Mehanika gravitacijenebeski balet

Geocentrizam vs. heliocentrizam

Tek prije 500 godina poljski svećenik Nikola Kopernik (1473. – 1543.)oživljava ideju grčkih mislilaca i stavlja Sunce umjesto Zemlje u centarstvaranja – De revolutionibus orbium celestrium (objavljenim tek nakonnjegove smrti).

Tycho Brahe (1546. - 1601.) uvjeren u geocentrizam; na temelju njegovihopažanja Marsa njegov asistent

Johannes Kepler (1571. - 1630.) dolazi empirijski do svoja tri zakona u djeluHarmonice mundi (1619.)

1. Keplerov zakonPlanetarne orbite imaju oblik elipse, u čijem je jednom fokusu Sunce.

e – numerički ekscentricitet staze

e = f / a

KONIKE (ČUNOSJEČNICE)

e = 0 kružnica

0 < e < 1 elipsa

e = 1 parabola

e > 1 hiperbola

f 0

poluosmalab

poluosvelikaa

OFOFf

stazetetekcentricilinearniduljinažarišnaf

21

22 baf

12

2

2

2

b

y

a

x Segmentni oblik jednadžbe elipse s ishodištem u (0,0)

Konike (Čunosječnice)

PRAKTIČAN RAD: CRTANJE ELIPSE

Nacrtajte elipsu pomoću konca, dvije pribadače, kartona i olovke.

Merkur 0.206

Venera 0.0068

Zemlja 0.0167

Mars 0.0934

Jupiter 0.0485

Saturn 0.0556

Uran 0.0472

Neptun 0.0086

Pluton 0.25

Izgled putanja s nekim vrijednostima ekscentriciteta:

Ekscentriciteti planetarnih orbita

2. Keplerov zakonPlaneti u jednakim vremenskim intervalima opisuju jednake površine.

Površinska brzina: omjer površine koju prijeđe radij vektor i vremenskog intervala.

2

hrA

.22

. constvr

t

hr

t

Anorm

m/

Lconstmrvn .

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kepler-second-law.gif

ZADATAK 1.

Odredite omjer najveće i najmanje udaljenosti Marsa od Sunca, tj. radij vektora uafelu i perihelu, a također i omjer trenutnih brzina u tim položajima. Numeričkiekscentricitet Marsove staze e = 0,093.

a

fe

far

far

m

M

205,11

1:/

e

ea

fa

fa

r

r

m

M

Perihel i afel: samo normalna komponenta brzine (2. Keplerov zakon):

205,1

.

m

M

A

P

PmAMn

r

r

v

v

vrvrkonstvr

3. Keplerov zakon Kvadrati ophodnih vremena planeta oko Sunca odnose se kao kubusi njihovih velikih poluosi.

r

GMv

r

mMG

r

vmF

2

2

2

=.

r

GMvk

r

GM

T

rv

22

k

2 MG

T

r22

3

4

Treći Keplerov zakon drugačije je napisana brzina kruženja:

„harmonija svjetova”

ZADATAK 2.

Izračunaj Sunčevu masu iz podataka o gibanju Zemlje: trajanje jednogophoda je godina, a radijus staze je 1 astronomska jedinica.

r

GM

T

rv

22

k

2 M

G

T

r22

3

4

kg

GT

rM

30918

11

2

26

392

2

3

1021061,5911039,3

10673,6

4

1054,31

)10150(4

Newtonov zakon gravitacije

rr

mMGF ˆ

2

221110673,6 kgNmG

Gravitacijska sila je uzajamna, centralna i privlačna!

Zakon vrijedi za MATERIJALNE TOČKE – točkaste mase.

A što kada tijela nisu točkasta? Gravitacijsko polje postaje vrlo složeno!

Treba sumirati po svim elementarnim masama i jednog i drugog tijela!

Uvjeti primjene Newtonovog zakona gravitacije

1. Između materijalnih točaka

2. Između homogenih kugli koje ne prodiru jedna u drugu

3. Između kugli u kojima gustoća ovisi samo o r, a kugle ne prodiru jedna u

drugu

Slobodni pad

Odredimo akceleraciju malenog tijela mase m koji se nalazi u polju sferne mase M.

Prema 2. Newtonovom aksiomu:

2

1

2r

mMGF

gmF

22 r

MGg

r

mMGmg

ZADATAK 3.

Masa Sunca i njegov polumjer mnogo je veća od mase i polumjera Zemlje. Koliko jeveća površinska akceleracija Sunca? MZ = 5,974·1024 kg RZ=6378 km, MS = 2·1030 kg,RS=6,96·105 km.

