Upload
adick-cool
View
742
Download
79
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Teknik sipil
Citation preview
MekanikaBahanBahan
Materi• Review Mekanika• Pengantar mekanika bahan• Sifat-sifat Penampang• Tegangan• Regangan• Regangan• Sifat-Sifat Mekanik Material• Beban Aksial• Torsi• Lentur• Tekuk pada kolom
Gere & Timonshenko. (1996). Mekanika Bahan, Edisi Kedua Versi SI, Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Hibeller. (1997). Mechanics of Material. Third Edition. Printice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458.
Literatur
Zainuri (2008). Kekuatan Bahan. CV. Andi Offset. Yogyakarta.
Callister, W.D., 1994, Materials Science and Engineering, New York; John Wiley and Sons.
Gere dan Timoshenko, S.P., 1990 Mechanics of Materials.
Hidgon, A., et. All., Engineering Mechanics, Vol. I : Static’s, Englewood cliff: Prentice Hall, 1976.
Meriam, J.L., Engineering mechanics, Vol, I: Static’s, New York : John Wiley and Sons, 1992.
Muvdi, B.B. dan McNabb, J.W., Engineering Mechanics of Materials, New York: Springer
Literatur
Mechanics of Materials, New York: Springer Verlag, 1991.
Popov, E.P., Mechanics of Materials, New Delhi: Prentice Hall, 1981.
Ugural, R.C. dan Fenster, S.K., Advanced Strength and Applied Elasticity, Englewood cliff: prentice Hall, 1987.
Review Mekanika
• Satuan tegangan : gaya / luas. • Dalam sistem internasional (SI) satuan tegangan :
–Pa = pascal = Newton/meter2 =
Satuan Gaya
–Pa = pascal = Newton/meter = N/m2
–1 kPa = 1 kilopascal = 103 Pa–1 MPa = 1 megapascal = 106 Pa = 106 N/m2 = 1 N/mm2
• 1 kg = 10 N
• Mekanika bahan : studi tentang hubungan
antara beban luar yang bekerja pada suatu
benda serta tegangan dan regangan yang
disebabkan oleh gaya dalam benda
Definsi Mekanika Bahan
disebabkan oleh gaya dalam benda
tersebut.
• Beban luar yang bekerja pada suatu benda
dapat berupa beban merata terdistribusi
dan beban terpusat.
Benda Kaku Benda Berdeformasi
A
B
∆∆∆∆S ∆∆∆∆S’
B’
A’
Benda Belum Dibebani :Konstan
Benda SudahDibebani :Berdeformasi
Sifat-Sifat Penampang
• Luas penampang
• Statis momen• Statis momen
• Titik Berat penampang
• Momen inersia penampang
Luas Penampang
p
l
a
td
Statis Momen
• Statis momen : luas dikalikan jarak titik
berat potongan.
• Fungsi statis momen : mencari titik berat
potongan dan letak garis netral.
∫
∫⋅±=
⋅±=
dAxSy
dAySx
Contoh statis momen
y
Sx = d . A= ½ h (b.h)= ½ bh2
x
Sy = d . A= ½ b (b.h)= ½ b2h
h
b
A
Syx =
Titik Berat Penampang
A
Sxy
A
=
• Momen inersia (I) : luas dikalikan jarak
titik berat kuadrat.
• Satuan : mm4, cm4, m4, dsb.
• Momen inersia menggambarkan
Momen Inersia
kemampuan suatu bahan dalam
menahan beban luar.
∫
∫=
=
dAxI
dAyI
2y
2x
Momen Inersia Beberapa Penampang
Ix = (1/12) b h3
Ix = (1/36) b h3
Ix = (ππππd4/64)
Contoh 1
30 cm
80 cm
60 cm
20 cm
Titik Berat
Sumbu y : 40 cm
Sumbu x : ………?
