Méthode des éléments finis : treillis plans `a nœuds articulés

Methode des elements finis :

treillis plans a nœuds articules

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du MansDepartement Genie Mecanique et Productique

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

24 mars 2006 – 29 mars 2011

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

Table des matieres

Introduction 3

1 Matrices elementaires 3

2 Exemple 1 : treillis soumis a une force nodale 62.1 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Partition des degres de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Etude elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Assemblage et calcul des deplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Efforts normaux dans les elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Exemple 2 : treillis soumis a une force nodale 83.1 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Partition des degres de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Etude elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Assemblage et calcul des deplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 Efforts normaux dans les elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Exemple 3 : treillis soumis a une variation de temperature 104.1 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Partition des degres de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Etude elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Premier cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4.1 Assemblage et calcul des deplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4.2 Efforts normaux dans les elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.5 Deuxieme cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5.1 Assemblage et calcul des deplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5.2 Efforts normaux dans les elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Programmes Maple 145.1 tre mat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 exemple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

References 16

Treillis plans a nœuds articules 3

Introduction

Un treillis est un ensemble de poutres droites (elements) reliees entre elles par des rotules (nœuds).Les liaisons exterieures sont des rotules et des appuis simples. Les charges sont des forces portees parles rotules, des gradients thermiques et des deplacements d’appui. La force interieure dans unesection droite se reduit a l’effort normal.

Le treillis est plan si :

– Le plan {O;x, y} est un plan de symetrie pour toutes les sections droites.– Les forces appliquees sont situees dans le plan {O;x, y}.

On suppose que les deplacements sont petits.

1 Matrices elementaires

Soit (i → j) un element de treillis plan de section droite constante (figure 1).

Figure 1 – Element i → j

L est la longueur de l’element et A l’aire de sa section droite.

(xi , yi) et (xj , yj) sont les coordonnees des nœuds de l’element.

Le vecteur unitaire ~n porte par l’axe de la poutre est defini par :

{nx

ny

}=

1

L

{xj − xiyj − yi

}=

{cos θsin θ

}, L2 = (xj − xi)

2 + (yj − yi)2 (1.1)

ou θ est l’angle que fait ~n avec l’axe x.

E et α sont respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du materiau.

L’element est soumis a un effort normal N (positif : traction, negatif : compression) et a une variationde temperature ∆T constante.

4 Methode des elements finis

(ui, vi) et (uj , vj) sont les deplacements nodaux (figure 2).

Figure 2 – Deplacements elementaires

Les efforts aux extremites de l’element sont (figure 3) :

−N ~n en i , N ~n en j (1.2)

Figure 3 – Efforts elementaires

Differentions la relation :L2 = (xj − xi)

2 + (yj − yi)2 (1.3)

Il vient :2LdL = 2 (xj − xi) (dxj − dxi) + 2 (yj − yi) (dyj − dyi) (1.4)

d’ou l’expression de l’allongement unitaire suivant ~n :

εn =dL

L=

1

L

((xj − xi)

L(dxj − dxi) +

(yj − yi)

L(dyj − dyi)

)(1.5)

soit :

εn =1

L(nx (uj − ui) + ny (vj − vi) ) (1.6)

Cet allongement unitaire est du a l’effort normal (loi de Hooke) et a la variation de temperature :

εn =N

EA+ α∆T (1.7)

L’effort normal s’ecrit en fonction des deplacements nodaux :

N = EA (εn − α∆T )

=EA

L(nx (uj − ui) + ny (vj − vi) )− EAα∆T

(1.8)

soit :

N =EA

L

[−nx −ny nx ny

]

uiviujvj

− EAα∆T (1.9)


On en deduit :

{fnod} = [ k ] {u} − {fth} (1.10a)

avec :

{fnod} = N

−nx

−ny

nx

ny

, {u} =

uiviujvj

(1.10b)

[ k ] =EA

L

−nx

−ny

nx

ny

[−nx −ny nx ny

]=

EA

L

n2x nx ny −n2

x −nx ny

n2y −nx ny −n2

y

n2x nx ny

sym. n2y

(1.10c)

{fth} = EAα∆T

−nx

−ny

nx

ny

(1.10d)

{fnod} est le vecteur force nodal (N).

{u} est le vecteur deplacement elementaire (m).

