Chapitre6.Polynômesetfractionsrationnellesismael.sou.free.fr/lycee/ATS/06-polynomes.pdf · 2019-11-03 · ATS Chapitre6: Polynômes LycéeDiderot 2019–2020 I Définitions Dansl’ensembledecechapitre,𝕂désignelecorpsdesréelsℝoulecorpsdescomplexesℂ

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Chapitre 6. Polynômes et fractions rationnelles

Notions à connaître et objectifs :

1. Manipuler la notion de degré : définition, opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˝

2. Utiliser la dérivation d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˝

3. Utiliser la division euclidienne d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˝

4. Notion de racine et de multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˝

5. Factoriser un polynôme dans ℝ et dans ℂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˝

6. Pôle d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˝

7. Déterminer la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . .˝

Les videos d’exo7 http ://exo7.emath.fr/https ://www.youtube.com/watch ?vdDKI3jkMjfw � Définitionshttps ://www.youtube.com/watch ?vCnMrf9aW-LU � Arithmétique des polynômeshttps ://www.youtube.com/watch ?vqCMnvqc2t8A � Racine d’un polynôme, factorisationhttps ://www.youtube.com/watch ?vwf-eEQPBX0Y � Fractions rationnelles

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ATS Chapitre 6 :Polynômes

Lycée Diderot2019–2020

I DéfinitionsDans l’ensemble de ce chapitre, 𝕂 désigne le corps des réels ℝ ou le corps des complexes ℂ.

I.1 Polynôme

Définition 6.1. On note 𝑋 ∶ 𝕂 ⟶ 𝕂 la fonction définie sur 𝕂 par 𝑥 ⟼ 𝑥 (c’est lafonction identité).

De même on note 𝑋𝑘 ∶ 𝕂 ⟶ 𝕂 la fonction définie sur 𝕂 par 𝑥 ⟼ 𝑥𝑘 (le nombre𝑥 ∈ 𝕂 à la puissance 𝕂.Définition 6.2 (Polynôme). Un polynôme à coefficients dans 𝕂 est une expressionde la forme 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑛𝑋𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑋2 + 𝑎1𝑋 + 𝑎0,avec 𝑛 ∈ ℕ et 𝑎0, 𝑎1,… , 𝑎𝑛 ∈ 𝕂.

L’ensemble des polynômes est noté 𝕂[𝑋].• Les 𝑎𝑖 sont appelés les coefficients du polynôme.

• Si tous les coefficients 𝑎𝑖 sont nuls, 𝑃 est appelé le polynôme nul , il est noté 0.• On appelle le degré de 𝑃 le plus grand entier 𝑖 tel que 𝑎𝑖 ≠ 0 ; on le note deg𝑃.

Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞.

• Dans ce cas, a n est appelé coefficient dominant du polynôme P.

• Un polynôme de la forme 𝑃 = 𝑎0 avec 𝑎0 ∈ 𝕂 est appelé un polynôme constant .Si 𝑎0 ≠ 0, son degré est 0.

• Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant vaut 1.Définition 6.3. Avec les notations de la définition précédente, la fonction polynômeassociée au polynôme 𝑃 est la fonction, encore notée 𝑃, définie sur 𝕂 par𝑃 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0.

Remarque 6.1. 𝑋 s’appelle l’indéterminée et peut aussi être associeé non pas à une fonction maisà la suite 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1, 𝑎𝑘 = 0 pour 𝑘 ⩾ 2 ; 𝕂[𝑋] est alors l’ensemble des suites nulles sauf pourun nombre fini de rangs.

Avec cette définition très formelle, les définitions et propriétés du chapitre restent inchangéeset on associe à la suite définie plus haut la fonction 𝑥 ↦ 𝑥 pour retrouver le cadre présenté ici.

Exemple 6.4.

• 𝑋3 − 5𝑋 + 34 est un polynôme de degré 3.• 𝑋𝑛 + 1 est un polynôme de degré 𝑛.• 2 est un polynôme constant, de degré 0.

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Remarque 6.2. Attention : la notation 𝑃(𝑋) représente une fonction (c’est une représentationformelle). On peut ainsi parler du polynôme 𝑃(𝑋) = 𝑋2 − 1 plutôt que de parler de la fonctionpolynôme 𝑃 définie pour tout 𝑥 ∈ 𝕂 par 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 1.

Définition 6.5. On note 𝕂[𝑋] l’ensemble des polynômes à coefficients dans 𝕂 , et𝕂𝑛[𝑋] l’ensemble des polynômes à coefficients dans 𝕂 de degré inférieur ou égal à 𝑛.Exemple 6.6. Ainsi, 𝐾1[𝑋] = {𝑎𝑋 + 𝑏, (𝑎, 𝑏) ∈ 𝕂2} et 𝕂2[𝑋] = {𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐, (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝕂3}.

Proposition 6.7. L’ensemble 𝕂[𝑋] est un sous-espace vectoriel de l’espace vectorieldes fonctions définies sur 𝕂 à valeur dans 𝕂.

Ainsi 𝕂[𝑋] admet pour addition, l’addition des fonctions, et la multiplication par unscalaire : soient 𝜆 ∈ ℝ,𝑃(𝑋) = 𝑎𝑛𝑋𝑛 +𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1 +⋯𝑎1𝑋+𝑎0, 𝑄(𝑋) = 𝑎𝑛𝑋𝑛 +𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1 +⋯+𝑏1𝑋+𝑏0,alors(𝑃 + 𝑄)(𝑋) =(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑋𝑛 + (𝑎𝑛−1 + 𝑏𝑛−1)𝑋𝑛−1 +⋯+ (𝑎1 + 𝑏1)𝑋 + (𝑎0 + 𝑏0),(𝜆𝑃)(𝑋) =𝜆𝑎𝑛𝑋𝑛 + 𝜆𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1 +⋯+ 𝜆𝑎1𝑋 + 𝜆𝑎0.

Démonstration. Addition et multiplication des fonctions.

Remarque 6.3. Autrement dit 𝕂[𝑋] = Vect (1,𝑋,𝑋2,… ,𝑋𝑛,…).Proposition 6.8. La famille (1,𝑋,𝑋2,… ,𝑋𝑛,…) est libre et est une base de 𝕂[𝑋].

Démonstration. Voir plus loin comme application de la dérivation.

Proposition 6.9. Soient 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑛𝑋𝑛+⋯+𝑎1𝑋+𝑎0 et𝑄(𝑋) = 𝑏𝑚𝑋𝑚+⋯+𝑏1𝑋+𝑏0alors 𝑃 = 𝑄 ⇔ 𝑛 = 𝑚 et ∀𝑖 ∈ {1,… , 𝑛}𝑎𝑖 = 𝑏𝑖.

Exemple 6.10. Soit 𝑃(𝑋) = 𝑋3 −𝑋2 − 3𝑋 + 2. Déterminer trois réels 𝑎, 𝑏, 𝑐 tels que∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)Correction :Soit 𝑄(𝑋) = (𝑋 − 2)(𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐). En développant, on obtient𝑄(𝑋) = 𝑎𝑋3 + 𝑏𝑋2 + 𝑐𝑋 − 2𝑎𝑋2 − 2𝑏𝑋 − 2𝑐 = 𝑎𝑋3 + (𝑏 − 2𝑎)𝑋2 + (𝑐 − 2𝑏)𝑋 − 2𝑐Pour que 𝑃 = 𝑄, par unicité de l’écriture d’un polynôme, on identifie les coefficients :𝑎 = 1, 𝑏 − 2𝑎 = −1, 𝑐 − 2𝑏 = −3, −2𝑐 = 2Ce qui donne 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 et 𝑐 = −1.Ainsi 𝑃(𝑋) = (𝑋 − 2)(𝑋2 +𝑋 − 1).

