Upload
others
View
10
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
20:37 30 Oct 99
Methods of GeometrySolutions manual
20:37 30 Oct 99
Methods ofGeometry
Solutions manual
James T. Smith
San Francisco State University
20:37 30 Oct 99
� ���� �� ��� �� ����
���
8:27 31 Oct 99
�������
���� ����� ������� � ��� ���� ��� ��� ������� ������� � ������� ��
������� ���� �������� �������� �� ����� � ��������� ���� �������� ��
��� �� ����������� �� ����� ��� ��� �� ������ �����
� ��� �� ���� �� �� ��� �� ���� � ��� ��� � ��� ��� ����������
�� ����� �� ������ ��� �������� �� ������� �� �������
� ��� �� ���� �� ���� ���� �� ��������� ���� �������� �� �������
� ���� � ����� � ����� ���� ��� �� ������� ���� ���� �������� ����
��� ���� �� ��������
� �� ������� ��� � ��� ������� �������� �� ����� �� ���� � ���
������ �������� ���������
������� �� ������ ������ �� ������� ��������� "��� ����� ���� �����#
������ ��� ��� ������� ������ � ��� �� ���� ���� ������� ������ �� �����#
�$������ ���� �� ���� ���� � �������� ������ �� � ���� � � �������
%��� ��� ������� ������������� ��� ����� ��� ��������� �������
�� ������� �������� ����� ���� ��� ���������� ��� ����������� ��
�������� ���� � ��&����� ��� �������� ����� �� ��� ��� ��� � ������
���� ����� �� �� ������� ���� ����� ���� ���������� �� ����� � ��� ��
���� ��������� ���� '���������� � ��� ��� ���� ���� �� ������ ��� ���
��� ��� ��� ��� ����������� ����� �������� �� �� ���� ����� ��������
��� ��� �� ��� ����� ��� ��� ��������� ������� ���� ���� ����� ���� ��
��������� ��������� ��� ���� ���� ���
'�� ����� � ������ �� �������� ��� ����� ��� ���������� ���� � �����
�������� �� ������� �� ��������� ����� ��������� ��� ����� �� �� ������#
����� (��� ���� �������� � ������� � �� ������� �� �������� � �������
�������� �������� ������ ��� ����� ��� ������ ��� ������� ������ ���
������� ������������� ���� ������ �������� ���� ��� ������� �� �����
�� ��� ����� �� ����� )������� ��� ��� ����� ����� � ����� ����� � �������
������ ��� � ��� ��� ����� ����� � ������ ���� �������
��� �������� �� ���� ����� ��� ��� ��� ��� ���� ����* "�� ���� � � ��
��� ������ � ������ �� ���� ������� � ������� ���� ����� ������� � � (���
���� ������� �� ���� ���� �������� �� �� � ��� ����� )� � �� ����� ��
������������ ��� �������� ��� �������� ������� ��������� ����������
���������� ��� ���� ��� ����*
���� �������
8:27 31 Oct 99
"���� �� � �� �������� ����� ������� � ���� ����������� � �����
��� �� ��� ����� +�� ������ ���� ��� ��� ��� �� �������������� � ����
��������� ���� ����� �� ����� �����
,���� ��� ���� ����� ��� �� ��� ������������ ��� �������� ���
����������� ��� ����� ������ ������������� �� ��� �������$���
-���� �� )����
�
20:50 30 Oct 99
��������
Preface ���
4 Solutions to exercises on elementary geometry �
��� ������� � ��� � ��� � � � ��� ������ �
��� ������� ������ �� ������ ����� �
��� ������� � � ��� � � � ���� �������� ��
��� ������� � ����� � ��� ������� ����� ��
��� ������� � ��������� � � ���������� ������ ��
��� ������� � ���� � � ������� ��� � ��
��� ������� � ��� ��
�� ������� � ������ ��
��! ������� � ���� � � ������� ��� � ��
���" ������� � ���� ��� ������� ��
5.11 Solutions to exercises on tr iangleand circle geometry ��
6.11 Solutions to exercises on planeisometr ies and similar it ies !�
7.7 Solutions to exercises on three-dimensional isometr ies and similar it ies ���
8.5 Solutions to exercises on symmetry ���
��� ������ ��� � ��� ���� ������
��� ������ ���� ������
�
16:43 30 Oct 99
�������
�� ����� �� ���������
�� ����������
��������
������� � � � ���� ������ ������������ �������������� �� ����������
��������� ��� �� ������������ ����� ������� ������� �� ��� ����� �������
�� ���� ����� ������ �� ��� ������ ���������� ������ ������ � �� ����
��� ������ �� �� ���� ��� ����� �� ��� ������� ������ �� ����� �
��� � ������� ����� �� ����� ���������� ��������� ��� ���� �� ���
��� ������ ������ ��� ��� ����� �� ������� �� ������ ���� �� �� ���� ����
�� �� �� ���� ������ ����� �� ��������� ��� ������� ���� �� �������
���������� �������� � ������ ��� ��� �������� ������ �� �� ������������
���� ����������� ��� ��� ���� !�� ����� ��� ��� ������ � ���� ����� �� ���
�� � ��� ��� ������� �� ���� ���� �� � ������ "��� ������ ����� ��������
� ����� �������� ��� ������� � � ���������� �� �������� ������� ��� ���
���� ���������� ������� �� ��� �� ���� ��#���� � ��� ������� ��������
��� �������� ������� ������ ��� ��� �� ���������� ����������� ��� $��
���������� ���������
��� � ����� ��� ��������� �� ��� ������� ��� �� ������ !���� ���
��#���� �������� �� ������� $�� �� ����� ��� ����� ��� ������� ����������
�� ������� ����� �� ��� � $���� ��������� ���� �� ������� � ���� �������
��� ���� �� ������ ������%�� ���� &������ ��� ��� ��������� ��� ���
� ����������� ��� ��������� �������������� ��� ��� ��������������
$�� ���� �� ������� � ���� ����� � ��������� �������� ��� ������� �
�
� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
Concepts������ �� ����
����� ��������� �������
������������ �� ��� ��������� ����
�������������� ���������
����� �������� ���� ����
������%�� ������� ��� ��� �� � ������� �� �� ������ ������ ���� ���
������� �� ����������� ��� ���������� ��� ��� ���������
&��� � ����� �� ��� ������� �������� ������� ���� �������� !��
� ������
� " ����� '�(�) ������� ��� ����� ������ �� ������ *�*+
� " ����� '�)�* �������� ��� ������ ��( �������� �� &&� ��������
����������+ ���
� " ����� '�,�� ������ ��� ������� ��� ��� ������ �� � ����� ���-
������ �� ������ ��.'�
/���� ��������� �������� �� � $���0 ��� � ������
� ������������ ����� ��� ������ � ��� �� ������ '�.+
� ����������� ���������� ��� �������� ���� �� '�( ��� '�)+ ���
� &�������� ������������ �� ������ '�1�
����� ��� � �� �������� � ����� ����� 2�� ������� ��� ������ ����������
�� � �� �� ���������� /��� � �� � ������ ��� ����� ��������� ��� �����
�������� ��������� /���� ��� ��� ���� ��� ������ ���� � ���� �� ��� -
���� ��� ������ �� ��� ���� �� ��� � ����� �� ��� ������� "��� ����
��� ���������� ������� ������� 3����� ���������� �� ���� ��� ��� ��� ����
��� ��� ��� ��� ���� ���� ��� ��� ��� ��� �������
4��� ��� �������� ��� � �� � ������ &������� ���� ����� �� �����-
������ ������� 5���� ���� ���������� �� ����� ����� ������� ���� ����
��� �������� �� ������ ���������� ���������� /�������� �������� �����
�������0 ��� � ������ 6��� ���� � � ��� .'�.'�7 ���� ���� ��� �����
��� ���� ����� �� ���� �������� 2�� ��� ���� �� ���� ��� ��� � ����� ����
���� � ����� ���� ����� ��� ����� �������� ������� .'�.' � ���� ��� ���
� ��� .. 8 � ��� .9 � �� ���� ��� �� ��� ����������
4.1 Exercises on the incidence and ruler axioms
��� ��������� � ��� �� ������ ��. ������ ���� � ���� ���� �� "��������
��������� ��� ����� �� �� ����� ��� ���� ����������� �� ���� ��������
������ � ��� � ����� �� ��� ������ ��� ������������
��� ��������� �� ������� �� ����� ����� �
16:43 30 Oct 99
� ��� �( ���� ������� ���� ����� ��� ������ ����� �� �� ��� �����-
���������� ��������� ��� ����� �������� /�� ����� ��� ���� �
�� ���������� ��� ����� �� ������� ����������� ����� ��.�� ��� ������� ��.�'�
" ����� . � ����� ��������� ������� " ����� * �� ���� ��� �����
�� ������ �(� ����� ��� ��������� � ��� ��� � ����������� �� ����� �
� ��������;� ���� �� ���� ���� � ���;����� ��� �� ��� ������ 2��
��������� �� � ����� �� ���� ��� �( ��� ����� ��� ���� �� � ����-
����0 �. �� �( ���� � ����� �������� �� $�� ���� ������ � ��� ����� �����
���� ��� ��������� � ��� ����� ���� ����� ��� ���� ���� �����
�������� �� ��� ��� ������� � ��� �( � ��� ��������� ����� ���� ���
�� ������ ����< 4� � ���� ����� ����� � ����� � ��� � ��� ��
� � <
������ � ������������ ���� �������� �� ���� ����� � �� � � ���
���� =� �� �� �� > � ��� �� ����� ������ � ��� �. �� �' ��� ��������
� 0 ����� ���� ��� �� ������ �����
�� ��� �(� ��� �. �� �' ��� � ���� ����� �(� ��� ���� ������� �� ������
�( ���� �. �� �' ��� ��� ��������
� 0 ����� ����� � ����� � ��� � ��� �� � � �
��� �� ������ � ���� �. �� �' ��� � � ���������� � ��� ������� �(� �
�������� � ������� ��� ������������ ���� �������� � ������ '�.�.�
�� ����� ��
� ����� ����� � � �� ��� +
� ����� ���� =� �� > � =�� > � ��� = �� > +
� ��� ����� =� ��� > �
&�� ���� ��� ���� ������ ��� ��� ��������� � ��� � ���� �(�
������ ��� �������������� �
�������� � �������� � ������� ���� ������ � ����� ��� ���� ������
���� ������ ��� ��� ��������� � ����
������ "��� ���� ������� �� ������ ��� ���� ������ ������ �
Figure 4.1.1 !�����
����� ��� � ����� *
�
� �
� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
�
�
� �
Figure 4.1.2 !����� �����
��� � ����� '� ���� .
" ����� * ��� ' �� ) �������� ���������� ���� ��� ��������� � ���
��� ���������� 0 ?��� � ������ �� ���� ��� ������ !�� ���� � ��� �
������ ������ �� ���� � � ���� �� ��� ��� ��� ����� �� ��� ����� ������
� ���� ��� ����� � ���� �� ���� ��� � ���� �� ���� ������
�������� �� ��� �� ������� ��� ���� �������� �� ������ '�.�* ��� ����
������ ���� ����� ��� ���� ������ @���� ��������� � ��� ��� �� ������
����������< �������0 3��� ���� ����� ������ �������� ��� ���������
��� ��� ����� �� �* � ������� ����� ���� ��
��� � ������ ��� ���� �� � ����� � �� ������� ��� ��� ���� ������
� ����� ��� ����� ������ ���� ������ ��� ��� ��������� � ��� � ���� �*�
������ ���� !� ��� �� ���� ����� ���� ��� ��� ��� ��� � �����
� � �������� ���� = �" >� �. ���� ����� �� ���� ������� ���� ������
��� ���� ���� ��� ��� ����� ��� ������ � �' ��� ���� �� ��� ��
���� ��������� ��� ����� ������� ����� ���� ��� ������������ �� ��� ��
���� ��� ������������ �� ��� ��� ���� �� ��� ������ ��� ��� ����� ��
� ��� �* � ������� ����� ���� �� ���� �* ���� �� ��� �� ����� �� ����
���� �� ���� ����� ����� =� � �" > ��� =� � �" > ��� ������� ���
������������ ����� � � ��� "� � ��� �� ���� ��������� �� ��� �� ����
����� ���� ���� ������� � ����� �� ������ �������� �( ���� �� ��� ��
�����
���� #� ��� �� ���� ��� ��� ���� ����� ���� ��� ��� ��� ��� � �����
� � �������� ����� =�� �" >� ��� ���� ���� ��� ��� ����� ��� �����
� �. ��� ���� �� ��� �� ����� �* ���� ����� �� ����� ������� ���
������������ ����� �� � ��� " � �� ��� �' ���� ����� ���� ��� �� ���
��� ����� �������� �( ���� �� ��� �� ����� �
�������� �� ������� ������������� ������� ���� ������ ��� ���� ����
���������� $�� �� ������ ��� ��� ����� ���� ���������� $�� ����� ������
&�� ���� �� ������ ��� ��� ��������� � ��� � ���� �'� &���� �� ���������
��� ���� � � ������;��� ������ ����������;�� ����-����������
�������� ���������
������ ��� �� ���� ����� �� � ����������� �� " ���� ��� ���
���� ��� � ����� �� ��� ���� ����� $����� �� � �� ����� $ �� ��� 6������
���������7 3�� ��� ����� �� �� ���� ������� � ��� �����
��� ��������� �� ������� �� ����� ����� �
16:43 30 Oct 99
� A B9�9�9�9C � A B9�.�9�9C $ A B.�9�9�9C
A B9�9�.�9C
" A B9�9�9�.C
D���� =� �� �$ > ��� = �" �$ > ���� ���� � ����� ����� �� ������� �
�' ���� �� ��� �� ����� ��� ��� �� ������ ��� ��������� � ���� �
�������� �� �������� ������������� ���� ���� ������ ��� ��� ���������
� ��� � ���� ��� ��������0 3�� ��� �� �� � ������ �� ����� ��� ���
���� ��� ����� �� ��� ���� �� � ����� �� ��� ��$����� ��� ������� ��
��� �� ��� �������� ���� ��� ������
������ &���� ��� ��� ��� ���� ��� � ����� � ��� ��� � ����� % �
� �� ������ '�.&�.� "������ ��� ���� =� �� > �� =% �� �� > ��� ��� �����
=� �� �" > �� =% �� �� �" > �� ����� ����� =� �� � > ���������� ���
��� ���� =% �" > ��� =% � > ��� ��� ����� =% � �" > � �� ��� ������
��� =% � �" > �� =� �� � > ���� � ��� ����� ����� � � ��� ��� ��
�������� ����� ��� � �� ����� � � �� ������ '�.&�* ��� ������� ���
���� =% � > �� =% � �� > ��� ��� ����� =� �� � > ��� =% � �" > ��
=� �� � �� > ��� =% � �" �� > � ��� ��� ���� =� �� > � =� �� > � ���
=" �� > ��� ����� =� �� �" > ��� =� �� �" > � �
������� ���������� ���$��� ����� ���� ���� ���� � �� ���� �. ��� �*
���� ���� �� � ��� E���� ����� �� �� ������� ����F� ��� � ����� ���
������������ �� ��� �������� �����
��� ����� � ��� �� ������ ��* � ����� ������ ����� ���� ���� ���������
�� ��� ������� � ������ ���� �� ���� ���� ��� �� �� ����� �� ��� ����
��������� �� ��� �������� �� �� ���� ��� �� ��� ���� ���� ���������
��� ��� �� �� ���� ��� ��� ��� ��� ��� � �������������;� ����;��
�� ���� ������ " ����� G ����� ����� ��� ������ ����� ���� ����
������ �� ��� �� ��� ��� ����� � ����� ����� � ���� �� �������� � ���������
� �
�
� � �
Figure 4.1S.1����������� ��� � ����� )
�
�
� � �
Figure 4.1S.2!����� ����� ��� � ����� )
���� �� � ��"
� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
Concepts�������� ������ ����� �������� �� ���������
����� �� ����� �� ������ ��������
����������� ���� �� �����
����������� ���� �� �����
���������� �������
������ ����
!��������� �"������
�������� �� H���� � ���� ��� � ���� �� ��� ���� ������� � ��� � ���
� A I.� �� ���� ��� �������� � ������� � ������ �E� F A � 8 � E� F� ��� ���
����� � �� � � � ������� ����� ���������� �� ���� �� � � ��� ����
��� � � ���� ����� ��� ������� � ��� � ��� ���� � A I. ��� �E� F A
� 8 � E� F ��� ��� ��
������ �������� �� ��� ������ � � ��� ������� �E� F A � 8 � E� F �
�� ��� ��� � ���-��-��� ���� ��� �� �� ��� ���� ��� ��� ��������� ���
��� ����� � ��� �� �� ��E� F � �E F� A ���� E� F � E F� A � � ���� � � �����
?� ����� � � ��� ���� ��� � � ��� ��� � � ��� ����� �� � ���
�E� F A 9� !�� ��� ����� � �� � �
�E� F A �E� F � �E� F A ���E� F � �E� F� A ��� A �� E� F � E� F� �
�� ����� ��� ���� 8 �� � ��� ���� �� �#������ �E� F A �J E� F � E� FK
��� �&��� ����� � �A � �� � � !�� �����
�E� F A E� F � E� F
�E F A �J E F � E� FK
��� ��� ����� � ��� �� � � ����
E� F � E F A ��
A �J �E� F � �E FK
A �J E� F 8 E F � * E� FK �
���������� ��� � ��� 8 ��� �� ����� ��� ��� � A� �� A� � ��������
�� ��������� ���� ������ � ������� � A �. ��� ���� �E� F A
�� E� F 8 � E� F ��� ��� � � �
4.2 Exercises related to Pasch’s axiom
�� ������� ������ � A B C �� ����� ����������� ��� ��� �
������ ������ � � ������ � �������� ������ � � �� &������ �������� �
��������� ����� ����� ��� � � �"� ��� �"��� E�� ����� ��� ������
��� ��������� ���� �� ������� ���� �
16:43 30 Oct 99
�� ������ � � ���� ������ ������ �� ���� ������� ��� ��� ���������
��� ��� �� � ���� �������� ���� ������ �� �� ���� ���������� �� ��-
���� '���F
�������� �� &�� ���� � ��������� ����� � ��������� ����� �������� ������
��� �������� �� ��� �� �� ���� ���� ��� ��� ������������ ���� �����������
� ������ ��� ����� �� � �
������ ��� �������������� ������� ������� ��.9�.� �
@��� � ������� ����� ��� ��� ������ � ���� ���� �� ��� ��� � � .
