Upload
others
View
62
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
2Nevrtlo�na (poten ijalna) struja�a fluida
2.1 Znaqaj poten ijalne teorije
Osnove poten ijalne teorije su postavene pre oko 250 godina zahvauju�i velikim imenima sve-
tske nauke kao xto su Ojler (Euler), Bernuli (Bernoulli), Dalamber (D′Alambert), Lagran� (Lagrange),Stoks (Stokes), Helmhol (Helmholtz), Kirhof (Kirchoff) i Kelvin (Kelvin). Prvo se ova teorija kori-stila za objax�ava�e i predviÆa�e fenomena u drugim nauqnim dis iplinama, kao xto su provoÆe�e
toplote, teorija elastiqnosti i elektromagnetizam, i pri tome je dala veoma dobre rezultate. Poxto
izmeÆu pojedinih prirodnih fenomena postoje analogije (opisuju se istim tipovima jednaqina), dos-
hlo se na ideju da se ova teorija primeni i za struja�e fluida. Pri tim prouqava�ima viskoznost
fluida je zanemarena (struja�a neviskoznog fluida). Uz tu pretpostavku doxlo se do jednog kon-
tradiktornog zakuqka - na telo koje se kre�e kroz fluid ne deluje nikakva sila otpora. Naravno,
ovakav zakuqak se kosio sa realnox�u. Istovremeno, taqnije polovinom XIX veka, razvijala se i
teorija viskoznog fluida kada su formulisane quvene Navije-Stoksove (Navier− Stokes) jednaqinekoje opisuju struja�a viskoznog fluida. Radi se o par ijalnim, nelinearnim diferen ijalnim jed-
naqinama drugog reda koje se mogu rexiti samo u nekim spe ijalnim sluqajevima, zanemariva�em
pojedinih qlanova (o tome �e biti vixe reqi kasnije). Prva taqna rexe�a Navije-Stoksovih jedna -
hina su odreÆena za sluqajeve veoma sporih struja�a - iz rexe�a ovih jednaqina se moglo zakuqiti da
je struja�e izrazito vrtlo�no, i primena poten ijalne teorije je dovedena u pita�e. Pojavio se pro-
blem: s jedne strane je bila poten ijalna teorija, qiji je matematiqki aparat omogu�avao rexava�e
raznih problema, ali na jednom va�nom problemu (kreta�e tela kroz fluid) je davala razoqaravaju�e
rezultate; s druge strane su bile jednaqine koje je bilo mogu�e rexiti samo u par sluqajeva. Nemaqki
nauqnik Ludvig Prantl (Ludwig Prandtl) 1905. godine objavuje svoju quvenu teoriju graniqnog sloja(Boundary Layer Theory) koja povezuje teoriju viskoznog fluida i poten ijalnu teoriju. U slede�im
redovima se u par reqeni a daje suxtina te genijalne teorije.
Pri optrujava�u tela neviskoznim fluidom, na samoj konturi fluid ima brzinu razliqitu od
nule, koja je uvek prav a tangente u toj taqki konture (slika 2.1a). Sa druge strane, realan fluid,
qija je viskoznost razliqita od nule, mora da zadovoi uslov da je brzina u svim taqkama konture
jednaka nuli. Imaju�i to u vidu, Prantl je eksperimentalno je pokazao da se efekti viskoznosti
ose�aju u tankom sloju neposredno uz konturu tela (graniqni sloj), u sluqaju da je viskoznost fluida
relativno mala veliqina (eksperimenti su vrxeni na instala iji sa vodom). Pored ovog uslova,
mora biti i zadovoeno da Rejnoldsov broj, Re = U L/ν, mnogo ve�i od jedini e, Re ≫ 1 (ovde je Ukarakteristiqna brzina za dato struja�e, a L karakteristiqna du�ina). Debina graniqnog sloja
te�i nuli kada Re → ∞. U ovom sluqaju strujni prostor se mo�e podeliti na sloj neposredno
uz konturu tela u kome su viskozne sile istog reda veliqine kao i iner ijalne sile, i oblast van
graniqnog sloja, gde je struja�e nevrtlo�no i neviskozno.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������PSfrag repla emen
U∞(x)
Graniqni sloj
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
PSfrag repla emen
Graniqni sloj
~ω 6= 0
(a) (b)
Slika 2.1: PoreÆe�e nevrtlo�nog i struja�a pri velikim vrednostima Rejnoldsovog broja: (a) struja�e
idealnog fluida, ν = 0; (b) struja�e pri velikim vrednostima Re broja.
Struja�e izvan graniqnog sloja (spoax�e struja�e) se mo�e prouqavati prime�uju�i teoriju
poten ijalnih struja�a, zanemaruju�i postoja�e graniqnog sloja. Rezultati dobijeni na taj naqin
(npr. poe pritiska i brzine oko graniqnog sloja) omogu�avaju da se jednaqine za struja�e u graniq-
nom sloju mogu rexiti - poznata je zakonitost promene pritiska na samoj konturi tela, kao i dodatni
graniqni uslov za brzinu, a to je obi no da je izvan graniqnog sloja u = U∞ (x). MeÆutim, i teorija
graniqnog sloja se ne mo�e prime�ivati u svim sluqajevima opstrujava�a nekog tela. Naime, ako je
to telo neaerodinamiqnog oblika (kao xto je npr. kru�ni ilindar, sl. 2.2) dolazi do fenomena
odvaja�a graniqnog sloja od konture tela, iza tela se stvaraju vrlozi, i viskoznost vixe nema uti aj
samo u tankom sloju uz konturu tela, ve� u znatno ve�em delu strujnog prostora. Poten ijalna teorija
u ovim sluqajevima se mo�e eventualno koristiti samo do taqke odvaja�a.
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Slika 2.2: Primeri odvaja�a graniqnog sloja. Uzvodno od taqke odvaja�a, poten ijalna teorija daje zado-
voavaju�e rezultate
Mo�e se na kraju ovog uvoda re�i, da poten ijalna teorija ne zauzima entralno mesto u moder-
noj mehani i fluida, kao xto je to bio sluqaj pre jednog veka. Ipak, ona daje izvanredne rezultate
na nekim poima tehnike, posebno u aerodinami i. Npr. poe pritiska oko aeroprofila mo�e
se odrediti sa velikom taqnosqu na osnovu poten ijalne teorije. Quvena teorema Kuta-�ukovskog
(Kutta − Zhukhovsky) o sili uzgona aeroprofila dobijena korix�e�em poten ijalne teorije, se od-
liqno slaze sa eksperimentalnim rezultatima. Prantlova teorija se koristi u i danax�oj modernoj
mehani i fluida.
2.2 Strujna funk ija i poten ijal brzine
Posmatrajmo ravansko struja�e nestixivog fluida (ρ = const). Jednaqina kontinuiteta u tomsluqaju:
∂vx∂x
+∂vy∂y
= 0 (2.1)
obezbeÆuje postaja�e skalarne funk ije ψ (x, y) iz koje se komponente brzine vx i vy odreÆuju na
slede�i naqin:
vx ≡ ∂ψ
∂yvy ≡ −∂ψ
∂x(2.2)
Skalarna funk ija ψ (x, y) se naziva strujna funk ija i ona identiqki zadovoava jednaqinu (2.1).