LI . y1 + LII . y2 = L . yLI . y1 + LII . y2 = L . y
(30 . 80) . 75 + (20 . 60) . 30 = 3600 . y
y = 60 cm
Jadi titik berat nya (60 cm, 40 cm)
Momen Inersia benda Ix
( )
( )
( ) ( )423
423
231
144000030 60.2060.20.1
720000 15 30.8030.80.12
1
.12
1Ix
cmIx
cm
Yohbbh
+=+=
=+=
+=
( ) ( )4
4232
2160000 Ix total
144000030 60.2060.20.12
cm
cmIx
=
+=+=
Momen Inersia benda ΙΙΙΙy
( )
( )
( ) ( )
43
231
1
12800000 80.3080.30.12
1
.12
1
=+=
+=
cm
XobhhbIy
( ) ( )4
432
cm 1320000 total
40000 20.6020.60.121
=
+=+=
Iy
cmIy
Contoh 2
10 20 10
10
30
20Satuan : mm
• Luas persegi luar = 40 . 60 = 2400 mm2
• Luas persegi lubang = 20 . 30 = 600 mm2
• Luas Total = 2400 – 600 = 1800 mm2
• Statis momen terhadap y dasar persegi
luar 2400 . 30 = 72000 mm3
• Statis momen terhadap y dasar persegi
lubang 600 . 35 = 21000 mm3
• Total statis momen = 72000 – 21000 =
51000 cm3
mmA
Ayy 3.28
1800
51000===∑∑
Posisi letak titik berat :
Inersia untuk daerah persegi luar :Inersia untuk daerah persegi luar :
( ) 4433
10.7212
6040
12mm
bhIo ===
( ) 4422 10.69.03.28302400 mmAd =−=
( ) 4433
10.50.412
3020
12mm
bhIo −=−=−=
( ) 4422 10.69.23.2835600 mmAd −=−−=
Inersia untuk daerah lubang
( ) ( )44
42
10.50.65
10.69.250.469.072
mm
IdAIiozz
=
−−+=+=∑
Inersia Total
Tegangan Normal
• Tegangan normal : tegangan yang
bekerja tegak lurus terhadap sumbu
batang, dimana tegangan geser tidak
terjadi.terjadi.
• Besarnya tegangan normal :
A
Pσ =
s
σσσσττττ
P3P4
Komponen-komponentegangan normal dan geser
Sign Convention:
Positif (+) : tegangan tarik (tension)
Negatif(-) : tegangan tekan (compression)
ContohDiketahui struktur kabel seperti padagambar. Kabel AB dan BD mempunyaidiameter 8 mm. Hitung tegangannormal AB dan BD.
ΣΣΣΣFy = TBD – 256 x 9,81 = 0
TBD = 2511,4 N
σσσσBD = P/A
= 2511,4 N
ππππ . (8 mm)2 / 4= 49,963 MPa
ΣΣΣΣFy = TAB Sin 350 – TBD = 0
TAB = 2511,4 / sin 350
= 4378,5 N
σσσσBD = 4378,5 N
ππππ . (8 mm)2 / 4= 87,107 MPa
Gaya Aksial Ijin(Allowable Axial Force)
• Komponen struktur tekan didesain untuk
menahan tegangan ijin maksimum.
• Beban ijin maksimum dapat diturunkan dari
persamaan tegangan normal.
σσσσijin = Pijin / A
Pijin = σσσσijin . A
• Pallow : beban aksial ijin
A : luas penampang
Sebuah balok kaku AC memikul sebuah beban
P, perletakan titik C dan batang tarik BD
adalah sendi. σσσσijin untuk batang tarik BD
adalah 145 MPa.
a. Tentukan beban maksimum P yang dapat
Contoh
a. Tentukan beban maksimum P yang dapat
ditahan jika batang tarik mempunyai
penampang 25 mm x 25 mm.
b. Tentukan diameter batang tarik yang
diperlukan untuk menahan beban 85 kN.