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Exemple 6.11. Trouver deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que∀𝑥 ∈ ℝ \ {−1, 1}, 1𝑥2 − 1 = 𝑎𝑥 + 1 + 𝑏𝑥 − 1Correction : En mettant au même dénominateur on cherche 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tel que∀𝑥 ∈ ℝ \ {−1, 1}, 1𝑥2 − 1 = 𝑎(𝑥 − 1)𝑥2 − 1 + 𝑏(𝑥 + 1)𝑥2 − 1 = (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎 − 𝑏𝑥2 − 1 .Par identification des coefficients, on a donc𝑎 + 𝑏 = 0 et 𝑎 − 𝑏 = 1,c’est à dire 𝑎 = 12, 𝑏 = −12.Ainsi ∀𝑥 ∈ ℝ \ {−1, 1}, 1𝑥2 − 1 = 12(𝑥 + 1) − 12(𝑥 − 1)

Proposition 6.12. 𝕂𝑛[𝑋] est un sous-espace vectoriel de 𝕂[𝑋].Démonstration. Soit 𝑃 de degré 𝑛 et𝑄 de degré𝑚. Si 𝑛 ≠ 𝑚 alors deg(𝑃+𝑄) = max(deg(𝑃 )deg(𝑄)).Sinon le coefficient dominant de 𝑃+𝑄 est 𝑎𝑛+𝑏𝑛 (avec les notations précédentes) et deg(𝑃+𝑄) ⩽ 𝑛.On a pour 𝜆 ≠ 0 deg(𝜆𝑃) = deg(𝑃 ).

Définition 6.13. Soit 𝑃 ,𝑄 ∈ 𝕂[𝑋] On définit le polynome (𝑃𝑄)(𝑋) par la multipli-cation des fonctions.

Proposition 6.14. Soient 𝑃 ,𝑄 ∈ 𝕂[𝑋]. On a les propriétés suivantes

• deg(𝑃 + 𝑄) ⩽ 𝑀𝑎𝑥 (deg(𝑃 ), deg(𝑄))• deg(𝑃𝑄) = deg(𝑃 ) + deg(𝑄)

Démonstration. On a déjà montré le premier point. Montrons le second. Quand on développe𝑃(𝑋)𝑄(𝑋), le terme de plus haut degré est le terme 𝑎𝑛𝑋𝑛𝑏𝑚𝑋𝑚 = 𝑎𝑛𝑏𝑚𝑋𝑛+𝑚 (avec 𝑎𝑛 ≠ 0 et𝑏𝑚 ≠ 0). Donc deg(𝑃𝑄) = deg(𝑃 ) + deg(𝑄).Proposition 6.15. Soient 𝑃 = 𝑎𝑛𝑋𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑋 + 𝑎0 et 𝑄 = 𝑏𝑚𝑋𝑚 +𝑏𝑚−1𝑋𝑚−1 +⋯+ 𝑏1𝑋 + 𝑏0. On a alors𝑃 ×𝑄 = 𝑐𝑟𝑋𝑟 + 𝑐𝑟−1𝑋𝑟−1 +⋯+ 𝑐1𝑋 + 𝑐0

avec 𝑟 = 𝑛 +𝑚 et 𝑐𝑘 = ∑𝑖+𝑗=𝑘 𝑎𝑖𝑏𝑗 pour 𝑘 ∈ {0,… , 𝑟}.123



Définition 6.16. On définit la composition de 𝑃 = 𝑎𝑛𝑋𝑛 + ⋯𝑎1𝑋 + 𝑎0 ∈ 𝕂[𝑋] et𝑄 ∈ 𝕂[𝑋] par la composition des fonctions ce qui donne(𝑃 ∘ 𝑄)(𝑋) = 𝑎𝑛𝑄(𝑋)𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑄(𝑋)𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑄(𝑋)2 + 𝑎1𝑄(𝑋) + 𝑎0Remarque 6.4. L’addition, la multiplication par un scalaire et la multiplication se comportent demanière habituelle (distributivité, associativité, commutativité, simplification dans les équations).Exemple 6.17. 𝑃(𝑋) = (𝑋 − 1)(𝑋𝑛 + 𝑋𝑛−1 + ⋯ + 𝑋 + 1). On développe cette expression :𝑃(𝑋) = (𝑋𝑛+1 +𝑋𝑛 +⋯+𝑋2 +𝑋) − (𝑋𝑛 +𝑋𝑛−1 +⋯+𝑋 + 1) = 𝑋𝑛+1 − 1. 𝑃(𝑋) est donc unpolynôme de degré 𝑛 + 1, il est unitaire et est somme de deux monômes : 𝑋𝑛+1 et −1.I.2 Dérivée

Définition 6.18. Soit 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑛𝑋𝑛+⋯+𝑎1𝑋+𝑎0 ∈ 𝕂[𝑋] un polynôme. On appellepolynôme dérivé, et on note 𝑃 ′, le polynôme défini par𝑃 ′(𝑋) = 𝑛𝑎𝑛𝑋𝑛−1 + (𝑛 − 1)𝑎𝑛−1𝑋𝑛−2 +⋯+ 2𝑎2𝑋 + 𝑎1Proposition 6.19. L’application 𝐷 ∶ 𝕂[𝑋] ⟶ 𝕂[𝑋] qui à 𝑃 associe 𝑃 ′ est un endo-morphisme.

Preuve laissée en exerciceRemarque 6.5. On peut dériver à nouveau 𝑃 ′ et on note 𝑃 ″ ou 𝑃 (2) la dérivée seconde de 𝑃. Plusgénéralement, on note 𝑃 (𝑘) la dérivée 𝑘-ième de 𝑃 définie par 𝑝(𝑘) = (𝑃 (𝑘−1))′.Exemple 6.20. Soit 𝑃(𝑋) = 3𝑋3 + 2𝑋2 − 1. Alors 𝑃 ′(𝑋) = 9𝑋2 + 4𝑋, 𝑃 (2)(𝑋) = 18𝑋 + 4,𝑃 (3)(𝑋) = 18 et 𝑃 (4)(𝑋) = 0.

De façon générale :

Proposition 6.21. Sit 𝑃 ∈ 𝕂[𝑋]. Si deg(𝑃 ) = 𝑛 ⩾ 1, alors deg(𝑃 ′) = 𝑛−1 et 𝑃 (𝑘) = 0pour 𝑘 ⩾ 𝑛.

Exemple 6.22. Pour montrer que la famille (1,𝑋,𝑋2,…𝑋𝑛,…) est une base de 𝕂[𝑋], il suffit demontrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, (1,𝑋,𝑋2,…𝑋𝑛) est une base 𝕂𝑛[𝑋] (car une combinaison lindéaireest toujours finie ; on parle de somme finie)

Il suffit donc de montrer que si un polynome est la fonction nulle alors c’est le polynôme nul(tous les 𝑎𝑖 = 0).

Pour cela on raisonne par récurrence.Initialisation : Pour 𝑛 = 0, c’est clair.Hérédité : On suppose que (1,𝑋,… ,𝑋𝑛−1) est libre (pour 𝑛 ⩾ 1). On se donne 𝑎0,… , 𝑎𝑛 dans𝕂 tels que 𝑎0 + 𝑎1𝑋 +⋯𝑎𝑛𝑋𝑛 = 0.

Il faut montrer que 𝑎0 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0.En dérivant de chaque côté de l’équation précédente, on obtient :𝑎1 + 2𝑎2𝑋⋯𝑛𝑎𝑛𝑋𝑛−1 = 0.