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 3
S druge strane uslov da je vrlo�nost 2 ~ω = ∇ × ~v jednaka nuli u sluqaju dvodimenzijskih
struja�a se svodi na jednaqinu:
∂vy∂x
− ∂vx∂y
= 0 (2.3)
Iz teorije poa je dobro poznato da ako je rotor nekog vektorskog poa jednak nuli, da je takvo
vektorsko poe mogu�e izraziti kao gradijent neke skalarne funk ije, jer je jednostavno rot(gradA) =0 za svako skalarno poe A. Dakle, obezbeÆeno je postoja�e jox jedne skalarne funk ije, ϕ (x, y) kojase naziva poten ijal brzine i koja je povezan sa komponentama brzine na slede�i naqin:
~v = gradϕ =∂ϕ
∂x~i+
∂ϕ
∂y~j ≡ vx~i+ vy~j =⇒ vx ≡ ∂ϕ
∂xvy ≡ ∂ϕ
∂y(2.4)
Kako se u sluqaju nevrtlo�nih struja�a mora postojati poten ijal brzine, takva struja�a se qesto
i nazivaju poten ijalna struja�a. Jednaqine (2.2) i (2.4) pokazuju da izvod strujne funk ije daje
komponentu brzine rotiranu za 90◦ u smeru kazaki na satu u odnosu na prava diferen ira�a, dokizvod poten ijala brzine daje komponentu brzine u prav u diferen ira�a. Porede�i jednaqine (2.2)
i (2.4) dobija se
∂ϕ
∂x=∂ψ
∂yKoxi-Rimanovi uslovi
∂ϕ
∂y= −∂ψ
∂x
(2.5)
iz kojih se mo�e odrediti jedna od funk ija ako je ona druga poznata. Ekvipoten ijalne linije
(ϕ = const) i strujni e (ψ = const) su ortogonalne, xto neposredno sledi iz jednaqina (2.2) i (2.4)
∇ϕ · ∇ψ =∂ϕ
∂x
∂ψ
∂x+∂ϕ
∂y
∂ψ
∂y= 0
Vrlo lako (unakrsnim diferen ira�em Koxi-Rimanovih uslova - prva jednaqina se diferen-
ira po x a druga po y i obrnuto) se mo�e do�i do jedne va�ne osobine strujna funk ije i poten ijalabrzine - te dve funk ije zadovoavaju Laplasovu jednaqinu:
∇2ϕ ≡ ∆ϕ =∂2ϕ
∂x2+∂2ϕ
∂y2= 0 (2.6)
∇2ψ ≡ ∆ψ =∂2ψ
∂x2+∂2ψ
∂y2= 0 (2.7)
Funk ija koja zadovoava Laplasovu jednaqinu se naziva harmonijska funk ija. Laplasova jed-
naqina je par ijalna diferen ijalna jednaqina drugog reda, eliptiqkog tipa. Naravno, uz svaku
diferen ijalnu jednaqinu se moraju definisati graniqni uslovi koji �e iz familije �enih rexe�a
izdvojiti ono koje odgovara rexe�u problema koji se prouqava.
Pri nevrlo�nom struja�u fluida se definixu slede�i graniqni uslovi:
(1) Uslovi na konturi tela - Komponenta brzine struja�a normalna na konturu tela je jednaka
nuli, qime se obezbeÆuje da fluid ne prodire unutar konture tela. Taj graniqni uslov prilikom
opstrujava�a tela koje miruje se mo�e iskazati jednaqinom:
Na konturi :∂ϕ
∂n= 0 ili
∂ψ
∂s= 0 (2.8)
gde su s i n prav i tangente i normale konture tela.
(2) Uslovi u "beskonaqnosti" - za tipiqan primer tela koje se opstrujava uniformnom strujom
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 4
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
PSfrag repla emen
U∞
~n
~t
~v ≡ v~t
x
Slika 2.3: Graniqni uslovi pri opstrujava�u tela neviskoznim fluidom
u prav u x ose brzinom U∞, taj uslov se svodi
∂ϕ
∂x= U∞ ili
∂ψ
∂y= U∞ (2.9)
Rexava�e Laplasovih jednaqina (2.6) i (2.7)) uz graniqne uslove definisane jednaqinama (2.8)
i (2.9) nije jednostavno. Istorijski posmatrano, teorija poten ijalnih struja�a se razvijala na-
la�e�em funk ija koje zadovoavaju Laplasovu jednaqinu, i potom odreÆiva�a mogu�ih graniqnih
uslova koje ta funk ija zadovoava. Kako je Laplasova jednaqina linearna, sabira�e (superpozi-
ija) poznatih harmonijskih funk ija daje novu harmonijsku funk iju koja zadovoava neke nove
graniqne uslove. Na taj naqin je otkriven veliki broj razliqitih rexe�a kojima se mogu simulirati
razni problemi struja�a fluida. U daem izlaga�u �e biti prihva�en ovaj pristup prouqava�u
poten ijalnih struja�a.
Ako je poznato rexe�e Laplasove jednaqine, odreÆiva�em izvoda ϕ ili ψ je jednoznaqno odreÆen
i vektor brzine. Konaqno, raspodela pritiska je odreÆena Bernulijevom jednaqinom, koja u sluqaju
nevrtlo�nog struja�a neviskoznog fluida glasi:
p+1
2ρ v2 = const. (2.10)
gde je v intenzitet brzine (v =√vx2 + vy2). Bernulijeva jednaqina u ovom sluqaju (nevtrlo�no
struja�e neviskoznog fluida) va�i za bilo koje taqke u strujnom pou.
U slede�im redovima daju se najva�nije formule koje se koriste pri rexava�u problema iz
dvodimenzijskih poten ijalnih struja�a nestixivog fluida koje predstavaju kratak , kao i komp-
leksni poten ijali osnovnih struja�a.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 5
2.3 REPETITORIJUM - dvodimenzijska poten ijalna stru-
ja�a nestixivog fluida
Posmatraju se ravanska (vz = 0, ∂∂z
= 0), sta ionarna (∂(... )∂t
= 0), nevrtlo�na (rot~v = 0) struja�a
nestixivog fluida (ρ = const).
• Jednaqina kontinuiteta:
∂vx∂x
+∂vy∂y
= 0 (2.11)
Strujna funk ija ψ (x, y) se definixe na slede�i naqin:
vx ≡ ∂ψ
∂yvy ≡ −∂ψ
∂x(2.12)
qime je jednaqina kontinuiteta identiqki zadovoena. Linije ψ(x, y) = C se nazivaju struj-
ni e. Kada je C = 0, tj. ψ(x, y) = 0 u pita�u je nulta strujni a.
• Struja�e je nevtrlo�no - 2 ~ω = rot~v ≡ ∇×~v = 0. Za dvodimenzijsko struja�e ovaj uslov se svodi
na:
∂vy∂x
− ∂vx∂y
= 0 (2.13)
Ovaj uslov omogu�ava da se vektor brzine izrazi kao gradijent skalarnog poa ϕ = ϕ(x, y).
Funk ija ϕ se naziva poten ijal brzine
~v = gradϕ =⇒ vx ≡ ∂ϕ
∂xvy ≡ ∂ϕ
∂y(2.14)
Linije ϕ(x, y) = C se nazivaju ekvipoten ijalne linije.
