Embed Size (px)
Citation preview
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metali« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 4. studenoga 2015.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pregled predavanja
Uvod
Drude-Sommerfeldov model
Termodinamička svojstva metala
Elektron u periodičnom potencijalu
Elektronska struktura materijala
Elektronski spektar u sinusnom potencijalu
Sinusni potencijal u višim dimenzijama
Brillouinove zone
Neki odgovori
Foto galerija
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metali
▶ Većina elemenata su metali.
▶ Postoje jednostavna teorija (Drude-Sommerfeldov model) kojaobjašnjava nekoliko osnovnih svojstava metala.
▶ U novije vrijeme za proračunavanje elektronske strukture tvarikoristi se teorija funkcionala gustoće (density functionaltheory), skraćeno DFT.
▶ DFT je u principu egzaktna, ali u praksi se koriste razneaproksimacije koje ne vrijede u nekim materijalima (npr. jakokorelirani sustavi).
▶ Za sada ne postoji univerzalna (upotrebljiva) metodaproračunavanja elektronske strukture koja pokriva mogućematerijale.
Mnoga svojstva metala mogu se razumjeti i s jednostavnimanalitičkim razmatranjima.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodni sustav elemenata
1 1.0079
H
Hydrogen
3 6.941
Li
Lithium
11 22.990
Na
Sodium
19 39.098
K
Potassium
37 85.468
Rb
Rubidium
55 132.91
Cs
Caesium
87 223
Fr
Francium
4 9.0122
Be
Beryllium
12 24.305
Mg
Magnesium
20 40.078
Ca
Calcium
38 87.62
Sr
Strontium
56 137.33
Ba
Barium
88 226
Ra
Radium
21 44.956
Sc
Scandium
39 88.906
Y
Yttrium
57-71
La-Lu
Lanthanide
89-103
Ac-Lr
Actinide
22 47.867
Ti
Titanium
40 91.224
Zr
Zirconium
72 178.49
Hf
Halfnium
104 261
Rf
Rutherfordium
23 50.942
V
Vanadium
41 92.906
Nb
Niobium
73 180.95
Ta
Tantalum
105 262
Db
Dubnium
24 51.996
Cr
Chromium
42 95.94
Mo
Molybdenum
74 183.84
W
Tungsten
106 266
Sg
Seaborgium
25 54.938
Mn
Manganese
43 96
Tc
Technetium
75 186.21
Re
Rhenium
107 264
Bh
Bohrium
26 55.845
Fe
Iron
44 101.07
Ru
Ruthenium
76 190.23
Os
Osmium
108 277
Hs
Hassium
27 58.933
Co
Cobalt
45 102.91
Rh
Rhodium
77 192.22
Ir
Iridium
109 268
Mt
Meitnerium
28 58.693
Ni
Nickel
46 106.42
Pd
Palladium
78 195.08
Pt
Platinum
110 281
Ds
Darmstadtium
29 63.546
Cu
Copper
47 107.87
Ag
Silver
79 196.97
Au
Gold
111 280
Rg
Roentgenium
30 65.39
Zn
Zinc
48 112.41
Cd
Cadmium
80 200.59
Hg
Mercury
112 285
Uub
Ununbium
31 69.723
Ga
Gallium
13 26.982
Al
Aluminium
5 10.811
B
Boron
49 114.82
In
Indium
81 204.38
Tl
Thallium
113 284
Uut
Ununtrium
6 12.011
C
Carbon
14 28.086
Si
Silicon
32 72.64
Ge
Germanium
50 118.71
Sn
Tin
82 207.2
Pb
Lead
114 289
Uuq
Ununquadium
7 14.007
N
Nitrogen
15 30.974
P
Phosphorus
33 74.922
As
Arsenic
51 121.76
Sb
Antimony
83 208.98
Bi
Bismuth
115 288
Uup
Ununpentium
8 15.999
O
Oxygen
16 32.065
S
Sulphur
34 78.96
Se
Selenium
52 127.6
Te
Tellurium
84 209
Po
Polonium
116 293
Uuh
Ununhexium
9 18.998
F
Flourine
17 35.453
Cl
Chlorine
35 79.904
Br
Bromine
53 126.9
I
Iodine
85 210
At
Astatine
117 292
Uus
Ununseptium
10 20.180
Ne
Neon
2 4.0025
He
Helium
18 39.948
Ar
Argon
36 83.8
Kr
Krypton
54 131.29
Xe
Xenon
86 222
Rn
Radon
118 294
Uuo
Ununoctium
1
2
3
4
5
6
7
1 IA
2 IIA
3 IIIA 4 IVB 5 VB 6 VIB 7 VIIB 8 VIIIB 9 VIIIB 10 VIIIB 11 IB 12 IIB
13 IIIA 14 IVA 15 VA 16 VIA 17 VIIA
18 VIIIA
57 138.91
La
Lanthanum
58 140.12
Ce
Cerium
59 140.91
Pr
Praseodymium
60 144.24
Nd
Neodymium
61 145
Pm
Promethium
62 150.36
Sm
Samarium
63 151.96
Eu
Europium
64 157.25
Gd
Gadolinium
65 158.93
Tb
Terbium
66 162.50
Dy
Dysprosium
67 164.93
Ho
Holmium
68 167.26
Er
Erbium
69 168.93
Tm
Thulium
70 173.04
Yb
Ytterbium
71 174.97
Lu
Lutetium
89 227
Ac
Actinium
90 232.04
Th
Thorium
91 231.04
Pa
Protactinium
92 238.03
U