������ ���� ������� ���� �� ������ ���� ��� ��������� � ����� ��
��� ������ ��������%� ���� �������� ����� �� �� ��� ����� ���������
" ����� ) ��������� �� ���� ���������� ��� ������ ���������� ����������
�#������ ���� ���� �� ��� ����� H��� � ���� ������ � ��� �� �� ����
��������� ������ �� ����� �������� ����� ����� ��� ������ 3�� ����� �
� �� �� ������� ���������� �� ���� ������ �� ������ ��. �� ���� ����
����� ������ ���� �� ��� ���������� ������ ��� D��� � ����
��� ��-���������� ��������%����� �� ��� ������ �� ������� ��������� �����
� ���� �� �������� ���� � ������� ����0 "��� �� ��������� �� �� �����
�� ������� ��� ��� ������ !�� �� � ������ �� ������ '�*�.�
�������� � &�� ���� � ������ �� � �� � �������� ���� �� ������� �������
������ ����� ����� � ���� � ������ ��� �� �� ��$���� ���������� /�� �� ����
� ��� ����� �� �� �������� �� ������ '�*�.� "��� �� ��� ����� � ��� �������-
���� �� � ������ ��� �� �� ��� �� � �� ��� �� �� �� L�� � � ��� ��� ���
�� ���������� &�� ���� � A � 8 � 8 . ��� ����� � C 9� ���������� �
� � ��������0 &������� ��� �� ���� ��� ��� ���������� ��� ���� ��� ���
���� ������� ��� �� ��������� ������� ��� ��� ��� ��� �8.� �����
!����� '�*�. �� ���� � A .*� 3�� ����� ���� � A (G�� ��
������ ���� ���� � �������� ��� ������� ��� �� � ������� ������
���� ������ �� ���� � 8 . ��$���� ������� ���� �� ���� ��� � ���������
�� ����� ��� � ��� � 8 . �� ���������� &���� ��� � A � ��� ���� �
�� � � ���
Figure 4.2.1 �������� ����
�� ������� �������
� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
� ������� ��� � � A � 8 � 8 . ���� � ���� ���� ����� �� � �#�������� �
� � � � � � � �� ���� �� ��� �� ���� �� �� ��������� � ������ � �� ��'� �
��� � ��������
�������� � " ��� � � ��� � C 9� � � ���������� �� ���� �� � � M��
��� ������� �� ������ ���� ����� �� � � ���� ������� � � 4� ����� ���
��� ����� � N� ����� � � �������< �������� 0 3�� ����� ������ �
� A (9(*����
������ M� ��� �������� ������� . 8 * 8 OO O 8 � A � � �E� 8 .F0�
� A ��
� A � 8 * A � 8 *� �
� A � 8 � A � 8 * 8 �� �
� A � 8 ' A � 8 * 8 � 8 '� �
�
� A � 8 * 8 � 8 OO O 8 ��
A * 8 E. 8 * 8 � 8 OO O 8 �F
A * 8 � � �E� 8 .F�
A * 8 � � � 8 � � � �� � �
� N� ��������� ' � � �������� ��� �
� ����� �� � � ������ ������ �� ������ � ��� �� � ��� ���� � B
� ��� ��� ����� � ��� �� � �
�������� �� �� �������� ������ �� ��� ��������� �� � ����� * ��� �� ����-
��< 4� ���� ��� � A .99< �������� 0 !�� � A .99 ��� ����� ����
*9. �� ������ ����������
������ !�� � A 9 ������ ��� �� ������ ���������+ ��� � A . �����
��� ������ �� �������� ��� (�� ���� � ��� ���� �� ����� ���� ���������
� � ���� ��� ����� �� ��� ����� �� � �� � � � ������� ���� ��� �� ��� ��
����� � ������� ��� ��� ����� � ������ $�� �� ��� � � ������� ��
� �� � � � ���� ���� ��� ����� �� � ��� �� ������� ���� ���� �� ����
������ �� �� �� ������ ��� � ����� ��� *� 8 . �� ������ ���������
� � �
� ������ �� ����� � ��� �� � � ������� ���� �� ��� ����������� ��
���� ����� � � ������ �� �� ���� �� ������� ��� ��� ������
�������� �� &�� ���� � ������ �� � �� ����� �� ������� ������� ������
���� ���� � ������ ��� �� �� ��$���� ���������� /�� �� ���� � ��� �����
�� �� "��� �� ��� ����� � ��� ����������� �� � ������ ��� �� �� ��� ��
��� �� �� �� L�� ) � ��� ��� �� �� ���������� 5����� ��� �����������
��� ��������� ���� �� ������� ���� �
16:43 30 Oct 99
������� ) A ) 8 � � .� ������� ) � �������� 0 3�� ����� ������� � � ��
) A .GG���
������ ����� ��� ������� �� � ����� *� �
�� ������� ������� ��� � ������� ���� ������ � �#�����
� �� � � � � ��������� � ������� � �)���� ��� ���0 �� ���� � ������� ���� �
� �#����� � � � � � � � ��� ���� � A ��� � � � A � ��� ��� ( �� � � ��� � �
�������� �� &����� � � � � � � � ��� ����� � � ���������� �� ������ � 0� �
����� ��� ����������� � �� � ��� ���� � A � 8 � ( 8 � ( 8 OO O 8� � � � � �
�
� ( ��� ��� ( � &�� �� �� ���� � ���������� ������� � �� ������ � 8 .��
��� ��� ���������� �#������ ��� ��� � A ��� � � � A � � ������� ��� � �
� ���� �� ������ �#������ ��� ��� ����������� �� � �
������ &�� ��� � ����� G �������� �
�������� �� M� ��� ������#�� ��� ��������� �� � ����� ) �� ���� � �������
���� � ���� ) ��� � C 9� � ������� �� � ����� (� �� ���� �� � � M��
�� �� ������ ���� ����� �� ) � ���� ������� ) � 4� ��� ��� ������� ���
) N) ����� � � �������< �������� 0 3�� ����� ���� ) A�� � ���
.))G(*�
������ ) A �� 8 �� 8 � 8 ��� �
) � ) A � � � 8 � � � 8 .��� �� � �
��� 8 ��� 8 � 8 *�� 8 � 8 A � � � 8 � � � 8 .� � � �
��� 8 E�� 8 *�F� 8 E� 8 � 8 F A � � � 8 � � � 8 .� � � �
�� A � � � A � �� �
�� 8 *� A � � � � A 9�
� 8 � 8 A . A � �
� A * ����� ) A ��
) A � � � 8 � � � 8 *�� �
) N) ��������� , � � �������� ��� �
�������� �� �� �������� �� ���� �� ��� ��������� �� � ����� ( ���
�� ������< 4����� ��� � A .99< ��������0 !�� � A .99 ��� �����
���� 119� �� ������ ����������
������ ���� ��� ��� �� �� ������ �� � � ���� � A � ��� � A� � ���
� 8 *� ��� ��� � � �������� " ����� )� ��� ��� � A � � � 8 �� �� ��
��� ������� ��������� ����� ����� � ��������� ��� ���������� ����-
����� ��� ��������� ������� &����� ������ ��� ���� �� ����� �� ������
� ����� �� ���� ���� ��������� � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� ��� ���� � � �
�� ��������� ����� ��� ���� ��
��� ����� �� � !�� � "����# ��� !��� �� �������� !�� ���� �������
16:43 30 Oct 99
Concepts#���� ���$��� ���� �� ����
%�������� �������� �����
%�������� ��������
���� ���� � �� �� ��� ��������� ���� ��� ������� ��������� �� ��� ���
������� ��� ��������� �� $�� ���� ���������� ���� ��� ����� ��� �� �����
���������� ��� ��� ��������� ��� ������ ���� �� ���� ��� ���� ���������
����� ��� ����� ���� ��� ���������������� � ��� ������������ 3�� �����
���� ��� ��� #������ �� �� �������� ��� ����������� ����������
������������� ���� � ������ ��� �������� ��� ������#�� ��������
�� ��� ������ �� ���� ���� ������ ��� �� ����� �� ������� ��� �����
4.3 Exercises on congruence and perpendicularity
��� ���� �� � ����� �� ��� ������ ��� ����� ����������� �� ��� ������
�� ������ ��( ��� ��)� " ����� � ��� ' ��� � ������ ���� ��������+ ����
����� ��� ��� ����� ������ ������ �������� � ��� ������� �� ��������
��� � ��� ���������������� �� ����� ��������� 3�� ��� ���� � ����� (
��� ��� ����������� �� ��� ������� �������� ����� � �������� �� �� �
���� �������� ����������� �� ��������� �������0
&��� ������ ������ ����� �� ����� ���� ��� ���������� ���� �������
������ ������ � �� �������� � �� � ' #������� ��� ���� ��������
�� �������� $���� ������ ��� ����� � �� ������(� ���� �����)
��� ��������� � ����� ���� �� � �����-���������� ������ �� ��� ��������
���������� ������ ��������� �� ������ ��(� ������������� ���� ����������
�� ��� ���� ��#���� ��������� �� ������%������ ��� �������� ��� �����-
���������� � ������ " ����� G ��� , ��� ����-������ ��� ������ ��
����� ��� � �����-���������� ���������� ������ �� ����� �� �������
P�������� ��� � ����� �� ��� ��� �� ��� ������� ��������� �� ��� ���-
������� ������������������� ������ ���� ������� � ���� ��� ����� �����
�������� �� �� ������ '���.� + ��� , ��� ������� ����� �� ��� �����������
�� ������� ����� � ��� � � � � � ����� �� � �� ��� � � ��� � � �
����� �� � �� ��� � � ���� �+ A �, ��� �, A �+ � D���� ����
��+� � ��,� ��
���
�� ��"
��
���
��� ��������� ������� �� ������������� � ��
16:43 30 Oct 99
�
�
�
�
Figure 4.3.1" ����� .
�
�
�
�
Figure 4.3.2" ����� *
������ 2� ��� &&& ���������� �������� ���+ � ���,� �
�������� � �� ������ '���*� � � � ����� �� � ����� � � ��� � � � �����
��� �� � � L��� � ��� ������������� �� � � !��� � ����� �A � ��
� � ���� ���� � � ���� � ��� ���
������ L�� � ��� ���� �� ��� ������������� ���� � �� � � ���
" � ��� ����� �� � �� ��� �� ��� � !��� ����� � �� ���
���� �� A � � ���� � B �� � � ��� B ���� A ���" � ��� �����Q
�������� ����� � ��� ����� ����� �� � �
��� ������ ����� �� � ����� * � ������ ��� ����� ������� ��� � �
�������� � ��� �� D���� ���� �� ����� + � ����� �� ��������� ����
������� � ��� � �� ���� � ���� �+ B �� �� �+ B �� �
��� � D���� ���� �� ����� + ��� ����� ���� � ���� �+ 8 �+ B
�� 8 �� �
������ ���� !� E&�� ������ '��&�.�F 2� ��� � ������ ����� ��������
���+� C ��� ��� ���+� C ��� � �� �� �� �+ ��� �� �� �+ � ����
� ��� ����� �������� ���+� ����� ��� ���+� ����� � ���� ����
����� ���#������� ������ ��� B ��� ��� ��� B ��� ; �������������R
���� #� E&�� ������ '��&�*�F L����� ����� � � � ���� �-+-� � ���
+� � A +�� ���� � � ��� �� ��� �������� �� ��+�� � ��� �+� B
���+� � �������� ��� ����� ������� �� �� �+� ��� ��+� � ��� ���
� �� B �� � 2� ��� �������� ���#������� �+ 8 �+ A �+ 8 � �+ A �� � B
�� 8 � �� B �� 8 �� � �
��� ��� ��� ���
��� ��� ������ ���
���
������ ���
��� ���
�� ��������� ����� ��� ���� ��
$�� !��� �! ������ � � � �"� �� %� &� '"��� (��� ) ��
16:43 30 Oct 99
�
� �
Figure 4.3S.1 " ����� �
�������� ���� .