Iz prethodnih jednaqina se mogu izvu�i va�ni zakuq i:
Izvod strujne funk ije daje komponentu brzine roti-
ranu za 90◦ u smeru kazaki na satu u odnosu na prava
diferen ira�a, dok izvod poten ijala brzine daje kom-
ponentu brzine u prav u diferen ira�a.
∂ϕ
∂x=∂ψ
∂y
∂ϕ
∂y= −∂ψ
∂x
Koxi - Rimanovi uslovi (2.15)
∂vx∂x
= −∂vy∂y
∂vx∂y
=∂vy∂x
(2.16)
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 6
Ekvipoten ijalne linije i strujni e su familije uzajamno ortogonalne linije:
gradϕ · gradψ =∂ϕ
∂x
∂ψ
∂x+∂ϕ
∂y
∂ψ
∂y= −vx vy + vy vx = 0
Strujni e i ekvipoten ijalne linije su ortogonalne
linije.
ψ = C1
ψ = C2
ψ = C3
ϕ = const.
Ako je poznata jedna funk ija, npr. ϕ(x, y) ili vy(x, y), iz jednaqina (2.15), odnosno (2.16) se
mo�e odrediti druga, nepoznata funk ija, ψ(x, y), odnosno vx(x, y), i obrnuto.
Diferen ira�em jednaqina (2.12) i (2.14) po x i y uz (2.11) i (2.13) dobija se jox jedna va�na
osobina strujne funk ije i poten ijala brzine:
ψ(x, y)iϕ(x, y) su harmonijske funk ije
∂2ϕ
∂x2+∂2ϕ
∂y2= 0
∂2ψ
∂x2+∂2ψ
∂y2= 0
(2.17)
Dakle, strujna funk ija i poten ijal brzine zadovoavaju Laplasovu jednaqinu, tj. ∆ϕ = 0 i
∆ψ = 0, gde je ∆ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 Laplasov operator. Funk ija koja zadovoava Laplasovu jednaqinu se
naziva harmonijska funk ija.
Za rexava�e nekih problema je pogodnije korix�e�e polarnih koordinata r i θ umesto Dekar-
tovih x i y. U slede�im redovima se daju prethodne jednaqine u polarnim koordinatama:
1
r
∂
∂r(r vr) +
1
r
∂vθ∂θ
= 0 (jednaqina kontinuiteta) (2.18)
1
r
∂
∂r(r vθ)−
1
r
∂vr∂θ
= 0 (nevrtlo�no struja�e) (2.19)
Projek ija brzine vr:
vr =∂ϕ
∂r=
1
r
∂ψ
∂θ(2.20)
Projek ija brzine vθ:
vθ =1
r
∂ϕ
∂θ= −∂ψ
∂r(2.21)
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 7
r =√
x2 + y2
θ = arctg(y
x
)
PSfrag repla emen
y
x
θ
r
vθ vr
Slika 2.4: Polarne koordinate i komponente brzine u polarnim koordinatama
Laplasijan poten ijala brzine ϕ u polarnim koordinatama:
∇2ϕ =1
r
∂
∂r
(
r∂ϕ
∂r
)
+1
r2∂2ϕ
∂θ2= 0 (2.22)
Laplasijan strujne funk ije ψ u polarnim koordinatama:
∇2ψ =1
r
∂
∂r
(
r∂ψ
∂r
)
+1
r2∂2ψ
∂θ2= 0 (2.23)
Koxi-Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama (jednaqine (2.20) i (2.21)):
∂ϕ
∂r=
1
r
∂ψ
∂θ
1
r
∂ϕ
∂θ= −∂ψ
∂r
Koxi - Rimanovi uslovi (2.24)
Veza izmeÆu projek ija brzine vr i vθ (direktno sledi iz jednaqina (2.18) i (2.19)):
∂
∂r(r vr) = −∂vθ
∂θ
∂vr∂θ
=∂
∂r(r vθ)
(2.25)
Mo�e se pokazati da ako su zadovoene jednaqine (2.15), onda ϕ(x, y) i ψ(x, y) predstavaju
realni i imaginarni deo komleksne analitiqke funk ije koja se oznaqava sa w(z) i naziva se kom-
pleksni poten ijal.
w(z) = ϕ(x, y) + i ψ(x, y) = ϕ(r, θ) + i ψ(r, θ) (2.26)
gde je z = x+ i y = r eiθ kompleksni broj (kompleksna prome�iva).
Va�na osobina kompleksnih analitiqkih funk ija je da �ihov izvod ne zavisi od prav a di-
feren ira�a - izvod komplesnog poten ijala po kompleksnoj prome�ivoj z je jednoznaqno odreÆena
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 8
kompleksna funk ija v̄(z) i ona predstava kompleksnu brzinu
v̄(z) =dw(z)
dz≡ vx − i vy ≡ (vr − i vθ) e
−iθ(2.27)
Kompleksna brzina je takoÆe analitiqka kompleksna funk ija qiji su realni i imaginarni
delovi: Re [v̄(z)] = vx(x, y) i Im [v̄(z)] = −vy(x, y). Lako se mo�e proveriti da se Koxi-Rimanovi
uslovi za komleksnu brzinu svode na jednaqine (2.16). Taqke u kojima je brzina struja�a jednaka nuli,
vx = vy = 0 se nazivaju zaustavnim taqkama.
Kratak podsetnik - Ojlerova formula. Osnovne opera ije sa komplek-
snim brojevima
i =√−1 − imaginarna jedini a
Ojlerova formula : eiθ = cos θ + i sin θ
Neka je z1 = x1 + i y1 = r1 eiθ1
i z2 = x2 + i y2 = r2 eiθ2
• Sabira�e: z = z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
• Oduzima�e: z = z1 − z2 = (x1 − x2) + i (y1 − y2)
• Mno�e�e: z = z1 · z2 = r1 eiθ1 · r2 eiθ2 = r1 r2e
i(θ1+θ2)ili
z = (x1 + i y1)(x2 + i y2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
• Dee�e: z =z1z2
=r1r2ei(θ1−θ2)
ili
z =x1 + i y1x2 + i y2
· x2 − i y2x2 − i y2
=x1x2 + y1y2x22 + y22
+ ix2y1 − x1y2x22 + y22
Neke trigonometrijske rela ije:
sin 2θ = 2 cos θ sin θ
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ
tg(θ1 ± θ2) =tgθ1 ± tgθ21∓ tgθ1 tgθ2
arctgA± arctgB = arctgA±B
1∓AB
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 9
• Protok kroz konturu ograniqenu taqkama A i V se mo�e izraqunati korix�e�em obras a:
V̇ =
∫
A
~v • ~ndA =
B∫
A
~v • ~n dl · 1︸ ︷︷ ︸
dA
PSfrag repla emen
y
x
B
A
d~l
~n
~v
dA
A
b = 1m
Slika 2.5: Proizvona kontura ograniqena taqkama A i V.
Lako se mo�e pokazati, primenom Grinove formule u ravni, da se prethodni izraz svodi na:
V̇AB = ψB − ψA (2.28)
Dakle, protok kroz neku konturu koja je ograniqena taqakama A i V i koja je jediniqne visine
se mo�e lako izraqunati kao razlika vrednosti strujne funk ije u kraj�oj i poqetnoj taqki konture.
Ako je kontura zatvorena protok kroz konturu jednak nuli (taqka A se poklapa sa taqkom V), osim
u sluqaju kada se unutar konture nalaze singulariteti tipa izvora i ponora - tada je protok kroz
konturu jednak sumi izdaxnosti izvora (ponora) V̇ ≡∑
i
ε.