22

25

2

24

30

2

2

2

2

76,27581,911,28

11,28)1096,6(

6378

10974,5

102

s

m

s

mg

R

R

M

M

R

MG

R

MG

g

g

s

S

Z

Z

S

Z

Z

S

S

Z

S

ZADATAK 4.Razmak centara Zemlje i Mjeseca je u prosjeku 384 400 km. Na kojoj udaljenosti od Zemlje su privlačne sile Zemlje iMjeseca jednake a suprotnih smjerova? Kakvo rješenje daje negativni predznak drugog korijena? Uputa: odnosmasa Zemlje i Mjeseca je 81,3.

,

2

M

M

2

Z

Z

2

M

M

2

Z

Z

r

M

r

M

r

mMG

r

mMG

km400384MZ rr

09M

Z

M

Z ,M

M

r

r

3,81M

Z M

M

(1)

(2)

12 zr

km960345km 440 38-km400384r

km38440rkm4003849

Z

MMM

rr

Što je s negativnom vrijednosti rZ = - 9 rM ????Pozitivna vrijednost - položaj gdje su sile bile jednake nalazio se izmeđuMjeseca i Zemlje. Kada je omjer udaljenosti negativan, položaj jednakihsila mora se nalaziti s dalje strane Mjeseca. Sile mogu biti jednake i sbliže i s dalje strane Mjeseca

Kruženje satelita – 1. kozmička brzinaJedno je tijelo znatno veće mase od drugoga (satelita): M >> m . Centar staze je u centruonoga tijela koje ima znatno veću masu – u slučaju kružne staze to je centar kružnice, a uslučaju eliptične, to je žarište elipse (I. Keplerov zakon).

r

vg

r

mMG

r

vmF

2

2

2

=

Za Zemlju: kmrkgM 6378,106 24

skmv /92,7 1. kozmička brzina

Brzina kruženja na samoj površini – za bilo koju drugu visinu – treba računati novu vrijednost!

Oslobađanje satelita – 2. kozmička brzinaŠto se događa kada se brzina satelita poveća iznad brzine kruženja?Staza postaje sve izduženija – umjesto kružne postaje eliptična a zatim i parabolična – kadaće napustiti Zemljinu blizinu i otići u međuplanetarni prostor. Tada ima brzinu oslobađanja.

Potencijalna energija mase m u blizini mase M:

r

MmGEP

Dogovorno ima negativan predznak – s povećanjem razmaka EP postaje manje negativna, ana beskonačnoj udaljenosti iznosi 0.

Zamislimo proces oslobađanja tijela u slučaju kada je tijelo na početku mirovalo na Zemlji ana kraju mirovalo na beskonačnoj udaljenosti od Zemlje:

r

MmG

r

MmGrEE PP

0

Iz zakona sačuvanja energije, ta se energija mogla dobiti samo iz kinetičke energije koju smodali tijelu kada smo ga poslali sa Zemlje početnom brzinom v0:

r

GMv

r

MmG

mvEK

2

20

2

0 skmR

GMvZemljuZa /2,11

2: 0

Ako tijelo već kruži oko Zemlje (1. kozmička brzina) , do brzine oslobađanja (2. kozmičkabrzina) treba dovesti još toliko energije koliko je već ima:

r

GMv

r

GMvK

20

Kolika je ukupna energija tijela m koje se giba na stalnoj udaljenosti r oko tijela M?

2;

2

222

2

PK

p

U

KPKU

EE

EE

r

mMG

r

MmG

r

GMm

r

MmG

mvEEE

EK i EU su po iznosu jednake, i jednake su EP/2!

Vezani sustavi imaju negativnu energiju - da bi se sustav razdvojio –treba utrošiti energiju! Isto vrijedi i za atome u molekuli, atomskoj jezgri i elektronu……

ZADATAK 5.

Odredite brzinu oslobađanja s površine Mjeseca.

MM = 7,35·1022 kg RM = 1738 km

skmR

GMv

M

M /37,22

0

3. kozmička brzina

Brzina oslobađanja iz Sunčevog gravitacijskog polja, lansiranjem sa Zemlje:

skmr

GMv /1,42

10150

109891,110673,6229

3011

0

Ako lansiramo raketu u smjeru gibanja Zemlje koja se već giba brzinom od 29,8 km/sonda nam treba još ovoliko energije:

22/3,12

2/8,291,42

2skm

mskm

mEK

Ukupno raketi treba dati sljedeću energiju (da bi lansirana sa Zemlje svladala gravitacijska poljai Zemlje i Sunca):

skmvskmm

skmmmv

/6,16/3,122

/2,1122

3

222

3

KORISNO ZA UŠTEDU GORIVA!