On en déduit par hypothèse de récurence que 𝑛𝑎𝑛 = ⋯ = 2𝑎2 = 𝑎1 = 0, c’est à dire que 𝑎1 = ⋯ =𝑎𝑛 = 0 puis 𝑎0 = 0.124



Exemple 6.23. La famille (𝑇0, 𝑇1,… , 𝑇𝑛) avec 𝑇𝑛(𝑋) = 1𝑛!(𝑋 − 𝑎)𝑛 est libre ; c’est une base de𝕂𝑛[𝑋] dite base de Taylor en 𝑎.Pour cela On peut comme ci-dessus dériver et prendre la valeur en 0 pour montrer que la famille

est libre. On peut aussi calculer (𝑇𝑘)(𝑘) et montrer que :𝑃 = 𝑃(𝑎) + 𝑃 (1)(𝑎)𝑇1 + 𝑃 (2)(𝑎)𝑇2 +⋯+ 𝑃 (𝑛)(𝑎)𝑇𝑛Définition 6.24. Une famille (𝑃0,… , 𝑃𝑛,…) de polynômes de 𝕂[𝑋] est échelonnéesi et seulement si ∀𝑘 ⩾ 0, deg(𝑃𝑘) = 𝑘.Proposition 6.25. Soit 𝑛 ⩾ 0. Toute famille échelonnée (𝑃0,… , 𝑃𝑛) de polynome de𝕂𝑛[𝑋] est une base de 𝐾𝑛[𝑋].

Démonstration. On montre le résultat par récurrence sur 𝑛.Rapidement à compléter à la maison. L’initialisation pour 𝑛 = 0 est claire. On suppose le

résultat vrai pour 𝑛. Soit (𝑃0,… , 𝑃𝑛+1) une famille échelonnée de 𝕂𝑛+1[𝑋]. Soit 𝜆0,…𝜆𝑛+1 ∈ 𝕂 telque 𝜆0𝑃0 + 𝜆1𝑃1 ⋯𝜆𝑛+1𝑃𝑛+1 = 0.On veut montrer que 𝜆0 = ⋯ = 𝜆𝑛+1 = 0. On dérive l’équation ci-dessus et on utilise l’hypothèsede récurrence car (𝑃 ′1, ⋯ , 𝑃 ′𝑛) est échellonée dans 𝕂𝑛[𝑋] ce qui donne𝜆1 = ⋯ = 𝜆𝑛+1 = 0.Enfin, on conclut.

II Factorisation et RacinesII.1 Définition

Définition 6.26. Soit 𝑃 ∈ 𝕂[𝑋] et 𝑎 un élement de 𝕂. On dit que 𝑎 est une racinede 𝑃 si 𝑃(𝑎) = 0.

Remarque 6.6. Chercher les racines de 𝑃, c’est donc résoudre l’équation 𝑃(𝑥) = 0 pour 𝑥 dans 𝕂.Exemple 6.27. 1 est une racine du polynôme 𝑃(𝑋) = 𝑋2 − 1. En effet, 𝑃(1) = 0.

Définition 6.28. Soit 𝑃 ∈ 𝕂[𝑋] et 𝑎 un réel. On dit que le polynôme 𝑃 se factorisepar 𝑋 − 𝑎 (ou que 𝑋 − 𝑎 divise 𝑃) si :∃𝑄 ∈ 𝕂[𝑋] tel que 𝑃(𝑋) = (𝑋 − 𝑎)𝑄(𝑋).

Exemple 6.29. Le polynôme 𝑃(𝑋) = 𝑋3 − 2𝑋2 +𝑋 − 2 se factorise par 𝑋 − 2. En effet, on a𝑃(𝑋) = (𝑋 − 2)(𝑋2 + 1)II.2 Division euclidienne

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Théorème 6.30. Soient 𝐴 et 𝐵 deux polynômes de 𝕂[𝑋], avec 𝐵 non nul. Alors, ilexiste deux polynômes uniques 𝑄 et 𝑅, avec deg(𝑅) < deg(𝐵), tels que𝐴 = 𝐵𝑄+𝑅.Le polynôme 𝑄 est le quotient, et 𝑅 est le reste de la division euclidienne de 𝐴 par𝐵.

Démonstration. Méthode 1 : pas constructive. Si deg(𝐴) < deg(𝐵) on pose 𝑅 = 𝐴 et 𝑄 = 0.Sinon on note 𝑛 = deg(𝐴) et 𝑚 = deg(𝐵) et on a 𝑛 > 𝑚. On remarque que la famille(1,𝑋,𝑋2,… ,𝑋𝑚−1, 𝐵,𝑋𝐵,𝑋2𝐵,… ,𝑋𝑛−𝑚𝐵)est échelonnée et est donc une base de 𝕂𝑛[𝑋]. Comme 𝐴 ∈ 𝕂𝑛[𝑋], en regroupant les termes on a𝐴 = 𝐵𝑄+𝑅.Méthode 2 : Constructive. Si 𝐴 = 0, on pose 𝑄 = 𝑅 = 0. Par récurrence sur 𝑛 = deg(𝐴).

Initialisation pour deg(𝐴) = 0, 𝐴 est une constante et on conclut en fonction du degré de 𝐵.On suppose le résultat vrai pour 𝑛 ⩾ 0. Soit 𝐴 ∈ 𝕂[𝑋] avec deg(𝐴) = 𝑛 + 1. On note 𝑎𝑛+1

le coefficient dominant de 𝐴 et 𝑏𝑚 ≠ 0 celui de 𝐵 qui est non nul par hypothèse. Si deg(𝐴) <deg(𝐵) = 𝑚 on pose 𝑄 = 0 et 𝑅 = 𝐴 sinon on applique l’hypotèse de récurrence à𝐴1 = 𝐴− 𝑎𝑛+1𝑏𝑚 𝑋𝑛−𝑚𝐵pour obtenir 𝑄1 et 𝑅1. En regroupant on a𝐴 = (𝑄1 + 𝑎𝑛+1𝑏𝑚 𝑋𝑛−𝑚)𝐵 + 𝑅1.ce qui conclut la preuve de l’existence. On obtient l’unicité par un argument de degré.

Remarque 6.7. La méthode 2 donne un algorithme pour trouver 𝑄 et 𝑅. En pratique on pose ladivision euclidiènne comme pour les entiers (cf. exemples et exercices)

Exemple 6.31. 0n cherche à effectuer la division euclidienne de 𝐴 = 𝑋3 + 𝑋2 − 1 par 𝐵(𝑋) =𝑋 − 1 :𝑋3 +𝑋2 − 1 𝑋 − 1 𝑋3 +𝑋2 −1 𝑋 − 1−(𝑋3 −𝑋2) 𝑋22𝑋2𝑋3 +𝑋2 −1 𝑋 − 1−(𝑋3 −𝑋2) 𝑋2 + 2𝑋2𝑋2 +0𝑋− (2𝑋2 −2𝑋)2𝑋

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d’où 𝑋3 +𝑋2 −1 𝑋 − 1−(𝑋3 −𝑋2) 𝑋2 + 2𝑋 + 22𝑋2 +0𝑋− (2𝑋2 −2𝑋)2𝑋 −1− (−2𝑋 −2)+1On trouve donc 𝐴 = 𝐵𝑄+𝑅 avec 𝑄 = 𝑋2 + 2𝑋 + 2 et 𝑅 = 1.

Exemple 6.32. 2𝑋4 −𝑋3 − 2𝑋2 + 3𝑋 − 1 𝑋2 −𝑋 + 12𝑋2 +𝑋 − 32𝑋4 − 2𝑋3 + 2𝑋2− 𝑋3 − 4𝑋2 + 3𝑋 − 1𝑋3 − 𝑋2 + 𝑋− −3𝑋2 + 2𝑋 − 1−3𝑋2 + 3𝑋 − 3− −𝑋 + 2𝑋4 − 3𝑋3 + 𝑋 + 1 𝑋2 + 2𝑋2 − 3𝑋 − 2𝑋4 + 2𝑋2− −3𝑋3 − 2𝑋2 +𝑋 + 1−3𝑋3 − 6𝑋− −2𝑋2 + 7𝑋 + 1−2𝑋2 − 4− 7𝑋 + 5II.3 Racines

Théorème 6.33. Soit 𝑃 ∈ 𝕂[𝑋] et 𝑎 un réel. Alors 𝑎 est une racine de 𝑃 si et seulement𝑋 − 𝑎 divise 𝑃 c’est à dire si et seulement si∃𝑄 ∈ 𝕂[𝑋] tel que 𝑃(𝑋) = (𝑋 − 𝑎)𝑄(𝑋).Dans ce cas, on a alors deg(𝑃 ) = 1 + deg(𝑄).