Gaya-Gaya yang Bekerja pada Batang BD
a) Beban Maksimum
ΣΣΣΣMC = P (2,1) - TBD (1,5) = 0
P = (1,5/2,1) . TBD
TBD ijin = σσσσijin . A
= (145 N/mm2) . (25 mm x 25 mm)= (145 N/mm2) . (25 mm x 25 mm)
= 90625 N
P = (1,5/2,1) . (90,625) kN
= 64,732 kN
b) diameter batang tarik yang diperlukan untuk menahan beban 85 kN
TBD = (2,1/1,5) . P
= (2,1/1,5) . (85) = 119 kN
A = TBD / σσσσijin = 119000 N / 145 N/mm2A = TBD / σσσσijin = 119000 N / 145 N/mm
= 820,69 mm2
dimana A = (1/4) ππππ d2
mm32,325π
820,694
π
4Ad =×==
Regangan Normal
•Batang dengan panjang L, bila dibebani
dengan gaya normal tarik (+), akan
bertambah panjang sebesar ∆∆∆∆L positif.bertambah panjang sebesar ∆∆∆∆L positif.
•Batang dengan panjang L, bila dibebani
dengan gaya normal tekan (-), akan
bertambah pendek sebesar ∆∆∆∆L negatif.
• Perubahan panjang (∆∆∆∆L) :
EA
LP∆L
⋅⋅=
• Regangan normal/aksial (εεεε):
L
∆Lε =
P = Gaya AksialL = Panjang Batang AwalA = Luas PenampangE = Modulus Elastisitas
L∆∆∆∆a ∆∆∆∆a
d
∆∆∆∆t
∆∆∆∆tP P
• Regangan dua arah :
Regangan Normal/Aksial
L
∆ε
aa =
Regangan Normal/Aksial
εεεεa = regangan normal/aksial
∆∆∆∆a = perubahan panjang arah
aksial
L = panjang awal
L
∆ε
tt =
Regangan Lateral
Lεεεεt = regangan lateral
∆∆∆∆a = perubahan panjang arah lateral
L = panjang awal
a
t
ε
ε-=υ
Poisson Ratio (υυυυ) (nu)
(regangan lateral)
(regangan aksial)aε
• Penemu : S.D. Poisson th 1800 (perancis)
• 0 ≤≤≤≤ υ ≥≥≥≥ 0,5
• Poisson ratio hanya berlaku pada daerah
elastis
Poisson ratio berbagai material
Concrete : 0,20
Steel : 0,27 – 0,3
Stainless Steel : 0,30 – 0,31Stainless Steel : 0,30 – 0,31
Aluminium-Alloy : 0,33
Sand : 0,20 – 0,45
Clay : 0,30 – 0,45
Hubungan Tegangan-Regangan
Hukum Hooke (Robert Hooke, 1676)εEσ ⋅=
Regangan (Strain)Regangan (Strain)
Modulus Elastisitas(Modulus of Elasticity)
Tegangan (Stress)
•E Baja : 200000 MPa
•E Aluminium : 70000 MPa
Modulus Elastisitas Bahan
•E Aluminium : 70000 MPa
•E Kayu : 11000 MPa
•E beton : MPacf4700 '
Tegangan – Regangan Beton
SIFAT MEKANIS BAHAN
Kekakuan (stiffness),
• Merupakan sifat bahan yang mampu renggang pada
tegangan tinggi tanpa diikuti regangan yang besar. Ini
merupakan ketahanan terhadap deformasi.
• Kekakuan bahan merupakan fungsi dari modulus
elastisitas E.elastisitas E.
• Sebuah material yang mempunyai nilai E tinggi seperti
baja, E = 200000 MPa, akan berdeformasi lebih kecil
terhadap beban, sehingga kekakuan lebih tinggi
daripada material dengan nilai E lebih rendah, misalnya
kayu, dengan E = 7000 MPa atau kurang.
