

Ebből adódik, hogy egy mértani sorozat egymást követő tagjai, ahol: 𝑎1 = 1; 𝑞 = 2; 𝑛 = 10.

Ezek alapján a megoldás: 𝑆10 = 1 ·210−1

2−1= 1023.

46. Írd le a 𝟑 első száz (pozitív egész kitevőjű) hatványát egymás mellé, majd két – két szomszédos szám közé írd be ezek különbségét úgy, hogy mindig a nagyobbikból vond

ki a kisebbet! Mennyi a beírt számok összege?

Megoldás:

Írjuk fel a következő összeget: (32 − 31) + (33 − 32) + ⋯+ (3100 − 399).

Ebből adódik, hogy a tagok egy mértani sorozat egymást követő tagjai, ahol: 𝑎1 = 6 és 𝑞 = 3.

Ezek alapján a megoldás: 𝑆99 = 6 ·399−1

3−1= 3100 − 3.


23

47. Igaz – e tetszőleges 𝒏 > 𝟎 egészre, hogy 𝟏𝟏…𝟏𝟏 − 𝟐𝟐…𝟐𝟐 = 𝟑𝟑…𝟑𝟑𝟐, ahol az 𝟏 – esekből álló szám 𝟐𝒏 jegyű, a 𝟐 – esekből és 𝟑 – asokból álló számok pedig 𝒏 jegyűek?

Megoldás:

Írjuk fel az adott számokat a következő alakban:

11…11 = 1 + 101 + 102 +⋯+ 102𝑛−1 = 1 ·102𝑛−1

10−1=

102𝑛 − 1

9

22…22 = 2 + 2 · 101 + 2 · 102 +⋯+ 2 · 10𝑛−1 = 2 ·10𝑛−1

10−1=

2 · 10𝑛 − 2

9

33…33 = 3 + 3 · 101 + 3 · 102 +⋯+ 3 · 10𝑛−1 = 3 ·10𝑛−1

10−1=

10𝑛 − 1

3

Írjuk fel az első két szám különbségét és alakítsuk át a következőképpen:

102𝑛 − 1

9−2 · 10𝑛 − 2

9=

102𝑛 − 2 · 10𝑛 + 1

9= (

10𝑛−1

3)2

Ezek alapján az állítás teljesül minden pozitív egész 𝑛 - re.

48. A Papp család betesz a bankba 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot 𝟓 évre, évi 𝟕 % - os kamatozással. Mennyi pénzt vehetnek ki az ötödik év végén? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!)

Megoldás:

A kamatos kamat képletével a következő adódik: 100 000 ∙ 1,075 = 140 255.

Ezek alapján 5 év után kb. 140 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Papp család.

49. Beteszünk a bankba 𝟓 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot évi 𝟏𝟏 % - os kamatozással. Mennyi év után vehetjük ki a pénzünket, ha minimum 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot szeretnénk kivenni majd?

Megoldás:

A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenlőtlenséget:

5 000 ∙ 1,11𝑛 ≥ 100 000 → 1,11𝑛 ≥ 20 →

→ lg 1,11𝑛 ≥ lg 20 → 𝑛 ∙ lg 1,11 ≥ lg 20 → 𝑛 ≥lg 20

lg1,11≈ 28,7

Ezek alapján kb. 29 év után vehetjük ki a pénzünket a bankból.


24

50. Egy autó ára újonnan 𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft. Mennyi százalékkal csökken az autó ára minden évben, ha 𝟑 év után 𝟑 𝟒𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ért tudjuk majd eladni? (A megoldást egészre kerekítve add meg!)

Megoldás:

A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenletet:

5 000 000 ∙ (1 −𝑝

100)3

= 3 400 000.

Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑝 ≈ 12,06.

Ezek alapján kb. 12 % - kal csökken minden évben az autó ára.

