menu con Select All trong menu Edit và chọn điều kiện biên Neumann cho tất cả các biên. Sau đó sửa lại điều kiện biên cho hai phía của thanh. Phía trái chọn điều kiện biên Dirichlet với r = 100. Phía bên phải chọn điều kiện biên Neumann với g = ‐10. Bước tiếp theo là mở hộp thoại PDE Specification và nhập vào các hệ số của PDE. PDE parabolic tổng quát mà PDE Toolbox xử lí có dạng:

fau)u.(tud =+∇∇−∂∂

với điều kiện đầu u0 = u(t0) và thời gian tính nghiệm mô tả trong mảng tlist. Như vậy trong trường hợp này ta có d = 1, c = 1, a = 0 và f = 0. Khởi gán các lưới và làm tinh lại. Điều kiện đầu u0 = 0 và khoảng thời gian được nhập vào là [0:0.5:5]. Ta nhập chúng vào hộp thoại Solve Parameters từ menu Solve. Bây giờ ta có thể giải bài toán. Để thấy được quá trình truyền nhiệt ta đánh dấu vào ô Animation trong hộp thoại Plot selection. Nên chọn màu là colormap hot. Chú ý là nhiệt độ của khối tăng rất nhanh. Bài toán này được lưu trong ct8_9.m. b. Phân bố nhiệt trong thanh phóng xạ: Bài toán phân bố nhiệt này là một ví dụ về bài toán 3‐D PDE parabolic được biến đổi thành bài toán 2‐D nhờ dùng toạ độ trụ. Ta khảo sát một thanh phóng xạ hình trụ. Tại cuối bên trái của thanh nhiệt được gia tăng liên tục. Đầu cuối bên phải có nhiệt độ không đổi. Tại biên bên ngoài, nhiệt được trao đổi với mô trường bằng truyền nhiệt. Tại một thời điểm,nhiệt độ được tạo ra không đồng đều trong toàn bộ thanh do quá trình phóng xạ. Giả sử ban đầu nhiệt độ bằng 0. Điều này đưa tới bài toán sau:

f)uk.(tuC =∇∇−∂∂

ρ

Trong đó ρ là mật độ, C là nhiệt dung riêng của thanh, k là hệ số dẫn nhiệt và f là nguồn nhiệt phóng xạ. Mật độ của kim loại là 7800kg/m3, nhiệt dung riêng là 500Ws/kg0C, độ dẫn nhiệt là 40W/m0C. Nguồn nhiệt là 20000W/m3. Nhiệt độ ở một đầu thanh là 1000C. Nhiệt độ môi trường bên ngoài là 1000C và hệ số truyền nhiệt là 50W/m20C. Dòng nhiệt ở cuối bên trái là 5000 W/m2. Nhưng đây là bài toán hình trụ, như vậy ta cần biến đổi phương trình, dùng các toạ độ trụ r , z và θ. Do tính đối xứng, nghiệm không phụ thuộc θ. Như vậy phương trình đã biến đổi là:

frzukr

zrukr

rtuCr =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−∂∂

ρ

Điều kiện biên là:

168

• = 5000 ở đầu cuối bên trái của thanh(điều kiện biên Neumann). Do điều kiện Neumann tổng quát hoá trong PDE Toolbox là .(c∇u)+qu = g và c phụ thuộc vào r trong bài toán này( c= kr),điều kiện biên này được biểu diễn bằng biểu thức

)uk.(n ∇r

nr

nr.(c∇u) = 5000r.

• u = 100 tại đầu cuối bên phải của thanh(điều kiện biên Dirichlet) • nr.(k∇u)= 50(100‐u) tại biên bên ngoài(điều kiện biên Neumann tổng quát hoá). Trong PDE Toolbox nó được biểu diễn bằng: nr.(c∇u)+ 50r.u = 50r.100. • trục của hình trụ r = 0 không phải là biên trong bài toán gốc nhưng khi biến đổi thành 2‐D thì lại là biên.Ta phải cho một điều kiện biên nr.(c∇u) = 0 tại đây. Giá trị đầu là u(t0) = 0

Mô hình thanh là hình chữ nhật dọc theo trục x và trục y hướng r. Ta vẽ hình chữ nhật với các góc (‐1.5,0), (1.5,0), (1.5,0.2), (‐1.5,0.2), nghĩa là cần nhập các số [‐1.5 0.0 3 0.2] vào Object Dialog của phần tử R1. Nhập điều kiện biên Neumann cho đầu cuối bên trái với q = 0 và g = 5000*y. Nhập điều kiện biên Dirichlet cho đầu cuối bên phải với h = 1và r = 100. Đối với biên ngoài dùng điều kiện biên Neumann với q = 50*y và g = 50*y*100. Trên trục ta dùng điều kiện biên Neumann với q = 0 và g = 0. Các hệ số của phương trình c = 40*y, a = 0, d = 7800*500*y và f =20000*y.