Kekuatan (Strength)
• Sifat bahan yang ditentukan oleh tegangan maksimum
material mampu renggang sebelum rusak (failure).
• Tidak ada satu nilai yang cukup untuk dapat
mendefinisikan kekuatan, karena perilaku bahan
berbeda terhadap beban dan sifat pembebanan.
Elastis (Elasticity)
• Sifat material yang dapat kembali ke dimensi awal
setelah beban dihilangkan.
• Sangat sulit menentukan nilai secara tepat elastisitas.
Yang bisa dilakukan adalah menentukan rentang
elastisitas atau batas elastisitas.
Keuletan (Ductility)
• Sifat bahan yang mampu berdeformasi terhadap
beban tarik sebelum benar-benar patah (rupture).
Kegetasan (Brittleness)
• Menunjukkan tidak adanya deformasi plastis sebelurn
rusak.rusak.
• Contohnya: besi cor, batu, semen cor.
Kelunakan (Malleability)
• Sifat bahan yang mengalami deformasi plastis
terhadap beban tekan yang bekerja sebelum
benarbenar patah.
Ketangguhan (Toughness)
• Sifat material yang mampu menahan beban impak
tinggi atau beban kejut.
• Jika sebuah benda mendapat beban impak, sebagian
energi diserap dan sebagian dipindahkan.
Kelenturan (resilience)Kelenturan (resilience)
• Sifat material yang mampu menerima beban impak
tinggi tanpa menimbulkan tegangan lebih pada batas
elastis.
• Ini menunjukkan bahwa energi yang diserap selama.
pembebanan disimpan dan dikeluarkan jika material
tidak dibebani
Ketangguhan
Batas Elastis
Patah
Teg
an
ga
n
Kelenturan
Regangan
Teg
an
ga
n
Kelenturan dan Ketangguhan
Soal 1
100 kNDiameter 25 mm
3.5 m
Sebuah batang prismatis dengan penampang bulat
dibebani dengan aksial tarik 100 kN dan mengalami
perubahan panjang sebesar 1.5 mm. Hitungan
tegangan dan regangan tariknya ?
Tegangan
Regangan
Soal 2Diketahui diagram tegangan regangan untuk polyester resin. Jika
balok AC rigid dan dibebani 80 kN. Batang AB dan CD terbuat
dari material tersebut. Hitung perubahan panjang batang AB dan
CD. (diameter strut (AB) = 40 mm dan Diameter post (CD) = 80
mm.
Dari tegangan – regangan,
mm/mm009885.0)3.22(10
)31.83(10
E
MPa31.83π(0.04)
)40(10
A
Fσ
Pa)3.22(100.01
32.2(10)E
9
6AB
AB
241
3
AB
ABAB
96
===
===
==
σε
Free Body Diagram
19.77mm000)0.009885(2Lεδ
19.77mm000)0.009885(2Lεδ
mm/mm002471.0)3.22(10
)7.958(10
E
MPa958.7π(0.08)
)40(10
A
Fσ
)3.22(10E
CDCDCD
ABABAB
9
6CD
CD
241
3
CD
CDCD
======
===
===
σε
Soal 3
Diketahui sebuah batang dengan modulus Ebr = 100 GPa.
Jika panjang batang adalah 3 m dibebani beban aksial 2
kN. Hitung pertambahan panjang batang tersebut.
Sebuah kolom beton bertulang dengan diamter tulangan
adalah 18 mm. Hitung tegangan pada baja dan beton jika
kolom tersebut dibebani beban aksial 800 kN. Est = 200
GPa dan Ec = 25 GPa.
Soal 4
Soal 5
Soal 6
Soal 7
Soal 8
TEGANGAN DAN REGANGAN GESER
• Tegangan geser : tegangan yang bekerja sejajar atau
menyinggung permukaan.