51. Egy gépsor értéke új korában 𝟏𝟓 millió forint. Évenként 𝟏𝟑 % - os értékcsökkenéssel számolva mikor kerül a gépsor értéke 𝟔 millió forint alá?

Megoldás:

A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenlőtlenséget:

6 000 000 > 15 000 000 · (1 −13

100)𝑛

.

Az egyenlőtlenség rendezése után a következő adódik: 𝑛 >lg 0,4

lg0,87≈ 6,58.

Ezek alapján kb. 7 év után teljesül a feltétel.

52. Egy bankba a Kovács család minden év elején betesz 𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot, mely év végén 𝟓 % - ot kamatozik. 𝟐𝟎 év után mekkora összeget tudnak majd kivenni a bankból? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!)

Megoldás:

Az első év végén kivehető összeg: 30 000 ∙ 1,05.

A második év végén: (30 000 ∙ 1,05 + 30 000) ∙ 1,05 = 30 000 ∙ 1,052 + 30 000 ∙ 1,05.

A huszadik év végén felvehető összeg:

30 000 ∙ 1,0520 + 30 000 ∙ 1,0519 +⋯+ 30 000 ∙ 1,05 =

30 000 ∙ 1,05 ∙ (1 + 1,05 + ⋯+ 1,0519) = 30 000 ∙ 1,05 ∙ 1 ∙1,0520 − 1

1,05 − 1≈ 1 041 578

Ezek alapján 20 év után kb. 1 042 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Kovács család.

A gyűjtőjáradék képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.


25

53. Valaki 𝟒𝟎 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel. Minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 𝟕𝟎 éves korában 𝟓 millió forintot kap. A befizetett pénz 𝟖 % - kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!)

Megoldás:

Legyen az évente befizetett összeg: 𝑥.

Ekkor az első év végén a kamatozással keletkező összeg: 𝑥 ∙ 1,08.

A második év végén: (𝑥 ∙ 1,08 + 𝑥) ∙ 1,08 = 𝑥 ∙ 1,082 + 𝑥 ∙ 1,08.

A harmincadik év végén felvehető összeg:

𝑥 ∙ 1,0830 + 𝑥 ∙ 1,0829 +⋯+ 𝑥 ∙ 1,08 = 𝑥 ∙ 1,08 ∙ (1 + 1,08 + ⋯+ 1,0829) =

= 𝑥 ∙ 1,08 ∙ 1 ∙1,0830 − 1

1,08 − 1

Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1,08 ∙ 1 ∙1,0830 − 1

1,08 − 1= 5 000 000.

Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 40 868.

Ezek alapján kb. 41 000 Ft - ot kell befizetnie az illetőnek minden év elején.

A gyűjtőjáradék képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.

54. Kovács Zoltán 𝟑𝟎 évesen lakást szeretne venni. Ehhez felvesz 𝟗 millió kölcsönt, 𝟏𝟓 évre évi 𝟕 % - os kamatozással. Mekkora lesz az éves törlesztőrészlete? (A törlesztőrészletet ezres kerekítéssel add meg!)

Megoldás:

Legyen az éves törlesztőrészlet: 𝑥.

A 15. év végére visszafizetendő összeg: 9 000 000 ∙ 1,0715.

Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden év végén, így a 15. év végére befizetett összeg:

𝑥 ∙ 1,0714 + 𝑥 ∙ 1,0713 +⋯+ 𝑥 ∙ 1,072 + 𝑥 ∙ 1,07 + 𝑥 =

= 𝑥 ∙ (1 + 1,07 + 1,072 +⋯+ 1,0714) = 𝑥 ∙ 1 ∙1,0715 − 1

1,07 − 1


26

Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1 ∙1,0715 − 1

1,07 − 1= 9 000 000 ∙ 1,0715.


Ezek alapján az éves törlesztőrészlet kb. 988 000 Ft lesz.

A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.