• Na sliqan naqin se mo�e izraqunati i irkula ija du� konture ograniqene taqkama A i V
ΓAB =
B∫
A
~v • dl = ϕB − ϕA (2.29)
Cirkula ija du� proizvone konture koja je ograniqena taqkama A i V se mo�e izraqunati kao
razlika vrednosti poten ijala brzine u kraj�im i poqetnim taqakama konture. Cirkula ija du�
zatvorene konture je jednaka nuli, osim ako se unutar konture nalaze singulariteti tipa vrtloga -
tada je irkula ija jednaka zbiru irkula ija vrtloga koji se nalaze unutar konture Γ =∑
i
Γi.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 10
• Kompleksne analitiqke funk ije, pored jednoznaqnog izvoda imaju jox jedno va�no svojstvo - one
obezbeÆuju konformno preslikava�e, pri kome strujni e i ekvipoten ijalne linije zadr�avaju
svoju meÆusobnu ortogonalnost. Analitiqka funk ija
Z(z) = X(x, y) + i Y (x, y)
PSfrag repla emen
a
a
−a
x
x
y
y
X
X
Y
Y
U∞ U∞
z
z
Z
Z
Slika 2.6: Primena konformnog preslikava�a
preslikava struja�e iz z ravni opisano kompleksnim poten ijalom w(z) u novo struja�e u ravni Z
opisano kompleksnim poten ijalom W (Z)
W (Z) = Φ(X,Y ) + iΨ(X,Y ) =W [Z(z)] = w(z)
gde su Φ(X,Y ) = ϕ(x, y) i Ψ(X,Y ) = ψ(x, y) poten ijal brzine i strujna funk ija preslikanog stru-
ja�a.
Posredstvom transforma ije �ukovskog:
Z =1
2
(
z +a2
z
)
struja�e oko kru�nog ilindra u ravni z se preslikava u struja�e oko ravne ploqe, eliptiqkog
ilindra ili aeroprofila �ukovskog u ravni Z.
• Bernulijeva jednaqina. U sluqaju ravanskog sta ionarnog struja�a nestixivog, neviskoznog
fluida poe pritiska je povezano sa poem brzine preko Bernulijeve jednaqine, koja za taj sluqaj
struja�a glasi:
p+1
2ρ v2 = const. (2.30)
Obiqno su poznate vrednosti pritiska i brzine u "beskrajno" dalekim taqkama, p∞ i v∞. Raspodela
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 11
pritiska du� neke konture se mo�e odrediti korix�e�em Bernulijeve jednaqine, uz prethodno odre-
Æenu raspodelu brzine du� te konture:
p∞ +1
2ρ v2
∞= p+
1
2ρ (v2x + v2y)
• Sila na proizvonu konturu C. Neka su Fp,x i Fp.y komponente sile pritiska~Fp kojom nestis-
hiv, neviskozan fluid pri sta ionarnom, ravanskom struja�u, koje je opisano kompleksnim poten-
ijalom w(z), deluje na proizvonu zatvorenu konturu C u xy-ravni. Tada se sila na tu konturu mo�e
izraqunati preko integrala kompleksne prome�ive korix�e�em Blasijus-Qapaginovog obras a:
F̄p(z) = Fp,x − i Fp,y =i ρ
2
∮
C
(dw
dz
)2
dz =i ρ
2
∮
C
[v̄(z)]2dz (2.31)
Sila pritiska kojom fluid deluje na element konture AB konture C ograniqene taqkama A(z =
zA) i B(z = zB) se mo�e odrediti primenom izraza:
F̄p = Fp,x − i Fp,y =i ρ
2
∫
AB
[v̄(z)]2dz − i
(
p+1
2ρ v2
)
(z̄B − z̄A) (2.32)
gde je p+ 12ρv
2 = const, i gde su z̄B = xB − i yB i z̄A = xA − i yA konjugovano kompleksni brojevi zA i
zB.
U slede�oj tabeli su dati kompleksni poten ijalni osnovnih struja�a, qijim se superponira�em
mogu dobiti slo�ene strujne slike.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 12
w(z) = v∞ z e−i β
Uniformna struja intenziteta v∞ pod uglom β u
odnosu na pozitivan smer x-ose
v∞
PSfrag repla emen
x
y
β
w(z) =ε
2 πln (z − z0)
Struja�e u pou osamenog (linijskog) izvora
izdaxnosti ε, ε > 0 smextenog u taqki z = z0.PSfrag repla emen
x
y
z = z0
w(z) =ε
2 πln (z − z0)
Struja�e u pou osamenog (linijskog) ponora
izdaxnosti ε, ε < 0 smextenog u taqki z = z0.PSfrag repla emen
x
y
z = z0
w(z) =M e i β
2 π (z − z0)
Struja�e u pou osamenog dvopola momenta M
smextenog u taqki z = z0, qija je osa nagnuta pod
uglom β u odnosu na pozitivan smer x-ose.
PSfrag repla emen
x
y
z = z0
β
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 13
w(z) =Γ
2 π iln (z − z0)
Struja�e u pou osamenog vrtloga irkula ije
Γ smextenog u taqki z = z0; kada je Γ > 0 u pi-
ta�u je je vrtlog pozitivne irkula ije, sa pozi-
tivnim matematiqkim smerom obrta�a , kao na
sli i. Ako je Γ < 0, smer obrta�a je suprotan.
PSfrag repla emen
x
y
z = z0
w(z) = a zn
Struja�e u 2n uglova, gde je a = const. Na sli i
je prikazano struja�e opisano kompleksnim po-
ten ijalom w(z) = −z2, zaustavna taqka je u ko-
ordinatnom poqentku, z = 0.PSfrag repla emen
x
y
2.4 Zada i
1. Za sluqaj da je ravansko struja�e nestixivog fluida definisano strujni ama u obliku kon-
entriqnih krugova i veliqninom apsolutne brzine propor ionalne n-tom stepenu rastoja�a
od entra, ispitati da li je za n = 0, n = 1 i n = −1 struja�e vrtlo�no i odrediti vrednost
irkula ije po krugu polupreqnika R.
2. Ako je poten ijal brzine ravanskog nevtrlo�nog strujnog poa odreÆen funk ijom
ϕ(r, θ) = −√r3 sin
(3
2θ
)
odrediti protok kroz konturu omeÆenu taqkama A(
2,π
6
)
i B(
3,π
9
)
.
3. Zadata je jedna projek ija brzine sta ionarnog poa ravanskog poten ijalnog struja�a nestix-
ivog fluida:
vy =2− y
(x+ 3)2 + (y − 2)2
• Odrediti kompleksnu brzinu v̄(z), ako je vx(−3, 5) = 0.
• Odrediti kompleksni poten ijal ako je w(−2, 2) = 0 i na rtati strujnu sliku ovog struja-
�a.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 14
4. Ravansko poten ijalno struja�e opisano je kompleksnim poten ijalom
w(z) =12(3 + i
√3)
z − 3− i√3
izlo�eno je dejstvu jednolije struje koja zaklapa ugao α = 30◦ sa pozitivnim smerom x ose i ima
intenzitet v∞ = 2√3m/s. Odrediti:
(a) Kompleksni poten ijal, strujnu funk iju, jednaqinu nulte strujni e i zaustavne taqke ovog
slo�enog struja�a.
