Upload
others
View
25
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
CuprinsGEOMETRIE
1. Vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Segmente orientate. Vectori în plan . . . . . . . 11.2. Operaţii cu vectori . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Vectori coliniari . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Vectori de poziţie . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Drepte paralele, concurente. Colinearitate . . . 101.6. Produsul scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Geometrie analitică . . . . . . . . . . . . . . . . . 183. Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1. Elementele trigonometriei . . . . . . . . . . . 273.2. Ecuaţii trigonometrice . . . . . . . . . . . . . 333.3. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie . . . . 39
ANALIZĂ MATEMATICĂ1. Numere reale, mulţimi reale . . . . . . . . . . . . . 432. Şiruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1. Şiruri reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2. Operaţii cu şiruri reale . . . . . . . . . . . . . 482.3. Inegalităţi şi limite . . . . . . . . . . . . . . . 512.4. Convergenţă, monotonie, mărginire . . . . . . 522.5. Subşiruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.6. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . 552.7. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3. Limite de funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1. Limita unei funcţii . . . . . . . . . . . . . . . 583.2. Operaţii cu limite de funcţii . . . . . . . . . . . 613.3. Proprietăţile limitelor de funcţii . . . . . . . . 623.4. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. Funcţii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1. Continuitatea funcţiilor . . . . . . . . . . . . . 674.2. Operaţii cu funcţii continue . . . . . . . . . . . 704.3. Continuitate şi proprietatea lui Darboux . . . . 71
5. Funcţii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1. Definiţia derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2. Interpretarea geometrică a derivatei . . . . . . 765.3. Operaţii cu funcţii derivabile . . . . . . . . . . 775.4. Derivatele funcţiilor elementare . . . . . . . . 795.5. Deriatele funcţiilor compuse . . . . . . . . . . 805.6. Derivate de ordin superior . . . . . . . . . . . 815.7. Teoreme de medii . . . . . . . . . . . . . . . . 835.8. Reprezentarea grafică a funcţiilor . . . . . . . . 93
6. Integrala nedefinită . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.1. Primitive. Integrala nedefinită . . . . . . . . . 986.2. Funcţii primitivabile . . . . . . . . . . . . . . 1016.3. Integrarea prin părţi . . . . . . . . . . . . . . 1046.4. Prima metodă de schimbare de variabilă . . . . 1066.5. A doua metodă de schimbare de variabilă . . . . 1106.6. Integrarea funcţiilor raţionale . . . . . . . . . 111
7. Integrala definită . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.1. Funcţii integrabile Riemann . . . . . . . . . . . 1217.2. Proprietăţile funcţiilor integrabile . . . . . . . 1267.3. Integrarea prin părţi . . . . . . . . . . . . . . 1277.4. Prima metodă de schimbare de variabilă . . . . 1297.5. A doua metodă de schimbare de variabilă . . . . 1317.6. Formula de medie . . . . . . . . . . . . . . . 1327.7. Teorema fundamentală . . . . . . . . . . . . . 1347.8. Aplicaţii ale integralei definite . . . . . . . . . 136
1. Vectori
1.1. Segmente orientate. Vectori în plan
..
Definiţie. Perechea ordonată de puncte (A,B) se numeştesegment orientat şi se notează cuAB.Definiţie. Segmentele orientate AB şi CD sunt echipo-lente (se notează cuAB∼CD), dacămijlocul segmentului[AD] coincide cu mijlocul lui [BC].Observaţie. DacăAB∼CD, atunci există o translaţie caretransformă segmentulAB în segmentulCD.Proprietăţi. Pe mulţimea segmentelor orientate relaţia deechipolenţă este o relaţie de echivalenţă:
.. AB∼AB (∼ este reflexivă),
.. dacă AB∼CD, atunci CD∼AB (∼ este sime-trică),
.. dacăAB∼CD şi CD∼EF , atunciAB∼EF (∼este tranzitivă).
.Segmente orientate
..A .
B
.
D
.C
AB şi CD sunt echipolente dacăşi numai dacă ABDC este para-lelogram sau punctele A,B,C,Dsunt coliniare şi mijlocul lui [AD]coincide cu mijlocul lui [BC].
..A
.B
.C
.
D
1
..