3. Các ví dụ về bài toán hyperbolic:

a. Phương trình sóng: Ta khảo sát sóng tạo ra từ dao động của một màng hình vuông có các góc (‐1,‐1),(‐1,1),(1,‐1) và (1,1). Phương trình dao động có dạng:

0utu2

2

=∆−∂∂

Màng được cố định(u = 0) tại cạnh phải và cạnh trái và tự do ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =∂∂ 0nu ở

cạnh trên và cạnh dưới. Ngoài ra, ta cần giá trị đầu u(t0) và ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

t)t(u 0 . Giá trị

đầu phải khớp với điều kiện biên. Nếu ta bắt đầu tại t =

0,thì ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

= x2

cosarctan)0(u và ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π=∂

∂ y2

sine)xsin(3

t)0(u là các giá trị đầu thoả mãn

điều kiện biên. Ta dùng PDE Toolbox với mode Generic Scalar. Vẽ hình chữ nhật với các góc như trên, nghĩa là ta phải điền vào Object Dialog các số: [ ‐1 ‐1 2 2]. Sau đó ta xác định điều kiện biên và khởi gán lưới. Mở hộp thoại PDE

169

Specification để nhập các giá trị của hệ số của phương trình. Do phương trình tổng quát có dạng:

fau)uc.(tud 2

2

=+∇∇−∂∂

nên với phương trình sóng ta có c = 1, a = 0, f = 0 và d = 1. Trước khi giải phương trình chọn Parameters... từ menu Solve để mở hộp thoại Solve Parametes. Trong mục times nhập linspace(0, 5, 31), giá trị đầu của u ta nhập atan(cos(pi/2*x)), và đạo hàm của u bằng: 3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y)). Cuối cùng nhấn nút = để giải phương trình. Bài toán này được lưu trong ct8_11.m. 4. Các ví dụ về các bài toán giá trị riêng: a. Các giá trị riêng và hàm riêng của màng dạng L: Bài toán tìm các giá trị riêng và các hàm riêng tương ứng của một màng dạng L hấp dẫn người dùng MATLAB, vì vẽ hàm riêng đầu tiên là logo của MathWorks. Thực tế, có thể so sánh các giá trị riêng và hàm riêng tính bằng PDE Toolbox và các giá trị riêng và hàm riêng tạo bởi hàm membrane của MATLAB. Bài toán được giải với tất cả các mode riêng và có các giá trị riêng nhỏ hơn 100 đối với bài toán PDE eigenmode: ‐∆u = λu trên hình dạng của màng L, u = 0 trên biên(điều kiện biên Dirichlet). Kích hoạt pdetool và kiểm tra xem ta đã ở Generic Scalar chưa. Sau đó vẽ hình L có các góc (0,0), (‐1,0), (‐1,‐1), (1,‐1),(1,1), và (0,1) bằng cách dùng nút polygon. Không cần xác định điều kiện biên đối với bài toán này vì điều kiện biên mặc định u = 0 trên biên là phù hợp. Do đó ta có thể thực hiện bước tiếp theo là tạo lưới. Sau đó ta tinh chỉnh lại lưới hai lần. Xác định bài toán giá trị riêng PDE cũng dễ. Ta mở hộp thoại PDE Specification và chọn Eigenmodes. Các giá trị mặc định của các hệ số của phương trình c =1, d = 1 và a = 0 khớp với bài toán. Như vậy ta có thể thoát khỏi hộp thoại PDE Specification bằng cách nhấn nút OK. Ta mở hộp thoại Solve Parameters và xác nhận phạm vi [0,100] là đúng.Cuối cùng giải bài toán bằng nhấn nút =. Giá trị riêng đầu tiên(nhỏ nhất) được hiển thị. Ta tìm số lượng giá trị riêng trên đường thông tin ở cuối GUI. Ta có thể mở hộp thoại Plot Selection và chọn giá trị riêng cần vẽ bằng cách chọn menu có giá trị riêng tương ứng. Bài toán này được lưu trong ct8_12.m. b. Các giá trị riêng và mode riêng của màng hình vuông: Ta nghiên cứu các giá trị riêng và mode riêng của một hình vuông. Các góc của hình vuông là

170

(‐1,‐1), (‐1,1), (1,1), and (1,‐1). Điều kiện biên như sau: • trên biên bên trái, điều kiện biên Dirichlet u = 0

• trên biên trên và dưới, điều kiện biên Neumann 0nu=

∂∂

• trên biên bên phải, điều kiện biên Neumann tổng quát hoá 0u43

nu

=−∂∂ .