• Sifat bahan dalam keadaan geser dapat ditentukan
secara eksprimental dari uji geser langsung (direct
shear) atau puntiran (torsion).
tegangan
normal
tegangan
geser
• Pada daerah elastis kurva tegangan – regangan geser,
tegangan geser berbanding lurus dengan regangan
• Besarnya tegangan geser (ττττ) :
A
Fsτ =
τ : tegangan geser (MPa)
Fs : gaya geser (N)
A : luas bidang geser (mm2)
geser. Menurut hukum Hooke’s :
ττττ = G γγγγ τ : tegangan geser (MPa)
γ : regangan geser (rad)
G : modulus geser (MPa)
Soal 1
Sebuah sambungan seperti pada gambar. Jika P = 30 kN,
hitung tegangan geser pada potongan a-a.
450
P
a
300 mm
a
a
MPa35,0200300
103,21
A
30 cosPτ
30
=⋅⋅==
Soal 2
Sebuah sambungan baut seperti pada gambar. Jika gaya
tarik = 30 kN, diameter baut = 10 mm. Tentukan tegangan
geser rata-rata pada bidang a-a atau b-b.
a a
b bP P
Luas bidang a-a atau b-b
= 0,25*3,14*(10)2 = 78,6 mm2
Gaya yang bekerja pada bidang a-a
= 0,5*30 = 15 kN
Jadi tegangan geser rata-rata :
MPa1926,78
1015
A
Fsτ
3
=⋅==
TEGANGAN LENTURBALOK
TEGANGAN LENTUR BALOK
• Apabila suatu balok dua tumpuan atau balok kantilever
dibebani dengan beban luar, maka balok tersebut akan
mengalami lentur/lendutan, yang mengakibatkan tegangan
lentur pada balok tersebut.
• Persamaan tegangan lentur pada suatu titik yang berjarak
y dari garis netral adalah :
dimana :
σ : Tegangan
M : momen, y : jarak, I : Inersia penampang
I
yM ⋅=σ
Contoh soal
Diketahui suatu balok kantilever dengan geometri dan
beban seperti pada gambar.
2 m
q = 1 t/m c
50 cm
a
b2 m
c30 cm
1,5 m
Hitung dan gambar tegangan lentur pada potongan c-c
b
Penyelesaian :
1. Hitung momen pada potongan c-c
Mc = (+2.1,5) - (0,5.1.1,52) = 1,875 tm
2. Hitung ya dan yb
ya = 0,25 m; yb = 0,25 m
3. Hitung momen inersia penampang3. Hitung momen inersia penampang
I = 1/12.(0.3)(0.5)3 = 0,003125 m4
4. Hitung tegangan serat atas dan serat bawah
penampang
2b
2a
t/m5010,003125
(0,25)875,1σ
t/m5010,003125
(0,25)875,1σ
−=⋅−=
=⋅=
+
150 t/m2
+
-150 t/m2
Diagram momen lentur potongan c-c
TUGAS KELOMPOK 1Sebuah balok dengan geometri dan pembebanan seperti pada
gambar. Hitung tegangan lentur dan geser maksimum serta
gambarkan distribusi tegangannya.5 kN/m
A B
6 m
TUGAS KELOMPOK 2Sebuah balok dengan geometri dan pembebanan seperti pada
gambar. Hitung tegangan lentur dan geser maksimum serta
gambarkan distribusi tegangannya.
5 kN/m15 kN
AB
C
80 kN
5 m
B
5 m
TUGAS KELOMPOK 3Sebuah balok dengan geometri dan pembebanan seperti pada
gambar. Hitung tegangan lentur dan geser maksimum serta
gambarkan distribusi tegangannya.
8 kN
AC
E
8 kN
DB18 kNm
3 m
C
2 m
DB18 kNm
2 m3 m
TUGAS KELOMPOK 4Sebuah balok dengan geometri dan pembebanan seperti pada
gambar. Hitung tegangan lentur dan geser maksimum serta
gambarkan distribusi tegangannya.