(b) Na rtati strujnu sliku sa smerom struja�a.
(v) Odrediti polo�aj i vrednost minimalnog pritiska na nultoj strujni i, ako je gustina
fluida ρ = 1000 kg/m3, a pritisak u beskrajno dalekim taqkama p∞ = 1bar.
5. Ravansko poten ijalno struja�e nestixivog fluida se ostvaruje u z-ravni dejstvom jednolike
struje paralelne pravoj y = −x, na osameni izvor izdaxnosti ε = 2π koji se nalazi u koordi-
natnom poqetku.
(a) Odrediti intenzitet jednolike struje, ako se zna da je taqka (-1, 1) zaustavna taqka ovog
slo�enog struja�a.
(b) Odrediti smer struja�a i ski irati strujnu sliku.
(v) Ako je gustina fluida ρ = 1000 kg/m3, a pritisak u beskrajno dalekim taqkama p∞ = 105Pa,
odrediti vrednost pritiska u taqki M(2, 0).
(g) Funk ijom
(Z + 2i)2
(Z − 2i)2= z2 exp[(1 + i)z]
dato struja�e preslikati u ravan Z. Odrediti strujnu funk iju Ψ(X, Y ) i ski irati
strujnu sliku sa na�anaqenim smerom struja�a i sraqunati protok kroz konturu Y = 0.
6. Zadata je kompleksna brzina ravanskog poten ijalnog struja�a mestixivog fluida:
v̄(z) =3z
z2 − z − 2
(a) Odrediti komplesksni poten ijal w(z) ovog struja�a ako je w(3) = ln 4 i ski irati strujnu
sliku.
(b) Odrediti raspodelu projek ije brzine vx du� y ose kao i taqku u kojoj je �en intenzitet
maksimalan. Koliko iznosi taj intenzitet?
7. Duga porozna ev postavena je na rastoja�u a od ravnog zida. Protok vode po duznom metru
evi je V̇ . Dodava�em struja�a koje je opisano poten ijalom brzine ϕ3 = k (x2 − y2), i uslovom
ψ3(0) = 0, dobija se kontura koja je prikazana na sli i. Sada voda iz evi dopire najdae do
visine. Odrediti:
(a) Konstantnu k, k = k(V̇ , a, h) u opxtim brojevima, kao i za konkretne vrednosti a = 2m,
h = 3m i V̇ = 5π (m3/s)/m.
(b) Jednaqinu konture koja razdvaja vodu iz evi od vode pridodatog struja�a.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 15
2.4.1 II kolokvijum xkolske 2003/'04. godine
1. Jednolika struja brzine v0 = 1m/s opstrujava izvor i ponor jednakih izdaxnosti ǫ = 4π koji
se nalaze na rastoja�u 2a = 10m (slika 1). Odrediti strujnu funk iju, poten ijal brzine i
pokazati da je strujna funk ija koja prolazi kroz zaustavnu taqku nulta strujni a.
(30 poena)
v
2a
Slika 1
2. Polu ilindriqna graÆevina polupreqnika R i du�ine L izlo�ena je dejstvu vetra na naqin
prikazan na sli i 2. Odrediti pod kojim uglom θ0 treba napraviti otvor tako da sila kojom
vazduh deluje na polu ilindriqnu konstruk iju bude nula. Smatrati da se radi o poten ijalnom
struja�u vazduha.
(40 poena)
PSfrag repla emen
θ0
LR
v∞, p∞
PSfrag repla emen
θ0
R
v∞, p∞
Slika 2
3. Struja�e u tornadu mo�e se predstaviti kao ravansko poten ijalno struja�e u pou vrtloga i
ponora koji su smexteni u istoj taqki. Ako je brzina vetra, na mestu udaenom 6km od jezgra
tornada, 20m/s, a pritisak 98kPa, na�i brzinu i pritisak na mestu koje je udaeno 1km od
jezgra.
(30 poena)
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 16
2.4.2 II kolokvijum xkolske 2004/'05. godine
1. Tri izvora jednakih izdaxnosti ε = 2π (m3/s)/m se nalaze na jednakim suk esivnim rastoja-
�ima a = 1m (slika 1).
• Odrediti kompleksni poten ijal, strujnu funk iju, jednaqinu nulte strujni e i zaustavne
taqke ovog struja�a.
• Na rtati strujnu sliku sa smerom struja�a.
• Odrediti protok kroz konturu ograniqenu taqkama A (−1,√2), B (1,
√2).
(50 poena)
PSfrag repla emen
εεε
x
y
aa
A B
Slika 1
1. Na rastoja�u h = 1m od ravne beskonaqne ploqe nalazi se vrtlog pozitivne irkula ije Γ (slika
2). U taqki M sa koordinatama (h, h) izmerene su vrednosti (intenziteta) brzine i pritiska:
vM = 2√5m/s i pM = 1bar. Odrediti:
• vrednost irkula ije Γ,
• raspodelu pritiska p = p(x) du� ploqe, ako je ρ = 1.25 kg/m3
• na osnovu odreÆene raspodele pritiska, napisati izraz pomo�u kojeg se mo�e izraqunati
sila pritiska po jedini i du�ine (N/m) na deo ploqe izmeÆu taqaka x1 = −h i x2 = h.
(50 poena)
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
PSfrag repla emen
x
y
Γ
x1 x2
0
h
M (h, h)
Slika 2
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 17
2.4.3 Drugi kolokvijum xkolske 2005/'06. godine
1. Ravansko struja�e nestixivog fluida, odreÆeno je strujnom funk ijom ψ(x, y) = ay2− bx2, gdesu a i b realne konstante (a, b ∈ R).
(a) Pokazati da je ovo struja�e u opxtem sluqaju vrtlo�no.
(b) Odrediti uslov pod kojim struja�e postaje nevrtlo�no i za taj sluqaj na�i kompleksnu
brzinu v̄(z), kompleksni poten ijal w(z) i poten ijal brzine, ako je graniqni uslov w(0) =
0.
(v) Odrediti nulte strujni e, polo�aj zaustavne taqke i na rtati strujnu sliku.
(35 poena)
2. Preko ravnomerno perforiranog dela evi visine H = 5m usisava se zapreminskim protokom V̇
voda iz jezera (slika 1). Cev se nalazi na rastoja�u a = 1m od obale. Ako je u taqki A intenzitet
brzine v = 5m/s, odrediti zapreminski protok V̇ . Smatrati da se ev mo�e modelirati kao
ponor qija je izdaxnost odreÆena izrazom ε = −V̇ /H (problem razmatrati u horizontalnoj ravni
- slika 1b).
(30 poena)
���������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
PSfrag repla emen
H
a
a
a
a
V̇
A
A
(a) (b)
Slika 1
3. Oblik brda, koje je izlo�eno dejstvu vetra, mo�e se aproksimirati jednom od strujni a koja se
formira prilikom a ikliqnog opstrujava�a ilindra polupreqika R (slika 2). Maksimalna
visina brda je H = 3R/4. Odrediti intenzitet brzine i pritisak na vrhu brda, ako su pritisak
i brzina u beskrajno dalekim taqkama u podno�ju brda p∞ = 1bar i v∞ = 20m/s. Gustina
vazduha je ρ = 1.2 kg/m3. Smerni a: prvo odrediti rastoja�e h.