Definiţie. Se numeşte vector mulţimea tuturor segmente-lor orientate echipolente cu un segment dat.Notaţie. Vectorul determinat de segmentul orientatAB se notează cu
−−→AB (sau cu litere mici):
−−→AB={
CD|CD∼AB}.
Observaţie. Dacă AB∼CD, atunci−−→AB=
−−→CD. Dacă−→u=
−−→AB=
−−→CD, atunci spunemcă segmentulAB (sauCD) este
un reprezentant al vectorului−→u .Definiţie. Lungimea (saumodulul) unui vector este lungi-mea oricărui reprezentant al său şi se notează cu |−→u |.Definiţie. Vectorul de lungime nulă
−→AA se numeşte vecto-
rul nul şi se notează 0.
.Vectori
..
Definiţie. Vectorii−−→AB şi
−−→CD sunt egali (
−−→AB=
−−→CD), dacă
segmentele orientateAB şiCD sunt echipolente.Observaţie. Doi vectori sunt egali dacă au acelaşi modul,aceeaşi direcţie şi sens.Teoremă. (Existenţa reprezentantului cu origine dată)Pentru orice vector−→u şi orice punctM , există un unic seg-
ment orientatMM ′ pentru care−→u=−−−→MM ′.
Consecinţă. Dacă−−→MA=
−−→MB, atunciA=B.
..
Mulţimea segmentelor
.
orientate
.
A
.
B
.
C
.
D
.
−→u
.
=
.
F
.
E
.
H
.
G
.
−→v
.=
−→u=−−→AB=
−−→CD=...,
−→v =−−→EF=
−−→GH=...,
CD este un reprezentant al vecto-rului−→u ,z EF este un reprezentant al lui−→v ,−−→AB=
−−→CD.
2
2. Geometrie analitică..
Fie xx′ şi yy′ două axe perpendiculare care se intersec-tează în punctulO.Definiţie. Sistemul (xOx′,yOy′) se numeşte reper carte-zian sau reper ortonormat. PunctulO se numeşte origineareperului. Semidreapta [Ox este semiaxa pozitivă, [Ox′
este semiaxa negativă.Notaţie. Reperul (xOx′,yOy′) se notează (xOy). Vecto-rii unitate (versorii) pentru axele [Ox respectiv [Oy suntnotate cu i, j.
.Reper cartezian în plan
..
Fie M un punct oarecare în planul reperului cartezianxOy. Fie xM coordonata proiecţiei punctului M pe axaOx, yM coordonata proiecţiei punctuluiM pe axaOy.Definiţie. Numărul real xM se numeşte abscisa, iar numă-rul yM se numeşte ordonata punctului M şi se foloseştescriereaM(xM ,yM ). Perechea ordonată de numere reale(xM ,yM ) se numeşte coordinatele punctuluiM .
O altă definiţie (echivalentă) este:Definiţie. Vectorul de poziţie −→rM=
−−→OM al punctului M
se descompune în mod unic după vectorii i şi j:−−→OM=
xM ·i+yM ·j, xM ,yM∈R. Numerele xM , yM sunt coor-donatele punctuluiM .Notaţie. Formal, putem scrie−→rM=(xM ,yM ).
.Coordonate carteziene
..
ţa dintre punctele A(xA,yA) şi B(xB ,yB) este dată deformula
AB=√
(xB−xA)2+(yB−yA)2.
.Distanţa a două puncte
18
Problemă. Să se determine perimetrul triunghiului AOB,undeA(3,4),B(12,5).S. OA=
√32+42=5, OB=
√122+52=13, AB=
√92+12=√
82, deci PAOB△=18+√82.
Problemă. Să se determine valoarea numărului m∈Rastfelîncât distanţa punctelorA(2;m) şiB(m;−2) să fie egală cu 4.S.AB=
√(m−2)2+(−2−m)2=4⇔2m2+8=16⇔m=±2.
..
Fie −→u=(a1,b1) şi −→v =(a2,b2) doi vectori şi λ un număreal.Proprietăţi. (Egalitatea a doi vectori)−→u=−→v ⇔(a1=a2 ésb1=b2).Proprietăţi. (Suma a doi vectori) −→u+−→v =(a1+a2,b1+b2).Proprietăţi. (înmulţirea unui vector cu un număr real)λ·−→u=(λ·a1,λ·b1).Proprietăţi. (Produsul scalar a doi vectori) −→u ·−→v =a1·a2+b1·b2∈R.Proprietăţi. Lungimea vectorului−→u ∥−→u ∥=
√a21+b21.