Uranium
93 237
Np
Neptunium
94 244
Pu
Plutonium
95 243
Am
Americium
96 247
Cm
Curium
97 247
Bk
Berkelium
98 251
Cf
Californium
99 252
Es
Einsteinium
100 257
Fm
Fermium
101 258
Md
Mendelevium
102 259
No
Nobelium
103 262
Lr
Lawrencium
Alkali Metal
Alkaline Earth Metal
Metal
Metalloid
Non-metal
Halogen
Noble Gas
Lanthanide/Actinide
Z mass
Symbol
Name
man-made
plavkasto i ljubičasto obojene kućice su metalni elementi.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metali
Detaljnije ćemo razmotriti
▶ Metale s jednim elektronom (jednovalentni) u zadnjoj ljusci:alkalijski metali, plemeniti metali…,
▶ te prijelazne metale u kojima se popunjava unutrašnja d-ljuska.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Alkalijski i plemeniti metali
Metal el. konfig. reš. a (Å) Ec (eV)Li 2s BCC 3.491 1.63Na 3s BCC 4.225 1.113K 4s BCC 5.225 0.934Rb 5s BCC 5.585 0.852Cs 6s BCC 6.045 0.804
Metal el. konfig. reš. a (Å) Ec (eV)Cu 3d104s FCC 3.61 3.49Ar 4d105s FCC 4.09 2.95Au 5d106s FCC 4.08 3.81
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prijelazni metali
Metal el. konfig. reš. a, c (Å) Ec (eV)Sc 3d14s2 HCP 3.31,5.27 3.90Ti 3d24s2 HCP 2.95,4.68 4.85V 3d34s2 BCC 3.03 5.31Cr 3d54s BCC 2.88 4.10Mn 3d54s2 BCC 2.92Fe 3d64s2 BCC 2.87 4.28Co 3d74s2 HCP 2.51,4.07 4.39Ni 3d84s2 FCC 3.52 4.14Cu 3d104s FCC 3.61 3.49
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metali
Ono što se zna:▶ Bitna svojstva metala dolaze od elektronskih pobuđenja.
▶ Elektronska pobuđenja mogu se smatrati kao posebne česticefermionskog tipa.
▶ Kulonsko međudjelovanje utječe na svojstva elektrona ali netoliko da bi im promijenilo fermionski karakter.
▶ Za potpuno razumijevanje metala, ali i svih ostalim materijala,potrebno je uzeti u obzir međudjelovanje elektrona s pravilnomkristalnom rešetkom.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Drude-Sommerfeldov model
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Drude-Sommerfeldov model (1900/1933)
▶ Elektron-elektron međudjelovanje je zanemareno.▶ Periodični potencijal rešetke je zanemaren.▶ Elektroni se gibaju u metalu kao u beskonačno dubokojpotencijalnoj jami (ravnog dna).
▶ Metal je posuda u kojoj se nalaze nabijene fermionske česticekoje ne međudjeluju.
▶ Kvantizacija valnih brojeva:
Rubni uvjeti na valnu funkciju:
ψ(x) = 0 i ψ(L) = 0
LRubni uvjeti na valnu funkciju:
ψ(x+ L) = ψ(x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kvantizacija valnih brojeva
Za makroskopski velike sustave obje vrste kvantizacija vode na isterezultate!
Radi jednostavnosti služimo se periodičkim rubnim uvjetima. Kaorješenja Schödingerove DJ dobivaju se ravni valovi:
ψk⃗(⃗r) =1√Veı⃗k·⃗r
a pripadne energije:
Ek⃗ =ℏ2k⃗2
2me=
p⃗2
2me
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodički rubni uvjeti u 3D
▶ Koriste se periodični (Born-von Karman) rubni uvjeti:
ψk⃗(⃗r+ Nia⃗i) = ψk⃗(⃗r)
gdje je:
a⃗i = jedinični vektorNi = broj jediničnih ćelija uzduž vektora a⃗i
▶ Rubni uvjeti dopuštaju samo kvantizirane valne brojeve:
k⃗ = α1b⃗1 + α2b⃗2 + α3b⃗3
gdje suαi =
niNi
(ni = 0,±1,±2, . . . )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Drude-Sommerfeldov model
▶ Kvantna stanja određena su s valnim brojem k⃗ i spinskimstanjem.
▶ Svako kvantno stanje može biti popunjeno samo s jednimelektronom. Orbitalno kvantno stanje zadano s valnim brojemmože biti popunjeno s dva elektrona različita spina (Paulijevprincip).
▶ U osnovnom stanju elektroni popunjavaju kvantna stanja čije suenergije manje ili jednake Fermijevoj energiji (EF).
Napomena: Broj valnih brojeva unutar prve Brillouinove zone (1. BZ) jednakje broju jediničnih ćelija u kristalu! Isto vrijedi i za običnu jediničnu ćeliju urecipročnom prostoru.