Bài toán PDE giá trị riêng là: ‐∆u = λu Chúng ta quan tâm đến các giá trị riêng nhỏ hơn 10 và mode riêng tương ứng sao cho phạm vi nghiên cứu là [ ‐Inf 10]. Dấu của điều kiện biên Neumann tổng quát hoá sao cho ta có giá trị riêng âm. Ta dùng pdetool GUI theo kiểu Generic Scalar. Vẽ hình vuông dùng menu Draw. Sau đó ta xác định điều kiện biên trên biên bên phải là g = 0 và q = ‐3/4(điều kiện biên Neumann); điều kiện biên bên trái là u = 0(điều kiện biên Dirichlet); điều kiện biên trên và dưới là g = 0 và q = 0(điều kiện biên Neumann). Khởi gán lưới và tinh chỉnh lại một lần. Các hệ số của phương trình là: c = 1, a = 0 và d = 1. Khoảng giải bài toán trong Solve Parameters là [‐Inf 10]. Cuối cùng nhấn = để giải bài toán. Bài toán được lưu trong ct8_13.m. 5. Các dạng ứng dụng: a. Các kiểu ứng dụng và GUI: PDE Toolbox có thể áp dụng cho một số rất lớn bài toán khoa học và kĩ thuật. Các kiểu ứng dụng có thể có của nó là: • Generic scalar (kiểu mặc định) • Generic system • Structural Mechanics ‐ Plane Stress • Structural Mechanics ‐ Plane Strain • Electrostatics • Magnetostatics • AC Power Electromagnetics • Conductive Media DC • Heat Transfer • Diffusion Chú ý là nếu dùng GUI, bài toán bị giới hạn ở hàm 2 biến. Sử dụng các hàm dòng lệnh sẽ không gặp giới hạn này. Lựa chọn mode được thực hiện trên menu và khi đó các hệ số và điều kiện biên mặc định sẽ được tự động thay đổi cho phù hợp.

b. Cơ học kết cấu ‐ ứng suất bề mặt: Trong cơ học kết cấu, các phương

171

trình quan hệ giữa ứng suất và lực kéo phát sinh từ sự cân bằng lực trong vật thể. Ứng suất bề mặt là một điều kiện phổ biến trong một đĩa phẳng trong mặt phẳng xy chịu tải chỉ trong mặt phẳng không liên quan đến hướng z. Quan hệ lực ‐ ứng suất có thể được viết trong điều kiện đẳng hướng và đẳng nhiệt:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

γεε

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ν−ν

ν

ν−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

τσσ

xy

y

x

2

xy

y

x

21000101

1E

Trong đó σx và σy là ứng suất theo hướng x và y; τxy là ứng suất cắt. Tính chất của vật liệu được biểu diễn như là kết hợp của E‐mô đun đàn hồi hay mô đun Young và ν‐tỉ số Poisson. Sự biến dạng của vật liệu được mô tả bằng sự dịch chuyển theo hướng x và hướng y là u và v và được xác định như sau:

xu

x ∂∂

=ε ;yv

y ∂∂

=ε ;xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γ

Phương trình cân bằng lực là:

yxyy

xxyx

Kxy

Kyx

=∂τ∂

−∂σ∂

−

=∂

τ∂−

∂σ∂

−

Trong đó Kx và Ky là lực khối. Kết hợp các quan hệ trên, chúng ta có phương trình dịch chuyển : k)uc.( =∇⊗∇− Trong đó c là hạng của tenxơ bậc 4 mà ta có thể viết như 4 ma trận 2*2:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ µ+=

G00G2

c11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ µ=

0G0

c12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ

=0G0

c21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ+

=G200G

c22

Trong đó G là mo đun cắt, xác định bằng:

)1(2

EGν+

=

và µ được xác định bằng:

172

ν−

ν=µ

1G2

và

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

y

x

KK

k

là lực khối. Đây là phương trình PDE elliptic của một hệ(u là 2 chiều) nhưng ta chỉ cần để lựa chọn kiểu ứng dụng Structural Mechanics, Plan Stress và nhập các thông số phụ thuộc vật liệu E và ν và lực khối vào hộp thoại PDE Specification. Trong kiểu này chúng ta cũng giải bài toán giá trị riêng được mô tả bằng: ud)uc.( λ=∇⊗∇−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

ρ=

00

d

với ρ là mật độ và cũng được nhập bằng hộp thoại PDE Specification. Trong hộp thoại Plot Selection, dịch chuyển theo trục x và trục y là u và v và giá trị tuyệt đối của vec tơ dịch chuyển (u,v) có thể nhìn thấy bằng cách dùng màu, đường đồng mức hay độ cao z và trường vec tơ dịch chuyển (u,v) có thể vẽ bằng cách dùng mũi tên hay lưới biến đổi. Hơn nữa,ta có thể chọn từ 15 biểu thức ten xơ vô hướng:

• ux =xu∂∂

• uy =yu∂∂

• vx =xv∂∂

• vy =yv∂∂

• exx, lực căng theo hướng x(εx) • eyy, lực căng theo hướng y (εy) • exy, lực cắt(γxy) • sxx, ứng suất theo hướng x(σx) • syy, ứng suất theo hướng y(σy) • sxy, ứng suất cắt (τxy) • e1, lực chính thứ nhất (ε1) • e2, lực chính thứ 2 (ε2) • s1, ứng suất chính thứ nhất(σ1) •s2, ứng suất cơ bản thứ 2(σ2)

173

• ứng suất hiệu dụng theo Mises ( 2122

21 σσ−σ+σ )

Ta khảo sát một tấm thép bị nén bởi một lực vuông góc với cạnh bên dưới và kéo ở đoạn cắt tròn bên trên. Các cạnh khác tự do. Tấm thép có các đặc tính sau: kích thước 1m*1m; dày 1mm; ghép 1/3‐1/3m; vết cắt tròn từ (2/3,1) đến (1,2/3). Mo đun Young là 196.103MN/m2; tỉ số Poisson 0.31. Biên cong chịu một lực kéo ra ngoài với trị số 500N/m. Ta cần mô tả lực kéo trên bề mặt nên ta chia cho chiều dày 1mm và như vậy có lực 0.MN/m2. Ta cần tính lực và ứng suất theo hướng x và hướng y.

Với bài toán này ta chọn mode Structural Mechanics, Plane Stress. Mô hình CSG có thể thực hiện bằng cách vẽ đa giác có các góc với x = [0 2/3 1 1 1/3 1/3 0] và y = [1 1 2/3 0 0 1/3 1/3] và hình tròn có tâm tại x = 2/3, y = 2/3 và bán kính1/3. Mô hình là P1+E1. Tiếp đó chọn Boundary Mode để mô tả điều kiện biên. Trước hết bỏ hết các biên của vùng con bằng cách chọn Remove All Subdomain Borders từ menu Boundary. Hai biên ở góc dưới phải bị nén, nghĩa là điều kiện biên Dirichlet với 0 bị bỏ. Góc cắt tròn có điều kiện biên Neumann với q = 0 và g1 = 0.5*nx và g2 = 0.5*ny. Các biên còn lại có điều kiện biên Neumann với q = 0 và g = 0. Bước tiếp theo là mở hộp thoại PDE Selection và nhập các thông số của PDE. Do không có lực nên Kx và Ky bằng 0 và ρ không dùng trong mode này. Vật liệu đồng nhất nên E và ν áp dụng cho toàn miền. Khởi gán lưới và tinh chỉnh lại nó. Giải bài toán bằng cách nhấn nút = . Bài ttoán được lưu trong ct8_14.m.

c. Cơ học kết cấu‐lực căng bề mặt: Trạng thái biến dạng trong đó không có dịch chuyển theo hướng z và dịch chuyển theo hướng x và y là hàm của x và y mà không phải của z được gọi là lực căng bề mặt. Ta có thể giải bài toán về lực căng bề mặt với PDE Toolbox bằng chọn kiểu ứng dụng Structural Mechanics, Plane Strain. Quan hệ lực ‐ ứng suất chỉ khác ít so với trường hợp ứng suất phẳng và các chọn lựa như trên được dùng. Giao diện ứng dụng là đồng nhất với 2 kiểu ứng dụng cơ học kết cấu. Sự biến dạng trong bài toán lực căng bề mặt khác với phương trình ứng suất phẳng ở chỗ: • thông số m trong ten xơ c được xác định là:

ν−

ν=µ

21G2

• ứng suất hiệu dụng Mises được tính bằng: ( )( ) ( )1221 2

2122

221 −ν−νσσ−+ν−νσ+σ

Bài toán tương tự như trên được lưu trong ct8_15.m.