Gibanje umjetnih satelitaMasa im je uglavnom zanemariva u odnosu na Zemlju; osim Zemlje na putanju satelitautječu i Sunce i Mjesec. Gravitacijsko polje Zemlje također je vrlo složeno zbog oblikaZemlje i rasporeda mase.

Drugi uzrok promjene putanje – je otpor atmosfere!

022

2;

2

222

2

PKPKP

PK

p

U

KPKU

EEEEE

EE

EE

r

mMG

r

MmG

r

GMm

r

MmG

mvEEE

VIRIJALNI TEOREM uvjet stabilnosti

Kada satelit prelazi na nižu stazu, potencijalnu energiju izgubi dvaputa više nego ukupnu, a kinetička energija poraste koliko seukupna energija smanji. Brzina kruženja na nižoj stazi je veća.

ZADATAK 6.

Izračunajte kolika je dodatna brzina potrebna satelitu koji oko Zemlje kruži s polumjerom 38 000 km da bi postigao brzinu oslobađanja?

r

mMG

r

MmG

r

GMm

r

MmG

mvEEE K

PKU222

2

Tijelo je slobodno kada ukupna energija poraste do nule, odnosno kada se udaljenost beskonačno poveća:

skmr

GMv

r

mMG

vm

/25,31038000

10610673,6

22

3

2411

2

Lakše je ubrzati tijelo kada je ono već u orbiti –astronautika!

Dinamika dvojnog sustava

2

21

r

MMGF

2

12

1

21

2

21

4

T

r

r

v

r

MGg

2

22

2

22

2

12

4

T

r

r

v

r

MGg

Sila između tijela je stalna – obje akceleracije stalne ako je razmak r stalan štozadovoljavaju koncentrične kružne staze .

Tijela obiđu staze u isto vrijeme – tijela se uvijek nalaze na dijametralno suprotnim točkama:r=r1+r2 što je jednako razmaku tijela. Ophodne brzine su u istom odnosu u kojem su iopsezi/polumjeri staza:

2

1

2

1

r

r

v

v

Polumjeri staza su obrnuto proporcionalni masama:1

2

2

1

M

M

r

r

Razmak tijela od zajedničkog centra kruženja obrnuto je proporcionalan masama tijela! – CENTAR MASE/TEŽIŠTE SUSTAVA

Složeno tijelo u gravitacijskom polju giba se kao da je sva masa postavljena u centar mase – a sama tijela obilaze oko centra mase.

Mjesec – Zemlja: oko Sunca po elipsi putuje centar mase sustava Zemlja-Mjesec

Jedina egzaktna metoda mjerenja zvjezdanih masa!

2

1

2

2

21

4

T

r

r

MGg

2

2

2

2

12

4

T

r

r

MGg

212

2

221 4

rrTr

MMG

21 rrr

)(4

2122

3

MMG

T

r

3. Keplerov zakon:

+

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Orbit2.gif

ZADATAK 7.

Izračunaj omjer privlačnih sila ovih parova: Sunca i Mjeseca te Zemlje i Mjeseca. Privlače li se jače Mjesec i Zemlja ili Mjesec i Sunce?

2,26,149

3844,0

106

1022

24

302

SM

ZM

Z

S

2

2

ZM

SM

r

r

M

M

r

MMG

r

MMG

F

F

ZM

MZ

SM

MS

Sunčeva privlačna sila dva je puta veća od Zemljine. Prema tome, Mjesec je prije Sunčev satelit nego Zemljin!

Dinamika trojnog sustavaSvi planeti su u međusobnoj interakciji – što dovodi do pertubacije ili poremećenja odgibanja prema Keplerovim zakonima. Poremećaj staze Urana pokrenula je traženje masekoja je dovela do otkrića Neptuna 1846., a zatim i Plutona 1930.

Rješenje je predvidivo jedino u slučaju kada je treća masa zanemariva prema prvoj idrugoj. Tada treće tijelo zadržava gotovo stalan položaj u odnosu na prva dva tijela, akose nalazi u Lagrangeovim točkama L1 do L5 – tada ima jednaki period revolucije.

Točke 4 i 5 nalaze se na vrhovima jedankokračnoga trokuta. U sustavu Sunce-Jupiter, oko tih točaka laviraju asteroidi Trojanci (ispred Jupitera asteroidiimaju imena grčkih ličnosti iz Trojanskoga rata, a iza Jupitera imaju imenabranitelja Troje).

U sustavu Sunce – Zemlja, u točku L1 ubacuju se opservatoriji koji proučavaju Suncei mjere Sunčev vjetar (npr. SOHO).