Napomena: Za prikazivanje položaja u kristalu koristimo se primitivnimtranslacijskim vektorima rešetke, a za prikazivanje valnih brojeva (vektora)služimo se translacijskim vektorima recipročne rešetke.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zbrajanje/integracija po kvantnim stanjima
▶ Proračun fizikalnih veličina traži zbrajanje po kvantnim stanjima:
Etot =∑
E⃗k<EF
Ek⃗
▶ U makroskopskim sustavima zbrajanje se može zamijeniti sintegracijom:
Etot =∑
E⃗k<EF
Ek⃗ → V(2π)3
∫E⃗k<EF
dk⃗ Ek⃗
▶ Prilikom izračuna veličina koje samo ovise o energiji, integracijapo valnim brojevima se može zamijeniti integracijom po energiji:
Etot =V
(2π)3
∫E⃗k<EF
dk⃗ Ek⃗ →∫
E<EF
dE E
=g(E)︷ ︸︸ ︷[V
(2π)3
∫dk⃗ δ(E− Ek⃗)
]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća stanja
Veličina g(E) je gustoća kvantnih stanja:
g(E) =V
(2π)3
∫dk⃗ δ(E− Ek⃗)
Ako veličine koje se izračunavaju ne ovise o spinu, u gustoću stanjase može uključiti i broj spinskih stanja.
U Sommerfeldovom je modelu gustoća stanja:
g(E) = 2V
(2π)3
∫dk⃗ δ(E− ℏ2k⃗2
2me) =
Vπ2
∞∫0
dk k2δ(E− ℏ2k2
2me)
= Vme
π2ℏ3√2meE ∼
√E
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća/broj čestica i Fermijeva energija
Broj elektrona:
N =
∫E<EF
dE g(E) = V(2meEE)
3/2
3π2ℏ3
⇒ EF =ℏ2
2me(3π2n)2/3 =
ℏ2k2F2me
gdje su:
n =NV
kF = (3π2n)1/3
koncentracija elektrona i Fermijev valni broj.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fermijeva površina
▶ Fermijevom valnom broju se može pridružiti impuls:
pF = ℏkF
▶ i Fermijeva brzina:vF =
ℏkFme
U osnovnom su stanju sva kvantna stanja valnog broja k⃗ kojima jeenergija:
ℏ2k⃗2
2me=
ℏ2
2me
(k2x + k2y + k2z
)≤ EF
popunjena.
Gornja (ne)jednadžba predstavlja sferu u recipročnom prostoru kojaobuhvaća samo popunjena kvantna stanja. Navedena sfera nazivase Fermijeva površina a njen radijus je Fermijev valni broj.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sommerfeldov model primijenjen na jednovalentnemetale
Metal n (1028 m−3) kF (1010 m−1) vF (106 m s−1) EF (eV)Li 4.82 1.13 1.30 4.82Na 2.60 0.92 1.06 3.20K 1.39 0.74 0.86 2.11Rb 1.16 0.70 0.81 1.87Cs 0.93 0.65 0.75 1.61Cu 8.50 1.36 1.57 7.05Ag 5.76 1.19 1.38 5.44Au 5.90 1.20 1.39 5.52
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sommerfeldov model
Prosječna energija
E =
EF∫0
dEg(E)E
EF∫0
dEg(E)
=3
5EF
Energija kohezije;
Ec = |(Eion − Edno)− E|
gdje je;
Edno = dubina potencijalne jameEion = energija ionizacije atoma
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prosječna energija
1
n=
VN
=4π
3R3
s prosječni volumen oko elektrona
⇒ 1
Rs=
(3π2n
4
9π
)1/3
= kF(
4
9π
)1/3
Prosječna energija:
E =3
5
ℏ2k2F2me
=3
5
(4
9π
)−2/3 ℏ2
2meR2s= 2.21
ℏ2
2meR2s
Prikaže li se radijus Rs u jedinicama Bohrovog radijusa:
Rs = aB rs (rs je bezdimenzionalno)
tada je:
E =2.21
r2sℏ2
2mea2B=
2.21
r2sRy
rsLi 3.25Na 3.93K 4.86Rb 5.20Cs 5.62Cu 2.67Ag 3.02Au 3.01
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nedostatci Sommerfeldovog modela
Ima li razlike između bakra i dijamanta? Zašto se elektroni udijamantu ne gibaju slobodno i zašto dijamant ne vodi struju?
Ono što je zanemareno u Sommerfeldovom modelu:▶ Nema potencijala kristalne rešetke.▶ Nema međudjelovanja između elektrona.
Nešto poboljšani model - model želea (jellium model):▶ Naboj čvorišta rešetke nije točkast nego jednoliko razmazan.▶ Međudjelovanje elektrona se uzima u obzir kroz račun smetnje.▶ Jednoliko razmazani pozitivni naboj se krati s q=0 komponentomelektronske gustoće naboja (neutralnost sustava!).⇒ U računu se uzimaju u obzir samo q ̸= 0 komponenteelektronske gustoće naboja.
Još bolji modeli uzimaju u obzir i periodičnost potencijala rešetke!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Termodinamička svojstva metala
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sommerfeldov razvoj
∞∫0
dE f(E)e(E−µ)/kBT + 1
≈µ∫
0
dE f(E) + π2
6(kBT)2 f′(µ) +
7π4
360(kBT)4 f′′′(µ) + . . .