55. A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 𝟏𝟎 millió Ft - ot 𝟐𝟎 évre, évi 𝟔 % - os kedvezményes kamatra. Minden év végén úgy törlesztenék a kölcsönt és kamatait, hogy 𝟐𝟎 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora legyen ez az összeg? (Az értéket ezres

kerekítéssel add meg!)

Megoldás:

Legyen az éves törlesztőrészlet: 𝑥.

Az első év végén fennmaradó összeg: 10 000 000 ∙ 1,06 − 𝑥.

A második végén: (10 000 000 ∙ 1,06 − 𝑥) ∙ 1,06 − 𝑥 = 10 000 000 ∙ 1,062 − 𝑥 ∙ 1,06 − 𝑥.

A huszadik év végén:

10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1,0619 − 𝑥 ∙ 1,0618 −⋯− 𝑥 ∙ 1,06 − 𝑥 =

10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ (1 + 1,06 + 1,062 +⋯+ 1,0619) =

10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1 ∙1,0620−1

1,06−1

Ebből felírható a következő egyenlet: 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1 ∙1,0620−1

1,06−1= 0.


Ezek alapján az éves törlesztőrészletnek kb. 872 000 Ft – nak kell lennie.



27

56. Elhelyezünk 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot évi 𝟒 % - os kamatra. A következő évtől kezdve tíz éven át egynelő összegeket akarunk felvenni midnen év elején úgy, hogy a tíz év letelte után

ne maradjon pénzünk. Mennyi pénzt vegyünk fel egy évben?

Megoldás:

Legyen az éves felvett összeg: 𝑥.

Az első év végén fennmaradó összeg: 10 000 ∙ 1,04 − 𝑥.

A második végén: (10 000 ∙ 1,04 − 𝑥) ∙ 1,04 − 𝑥 = 10 000 ∙ 1,042 − 𝑥 ∙ 1,04 − 𝑥.

A tizedik év végén:

10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ 1,049 − 𝑥 ∙ 1,048 −⋯− 𝑥 ∙ 1,04 − 𝑥 =

10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ (1 + 1,04 + 1,042 +⋯+ 1,049) =

10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ 1 ∙1,0410−1

1,04−1

Ebből felírható a következő egyenlet: 10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ 1 ∙1,0410−1

1,04−1= 0.

Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 1233 𝐹𝑡.

Ezek alapján kb. 1233 Ft – ot kell felvenni.


57. Aladár 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot vesz fel kölcsönbe évi 𝟏𝟐 % - os kamatra. Két év alatt kell visszafizetnie, havi egyenlő részletekben. Mennyi lesz a havi törlesztőrészlet?

Megoldás:

A szövegből adódik, hogy a havi kamat: 1 %.

Legyen a havi törlesztőrészlet: 𝑥.

A 2. év végére visszafizetendő összeg: 500 000 ∙ 1,0124.


28

Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden hó végén, így a 2. év végére befizetett összeg:

𝑥 ∙ 1,0123 + 𝑥 ∙ 1,0122 +⋯+ 𝑥 ∙ 1,012 + 𝑥 ∙ 1,01 + 𝑥 =

= 𝑥 ∙ (1 + 1,01 + 1,012 +⋯+ 1,0123) = 𝑥 ∙ 1 ∙1,0124 − 1

1,01 − 1

Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1 ∙1,0124 − 1

1,01 − 1= 500 000 ∙ 1,0124.


Ezek alapján a havi törlesztőrészlet kb. 23 500 Ft lesz.


58. Tíz év alatt minden év elején 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot teszünk a takarékba. Tíz év elteltével 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot veszünk ki évenként. Mennyi pénzünk lesz a huszadik év végén, ha 𝟓 % - os a kamat?

Megoldás:

Az első év végén levő összeg: 𝑎1 = 4000 · 1,05.

A második év végén levő összeg: 𝑎2 = (4000 · 1,05 + 4000) · 1,05.