Kao predstraža dojavljuju nailazak plazme iz bljeskova i koroninih izbačaja te Sunčevekozmičke zrake – što može dovesti do poremećaja u Zemljinoj atmosferi: ugrozitidjelovanje komunikacijskih i drugih satelita, te pridonijeti izloženosti zračenju nazrakoplovnim visinama i tlu.

Tijelo u točki L1 giba se s istim periodom revolucije kao i Zemlja (iako je bliže Suncu, nevlada se po Keplerovim brzinama).

SOHO je ušao u halo-orbitu oko točke L1 u

kojoj ostaje, obilazeći je za 178 d. Preciznim

ubacivanje u stazu ušteđeno je gorivo koje će

se za korekciju položaja moći koristiti 20 god.

L1 je od Zemlje udaljena 1,5 mil. km.

Lansi-

ranje

2.XII.

1995.

Određivanje mase

METODA 1.Izmjerimo površinsko ubrzanje na Zemlji i polumjer:

G

gRM

R

mMGmg

2

2

METODA 2.Iz brzine kruženja satelita:

G

rvM

r

mMG

r

vm

2

2

2

Ako uzmemo brzinu kruženja Zemlje oko Sunca v=29,8 km/s i srednju udaljenost između njih r = 1,496·106 km :

kgkgNm

msmM 30

2211

923

10210673,6

10496,1)/108,29(

METODA 3.Iz 3. Keplerovog zakona

r

GMv

r

mMG

r

vmF

2

2

2

=.

r

GMvk

r

GM

T

rv

22

k

2 MG

T

r22

3

4

Treći Keplerov zakon drugačije je napisana brzina kruženja:

GT

rM

2

2

3 4

METODA 4.Iz 3. Keplerovog zakona za dvojne sustave, npr. dvojne zvijezde

2

1

2

2

21

4

T

r

r

MGg

2

2

2

2

12

4

T

r

r

MGg

212

2

221 4

rrTr

MMG

21 rrr

)(4

2122

3

MMG

T

r

3. Keplerov zakon:

+

1

2

2

1

M

M

r

r

Za točne iznose masa, potrebno je odrediti omjer njihovih udaljenosti od centra mase:

2

1

2

1

r

r

v

v

Omjer udaljenosti se određuje opažanjima ili spektroskopskim mjerenjem brzina jer je onjednak:

ZADATAK 8.

Odredite masu Venere na temelju podataka da je svemirska letjelica Mariner 2obilazila oko Venere na udaljenosti 35 100 km po kružnom luku brzinom 3,05 km/s.

METODA 2.Iz brzine kruženja satelita:

G

rvM

r

mMG

r

vm

2

2

2

Ako uzmemo brzinu kruženja letjelice Mariner 2 oko Venere v=3,05 km/s i srednju udaljenost između njih r = 35100 km :

kgkgNm

msmM 24

2211

323

1089,410673,6

1035100)/1005,3(

ZADATAK 9.

Kako je određena masa Mjeseca

Oko Sunca po elipsi putuje CM sustava Zemlja-Mjesec, Zemlja kao da „tetura” uritmu Mjesečevih obilazaka/faza. CM se giba Keplerovom brzinom, a Zemlja ili brzaili zaostaje za kut prividnog gibanja Sunca α = 6,44´´.

Udaljenost centra Zemlje od CM sustava r1 (luk kružnice polumjera 1 aj – udaljenostido Sunca):

kmradkmRr 3,46831022,3110150 66

1 Ta se točka nalazi unutar Zemljine kugle!

kmkmkmrrr 7,7163793,468340038412

Onda je udaljenost Mjeseca od CM = udaljenost od Mjeseca do Zemlje – udaljenost Zemlje do CM:

Prema metodi 4

8181

1

2 ZM

M

Z

M

Z MM

M

M

M

M

r

r

Na tijela u kugli polumjera r ne utječu one mase koje se nalaze izvan sfere, sve gravitacijskesile poništavaju se:

Sila na materijalnu točku unutar kugle

m1 r1

r2 m2m

r

rAVm

rAVm

222

111

Gdje su A1 i A2 površine baze valjka kojeg isjecaju mase ∆m1 i ∆m2 i koje su proporc.:

2

2

2

1

2

1

2

1

r

r

A

A

m

m

Mase ∆m1 i ∆m2 privlače tijelo mase m u suprotnim smjerovima jednakim silama:

2

2

222

1

11

r

mmGFi

r

mmGF

Rezultanta sila IŠČEZAVA!

Iako na tijelo mase m djeluju sve mase u svimljuskama raspoređene su po smjeru i veličini takoda se PONIŠTAVAJU!