(35 poena)
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
PSfrag repla emen
x
y
H
h
R
p∞, v∞
Slika 2
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 18
2.4.4 Jox malo o kompleksnim brojevima i kompleksnim funk ijama
Iako su ve� date neki osnovni izrazi vezani za opera ije sa kompleksnim brojevima, ovde �e se
malo detanije analizirati pojam argumenta kompleksnog broja. Pa krenimo redom.
U kompleksnoj ravni taqka sa koordinatama (a, b), a ∈ R, b ∈ R odgovara kompleksnom broju
z = x + i y. Ovo je zapis kompleksnog broja u Dekartovim
1
pravouglim koordinatama. Taqka (a b) se
mo�e predstaviti i preko polarnih koordinata - rastoja�a od koordinatnog poqetka r i preko ugla
θ, odnosno kao z = r cos θ + i sin θ. Ovo je trigonometrijski zapis kompleksnog broja - r predstava
modul kompleksnog broja, r ≡ |z| =√
(Re z)2 + (Im z)2 =√a2 + b2, dok je θ (ugao izmeÆu potega r i
pozitivnog smera x ose) argument kompleksnog broja. Korix�e�em Ojlerove formule, kompleksni
broj se mo�e prikazati i u eksponen ijalnom obliku z = |z|eiθ.
r
PSfrag repla emen θ
a a
b b
x ≡ Rez x ≡ Rez
y ≡ Imz y ≡ Imz
Slika 2.7: Razni naqini predstava�a kompleksnog broja.
Kako bi se izbegle vixeznaqnosti po pita�u argumenta kompleksnog broja (neka dva kompleksna
broja z1 i z2 imaju isti moduo, |z1| = |z2|, a neka je, re imo θ1 = 3π/2, a θ2 = −π/2 - ovo su dva identiqnakompleksna broja), u kompleksnoj analizi se definixe pojam glavne vrednosti argumenta, koji se
obele�ava sa arg z i koji mo�e imati vrednosti od u intervalu od −π do π, ili pak u intervalu od 0
do 2π.
−π < arg z < π − glavna vrednost argumenta kompleksnog broja (2.33)
Pored glavne vrednosti argumenta, definixe se i uopxtena vrednost argumenta, Arg z,
Arg z = arg z + 2kπ, (k ∈ Z) − uopxtena vrednost argumenta kompleksnog broja (2.34)
Dakle, jednakost kompleksnih brojeva z1 i z2 povlaqi za sobom i |z1| = |z2| i arg z1 = arg z2, dok ne
povlaqi za sobom i jednakost �ihovih uopxtenih argumenata.
Prilikom odreÆiva�a glavne vrednosti argumenta kompleksnog broja z, mora se voditi raquna
o tome u kom se kvadrantu kompleksne ravni on nalazi.
Neka je θ vrednost glavnog argumenta kompleksnog broja, slika 2.8.
1
Poxto sam �eleo da se posvetim samo tra�e�u istine, smatrao sam da moram odba iti kao krivo sve o qemu bih mogao
i najma�e sum�ati, da vidim ne�e li nakon toga ostati i nexto u mom uvere�u, xto bi bilo izvan svake sum�e. Budu�i da
nas naxa qula ponekad varaju, hteo sam pretpostaviti, da nema stvari, koje bi bile takve kakve nam se prikazuju. . . Ali sam
odmah zatim primetio, da, dok sam hteo tako misliti, da je sve krivo, nu�no treba da ja, koji mislim, jesam nexto. I poxto
mi je bilo jasno da je ova istina: mislim, dakle jesam, tako qvrsta i tako pouzdana da je ni najpreteranije pretpostavke
skeptika nisu u sta�u uzdrmati, prosudio sam da je bez promixa�a mogu prihvatiti kao prvo naqelo filozofije kojom
sam se bavio.- Rene Dekart (1596-1650)
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 19
• θ = arg z, −π < θ < π, i takoÆe je α = arctg∣∣∣b
a
∣∣∣2
PSfrag repla emen
θ
θ
θ
θ
a
a
bb
α
α
−a
−a
−b−b
(a) Prvi kvadrant (b) Drugi kvadrant
(v) Tre�i kvadrant (g) Qetvrti kvadrant
z z
zz
θ = arctg∣∣∣b
a
∣∣∣ θ = π − α = π − arctg
∣∣∣b
a
∣∣∣
θ = −π + α = −π + arctg∣∣∣b
a
∣∣∣ θ = −α = −arctg
∣∣∣b
a
∣∣∣
Slika 2.8: OdreÆiva�e vrednosti glavnog argumenta kompleksnog broja
MeÆutim, vrednost glavnog argumenta se mo�e definisati u intervalu arg z ∈ [0, 2π), tako da �e
se izrazi u sluqaju da se kompleksni broj nalazi u tre�em i qetvrtom kvadrantu, izrazi za vrednost
glavnog argumenta razlikovati:
• Tre�i kvadrant: θ = π + α = π + arctg∣∣∣b
a
∣∣∣
• Qetvrti kvadrant: θ = 2π − α = 2π − arctg∣∣∣b
a
∣∣∣
2
U skupu realnih brojeva R, funk ija arctg x uzima vrednosti iz intervala −π/2, π/2, tj. −π/2 < arctg x < π/2, za−∞ < x < ∞, i takoÆe va�i arctg (−x) = −arctg x.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 20
TakoÆe, ovde se daje jox dve korisne rela ija, a vezane su za zbir
arg(z1) + arg(z2) = arg(z1 z2) (2.35)
odnosno razliku
arg(z1)− arg(z2) = arg
(z1z2
)
(2.36)
argumenata kompleksnog brojeva z1 i z2.
Primer 2.1. Ako je struja�e fluida opisano kompleksnim poten ijalom w(z) = ln(z+2i)− ln(z− 2i)
na rtati strujnu sliku i odrediti protok kroz konturu y = 0.
Na osnovu zadatog kompleksnog poten ijala, i imaju�i u vidu izraze za osnovne komplesne poten ijale,
zakuqujemo da se radi u struja�u u pou izvora i ponora jednakih izdaxnosti ε = 2π, smextenih
u taqkama z = −2i (izvor) i z = 2i (ponor). Kako su strujni e odreÆene izrazom ψ = const, treba
odrediti imaginarni deo kompleksne funk ije w(z).
w(z) = ln(z + 2i)− ln(z − 2i) ≡ ϕ(x, y) + i ψ(x, y)
Realni i imaginarni deo kompleksne funk ije ln(z+2i), odnosno ln(z−2i) se odreÆuje na slede�i
naqin:
ln(z + 2i) = ln [x+ i(y + 2)] = ln(r1 e
i θ1)
gde su
r1 = |x+ i(y + 2)| =√
x2 + (y + 2)2 i θ1 = arg[x+ i(y + 2)].
Sliqno za ln(z − 2i):
ln(z − 2i) = ln [x+ i(y − 2)] = ln(r2 e
i θ2)
gde su
r2 = |x+ i(y − 2)| =√
x2 + (y + 2)2 i θ2 = arg[x+ i(y − 2)].