�
� �
�
Figure 4.3S.2 " ����� �
�������� ���� *
�������� �� @������ ���� ��� �������� � ��� ����� ���� ��� ����� �� ���
�������� ��������� �� ����������� ����� � �� � ������ ��� ������0
�� �� ���� � ������ �� �� ���� � ������
�� �� ���� � ������ �� �� ���� � �������
������ ���� ��� ���� ����� ���������+ ����� �� �� ���� � �����
� ������ &���� ��� � ������� ��(�( ����� ��� �
2� ������� ��(�,� ��� ������������� � �� ��� ������� � � �������� ���
� ����� � ��� �� ��� � &���� � ��� � ������� ��(�( �����
�
�� ����� ���� �� �� ���� � ����� ���� ��� ����� ����� ���������� ����
��� ��� ��� �� ��� ��� � 2� ������� ��(�(� ��� ������������� �
�� ��� ������� � ��� �� ��� � 2� ������� ��(�,� � � �������� ���
��� ������������� ( �� ��� ������� � � � ( ��� �� ��� � ?��
��� ( ��� ������������� �� ������� � �� ��� � ����� A (
� ������� ��(�.� � � �
�������� �� H���� ���� �������� ����� � �� � � ���� � ����� + ��� ����
�+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ � � ���� � ��� ��� �������� 0 ����� ������
������������� ���������� !�� � ������ �������
.� ��� ����� �� � �����
*� � �� ��� ���� �� ���� ������� � �
�� ���� � ����� #������������� ���
'� � �� ��� �������� �� ���� �
��� '��� ����� ���� ������ ��� � �������� ��� ����� � �� ������ '�*�.
��� ���������� + �� ������ ����������
������ ���� !� ?��� ��� ����� � ���� ���� �� ��� ����� �-�-�-� �
3�� ��� ����� ��� ����� + ��� ���� �-+-� � �� �� ���� ���� ��� ����
��� + � � ��� ���� �� ��� ����� �� �+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ �
������
��� ������ ���
��� ��� ���
���� �� � ��"
� �� ��� � ��� �"�
���� �� � ��"
��� ��������� ������� �� ������������� � ��
16:43 30 Oct 99
Figure 4.3S.3 " ����� (
�������� ��� E'F
�
�
���� #� �+ 8�+ 8�+ 8�+ A E�+ 8 �+ F 8 E�+ 8�+ F �� �� 8 �� � ���
�#������ $�� �� ��� �-+-� ��� �-+-� � ���� $�� �� ��� + A � �
���� - � ���� ��� E*F� � ���� + A �� �� �� �
���� .� E&�� ������ '��&���F &����� + ��� �� ��� ��� ��� �� ���
� � � ���� � ��� ����� ��+� � �
�+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ A E�+ 8 �+ F 8 E�+ 8 �+ F
C E�+ 8 �+ F 8 E�� 8 ��F C �� 8 �� 8 ��
� � ����� * ��� ��� �������� ���#������� ��� ��� ����� ���� �� + ���
�� ��� ��� ��� �� ��� � � � &����� + ��� �� ��� ��� ���
�� ��� � � � ���� � ��� ����� ��+� � �
�+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ A E�+ 8 �+ F 8 E�+ 8 �+ F
C E�� 8 ��F 8 E�+ 8 �+ F C �� 8 �� 8 �� �
!������� ������� ����� + �� ���� � ��� � 3����� ���� ����
�+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ �� �� 8 �� 8 ��
� ���� ��� ��� ���� +� ��� �#������ $�� �� ��� + A �� �
�� ��������� ����� � A B C ��� � � A B C
��� ������ ������� �� ��� ����� ��� � � � � �� � ��� ��������� �� ���
������������ ����� ����� �� ��� �� � � ��� ������������ �������� �����
�� � ��� � � ���� ��� ��� ������� ��������� ����� ���������� � ���
�������� � � �#������ ������ ���� ������������ ����� ��� ��������
����� ���� ��� ��� �������
�������� �� D���� ���� �� B C � � ��������� ������ ����
���� 8 �� �" C ��"�� � �������� 0 3�� ��� ��� �� �������
��������� ��� ���� ����"�� ��� ���� B ��"�� �
������ �� ���� ����"��� ��� ����� � �������+ � ���� ���� B
��"�� � !��� ����� � ����� " ��� � � ���� ��� � A ��� � ��Q
��
�� ��������� ����� ��� ���� ��
$�� ����! � !��� *�+����� ,��-�. ���� ������ /0�101�
16:43 30 Oct 99
Concepts#���� ������
���������� �� �������������
�������� �������� �� � ���� � A � �� ���� ��� AQ
��� � � ��� &�& � ���� � � A � �� 2� ��� �������� ���#������� � 8
" C"�� � " C"� � � A"� � � � A �"� �������� ��� ����� �������
�� �� " ��� �� �" � ��� ��� �� �" C �� ��"� ����� ���� 8
�� �" C ���� 8 �� ��" A ���� � 8 �� ��" A ��"��� �
�������� �� !��� ������� �� �� ��� � ��������� ���������� �#������
���� ����� ��� ���� ��������0 D����� ��� ��� ����� ���� �� ���������
����� ��� ��������� �� ����� ����� ���� �� ������������ �������� �����
���� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ���� �� ���� ������ �� �� �#������<
��� ����� ��� ������� ����
������ ��� ������ �� ����� ��� ��� ���������� ����� ���� �
�� ���������� ��� ������ ������� �� ����� ���� ���� �� ������������
��������� ����� ��� � ���� �� ������������ ���� ��� ����������
����������� ���������� � ��� �������� � � �#������ ������ ����
������������ ���� ���� ��� ��� ������� ��� � ���� ���� ������ ����
���� �� ������������ ����� ���� ��� ��������� E����� ���� �� �����
���������� � �������� ��� ���� ���� �� �������� �����F�
�������� �� !��� ������� �� �� ��� �����-�� ����������� ����������
�#������ ���� ����� ��� ���� ��� �� ������%� ���� ����� ���� ��� ��������
���������� �������
������ ��� ������ �� ����� ��� ��� ���������� ����� ���� H� ��
��R H��� ����R �
4.4 Exercises involving the parallel axiom
" ���� ��� ��� ���� ��� � ����� �� ��� ������ ������ ���� �������� �����
2�� �� ���� ����� ������ ���� �� �� ����� ���� ������ �� ��� �������� � ����
��� ������� �� � ����� . � �� ���������� � ����� �� ��� ����� �����
������#��� " ����� * ���� �� ���� ���� �� ����� ����� �� ��� ��� �������
2�� ��� ��������� ��� ���� ����;��� �� ��� ������ ������� �� � �����
�� ��� ��� �� ���� ����� ������ ��� ���� ���� ������� ��� ���������
��
��� ��������� � � �� �� �������� ���� ��
16:43 30 Oct 99
� ����� ��� �����-����������� ��� �������� ���� ��� � �����-����������
������ �� ��� ������ �� ������������� ��������� �� ������ ��G� � ����-
������ �������� �� ���������� � ��� ����� ��� ������ �� ����� ���
��� � ������ ����� ��� �� �������
�������� �� @���� ������ �� ������ '�'�. � ������< D���� ���� ���� ������
� ��������
������ � ��� ������� � �������� ����������� �� ��� ������
��������� �������� ��� ��� ����� �������� �
�������� � &����� / � � ����� ����� #���� ���� � ��� ��/�� A
.(� A��/�� � � ��� �� ������ '�'�*� @������ ���� ������������� ��
���� ���/ � �#����������
������ ��� ��� #����� ���� ���� ��� ��� ������ ��� �� ����� ���
������ 19�� 2� � �������� ������ ����/ A G(� A ����/ � 2� ���
������ �������� �������� �/ A �/ � 2� ��� &�& � ���� ���/ A ���/�Q
����� �/ A�/ ��� ���/ A ���/� ���� ��� ������ �� ���� �� �����Q
��� 2� ��� �������� �� �������� ���/� A ����/ A .,9�� G(�� �� A.9(�� ��� 2� ����� � ��������� ����/A 19�� ��A����/� 2� ��� ���������� �������� ���/� A .,9�� *E19�� ��F A *��� ����� ��� ����� ����������� �� ���
� B �9 .9( � � C G( �� C �/
�� C �/ *� C 19 � �
�� C 19 � C �9 �
���������� ��� ��������� � �A �9 � ����� ��� � � A �9 ��� ���� �����
�� ���/ ������ )9�� �
�
��� ���
��� ����
��� ���� ���
�
�
Figure 4.4.1" ����� .
�
�
�
Figure 4.4.2" ����� *
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
�
� �� �
� �
�
Figure 4.4.3" ����� �� ���� . " ����� �� ���� *
�
� �
�
� �
�
Figure 4.4.4
�������� � ��� �� &����� �� �� ��� � ��� ����� ����������� �� �������
���� �� �� ��� ( � ��� �� ������ '�'��� M��� ���� ��� ��������� � ����
����� ���� ������ ��� ����� ���� ��� ����������� �� �� �� �� ���� ���������
��� � &����� � � � � � � � � ��� � ��� ����� ����������� �� �������
���� � � � � ( � ��� � � ��� �� ������ '�'�'� D���� ���� � ��� � ���
��������� 4� ��� ��� ������ ��� ��� ��� �� ����� ��� �������� ����
���� ��� ��������� � ���<
������ ���� !� � ����� �� ��� �� �� ��� ����������� ��� �� ��� �����
������
���� #� �� � ��� � �������� �� � ����� � � ���� � ��� �� ( ��� �
� ���� E.F� � � ��� � ��� ��������� ��� ��� �������� ��� �� � ���
� ��������� �� ��� ���� �� ���� ��� ��������� ���� � ��� � ��� ���������
����� ��������� � ��� ����������� �������� �
������ @��������% E.1'9� ������ ���*F ���� � � ��������� ��������
���� ��� ����� �� � ����� �� ���� *� ���� ���� �� ����� ���� ���-"��������
��������;��� ������ ��� ��� � ��������� ��� �������� � ��� � �� ���������
���� ����� ����� �� � � ������� �� ���� * ���� �� ���� ��� ����������
������ D���� ��� ���������� � ���� 3����� ���������� �� ���� ���� @�����-
���% ���� ���� ��� ����� ������ �� ���� $�� ��� ��������� � ����
�������� �� D���� ���� �� ����������� ���� ���� � ����� ��� ������
�������������� �������� 0 ��� ������� � ����� ���� ��� �� ���
#������������ � ��� � ��� �� ����� ����� ����� ��� ���� � �� ��
���� �� ��� ����� ���� ��� � �� ��� �� ��� ������
������ &����� ����� � ��� � �� ����������� ���� � ��� � �
�� ������ '�'&�.� ��� �������� ����� � � ��� � � ������� � ���
�� ���� � �� � � � ���� 0 � ��� � ��� � ���� � ��������� ������� �
��� ��������� �������� � �� �� ������� ����� ��
16:43 30 Oct 99
Concepts#���������� ���������� �� ������� ����
������������� ������������ ����������
%��������� ��� ������� �'� �������
Figure 4.4S.1" ����� ' �������
� � �
� � � �� � �
� �
�� �
� �
�
�
��� � �������� ( ��� � 0 � ����������� 0 �� ����� ��� " � ����
� ( ��� � � ��� ���� ���� �� ���� ��� �� ����� � ��� � � 3�� ���
����� ���� �� � � � � � 0 � "���� � � ������� � � � ���� � �� � � � �����
� � �������� ��� � ������� � � � ���� � � � ��� �������� �� � � 3�� ���
�� ���� �� ��� �� �� ����� ���� � � � ����� �� �������� � � �������
� � ���� �� ���� � � � � ��������� ���� ��� �� ������� ������������� ��� � ��������� �
�������� �� !�������� ��� ����� � �� �� ������� � ��� ��������������
�������� �� ������� ��G�.GS��G�*9 � ��� �������������� ���� ������ ���
� ������������ ����� ����� ��� ���� ������� �� ����� ��������0
�� ������� ����� �������
������������� � � � � � � � � � ��������������
����� ���� ��� ������������� ��
����������� ����
��������� � � � � � � � � � � � � � �
���� ��� �� ���� �� ��
����� ���� �� ����
���� � � � � � � � � � � � � � � �� ��� E��� ���� ���� ��F
#���� � � � � � � � � � � � � � � � �� �
������ ��� ������ �� ����� ��� ��� ���� �� �������� ������� �
4.5 Exercises on similarity and Pythagoras’ theorem
��
.
�A
.
*
.
�8.
�
�
�A� N1
� N1A
E� 8 � F N�
E� 8 � F N�A�
�
.
�8.
�A
.
1
1
�81
�A
.
1
�
� 8 �8
�
� 8 �A
.