Consecinţă. Din definitţia produsului scalar
cos(u,v)=a1a2+b1b2√
a21+b21·
√a22+b22
.
Consecinţă. Vectorul−→u este perpendicular pe vectorul−→v -re dacă şi numai dacă a1a2+b1b2=0.Teoremă. Vectorii−→u şi−→v sunt paraleli dacă şi numai dacăa1
a2
=b1
b2, a1,a2,b1,b2 =0 sau a1=a2=0 sau b1=b2=0.
.Operaţii cu vectori în coordonate carteziene
19
Problemă. Fie vectorii −→a =−→i +
−→j ,
−→b =
−→i −−→
j şi−→u=6
−→i +2
−→j . Să se determine numerele reale p,r∈R
astfel încât−→u=p−→a +r−→b !
S. −→u=(1,1), −→v =(1,−1), −→u=(6,2). p−→a +r−→b =
p·(1,1)+r·(1,−1)=(p,p)+(r,−r)=(p+r,p−r)=(6,2)⇔{p+r =6p−r =2
⇔p=4,r=2.
Problemă. Să se calculeze: (2−→i +5
−→j )·(3−→i −4
−→j ).
S. Din definiţia produsului scalar−→i ·−→i =∥−→i ∥·
∥−→i ∥·cos(−→i ,−→i )=1·1·cos0=1,
−→j ·−→j =1·1·cos0=1,
−→i ·−→j =∥−→i ∥·∥−→j ∥·cos(−→i ,
−→j )=1·1·cos90◦=0, deci
(2−→i +5
−→j )·(3−→i −4
−→j )=6
−→i 2−8
−→i−−−−−−−−−−−−→j+15
−→j−→i −20
−→j 2=
6−20=−14.
Altă soluţie: formal, putem scrie(2
−→i +5
−→j )·(3−→i −4
−→j )=(2,5)·(3,−4)=2·3+5·(−4)=−14.
Problemă. Să se determine valoarea parametrului m∈Rpentru care vectorii −→u=2
−→i −5
−→j şi −→v =4
−→i +(2m−1)
−→j
sunt perpendiculari!S. −→u⊥−→v ⇔−→u ·−→v =0⇔2·4+(−5)·(2m−1)=0⇔
8−10m+5=0⇔m=13
10.
Problemă. Să se arate că unghiul vectorilor −→u=4−→i −5
−→j şi
v=3−→i +7
−→j este obtuz.
S. −→u ·−→v =(4,−5)·(3,7)=12−35=−23<0, deci cosinusul un-ghiului celor doi vectori este negativ⇒ unghiul este obtuz.
Problemă. Să se determine valoarea parametrului a∈R pen-tru care vectorii −→u=a
−→i +3
−→j és −→v =4
−→i +(a+4)
−→j sunt pa-
raleli.S.−→u ||−→v ⇔
a
4=
3
a+4⇔a2+4a−12=0⇔a1=2,a2=−6.
20
Problemă. În reperul cartezian xOy sunt date puncteleO(0,0), A(2,1) şi B(−2,1). Să se afle cosinusul unghiuluiformat de vectorii
−−→OA şi
−−→OB!
S.−−→OA=(2,1),
−−→OB=(−2,1), ∥
−−→OA∥=
√5, ∥
−−→OB∥=
√5;
−−→OA·
−−→OB=−3⇔
∥−−→OA∥·∥−−→OB∥·cos(AOB)=−3⇔√5·√5·cos(AOB)=−3⇔
cos(AOB)=−3
5.
..
Fie−→rA=(xA,yA),−→rB=(xB ,yB),−→rC=(xC ,yC).Teoremă.
−−→AB=−→rB−−→rA=(xB−xA,yB−yA).
Teoremă. Dacă M∈(AB) astfel încât−−→MA=k·
−−→MB,
atunci
xM=xA−k·xB
1−kşi yM=
yA−k·yB
1−k.
Consecinţă. Coordonatele mijlocului M al segmentului[AB]:
M
(xA+xB
2,yA+yB
2
).