Dakle, realni i imaginarni deo kompleksnog poten ijala w(z) su:
w(z) = ln r1 − ln r2 + i (θ1 + θ2) =⇒ ψ = θ1 + θ2 ≡ arg[x+ i(y + 2)]− arg[x+ i(y − 2)]
Dae se izraz za strujnu funk iju uslovno
3
mo�e napisati i kao:
ψ(x, y) = arctgy + 2
x− arctg
y − 2
x
Koriste�i trigonometrijsku rela iju za zbir funk ije arctg, dolazi se do slede�eg izraza
ψ(x, y) = arctg4x
x2 + y2 − 4
iz koga slede da su strujni e krugovi qiji se entri nalaze na x-osi i koji prolaze kroz taqke u
3
Jednostavno, arg z i arctg(Im z/Re z) su veoma sliqne funk ije, ali nemaju iste vrednosti u svim taqkama z ravni!
O tome se mora voditi raquna prilikom odreÆiva�a vrednosti strujne funk ije u nekoj taqki z ravni.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 21
PSfrag repla emen
x
y
Slika 2.9: Struja�e u pou izvora i ponora smextenih u taqkama z = −2i i z = 2i.
kojima su smexteni izvor i ponor. Strujni e su odreÆene izrazom:
arctg4x
x2 + y2 − 4= C =⇒ (x− 2C1)
2 + y2 = 4(1 + C21 ), C1 = ctgC
Nulta strujni a, ψ(x, y) = 0, je x = 0.
Do izraza za strujnu funk iju je mogu�e do�i i na slede�i naqin:
ψ(x, y) = arg[x+ i(y + 2)]− arg[x+ i(y − 2)] = arg
[x+ i(y + 2)
x+ i(y − 2)
]
= arg
[x2 + y2 − 4
x2 + (y − 2)2+ i
4x
x2 + (y − 2)2
]
odnosno, (uslovno)
ψ(x, y) = arctg4x
x2 + y2 − 4
Protok kroz neku konturu ograniqenu taqkama A i V u sluqaju dvodimenzijskih poten ijalnih
struja�a se mo�e odrediti na osnovu izraza (2.28). Sada �e biti pokazano da �e se u sluqaju da se
vrednost strujne funk ije odreÆuje preko raquna�a funk ije arctg dobiti pogrexni rezultat!
Ako primenimo izraz (2.28) za raquna�e protoka kroz x osu, taqke V i A su odreÆene koordina-
tama B (−∞, 0) i A(∞, 0).
• Prvi naqin odreÆiva�a vrednosti strujne funk ije u taqkama A i V - pogrexan!
ψB = arctg2
−∞ − arctg−2
−∞ = 0
ψA = arctg2
+∞ − arctg−2
+∞ = 0
pa je protok kroz konturu jednak nuli, xto je, gledaju�i sliku pogrexno - jasno je da �e protok
x osu biti jednak izdaxnosti izvora (ponora), tj. V̇ = 2π!
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 22
• Drugi naqin odreÆiva�a vrednosti strujne funk ije (argument definisan u intervalu −π ≤arg z < π) :
ψB = arg (−∞+ 2i)︸ ︷︷ ︸
II kvadrant
− arg (−∞− 2i)︸ ︷︷ ︸
III kvadrant
= π − arctg∣∣∣
2
−∞∣∣∣−
(
−π + arctg∣∣∣−2
−∞∣∣∣
)
= 2π
ψA = arg (+∞+ 2i)︸ ︷︷ ︸
I kvadrant
− arg (+∞− 2i)︸ ︷︷ ︸
IV kvadrant
= arctg∣∣∣
2
+∞∣∣∣− arctg
∣∣∣−2
−∞∣∣∣ = 0.
Ako se izabere vrednost argumenta u opsegu 0 ≤ arg z < 2π, dobija se
ψB = arg (−∞+ 2i)︸ ︷︷ ︸
II kvadrant
− arg (−∞− 2i)︸ ︷︷ ︸
III kvadrant
= π − arctg∣∣∣
2
−∞∣∣∣−
(
π + arctg∣∣∣−2
−∞∣∣∣
)
= 0
ψA = arg (+∞+ 2i)︸ ︷︷ ︸
I kvadrant
− arg (+∞− 2i)︸ ︷︷ ︸
IV kvadrant
= arctg∣∣∣
2
+∞∣∣∣−
(
2π − arctg∣∣∣−2
−∞∣∣∣
)
= −2π
Protok je sada, saglasno izrazu (2.28), V̇ = ψB − ψA = 2π! Dobijena je ista vrednost protoka
za oba intervala u kojima se definixe argument, iako se vrednosti u taqkama A i B pojedinaqno
razlikuju.
Dakle, u sluqaju kada u strujnom pou imamo neki singulatitet tipa izvora (ponora) ili vr-
tloga, odnosno struja�e koje je opisano poten ijalom u kome �e figurisati kompleksna analitiqka
funk ija ln(z − z0), u izrazu za strujnu funk iju kod izvora ili ponora, odnosno za poten ijal br-
zine kod vrtloga figurisa�e funk ija arg(z − z0), i ako treba odreÆivati vrednost strujne funk ije
(poten ijala brzine) u nekoj taqki strujnog poa treba koristiti pravila za odreÆiva�e argumenta
opisana u prethodnim redovima.
Protok kroz neku konturu (povrx) se uvek mo�e odrediti integra ijom vektora brzine po toj
konturi.
4
Kompleksna brzina je odreÆena izvodom kompleksnog poten ijala po z, tj.
v(z) =dw
dz=
1
z + 2i− 1
z − 2i= −i 4
z2 + 4
Kompleksna brzina na x-osi se jednostavno odreÆuje tako xto se z u prethodnom izrazu zameni sa x
v(z)∣∣z=x
= −i 2
x2 + 4≡ vx
∣∣z=x
− i vy∣∣z=x
Dakle, raspodela (intenziteta) brzine na x-osi je odreÆena izrazom v(x) = 4/(x2+4), i vektor brzine
u svakoj taqki x ose je usmeren u pozitivnom smeru y ose. Zapreminski protok je odreÆen izrazom
4
Zapreminski protok je kroz neku povrx je odreÆen fluksom vektora brzine kroz tu povrx, V̇ =∫A~v · ~ndA, gde je ~n
vektor normale elementarne povrxi dA.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 23
(vektor brzine i vektor normale elementarnih povrxi su kolinearni u svakoj taqki x-ose):
V̇ =
∫
A
~v • ~ndA =
∫
A
vy dA︸︷︷︸
dx·1
=
+∞∫
−∞
vy(x) dx =
+∞∫
−∞
4
x2 + 4dx
=
+∞∫
−∞
dx
1 +(x2
)2 = 2 arctgx
2
∣∣∣
+∞
−∞
= 2 [ arctg(+∞)− arctg(−∞)]
= 2[π
2−(
−π2
)]
= 2π
�
2.5 Korix�e�e programskog paketa Mathematica
Mathematica je vode�i softverski paket za tzv. simboliqki raqun. Autor Mathematica-e je
Stefan Volfram (Stephen Wolfram) i prva verzija je ugledala svetlo dana 1988. godine, i tada je
predstavala pravu revolu iju u nauqnom svetu. Mogu�nosti ovog softvera su ogromne, i do sada je
objaveno oko 300 (!) k�iga koje se �ime bave. Posled�a verzija je 5.2.
Startova�em Mathematica-e dobija se prazan prozor (Notebook), u koga se unose odgovaraju�e
komande. Komunika ija sa programom je interaktivna. Kada zavrxite sa unosom sa Shift+ Enter
dajete naredbu kernelu da izvrxi odgovaraju�u komandu.