1
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
��� ������ ������� � ����� ���� �� ��������� ��� D��������� ����-
��� �� ������ ��� �� ������ '�) ������ ���� ���� � ����� ���� ���
D��������� �������� ��� ������#�� ������%��������� � ��� ���������
�� ��� ��� �� ��� ��������
" ����� . ���������� ������������� ��� ��������� �� ����� ����
��������� ��� �� ���� ������������ ��� ������� � A T E� 8 �F �� ��
��� �� � ��� � � ������ ����� ������� ���� ����� ��� ������
B � �� � �C ���� �� ������� ����0 � �� A� � � � ��� ������ ����
�� � ��� � � ��� ��� �� � ��� ���� B � � � � �C ���� � ������
����0 � N� A � N� � � � A �� � ����� � A � ��� ����� ���� �� ��
��� � � ��� ��� �� � ��� ���������� � ��� ������� �� ���� �� �
��� � 0
�
�������� �� ��� �� H���� � ��� � ��� � B � � �� ������ '�(�.� ��
���� � A *1 � ����� �������� ����� &�� ������������� ���� � B � B
� � &�� ���� �������� ���� B � � � ��C ���� � ��������� ����� � ����
� B � B � B � B � �
��� � L�� ���� � � �����%��� ��� �� �� ������ �� A � ���
�� A � � L�� ��� ���� �������� �� ��� �� ������� ��� ����������� �� ���
�������� ���� ��� ����� ���� �� ����� / ��� 2� &�� ���� /2 � ���
�������� ���� � �
������ ���� !� L� �� ��� ������ �� ��� ������ �� �� ��� ������
����� �������� � �� ������ '�(&�.� ����
. C �
� E.F
� �
�
Figure 4.5.1 �����������
��� �������� ����
� ! �
� �
� ! �
� �
Figure 4.5S.1" ����� . �������
� A*��
� 8 �
�
�A�
�A� 8 �
* ��
�� ��
�� ��
�� �/
�� /2
�� 2�
����� ��� � ���
� ���
��� �� ��� ����
� ���
��
��� ��������� �������� � �� �� ������� ����� ��
16:43 30 Oct 99
&���� � B � � ������ 1 ���� �� ��� ���� �� ��� �������� �� ��� ���
T� A 1 C � � � � � A *1 B � � E� 8 �F A � � ��� � B � B � B � � 3�� ��� ��� �
���� �������� ����
�
���� #� !��� ������ �� ������ � ��� � ������� �� ��� �����%��� �
���� �#������ E.F ����� �
�������� � ��� �� D���� ���� �� � �� � ��� ������� ������������ E���
��������� ��������F ������ ���
�� � ��� �������� �� � �� � ��� �������� �� �
�� � ��� �������� �� � �� � ��� �������� �� �
���� ��� �� �� � � � ������������� �� �� �� � � ��� ��������� ���
��� � A � �� ��
��� � D���� ���� �� � �� 2 ��� ������� ������ �� ���� �� ���� ���
����������
�� � ��� �������� �� � �� � ��� �������� �� �
�� � ��� �������� �� � /� � ��� �������� �� �
� � � ��� �������� �� � 2 � � ��� �������� �� �
��� � � � ����� ��� ���� ��� �� �� � � �������������� ���� � �/ �2 ��
� ��� � ��������������
���������� !� &����� �� ����� �� ���� ����� ��� ���������� 2� �������
��1�*� � A � ��� � A � � � � A � �� � � � � &���������
0 A � ��� ( A � � � 0 A ( �� 0 � ( � �� � � � ��� 0 � ( � ����
����� ��� � � �������������� ��� ����� ��� ������ ���� �� ��� �������-
���� ������
���� #� &�� ���� � � ��� �������� �� � �
�������� � ��������� �� ��� ����� ��� ���� �� � �������� ��� �������
������ �� ������ �������� �� ����������� �������� ��� ���� ���� ����
�� ��� �#��� ���� �� ��� ������ 5���� � ��� ��� �� �� �� �� ����
������ 3�� ����� ���� ����� ���� �� ��������� ����� ��� ��� &&&
����������� ����� ����������� ��� ������ ���� �� ���� �� ���������
���� ��� ����� �� ��������� ������ 2� ��� �� ��������� �������� ���
�������� ��� � ������� ���� ��� ��� ���� .� � � ��� � � ���� . ��� �� �� ��� ����� ��� ���� ������������ ���� �� �� ��� 1� 3����� ����
.N� A � N� A � N1 � � � A � ��� 1 A � �� �
@��� ����� ��� ��� �� ��� �< 3�� ��� ���� . 8 � C � A � � �����
� � � � . B 9� �� ����� ����� ���� � 8 � A � E. 8 �F C � A 1 � ��� � 8 1 A� �
. I (
*��
.�)*
�9�)* �
(
� � 8 � � (
� � � � (
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
� E. 8 �F C . 8 � C .� � ��� ��� �� ���� ���� ��� ��������� ��� �����������
� � � � . �� �����
� ��� ��� �� ��� � ��� ���� . B � B � � E. 8 F� ��
������� ��.��.( �������� � ������ �� �����-�������� �������������
" ����� ' ���������� ��� ��� �� �� �� �� ��������� ������������ " ����� (
�� � ������� �����������0 �������� ��� ������������ �������� ������
���� ������ ���� �� ���� ������ �� ������� ,�
�������� �� ������� ����� �������� ���� ��� ��� � A �� � � A �� �
��������� A �� � ��� ����� ����� �� ��� �� �
��� �� H���� � A .9 ��� � A *9� ���� � ��� � ��� ��� � ��� � H���� � A *9 ��� A �9� ���� � � ��� � ��� ��� � ��� � H���� � A .9 ��� ��� A '9�� ���� � � � ��� ��� � ��� �� H���� � A *9 ��� ��� A '9�� ���� � � � ��� ��� � ��� �� H���� A �9 ��� ��� A '9�� ���� � � � � ��� ��� �
������ ���� !� A A .9 �� **��)
��� ��� A � N� A � � � ��� �� *)�(G��
��� A 19�� ��� �� )��'���
���� #� � A A .9 �� **��)
�� ��� A � N A � � � ��� �� ',�.1��
��� A 19�� ��� �� '.�,.��
���� -� � N� A ��� ��� � � A � N��� ��� �� ..�1*
� N A �� ��� � A � N�� ��� �� .(�()
��� A 19�� ��� A '9��
���� .� � N� A ��� ��� � � A � ��� ��� �� .)�G,
� N A �� ��� � A � N�� ��� �� *)�..
��� A 19�� ��� A '9��
���� 3� � N A �� ��� � � A �� ��� �� .1�*,
� N A �� ��� � � A �� ��� �� **�1,
��� A 19�� ��� A '9�� �
�������� �� !��� ��� ������ �� ��� �������� ����� ������ � ��� ����
�� � ������� ����������� ��� �� � ������� ����������� ��� ������ ����������
����� �� �� #���� ������� ��� � ������ �� ��� ����� �#���������
����� ��������0 �� ���� ������ ��� ����� ��� ������ ���� �� ���� ���-
����� ��������� ������ ���� ���� ���������� ���� ������ ��� �� ��
�� �
�
� A�
� �
�
TA
T
T �� � A
.
* �
��� A�
� A�
� A
.
* �
T �
�� �
*
�� ��� � ��
� �
T
T ��
.
�� � � * �����
.
��� .91�'G� �
�����
��� ���
��
��� ��������� �������� � �� �� ������� ����� ��
16:43 30 Oct 99
����� �� ���� ��� ����� �������� ������ ��������� ��� ������ �� � ����
3�� ���� �������� ������ ���� ����� �� ��� ��������� ���� ����� ��������-
����� ��� ��� ���� ������ �� ������� ��� ������� �������� ������ E&��
��� ������� �� ������ ,�( ����� ��� �������
������ �� ������� ����������� ���� ��� ���� .� ���� ��� ���� �
�� ��� ������������� ���� � �� ����� ��� � ��� ��� ���� �� ��� ������-
������� ���� � �� ���� � ���� � A � � � ��� ��#����� ������ ��
� A ��� � 0
A � � � � A ����� � � �� G9�(*��� �
�� � #���� ������� ��� �#��������� ���������� ���� ��� ���� .� ���� ���
���� � �� ��� ������������� ���� ��� ��� � �� ��� ��� ��� ��� ����
�� ��� ������������� ���� � �� � �� ���� � ���� � A � � ����
� A � � � � �� A � � � D��������� �������� ��� ��#����� ������� �
� � A *��� � 0
�
" ����� ) � ��� ����� ��� ���� �� ������� ��� ����� �� ������ *�*�
��� �������� ���� ���� ����� ���� �� ��� �������;������� ����� �� *�*;
�� D��������� �������� ��� �������� ��� ��� ����� ���� �� ����
������ ������� ������� ������ ��G�
�������� �� ������� ���� ��� �� B ��� D���� ���� ��� ������ ��
�� ���� ��� ������������� ������ �� �� � ����� + �� ��� �������
��� �� ���� � � ��������� ��� ���� , ��� $ �� ��� �������������
���� + �� ��� ��� ������ ��� ����� ��� �������� ���� ������������
������ 2� ��� ��� �� �������� ��� ����� ������ � ���� ��
� ����� 4� ��� �� ������ '�(&�*� 2� ��� ����� �������� ��� B ����2� ��� � ������ ����� ��� �������� �� ��������
���4� A � � ��� 8 ��� C � ���� 8 ��� A .,9�� ���4�� �
*���4� C .,9��
���� ��4� � � ���� ��� � ���� �������� �� ��� ������������� ������
;���� ���� �� ��� ����� + �
��
�����
��
��
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
Concepts+�������� ������������� �� ���������� ���������� �� �������
����
,,# ���������� ��
#����� ���$��� ������� �� ������ �� �������
-����� �� ������� ������� �� ���.���� �������
�
� � �
��
���
�
Figure 4.5S.2" ����� ) �������
!��� ��� ����� � � �� ��� ���� � �� A ��� 2� ��� &�& � ����
���4 A ����4 � � 4� A4�� ��� �� A �4��� � 2� ��� �������� ��Q Q
��� ����� ��������
��� 8 ��� B ��� 8 ��� 8 ��� A .,9���� B .,9�� �� A .,9�� ��4� �� A ���� �44� A4� � B �4
�� A �4 84� C *E4� F
4� B � � E�� F ��
��� 4 ��� ����� � ��� ��� �������� �� �� � 2� "������ ��������
� ���� + ��� �� ��� ��� �� ������� � �
&������ *�* ���� ���� �$ A ,� ��� $� A �,� �� , ��� $ ��� ���
�� ��� ���� ���� �� A �$ 8 $� A �, 8 ,� A �� ;�������������R �� ,
��� $ ��� ��� ������� ���� �� A �$ � $� A �, � ,� A �� ;������-
�������R �� , ��� �� �� $ ��� ������� ���� �� A�$ � $� A�, �,� B
�, 8 ,� A �� ;�������������R ��� $ ��� �� �� , ��� ������� �
4.6 Exercises on circles and spheres, part 1
��� ������ ��� ��� �������� ����� ��� ������� � ����� ��������� ������
��� ������ ���� ���� ��� ������� �� ����� &������ '�G ���'�, ������%�
����������� �� ���� ��� ������ �� ������ ���������� ���� ������ ���
�����
�� ���
��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��
��� 23� ���- 3�"�� � ���4�� ��56� ��
16:43 30 Oct 99
������ &������ '�1 ������� � ����� �� ����� ��� �������� �������������
��� ����� �� � � ��� ��� ������ ���� �� ��������� ����� ��� ������
" ����� . �������� ��� ���� �� ����������� ���������� ��� ��������
���� ���� �� � ����� '�(�.� ��� �������� �� ������ �� ������ �������
������������� D���� � ��� 7��� �*9��
�������� �� H���� � B � � ������ ����� � �� � � ���� �-�-� � �� A
� � ��� �� A � � L�� � � ��� �������� �� � ��� � � ��� �����������
�� ��� ������������� �� ������� � ��� � ��������� ��� ��������
� � L�� / � ��� ���� �� ��� ������������� �� ������� � � �����
��� ������ ���������� � ����� � �� / ��� �� ���� ������ �� ������
� ��� �������� ���� �� � ��� � �
� ����� ��������� ����� ���
� ����� ���������� �����
D���� ��� ��������� ������� �� ��� ���#������� � B � B � B � B � �
������ !���� � �� ������ '�)&�.� ����� �� � ���� ��� ��������0 �� A
� � E�� 8 �� F A � � E� 8 �F A � � &������ ���� Q ����� � �� N�� A� �
�� N�� � ���� �� � N�� A �� N� � � �� A � � ������ ��/� Q ���� � �
/�N/�A��N�� ��� /�A/�E��N�� F A��E/�N�� F� ��������� ���/Q
���� � � /� N�� A �� N�� � ��� /� A E��F N�� A � N� A �E � N�F A� �
�E� N�F A � � ���#������ � B � �� ���� �� B � A /� � ���� � �#��������
�� �� C /� 0 ��������� �� �� ����� ���/ � ������ ���� ��� /� �
���#������ � B � �� ���� ��� � A /� �� ����� ��/� � ������ ���� ��
��������� � A��� ���#������ � B� �� ���� ��� � A�� �� ����� ��������
���� � ������ ���� �� ��������� � A�� � ���#������ � B � �� ����
� A �� � ������ ���� ��� ����� � A �� � �
�
� � �� �
Figure 4.6S.1" ����� . �������
�
�
�� �
�
Figure 4.6S.2 " ����� *
�������� ���� .
���
���
��� ��� ��
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
�������� � ����� * ���� ���� ������� ��������� �� �� ��� �� �����
��������� �� ���� ��� ��� ����� �������� ��� �������� ���������� ������
���� �� ������ ��(� ����� ��� ������� ��� &�&� �&�� &&&� ��� &��
�������� �� � ����� ��������� ���� ������ �� �������� &&� ��������
?���������� � � ����� * ��� &&����� ��� ������� &������� �������
������ �� ��������� ��� ��� ����� ���� �� ��� ��������� �� ��� ����� ����
��� ��� ����� �� ����+ ������ ���� �� �������
�������� � &����� ��� ���� &&� ���� � ��� ���� 0 � A �� � � A
�� � ��� ��� � ��� �� &����� �� � � ��� �� ������ D���� ���� � C � ��� ���� ���
�������� ��� ��� ��� &&� ���� ��� ��������� �� ���� �
��� � &����� �� � ������ L�� � � ��� ������� ���� � �� �
&�� ���� � B � ��� � �� �� D���� ���� �� � A � �� � �� �� ���� ��� ��������
��� ��� ��� &&� ���� ��� ��������� �� ���� � &�� ���� �� � B � B
� � ���� ������ � �������� � ����������� ��� ���� ��� ���� ��� ���-
����� ��� ��� ��� &&� ���� ��� ��������� �� ���� �� �� � �
������ ���� !� �� � � ��� �� ������ ������� ��� ������ � �� ������
'�)&�* ��� ������ � ��� ����� � � &����� � B � � ���� � ���� ���
������ �� ��� ��� ����� ���� ����� � ��� �� ���� ��� ������� �������
� ���� ����� �� " ���� ��� ���� ������ � ���� ��� ����� ���� ���������� ���� ��� ����� ���� � ������ ��� ���� ��� ����� ������
&���� ���� � � ���� ���� ��� ������ ���� �� 2�� � ��� ��
� ����� �� A � ;�������������R
���������� � C �� &����� ���� �� � �� ��� ��� &&� ����0 � A
����� � A����� ��� ��� A����� � �� ������ '�)&��� ���� ��� ���� � ���
�� �� ��� ������������� �� ��� ������� � ��� ��� 2�����
�� ��� ��� ��� � ���� � ��� �� ��� ������ ��� ��������0 �-�-� ���
� �-��-� �� U���� �������� ���� ��� ���� �� � ��� ��������� �����
���� ���� ��������� ��������� ��� ���� A �� ���� �� ��� �� AQ
���� ��� �� A ����� U���� �������� ���� ��� ������� ��� ���������
� � �
� � �� �
Figure 4.6S.3 " ����� *
�������� ���� .� ���������
�
�
#$% &
Figure 4.6S.4 " ����� *
�������� ���� *
������
��� ��
���
���
��
��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��
16:43 30 Oct 99
����� ���� ���� ��������� ��������� ��� � ���� �� ��������� ���� �
�� A ��� �� �� ����� ���� �� A �� � �� A � �� � � � ��� A ��� �� 2� ���
&&& �������� ���� A ���� �� ��Q
���� #� �� � ������ L�� � � ��� ���� �� ��� ������������� �� �������
�� � ���� � A �� B ��� ������� ���� � �� ��� ����� ����� �� � ����
� �� � ��� � �� �� �� � A �� ���� � A� ��� �� ���� � �����; ���������-
����R ��� � B � �
�� � A �5 ���� � A � ��� �� � ������ L�� � � � ��� ���� �� ���
������������� �� ������� � �� 2� ��� &�� �������� ���� AQ
���� �� �� � � �� � A �� A � �� �� ����� � � A � � ��� ���� A ���� �� ��Q
� ��������
�� ��� � �� � � ��� ����� ������� ������ ��� ����� � � �� � ���
������ ��� ��� ���� � �� ��� ������������� �� ������� � ��� �����
� ��� � � 3�� ��� ����� ��� �������� �� ��� ����� ��������� �� ��� ����
. ������� �� �� ���� ��� �������� ��� ��� ��� &&� ���� � ���������
�� ���� �
!������� ������� ��� ��� � B � B � � � �� ������ '�)&�'� � ��� �����
� ��� � ������� � �������� � �� �� ������ � ��� ������� �����
�V� /�� �� ���� ��� ����� � ��� � � ��� ��� ����� ��� �� ��� ��� ��
� ������� � � 3�� ��� ����� ��� �������� �� ��� ����� ��������� ��
���� . �� �� ���� ��� �������� ��� ��� ��� &&� ���� � ��������� ��
���� �� ���V� � �
" ����� � ��� ' ��� �� ������ �� ������ ���� ����� ��� �� �������
��� �� � � � ������� ������ � ����� �� D��������� ��������
�������� � �� ������ '�)�.� ��� �6� ��� �7� ���� ������ � ���� �
�� ��� ��������� ��� ������ � ��� 2 �� ���� ����� � � �� �����
� A �� � ��� ������ ��� ������ / � ������� �� ��� ���� �� ��� ��� ���
���������� !��� �� ����� � �� ���� �� � �
Figure 4.6.1" ����� �
�
� �
�
�
��
* *
* � .