Démonstration. On effectue la division euclidienne de 𝑃 par 𝐵 = 𝑋 − 𝑎𝑃 = (𝑋 − 𝑎)𝑄 + 𝑅avec 𝑄,𝑅 ∈ 𝐾[𝑋] et deg(𝑅) ⩽ 0. Donc 𝑅 = 0 ou 𝑅 = 𝑘 est une constante non nulle.

En appliquant l’égalité ci-dessus pour 𝑥 = 𝑎 on trouve :𝑃(𝑎) = 𝑅.De là 𝑃(𝑎) = 0 si et seulement, 𝑅 = 0, c’est a dire si et seulement si (𝑋 − 𝑎) divise 𝑃.

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Exemple 6.34. Soit 𝑃 le polynôme défini par 𝑃(𝑋) = 𝑋3 − 2𝑋 + 1. Montrer que 1 est racine,puis factoriser 𝑃 par (𝑋 − 1).

Correction : On constate que 𝑃(1) = 0. Ainsi, 1 est racine. Par théorème, on peut doncfactoriser 𝑃 par 𝑋 − 1 et il existe 𝑄 ∈ 𝕂[𝑋] tel que𝑃(𝑋) = (𝑋 − 1)𝑄(𝑋) avec deg(𝑄) = deg(𝑃 ) − 1 = 2.On cherche donc 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tel que𝑋3 − 2𝑋 + 1 = (𝑋 − 1)(𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐).Après développement, on obtient𝑋3 − 2𝑋 + 1 = 𝑎𝑋3 + (𝑏 − 𝑎)𝑋2 + (𝑐 − 𝑏)𝑋 − 𝑐ce qui permet de conclure par identification que 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 et 𝑐 = −1 d’où𝑋3 − 2𝑋 + 1 = (𝑋 − 1)(𝑋2 +𝑋 − 1).

Définition 6.35 (Multiplicité). Soit 𝑘 ∈ ℕ∗. On dit que 𝛼 est une racine de multiplicité 𝑘de 𝑃 si (𝑋 − 𝛼)𝑘 divise 𝑃 alors que (𝑋 − 𝛼)𝑘+1 ne divise pas 𝑃.

Lorsque 𝑘 = 1 on parle d’une racine simple , lorsque 𝑘 = 2 d’une racine double ,etc.

Proposition 6.36. Il y a équivalence entre :

(i) 𝛼 est une racine de multiplicité 𝑘 de 𝑃.(ii) Il existe 𝑄 ∈ 𝕂[𝑋] tel que 𝑃 = (𝑋 − 𝛼)𝑘𝑄, avec 𝑄(𝛼) ≠ 0.(iii) 𝑃(𝛼) = 𝑃 ′(𝛼) = ⋯ = 𝑃 (𝑘−1)(𝛼) = 0 et 𝑃 (𝑘)(𝛼) ≠ 0.

Démonstration.Preuve laissée en exercice

Exemple 6.37. Montrer (𝑋 − 2)2 divise 𝑃(𝑋) = 𝑋3 − 3𝑋2 + 4.Correction : Il suffit de montrer que 2 est racine double du polynôme 𝑃(𝑋) = 𝑋3 − 3𝑋2 + 4.

En effet, on a 𝑃(2) = 0, et puisque 𝑃 ′(𝑋) = 3𝑋2 − 6𝑋, on a également 𝑃 ′(2) = 0. Enfin,𝑃 (2)(𝑋) = 6𝑋 −𝑋 et 𝑃 (2)(2) ≠ 0. 2 est donc bien une racine double de 𝑃.Théorème 6.38 (Théorème de d’Alembert-Gauss). On suppose ici 𝕂 = ℂ. Toutpolynôme non constant de ℂ[𝑋] admet au moins une racine.

Démonstration. Admis

Corollaire 6.39. Soit 𝑃 ∈ ℂ[𝑋] un polynôme complexe de degré 𝑛 > 1. Alors 𝑃admet exactement 𝑛 racines éventuellement non distinctes (comptées avec multiplicité).

Plus précisément, si 𝑎𝑛 est le coefficient dominant de 𝑃 et si 𝛼1,… , 𝛼𝑝 sont les racines

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de 𝑃 de multiplicité 𝑚1,… ,𝑚𝑝, on a𝑃(𝑋) = 𝑎𝑛 𝑝∏𝑖=1(𝑋 − 𝛼𝑖)𝑚𝑖 avec 𝑚1 +⋯+𝑚𝑝 = 𝑛Démonstration. Par récurrence sur 𝑛 = deg(𝑃 ). C’est clair si deg(𝑃 ) = 1.

Hérédité On suppose que c’est vrai pour tout 𝑄 ∈ ℂ[𝑋] avec deg(𝑄) = 𝑛.Soit 𝑃 ∈ ℂ[𝑋] avec deg(𝑃 ) = 𝑛 + 1. Le théorème de d’Alembert-Gauss nous donne une racine𝛼 de 𝑃 et donc un polynôme 𝑄 ∈ ℂ[𝑋] avec deg(𝑄) = deg(𝑃 ) − 1 = 𝑛 tel que𝑃(𝑋) = (𝑋 − 𝛼)𝑄(𝑋).

On utilise l’hypothèse de récurrence pour écrire𝑄(𝑋) = 𝑎𝑛 𝑝∏𝑖=1(𝑋 − 𝛼𝑖)𝑚𝑖 avec 𝑚1 +⋯+𝑚𝑝 = 𝑛On conclut en distinguant si 𝛼 est une racine de 𝑄 ou non.

Corollaire 6.40. Soit 𝑃 ∈ ℂ𝑛[𝑋]. Si 𝑃 a 𝑛 + 1 racines, alors 𝑃 est le polynôme nul.

Remarque 6.8. Ce que nous savions déjà grâce aux polynômes de Lagrange (qui restent valablespour 𝕂 = ℝ.

Définition 6.41. Un polynôme 𝑃 de 𝕂[𝑋] est dit irréductible si et seulement si𝑃 = 𝐴𝐵 ⇒ 𝐴 ou 𝐵 constant.

Remarque 6.9. Ainsi, on ne peut pas “vraiment” factoriser un polynôme irréductible.

Proposition 6.42. Dans ℂ[𝑋], seuls les polynômes constants et de degré 1 sont irré-ductibles.

Théorème 6.43. Soit 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 ∈ ℝ[𝑋] un polynôme de degré 2 àcoefficients réels : 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ et 𝑎 ≠ 0.

• Si Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 alors 𝑃 admet 2 racines réelles distinctes𝑥1 = −𝑏 +√Δ2𝑎 et 𝑥2 = −𝑏 −√Δ2𝑎 .• Si Δ = 0 alors 𝑃 admet une racine réelle double𝑥0 = −𝑏2𝑎 .• Si Δ < 0 alors 𝑃 n’admet pas de racines réelles.

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Remarque 6.10. On peut bien sûr considérer 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 comme un polynôme de ℂ[𝑋].Il admet alors toujours 2 racines.

En particulier si Δ < 0 alors 𝑃 admet 2 racines complexes distinctes𝑥1 = −𝑏 + 𝑖√|Δ|2𝑎 et 𝑥2−𝑏 − 𝑖√|Δ|2𝑎 .À noter (𝑖√|Δ|)2 = Δ car Δ > 0.Exemple 6.44. Factoriser 𝑃(𝑋) = 2𝑋2 + 2𝑋 − 4.

Correction : On a Δ = 36 > 0 donc le polynôme P possède deux racines réelles𝑥1 = −2 et 𝑥2 = 1.On en déduit la factorisation de 𝑃 : 𝑃(𝑋) = 2(𝑋 − 1)(𝑋 + 2).Remarque 6.11. Attention : on n’oubliera pas, lors de la factorisation, de mettre en facteur lecoefficient dominant (dans l’exemple précédent, le 2).