Prilikom instala ije Mathematica-e instalira se i �en odliqno uraÆeni Help Browser, sa veoma
jasnom naviga ijom.
U slede�im primerima �e se pokazati primena Mathematica-e za rexava�e problema iz dvodi-
menzijskih poten ijalnih struja�a nestixivog fluida.
Primer 2.1 Izvor izdaxnosti ε = 2π (m3/s)/m, smexten je u taqki z = −4. Na osnovu Milne-
Thompson-ove teoreme (teoreme o kru�ni i), odrediti kompleksni poten ijal struja�a koje simu-
lira opstrujava�e ilindra polupreqika R = 2m datim izvorom. Primenom programskog paketa
Mathematica na rtati strujnu sliku.
Primenom teoreme o kru�ni i na neku zadati kompleksnu funk iju f(z) (u naxem sluqaju to je kom-
pleksni poten ijal izvora), dobija se nova kompleksna funk ija F (z) qija je jedna linija Im[F (z)] =
const u kompleksnoj ravni kru�ni a polupreqnika R. Teorema o kru�ni i se opisuje izrazom:
F (z) = f(z) + f̄
(R2
z
)
(2.37)
Kompleksni poten ijal izvora ε = 2π, smextenog je u taqki z = −4 je odreÆen izrazom:
f(z) =ε
2πln(z − z0) = ln(z + 4)
Prime�uju�i teoremu o kru�ni i na dati kompleksni poten ijal f(z) dobija se novi kompleksni
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 24
poten ijal w(z):
w(z) = f(z) + f̄
(R2
z
)
= ln(z + 4) + ln
(22
z+ 4
)
= ln(z + 4) + ln[4(z + 1)]− ln z = ln(z + 4) + ln(z + 1)− ln z + ln 4
Dakle, izvoru je pridodat jos jedna izvor iste izdaxnosti, smexten u taqki z = −1 i ponor izdax-
nosti ε = −2π smexten u koordinatnom poqetku. Mo�e se pokazati analitiqki da je nulta strujni a
struja�a koje je opisano ovim kompleksnim poten ijalom kru�ni a polupreqnika R = 2 smextena
u koordinatnom poqetku. Sada �emo, koriste�i Mathematica-u, na rtati strujnu sliku i odrediti
polo�aje zaustavnih taqaka.
Sledi algoritam rta�a strujni a za zadati kompleksni poten ijal u Mathematica-i:
1. Definixi kompleksni broj:
z = x+ I ∗ y
Sa I se oznaqava imaginarna jedini a i; takoÆe znak ∗, koji oznaqava mno�e�e se mo�e i izosta-viti, ali su u tom sluqaju mora napraviti razmak izmeÆu brojeva koji se mno�e, tj. z = x + I y.
2. Definixi kompleksni poten ijal
w[z] = Log[z+ 4] + Log[4 (z + 1)]− Log[z]
Funk ija Log[x] predstava prirodni logaritam broja x, tj. funk iju lnx. Logaritam neke
proizvone baze b broja x se pixe kao Log[b, x].
3. Odredi strujnu funk iju:
strujnafunkcija= ComplexExpand[Im[w[z]]]
Sa komandom ComplexExpand[w[z]] dobija se realni i imagionarni deo kompleknog poten ijala;
komandom ComplexExpand[Im[w[z]]] dobija se samo imaginarni deo kompleksnog poten ijala.
4. Na rtaj strujni e:
strujnice = ContourPlot[strujnafunkcija, {x,−5,5}, {y,−5,5}, PlotPoints− > 200,
ContourShading−> False, Contours−> 50]
Posle startova�e ove komande dobija se slede�a slika:
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 25
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
5. Na rtaj kru�ni u sa entrom u koordinatnom poqetku i polupreqnika R = 2:
kruznica = Graphics[Circle[{0, 0}, 2]
6. Prikazi na jednom grafiku strujni e i kru�ni u:
strujnaslika= Show[strujnice, kruznica]
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 26
OdreÆiva�e zaustavnih taqaka
7. Neka z bude nezavisna prome�iva:
Clear[z]
8. Diferen iraj kompleksni poten ijal po z - odredi kompleksnu brzinu
v[z] = D[w[z], z]
9. Odrediti polo�aje zaustavnih taqaka:
zT = Solve[v[z] == 0, z]
10. Na rtaj zaustavne taqke:
ztacke = ListPlot[{{−2, 0}, {2, 0}}, PlotStyle−> PointSize[0.02]]
11. Prika�i na jednom dijagramu strujnu sliku sa zaustavnih taqkama:
finale = Show[ztacke, strujnaslika]
-4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
Primer 2.2 Primenom programskog paketa Mathematica prikazati strujne slike ikliqnog opstru-
java�a ilindra polupreqnika R = 1m, za karakteristiqne vrednosti irkula ije Γ. Poznato je da
je v∞ = 5m/s.
A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 27
Cikliqno opstrujava�e ilindra se opisuje slede�im kompleksnim poten ijalom:
w(z) = v∞z +M
2πz+iΓ
2πln z = v∞
(
z +R2
z
)
Diferen ira�em izraza za komplesni poten ijal po z, dobija se kompleksna brzina v̄(z). Iz-
jednaqava�em tog izraza sa nulom, dobija se kvadratna jednaqina qija rexe�a odreÆuje polo�aje
zaustavnih taqaka:
z1,2 =−iΓ±
√
−Γ2 + 16π2 v2∞R2
4π v∞
U zavisnosti od vrednosti izraza pod korenom, −Γ2 + 16π2 v2∞R2
, mo�emo imati slede�e sluqa-
jeve:
• Γ < 4π v∞R - postoje dve zaustavne taqke na konturi ilindra
• Γ = 4π v∞R - postoji jedna zaustavna taqka na dnu ilindra
• Γ > 4π v∞R - postoji jedna zaustavna taqka i ona se ne nalazi na konturi ilindra
Prime�uju�i istu metodologiju kao u prethodnom primeru, dobijaju se slede�e strujne slike:
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
Γ < 4π v∞R Γ = 4π v∞R Γ > 4π v∞R
Zbog simetrije u odnosu na y osu, sila otpora je, kao i sluqaju a ikliqnog opstrujava�a i-
lindra (uniformna struja + dvopol) jednaka nuli. MeÆutim, dodava�e vrtloga ima za posledi u
nesimetriqnu sliku u odnosu na x osu, tako da se �e se dobiti neka sila koja deluje na ilindar u
vertikalnom prav u - to je sila uzgona. Ta sila se mo�e odrediti integrae�em poa pritiska na
konturi ilindra, i pritom se dobija da je ona jednaka:
L = ρ v∞Γ (2.38)
Ovo je zadivuju�i rezultat, koji nam ka�e da je sila uzgona propor ionalna irkula iji Γ i brzini
v∞, i da je nezavisna od geometrije ilindra. Ovaj fenomen je poznat pod imenom Magnusov efekat.
Ovaj rezultat su Kuta (Kutta) i �ukovski (Jaukowski) malo uopxtili:
Sila uzgona koja deluje na telo u struji neviskoznog fluida je propor ionalna
ukupnoj irkula iji oko tela. Smer sile uzgona je pod uglom od 90◦ u odnosu na
smer struja�a, rotiran u suprotnom smeru od smera irkula ije.