174

c. Điện trường tĩnh: Các ứng dụng liên quan đến điện trường tĩnh bao gồm các thiết bị điện cao áp, các dụng cụ điện tử và các tụ điện. Chữ “tĩnh” bao hàm ý là sự thay đổi của các đại lượng theo t rất chậm và bước sóng rất lớn so với kích thước của vùng đang xét. Trong các bài toán tĩnh điện, điện thế vô hướng V quan hệ với cường độ điện trường E qua biểu thức: UE −∇=

r

Dùng phương trình Maxwell : ρ=∇D

r

và quan hệ ta có phương trình Poisson: EDrrε=

ρ=∇ε∇− )U.(Trong đó ε là hệ số điện mối và ρ là mật độ điện tích không gian. Sử dụng các ứng dụng PDE Toolbox kiểu Electrostatics, ta có thể giải các bài toán tĩnh điện được mô hình hoá bằng phương trình trên. Hộp thoại PDE Specification chứa mục vào cho ε và ρ. Điều kiện biên đối với các bài toán tĩnh điện có thể là điều kiện biên Dirichlet hay Neumann. Với điều kiện biên Dirichlet, điện thế tĩnh U được mô tả trên biên. Với điều kiện biên Neumann, điện tích bề mặt được mô tả trên biên. Để xem các nghiệm của bài toán điện tĩnh phần vẽ bao gồm điện thế U, cường độ điện trường E, và vec tơ dịch chuyển điện D.

)U(n ∇εr

Ta khảo sát bài toán xác định điện thế tĩnh trong một khung hình vuông chứa đầy không khí với biên trong có cạnh dài 0.2 và biên ngoài có cạnh 0.5. Tại biên trong điện thế là 1000V. Tại biên ngoài điện thế là 0V. Không có điện tích trong vùng khảo sát. Như vậy ta có phương trình Laplace: ∆U = 0 với điều kiện biên Dirichlet U = 1000 ở biên trong và U = 0 tại biên ngoài. Sau khi chọn kiểu ứng dụng là Electrostatics ta vẽ vùng xác định của bài toán là 2 hình vuông có cạnh 0.5 gọi là R1 và 0.2 gọi là R2(file ct8_16.m). Vùng 2‐D ta xét là R2 ‐ R1. Tiếp đó ta xác định điều kiện biên. Chọn tất cả biên trong bằng cách dùng Shift‐click và đặt điều kiện biên Dirichlet 1000. Điều kiện biên bên ngoài là 0. Mở hộp thoại PDE Specification và đặt rho = 0. Hệ số điện môi có thể đặt bằng 1 vì nó là hằng nên không ảnh hưởng đến kết quả. Khởi gán lưới rồi nhấn nút = để giải phương trình. Để xem các đường đẳng thế, chọn Contour plot từ hộp thoại Plot Selection. d. Từ trường tĩnh: Nam châm, động cơ điện và máy biến biến áp là những lĩnh vực có từ trường tĩnh. Phương trình Maxwell đối với trường tĩnh là:

175

0B.

JB

=∇

=×∇r

rr

và quan hệ HBrr

µ=Do nên tồn tại từ thế vec tơ A sao cho B = ∇×A và: 0B. =∇

r

JA1 rr=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×∇

µ×∇

Do ∇.B = 0 nên tồn tại từ thế vec tơ A sao cho: B = ∇A

Và: JA1 rr=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×∇

µ×∇

Trong trường hợp bài toán 2‐D ta coi dòng điện chạy theo hướng z và như vậy vec tơ A chỉ có thành phần theo trục z: A = (0,0,A),J = (0,0,J), Và phương trình trên được đơn giản hoá thành phương trình ellipptic:

JA1. =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∇

µ∇−

Trong đó : J = J(x,y). Với bài toán 2‐D ta tính từ cảm B theo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

= 0,xA,

yAB

r

và H được tính theo:

B1Hrr

µ=

Điều kiện biên trên mặt phân cách hai môi trường khác nhau là H×n phải liên

tục,nghĩa là nA1∂∂

µ liên tục. Điều này không đòi hỏi sự xử lí đặc biệt vì ta dùng

công thức biến phân của bài toán PDE. Trong vật liệu sắt từ, µ thường phụ thuộc vào B và do đó ta phải dùng phương pháp giải phi tuyến. Điều kiện biên Dirichlet mô tả giá trị của từ thế A trên biên. Điều kiện biên Neumann mô tả giá trị của thành phần pháp tuyến

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∇

µA1nr . Điều này tương đương với việc mô tả giá trị tiếp tuyến của H trên

biên. Ta khảo sát từ trường tĩnh tạo bởi cuộn dây stator của một động cơ điện một chiều hai cực. Ta coi động cơ rất dài nên có thể bỏ qua hiệu ứng biên và mô hình tính 2‐D là đủ. Ta tính trường trong 4 vùng:

176

• hai vùng sắt từ là stator và rotor • khe hở không khí giữa stator và rotor • cuộn dây phần ứng có điên một chiều. Độ từ thẩm µ = 1 trong cuộn dây và trong khe hở không khí. Trong stator và

rotor ta có: min2max

)A(c1µ+

∇+µ

=µ

µmax = 5000, µmin = 200 và c = 0.05 là các giá trị thường dùng đối với thép làm lõi máy điện. Mật độ dòng điện J = 0 tại mọi nơi trừ cuộn dây. Trong cuộn dây nó có trị số là 1. Hình dạng hình học của vùng xét cho thấy vec tơ A đối xứng so với trục y và đối xứng đổi dấu so với trục x. Do đó ta chỉ cần tính trường trong

vùng x ≥ 0, y ≥ 0 với điều kiện biên Neumann ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∇

µA1nr trên trục x và điều kiện

biên Dirichlet A = 0 trên trục y. Trường bên ngoài động cơ có thể bỏ qua nên trên biên bên ngoài ta dùng điều liện biên Dirichlet A = 0.

Hình dạng động cơ rất phức tạp, gồm 5 cung tròn và hai hình chữ nhật. Ta dùng pdetool GUI, đặt trục x có giới hạn từ [‐1.5 1.5] và trục y có giới hạn [‐1 1]. Đặt kiểu ứng dụng là Magnetostatics và dùng grid spacing là 0.1. Mô hình là tổ hợp của hình tròn và hình chữ nhật. Ta khởi động pdetool vẽ mô hình bằng các lệnh sau(lưu trong file ct8_17.m):

pdecirc(0,0,1,ʹC1ʹ) pdecirc(0,0,0.8,ʹC2ʹ) pdecirc(0,0,0.6,ʹC3ʹ) pdecirc(0,0,0.5,ʹC4ʹ) pdecirc(0,0,0.4,ʹC5ʹ) pderect([–0.2 0.2 0.2 0.9],ʹR1ʹ) pderect([–0.1 0.1 0.2 0.9],ʹR2ʹ) pderect([0 1 0 1],ʹSQ1ʹ)

Nhập lệnh sau (C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + R1 + R2)*SQ1 rồi bấm icon ∂Ω để đưa mô hình về góc phần tư thứ nhất. Ta cần bỏ một số biên của vùng con. Dùng shift‐click, chọn biên và bỏ nó bằng cách dùng Remove Subdomain Border trong menu Boundary cho đến khi mô hình có 4 vùng: stator, rotor, khe hở và cuộn dây. Trước khi chuyển sang PDE mode, chọn biên dọc theo trục x và đặt điều kiện biên Neumann với g = 0 và q = 0. Trong PDE mode chọn Show Subdomain Labels. Nhấp đúp lên từng vùng để xác định các thông số của PDE. • trong cuộn dây cả µ và J đều bằng 1, như vậy không cần thay đổi giá trị

177

mặc định. • trong stator và rotor µ là phi tuyến và xác định bằng phương trình trên. Nhập trị của µ: 5000./(1+0.05*(ux.^2+uy.^2))+200 và J = 0. • trong không khí µ = 1 và J = 0

Ta khởi gán lưới và tiếp tục bằng cách mở hộp thoại Solve Parameters và chọn cách giải phi tuyến. Giải bài toán và vẽ B bằng mũi tên và đường đẳng thế bằng contour. Bài toán lưu trong ct8_18.m. e. Trường điện từ của nguồn ac: Bài toán về trường điện từ của nguồn xoay chiều xuất hiện khi ta nghiên cứu trường của các động cơ, m.b.a, vật dẫn có dòng điện xoay chiều. Chúng ta sẽ khảo sát trường trong môi trường điện môi đồng nhất có các hệ số ε & µ và không có điện tích trong toàn miền.Trường thoả mãn hệ phương trình Maxwell:

JEH

HE

rr

r

rr

+∂∂

ε=×∇

∂∂

µ−=×∇

t

t

Khi không có dòng điện, hệ trường thoả mãn phương trình sóng với vận tốc truyền sóng là εµ :

0t

0t

2

2

2

2

=∂∂

µε−∆

=∂∂

µε−∆

EH

HEr

r

rr

Chúng ta nghiên cứu một điện môi đồng nhất không có điện tích, có các hệ số điện môi là ε, độ từ thẩm là µ và độ dẫn điện là σ. Mật độ dòng điện là:

và các sóng bị tắt dần do điện trở. Phương trình đối với E là: EJrr

σ=

0tt 2

2

=∂∂

µε−∂∂

µσ−∆EEErr

r

Phương trình đối với H cũng có dạng tương tự. Trường hợp trường biến thiên điều hoà ta dùng dạng phức, thay E bằng tj

ceωE .