On a ainsi :

Lemme 6.45. Dans 𝑅[𝑋], les polynômes de degré 2, dont le discriminant est stricte-ment négatif, sont irréductibles.

Proposition 6.46. Tout polynôme non nul de ℝ[𝑋] est le produit de son coefficientdominant 𝑎𝑛 , de polynômes unitaires de degré 1, et de polynômes unitaires de degré 2à discriminant strictement négatif.

Démonstration. Soit 𝑃 un polynôme non nul de ℝ[𝑋] et 𝛼 une racine complexe de 𝑃ℝ[𝑋] ⊂ ℂ[𝑋].• Si 𝛼 ∈ ℝ alors 𝑃 se factorise par (𝑋 − 𝛼).• Si 𝛼 ∈ ℂ alors 𝑃(𝛼) = 𝑃(𝛼) = 0 et 𝑃 se factorise par (𝑋 − 𝛼)(𝑋 − 𝛼) = 𝑋2 − 2ℜ(𝛼) + |𝛼|2

qui est un polynome de ℝ[𝑋] a discriminant négatif.

Méthode : Factoriser un polynôme 𝑃 (ou déterminer ses racines) :

• On cherche des racines évidentes (−2,−1, 0, 1, 2) pour se ramener à un (ou des)polynôme(s) de degré 2.

• On factorise le polynôme 𝑃 par 𝑋 − 𝑎 où a désigne une racine évidente.

• Une fois ramené à un (ou des) polynômes de degré 2, on utilise la méthode classiquedu discriminant.

Exemple 6.47. Soit 𝑃(𝑋) = 𝑋3 − 2𝑋2 −𝑋 + 2. Déterminer les racines de 𝑃.Correction :

• Premier étape : on cherche une “racine évidente” : ici 1130



• Deuxième étape : on factorise 𝑃 par 𝑋−1 : on écrit 𝑃(𝑋) = (𝑋 − 1)𝑄(𝑋) avec deg(𝑄) = 2..Par identification (ou division euclidienne, on trouve𝑃(𝑋) = (𝑋 − 1)(𝑋2 −𝑋 − 2).

• Troisième étape : La méthode du discriminant donne comme racine de 𝑄(𝑋) = (𝑋2 −𝑋−2)(Δ = 9 > 0) 𝑥1 = −1 et 𝑥2 = 2

Conclusion 𝑃(𝑋) = (𝑋 − 1)(𝑋 − 2)(𝑋 + 1).II.4 Relations coeffcients–racines

Proposition 6.48. Soit 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑛𝑋𝑛+⋯+𝑎0 un polynôme de ℂ[𝑋] de degré 𝑛 > 1.On note 𝛼1, ⋯ , 𝛼𝑛 ses racines complexes (éventuellement non distinctes). Alors𝛼1 +⋯+ 𝛼𝑛 = −𝑎𝑛−1𝑎𝑛 et 𝛼1𝛼2 ⋯𝛼𝑛 = (−1)𝑛 𝑎0𝑎𝑛 .

Démonstration. On obtient par factorisation𝑃(𝑋) = 𝑎𝑛𝑋𝑛 +⋯+ 𝑎0 = 𝑎𝑛(𝑋 − 𝛼1)⋯ (𝑋 − 𝛼𝑛)On conclut en développant le second membre par identification.

III Fractions rationnellesIII.1 Définition

Définition 6.49. Soient 𝐴 et 𝐵 deux polynômes de 𝕂[𝑋] avec 𝐵 non nul. Le quotient𝐴𝐵 s’appelle fraction rationnelle à coefficients dans 𝕂.Le polynôme𝐴 est le numérateur de la fraction, le polynôme𝐵 est son dénominateur .L’égalité de deux fractions rationnelles 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 (𝐵 et 𝐷 sont non nuls) est définie

par 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 ⇔ 𝐴𝐷 = 𝐶𝐵.Exemple 6.50. 𝑋2 + 1𝑋 − 2 , 𝑋3 − 3𝑋2 +𝑋 − 3𝑋2 − 5𝑋 + 6 sont des fractions rationnelles. On a bien sûr𝑋3 − 3𝑋2 +𝑋 − 3𝑋2 − 5𝑋 + 6 = (𝑋2 + 1)(𝑋 − 3)(𝑋 − 2)(𝑋 − 3) = 𝑋2 + 1𝑋 − 2 .On a aussi 𝑋3 + 1 = 𝑋+31 , et de façon générale 𝐾[𝑋] ⊂ 𝕂(𝑋).

Définition 6.51. L’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans 𝕂 est noté𝕂(𝑋).131



Définition 6.52. L’ensemble 𝕂(𝑋) est muni des opérations suivantes pour tout 𝐴, 𝐵,𝐶, 𝐷 ∈ 𝕂[𝑋] avec 𝐵 et 𝐷 non nuls et tout 𝜆 ∈ 𝕂𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷+𝐶𝐵𝐵𝐷 , 𝜆𝐴𝐵 = 𝜆𝐴𝐵 , 𝐴𝐵 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶𝐵𝐷Méthode : On calcule avec les fractions rationelles “comme” avec des fractions

Remarque 6.12. Les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire ci-dessus font de𝕂(𝑋) un 𝕂 espace vectoriel. L’opération de multiplication fait de 𝐾(𝑋) un corps (l’inverse de 𝐴𝐵avec 𝐴,𝐵 ≠ 0 est bien sûr 𝐵𝐴 .Remarque 6.13. L’écriture d’une fraction rationnelles n’est pas unique (cf. exemple ci-dessus).

Définition 6.53. On dit qu’une fraction rationnelle 𝐴𝐵 ∈ 𝕂(𝑋) est sous forme irreductiblesi et seulement si 𝐴 et 𝐵 n’ont pas de facteur irreductible unitaire commun.

Il existe alors un seul représentant irréductible d’une fraction rationnelle avec undénominateur unitaire.

Méthode : Pour déterminer un représentant irréductible d’une fraction rationnelle, onfactorise numérateur et dénominateur et on simplifie les éventuels facteurs communs.

Exemple 6.54. Mettre sous forme irreductible 𝑋2 +𝑋 − 5𝑋3 − 6𝑋 + 5 dans ℝ[𝑋].Correction :Le numérateur se factorise (𝑋 + 𝑥1)(𝑋 − 𝑥2) car Δ = 21 > 0. Par ailleurs 1 est une racine

évidente de 𝑋3 − 6𝑋 + 5 et le dénominateur se factorise en𝑋3 − 6𝑋 + 5 = (𝑋 − 1)(𝑋2 +𝑋 − 5).De là on a 𝑋2 +𝑋 − 5𝑋3 − 6𝑋 + 5 = 𝑋2 +𝑋 − 5(𝑋 − 1)(𝑋2 +𝑋 − 5) = 1𝑋 − 1qui est bien la forme irréductible.

III.2 Degré et partie entière

Définition 6.55. Soient 𝐴 et 𝐵 deux polynômes de 𝕂[𝑋], avec 𝐵 ≠ 0. Alors, on pose

deg(𝐴𝐵) = deg(𝐴) − deg(𝐵)avec la convention deg(0) = −∞.

Remarque 6.14. Le degré ne dépend pas du représentant choisi.

Proposition 6.56. Soient 𝐹 et 𝐺 deux fractions rationnelles de 𝕂(𝑋), et 𝑘 ∈ 𝕂∗. Alors

deg(𝐹) ∈ ℤ ∪ {−∞}, deg(𝑘𝐹) = deg(𝐹), deg(𝐹 + 𝐺) ⩽ max(deg𝐹,deg𝐺),132



deg( 1𝐹) = − deg(𝐹) et deg(𝐹𝐺) = deg(𝐹) + deg(𝐺).Proposition 6.57 (Partie entière). Soit 𝐹 ∈ 𝕂(𝑋). Il existe un unique polynôme𝑃 ∈ 𝕂[𝑋] et une unique fraction rationnelle 𝐺 ∈ 𝕂(𝑋) avec deg(𝐺) < 0 , tels que𝐹 = 𝑃 +𝐺.Le polynôme 𝑃 est appelé partie entière de 𝐹 (ou partie polynomiale ).