Temperaturna ovisnost kemijskog potencijala:
N ≈µ∫
0
dE g(E) +π2
6(kBT)2 g′(µ)
≈EF∫0
dE g(E)
︸ ︷︷ ︸=N
+(µ− EF)g(EF) +π2
6(kBT)2 g′(EF) + . . .︸ ︷︷ ︸
=0
Slijedi:
µ(T) ≈ EF −π2
6(kBT)2
g′(EF)
g(EF)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektronski doprinos toplinskom kapacitetu
Eel(T) =
∞∫0
dE g(E) Ee(E−µ)/kBT + 1
≈µ∫
0
dE g(E)E+π2
6(kBT)2 ·
ddE
(g(E)E
)∣∣∣∣E=µ
≈EF∫0
dE g(E)E+ (µ− EF) g(EF)EF +π2
6(kBT)2 ·
ddE
(g(E)E
)∣∣∣∣EF
=
EF∫0
dE g(E)E+π2
6(kBT)2 g(EF)
Energija slobodnog elektronskog plina na konačnoj temperaturi:
Eel(T) ≈ Eel(0) +π2
6(kBT)2 g(EF)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Toplinski kapacitet metala
Toplinski kapacitet:
C(el)V =
(∂Eel
∂T
)V≈ π2
3g(EF) k2B · T
= γ · T
Metali imaju linearno ponašanje toplinskog kapaciteta na niskim tem-peraturama koje dolazi od elektronskih pobuđenja!
Metal Li Na K Rb Cs Cu Ag Auγexp/γ 2.23 1.25 1.24 1.27 1.46 1.38 0.99 1.14
Razlika između izmjerene vrijednosti koeficijenta γexp i one kojuSommerfeldov model predviđa, γ, objašnjava se izmijenjenom(renormaliziranom) masom elektrona u metalu!
γ =π2
3g(EF) k2B =
π2
2
Nk2BEF
=k2B3ℏ2
kFme
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron u periodičnom potencijalu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron u periodičnom potencijalu
Schrödingerova jednadžba za česticu u periodičnom potencijalu.[− ℏ2
2me∇⃗2 + V(⃗r)
]ψ(⃗r) = E ψ(⃗r)
Periodičnost potencijala:
T̂R⃗nV(⃗r) = V(⃗r+ R⃗n) = V(⃗r)
Primijenili se operacija translacije na Schrödingerovu jednadžbu:[−
ℏ2
2me∇⃗2
+ V(⃗r + R⃗n)
]ψ(⃗r + R⃗n) =
[−
ℏ2
2me∇⃗2
+ V(⃗r)
]ψ(⃗r + R⃗n) = E ψ(⃗r + R⃗n)
slijedi da:ψ(⃗r) i ψ(⃗r+ R⃗n)
zadovoljavaju istu diferencijalnu jednadžbu.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron u periodičnom potencijalu
Budući da operator translacije komutira s hamiltonijanom, kao rješe-nja Schrödingerove jednadžbe možemo izabrati ona koja su ujedno ivlastita stanja operatora translacije.
T̂R⃗nψ(⃗r) = ψ(⃗r+ R⃗n) = eıϕ(R⃗n) · ψ(⃗r)
Grupno svojstvo operacije translacije traži:
ϕ(R⃗n + R⃗m) = ϕ(R⃗n) + ϕ(R⃗m)
To svojstvo zadovoljava samo funkcija koja je linearna u vektorutranslacije:
ϕ(R⃗n) = k⃗ · R⃗m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Blochov teorem (1928)
Treba uočiti da je:u(⃗r) = e−ı⃗k·⃗r · ψ(⃗r)
periodična funkcija:
T̂R⃗nu(⃗r) = u(⃗r+ R⃗n) = e−ı⃗k·(⃗r+R⃗n) · ψ(⃗r+ R⃗n)
= e−ı⃗k·R⃗ne−ı⃗k·⃗r · e+ı⃗k·R⃗n · ψ(⃗r)
= e−ı⃗k·⃗r · ψ(⃗r) = u(⃗r)
Rješenje Schrödingerove jednadžbe u periodičnom potencijalu možese zapisati kao:
ψ(⃗r) = eı⃗k·⃗r · u(⃗r) (Felix Bloch, 1928)
gdje je u(⃗r) periodična funkcija.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Blochova stanja
Periodička funkcija u(⃗r) zadovoljava jednadžbu:[1
2me
(−ıℏ∇⃗+ ℏk⃗
)2
+ V(⃗r)]
︸ ︷︷ ︸Hk⃗
u(⃗r) = E u(⃗r)
Funkcija u(⃗r) ovisi o vektoru k⃗:
u(⃗r) ⇒ uk⃗(⃗r)
Energija E ne može biti bilo kakvi broj:▶ Rješenja, kada uk⃗(⃗r) zadovoljava uvjet periodičnosti, postojesamo za točno određene vrijednosti energije: E = En.
▶ n je diskretni indeks, odnosno kvantni broj kojim se označavarješenje.
▶ Skup vrijednosti, {En, n = 1, 2, . . . }, je beskonačno velik.▶ Skup vrijednosti,
{En(⃗k), n = 1, 2, . . .
