Methoden der Psychologie Evaluation & Forschungsstrategien Prof. Dr. G. Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz WS2011/12

Methoden derPsychologie

Evaluation&

Forschungsstrategien

Prof. Dr. G. MeinhardtJohannes Gutenberg Universität Mainz

WS2011/12


Sampling - Modellvorstellung

Prinzipien des statistischen Schliessens

Population

• Herleitung der Kennwerte-Verteilung (Sampling – Distribution) und Beschreibung ihrer Parameter.• Methoden zur Schätzung der Parameter aus Stichprobendaten• sowohl für univariate, als auch für multivariate Kennwerteverteilungen

SamplingStichprobe

x

Kennwerte

TheoretischeStatistik

Welche Verteilung von Kennwerten wird sich ergeben,Wenn man den Sampling Vorgang unendlich oft wiederholt?



Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte

Sampling Distribution (1D)

k- maliges Samplen von Stichproben derselben Größe n und Berechnen der Stichprobenmittelwerte führt auf eine Verteilung von Stichprobenmittelwerten (Sampling – Distribution)

Population

Stichprobe des Umfangs nx

Bilde Mittelwert

1. - mal:

2. - mal:

1x

2x

kxk. - mal:

1 1 kx x x



Erwartungstreue

Population

k - Stichproben des Umfangs n

Mittelwerte

„Sampling Distribution“

Erwartungswert

E x Erwartungswert

E x

Die Sampling Distribution hat denselben Erwartungswert wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heissen erwartungstreu.Stichprobenmittelwerte sind erwartungstreue Schätzungen des Populationsparameters

x 1 1 kx x x

Verteilung von Stichprobenmitteln




Erwartungstreue:

Population

k - Stichproben des Umfangs n

Varianz

Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell: Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz 2

2s 2 2 21 2 ks s s

Verteilung von Stichprobenvarianzen

Varianz2

2 2

21

Bias E s

n

2 2

2 2

1

1

nE s

n

n




Erwartungstreue:

Bias-Faktor

Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang n-1 ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz

2 2 2 2 21xE s

n

Der Bias bei der Schätzung der Pop.Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte.

2 2 2 21 1nE s

n n

22 2

1

1ˆ

1 1

n

ii

ns x x

n n



Central LimitTheorem

Die Verteilung von Sampling-Mittelwerten nähern sich mit wachsendem Umfang der Sample-Stichproben einer Normalverteilung an. Für n > 30 ist die Approximation schon gut.

0.00

0.05

0.10

Wah

rsch

ein

lich

keit

sdic

hte

x

f x

x

xxxx

Es gilt:

E x E x 1.

popx

n

2.

TheoretischeSamplingDistribution

Die theoretische Sampling Distribution ist die Grundlage des statistischen Schliessens. Aussagen über den Zusammenhang von Stichprobenmittelwerten und Populationen werden mithilfe dieser Verteilung gewonnen (Inferenzstatistischer Schluss).



Konfidenz-Intervalle

z- Verteilung


Anwendung

WK-Aussagen

1 / 2 1 / 2 1x xP x z x z

1 / 2 1 / 2 1x xP z x z 2.

1.

1. Man habe einen Mittelwert aus einer Stichprobe der Größe n vorliegen. In welchem Bereich um den Mittelwert kann man den Populationsparameter mit der Wahrscheinlichkeit 1- erwarten?

2. Der Populationsparameter sei bekannt. In welchem Bereich um ihn liegen Mittelwerte mit der Wahrscheinlichkeit 1-?

0x

xz

0 01P z z z

Mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Für n < 50 sollte die t- Verteilung mit df = n – 1 verwendet werden.


t - und F-Test

t2 – F- Äquivalenz


Hypothesen

Eine zweiseitige Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der t – Verteilung ist der (grundsätzlich einseitigen) Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der F - Verteilung äquivalent.

H0: H1:

0

ˆ /

xt

n

;2 1 t dfP t t t

1df n mitEs gilt

2

1;df dft F

Test- Äquivalenz:

Äquivalenz von t- und F- Test

Bemerke: 2

12 200 0ˆ

ˆ /

xt n x x

n


Hypothese

Univariate Mittelwertevergleiche

t- Test für unabhängige Stichproben

0x

H0: Der Erwartungswert der Differenzen von Mittelwerten ist Null

1 1 0:H 0 1 0:H (ungerichtet)

SamplingDistribution

0.00

0.05

0.10

Wah

rsch

ein

lich

keit

sdic

hte

x

f x

x

2 x x 2 x x

Es gilt:

1. 0x 2. x wird geschätzt aus

beiden Stichproben 3. x ist t- verteilt.

[t-Test ausführlich?]


Statistik


t- Test für unabhängige Stichproben

Prüfgrösse t- verteilt mit n0 + n1 – 2 FreiheitsgradenEntscheidung:

oder

x

xt

2

0 1

1 1ˆx pooled n n

;1 / 2dft t Ablehnung von H0,sonst Beibehaltung

P t t Ablehnung von H0,sonst Beibehaltung

Voraussetzung

1. Für n0 + n1 < 50 normalverteilte Stichprobendaten2. Homogene Stichprobenvarianzen3. Unabhängige Messeinheiten innerhalb und zwischen den

Samples.

a) Krit. t-Wertb) Überschreit- ungs-WK


Hypothese


t- Test für abhängige Stichproben

0

H0: Der Erwartungswert der Mittelwerte von Differenzen ist Null

1 1 0:H 0 1 0:H (ungerichtet)

SamplingDistribution

0.00

0.05

0.10

Wah

rsch

ein

lich

keit

sdic

hte

f

2 2

Es gilt:

1. 0 2. wird geschätzt aus

Differenzenstichprobe 3. ist t- verteilt.


Statistik


t- Test für abhängige Stichproben

Prüfgrösse t- verteilt mit n – 1 Freiheitsgraden (n = Anzahl Paare)

oder

t

2 2

0 1 0 1

12 ( , )

1s s Cov x x

n

;1 / 2dft t Ablehnung von H0,sonst Beibehaltung

P t t Ablehnung von H0,sonst Beibehaltung

Voraussetzung

1. Für n < 30 normalverteilte Stichprobendaten2. Homogene Stichprobenvarianzen müssen nicht

vorliegen3. Korrelation der Meßreihen erhöht die Teststärke.

Entscheidung:a) Krit. t-Wertb) Überschreit- ungs-WK


Sample

Meßeinheiten

Univariate und multivariate Mittelwertevergleiche

Multivariate Mittelwertsvergleiche sind die direkte Entsprechung zu univariaten Vergleichen. Es gelten dieselben Prinzipien, lediglich angewendet auf mehrstellige Mittelwerte-Vektoren und Varianz-Covarianz Matrizen statt Varianzen.

Test-Statistik

Sampling-Distribution

univariat multivariat

unabhängig abhängig unabhängig abhängig

Differenzen von

Mittelwertengepoolte Varianzen

Mittelwerte von

Differenzen

Differenzvektor von

CentroidenGepoolte

Var-Covar Mat.

Centroidevon

Differenz-vektoren

t t T2 T2

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