Démonstration. Notons 𝐹 = 𝐴𝐵 avec 𝐴,𝐵 dans 𝕂[𝑋]×𝐾[𝑋] 0𝐾[𝑋] et 𝐵 ≠ 0. On note 𝑄 le quotientet 𝑅 le reste de la division euclidienne de 𝐴 par 𝐵 :𝐴 = 𝐵𝑄+𝑅 et donc 𝐹 = 𝑄+ 𝑅𝐵où deg𝑅 < deg𝐵 et donc deg 𝐵𝑅 < 0.

L’unicité est une conséquence de l’unicité de la divison euclidienne.

Méthode : Pour déterminer la partie entière de 𝐹 = 𝐴𝐵 , on détermine la division eucli-dienne de 𝐴 par 𝐵.

Exemple 6.58. Déterminer la partie entière de la fraction 𝑋5 − 2𝑋3 + 4𝑋2 − 8𝑋 + 11𝑋3 − 3𝑋 + 2 .Correction : On calcule la division euclidienne de 𝑃(𝑋) = 𝑋5 − 2𝑋3 + 4𝑋2 − 8𝑋 + 11 par𝑄(𝑋) = 𝑋3 − 3𝑋 + 2 : 𝑃(𝑋) = (𝑋2 + 1)𝑄(𝑋) + 2𝑋2 − 5𝑋 + 9.

Donc la partie polynomiale est 𝐸(𝑋) = 𝑋2 + 1 et la fraction s’écrit 𝑃(𝑋)𝑄(𝑋) = 𝑋2 + 1 + 2𝑋2−5𝑋+9𝑋3−3𝑋+2 .

Exercice 6.1. Quelle est la partie entière d’une fraction rationnelle de degré strictement négatif ?

III.3 Poles et décomposition en éléments simples

Définition 6.59. Soit 𝐹 ∈ 𝕂(𝑋) une fraction rationnelle. On appelle :

• zéros de 𝐹 les racines du numérateur d’un représentant irréductible de 𝐹.• pôles de 𝐹 les racines du dénominateur d’un représentant irréductible de 𝐹.• multiplicité d’un pôle la multiplicité de la racine correspondante du dénomi-

nateur d’un représentant irréductible de F.

Exemple 6.60. Pour 𝐹 = 𝑋2−1𝑋+2 , 1 et −1 sont les racines de 𝐹, et −2 est un pôle simple de 𝐹.Théorème 6.61 (Décomposition en éléments simples sur ℂ). Soit 𝐹 ∈ ℂ(𝑋) unefraction rationnelle non nulle. On écrit 𝐹 sous forme irréductible 𝐹 = 𝑃𝑄 avec 𝑄 unitairede factorisation 𝑄(𝑋) = ∏𝑝𝑖=1(𝑋 − 𝛼𝑖)𝑛𝑖.

Alors, il existe un unique polynôme 𝐸, et des uniques nombres complexes 𝑐𝑖,𝑗 ,

133



vérifiant

𝐹(𝑋) = 𝐸(𝑋) + 𝑝∑𝑖=1 ( 𝑛𝑖∑𝑗=1 𝑐𝑖,𝑗(𝑋 − 𝛼𝑖)𝑗) = 𝐸(𝑋) + 𝑝∑𝑖=1 ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 𝑐𝑖,1𝑋 − 𝛼𝑖 +⋯+ 𝑐𝑖,𝑛𝑖(𝑋 − 𝛼𝑖)𝑛𝑖⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟partie polaire de 𝛼𝑖

⎞⎟⎟⎟⎟⎠.Cette décomposition est appelée décomposition en éléments simples dans ℂ de𝐹.

Remarque 6.15. Le polynôme 𝐸 est la partie entière de 𝐹.Méthode : Pour déterminer la décomposition en éléments simples dans ℂ , on écritl’allure de la décomposition, puis on détermine les nombres complexes 𝑐𝑖,𝑗 en utilisantdifférentes méthodes :

M1 On peut multiplier par (𝑋 − 𝛼𝑖)𝑛𝑖 puis prendre 𝑋 = 𝑎𝑖 pour déterminer les coeffi-cients d’ordre le plus élevé (plus bas degré).

M2 On peut utiliser les propriétés du polynôme (parité, imparité, coefficient réel) pourdéterminer certains coefficients.

M3 On peut multiplier par 𝑋𝑘 et prendre la limite en ±∞ pour déterminer certainesvaleurs.

M4 On peut soit prendre des valeurs particulières (et résoudre un système).

M5 On peut utiliser toutes autres idées (question précédentes de l’énoncée, contexte,etc.)

Exemple 6.62. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle𝐹(𝑋) = 𝑋 + 1(𝑋 − 𝑖)𝑋(𝑋 + 2)2 .Correction :

Il existe quatre complexes a, b, c et d tels que𝐹(𝑋) = 𝑋 + 1(𝑋 − 𝑖)𝑋(𝑋 + 2)2 = 𝑎𝑋 − 𝑖 + 𝑏𝑋 + 𝑐𝑋 + 2 + 𝑑(𝑋 + 2)2 .En multipliant par 𝑋 − 𝑖 et prenant 𝑋 = 𝑖 , on obtient𝑎 = 𝑖 + 1𝑖(𝑖 + 2)2 = 1 − 5𝑖13 .En multipliant par 𝑋 et prenant 𝑋 = 𝑂 , on obtient𝑏 = 14𝑖.En multipliant par (𝑋 + 2)2 et prenant 𝑋 = −2 , on obtient𝑑 = −2 + 𝑖10 .Pour obtenir 𝑐 on multiplie par 𝑋 et on fait 𝑋 ⟶ +∞ ce qui donne 0 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 soit𝑐 = − 113 + 752𝑖

134



Remarque 6.16. On peut aussi (quand on n’a plus d’autres idées) réduire au même dénominateuret identifier pour trouver les derniers coefficients. Il s’agit toutefois d’une méthode lourde.

Méthode : Comme il y a unicité des coefficients de la décomposition, tous les moyenssont “bons” !

Théorème 6.63 (Décomposition en éléments simples sur ℝ). Soit 𝐹 ∈ ℝ(𝑋) unefraction rationnelle non nulles. On écrit 𝐹 sous forme irréductible (dans ℝ) 𝐹 = 𝑃𝑄 avec𝑄 unitaire de factorisation𝑄(𝑋) = 𝑝∏𝑖=1(𝑋 − 𝛼𝑖)𝑛𝑖 𝑞∏𝑖=1(𝑋2 + 𝛽𝑖𝑋 + 𝛾𝑖)𝑚𝑖.

Alors, il existe un unique polynôme 𝐸, et des uniques nombres réels 𝑐𝑖,𝑗, 𝑎𝑖,𝑗 et 𝑏𝑖,𝑗, vérifiant𝐹(𝑋) = 𝐸(𝑋) + 𝑝∑𝑖=1 ( 𝑛𝑖∑𝑗=1 𝑐𝑖,𝑗(𝑋 − 𝛼𝑖)𝑗)+ 𝑞∑𝑖=1 ( 𝑚𝑖∑𝑗=1 𝑎𝑖,𝑗𝑋 + 𝑏𝑖,𝑗(𝑋2 + 𝛽𝑗𝑋 + 𝛾𝑗)𝑗)Cette décomposition est appelée décomposition en éléments simples dans ℂ de𝐹.Méthode : Dans le cas réel, il faut se souvenir que les polynômes irréductibles ne sontpas uniquement de la forme (𝑋 − 𝑎𝑖) mais peuvent être des polynômes de degré 2 àdiscriminant strictement négatif. Les décompositions s’écriront alors comme somme :

• d’une partie polynomiale 𝐸(𝑋),• d’éléments simples du type 𝑐(𝑋−𝛼)𝑗 ,• d’éléments simples du type 𝑎𝑋+𝑏(𝑋2+𝛽𝑋+𝛾)𝑗 .