Consecinţă. Coordonatele centrului de greutate al triun-ghiuluiABC:
G
(xA+xB+xC
3,yA+yB+yC
3
).
Problemă. În triunghiul ABC fie G centrul de greutate.Ştiind că vectorul de poziţie al unctului A, B, G este −→rA=
4−→i +7
−→j , −→rB=2
−→i −−→
j respectiv −→rG=4−→i +4
−→j , să se deter-
mine vectorul de poziţie al punctuluiC.
S. (4,4)=(
4+2+xC
3,7−1+yC
3
)⇔xC=6,yC=6⇔C(6,6).
21
3. Trigonometrie
3.1. Elementele trigonometriei
..
Definiţie. Raportul dintre semiperimetrul şi raza unui cerceste constant şi se notează prin π (valoarea aproximativăeste π≈3,1415).Definiţie. Măsura unui unghi la centrul unui cerc cuprin-zând un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cer-cului este de 1 radian.Observaţie. Dacăα este măsura unui unghi în grade iar xr
este măsura unghiului în radiani, atunci este adevărată re-laţia
α
xr
=180
π.
.Măsura unghiurilor în radiani
..O. A.
P0
.
Pπ/6
.
Pπ/3
.
Pπ/2
.
P2π/3
.
P5π/6
.Pπ
.
P7π/6
.
P4π/3
.
P3π/2
.
P5π/3
.
P11π/6
.
I.
.
II.
.
III.
.
IV.
27
..
Definiţie. Fie xOy un reper cartezian. Cercul cu centrulîn O şi cu raza egală cu 1 pe care este indicat sensul tri-gonometric direct (invers acelor ceasornicului) se numeştecercul trigonometric.Notaţie. Fie t∈R un număr real. Atunci există un unicpunctPt pe cercul trigonometric pentru carem(AOPt)=t.
.Cercul trigonometric
..
Fie t un număr real şiPt punctul pentru carem(AOPt)=t.Definiţie. Ordinata punctului Pt se numeşte sinusul nu-mărului real t şi se notează prin sint.Definiţie. Abscisa punctului Pt se numeşte cosinusul nu-mărului real t şi se notează prin cost.
.Sinusul şi cosinusul
..O.
A.
Pt
. t.cost.
sint
..O.
A.
Pt
. t.tgt
.
T
.
ctgt
.
T ′
..
Definiţie. Fie dtg dreapta verticală de ecuaţiex=1 şi fie dctgdreapta orizontală de ecuaţie y=1.
Definiţie. Fie t∈R\{
π
2+kπ| k∈Z
}şi T intersecţia drep-
telor OPt şi dtg. Ordinata punctului T se numeşte tan-genta numărului t şi se notează prin tgt.Definiţie. Fie t∈R\{kπ| k∈Z} şi fie T ′ intersecţia drep-telor OPt şi dctg. Abscisa punctului T ′ se numeşte cotan-genta numărului real t şi se notează prin ctgt.
.Tangenta şi cotangenta
28
..
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
sinx 0 12
√2
2
√3
2 1√
32
√2
212 0
cosx 1√
32
√2
212 0 − 1
2 −√
22 −
√3
2 −1
tgx 0√
33 1
√3 | −
√3 −1 −
√3
3 0
ctgx |√3 1
√3
3 0 −√
33 −1 −
√3 |
.Valori remarcabile
..
x∈C2 x∈C3
sinx=sin(π−x) sinx=−sin(x−π)
cosx=−cos(π−x) cosx=−cos(x−π)
tgx=−tg(π−x) tgx=tg(x−π)
ctgx=−ctg(π−x) ctgx=ctg(x−π)
x∈C4
sinx=−sin(2π−x)
cosx=cos(2π−x)
tgx=−tg(2π−x)
ctgx=−ctg(2π−x)
.Reducerea la primul cadran
..
x 0 C1π
2C2 π C3
3π
2C4 2π
sinx 0 + 1 + 0 − −1 − 0
cosx 1 + 0 − −1 − 0 + 1
tgx 0 + +|− − 0 + +|− − 0
ctgx |+ + 0 − −|+ + 0 − −|
.Semnul funcţiilor trigonometrice
29
..