[ k ] est la matrice de rigidite (N/m).

{fth} est le vecteur force equivalent au gradient thermique (N).

Remarque 1 : la matrice de rigidite peut se mettre sous la forme :

[ k ] =

[[k] −[k]−[k] [k]

]avec [k] =

EA

L

[n2x nx ny

nx ny n2y

](1.11)

Remarque 2 : la matrice de rigidite est egale a :

[ k ] =

nx 0ny 00 nx

0 ny

EA

L

[1 −1−1 1

] [nx ny 0 00 0 nx ny

](1.12)

ou :

[ k ] =

nx −ny 0 0ny nx 0 00 0 nx −ny

0 0 ny nx

EA

L

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

nx ny 0 0−ny nx 0 00 0 nx ny

0 0 −ny nx

(1.13)

Remarque 3 : l’energie de deformation est egale a (a un coefficient pres independant des deplacementset de leurs derivees) :

Edef =1

2EAε2n L− EAεn α∆T L

=1

2{u}T [ k ] {u} − {u}T {fth}

(1.14)

Le travail des forces exterieures se reduit au travail des forces nodales :

Wext = {u}T {fnod} (1.15)


L’energie potentielle est egale a :

Epot = Edef −Wext (1.16)

La matrice de rigidite est la matrice hessienne (ou matrice de Hess) de l’energie de deformation parrapport aux deplacements nodaux (programme tre mat) :

kij =∂2Edef

∂ui ∂uj(= kji) (1.17)

Le vecteur des efforts aux nœuds est le gradient de l’energie de deformation par rapport aux depla-cements nodaux :

fnod,i =∂Edef

∂ui(1.18)

2 Exemple 1 : treillis soumis a une force nodale

2.1 Enonce

Le treillis plan a noeuds articules represente sur la figure 4 est com-

Figure 4 – Exemple 1

pose de trois poutres de meme nature et de meme section droite.

Soient E le module de Young du materiau et A l’aire des sectionsdroites.

Le noeud 1 est articule et le nœud 3 repose sur un appui simple dontla normale est horizontale.

Le noeud 2 porte une charge de composantes (0, P ).

Application numerique : on donne :

A = 100 mm2 , L = 0.2 m , E = 200000 MPa , P = −10000 N

2.2 Partition des degres de liberte

Effectuons une partition des degres de liberte en deplacements connus et inconnus ([1], [12]) :

{UL} =

u2v2v3

, {US} =

u1v1u3

d’ou {U} =

{{UL}{US}

}=

u2v2v3u1v1u3

On en deduit la localisation des degres de liberte dans les matrices globales :

{DDL} =

u1 → 0v1 → 0u2 → 1v2 → 2u3 → 0v3 → 3


2.3 Etude elementaire

– coordonnees nodales :nœud x y

1 0 L2 L 03 0 −L

– element 1 → 2 :

caracteristiques : L√2 , A , E , nx =

1√2, ny = − 1√

2

{ddl1−2} =

u1 → 0v1 → 0u2 → 1v2 → 2

, [k1−2] =EA

2√2L

1 −1 −1 1−1 1 1 −1−1 1 1 −11 −1 −1 1

– element 3 → 1 :caracteristiques : 2L , A , E , nx = 0 , ny = 1

{ddl3−1} =

u3 → 0v3 → 3u1 → 0v1 → 0

, [k3−1] =EA

2L

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1



1√2, ny =

1√2

{ddl3−2} =

u3 → 0v3 → 3u2 → 1v2 → 2

, [k3−2] =EA

2√2L

1 1 −1 −11 1 −1 −1−1 −1 1 1−1 −1 1 1

2.4 Assemblage et calcul des deplacements inconnus

Les deplacements inconnus sont les solutions de l’equation [KLL]{UL} = {Fnod,L} :

EA

2√2L

2 0 −10 2 −1

−1 −1 1 +√2

u2v2v3

=

0P0

d’ou (programme exemple 1) :

u2 =PL

2EA= −0.050mm , v2 =

PL

2EA(1 + 2

√2) = −0.191mm

v3 =PL

EA= −0.100mm

2.5 Efforts normaux dans les elements

Ils sont calcules a l’aide de la formule (1.8) :