}, ovisi o vektoru k⃗.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Blochova stanjaOpćenito PDJ za periodični dio valne funkcije treba pisati:[
1
2me
(−ıℏ∇⃗+ ℏk⃗
)2
+ V(⃗r)]un,⃗k(⃗r) = En(⃗k) un,⃗k(⃗r)
Nekoliko napomena:▶ Ako nema periodičkog potencijala, valna funkcije čestice je:
ψ(⃗r) ∼ eı⃗k·⃗r · 1 (ravni val)
▶ Ako postoji periodični potencijal, valna funkcije čestice je:
ψ(⃗r) ∼ eı⃗k·⃗r︸︷︷︸ravni val
· un,⃗k(⃗r)︸ ︷︷ ︸periodičnost
(Blochova funkcija)
Valni vektor k⃗ koji se pojavljuje u vlastitoj vrijednosti operatora tran-slacije ima sličnu ulogu koju ima valni broj kod ravnih valova u Som-merfeldovom modelu.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodičnost u recipročnom prostoru
Vrijedi:−ıℏ∇⃗
[eı⃗q·⃗r f(⃗r)
]= eı⃗q·⃗r
(−ıℏ∇⃗+ ℏq⃗
) [f(⃗r)
]Diferencijalna jednadžba za stanje valnog broja k⃗+ G⃗:
En(⃗k+ G⃗) un,⃗k+G⃗(⃗r) =[
1
2me
(−ıℏ∇⃗+ ℏ(⃗k+ G⃗)
)2
+ V(⃗r)]un,⃗k+G⃗(⃗r)
=
[1
2me
(−ıℏ∇⃗+ ℏ(⃗k+ G⃗)
)2
+ V(⃗r)] (
e−ıG⃗·⃗re+ıG⃗·⃗run,⃗k+G⃗(⃗r))
= e−ıG⃗·⃗r[
1
2me
(−ıℏ∇⃗+ ℏ⃗k
)2
+ V(⃗r)] (
e+ıG⃗·⃗run,⃗k+G⃗(⃗r))
⇒[1
2me
(−ıℏ∇⃗+ ℏ⃗k
)2
+ V(⃗r)] (
e+ıG⃗·⃗run,⃗k+G⃗(⃗r))= En(⃗k+G⃗)
(e+ıG⃗·⃗run,⃗k+G⃗(⃗r)
)un,⃗k(⃗r) i
(e+ıG⃗·⃗run,⃗k+G⃗(⃗r)
)zadovoljavaju istu Schrödingerovujednadžbu!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodičnost u recipročnom prostoru
e+ıG⃗·⃗run,⃗k+G⃗(⃗r) mora biti jedno od već postojećih rješenja SchDJ, npr.rješenje kvantnog broja n′.
Dakle vrijedi:
En,⃗k+G⃗ = En′ ,⃗k
un,⃗k+G⃗(⃗r) = e−ıG⃗·⃗run′ ,⃗k(⃗r)
Uvrštavanjem k⃗ = −12 G⃗ u izraz za energiju:
En,⃗k+G⃗
∣∣∣⃗k=−G⃗/2
= En,G⃗/2= En′ ,⃗k
∣∣∣⃗k=−G⃗/2
= En′,−G⃗/2⇒ n = n′
nalazimo da je to rješenje istog kvantnog broja, n=n′, ako vrijedi:
En,⃗k = En,−k⃗
Dakle, En,⃗k i un,⃗k su periodične funkcije vektora k⃗.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodičnost u recipročnom prostoru
▶ Nema smisla rješavati SchDJ za un,⃗k za velike valne brojeve.
▶ Dovoljno je pronaći rješenja za vektore u području |⃗k| ≤ |G⃗/2| tj.unutar 1. Brillouinove zone (1BZ).
▶ Energije En,⃗k istog n-a, a različitog vektora k⃗ unutar 1BZ činekontinuirane energijske vrpce ili zone.
▶ Vrpce energija različitog indeksa n mogu se preklapati ili bitirazdvojene za energijski procijep.
▶ Uvećanjem vektora k⃗ za vektor recipročne rešetke: k⃗ → k⃗+ G⃗,ne dobivaju se fizikalno nova rješenje kao što je to u slučajuravnih valova i konstantnog potencijala.
▶ Fizikalno nova rješenje dobivaju se povećanjem kvantnogbroja/indeksa n.
Konstantni potencijal:Valni brojevi mogu biti proizvoljnoveliki.
Periodični potencijal:Vektori k⃗ su ograničeni unutar1BZ, a indeksi n mogu biti pro-izvoljno veliki.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektronska struktura
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektronska struktura materijala
Proračuni elektronske strukture materijala (energijski spektar) supotrebni radi:
▶ Proračun energije kohezije▶ Izračuna optičkih, transportnih, magnetskih, termodinamičkih…svojstva metala.
Realni proračuni bazirani su na DFT (teoriji funkcionala gustoće).
Kvalitativan svojstva elektronskog spektra u periodičkom potencijalumogu se saznati
▶ Približnim analitičkim metodama:• račun smetnje• aproksimacija čvrste veze.
▶ Rješavanjem igračka modela:• Kronig-Penneyev model• sinusni potencijal• periodični niz δ-funkcija• …
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Igračke modeli (toy models)
Kronig-Penneyev model
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5x
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.1
Pote
ncija
l
Periodični niz δ-funkcija
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5x
4
3
2
1
0
Pote
ncija
lPeriodični potencijal
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.1
Pote
ncija
l
Model sferične krave
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektronski spektar u sinusnompotencijalu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal
▶ Promatra se 1d sustav.