Où les 𝑋 − 𝛼 et 𝑋2 + 𝛼𝑋 + 𝛽 sont les facteurs irréductibles de 𝑄(𝑋)Exemple 6.64. Décomposer en éléments simples𝑃𝑄 = 3𝑋4 + 5𝑋3 + 11𝑋2 + 5𝑋 + 3(𝑋2 +𝑋 + 1)2(𝑋 − 1)

Correction : On a deg(𝑃 ) = 4 < 5 = deg(𝑄) donc 𝐸 = 0. 𝑄 est déjà sous forme factorisée etdonc on a 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 ∈ ℝ tels que𝑃𝑄 = 𝑎𝑋 + 𝑏(𝑋2 +𝑋 + 1)2 + 𝑐𝑋 + 𝑑𝑋2 +𝑋 + 1 + 𝑒𝑋 − 1On cherche à déterminer les coefficients ci-dessus.

En calculant𝑃(𝑋)(𝑋 − 1)𝑄(𝑋) pour 𝑋 = 1 on trouve 𝑒 = 279 = 3.

En calculant la limite𝑋𝑃(𝑋)𝑄(𝑋) ÝÝÝÝ→𝑥→+∞ 3 on trouve 𝑐 + 𝑒 = 3 et donc 𝑐 = 0.

135



En calculant𝑃(0)𝑄(0) , on trouve 𝑏 + 𝑑 − 𝑒 = 3 et donc 𝑏 + 𝑑 = 0, c’est à dire 𝑑 = −𝑏.

Pour l’instant on a 𝑃𝑄 = 𝑎𝑋 + 𝑏(𝑋2 +𝑋 + 1)2 + −𝑏𝑋2 +𝑋 + 1 + 3𝑋 − 1.De là en calculant

𝑃(−1)𝑄(−1) on trouve −𝑎 − 32 = 7−2 , c’est à dire 2𝑎 = 4 et donc 𝑎 = 2. Cela donne𝑃𝑄 = 2𝑋 + 𝑏(𝑋2 +𝑋 + 1)2 + −𝑏𝑋2 +𝑋 + 1 + 3𝑋 − 1.En mettant le membre de droite au même dénominateur puis en identifiant uniquement le terme

en 𝑋 on trouve 𝑏 + 6 − 2 = 5 c’est à dire 𝑏 = 1.On a donc 𝑃𝑄 = 2𝑋 + 1(𝑋2 +𝑋 + 1)2 − 1𝑋2 +𝑋 + 1 + 3𝑋 − 1.

136



Chapitre 6 : Polynômes et fractions rationnelles

IV ExercicesExercice 6.2. Soit 𝑃(𝑋) = 3𝑋3 − 2, 𝑄(𝑋) = 𝑋2 + 𝑋 − 1, 𝑅(𝑋) = 𝑎𝑋 + 𝑏. Calculer 𝑃 + 𝑄,𝑃 × 𝑄, (𝑃 + 𝑄) × 𝑅 et 𝑃 × 𝑄 × 𝑅. Trouver 𝑎 et 𝑏 afin que le degré de 𝑃 − 𝑄𝑅 soit le plus petitpossible.

Exercice 6.3. Calculer (𝑋 + 1)5 − (𝑋 − 1)5.Exercice 6.4. Déterminer le degré de (𝑋2 +𝑋 + 1)𝑛 − 𝑎𝑋2𝑛 − 𝑏𝑋2𝑛−1 en fonction de 𝑎, 𝑏.Exercice 6.5. A-t-on toujours deg(𝑃 + 𝑄) = max(deg𝑃 , deg𝑄) ?Exercice 6.6. Trouver les diviseurs de 𝑋4 + 2𝑋2 + 1 dans ℝ[𝑋], puis dans ℂ[𝑋].Exercice 6.7. Montrer que 𝑋 − 1|𝑋𝑛 − 1 (pour 𝑛 ≥ 1).Exercice 6.8. Calculer les divisions euclidiennes de 𝐴 par 𝐵 avec 𝐴 = 𝑋4 − 1, 𝐵 = 𝑋3 − 1. Puis𝐴 = 4𝑋3 + 2𝑋2 −𝑋 −5 et 𝐵 = 𝑋2 +𝑋 ; 𝐴 = 2𝑋4 − 9𝑋3 + 18𝑋2 − 21𝑋 + 2 et 𝐵 = 𝑋2 − 3𝑋 + 1 ;𝐴 = 𝑋5 − 2𝑋4 + 6𝑋3 et 𝐵 = 2𝑋3 + 1.Exercice 6.9. Décomposer le polynome 𝑋4 +𝑋3 −𝑋2 +𝑋−2 en facteur irréductible dans ℝ[𝑋]Exercice 6.10. Factoriser 𝑋4 +𝑋3 −𝑋2 +𝑋 − 2 dans ℝ[𝑋]. Puis dans ℂ[𝑋].Exercice 6.11. Déterminer l’ensemble des polynômes 𝑃 à coefficients réels et de degré 2 tels que𝑃(1) = 0, 𝑃 ′(1) = 1 et 𝑃 ″(1) = 4.

Généralisation ?

Exercice 6.12. Pour tout réel 𝑥, soit 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥 − 2.1. Factoriser 𝑃.2. En déduire le signe de 𝑃 sur ℝ .

Exercice 6.13. Soit 𝑃(𝑋) = 𝑋3 − 2𝑋2 − 5𝑋 + 6.1. Factoriser 𝑃.2. Résoudre l’équation 𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 + 6𝑒−𝑥 − 5 = 0.

Exercice 6.14. Donner la forme de la décomposition en éléments simples dans ℂ de : 𝑋8+1𝑋7−𝑋3Puis déterminer la décomposition.

Exercice 6.15. Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur ℝ et ℂ : 1𝑋2−1 ; 𝑋2+1(𝑋−1)2 ;𝑋𝑋3−1 ; 𝑋6(𝑋2+1)2 .Exercice 6.16. A l’aide de décomposition en éléments simples, calculer :

1. ∑𝑝𝑛=1 1𝑛(𝑛+1) .2. ∑𝑝𝑛=1 1𝑛(𝑛+1)(𝑛+2) .3. ∑𝑝𝑛=1 𝑛𝑛4+𝑛2+1 .

Exercice 6.17. Calculer ∫32 𝑥8 + 1𝑥7 − 𝑥3𝑑𝑥137

ATS Chapitre 6 : Devoir maison 2Polynômes


Devoir Maison 2Pour le 12/11/2019

14/10/2019

Exercice 6.1. Rappel : la fonction arctan est une bijection strictement croissante de ]−∞,+∞[vers ]−𝜋2 , 𝜋2[, sa dérivée vérifie arctan′ (𝑥) = 1𝑥2 + 1 et ∀𝑥 ∈ ℝ, tan (arctan (𝑥)) = 𝑥.

Soit un entier 𝑘 > 0 fixé et les fonctions 𝑓𝑘, 𝑔𝑘 définies sur ℝ par :𝑓𝑘 ∶ 𝑥 ↦ arctan (𝑥 + 𝑘𝜋) et 𝑔𝑘(𝑥) = 𝑓𝑘(𝑥) − 𝑥.1. Calculer 𝑓 ′𝑘(𝑥) et montrer que ∀𝑥 > 0, 0 < 𝑓 ′𝑘(𝑥) ≤ 𝛿𝑘 < 1 pour une constante 𝛿𝑘 à calculer

en fonction de 𝑘.2. Étudier les variations de 𝑔𝑘 sur [0,+∞[. En déduire l’existence d’un unique réel 𝜃𝑘 ∈ [0, 𝜋2[

solution de l’équation 𝜃𝑘 = 𝑓𝑘(𝜃𝑘).3. On définit la suite réelle (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ par 𝑢0 = 0 et ∀𝑛 ≥ 1, 𝑢𝑛 = 𝑓𝑘(𝑢𝑛−1).