A tízedik év végén levő összeg:

𝑎10 = 4000 · (1,05 + ⋯+ 1,0510) = 4000 · 1,05 ·

1,0510−1

1,05−1≈ 52830 𝐹𝑡.

A tízenegyedik év végén levő összeg: 𝑎11 = (52830 − 4000) · 1,05.

A huszadik év végén levő összeg:

𝑎20 = 52380 · 1,0510 − 4000 · (1,05 + ⋯+ 1,0510) =

= 52830 · 1,0510 − 52380 ≈ 33225 𝐹𝑡

Ezek alapján kb. 33 225 𝐹𝑡 lesz a huszadik év végén.


29

59. András munkába állás során két ajánlat közül választhat. Az első szerint a kezdő fizetése 𝟏𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 lenne és minden hónapban 𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – tal növelnék meg az előző havi jövedelmét. A második szerint a kezdő fizetése 𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 lenne és minden hónapban az előző havi jövedelmét 𝟑 % - kal növelnék. Melyik ajánlatot válassza, ha 𝟓 évre tervez előre, s a legtöbbet szeretné keresni ezen időszak alatt, s melyiket, ha az utolsó hónapban? Változik – e az álláspontja, ha legalább 𝟔 évre tervez?

Megoldás:

Az 5 év alatt összesen 60 hónapon keresztül kap fizetést András.

Az első ajánlat során a fizetések egy számtani sorozat egymást követő tagjai.

A sorozat első tagja 120 000, differenciája 4000.

Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: 𝑎60 = 120 000 + 59 ∙ 4000 = 356 000.

Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: 𝑆60 =120 000 + 356 000

2∙ 60 = 14 280 000.

A második ajánlat során a fizetések egy mértani sorozat egymást követő tagjai.

A sorozat első tagja 80 000, kvóciense 1,03.

Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: 𝑎60 = 80 000 ∙ 1,0359 ≈ 457 600.

Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: 𝑆60 = 80 000 ∙1,0360 − 1

1,03 − 1≈ 13 044 000.

Ezek alapján 5 év elteltével, az utolsó hónapot szem előtt tartva a másodikat, az összjövedelmet figyelve pedig az elsőt kell választania.

Végül számítsuk ki a 6 éves (72 hónap) összjövedelmeket:

𝑆72 =2 ∙ 120 000 + 71 ∙ 4000

2∙ 72 = 18 864 000

𝑆72 = 80 000 ∙1,0372 − 1

1,03 − 1≈ 19 733 000

Ezek alapján 6 év elteltével minden tekintetben a második ajánlat lesz a kedvezőbb.


30

60. Egy cég termelése havonta 𝟑 % - kal növekszik. Három év elteltével a termelés hányszorosa lesz a kezdeti (első havi) termelésnek?

Megoldás:

A szövegből a következők adódnak: 𝑞 = 1,03 és 𝑛 = 36.

Ebből írjuk fel a következőt: 𝑎36 = 𝑎1 · 1,0335 ≈ 2,81 · 𝑎1.

Ezek alapján kb. 2,81 – szeresére változik.

61. Egy 𝟓𝟎 literes hordóban tiszta alkohol van. Óránként 𝟏 litert vesznek ki belőle, és óránként befolyik 𝟏 liter víz. Mennyi idő múlva lesz 𝟒𝟎 % - os keverék a hordóban?

Megoldás:

Egy óra múlva a tiszta alkohol mennyisége 49

50 – szeresére változik.

Írjuk fel a következő egyenletet: 50 · (49

50)𝑛

= 50 · 0,4.

Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑛 =lg 0,4

lg 0,98≈ 45,35.

Ezek alapján kb. 46 óra múlva lesz 40 % - os a keverék.

62. Egy szigeten élő rágcsálópopuláció 𝟑 havonként az aktuális létszám 𝟖 % - ával gyarapszik. Hány évvel ezelőtt voltak 𝟑𝟎 – an, ha jelenleg a csapdázások alapján végzett számítások szerint mintegy 𝟏𝟓𝟎𝟎 egyed él a szigeten, és a megfigyelések szerint a rágcsálók legalább 𝟓𝟎 évig élnek?