▶ Pretpostavlja se da je potencijal:
V(x) = V0 + 2V1 cos(2π
ax)
▶ DJ za periodični dio Blochove valne funkcije:[ℏ2
2me
(k− ı
ddx
)2
+ V0 + 2V1 cos(2π
ax)]
uk = Euk
▶ Budući da je uk(x) periodična funkcija može se prikazati prikazatiFourijerovog reda:
uk(x) =∑
n=0,±1,...
un(k) eı2πnx/a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijalPrimjena Fourijerove analize na DJ dobiva se skup vezanihjednadžbi:[
ℏ2
2me
(k+
2πna
)2
+ V0
]·un(k)+V1 ·un−1(k)+V1 ·un+1(k) = E ·un(k)
koji se može prikazati kao problem vlastitih vrijednosti i vektora:
. . . . . .
. . . E(0)k,n−1 V1 0 . . .
. . . V1 E(0)k,n V1 . . .
. . . 0 V1 E(0)k,n+1 . . .
. . .. . .
︸ ︷︷ ︸
matrica M(k)
...un−1(k)un(k)un+1(k)
...
= E
...un−1(k)un(k)un+1(k)
...
gdje je:
E(0)k,n =
ℏ2
2me
(k+
2πna
)2
+ V0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal
▶ Na dijagonali matrice M(k) se nalaze energije E(0)k,n
▶ Svi elementi su matrice jednaki nuli osim dijagonale i susjednihpoddijagonala. Na poddijagonalama su svi elementi jednaki V1.
▶ Vlastite vrijednosti se traže posebno za svaki valni broj k unutar1. Brillouinove zone.
▶ Matrica M(k) je beskonačno velika.▶ Budući da je matrica beskonačno velika, matrica je invarijantnana zamjenu n → n+ 1, odnosno:
k → k+2π
a
▶ Aproksimativno se rješenje može dobiti rezanjem matrice irezanjem Fourijerovog razvoja funkcije uk(x) na konačni brojFourijerovih komponenti.
▶ Kako rezati?Ovisno o valnom broju k izabrati one retke/stupce koji nadijagonali imaju najmanje vrijednosti!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Primjer: kako odrezati matricuAko se uzima u obzir samo jedan redak/stupac:
. . . . . .
. . . E(0)k,−1 V1 0 . . .
. . . V1 E(0)k,0 V1 . . .
. . . 0 V1 E(0)k,+1 . . .
. . .. . .
−πa ≥ k ≥ − 3π
a
πa ≥ k ≥ −π
a
3πa ≥ k ≥ π
a
Ako se uzimaju u obzir samo dva redka/stupca:
. . . . . .
. . . E(0)k,−2 V1 . . .
. . . V1 E(0)k,−1 V1 0 . . .
. . . 0 V1 E(0)k,0 V1 . . .
. . . 0 0 V1 E(0)k,+1 . . .
. . . 0 0 0 V1 . . .
. . .. . .
− 2πa ≥ k ≥ − 4π
a
0 ≥ k ≥ − 2πa
2πa ≥ k ≥ 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Primjer: kako odrezati matricu - rezultati
0
2
4
6
8
Energije
Rezultat koji se dobiva kada se ma-trica aproksimira samo jednim red-kom/stupcem koji ima najmanjuvrijednost (na dijagonali).
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Energ
ije
Rezultat koji se dobiva kada sematrica aproksimira dva susjednaredka/stupca koji imaju najmanjevrijednosti na dijagonali.
-3π -2π -π 0 π 2π 3πk
0
20
40
60
80
Ene
rgije
Rezultat koji se dobiva kada se ma-
trica aproksimira sa tri susjednaredka/stupca koji imaju najmanje
vrijednosti na dijagonali.
S obzirom na periodičnostuzimaju se u obzir riješenjasamo za valne brojeve unu-tar prve Brillouinove zone(BZ1).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energijski spektar čestica koja se giba u sinusnom potencijalu
-3π -2π -π 0 π 2π 3πk
Ener
gije
Rezultati numeričkog izračuna vlastitih stanja matrice M(k). Sivom parabolom je naznačenaenergija kada nema periodičkog potencijala. Crvenom, plavom i zelenom linijom su označene vrpceenergija indeksa n = 1, 2 i 3. Periodičnost dobivenih energija naznačena je crtkanim linijama.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Račun smatnje za sinusni potencijalOpćenito račun smetnje za proizvoljni potencijal:
ψn ≈ ψ(0)n −
∑k ̸=n
⟨ψ(0)k |V|ψ(0)
n ⟩E(0)k − E(0)
nψ(0)k + . . .
En ≈ E(0)n + ⟨ψ(0)
n |V|ψ(0)n ⟩ −
∑k ̸=n
|⟨ψ(0)k |V|ψ(0)
n ⟩|2
E(0)k − E(0)
n+ . . .
U slučaju sinusnog potencijala:
ψk(x) ≈ eık·x ·
[1 − V1
E(0)k+G − E(0)
k
e+ıG·x − V1
E(0)k−G − E(0)
k
e−ıG·x
]+ . . .
Ek ≈ E(0)k − |V1|2
E(0)k+G − E(0)
k
− |V1|2
E(0)k−G − E(0)
k
+ . . .
gdje je
G =2π
auočiti da je: E(0)
k,n =ℏ2
2me
(k+
2π
an)2
= E(0)k+n·G
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pristup preko računa smatnje▶ Račun smetnje divergira za valne brojeve na rubu Brillouinovezone:
E(0)k ≈ E(0)
k±G
▶ Za valne brojeve oko ruba Brillouinove zone treba koristiti računsmetnje za energijski degenerirana stanja:
det
∣∣∣∣∣E(0)k − E V1
V1 E(0)k±G − E
∣∣∣∣∣To su mjesta u kojima energija ima diskontinuitet.