Trường hợp bài toán phẳng ta có Ec = (0,0,Ec) và J = (0,0,Jejωt) và từ trường là:

cyx j1)0,H,H( EH

rr×∇

ωµ−==

Phương trình vô hướng đối với Ec trở thành:

0E)j(E1c

2c =εω−ωσ+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∇

µ∇−

178

Phương trình này được dùng trong PDE Toolbox với dạng ứng dụng AC Power Electromagnetics. Nó là phương trình Helmholz phức mô tả sự lan truyền của một sóng điện từ phẳng trong môi trường điện môi không hoàn hảo và dẫn điện tốt(σ >> ωε). Hệ số điện môi phức εc định định nghĩa là:

ωσ−ε=ε jc . Điều kiện biên ở bề mặt phân cách hai môi trường là điều kiện tự nhiên đối với công thức biến phân nên ta không cần chú ý. Các thông số PDE cần nhập vào hộp thoại PDE Specification là tần số góc ω, độ từ thẩm µ, độ dẫn điện σ và hệ số điện môi ε. Điều kiện biên kết hợp với mode này là điều kiện biên Dirichlet mô tả giá trị của Ec trên biên và điều kiện biên Neumann mô tả đạo hàm của Ec theo hướng pháp tuyến. Điều này tương đương với việc cho thành phần tiếp tuyến của vec tơ cường độ từ trường H:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∇

µω= ct E1njH

Các đại lượng có thể tính từ nghiệm là:

EBrr

×∇ω

=j

và J = σE.

Các đại lượng E, J, B, H và nhiệt lượng Q = Ec*Ec/σ có thể vẽ ra. Vec tơ B,H vẽ được nhờ dùng mũi tên.

Ta xác định hiệu ứng mặt ngoài khi dòng điện xoay chiều chạy trong vật dẫn bằng đồng có tiết diện tròn. Độ dẫn điện của đồng là σ = 57.106 và độ từ thẩm là 1, nghĩa là µ = 4π.10‐7. Tại tần số f = 50Hz, ω2ε ≈ 0 và có thể bỏ qua. Do hiện tượng cảm ứng nên mật độ dòng điện bên trong thanh dẫn nhỏ hơn mặt ngoài là nơi có JS = 1 và điều kiện biên của trường là Ec = 1/σ. Trong trường hợp này có thể tìm nghiệm giải tích dạng:

)kR(J)kr(JJJ

0

0S=

Trong đó ωµε= jk , và R là bán kính của dây, r là khoảng cách đến tâm và J0(x) là hàm Bessel loại 1 bậc zero.

Khởi động pdetool GUI và dùng mode AC Power Electromagnetics. Vẽ hình tròn bán kính 0.5 để biểu diễn mặt cắt ngang của dây dẫn (file ct8_19.m)và xác định điều kiện biên. Dùng tuỳ chọn Select All để chọn tất cả biên và nhập 1/57E6 và cho r trong hộp thoại Boundary Condition để xác định điều kiện biên Dirichlet(E = J/σ). Mở hộp thoại PDE Specification và nhập các thông số. Tần số góc ω = 2*pi*50. Đánh dấu ô Adaptive mode. Đặt số tam giác

179

là Inf và maximum numbers of refinements là 1. Khởi gán lưới và giải phương trình. Vẽ mật độ dòng điện là 3‐D. Bài toán lưu trong ct8_19.m. f. Môi trường dẫn dc: Khi với tính toán quá trình điện phân và điện trở nối đất ta gặp một môi trường dẫn có độ dẫn σ và một dòng điện ổn định. Mật độ dòng điện J liên quan với cường độ điện trường E bằng phương trình J=σE. Kết hợp tính liên tục của phương trình ∇J = Q (Q là nguồn dòng) với định nghĩa điện thế U cho ta phương trình Poisson: 0)U( =∇σ∇−Ta chỉ có 2 thông số PDE là độ dẫn σ và nguồn dòng điện Q. Điều kiện biên Dirichlet gán các giá trị của điện thế U vào biên, thường là vật dẫn bằng kim loại. Điều kiện biên Neumann đòi hỏi giá trị pháp tuyến của mật độ dòng điện (nσ(∇(U))) đã cho. Cũng có thể mô tả điều kiện biên Neumann tổng quát hoá được xác định bằng nσ(∇(U)) + qU = g, trong đó q có thể coi là một lớp mỏng dẫn điện. Điện thế U, cường độ điện trường E và mật độ dòng điện J có thể vẽ ra. Ta muốn thấy các đường dòng điện(trường vec tơ của J) và các đường thế của U. Các đường thế trực giao với đường dòng điện khi σ đẳng hướng.

Ta xét hai thanh dẫn kim loại hình tròn được đặt trong một mặt phẳng, dẫn điện mỏng như tờ giấy thấm thấm đẫm nước biển. Mô hình vật lí của bài toán gồm phương trình Laplace đối với điện thế U:

0)U( =∇σ∇− và các điều kiện biên: • U = 1 trên thanh dẫn tròn bên trái • U = ‐1 trên thanh dẫn tròn bên phải • điều kiện biên Neumann tự nhiên trên biên ngoài ∂U/∂n = 0 Độ dẫn σ = 1.