x 0 C1π
2C2 π C3
3π
2C4 2π
sinx 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0
cosx 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0 ↗ 1
tgx 0 ↗ +∞|−∞ ↗ 0 ↗ +∞|−∞ ↗ 0
ctgx |+∞ ↘ 0 ↘ −∞|+∞ ↘ 0 ↘ −∞|
.Monotonia funcţiilor trigonometrice
..
sin2x+cos2x=1 (formula fundam.) tgx=sinxcosx
=1
ctgx
sin(
π
2−x
)=
cosx
sin(−x)=−sinx sin(x+2π)=sinx
cos(
π
2−x
)=
sinx
cos(−x)=cosx cos(x+2π)=cosx
tg(
π
2−x
)=ctgx tg(−x)=−tgx tg(x+π)=tgx
ctg(
π
2−x
)=tgx ctg(−x)=−ctgx ctg(x+π)=ctgx
.Formule trigonometrice fundamentale
30
2. Şiruri de numere reale
2.1. Şiruri reale
..
Definiţie. Se numeşte şir real o funcţie f :{k,k+1,k+2,...}→R (k∈N). Şirul se notează prin (an), unde an=f(n).Definiţie. Şirul (an)n≥k este
.. crescător, dacă an+1≥an, ∀n≥k;
.. descrescător, dacă an+1≤an, ∀n≥k;
.. mărginit, dacă ∃m,M∈R astfel încâtm≤an≤M ,∀n≥k;
.. periodic, dacă∃t∈N∗ astfel încât an+t=an, ∀n≥k
..
Definiţie. Limita şirului (an)n≥k este numărul α, dacă şinumai dacă în afara oricărei vecinătăţi V a lui α există celmult un număr finit de termeni ai şirului:limita şirului (an)=α⇔∀V=V (α), ∃nV ∈N astfel încâtan∈V , ∀n≥nV .Notaţie. Dacă limita şirului (an) este α, se scrie:lim
n→∞an=α.
Teoremă. Fie (an)n∈N un şir de numere reale, α∈R... lim
n→∞an=α⇔∀ε>0, ∃n0∈N astfel încât |an−
α|<ε, ∀n≥n0... lim
n→∞an=∞⇔∀ε>0, ∃n0∈N astfel încât an>
ε, ∀n≥n0.
.Limita unui şir
46
..
.. limn→∞
an=−∞⇔∀ε>0, ∃n0∈N astfel încât an<
−ε, ∀n≥n0.Definiţie. Şirul (an) este convergent, dacă are limită finită.Un şir care nu este convergent este divergent.Teoremă. Dacă un şir are limită, atunci limita şirului esteunică.Teoremă. lim
n→∞an=α⇒ lim
n→∞|an|=|α|.
Teoremă. limn→∞
an=0⇔ limn→∞
|an|=0.
Teoremă. Dacă (an) este convergent, atunci (an) estemărginit.
.Limita unui şir - continuare
Problemă. Să se demonstreze că limn→∞
2n+1
3n−1=
2
3.
S. Trebuie arătat că pentru orice ε>0 există n0 astfel încât pen-
tru orice n≥n0,∣∣∣∣an−
2
3
∣∣∣∣<ε, unde an=2n+1
3n−1.∣∣∣∣ 2n+1
3n−1−
2
3
∣∣∣∣<ε⇔5
3(3n−1)<ε⇔
5
3ε<3n−1⇔
53ε+1
3<n,
deci se poate alege n0=
[5+3ε
15
]+1 ([A] este partea întreagă
număruluiA).
Problemă. Să se demonstreze că limn→∞
n2
n+1=∞.
S. Trebuie arătat că ∀ε>0, există n0 astfel încât pentru orice
n≥n0,n2
n+1>ε⇔n2−εn−ε>0⇔n∈
(−∞,
ε−√
ε2+4ε2
)∪(
ε+√
ε2+4ε2 ,∞
).
Fie n0=
[ε+
√ε2+4ε2
]+1, atunci an>ε, ∀n≥n0.
47
2.2. Operaţii cu şiruri reale
..