-3π -2π -π 0 π 2π 3πk
0
10
20
30
40
Ener
gije Energija dobivena ra-
čunom smetnje.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija kao funkcija valnog broja dobivena računom smetnje
-3π -2π -π 0 π 2π 3π
Ener
gije
1. BZ
2. BZ2. BZ
3. BZ3. BZ
Energija kao funkcija valnog broja u shemi proširenih zona.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Veza između metode natrice i računa smetnje
-3π -2π -π 0 π 2π 3πk
Ener
gije
Energija prikazana u proširenoj zoni valnih brojeva.Rezultat dobiven iz vlastitih vrijednosti beskonačne matrice, za valne brojeve unutar 1BZ, može sepovezati s rješenjem dobivenim pomoću računa smetnji ako se dijelovi vrpci translatiraju za vektorerecipročne rešetke (G = 2πn
a , n = 0, ± 1, ± 2, …).
Energija čestice koja se giba u periodičnom potencijalu može se promatrati kao jednadiskontinuirana funkcija u shemi proširenih zona (k može biti beskonačan) ili kao višestruka funkcijaunutar prve BZ.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sažetak rezultata
▶ Energijski spektar periodična je funkcija valnog broja. Period jevektor recipročne rešetke.
▶ Vrpčasta struktura spektra može se prikazati:• s valnim vektorima iz područja 1. Brillouinove zone kao višestrukafunkcija
• ili s valnim vektorima iz proširene zone kao jedinstvena isprekidanafunkcija.
▶ Za valne brojeve blizu ruba Brillouinove zone dolazi do cijepanjaenergije i otvaraju se područja (ili zona) zabranjenih energija.
▶ Ne postoji periodičko stacionarno Blochovo stanje za energije izzabranjene zone.Valne funkcije tih energija imaju valne brojeve s imaginarnimdijelom.
▶ Područja zabranjenih energija sve su uža kako broj zone raste.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dopuštene i zabranjene vrijednosti energija
-π 0 π
Ener
gije
dopustene i zabranjene energije
Energija kao višeznačna funkcija valnog broja u shemi reducirane zone (1. BZ).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodički dio Blochove funkcije
10 5 0 5 100.0
0.5
1.0
1.5
2.0
10 5 0 5 102.01.51.00.50.00.51.01.52.0
10 5 0 5 101.00.50.00.51.01.5
Periodički dio Blochove funkcije (realni dio) za tri stanja najniže energije valnog broja k = 0.0.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodički dio Blochove funkcije
10 5 0 5 101.00.50.00.51.01.52.0
10 5 0 5 102.01.51.00.50.00.51.01.52.0
10 5 0 5 101.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Blochove funkcije (realni dio) za tri stanja najniže energije valnog broja k = 0.2/a.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Širina dopuštenih energijskih zona
0 20 40 60 80 100
V1
150
100
50
0
50
100
sirin
a vr
pci
Zabranjene i dopuštene zone za 1d sustav kao funkcije jačine sinusnog potencijala (V1). ZaV1 ≫ h2/(mea2) dopuštene energije postaju uske vrpce.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal u višim dimenzijama
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal u višim dimenzijama
Budući da je potencijal periodička funkcija, može se razviti uFourijerov red:
V(⃗r) =∑G⃗m
VG⃗meı⃗r·G⃗m (m je trojka cijelih brojeva)
Periodički dio Blochove valne funkcije je također periodička funkcija,pa:
uk⃗(⃗r) =∑G⃗m
u⃗k,G⃗meı⃗r·G⃗m
i pri tome Fourijerove komponente zadovoljavaju skup matričnihjednadžbi
ℏ2
2me
(k⃗+ G⃗m
)2
uk⃗,G⃗m+∑n
VG⃗nu⃗k,G⃗m−G⃗n
= Euk⃗,G⃗m
Radi se o problemu nalaženja vlastitih vrijednosti i vlastitih vektorabeskonačne matrice!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal u višim dimenzijamaAko su Fourijerove komponente sinusnog potencijala male, približnarješenja se mogu dobiti računom smetnje. To je ekvivalentno rezanjumatrice na manji broj Fourijerovih komponenti.
Račun smetnje divergira ako su energije vala i raspršenog valapribližno iste - degenerirane. To se događa za valne brojeve:
ℏ2
2me
(k⃗− G⃗m
)2
≈ ℏ2
2mek⃗2 odnosno 2 k⃗ · G⃗m = G⃗2
m
▶ Jednadžba je zadovoljena ako je k⃗ = 0.5 G⃗m. To odgovaravalnom broju koji se nalazi na polovici spojnice između čvorištarecipročne rešetke, tj. na površini koja omeđuje Brillouinovuzonu.
▶ Jednadžba je zadovoljena i za valne vektore koji imaju ikomponentu koja je okomita na spojnicu:
k⃗ = 0.5G⃗m + k⃗⊥ gdje je k⃗⊥ · G⃗m = 0
To su valni brojevi na rubu Brillouinove zone!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal u višim dimenzijama
▶ I u slučaju viših dimenzija energijski spektar formira vrpce.