Megoldás:

Egy év elteltével a rágcsálók száma: 30 · 1,084.

Írjuk fel a következő egyenletet: 30 · 1,084𝑛 = 1500.

Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑛 =lg 50

4 · lg 1,08≈ 12,7.

Ezek alapján kb. 13 évvel ezelőtt voltak 30 - an.


31

63. Egy erdő faállománya 𝟑𝟓𝟎𝟎 𝒎𝟑. A mindenkori állomány évenként 𝟑 % - kal gyarpaszik, és kétévenként a meglévő állomány 𝟐 % - át kivágják. Mennyi fa lesz az erdőben 𝟐𝟎 év múlva?

Megoldás:

Két év után az eredeti állomány 1,032 · 0,98 – szerese lesz.

Ezek alapján a megoldás: 3500 · (1,032 · 0,98)10 ≈ 5165 𝑚3.

64. Egy nyúlékony zsinórra felfüggesztünk egy súlyt. A zsinór nyúlása az első négy

órában minden eltelt órában másfélszeresére nő. Kezdetben 𝟕𝟎 𝒄𝒎 hosszú volt. Mennyi idő (egész órában) elteltével lesz legalább 𝟑, 𝟓 𝒎 hosszú?

Megoldás:

A szövegből a következők adódnak: 𝑞 = 1,5 és 𝑎1 = 70.

Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 70 · 1,5𝑛 > 350.

Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑛 >lg 5

lg 1,5≈ 3,97.

Ezek alapján 4 óra kell hozzá.

65. Egy berendezés értéke újonnan 𝟗𝟎 𝟎𝟎𝟎 euró. Az avulás mértéke évenként 𝟏𝟓 %, de minden évben ráköltenek 𝟔𝟎𝟎𝟎 eurót, ezzel emelve a gép értékét. Hány év múlva lesz a berendezés értéke a kezdeti értékének kevesebb, mint fele?

Megoldás:

Az első év végén a berendezés értéke: 90 000 · 0,85 + 6000.

A második év végén a berendezés értéke: (90 000 · 0,85 + 6000) · 0,85 + 6000.

Az 𝑛 – edik év végén az értéke: 90 000 · 0,85𝑛 + 6000 · (1 + 0,85 +⋯+ 0,85𝑛−1).

Ebből felírható a következő egyenlőtlenség: 90 000 · 0,85𝑛 + 6000 · 1 ·0,85𝑛−1

0,85−1< 45 000.

Az egyenlőtlenség rendezése után a következő adódik: 𝑛 > 14,17.

Ezek alapján 15 év kell hozzá.


32

66. Egy 𝟔𝟎° - os szög egyik szárán jelölünk ki egy 𝑷 pontot. Ebből a másik szárra állítsunk merőlegest, amelynek talppontja a másik száron legyen 𝑷𝟏. Innen újabb merőleges metszi ki az előző szárból 𝑷𝟐 – t. Folyatassuk ezt végtelensokszor. A 𝑷𝑷𝟏 szakaszt jelöljük 𝒂𝟏 – gyel. Mekkora lesz a nyolcadik merőleges szakasz hossza, illetve az első nyolc szakasz hosszának összege?

Megoldás:

Tekintsük a következő ábrát:

Legyen az 𝑂𝑃 távolság 𝑥.

Tekintsük az első néhány merőleges szakasz hosszát:

𝑎1 = 𝑥 ∙ sin 60° = 𝑥 ∙√3

2; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅ sin 30° = 𝑥 ∙

√3

4; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅ sin 30° = 𝑥 ∙

√3

8; …

A merőleges szakaszok hosszai mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =1

2.