10 kN
A C
8 kN
B
2 m
A CB
3 m
15 kNm
TEGANGAN GESERBALOKBALOK
Tegangan Geser Balok
• Persyaratan keseimbangan momen pada
elemen persegi tercapai apabila ada gaya
geser dalam // sumbu balok yang
besarnya sama dan arahnya melawan
momen kopel akibat V tegak lurus sumbu.
• Dari keseimbangan gaya, V ⊥⊥⊥⊥ sumbu
mengimbangi gaya-gaya pada arah ⊥⊥⊥⊥
sumbu.
• Sedangkan V // sumbu mengimbangi
selisih tegangan lentur dari duaselisih tegangan lentur dari dua
penampang balok bersebelahan. Gaya
geser pada arah // sumbu balok
berfungsi menyatukan penampang
balok sebagai satu kesatuan.
Resultant tegangan lentur pada daerah fghj:
dimana Q adalah statis momen daerah fghj
I
QMdAy
I
MdA
I
yMF B
fghjluas
B
fghjluas
BB === ∫∫
dimana Q adalah statis momen daerah fghjterhadap garis netral.
Resultant tegangan lentur pada daerah abde:
I
QMdAy
I
MdA
I
yMF A
abdeluas
A
abdeluas
AA === ∫∫
• Dimana Q = statis momen daerah abde
yang besarnya sama dengan daerah
fghj terhadap garis netral. Hal ini
disebabkan penampang prismatis
(pada setiap titik sepanjang balok(pada setiap titik sepanjang balok
tidak mengalami perubahan bentuk).
• Besarnya tegangan geser (v) diperoleh
dari persamaan keseimbangan gaya-
gaya arah horizontal.
( )bI
Q
dx
MMv
0v.b.dxI
QM
I
QM
0RFF
AB
AB
AB
−=
=−−
=−−• Dari hubungan momen dan geser :
• Dari hubungan momen dan geser, maka :
bIdx
( )V
dx
dM
dx
MM AB ==−bI
QVv =
=== ∫∫h/2
yfghjdaerah
dyybbI
VdAy
bI
V
bI
VQv
1
• Tegangan geser pada garis berjarak
y1 dari garis netral sebesar :
−
== 21
2h/2
y
2
fghj
y2
h
I2
V
2
y
I
V
1
• Persamaan ini menunjukkan distribusi
tegangan geser berbentuk parabola.
• Tegangan geser maximum diperoleh
jika y1 = 0:
bh
V
2
3
12bh
8
hV
I8
hVv 3
22
max ===A
V
2
3vmax =
• vmax penampang persegi lebih besar dari v :
128
A
Vv =
Tegangan Ijin
• Salah satu karakteristik material struktur adalah
kemampuan memikul gaya aksial tarik. Besarnya
beban yang menimbulkan keruntuhan disebut
beban batas (ultimate load).beban batas (ultimate load).
• Tegangan batas (ultimate stress) dapat dihitung
dengan membagi beban batas dengan luas
penampang specimen.
• Dalam perencanaan, tegangan ijin < tegangan batas
karena beberapa alasan:
1. Besarnya beban yang bekerja pada struktur tidak
dapat diketahui dengan akurat.
2. Material struktur tidak seragam.
3. Ada hal-hal yang tidak dapat diuji dengan cepat,
misalnya kelelahan material akibat beban berubah
besar/arah.
4. Proses pembentukan elemen struktur menimbulkan
ketidaksempurnaan ukuran, kelurusan, tegangan
sisa dan lain-lain.
5. Kesulitan menentukan besarnya tegangan secara
akurat pada struktur yang rumit.
6. Kesalahan-kesalahan pada saat konstruksi.
Faktor Keamanan
ijinteganganbatastegangan
factor)(SafetykeamananFaktor ==
i
i
vv
ff
ijinteganganrencanaTegangan
≤≤≤
T E K U K (BUCKLING)
• Tekuk terjadi apabila batang tekan memilikipanjang tertentu yang jauh lebih besardibandingkan dengan penampang lintangnya.