▶ Između vrpci postoji procijep, područje zabranjenih energija, kojije rezultat višestrukog raspršenja čestica na periodičkompotencijalu.
▶ Ako u potencijal uleti čestica energije iz zabranjenog područjaenergija, njena valna funkcija trne od površine premaunutrašnjosti. Takva čestica se odbije/reflektira od površinepotencijala (tijela).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Primjer energijskih vrpci za 2d kvadratnu rešetku
Energijske vrpce za 2d kvadratnu rešetku. Potencijal:
V(⃗r) = 2V1
[cos
(2πxa
)+ cos
(2πya
)]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1. i 2. Brillouinova zona
3 2 1 0 1 2 33
2
1
0
1
2
3
-4.50
0
-3.0
00
-1.500 -1.50
0
-1.50
0 -1.500
0.000 0.000
0.000 0.000
1. Brillouinova zona
3 2 1 0 1 2 33
2
1
0
1
2
3
14.500
14.500 14.5
00
14.500
15.500
15.500 15.5
00
15.500
18.000
18.0
00
18.000
18.00021.000
24.0
00
27.000
30.000
2. Brillouinova zona
Plohe konstantne energije u 1. i 2. Brillouinovoj zoni.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Proširena Brillouinova zona
6 4 2 0 2 4 66
4
2
0
2
4
6Prosirena Brillouinova zona
Plohe konstantne ener-gije u proširenoj Bril-louinovoj zoni približnoslijede oblik kugle kojapredstavlja Fermi povr-šinu u slučaju konstant-nog potencijala.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Brillouinove zone
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Brillouinove zone
1d sustav:1. Brillouinova zona: valni brojevi u [−π
a ,+πa ]
2. Brillouinova zona: valni brojevi u [−2πa ,−
πa ] i [+
πa ,+
2πa ]
3. Brillouinova zona: valni brojevi u [−3πa ,−
2πa ] i [+ 2π
a ,+3πa ]
itd.Sve zone imaju istu veličinu (u 1d istu dužinu)!
2d sustav:kvadratna rešetka heksagonska rešetka
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Proširena Brillouinova zona za 2d
Zone se dobivaju tako da polovimo prav-cima (površinama u 3d) spojnice nekogčvorišta s prvim susjednim čvorištima, po-tom s drugim najbližim susjednim čvori-štima, zatim s trećim najbližim susjednimčvorištima itd.
Na slici je prikazana shema proširenihBrillouinovih zona za 2d kvadratnu re-šetku. Pojedine zone obojene su razli-čitim bojama. Svaka zona dodiruje pret-hodnu zonu dužinom pravca. Ukupna po-vršina svake od zona jednaka je površini1 BZ.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1. Brillouinova zona za 3d
Volumno centrirana kubna rešetka Plošno centrirana kubna rešetka
Više zone su izuzetno kompleksni poliedri.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Neki odgovori
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Izolatori i metali
Tvari u kojima je postoji procijep u energiji između popunjenih i praz-nih kvantnih stanja su izolatori.
▶ Sustav u kojem teče struja nalazi se u stanju neravnoteže:broj čestica koje se gibaju u jednom smjeru i u suprotnom smjerunije isti.
▶ Takvo se stanje može postojati samo u sustavima koji imajudjelomično popunjenu vrpcu (na T = 0).
▶ Metali imaju djelomično popunjenu vrpcu, a izolatori imajuprocijep između popunjenih i praznih kvantnih stanja.
Koji to elementi/tvari imaju djelomično popunjenu vrpcu i zašto?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Izolatori i metali
▶ Broj kvantnih stanja u 1BZ jednak je broju jediničnih ćelija ilibroju atoma u monoatomnim tvarima:∑
k⃗
=V
(2π)3
∫1BZ
dk⃗ =V
(2π)3· (2π)
3
Vc= N
▶ U jednovalentnim elementima (Na, K, Cu, …) broj elektrona jejednak broju atoma. Pola elektrona ima spin prema gore, a polaspin prema dolje pa je vrpca polapopunjena!
▶ Za jednovalentne elemente i tvari u kojima je broj elektronajednak broju jediničnih ćelija očekujemo da su uvijek metali.Međutim postoje iznimke!
▶ Dvovalentni elementi (Mg, Ca, …) kompletno popunjavaju vrpcu.Dvovalentni elementi (2. skupina) su ipak metali jer dolazi doprekrivanja popunjene i prazne vrpce. Ne postoji procijep uenergijskom spektru.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto galerija
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto galerija
Léon Brillouin (1889–1969)Francuski fizičar
Paul Karl Ludwig Drude(1863-1906)
Njemački fizičar
Arnold Johannes WilhelmSommerfeld (1868–1951)
Njemački fizičar
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto galerija
Enrico Fermi (1901–1954)Talijansko-američki fizičar
NN 1938za stvaranje novih elemenata neutronskim
zračenjem
Felix Bloch (1905-1983)Švicarski fizičar
NN 1952za razvoj NMR mjerenja
![chemsocthai.org¸•ารางธาตุ...hydrogen [1.0078, 1.0082] Li lithium [6.938, 6.997) Na sodium 22.990 potassium 39.098 rubidium 85.468 caesum 132.91 beryllium 9.0122](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5fede4977a59824b5f59ee1a/aaaaaaaa-hydrogen-10078-10082-li-lithium-6938-6997.jpg)