N1−2 =EA

L√2

(1√2u2 − 1√

2v2

)= −P

√2

2= 7071N

N3−1 =EA

2L(−v3) = −P

2= 5000N

N3−2 =EA

L√2

(1√2u2 +

1√2( v2 − v3)

)=

P√2

2= −7071N


2.6 Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calculees a partir des efforts normaux (equation 1.2) :

– nœud 1 :

~F1 = −N1−2 ~n1−2 +N3−1 ~n3−1 d’ou

F1x = − 1√2N1−2 =

P

2= −5000N , F1y =

1√2N1−2 +N3−1 = −P = 10000N

– nœud 3 :

~F3 = −N3−1 ~n3−1 −N3−2 ~n3−2 d’ou

F3x = − 1√2N3−2 = −P

2= 5000N

Remarque : l’equilibre de la structure est verifie :

F1x + F2x + F3x = 0 , F1y + F2y + F3y = 0 , −2LF1x − LF2x + LF2y = 0

3 Exemple 2 : treillis soumis a une force nodale

3.1 Enonce

Le treillis plan represente sur la figure 5 est compose de trois


poutres de meme section.

Soient E le module de Young du materiau et A l’aire des sec-tions droites.

Le nœud 1 est articule et le nœud 2 repose sur un appui simpledont la normale est horizontale.

Le nœud 3 porte une charge d’intensite (P, 3P, 0).


A = 100 cm2 , E = 200000 MPa , L = 0.7 m , P = −120 kN



{UL} =

v2u3v3

, {US} =

u1v1u2

d’ou {U} =

{{UL}{US}

}=

v2u3v3u1v1u2



{DDL} =

u1 → 0v1 → 0u2 → 0v2 → 1u3 → 2v3 → 3



1 0 02 0 L3 L 0


caracteristiques : L , A , E , nx = 0 , ny = 1

{ddl1−2} =

u1 → 0v1 → 0u2 → 0v2 → 1

, [k1−2] =EA

L

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1


caracteristiques : L , A , E , nx = 1 , ny = 0

{ddl1−3} =

u1 → 0v1 → 0u3 → 2v3 → 3

, [k1−3] =EA

L

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0



1√2, ny =

−1√2

{ddl2−3} =

u2 → 0v2 → 1u3 → 2v3 → 3

, [k2−3] =EA

2√2L

1 −1 −1 1−1 1 1 −1−1 1 1 −11 −1 −1 1

3.4 Assemblage et calcul des deplacements inconnus

Les deplacements inconnus sont les solutions de l’equation [KLL]{UL} = {Fnod,L} :

EA

2√2L

1 + 2

√2 1 −1

1 1 + 2√2 −1

−1 −1 1

v2u3v3

=

0P3P


v2 =3PL

EA= −0.126 mm

u3 =4PL

EA= −0.168 mm , v3 =

(7 + 6√2)PL

EA= −0.650 mm


3.5 Efforts normaux dans les elements


N1−2 =EA

Lv2 = 3P = −360 kN

N1−3 =EA

Lu3 = 4P = −480 kN

N2−3 =EA

L√2

(1√2u3 − 1√

2( v3 − v2)

)= −3

√2P = 509 kN

3.6 Actions de liaison


– nœud 1 :~F1 = −N1−2 ~n1−2 −N1−3 ~n1−3 d’ou

F1x = −N1−3 = −4P = 480 kN , F1y = −N1−2 = −3P = 360 kN

– nœud 2 :~F2 = N1−2 ~n1−2 −N2−3 ~n2−3 d’ou

F2x = − 1√2N2−3 = 3P = −360 kN


F1x + F2x + F3x = 0 , F1y + F2y + F3y = 0 , LF3y − LF2x = 0

4 Exemple 3 : treillis soumis a une variation de temperature

4.1 Enonce

Le treillis plan a noeuds articules represente sur la figure 6 est compose de trois poutres de mememateriau et de meme section droite.


Soient E et α respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du materiau.

Soit A l’aire des sections droites.


Les nœuds 1, 2 et 4 sont lies a l’exterieur par une rotule.

Premier cas de charge : la structure est soumise a une variation de temperature ∆T .

Deuxieme cas de charge : la poutre (2− 3) est soumise a une variation de temperature ∆T .