(a) Montrer que 0 ⩽ 𝜃𝑘 − 𝑢𝑛 ⩽ 𝛿𝑘 (𝜃𝑘 − 𝑢𝑛−1).(b) En déduire que lim𝑛⟶+∞𝑢𝑛 = 𝜃𝑘.(c) Pour 𝑘 = 1, déterminer 𝑛 pour que 𝜃1 − 𝑢𝑛 < 10−15.

4. Montrer que lim𝑘⟶+∞ 𝜃𝑘 = 𝜋2 (comparer 𝑓𝑘(0) et 𝜃𝑘).5. Montrer que ∀𝑥 > 0, 𝜋2 − arctan (𝑥) = arctan(1𝑥). En déduire que si on pose 𝜏𝑘 = 𝜋2 − 𝜃𝑘,

alors arctan( 1(𝑘 + 1/2)𝜋) ≤ 𝜏𝑘 ≤ arctan( 1𝑘𝜋).6. Donner un équivalent de 𝜏𝑘 lorsque 𝑘 tend vers +∞ (s’exprimant simplement en fonction de𝑘).

Post-Sriptum – Théorème des valeurs intermédiares : Soit 𝑓 une fonction continue stric-tement monotone sur l’intervalle 𝐼 = [𝑎 ; 𝑏]. Alors pour tout réel 𝑘 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏),l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑘 possède une unique solution dans [𝑎 ; 𝑏].Exercice 6.2. Soit 𝑛 un entier naturel. On note [[ 1, 𝑛 ; ]] l’ensemble des entiers allant de 1 à 𝑛.

On appelle polynômes de Bernstein de degré 𝑛 les polynômes réels :𝐵𝑛,𝑘 = (𝑛𝑘)𝑋𝑘(1 − 𝑋)𝑛−𝑘 avec 𝑘 ∈ {0, 1,… , 𝑛}Dans tout le problème, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée.

Partie I : Polynômes de Bernstein

1. Rappeler la formule donnant (𝑛𝑘) en fonction de 𝑛 ! 𝑘 ! et (𝑛 − 𝑘) ! ainsi que la formule derécurrence des coefficients binomiaux.



2. Montrer que pour 𝑛 ∈ ℕ et 𝑘 ∈ {0, 1,… , 𝑛} on a 𝑘(𝑛𝑘) = 𝑛(𝑛 − 1𝑘 − 1).

3. (a) Calculer𝑛∑𝑘=0 𝐵𝑛,𝑘. En déduire que pour tout 𝑥 ∈ [0, 1], 0 ⩽ 𝐵𝑛,𝑘(𝑥) ⩽ 1.

(b) Calculer𝑛∑𝑘=0 𝑘𝐵𝑛,𝑘, 𝑛∑𝑘=0 𝑘(𝑘 − 1)𝐵𝑛,𝑘 puis

𝑛∑𝑘=0 𝑘2𝐵𝑛,𝑘.4. Pour 𝑛 ∈ ℕ fixé, exprimer 𝐵′𝑛,𝑘 en fonction de 𝐵𝑛−1,𝑘−1 et 𝐵𝑛−1,𝑘 pour 𝑛 ⩾ 1.5. Établir que la famille (𝐵𝑛,𝑘)0⩽𝑘⩽𝑛 est une base de ℝ𝑛[𝑋].6. Pour 𝑃 ∈ 𝑅𝑛[𝑋], on pose 𝐵(𝑃) = 𝑛∑𝑘=0 𝑃(𝑘𝑛)𝐵𝑛,𝑘.

(a) Montrer que 𝐵 est un endomorphisme de ℝ𝑛[𝑋].(b) Déterminer le noyau de 𝐵 . Qu’en déduit-on ?

Exercice 6.3. On considère la fonction 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ définie par𝑓(𝑥) = 𝑥39 + 2𝑥3 + 19et on définit la suite (𝑥𝑛)𝑛≥0 en posant 𝑥0 = 0 et 𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛) pour 𝑛 ∈ ℕ.

1. Montrer que l’équation 𝑥3 − 3𝑥 + 1 = 0 possède une solution unique 𝛼 ∈]0, 1/2[.2. Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥 est équivalente à l’équation 𝑥3 − 3𝑥 + 1 = 0 et en déduire

que 𝛼 est l’unique solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥 dans l’intervalle [0, 1/2].3. Montrer que la fonction 𝑓 est croissante sur ℝ+ et que 𝑓(ℝ+) ⊂ ℝ+. En déduire que la suite(𝑥𝑛) est croissante.4. Montrer que 𝑓(1/2) < 1/2 et en déduire que 0 ≤ 𝑥𝑛 < 1/2 pour tout 𝑛 ≥ 0.5. Montrer que la suite (𝑥𝑛)𝑛≥0 converge vers 𝛼.



Exercice 6.4. On se place dans l’espace vectoriel ℝ4 muni de sa base orthonormée canoniqueℬ = (𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4). On note id ∶ ℝ4 ⟶ ℝ4 l’application linéaire identité. On se donne l’applicationlinéaire 𝑠 ∶ ℝ4 ⟶ ℝ4 vérifiant ⎧{{⎨{{⎩

𝑠(𝑒1) = 𝑒3𝑠(𝑒2) = 𝑒4𝑠(𝑒3) = 𝑒1𝑠(𝑒4) = 𝑒2et l’application linéaire 𝑝 définie par 𝑝 = 12(id−𝑠). L’objectif de cet exercice est d’étudier lesapplications linéaires 𝑠 et 𝑝.

1. L’objectif de cette question est d’étudier 𝑠.(a) Donner pour tout ( 𝑥𝑦𝑧𝑡 ) ∈ ℝ4 l’expression de 𝑠( 𝑥𝑦𝑧𝑡 ).(b) Donner la matrice 𝑆 de 𝑠 dans la base ℬ.(c) Calculer 𝑠2 = 𝑠 ∘ 𝑠. Que peut-on en déduire sur 𝑠(d) On note 𝐸1 = Ker (𝑠 + id). Donner une base (𝑢1, 𝑢2) de 𝐸1, telle que les coordonnées

des vecteurs 𝑢1 et 𝑢2 soient égales à 0, 1 ou −1.(e) On note 𝐸2 = Ker (𝑠 − id). Donner une base (𝑢3, 𝑢4) de 𝐸2, telle que les coordonnées

des vecteurs 𝑢3 et 𝑢4 soient égales à 0 ou 1.(f) Montrer que la famille de vecteurs ℬ′ = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, 𝑢4) est une base(g) Calculer les images par 𝑠 des vecteurs de la base ℬ′ = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, 𝑢4). En déduire La

matrice de 𝑠 dans la base ℬ′.2. L’objectif de cette question est d’étudier 𝑝.

(a) Donner l’image par 𝑝 des vecteurs de la base ℬ.(b) Calculer 𝑝 ∘ 𝑝. Que peut-on en déduire sur 𝑝 ?(c) Calculer 𝑝(𝑢𝑖) pour 𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4}. En déduire les éléments caractéristiques de 𝑝 : noyau

et image.(d) Donner la matrice de 𝑝 dans la base ℬ′ = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, 𝑢4) .

3. On considère maintenant l’application linéaire 𝑓 = 3𝑠 + 4𝑝(a) Donner l’expression de 𝑓( 𝑥𝑦𝑧𝑡 ) pour tout ( 𝑥𝑦𝑧𝑡 ) ∈ ℝ4.

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Chapitre6.Polynômesetfractionsrationnellesismael.sou.free.fr/lycee/ATS/06-polynomes.pdf · 2019-11-03 · ATS Chapitre6: Polynômes LycéeDiderot 2019–2020 I Définitions Dansl’ensembledecechapitre,𝕂désignelecorpsdesréelsℝoulecorpsdescomplexesℂ