*
* � � �
*
�� ��������� ����� ��� ���� ��
$�� ���� � � *���� �����"��8 ������� 9 ����� : ��� 9 ���� �� ��� ����
16:43 30 Oct 99
Figure 4.6.2W������
������ L�� 8 � ��� �������� �� � ���� ��8/ � ������ ���
��������� � � � ��� ��� � � � ��� � � ������
E� � �F A E � � �F 8 � � EVF� � � �
!������� ��8/ � ������ ��� ��� � � � ��� � ��� ��������� � � � 8� �
� � �����
� 8 E � � �F A E � � � 8 �F A E � � �F 8 * O � � �� 8 � �� � � � � � � � �
��� � A � � �� 8 � � @��� �#������ EVF ��� ������ � �
� � *�� 8 � A � � � 8 � � �� 8 � �� � � � � �
���� � � � A � � � � ����� � A � �� � � �� � �
�������� �� ��� �� �� ������ '�)�*� ������ � )�� ���� ��� #���� ��
���� � ��� ��� ������� ����� � � !��� � �� ���� �� � � �������� 0 � ��9�*9G� �
��� � &��� � ���� .� ��� ���� ����� ������ ����� � �� �� ���'
����� 0 � �� 9�*�*� �
������ ���� !� ��� #����� �������� ����� �� ���� ����� ��� ���
�������� �� �� #���� ��� ���� �� ��� �#������ '� 8 *� A � �����
� A � �� 9�*9G�� ���� #� � A � �� 9�*�*� � �
��� ������ �������� ��� �� � ����� �� ������� ��� ����� �� �������
�������� �� ���������� ��� ����� ����� �� ������� �� � ������� �����
�� ������ ��� ������ ������� ���� ������ ������� ��� ���� ��� ���
�� ������ '�)��� �� ���� ��� ������ � ������� ��� ��������� �� �� �� ����
�� ��� ������ � ��� � �� ��� ��������� ���� ��������0 ���� �������
��� ��� �� ������� ���� ���� ������ ���� 3�� ��� ���� �� �������
������� ��� ��������� �� ��� �������� �� ��� ������ ��� ������ ��
�� � ������ ���� ��� ����� �� ������� ��.��) ��� �����
��� ���
� �� ��
��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��
16:43 30 Oct 99
� � �
� � �
� � �
��� . ��� * ��� �
��
� �
�
��� ' ��� (
Figure 4.6.3 " ����� (
������ ����� ! ��� #� ��� A � � E� � �F ��
���� -� ��� A � � E� � �F A � � � ��
���� .� ��� A � � � ��
���� 3� ��� A � � E� 8 � F � ��
�������� �� L��� ��� ��� ���������� ������� �� ��$���� ������
� ��� � �� � �� ��� � �� �� ������ '�)�'� L��� � ��������� ���-
���� �� �� ��� ��� ��� �������� ������� �������� ��� ����� �� � ���
� D���� ���� �� A �� A � � ��������0 ������ ����������� ��� ���-
��� ��� � ����� ��� ��� ����� �� ����� ������� (�1�*�
Figure 4.6.4" ����� )
�
�
� �
�
� �
��
�� ��������� ����� ��� ���� ��
2;"����� ��!�����+ �� ��� !������� ��� 4���" � �! ���+�"��� ���+��� �+���� ��
16:43 30 Oct 99
Concepts!��������� �������� �������
/���� �� �����
�������� �� ������� �� �������� ������
0��� �� ������ ������� �� ����
������ �� ��� � ������ ������� ��� ��������� ��� � ���� ���� �� A
�� � /������� ���� ���� �� � ����� + � ���� +� A +� ��� +� A +� �
� �� A �� � ?��
� A �� � 8 � �
A �� 8 � �
A �� � �� 8 � �
A �� � �� 8 � �
A �� � �� � 8 � � �
A �� � E�� � � � �� �F 8 � �
A �� 8 � �� � 8 � � � �� �
A �� 8 � � � �� �
A �� 8 � � �� ��
A �� 8 � � E� � ��F
A �� 8 � 8 � � � �
A �� 8 � 8 � � � �
A �� 8 �� � �
*� A *�� � �
4.7 Exercises on area
��� ������������� � ����� ����������� ��������� ������ ����������
���� ������� ������%��� ����� �� � ����� � �� ,� ��� ���� ������#��
��#����� ����� ��0 �������� � ����� ������ ���� ����� ���� ��� ��� ������
��� ��� ���� ������ ��������� �� ������ ��, ��� ��.'� ��� � ����� � ����
��� ��� �� ������� ���� ������������ ��� ��� ��� ��� ��� ������� ���
������� �� ������� ��� �������� �� � ��������� ������� �������� ���������
������ ��� ���� ���� ���������� ���� ��� ��� �������� �� � ���������� ������
� � ����� ����� ������ ���� �� ���� �� ��� ��� ��� ������������ ������
��� ��������� ������ �� �������� ��� � ����� ������� ����� �� �����������
���� ������ ���� �� ������� ,�
��� ���
��
�/
���
��� ��������� ���� ��
16:43 30 Oct 99
�
�
�
Figure 4.7.1" ����� .
!
�
"
�
Figure 4.7S.1" ����� * �������
�������� �� !����� '�G�. � �� ������ �����%��� ���� ��� � �
�� A � � �� A � � �� A A �� � ��� � ����� / �� � !��� � A� �
�/ � ���� ���� ���� ���� �#��� �����
������ L�� � � ��� �����%���� �������� ��� � � ��� ������� ����
� �� � ������� ��� ���� �� ���� �� �� �� ��� � � �� A � � � �� �
�
����� � A �� N � �����
���� ���� A � � �E� 8 � F ���� ���/ A � � ���� �
� �
&������ � � ���� ���� A ���� ���/� ��� ��� � A � � E� 8 � F N� � �� �
� � �
�������� � ������� � �������������� ������������� ������������� �����
D���� ���� ��� �� �� ��� #���� �� ����� ���� �#��� ��� #���� �� ���
���� �� ��� ����� �����
������ �������� ��� �� ��� ����� �������� ������������� ���� � ���
�������� �� ��������� � �� !����� '�G&�.� ������ � � ��� ������������
�������� �� ��� �������� U����� ��� ��������� �� ��� �� �������� � ��
�� ��� � ��� �� �� ��� ��������� ����� �� � ��#�� ��������� 5����� �
� ��� ������������ �������� �� ��� � ��#�� ����� ��� �� �������� ��������
� ���� E� � � F � &����� ��� ���� �� � ������ ��� �� �� ��� � ��#��� � �
���� ���� ������ � ��� � ���� ��� ����� ������� ���� ���� ���������
E� 8 � F � E� 8 F ��� ���� ��� E� 8 � � � F � E� 8 � � F ���� � � � � � � � � � � � � �
��� �� ��������� ���� ��� �#������ �� � �������� �
J���� �� �� ��������K 8 J���� �� ���� ����� ������� ����K� �
8 J���� �� ����� ����� ������� ����K�
A J���� �� ��� � ��#�� ����K�
�
�� ��������� ����� ��� ���� ��
��� ����� ����! ��� "� %" <��!��� ��� %�����+ �� �= ��� 7� ����6>�"�� ,��-5.
���� ?@���
$�� ������ � � �"� �� A� BC� ���D� ��� 7������� �� ��� ��#�� �� ����
16:43 30 Oct 99
J � � E� 8 FE� � � F K 8 J � � �E� 8 � � � F K 8 J � � �E� 8 � � F K� � � � � � � � � � � � � � � � �
A J � � �E� 8 FK �� �
" ���� ��� �� ��� #���� ����������� ��� ��� � ' �� ��� ��� �#��������
�#������
E� 8 F E� � � F 8 � E� 8 � � � F 8 � E� 8 � � F A � E� 8 F �� � � � � � � � � � � � �
" ����� ������ ���� ����� ������ � � � ��� ��������� �� ��� ��������
�#�������� �#������0
E� 8 � � � F 8 E� 8 � � F A E� 8 F �� � � � � � �
��� ��� ���� ����� ��� �� �������� � ������ �
�������� � M��� ������ '�G�*� ������� ��� ���� �� ��� ������� ���������
��� ����� .���
����� "������� #���� ����� �� ���� ��������� �#��������� ��������
��� ����� ��������� ������ ��������� /� ����� ����� �#��������� ��� �
����� �������� ��� �� ��� ���������� ��� �� ���� � � � ���� �� ��� ������
#����� ���� �� �
�������� �� �� ������ '�G��� ���� ���� �� �� ����� �#��������� �������� �
������� �� ��� ����� * �� .� !��� ��� ���� �� ��� ����� ����� ��������� �� ����
�� ��� ���� � �� ��� ����� ���� �������� 0 ��� ����� ������� 9�.'� ��
������ 5���� ��� ����� �������� � ��� �� ������ '�G&�*� �������
���� ��������� �������� ��� ��� ��� ����� ����� �� ���� ���� ��� �����
��������� � �� ���� � ��� ����� �� ��� ���� � � � �� ��� �������� ����������� �
Figure 4.7.2XY������ ����
� "� �� �
�" ���
��� ��������� ���� ��
16:43 30 Oct 99
Figure 4.7.3" ����� '
Figure 4.7S.2" ����� ' �������
�������� �� �� ������ '�G�'� ������ $��� ��� ������� �� � #���� ����������
�� �� ���� D���� ���� ��� #������������ �� ��� ������ � � #����� ���
��������� ��� ����� �� �� ���� �� ���� �� ��� ����� #����� !��� �� ��������
����� ��� � ������ �������� �� ���� ��� ����� ������ � � ���������� ���'
����� 0 ��� ���� ����������� �� ���� ������� ����� � ���������
������ ��� �������� #���� � ������� �� ����� ����� �������� ���-
������ �� ��� ���� ��� �� ������ '�G�'� !��� �� ���� ��������� ��� ������
#����� � ��� ����� � � �� A � �� �
3�� ��� ���� ��� ��������� � ��������� ��� �������� �� ��� ��������
������ � � ������ ( �� .� ��� ������� #���� ����� � �������������� ���
���� ��� ���������� � ( � � ����� ����� ������ ���������� �
�������� �� �� ������ '�G�(� ��� ������� �� � #���� ���� ��� $�����
�� ���� �������� �� ���� � (�� 0 � #������������ E�����F ��� �� ��$�-
���� ���� �� ��������� ����� !��� �� ����� �� ���� �� ��� ���� � �� ���
#����� �������� 0 ��� � ��� 9�*G� ��
������ � ��� �� ������ '�G&���� �������� �� � �����
� �� �������� � L�� � � ��� ���� �� ��� ������������� �� �������
� � � ���� �� A ��� !������� ���� Q � �� �� � � �� A � ��� A � ����� �
Figure 4.7.4" ����� (
�� � � "�
� �
��
�� �
��
� N)
� N�
E�+ F�
E + F�����
���
�+
+
" �
�
+ � +�
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
Figure 4.7.5" ����� )0 ����
� � � �
�#�#
��#
�
��#
�� �#
� � � � �
Figure 4.7S.3" ����� ) �������
����� �� A � � � ��� �� A � � � � ?� ������ ���� + ���� ������ �
����������� + � ���� � + � Q � ""�� � + A *E �+ F ���
� � � A E �F A E + F 8 E �+ F A (E �+ F �� � � � � �
� E �+ F A � �� � ��� E + F A � � � ����� � � � � �
A A A � ��
E� �F A � � E��F A � � �E�� F 8 E�� F � A � � �E�� F 8 J*E�� FK �� � � � � � � � �
A � � �(E�� FK � A � � E � � �F A � �� �� � � � �
E�+ F A E� �F � E �+ F A � �� � � � �� � A � � �� � � � � � � �
A A � �
A � � ��
3����� �� ������ ����������� �� ��������� ��� ����� �� ��� ���� �� ���
�������� �� ������ '�G&��� ���� � �+ ��� ���� �� � 3�� ��� ���������
��� ���� � ������ &���� �+ N+ A � � � ��+ � �� ���� *� � &�����
� � � ��� � ��" ���� ��� ��� �������� ��� ��������� ��
��� � ���� ���� ��� ��� ���� (� � �������� � + � ��� � +�
���� �� ��� ��� ��� ��� ��������� &���� +� A *E+ F A
'E+ �F� � +� �� ���� .*� � !�� ��� ��� ������ ��+� �� ����
,� � ���� �� 8 *� 8 (� 8 .*� 8 ,� A �9� A � � � � ��� ���� �� �� " � ��� �
����� ���� � A � �� � � ��� ����� ���� � ���� ���� �� ��+� 0 *E,�F A� �
� � � � �� �
* *
�
� �
��� ��������� ���� ��
���� ��� *���� ���� ��� !�� �����
16:43 30 Oct 99
�
�
Figure 4.7.6" ����� G " ����� ,
Figure 4.7.7
�������� �� ������� ��� ���� �� ��� ����� ������ �� ������ '�G�)� ������
� ����� �� ��� 6 �����7 ��� �� �� ������ ��� ����� .� ��� ���������
��� ������ ����
������ ��� ����� ���� � ���� ���� �� � ������ ��� ����� �� ��� ���
���� �� �� ������ ����� �������� ��� ��� �� ���� � #������ �� ���
���� �� � ������ ��� ����� � 0 � � � � 8 *E � � � F � � � � E� F A � � �� � � � � � �
�������� �� ������� ��� ���� �� ��� ����� ������ �� ������ '�G�G� ���
������ �� �� ���� �� ��� #���� � .� �������� 0 ��� � ����� � �������
�� � ����� �+ ��� ���� � ����� ������� 9��*�
������ E&�� ������ '�G&�'�F !���� " A � � ��� 9 A .� ��
�� 9" A �9�� ��� ��� �������� ������ �� ��9: � � ���9 A 19��* ��9� A �9�� ��� ���� �� ����� 9� � � �� �� ���� �� � ������ ��� ������
.� ���� � ��� � ��� ���� �� �9� � � �� �� ���� �� � ������� ��������� ���� �
����� .� ���� � � �� � ��������� �� � ����� �� ��� ���� � �� ��� ������
������ ����� ������ ��� ��� �4 � ��� � ��� � � �� &���� � A�
� �
9" � � � A � � � � � � ��� ���� �� ��� � � A � � E� F A � � E* � F �� � � � � �
��� ������ ���� �
Figure 4.7S.4" ����� , �������
$ �
�
�
��
% � �
* � �
'8
�
.*�.