Ezek alapján a megoldások:

𝑎8 = 𝑥 ∙√3

2∙ (1

2)7

= 𝑥 ∙√3

256

𝑆8 = 𝑥 ∙√3

2∙(1

2)8 − 1

1

2 − 1

= 𝑥 ∙√3

2∙−255

256

−1

2

= 𝑥 ∙255 ∙ √3

256≈ 1,725𝑥


33

67. Egy egységnégyzetnek felezzük meg az oldalait, s a második négyzet az oldalfelező pontok alkotta négyszög lesz. Ezután ennek felezzük meg az oldalait és kapunk egy

kisebb négyzetet. 𝟏𝟎𝟎 lépés után mennyi lesz a keletkező négyzetek kerületeinek és területeinek összege?

Megoldás:


Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát:

𝑎1 =√2

2; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅

√2

2=

1

2; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅

√2

2=

√2

4; …

Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: 𝐾1 = 2 ⋅ √2;𝐾2 = 2;𝐾3 = √2;…

Tekintsük az első néhány terület nagyságát: 𝑇1 =1

2; 𝑇2 =

1

4; 𝑇3 =

1

8; …

A kerületek és területek mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =√2

2, illetve 𝑞 =

1

2.


𝑆𝐾100 = 2 ⋅ √2 ⋅(√2

2)100

− 1

√2

2 − 1

≈ 9,657

𝑆𝑇100 =1

2⋅(1

2)100

− 1

1

2 − 1

= 1


34

68. A 𝟕 egység oldalhosszúságú négyzet oldalait osszuk fel az egyik csúcspontjától kezdve 𝟑: 𝟒 aránybban. A kapott osztópontok ismét négyzetet határoznak meg. Ennek az oldalait is osszuk fel az adott arányban. Folytassuk ezt végtelen sokszor. Mekkora lesz

a hetedik négyzet oldala, illetve az első hét négyzet kerületének, területének összege?

Megoldás:


Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: 𝑎1 = 7; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅5

7= 5; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅

5

7=

25

7; …

Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: 𝐾1 = 28;𝐾2 = 20;𝐾3 =100

7; …

Tekintsük az első néhány terület nagyságát: 𝑇1 = 49; 𝑇2 = 25; 𝑇3 =625

49; …

Az oldalak, a kerületek és a területek mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =5

7, illetve 𝑞 =

25

49.


𝑎7 = 7 ∙ (5

7)6

=15625

16807≈ 0,93

𝑆𝐾7 = 28 ⋅(5

7)7 − 1

5

7 − 1

≈ 3,17

𝑆𝑇7 = 49 ⋅(25

49)7 − 1

25

49 − 1

= 49


35

69. Egy 𝒂 oldalú négyzetbe érintőkört írunk, ebbe négyzetet, amibe ismét kört. Ezt így folytatva mekkora lesz a hatodik négyzet oldala, illetve a hatodik kör sugara?

Mekkora az első hat négyzet, illetve kör kerületének összege?

Megoldás:


Legyen a négyzetek oldalhossza 𝑎1; 𝑎2; …, a beírt körök sugarának hossza: 𝑟1; 𝑟2; ….

Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát:

𝑎1 = 𝑎; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅√2

2= 𝑎 ⋅

√2

2; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅

√2

2= 𝑎 ⋅

1

2; …

Tekintsük az első néhány sugár hosszát:

𝑟1 = 𝑎1 ⋅1

2= 𝑎 ⋅

1

2; 𝑟2 = 𝑎2 ⋅

1

2= 𝑎 ⋅

√2

4; 𝑟3 = 𝑎3 ⋅

1

2= 𝑎 ⋅

1

4; …

Tekintsük az első néhány négyzet kerületét: 𝐾1 = 4𝑎;𝐾2 = 𝑎 ⋅ 2 ⋅ √2; 𝐾3 = 2𝑎;…

Tekintsük az első néhány kör kerületét: 𝑘1 = 𝑎 ⋅ 𝜋; 𝑘2 = 𝑎 ⋅√2

2⋅ 𝜋; 𝑘3 = 𝑎 ⋅

1

2⋅ 𝜋; …

Az oldalak, sugarak és kerületek mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =√2

2.