A = 100 mm2 , L = 0.1 m , E = 200000 MPa , α = 10−5 K−1 , ∆T = 100 K



{UL} =

{u3v3

}, {US} =

u1v1u2v2u4v4

d’ou {U} =

{{UL}{US}

}=

u3v3u1v1u2v2u4v4


{DDL} =

u1 → 0v1 → 0u2 → 0v2 → 0u3 → 1v3 → 2u4 → 0v4 → 0



1 0 02 L 03 L L4 2L L


caracteristiques : L√2 , A , E , α , nx =

1√2, ny =

1√2

{ddl1−3} =

u1 → 0v1 → 0u3 → 1v3 → 2

[k1−3] =EA

2√2L

1 1 −1 −11 1 −1 −1−1 −1 1 1−1 −1 1 1

{fth,1−3} =

1√2EAα∆T

−1−111


caracteristiques : L , A , E , α , nx = 0 , ny = 1


{ddl2−3} =

u2 → 0v2 → 0u3 → 1v3 → 2

[k2−3] =EA

L

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1

{fth,2−3} = EAα∆T

0−101

– element 3 → 4 :caracteristiques : L , A , E , α , nx = 1 , ny = 0

{ddl3−4} =

u3 → 1v3 → 2u4 → 0v4 → 0

[k3−4] =EA

L

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

{fth,3−4} = EAα∆T

−1010

4.4 Premier cas de charge

4.4.1 Assemblage et calcul des deplacements inconnus

Les deplacements inconnus sont les solutions de l’equation [KLL]{UL} = {Fth,L} :

EA

2√2L

[1 + 2

√2 1

1 1 + 2√2

]{u3v3

}=

1

2EAα∆T

{√2− 2√2 + 2

}


u3 = (√2− 2)Lα∆T = −0.0586mm , v3 =

√2Lα∆T = 0.1414mm

4.4.2 Efforts normaux dans les elements


N1−3 =EA

L√2

(1√2u3 +

1√2v3

)−EAα∆T = (

√2− 2)EAα∆T = −11716N

N2−3 =EA

Lv3 − EAα∆T = (

√2− 1)EAα∆T = 8284N

N3−4 =EA

L(−u3)− EAα∆T = (1−

√2)EAα∆T = −8284N

4.4.3 Actions de liaison


– nœud 1 :~F1 = −N1−3 ~n1−3 d’ou :

F1x = − 1√2N1−3 = (

√2− 1)EAα∆T = 8284N , F1y = F1x = 8284N

– nœud 2 :~F2 = −N2−3 ~n2−3 d’ou :

F2x = 0 , F2y = −N2−3 = (1−√2)EAα∆T = −8284N

– nœud 4 :~F4 = N3−4 ~n3−4 d’ou :

F4x = N3−4 = (1−√2)EAα∆T = −8284N , F4y = 0




4.5 Deuxieme cas de charge

4.5.1 Assemblage et calcul des deplacements inconnus

Les deplacements inconnus sont les solutions de l’equation [KLL]{UL} = {FL} :

EA

2√2L

[1 + 2

√2 1

1 1 + 2√2

]{u3v3

}= EAα∆T

{01

}


u3 =1−√

2

2Lα∆T = −0.0207mm , v3 =

3−√2

2Lα∆T = 0.0793mm

4.5.2 Efforts normaux dans les elements


N1−3 =EA

L√2

(1√2u3 +

1√2v3

)=

2−√2

2EAα∆T = 5858N

N2−3 =EA

Lv3 − EAα∆T =

1−√2

2EAα∆T = −4142N

N3−4 =EA

L(−u3 ) =

√2− 1

2EAα∆T = 4142N

4.5.3 Actions de liaison


– nœud 1 :~F1 = −N1−3 ~n1−3 d’ou :

F1x = − 1√2N1−3 =

1−√2

2EAα∆T = −4142N , F1y = F1x = −4142N

– nœud 2 :~F2 = −N2−3 ~n2−3 d’ou :

F2x = 0 , F2y = −N2−3 =

√2− 1

2EAα∆T = 4142N

– nœud 4 :~F4 = N3−4 ~n3−4 d’ou :

F4x = N3−4 =

√2− 1

2EAα∆T = 4142N , F4y = 0




5 Programmes Maple

Les programmes suivant se trouvent dans le fichier treillis.txt.