Definiţie. Fie şirurile (an)n∈N şi (bn)n∈N... Suma şirurilor este şirul (cn)n∈N, unde ck=ak+
bk , ∀k∈N;.. Produsul şirurilor este şirul (dn)n∈N, unde dk=
ak·bk , ∀k∈N;.. Câtul şirurilor este şirul (en)n∈N, unde ek=
ak
bk,
∀k∈N, dacă bk =0, ∀k∈N.Definiţie. Produsul şirului (an) cu numărul real λ este şi-rul (pn), unde pk=λ·ak , ∀k∈N.Teoremă. Dacă şirul (an) are limită, λ∈R∗, atunci şirul(λ·an) are limită şi
limn→∞
(λ·an)=λ· limn→∞
an.
Teoremă. Dacă şirurile (an) şi (bn) au limite iar suma li-mitelor are sens, atunci şirul (an+bn) are limită şi
limn→∞
(an+bn)= limn→∞
an+ limn→∞
bn.
Teoremă. Dacă şirurile (an) şi (bn) au limite iar produsullimitelor are sens, atunci şirul (an·bn) are limită şi
limn→∞
(an·bn)= limn→∞
an· limn→∞
bn.
Teoremă. Dacă şirurile (an) şi (bn) au limite iar câtul li-
mitelor are sens, atunci şirul(
an
bn
)are limită şi
limn→∞
(an
bn
)=
limn→∞
an
limn→∞
bn.
Nedeterminări: ∞+(−∞), 0·∞, 0·(−∞),±∞±∞
,0
0.
.Operaţii cu şiruri care au limită
48
Exemplu. limn→∞
2n+3
3n2+5n+2= lim
n→∞
n
(n+
3
n
)n
(3n+5+
2
n
)=
=limn→∞
n
(n+
3
n
)n
(3n+5+
2
n
)=
limn→∞
(n+
3
n
)lim
n→∞
(3n+5+
2
n
)=
=lim
n→∞n+ lim
n→∞
3
n
limn→∞
3n+ limn→∞
5+ limn→∞
2
n
=1+0
∞+5+0=
1
∞=0.
Exemplu. limn→∞
√3n2+n+1−
√n2+2n+3=‘‘∞−∞′′
=
= limn→∞
n·(√
3+1
n+
1
n2−√
1+2
n+
3
n2
)=
= limn→∞
n·(
limn→∞
√3+
1
n+
1
n2− lim
n→∞
√1+
2
n+
3
n2
)=
∞·(√3−
√1)=∞.
Exemplu. limn→∞
√n2+4n+3−
√n2+3n+1=‘‘∞−∞′′
==
limn→∞
√n2+4n+3+
√n2+3n+1)
√n2+4n+3−
√n2+3n+1
1=
= limn→∞
(√n2+4n+3)2−(
√n2+3n+1)2
√n2+4n+3+
√n2+3n+1
=
= limn→∞
n+2√n2+4n+3+
√n2+3n+1
=
limn→∞
=1+
2
n√1+
4
n+
3
n2+
√1+
3
n+
1
n2
=1
√1+
√1=
1
2.
49
Exemplu. limn→∞
1+1
3+...+
1
3n= lim
n→∞
1−(
1
3
)n+1
1−1
3
=
limn→∞
3
2
(1−
1
3n+1
)=
3
2.
Exemplu. limn→∞
7n
7n+11= lim
n→∞
1
1+11
7n
=1
1+0=1.
Problemă. Să se calculeze: limn→∞
n∑k=1
arctg1
k2+k+1.
S. Pentru k∈N∗ oarecare fie arctg1
k=α, arctg
1
k+1=β. Atunci
arctg1
k2+k+1=arctg
1
k−
1
k+1
1+1
k·
1
k+1
=arctgtgα−tgβ1+tgα·tgβ
=
=arctgtg(α−β)=α−β=arctg1
k−arctg
1
k+1,
astfel limn→∞
n∑k=1
arctg1
k2+k+1=
limn→∞
(arctg1−arctg
1
2+arctg
1
2−arctg
1
3+...+arctg
1
n−
1
n+1
)=
= limn→∞
(π
4−arctg
1
n+1
)=
π
4−0=
π
4.
50
4. Funcţii continue
4.1. Continuitatea funcţiilor
..
Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă în punctul x0∈D, dacă şi numai dacă pentru orice vecinătate V (f(x0)) alui f(x0) există o vecinătate U(x0) a punctului x0 pentrucare ∀x∈D∩V (x0)⇒f(x)∈V (f(x0)).Teoremă. Funcţia f :D→R este continuă în punctulx0∈Ddacă şi numai dacă sau x0 este un punct izolat al luiD saulim
x→x0f(x)=f(x0).