36


𝑎6 = 𝑎 ⋅ (√2

2)5

= 𝑎 ⋅√2

8

𝑟6 = 𝑎 ⋅1

2⋅ (

√2

2)5

= 𝑎 ⋅√2

16

𝑆𝑎𝐾6 = 4𝑎 ⋅(√2

2)6

− 1

√2

2 − 1

= 4𝑎 ⋅1

8 − 1

√2 − 2

2

= 4𝑎 ⋅7

4

2 − √2= 𝑎 ∙

7 ∙ (2 + √2)

2≈ 11,95𝑎

𝑆𝑟𝐾6 = 𝑎 ∙ 𝜋 ⋅(√2

2)6

− 1

√2

2 − 1

= 𝑎 ∙ 𝜋 ∙7 ∙ (2 + √2)

2≈ 9,39𝑎

70. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei?

Megoldás:

Legyenek a háromszög oldalai: 𝑎1 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑎1 ∙ 𝑞2

Alkalmazzuk a Pitagorasz – tételt: 𝑎12 + 𝑎1

2 ∙ 𝑞2 = 𝑎12 ∙ 𝑞4.

Ebből rendezés után a következő egyenlet adódik: 𝑞4 − 𝑞2 − 1 = 0.

Legyen 𝑏 = 𝑞2, s a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 𝑏2 − 𝑏 − 1 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑏1 =1+√5

2 és 𝑏2 = −

1+√5

2.

A 𝑏2 értéke nem felel meg a feladatnak.

A 𝑏1 visszahelyettesítése után a következő adódik: 𝑞2 =

1 + √5

2.

A háromszög szögeit így kiszámíthatjuk a szögfüggvények segítségével:

sin 𝛼 =𝑎1

𝑎1𝑞2=

1

𝑞2=

2

1 + √5 → 𝛼 ≈ 38,17°

cos 𝛽 =𝑎1

𝑎1𝑞2=

1

𝑞2=

2

1 + √5 → 𝛽 ≈ 51,83°


37

71. Egy négyzetet 𝟒 egybevágó négyzetre bontunk, majd 𝟑 négyzetet befestünk rendre pirosra, kékre, zöldre. A negyedik négyzetet újra 𝟒 egybevágó négyzetre bontjuk, s a kapott kisebb négyzeteket ismét beszínezzük az előzőek szerint. Ezt az eljárást

folytatva, mennyi lesz 𝒏 lépés után a pirosra festett részek területe?

Megoldás:

Az első kis négyzet területe: 1

4.

A második kis négyzet területe: 1

4·1

4=

1

16.

Ebből adódik, hogy a mértani sorozat adatai: 𝑎1 =1

4; 𝑞 =

1

4.

Ezek alapján a megoldás: 𝑆𝑛 =1

4·(1

4)𝑛−1

1

4−1

=1

3−

1

3 · 4𝑛.

72. Bizonyítsd be, hogy ha 𝒂; 𝒃; 𝒄 egy mértani sorozat három egymást követő eleme, akkor teljesül a következő: (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) · (𝒂 − 𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐!

Megoldás:

Tekintsük a következő jelöléseket: 𝑎 = 𝑎1; 𝑏 = 𝑎1 · 𝑞; 𝑐 = 𝑎1 · 𝑞2.

Ezek alapján adódik a bizonyítandó állítás:

(𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞2) · (𝑎1 − 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞

2) =

= 𝑎12 + 𝑎1

2 · 𝑞2 + 𝑎12 · 𝑞4 = 𝑎1

2 + (𝑎1 · 𝑞)2 + (𝑎1 · 𝑞

2)2.

Documents

Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme , hetedik eleme