5.1 tre mat

# calculs elementaires

restart:with(linalg):

# allongement unitaire

eps:=(nx*(uj-ui)+ny*(vj-vi))/L;

# energie de deformation

Edef:=EA*eps^2*L/2-eps*EA*alpha*DT*L;

# matrice de rigidite

k:=hessian(Edef,[ui,vi,uj,vj]);

# efforts nodaux

fnod:=grad(Edef,[ui,vi,uj,vj]);

# remarque

k:=jacobian(fnod,[ui,vi,uj,vj]);

# vecteur du au gradient thermique

fth:=-jacobian(fnod,[DT]);

5.2 exemple 1


# application numerique

#L:=200;E:=200000;A:=Pi*30^2/4;P:=-10000;


KL:=matrix([[2,0,-1],[0,2,-1],[-1,-1,1+sqrt(2)]]):

KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L);

# vecteur FL

FL:=vector([0,P,0]);

# calcul des deplacements nodaux

UL:=linsolve(KL,FL);

#evalf(%);


5.3 exemple 2



# L:=700;E:=200000;A:=10000;P:=-120e3;


KL:=matrix([[1+2*sqrt(2),1,-1],[1,1+2*sqrt(2),-1],[-1,-1,1]]):


# vecteur FL

FL:=vector([0,P,3*P]);


UL:=linsolve(KL,FL);

#evalf(%);

5.4 exemple 3



#L:=100;E:=200000;A:=100;alpha:=1e-5;DT:=100;


x:=1+2*sqrt(2):

KL:=matrix([[x,1],[1,x]]):


# vecteurs F

x:=E*A*alpha*DT/2:

FLcas1:=vector([(sqrt(2)-2)*x,(sqrt(2)+2)*x]);

FLcas2:=vector([0,E*A*alpha*DT]);


ULcas1:=linsolve(KL,FLcas1);

ULcas2:=linsolve(KL,FLcas2);

# map(evalf,ULcas1);

# map(evalf,ULcas2);


References

[1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek – Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebung-smethode in der statik, Vieweg, 1986.

[2] J.-L. Batoz et G. Dhatt – Modelisation des structures par elements finis, Volume 1. Solideselastiques, Hermes, 1990.

[3] — , Modelisation des structures par elements finis, Volume 2. Poutres et plaques, Hermes, 1990.

[4] A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre et C. Laberge – Resistance desmateriaux, 3 ed., Editions de l’Ecole Polytechnique de Montreal, 2002.

[5] L. Chevalier – Mecanique des systemes et des milieux deformables. Cours, exercices et pro-blemes corriges, Ellipses, 2004.

[6] G. Dhatt, G. Touzot et E. Lefrancois – Methode des elements finis, Hermes, 2005.

[7] F. Frey – Traite du genie civil, Volume 1. Analyse des structures et milieux continus. Statiqueappliquee, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998.

[8] — , Traite du genie civil, Volume 2. Analyse des structures et milieux continus. Mecanique desstructures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2000.

[9] F. Frey et J. Jirousek – Traite du genie civil, Volume 6. Methode des elements finis, PressesPolytechniques et Universitaires Romandes, 2001.

[10] D. Gay et J. Gambelin – Une approche simple du calcul des structures par la methode deselements finis, Hermes, 1989.

[11] — , Dimensionnement des structures. Une introduction, Hermes, 1999.

[12] J.-F. Imbert – Analyse des structures par elements finis, 3 ed., Cepadues, 1995.

[13] S. Laroze – Mecanique des structures, Tome 2. Theorie des poutres, 2 ed., Eyrolles/Masson,1988.

[14] A. Portela et A. Charafi – Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach,Springer, 2002.

[15] J. S. Przemieniecki – Theory of matrix structural analysis, Dover, 1986.

[16] W. Weaver et J. M. Gere – Matrix analysis of framed structures, 3 ed., Van Nostrand Rein-hold, 1990.

[17] C. Wielgoz – Cours et exercices de resistance des materiaux : elasticite, plasticite, elementsfinis, Ellipses, 1999.

[18] W. Wunderlich et W. D. Pilkey – Mechanics of structures. Variational and computationalmethods, 2 ed., CRC PRESS, 2003.

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Méthode des éléments finis : treillis plans `a nœuds articulés