F
h b b F h b l l F (a) Tekan F (b) Tekuk
• Secara teoritis, tekuk ditentukan oleh hargakoefisien kelangsingan (slenderness ratio), yangbesarnya ditentukan oleh panjang batang, bentukdan dimensi penampang, serta kondisi tumpuan.
λ = l
r
λλλλ : koefisien kelangsingan
l : panjang tekuk (mm)λ =r
rI
A
l k L
=
= .
r : jari-jari girasi (mm)
I : momen inersia penampang (mm4)
A : luas penampang (mm2)
k : koefisien pemasangan, tergantung kondisi
tumpuan ujung batang
L : panjang batang (mm)
• Teori tekuk Euler, yang dikemukakan olehseorang ahli matematika Swiss Loenhard Euler,pada tahun 1757.
• Teori ini digunakan untuk menyelesaikanpersoalan-persoalan tekuk.
• Teori ini menggunakan asumsi bahwa tegangantekan langsung yang terjadi kecil sehinggatekan langsung yang terjadi kecil sehinggadapat diabaikan, dan beban tidak lebih daribeban kritis yang dapat menyebabkanterjadinya tekukan. Selain itu, bahan batangbersifat isotropis, penampang lintang batangmerata sepanjang batang, serta tegangan yangterjadi masih berada dalam batas proporsionalsehingga hukum Hooke masih berlaku.
Kondisi Tumpuan
F F x B B B y l/2 l/2 F C C
• Kedua Ujung Sendi
C C l l/2 a F A A F F (a) Tanpa Beban (b) Superposisi (c) (d)
Fcr : beban kritis (N)
E : modulus elastistas (MPa)
I : momen inersia minimum penampang(mm4)
FEI
lcr = π2
2
.
l : panjang tekuk (mm), dengan l = k.L.
k : koefisien pemasangan, k = 1 (sendi - sendi)
L : panjang batang (mm), k = L (sendi – sendi)
Karena l = L , persamaan menjadi :
FEI
Lcr = π2
2
.
Satu Ujung Dijepit dan Ujung lain Bebas
l = 2 L k = 2
FEI
Lcr = π2
24
.
Kedua Ujung Terjepit
F F F B B F l L 2 l F F F A A F
l = 2 L k = 2
F F F
(a) Tanpa Beban (b) Superposisi
FEI
Lcr = 4 2
2
π .
F F B l/2 B F L l/2 F F F A A
Jepit - Sendi
A A F F (a) Tanpa Beban (b) Pembebanan (c) Penyederhanaan
lL= 2
3F
EI
Lcr = 9
4
2
2
π .
• Batas harga kerampingan untuk berlakunya
Euler adalah :
λ πσbatas
p
E= .dengan σσσσp adalah teganganpada batas proporsionalbahan (MPa)
Contoh Soal: Tiang penyangga berbentuk pipa dengan diameter dalam 90% dari
diameter luarnya, atau d = 0,9 D. Mudulus elestisitas Young 200 GPa, tegangan
pada batas proporsional 700 MPa. Tinggi tiang tinggal 3 m sedangkan faktor
keamanan diambil 4. Tentukan ukuran diameter luar dan diameter dalam tiang
tersebut bila penumpuan ujung-ujung dengan: (a) satu jepit ujung lain bebas, (b)
kedua ujung berengsel, (c) satu ujung jepit ujung lain engsel, dan (d) kedua ujung
jepit.