Trong pdetool GUI dùng Conductive Media mode. Vẽ tờ giấy thấm là hình chữ nhật R1 có các góc (‐1.2, ‐0.6),(1.2, ‐0.6),(1.2, 0.6) và (‐1.2, 0.6). Vẽ thêm 2 hình tròn C1 và C2 có bán kính 0.2 và tâm tại (‐0.6, 0) và (0.6, 0). Bài toán 2‐D (file ct8_20.m)được biểu diễn trong miền R1 ‐ (C1 + C2). Chọn toàn bộ biên ngoài và đặt điều kiện biên Neumann vào hộp thoại Boundary Condition. Đối với thanh dẫn tròn bên trái ta nhập điều kiện biên Dirichlet U = 1. Thanh dẫn tròn bên phải có điều kiện biên Dirichlet u = ‐1. Tiếp theo mở hộp thoại PDE Specification và nhập q = 0. Giá trị mặc định của σ =1 không cần thay đổi. Khởi gán lưới và tinh chỉnh 2 lần. Giải phương trình bằng nhấn nút =. Xem J bằng cách vẽ giá trị tuyệt đối và dùng contour plot và trường vec tơ bằng cách dùng mũi tên.

180

g. Truyền nhiệt: Phương trình truyền nhiệt có dạng:

)TT(hQ)Tk(tTC ext −+=∇∇−∂∂

ρ

Đây là phương trình parabolic có các thông số: • mật độ ρ • nhiệt dung C • hệ số dẫn nhiệt k • nguồn nhiệt Q • hệ số truyền nhiệt bằng đối lưu h • nhiệt độ bên ngoài Text

Các điều kiện biên có thể là điều kiện biên Dirichlet(cho nhiệt độ trên biên) hay điều kiện biên Neumann(cho dòng nhiệt n.(k∇(T)). Điều kiện biên Neumann tổng quát n.(k∇(T) + qt = g (q là hệ số truyền nhiệt)cũng có thể được dùng. Ta có thể xem nhiệt độ, gradient nhiệt độ và dòng nhiệt k∇(T).

Ta xét bài toán truyền nhiệt với các vật liệu khác nhau. Bài toán 2‐D gồm một hình vuông quay 450(hình thoi). Vùng hình vuông khác bằng vật liệu có hệ số dẫn nhiệt 10 và mật độ 2. Vùng hình thoi có nguồn nhiệt phân bố đều với trị số 4, có hệ số dẫn nhiệt 2 và mật độ 1. Cả 2 vùng có nhiệt dung 0.1.

Khởi động pdetool ở kiểu Heat Transfert. Đặt giới hạn của trục x và y là [‐0.5 3.5] và chọn Axis Equal từ menu Option(file ct8_21.m). Vẽ hình vuông có các góc (0, 0), (3, 0), (0, 3) và (3, 3) và hình thoi có các góc (1.5 0.5), (2.5 1.5), (1.5 2.5) và (0.5 1.5). Nhiệt độ bằng 0 trên tất các các biên ngoài và như vậy ta không cần thay đổi điều kiện biên mặc định. Nhấp đúp vào từng vùng để nhập các thông số PDE. Ta muốn giải phương trình truyền nhiệt parabolic vì vậy cần chọn cách giải parabolic. Trong vùng hình vuông nhập mật độ 1, nhiệt dung 0.1, hệ số dẫn nhiệt 10. Do không có nguồn nhiệt nên nhập 0. Trong vùng hình thoi nhập mật độ 1, nhiệt dung 0.1, hệ số dẫn nhiệt 2, nguồn nhiệt 4. Số hạng (Text‐T) không dùng nên nhập h = 0. Do ta giải phương trình PDE động nên cần cho điều kiện đầu và thời gian tính nghiệm. Vì vậy mở hộp thoại Solve Parameter. Bài toán xảy ra rất nhanh, đạt giá trị xác lập trong 0.1 đơn vị thời gian. Để bắt được phần quan trọng của đặc tính động, nhập time [0:0.01:0.1] như là vec tơ thời gian để giải phương trình nhiệt. Đặt giá trị đầu của nhiệt độ là 0. Giải bài toán. Mặc định, nhiệt độ cuối quá trình được vẽ. Cách tốt nhất để nhìn đặc tính động là hoạt

181

hình hoá nghiệm. Khi hoạt hình hoá, đánh dấu Height và chọn Plot in x‐y grid.

182