'�
�� ��������� ����� ��� ���� ��
��� �� ��D� ��# ��!!������ ������� #�" ��!��� � ���� ����� � �� ������ -�� ���� �-��
� ���� ��� � ����� ��� �! �� � ��# ���+ ������ ��+� E�
16:43 30 Oct 99
'E� 8 �F A ' A . � 8 � � � � 9��*� ��
��� ����� �� � �������� � ��� ����������� �� ��� �������� �� ��� ���
����� ��� ������ �� �� ������ "��� ������ � ��������� ������ � � ��� �����
�� ������ ������������ �� �������� � �� � � ��� ��� ������ �� ��� ��������� �
�� ���� � � ������ ���� �� ��� �������� �� � � ���������� ���� �� �����
������� ��� ������� ���������� � ����� ��� ����� ��� �� �������� ����
����������� ��� ��� ������� � ���������� ��� ��� �� ������ �� ������� ,� !��
��� ���� ���� ��������� �� ���� ��������� ������ � ����� ����� � �
�������� �� �� ��� ��� ��� � �� ����� � �� ��� �� ���� ��������� ����
�������� �� ��� �� � ��� �������� �� � ���� ��� ����� �� ��� ��������
�� � �� � < M��� � A *� ������ �� � ����� ���� ��� � ���� ��� �� �
�������� ����� ���� ��� ���� �������� 0 3��� �������� ����� ���
��� � �� ������� �������� ���� �������� ����� �� �����
��� � 5�� ��� �������� �� � ���� ����� �� ��� ����� �� ��� ��������
�� � �� � ��� ��� ����� �� ����� ������ ����< M��� � A *� ������� �
�� � ����� ���� ��� � ���� ��� � �������� ����� ���� ��� ������
��������0 3��� �������� ����� ��� ��� � �� ������� � ����� ����� �
��� � 5�� ��� �������� �� � ���� ����� �� ��� ����� �� ��� ��������
�� � �� � ��� ��� ����� �������� �� ������ ����< M��� � A � ���� �
�������� � ���� ��������� ������ �� � ����� ���� ��� � ���� ��� ��
�������� ����� ���� ��� ����
������ ����� ! ��� # ��� ������ ���� -� !�� �� � ������ �������
����� �#��������� �������� ���� ���� � ������ ����� + ��� � �������� ������
����� �������� ��� .*9� ����� ������ � ������ ����� � �
3�� ����� � ������ ���� ���� ��������� ��� �� ����������� ���������
�� ���� ��� ���� ��� ���� �� ����� �� 3�� ��� ���� � ������ ����������
�� ��� �������� �� � ��������� ������ � �� � ����� � � 3�� ��� ���� �������
���� ���� �� ��� ���������� ��� �� �������� ������ ��� ����� ��� �� ��
�������� �� ����� ��� ��� ��� �� �������� �������� ��� ������� ���
�#��������� ����� ��� �������� �� � ����� � ��� �� �� �� ��� �������
������ ��� �� ������� ����� � ��� �� �� �� ����������� ������ 4����
� ������ ����������0 � ����� � ��� �� ��� ������� �� � $�� �� ���
��� ����� �������� � �� � � �� � � �������� �� � � ���� ����� � ��
����� : ��� 9 �������� �� � ��� ���� : ��� �� � �� 9
��� ����
��� ��������� ���� ��
16:43 30 Oct 99
3�� ��� �� ��� �� ������ ��� ����� �� � ��������� � ��� �� �� ��� ���-
������� ����� �� � �
�������� ��� ��� �� &�� ���� ��� ����� ������� ��� ��� ������� �� ���
���������� � � �� �� �)�����
��� � &�� ���� ����� ������� ����� �� � ��� �� �� ���� �� ��� ��
��� �������� � �� ��� � &�� ���� � ����� � ��� �� ��� �������� �� � �� ��� ���� �� �
� �������� �� ��� ��������� ��� �� ��� �������� ����� ����� �� � �
��� �� !���� � ����������0 � �� � �� ����� �� � ����� � � ������ ���
�� � �� ����� ����� � �� � � �������� �� ��� �������� �� � � ��� �� ���
�������� ����� ����� �� � � D��� � ���� ���� ��� �������� �� � ���������
������ � �� � � ���� �� � � ?� �� ���� ��� ������� �� � �������
�� �� ����� ���� �� � �
��� �� � �� � �� ����� �� � � ������ ���� �� � �� �� �������� ������-
����;��� �� �� ����� �� � �� �� �� � � ;� ����� &�� ���� � � ������
�����5 ���� !� ������� � ������ �������� �� � �������� ����� � #����
����� � ������ ����� � ���������
���� #� � ������� ����� �� � ��� ��� �� ��� �������� � �� �� ���
��������� �� �� ��� �������� �� � � ���� ��� ����� 9 �������� �� � � ������ �
�� ��� ������������ ������� ���� ���� �� ��� ������ � ;�������������R
���� -� &����� � ����� �� ��� �������� �� �� ���� � � �������� ��
��� �������� � �� � ���� * ������ ��� �� �� ���� �� � � !��� � ��������� �
� ��� ���� � � �������� �� � ��� ��� ����� �� � ��� �������� �� � � �����
��� ����� �������� �� � ��� �������� �� � � ��� ��� � ����������� �� ����
� �� ���������� �� ������� ����� �������� ���� ��� ���������� �� ���������
���� .� &����� ��� ������� ��������� �� ���� �� �� ������� ���
����� � � � + �� ���� � �������� �� ��� �������� � ��� �� ��� ��������
����� ����� �� �� 2�� � ���� ��� ��� �� ��� ������� �� �� ����� ���
����� 9 �������� �� � ��� �� ����� �� � � ��� 9 ���� ��������� ��
����� �� � ;�������������R
���� 3� &����� � ��� ������ � � !��� � �������� � ��� ���� � ��
�������� �� � ��� ��� ����� �������� �� � ��� ������ � � !��� � ��������� � �
� ��� ���� � � �������� �� � ��� ��� ����� �������� �� � ��� ��������� � �
�� � ��� ������ � � �������� ����� ������ ����� � �������� � ��� ����� � �
� � �������� �� � ��� ��� ����� �������� �� � ��� �������� �� � ���� � � ��
������ � � ��
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
Concepts!��������� �������
��������� �� ���������
1������ �� ������� �� �������� ���
�������� �� ������� �� ��������� ������
0��� �� ������ ����� ����
4.8 Exercises on volume
L��� ��� � ����� �� ��� ������� ������� � ����� . ��� * ����������
���� �� 0 �������� � ����� ������ ���� ����� ���� ��� ��� ������ ��� ���
������ ������ ��������� �� ������ ��.9 ��� ��.'� " ����� � ������� ���
����� ��� ��� ��� �������������� �� ������ ��.'0 ��� ������� ��� ��� ������
�� � ������ " ����� ' ������� ��� ������ ������� �� ���� �� � ������
" ����� ( � ���� �� ����� �������� ��� ������� �� �������� ��� �������
����� ��� ���� ��� ����� �� �������� ��� ����� �������� �� � �����
'�G�1 ��� '�G�.9�
�������� �� ���� � ����������;������ � �����;��� �� ��������
����������� ���� ���� ��� ��� �� �� � �� �������� ������ � ���� ����
�� ������������ ���� ��� �� �������� ����� ��� ��������� ���� ������� ����
��� �����%��� ��� �� ��� ������������ ���� �� ��� ���������� !���
�� ������ �� ���� �� ��� ���������� ���� � �� ��� ����� ��� ��� �������
� ����� ��� �� ������ ��������0 �� � �� �������� A *� ��'�(�) ����
��� ������ � G'�
������ L�� � � ��� ������� ����� ��� �� ������ &����� ���
����� ����� � �� ��� ����� � ����� ����� ��� ��� M� ��������
�� � ������ ���� ������� ���� ���� �� ����� ��������� M� � �� � ������
���� ����� �������� ���� � ���� �������� ��� � ���� �����%���� �������
��� ������� ��� ��� � ��� �� ��� ��� ����� ��� ���� ���������
��� ���� �� ���� ���� �������� � � � ���� �� ��� ������������ ����� ����������
� ��� ������ �� ���� ���� ���������� ������� � � � ���� �� ��� ���������-�
��� ����� ���������� �������� ?� ��������� � ���� ���������� ��������
���� �� ���� �� � ��� ��� � ���� ��� ������������ �������� � � � � ��
��� ����� ������ �� ��� ���� ���������� ������� � ��� � � � � � � ����� �
��� ����� ���� � �� ����� ���� �� ����� � � 2�� � � ��� ���� �� � ���������
��� ���� ��� ��� ������� �� ��� ������������ �� ����0
� A � � E� 8 �F � � � E�� 8 ��F �� �
���� ��� ����� ������ �� ��� ����� ���������� ������� � ' � � � � � � �� � ���� �
��������� �� ��� ������� ����� �� ������� ��� ��� � ��� ��
���
�
*
�/
*
E�/ F� � E�/ F�
�� �/ �86 �����/
�86 ���
��� ��������� ���� ��
��� F����# �� � !�� ������� ����3����� ��� !�� � +������������ �! ��� ��+"�������
16:43 30 Oct 99
� �
� "
� !
& '
� �
� �
& "
' !
Figure 4.8.1 �������� ������ ��� � ����� *
��� ��� �� ���������� ����� ������ ��� � � � � � ��� ��� � � � � � ������� � � �
������ ��� ���� ��������� ����� ��� ����� ��������
� � E*�� 8 ��� 8 ��� 8 * ����F� � ��
�������� � ���� ������ ���� ��� �� ���� �� ������ '�,�.� � ���� ��� ����
� �� � ��� ���� �� ��� �������� #���� ���� ��� ��� ������ � � ����
� ����������;������ � �)���� �������; � ������� ����� ��� ������ ����
��� ������ �������� �������� ���� ��������� !��� �� ������� ������'
��0 5���� ��� �������� ���� ������ �������� �� �A.� ����� ����� ������
� ����� ������� 9�1(G�
������ L�� � ��� � � ��� ������ �� ��� #����� @��� ������
��� ��� ��� ��������� ��� #���� ��� �� �������� ����� �������������
�� � L�� � � ��� �������� �� �� ���� �� ��� #���� ��� ������ � �
��� / � ��� ����� #����� ����� ������ �� ���� �� A � � � � �/ A�
� � � ����� ��� ��� �������� �� �� �#��������� �������� ��� ���� � � ����
�/ A � � � ����� ��� ���� ��� �������� �� � #���� ��� ���� � � L���
� � ��� ���� �� ��� ������������� ���� � �� ��� ����� ������ � ���� �
���� �� � ����
�/ A �/ � �� A � � � � .��
�� A �� A A � N* �� � �
?� ������� ��� �����%��� ��/� ��� �� ������ �� ������ '�,&�.� L��
8 ��� 6 � ��� �������� �� ��� � � ���� � � L�� 2 �
��� ���� �� ��� ������������� �� ������� 8� ��� 7 � ��� �����������
�� ��� � ����
�
. 8 *
E�7 F E86 F
�6
E�� F E86 F
*E�6 F
. 8 *
*�
* �
�
* �.
���
*���� � � A
� �
��
*
�
, �.
�
. 8 *
*�
* �
� �.