Teoremă. (Criteriul lui Heine) Funcţia f :D→R este con-tinuă în punctul x0∈D dacă şi numai dacă pentru orice şir(xn), xn∈D, cu lim
n→∞xn=x0 avem lim
n→∞f(xn)=f(x0).
Teoremă. Funcţia f :D→R este continuă în punctul x0
dacă şi numai dacă ∀ε>0, ∃δ(ε)>0 astfel încât ∀x∈D,|x−x0|<δ(ε)⇒|f(x)−f(x0)|<ε.Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă pe mulţimea Ddacă f este continuă în fiecare punct al luiD.Teoremă. Funcţiile elementare sunt continue pe tot dome-niul lor de definiţie.
Problemă. Să se arate că funcţia
f :R→R, f(x)={
x2−2x , dacă x∈Qx−2 , dacă x∈R\Q
nu este continuă în punctul x0=3!S. Fie (an) un şir cu termeni raţionali şi an→x0, iar (bn) un şirde termeni iraţionali, bn→x0. Atunci lim
n→∞f(an)= lim
n→∞a2n−
2an=32−2·3=3, lim
n→∞f(bn)= lim
n→∞bn−2=3−2=1. Con-
form criteriului lui Heine f nu este continuă în x0=3.
67
..
Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă la stânga în punc-tul x0∈D, dacă x0 este un punct izolat al mulţimiiD saulim
x→x0x<x0
f(x)=f(x0).
Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă la dreapta înpunctul x0∈D, dacă x0 este punct izolat al mulţimiiD saulim
x→x0x>x0
f(x)=f(x0).
.Continuitate laterală
..
Definiţie. Funcţia f :D→R este discontinuă în punctulx0∈D dacă şi numai dacă f nu este continuă în x0.Definiţie. Dacă ∃ lim
x→x0x<x0
f(x)=lb∈R, ∃ limx→x0x>x0
f(x)=lj∈R,
dar lb =lj , atunci f are discontinuitate de prima speţă înx0.Definiţie. Dacă f nu este continuă în punctul x0 şi discon-tinuitatea nu este de prima speţă, atunci f are discontinu-itate de speţa a doua.
.Puncte de discontinuitate
Exemplu. f :R→R,
f(x)=
2x−1 , dacă x<10 , dacă x=1x2 , dacă x∈(1,2)x+1 , dacă x∈[2,3]1
x−3, dacă x∈(3,∞)
f cont. pe (−∞,1)∪(1,2)∪(2,3)∪(3,∞).limx↗1
f(x)= limx↘1
f(x)=1, f(1)=0⇒f are discontinuitate în
x0=1.
68
limx↗2
f(x)=4, limx↘2
f(x)=3⇒f are discont. de prima speţă în
x1=2.limx↗3
f(x)=4, limx↘3
f(x)=+∞⇒f are discont. de speţa a doua
în x2=3.
Problemă. Să se verifice continuitatea funcţiei
f :R→R, f(x)=
sinxx
, dacă x<0
1 , dacă x=0
x2−2x+2 , dacă x>0
în punctul x0=0.S. Verificăm dacă lim
x↗x0f(x)= lim
x↘x0f(x)=f(x0).
limx↗x0
f(x)= limx↗0
sinxx
=1
limx↘x0
f(x)= limx↘0
x2−2x+2=1
f(x0)=f(0)=1
⇒lb(x0)=lj(x0)=
f(x0)⇒f este continuă în punctul x0=0.
Problemă. Să se determine valoarea lui a∈R ast-fel încât f să fie continuă pe R, unde f :R→R,
f(x)=
{ax2+x+a+1 , dacă x<1
x2+ax−2 , dacă x≥1.
S. Funcţia f este continuă pe (−∞,1) şi pe (1,∞) (funcţiileelementare sunt continue), deci verificăm continuitatea înpunctul x0=1.
limx↗x0
f(x)= limx↗1
ax2+x+a+1=2a+2
limx↘x0
f(x)= limx↘1
x2+ax−2=a−1
f(x0)=f(1)=a−1
⇒2a+2=
a−1⇒a=−3.
69