Penyelesaian:
F = 50 kN = 50 000 N d = 0.9 D (a) k = 2
E = 200 GPa = 2.105 MPa. L = 3 m = 3000 mm (b) k = 1
σp = 700 Mpa ν = 4 (c) k = 2/3
(d) k = 1/2
( ) ( ){ }( )
( ) ( )
I D d D D
rI
A
D d
D dD d
= − = − =
= =−
−= +
π π
π
π
64 640 9 0 0168811
64
4
1
4
4 4 4 4 4
4 4
2 22 2
, ,
FF
F Fcrcr= ⇒ = = =
νν. . .4 50000 2 105 kN
λπ
σπ
batasp
E= = =2 2
2 10
70026 55
5.,
Dari persamaan (7.11), FcrEI
lI
l FcrE
= ⇒ =π
π
2
2
2
2
. . (A)
(a) l = k L = 2 . 3 000 = 6 000 mm
Dari persamaan (A) akan didapat
0 01688116000 2 10
2102 16110 121 244
2 5
2 584,
( ) .( . )
.( . ), . ,D D= ⇒ = =
π mm
210.( . )π
d = 0,9 D = 109,12 mm
Dibuat D = 122 mm dan d = 109 mm
Pemeriksaan: Dari persamaan r di atas akan didapat ( )r= + =1
4122 109 40 902 2 , m
λ = (l/r) = (6000/40,90) = 146,70
Ternyata bahwa λ > λbatas, sehingga teori Euler berlaku.
(b) l = k L = 1 . 3 000 = 3 000 mm
Dari persamaan (A) akan didapat
0 01688113000 2 10
2 105 40310 85 744
2 5
2 574,
( ) .( . )
.( . ), . ,D D= ⇒ = =
π mm
d = 0,9 D = 77,16 mm
Dibuat D = 86 mm dan d = 77 mm
Pemeriksaan: Dari persamaan r di atas akan didapat
( )r = + =1
486 77 28 862 2 , mm
λ = (l/r) = (3000/28,86) = 103,95
Ternyata bahwa λ > λbatas, sehingga teori Euler berlaku.
(c) l = k L = (2/3) . 3 000 = 2 000 mm
Dari persamaan (A) akan didapat
0 01688112000 2 10
2 102 40110 70 004
2 5
2 574,
( ) .( . )
.( . ), . ,D D= ⇒ = =
π mm
d = 0,9 D = 63,00 mm
Dibuat D = 70 mm dan d = 63 mm
Pemeriksaan: Dari persamaan r di atas akan didapat ( )r = + =1
470 60 23 052 2 ,
mm
λ = (l/r) = (2000/23,05) = 86,77
Ternyata bahwa λ > λbatas, sehingga teori Euler berlaku
(d) l = k L = (1/2) . 3 000 = 1 500 mm
Dari persamaan (A) akan didapat
0 01688111500 210
1 35110 60 6242 5
74,( ) .( . )
, . ,D D= ⇒ = = mm 0 01688112 10
1 35110 60 622 5
,.( . )
, . ,D D= ⇒ = =π
mm
d = 0,9 D = 54,56 mm
Dibuat D = 61 mm dan d = 54 mm
Pemeriksaan: Dari persamaan r di atas akan didapat ( )r = + =1
461 54 20 372 2 ,
mm
λ = (l/r) = (1500/20,37) = 73,65
Ternyata bahwa λ > λbatas, sehingga teori Euler berlaku
JAWABAN
TUGASTUGAS
Bidang Momen
JAWABAN TUGAS KELOMPOK 1Sebuah balok dengan geometri dan pembebanan seperti pada
gambar. Hitung tegangan lentur dan geser maksimum serta
gambarkan distribusi tegangannya.5 kN/m
A B
6 m
• Bidang momen
• Bidang gaya geser
1. Momen maksimum = 1/8*5*62 = 22,5 kNm
2. Momen inersia penampang
3. Tegangan Lentur
4. Tegangan lentur pada titik B
5. Diagram tegangan lentur
30
100
80 40 80
100
Hitung titik berat dan momen inersia penampang
130
9
15020
Hitung titik berat dan momen inersia penampang
20
160
200
160
20
Hitung titik berat dan momen inersia penampang
200
30
200
Hitung titik berat dan momen inersia penampang
10
40
40 40 40
10
Hitung titik berat dan momen inersia penampang