2r

mrMGrF

Za svaku udaljenost r imamo:

3

3

4rVrM

mrG

rr

mGrF

3

4

3

4 3

2

Oblik sile nije Newtonovski – ova je sila proporcionalna s udaljenosti – poput elastične sile?

Raste do površine linearno gdje ima maksimum a onda opada s kvadratom udaljenosti! U centru je jednaka 0!

Što bi bilo s tijelom koje i slobodno padalo kroz otvor kroz Zemlju?Osciliralo bi od jedne do druge površine ako ne bi bilo otpora zraka!

Harmonijsko gibanje jer djeluje „elastična sila”!

Hidrostatski tlak i hidrostatska ravnoteža Tlak kojim svaka ljuska pritišće jednak je omjeru težine i površine ljuske:

rrgrr

grr

r

Vg

S

mgp

2

2

2 4

4

4

Tlak na nekoj dubini u kugli pri polumjeru r nastaje doprinosom svih ljuski iznad(polumjera većeg od r). Tlak je najveći u centru kugle!

Tlak u centru kugle (približan račun)Zamislimo da je cijela kugla jedna sferna ljuska čija je debljina ∆r = R (polumjer kugle).Za ubrzanje uzimamo ubrzanje na polovici polumjera kugle:

2

2

2

R

RMGg

R

gMR

R

gMrrgrp

4

2

2

HIDROSTATSKA RAVNOTEŽA SVEMIRSKOG OBJEKTA: hidrostatski tlak uravnotežen je s unutarnjim tlakom.

Tlak u centru kugle (korektan račun)

rrrgp dd

2r

rGMrg

rrrrMr

d4

0

2

rrrrr

Grrp

rR

r

dd40

2

2

Plimna sila i Rocheova granica

SUNCE SUNCE

MJESEC

MJESEC

22

21

2

2

/dr

GMmF

/dr

GMmF

2222

22

212/2/

2

2/2/

2/2/

drdr

rdGMm

drdr

drGMmdrGMmFFF

rd

342

2

r

dGMm

r

rdGMmF

Budući da se tijelo pruža u prostoru (d) na njegove dijelove djeluju nejednake sile - razlika tih sila je PLIMNA SILA.

Kada plimna sila postane destruktivnaPretpostavimo da su dvije mase m povezane jedino gravitacijskom kohezijom, i kadaje ta sila jednaka plimnoj – tijelo se nalazi na granici raspadanja:

FF

3332

2 22

d

m

r

M

r

dGMm

d

mG Ako na desnu stranu umjesto

mase tijela uvrstimo gustoću:

623

4 33

dd

Vm

33

3

3

1262

r

M

d

d

r

M

KRITIČNA GUSTOĆA (tijelo ostaje cijelo)

Rocheova granica- prirodni sateliti -

Saturnov prsten

Ako na desnu stranu umjesto mase tijela M koje uzrokuje plimu uvrstimo gustoću:

3

00003

4rVM

3

12

r

M

3

1

00

3

00352,2

3

412

rrr

r

ZADATAK 10.

Odredi plimnu silu između dviju masa od 1 kg vertikalno razmaknutih 1 m na površini:

a) bijelog patuljka (tijelo polumjera Zemlje a mase Sunca),

b) neutronske zvijezde (tijelo polumjera od 10 km a mase Sunca),

c) crne jame (polumjer 3 km, masa Sunca)!

N

mkgkgkgNm

r

dGMmF 03,1

106370

1110210673,622

33

302211

3

N

mkgkgkgNm

r

dGMmF 8

33

302211

3107,2

1010

1110210673,622

N

mkgkgkgNm

r

dGMmF 10

33

302211

31010

103

1110210673,622

Plima i udaljavanje Mjeseca

F

4 cm/god

Plimni valovi zaostaju za vrtnjom Zemlje i stoga je koče što smanjuje kutnu količinu gibanja.Kako u zatvorenim sustavima kutna količina gibanja mora biti sačuvana – smanjenjem količinegibanja Zemlje povećava se kutna količina gibanja Mjeseca:

rr

GMmrmrv

Zbog pojave plimnih ispupčenja, sila između dva tijela prestaje biti centralna. Tangencijalnakomponenta privlačne sile, Ft na dijelu Mjesečeva puta obavlja rad i povećava mu energiju –energija satelita povećava se tako da mu se poveća polumjer staze.Ukupna energija vezanog tijela je:

r

GMmmvEEE pku

2

2

rGMv /2

r

GMmEE

p

u22

Povećanjem energije satelita smanjuje mu se negativna vrijednost - povećava se polumjer staze.