'� � � A
. 8 *
��
*
� �
�
, 8�
*
�� �
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
�
( ��
� �
Figure 4.8S.1" ����� * �������
�6 A � ��/ A � � �� �
86 A � � E�� 8 �/ F A � � � �� �
2� ���������� 82 N86 A �7 N�6 ���
82 A A A �
��� �������� � ������� �� ��� ������� ��� ��� 8 � ��� ��� ��
���� �� �� ����� �� ��� #����� ��� �� ���� � ��� �������� � ��� A� �
� N* � ����� ����� ������ � � �
& A �
��� ����� ����� ��� ����������� ����� �#��������� �� ���� ���� � � �� �
��� �������� 82 + ����� ����� ������ �
� A �
��� ����� ������ �� ��� �������� � ���
& 8 � A �� 9�1(G� � ��
�������� � � ����� ������� � ����� � ������ � ����� ��� ������ �
��� ����� � ���� �� ���������� /� ����� ������ �������� ��� ��������
� �������� ��� �������� � � M��� ���������� � ���� �� ���� ��� ������
�� ��� ������ ����� ��� �������� ��� ��� �� ��� ��������� � ��� ���
� ���� �� � ������� ����� ����� ��� ������ ������� ��� ��� �������� ���
���� �� ������ ��� ������� ��� ��� ������ �� ��� ������
������ ����������� �� ��� ������ ����� ��� �������� ��� ���������
��� �������� ����� �� ������� � ���� ��� �� ��� ��� ������ �����
� � � � �
�
�
��� ��������� ���� ��
16:43 30 Oct 99
���������� ������ ��� ����� � ��� � � ���� ���� ���� �� � ������
��� ��� � ��� ���� �� ��� ������������ ����������� ��� ��� ����� ����
��� ��� � ��� ��� ��� �������� ��� �� � ��� ��������� ����������
������ �� �������� � � � ������ �� ����� A ������ �� �����
������ �� ����� A *E������ �� �������� � ������ �� ����F
A *E� � � � � � � � � � �F A � � � � � �� � � � �
�������� �� ��� �� L�� 9 �� � B � � � ����� �� ������� � ���� � ������
��� ����� ��� ������ � ��� ����� � ���� �� ����� ��� ������ � ������
� ����� �� ��� @������ ���� �������� ���� � ������� ��� �� �������
�������� 0 �� � A . ��� � A � � � ��� ���� ������ � � ��� 9�)(��
��� � @������ ���� �������� ���� ��� ������ �� �������� �������
���� �� � ���� ��� ����� � � ������� ������� ��� ������ �� � ����� ����
����� .� �������� 0 ��� ����� ������ � � ��� 9�'G�
�����5 ���� !� M� ��� ������ �� � ����� � ����� ��� ����� ��
������� � ��� � 0
������ �� ��� �������� ����� ���� ����� � ��� ��#����� ������
A ������ �� ��� ������ �� ��� ���� ����� ���� �����
A ������ �� ��� ���� ��� ��� �
��� �������� ��� �� ����� �
� ������ �� ��� ���� ��� ��� �
��� �������� ��� �� ����� �
��#����� ������ A � � E� � �F � � � � � � 8 � � � � �� � � � �
A � � � � � � � � 8 � � � � �� � � � �
���� #� ��� ���� ����� �� �� ��� �� ������� �A � � ���� ��� �������
�� ��� �������� ����� � A .� ��� � �������� ��� ����� � A � � ��� ���������
( A *� � �� ������ �
*E � � � � � � � � 8 � � � � F 8 � � E*�F A � � � � � � �� � �� � � � � � � �
�������� �� �������� ��� ���� � �����-���������� ������ �� � �����
'�G�1 ��� '�G�.9� ��� ��� ������� ������ ���������� �� ��� �������� ���
������� �� � ���������� ������� ��� �� ���� ��� ����� �� �� �����-
���������� �����
������ D��� . �� � �� � ����� '�G�1 �� ������ ��� �� � ������ �� ���
#������ ������ ��� �������� �� ���������� ������ � ���� ����� ��
��� ����� �� ��� �������� �� ����������� ������ � �� � ��� ��� ������ �
�������� �� ������ ����� ��� ������ ���������� �� ��� ������� �� �
���������� ������ � ��� ��� � ���� ��� ��� ������� �� � ��������� ����
� ���� ��� ��� ������ ��� ��� ������� �� ����������� ��� ����������
�� ��
.
. 8 �
�� ��������� ����� ��� ���� ��
<��� @ � ����� ����� �G �! 4��D 1000 �! 2"���H � ������ ( ,��G�. ��5�) ���
16:43 30 Oct 99
Concepts��� 23�
#���������4 ���������� �� �
+��� ������� �� ������� ������ �� ������
�������� ���� ������� ��� �� ����� ���$��� ����
,������� ��������
������������ �� ����� �������� ��������
%����� �� �� ���������� ������ �������� �� �������� ��������
�� ����� � ��� ���� ��� � ������ �� ���� . �� � ����� '�G�.9 ����� �����
��� ���� �� ��� ����� � ��� ��� ;����������< � ��� ������ ��
;������< � ; ���<� �� �������� ��� ������ �� ���� * ��� � �� � ����� '�G�.9�
������ ��� ��� ������� �� ����������� ��� ���������� �� ��� �� � ���
���� � ���� ��� ��� ���� ���� ��� ������� ��� ���������� �� ����
� ��� ���� ��� ��� ������ �� ���� ' ��� ( �� � ����� '�G�.9 ��� ���������
�� ����� ��-���������� ������������ ��� ����� �� ��� ���� ����� ���
������� �� ��� ��� �� �� ��� ��-���������� ���� �
4.9 Exercises on circles and spheres, part 2
��� ������ ������� ��� �������%�� ��� ��� �� ������ ��� ������
" ����� . ��� � �� ������ �)�� �� ���� ��� ���� ���������� ��������
����� ��� ����� �� ��� ������������� ��������� L���� � ����� ��� ���
���������� ����� ������� �� � � ��� �������� �� �������� �������������
��� ��� � ����� ������ ���� ������������
�������� �� ��� �� ������� � ������� �������� ����/ ��� ���� .� &��
���� �� �������� ��� ���� �� ��� ����� � ��� ���� ���/ �
� �������������� L�� � A �� � M� ������ ��� ��������� �������� �� ��
����
� A �
������� ��� ����� �� � � !������� �� � ��� ���� �� ������� �� �)�� ��� � ������� � ������� ��������� �� ����� ��� ������� ��� ���
��� ������ &�� ���� ��� ��� ���� � ����� �������� ���� ������
��������� �� ����� �������
� A�
.A��
��A��
��A
.
. 8 �
(
��
�� �
��A
T
�A
. 8 (
'
�/��2 6/
��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��
��� 3�� ��� ������� ���- ������� ��
16:43 30 Oct 99
� �
� ����� �
�
Figure 4.9S.1" ����� . �������� ���� . " ����� . �������� ���� *
� �
�
���
�
�
Figure 4.9S.2
������ ���� !� ������� ������ '�1&�.� ��� ���������������
������ � E� 8 .F A .� ���� � 8 � � . A 9� ����� � A � � ��. 8 �� L��� �
� � � ��� �������� �� � ����
�� �)� A � 9�,919�
���� #� ������� � ������� �������� ����/ ��� ������ � ��� �����
.� ��� ��� 2 � ��� �������� �� ���� � � �� ������ '�1&�*� !��� �����
6 �� ��� ���� �6 A .� � ���� � �� ���� �� ��� ������� �������
��� ������� ������� � �� / � ���� �2 A �� �)�� 2/ A �� �)�� �/ A
* �� �)�� 26 A . � �� �)�� ��� E6/ F A E2/ F 8 E26F A * � * ���)��� � �
��� ��� �� �� ���� � ������� �� ���� ��� ����� . �� ���� .� � ���
������ ����� � E6/ F 8 . A E�/ F � ���� � � * �� �)� A ' � ' �� �)�� 3��� � �
��� ������ ��� ���� ��� ����� �� �)� ���� ���� .� �
�� � ����� * ������ ����� ��� ���������� ����� ������� �� � � ����� ���
������� �� ������ ��.'� 3����� �� ���� �� ��� ��� ������� ��� ��������
���������� ��������� ��� ��������� #���� ����� ���� ��� ��� �������
� � ���������� � ��� ����� ��� " ����� �� � ��������� �� ���� ���
���� �� ������ �������� ��� � ����� � #���� ��������� �� � ��������� ����
��� �������� �� ��� ������ �� ��� ������
�������� � ������� ������� ������� ��� � ���� �� ������ � ����
� � ����� �� �� ��� ��������� �� � ��� � ������ ��� ����� .� �����
� �
*��
' � ��
�
* � ' � ��
�
� A*� �
*� �A
� �
� �A
�"���
�
�)9�� *�"
A.,9� ���
�
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
� � �� B � B � � �� � ������� � ��� � � !��� ������� ��� � ��� �� �
� � � � � ��
�� ���� �� � � M� ���� ������� �� ������� � ��� ��� ��� ����� ����� ��
� A � � �� � � � �� ��� � A )� .*� *'� ',� ��� 1)� @���� ��� ��������� � �� �
����� ������� �� � ��� �� �������� � �� ���������� �� �< ��� �
���������� ������ 4� �� ��� � � �� ��������� ���� ��� ����� � ��
��� .9 <��
������ !���� � A ��� � A * � !�������� �
� A � A �� ��
�������� ���� ������� ���������� �����
� � � �� ��
� �
� *�(1,9G)* *�(1,9G)*
) ��9999999 9�')'.9.)
.* ��.9(,*,( 9�.91().,
*' ��.�*)*,) 9�9*G9�.�
', ��.�1�(9* 9�99)G�)9
1) ��.'.9�*9 9�99.),*G
� � �
).'' ��.'.(1*( 9�999999'
�����= ��� ������ ��#����� �""" ��� �� �������� ����������� @���
����� ��������� � ������ ���� ����� ��� �������� ����� �� � � �� ����
�
� � �� ��� � A ).''� ��
�
�������� � ������� � ����� � ��� ������ � ��� ����� " � � �����
� ��� ������� � �������� � �� � ������ � ��� ������ � ��� �����
� � ��� ������������� �� � ������� � ���� � �� � ����� �� ��� ���
�� � ������� � � L�� + � ��� ����� �� � � 3�� ����� ���� ��� ������
� � �� ��� + ��� 6����� �� ��� ������ ������� � ��� �����7 ��� ����
����� �� ��� ������������� �� � �� *�� � �� 6����� ������� �� � �������
�� � �7 ��� ����� ������� ������ �� ��� ������� @��� ������� � � ��
��� ����� E� �����F ���� ��� ����� ������� � �� �<
������ L�� � A �� �+ � ����
�
� ������ �� ��� ����� �� ��� �������� E.,9��� � F N� � � ����� ��
���� 0 � A �9�� ��� ������ ����� " � � ��� �1(1 ����� � � � A
E� N �)9�F O*� " A � �� " �� *9G� ����� ��
���
�� ��� A�� �
�� �� ��� A
�� � �� �
��
�� ��� A�� �
�� �� ��� A
�� � �� �
�� �
��� ��� ���
��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��
16:43 30 Oct 99
�� � ����� ' ������ ��� ��� ��� �������� �� �������� �������������
" ����� , ��� ��� � ����� �� ������ (�.. ����� ��� � $��� ��������
!���� ������������������ � �������� �������� � ��������������
��� � ����� � �� �� � ����� � � �� ����������� ��� � ����� ������� ��
������ � � ��� �� ����� � ��� �� � ���� ������ ��������� ��� �
��������� � ����� ������ �� M��� �������� ��� ��� ���� ��� ������ ����
����� ���� ����� ���� ��� �������� �� � � ��� ����� ��� ���� ������ ��
�� E��������������;������� ����� �� � ������������ � ;���������
���� ����� ������� ��� �� ��� �� ����� ������ ��������� � � ������ ����
����� �����F ���� �� ������� �������� �� ��� ����� �������� �� ����
�� ��� ������ ��� ����� �� ���� ��� �� ����� ������ ���� ��� ���� �� ����
������� ������ �� ���� �������� �������� �� ��� ������ �� ���� ���
������� ��� ������ �� �� ����� ������ ��������� ���� ��� ��� ���� ����
����� ������ ���������� ��� ������ ������
������� ����� � � � � ��� � �� � ���� ������ �������� ��� � � 3��
��� ������ ��� ����� ����� ��� ����������� ����� ������ ��� �� ����
�� � ��� �������� ����� ������ � ��� ��� �� �� ��� ����� ����
��� ��� �� ���� ��� ��� ���� ���� ����� ��� ������ � ����� �� �������
���� ��� ���� ��� �������� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ����� �������� � �
E��� � �� ����� �� �� �� ���� ����� ��� ���������� 3�� ��� �� ����
�������� �������� �� ������ ���� ����F � �������� �������� ���� ��
� ����������0
��� ��� ���� A ��� � A ��� A ��� �
� � �
" ����� ' ������� �#������ ��� ���� ���������� �� � ���� ��������
�������� ��� ��� A 19��
�������� �� D���� ���� �� ��� ����� �������� ����� ��� �� � A �� ���
�������� � ����� ���� ���� �� � ����� '�(�' �� �� �� �� ���� ��� �����
�� ���� ���� �� �� ��� ����� ��� ��������� ��� ��������0 3�����
���� � ����� '���' ��������
������ 5����� ��� ������ ����� � � � !��� ��� ���� 2 �� ���
������������� �� ����� ��� ������� � ��� ��� ���� � �� ��� �������������
�� ������� 2 � 2� � ����� '���'� � !��� ��2� � ��� ���
����� A �2 N�� � !��� ���� � ��� ��� �� N� A �� � !��� ��2� � ���
��� �2 N� A �� � � ���� �#������ ������ ����� A �� � N�� � 3�� ���
������ ����� A �� � N �� ���������
� � 5 � �
*� �
*�"�" � A � �" A � � � � 8 � � �
�� ��������� ����� ��� ���� ��
��� 3�� ��� ������� ���- >������ ���
16:43 30 Oct 99
!��� ���� � ��� ��� �� A �� N� � !��� ���2 � ��� ��� �� N�2 A
�� � � !��� ��2� � ��� ��� �2 N� A �� � � ���� �#������ ������
�� � A �� � �� � EVF
!��� ��2� � ��� ��� ����� A �2 N�� � !��� ���� � ��� ��� �� N� A
�� � !��� ���2 � ��� ��� �2 N�2 A �� � � ���� �#������ ������
�� ��� A �� � �� � N �� � 3�� ��� ������ ����� A �� � �� � N ��
���������
!��� �#������ EVF ��� ��� ���� �#������ �������� �� ��� �������� ��
��� � ����� ��� ��� ����� ������ ��� ����� �� ��� ����� �� �������������
���� ���� �� ��� ��������� ��� �
" ����� ( �� G������� ���������� � ������ ��� ��� ������ ���� �� ���������
����� ��� ������ ?� � ������� ���� �� ��� ��� ������ ���+ ���
���� �������� ���� ��� ������ ������ �� ������� �� 3����� ������ ������
������� ���� ����� ���� ��� ������ ��� ��� ����� ���� ��� ������
2�� ������ ���� �� ���������� �������� ���� ��������� ���������� ��� ������
����� ��� ��� ������ � ������� ��������� ��� ���� �� �� ������ ���
� ��� �� ��������
�������� �� 3�� ��� 6������7 ��� ������ ���� �� � �������� �� ���� � �� ���
����� @������� ��� ������ ���� �� �� ����� � ��� ��� � ��� ���� �����
5����� ������� ��� ���� ������ ���� �� ���� �� ��� �� ����� � ���
�������� � �
������ ��� ����������� ���� ������ ���� � ��������� ��� ���� ������
*� � ��� � � � �� ��� � *� �� � ��� ������� ���� ������ ���� � ��������
����� ��� ����� " A ��� ��� ������ *� � � � �� ��� �
�
��������� ������� ���� �� �� ����� ������ ��� �������� �� � �������
��� ������ � ��� ����� � ���� ���� ���� ������ ���� ������� ���
��� � �� ��� �������� ���������� 6 ���7 ���� ����� ����� ������
� �� � ���� � ����� ������� ��� �� �� ��� ������ �� ��� ������������� �
���������� �������� ���� � � � � ���� ����� ����� �� ����� ���� �����
���� � ����� ������� ��� ��� � ��� ������ ���� � �� ��� ������ ����
�� ������� � �� � A � � �� � ����� � A '� � � �������� ��� ����� �� ���� � � �
�� ����� ������� ��� �������� � ��� ��� �� �� ������� ��������
�������� �� D����� ������ �������� ��� ��� �������� /��� ��� �� ���-
������� �� � ��� � ��� �� ��� ���������� �� ��� ������ �� �� �����
�
�� � � E� � � F
�
�� � �
A�
�
� � �
�A
�
�. �
�
�
�
�. �
�
�
��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��
�� : �G� : ���# ������� = �� : �G�� : ���# ��������
16:43 30 Oct 99
�� ������ �#��� ������ ��������� ���� ��� ������ ���� �� ��� �� ����-��
����� ����� ������� �� � ������ ��� �� ��� ������ ���� ������� ��� � �����
������ �� ��� ����� ��� � ��� � 8 � � ���� ��� ������ �� ��� ������
����� ��� �� ����� � � �� E� 8 �F � � �� � �� �� � ��� ����� � � �
'� � � 8 '� �� 8 � �� � � �� � ����� � �� '� � 8 '� � E� 8 � � �F � � �� � � � � � �
��������� %���� ��� ����� ���� ��� ��������� '� � � � � ����� ��
'� � � ��
�������� �� ��� �� 5����� � ������� ��� ��� ������ ���� �� � ��� �� � �����
��� ����� � ������ � � ����� �� ������� � B � ���� �� �������
��� � 5����� � ������� ��� ��� ������ ���� �� ��� ������ �� � �����
����� �� �������� ����� �� ������� � ��� � 8 � B � ���� �� �������
��� � ��� ���� �� @������� � ��������� �� � �������� ���� � ����
����� �������� '.�? ��� '(�? ��� ��������� .9'���@ ��� ...���@� @���� �� ����< 3�� ��� ���� ��� ����� � � ����� ��� �����
� A �1(1 ������
��� �� ��������� ��� ������������ ����� @������ �� ��� ����� ��
���� ��� ���� � ����� ��� ��� ������ ������ � @�������� �� ���
������ *� ������� @���� �� ����< @�� ����� ���� ���� ����� � �����
��� ��� �������� ������ �� � ��������� ���<
������ ���� !� ������� � ���� ��� ��� �� ��� ������ �� ��� ������
���� ��� ���� ��� �� ������ � � �� E� � � F� � 2� ��� ������� �� � ��-� � �
��� '�,�'� ��� ������ �� ��� ������ � �������� �� ��� ��� ���� �
� �� � � � � � 8 � �� � 8 � �� E� � � F � A � �� � E � � �F �� � � � � � � � � �
��� ����� �� ��� ������ �� � �� ���� �� ��� ����� �
�
��� ����� � ��� ��� � ��� ����� �� ��� ������ ���� �� ��� ��� ��� ���
������ � ��� ���� ���� ����� �
E'� � F A *� � � *� �� �� �
���� #� ��� ��#����� ���� � ��� ���������� �� ��� ���� �� ��� �� �������
� ��� � 8 � � � ��� J*� � � *� ��K � J*� � � *� � E� 8 �FK A *� �� �� �
���� -� "#������ � A � �� '.� ��� � 8 � A � �� '(� ��������� � A
� E�� '(�� �� '.�F � � @������� ���� �
...��� � .9'���
�)9�
�� '.� � �� �G�
�� '(� � �� '.�
���
�)9�� '� � � A
���
19�� � � �
��� 8��� 8���
19�� � � � A T � '� � � 8 * � � ���
� � ��� A��� 8��� 8���
.,9�� . � � � �
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
Concepts%����������� ������� ������ ��������� ���� 6��� ��� �� ��� �� ���
#������ �������� ���� 6��
E*� � FE�� '(�� �� '.�F �� 1G�G(9 �� �� �
���� .� ��������� �
E@������� ����F �� .9��199 �� �O�
���� ���� ������ ������ � ��� ����� ��� ����� ���� � ����� � ����� ���
������� ����� ��������� ����� � ����� ��� �������� ��� �������� ��
�������� ��� ���������� �
�������� �� ������� � �������� ���� �� � ����� � ��� ������ �
��� ����� � � D���� ��� ��� ��� �������� ��� ����� �� �� �����
������ ���� ������ �� ���� ���� ������ ������ ������ ��� � ���� � ��� ���
���� ������� ��� �� � @���� �� ����� �� ���� �� ��� ��� �< 3�� ����
������ ��� � ��� � ���� ��������� &�� ���� ��� �� �� ��� ���� ��
���� ����� ���� � ���� ���� �� ��� ����� ��� ���� ��� ���� �� ��������
���� � 5����� � ������� ��� ��� ���� �� ��� �������� �������� �� ���� ��
� ��� ��� �� � �� ��� ������ �� �� ������ !������� ����� ���� .,9� B� B ('9�� ���� ���#������� ��������� ��� ����� �� ������� ��� �������
������ 2� � ������ �� ��� ����� ������ � ������ ������ �� � �����
��� ��� ������ ���� ��� �� �� ��� ����� ���� � ���� ��� ������ ��� ����
��� �������� ���������� ��� � ���� �� ����
�
����������
!������� .,9� B� B ('9� ����� ��� ���� ��� � ������� ��� �� ����
���� �� � ���������� �
4.10 Exercises on coordinate geometry
���� ��������� ����� � ���� �� ��
��� ������ $���� ��� �����# ,��5�. �� � ������� �����
16:43 30 Oct 99
" �����. �� ) ��������� � ������� ���������� �����-���������� ����������
��������� &������ ����� ������ �������� � ���� ��� �� �������� ������� ���
������ ������������ ������ �� ��� �������� ������� �� ������� �� 4����
����� ��� � ��� �� ��� �� ��� ����� � ���� ������� � �� �����
�������� �)����� �� �� ��� ����� �)���� �� ����� �������� �)�����
�� � � " ����� G ����� ��� ���� �� ����� ��������� !�� ��� ���� ���� ���
����� �� ��� ������ ��� �������� ������%�� �� ������� � ��� ������
���� �� ��� ���� �� ������ �#������� 3�� ��� ��� ��� �� ������ �
������� �������� �������� �� �� !�� ���� ���� �� ���� � ������ ��� �������
����� � ��� ������������ ������ �� ������ ��� ������� ������ � �����
�� ���������� ��� ����� �� �� ��� �������� ����
H�������� ��� ����������� ���������� ���� ��� ���� ������� ���� ������
������ ����������� ���$���� ���� ����� �� ������������ � ��� � ���-
�������� ��������� �������� � ���� ��� ��� � ���� ����� �� ������������
�� ����������� �� ��� ���������� ���� ���� ���� ���� �������� � ����
��� ��� �� ���� ��� �&��� ��� ��� ��� ��������� �� ���� ������ ���� ���
������ ������ ����������� ��� ����� "����� ������� ������ ���� ���
������ ���� ���� � ��� ��� �� �� ��� ��������� @���� ���� �������������
��������� ���� ���� ���� � ��� � ����� ��� ��������� ���������� ���
� ������� ����� ��� ��� ����� ����� �� ������ �� ��� ���������� �������
!������� ������� ���� ���� ��� ����� �� ����� ��� ������ ������������� ��
�� ������ ��� ��� �� ������� 3�� ���� � ��������� � ��� ��������� ����
��� ��� ������ ���� 4����� ���� ��� ������ �� ����������� ���� �����
������ ���� $������� �� ����������� �������� ������������� ���� ����� �����
������� �� ������ �� ��� ����� ���� ���������� ������ ������ �� ������������
���� ��� ����� ���� ���������� ��� ��� �� �� �� � ��� ������� �� ������������
���� ��� �� ��� ���� ��� ������ �������� ��� �� ����������� � �������
���� ���� ��� ��� � ��� ���� �� ������ �#������� ������ ���#�����
3�� ����� ����� ����� ��� ��� ����������� ������#�� ����� �� ��
������� � ��� ����������������� � ������ � �������� ��� ���������
� ���#�� �������� ��� ��� � ������ ���������� ���� ������� �� ���� ��
���������� M� ���� �� ��� ���� ����
&������� �� � ����� �� ������ ��� ������� ��� ��� �� ���� ����
���������� ������ ������� ��������� �� ������� ��� ����� ���������
��� �� ��� ����������� ������#�� $�� ���������� ��� ������� ���
����� �� �� ������ �� ������ (�)� ��� �� � ����� (�..��� ������ � �������
�� �� ���� �� ��������� ���� �����
�������� �� 5���� � �� ������ ���������� �������������� ��� ��� ��������
���� !�� ���� ��� ������ ��� ������ ���� ��� ��� ����� ��� ��� ��� �������
��������� ���������;�������������� ��������� ��� ���� ������������
�� ��
���
7 8 8�
�
8 7 8�
�
8 8 7�
�
�7 �7 �7 �7
���
7 8 8�
�
8 7 8�
�
8 8 7�
�
�7 �7 �7 �7
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
�� �������� ��� ��� ��� �� ����� ���� D������ �� � ����� �� ���� ����
�� �� ���� ��������� ������ ��� ������ ���� ������� ��� ����� ���
���(0 �&�� �������� � ���
.� ����� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� ������� � +
*� ����� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� +
�� ����� � �A ��� � � � � � � � � � � � ����� + �� ���
� ����� � C 9 + N� A � +
'� ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� ���������+
(� ����� ������� ��������� � � � � � � � � ������� ��� ����� ���
����� �����+
)� ������������ ����� �� �" � � � � ����� + �� �������������
� "+ +
G� ���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� ��������+
,� ������������ ����� �� �" � � � � ����� � " �
��������0 � � ���� ������ ����� � ������� ��� ��� G� ��� ��� ���������
����� ���� ����� ��� � ����������� ����������� ����� ������� �� ���
�������������� ��� �������� � � ��� ��� �� ����������������� � ������
���� �� � �������+ ��������� ��� ����� ��� ����� ������� ���������
��� � ��������
�� � �������' +���� ������ ��� �� � � � ������� �� ����������� �����
����� �7 �� ���� �� ����� ������� � ��� ��� �� � � �� ������ ����' ��� �����
������ �� ������ .��� �� ��� ��� ���� 9� � � � � � � � : $��� ����� ����
���� �� �������'
��� �����' �� ��� ������ �� ������� �����4� ���(��� ������ � ��
���� � ���� ��� � � ; � $��� � ; ��� �� � � ' ���� ��$ � � �� ������� �
�
���� �� �������� ����� � �� � ' ���� � � � � ; 8 ��� ����� � ' %����
�
�������� �� ����� ���� �"������ ���� ��� �� ���(��� ��$ � � �� ������ �����
���� ��� ����� ����� ������� �� � � ���������� ���(��� ��$ � �� ������ �����
���� ��� � � ; � ��� ����� � ' ������ ��� ���� �"������ � � � � ; 8 ��� �
�
�������� �"������� �� ���< � � 9� � � � � � � � : ; � = �� ��� �� ���(����
�������� .��� �� ��� ���� ���� �� �������'
���� �' ��� ���� ������ �� ��� ����� �� �� ��� ������ $��� ��� ������
�� ��� ���� ���� ����$��� ��� ������� ��� ���� �� ������$��� ����� ��������
> � � � � � � � � ?� ������� � �
; � � � �; 8 ; 8'�
��
���� ��������� ����� � ���� �� ��
16:43 30 Oct 99
������ 4��� ��� ������� ���������+ ��� ��� ������� � ������
.� M� ��� ������� ������� � A �� � � �*� M� ���������� �#������ + A 8 E� � F� ��� ��� ����� + �� �
�� M� + � �� E*F0 + A �+ � � A �E� � F� � A �� � ��� � A E� F��� AE� F� �
'� D���� �� �+ ��� ��������� $�� �� ��� � A �� + A 8 E� � F�
��� ��� ����� � � �� � �A � ��������� ��� � � �Z. ������ �����
�� ��������� ������ �� �� � ������� � � ���� ��� � �A ) ���� ��� �
� A E� � ) F NE � � ) F � ��� ����� ��� ��������� $�� �� ��� � A ) 8� � � � � �
E � � ) F� ���� ��� 0 �A �� �
(� H���� ������� ��������� �� �+ � ���� � � �� E'F� ���� �� � �� +
� ����� ��� ����� ��� � C .� � B 9� �� 9 B � B .�
)� 3�� ���� + � � A " � � � + A � � 8 " �
G� D���� �� �" �+ ��� �������� $�� �� ��� ��� J� � � "� + �K A 9� �
�� EGF�
,� &������� EGF � � ������ �#������ ��� ��� ����� + �� ����� � " � �
�������� � �������� � ����� . ��� ��� �������� ���� ���� ����
��������� ��� ������ �� ��� ��� ��� �� � ����� .�
���(0 �&�� �������� � ���
1� ���� � ��� � � � � � � � � � � � � � ������ � A � +
.9� ���� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� ������������
��������� �� �����������+
..� ����������� ���� � �A � � � � � � ��� ����� � �� � +
.*� ����� � ��� �� ���� � � � � � � � ��� �������� �� � ������� � +
.�� ����� � ��� �� ���� � � � � � � � ��� ����� ������� � ��� � +
.'� ����������� �� ��������
���� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� ������ ������
������ 4��� ��� ������� ���������+ ��� ��� ������� � ������
1� M� ��� ���������� �#������ �� ���� ������� ����� �� �� � ���
+ � , �� � � M� E'F �� ��������� ������ �� �+ ��� �� �, ���
��������� �������
.9� !��� ������� ����� �� �� � ��� + �, �� � � ��� ���� �������� $��
�� ��� ����� � �� ����� � ��� � ��� ���� 8 E� � F� A
, 8 E+ � , F� � ���� E� � F� 8 E, � + F� A , � � ������� ��� � �
�Z* ������ ����� �� �� �� � �������� ���� � ��� � ��������� �� ����
�� EGF �� ��������� ������ �� �+ �, ��� ��������� �� �� ���� �
��� � ��� ���������
..� �������� ��� ��������� �� E.9F �� ���� ��� ������� �� ��� ������ �����
.*� �� � �� ���������� �#������ + A 8 "� � ���� ���� + A � 8 "� � ���
�������� �� � ������� � �
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
.�� !��� ������� ����� �" �� � � ���� �� E,F �� ���� � ������ �#������
��� ��� ����� � " �
.'� �� � ��� � ��������� �� E..F �� ���� � A � �� � � !��� ����� �" �A� �� � ��� � � �� � � � � ���� ������� ����� �� �� � ��� ��� �����
" �� � � M� E,F �� ���� � ������ �#������ ��� ��� ����� � " � �
�������� � �������� � ����� . ��� * ��� ��� �������� ���� ����
���� ��������� ��� ������ �� ��� ��� ������� ����
���(0 �&�� �������� � ���
.(� ����� � ��� � � � � � � � � � � � � ������ � A � +
.)� ����� � �A � � � � � � � � � � � � � � � ������ ���� ��������+
.G� ����������� ����� � �A � � � � � ��� ���� � �� � +
.,� � ���� ��� � ����� � � � � � � � � � � ������ ������� ���������
������������ �� ��������+
.1� ���� � �����������
����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� � �� � +
*9� ����� � ��� �� ����� � � � � � � ��� ����� � � � ������� � +
*.� ���� � �������� �� ����� � � � � ��� ����� � � � ������� � �
������ 4��� ��� ������� ���������+ ��� ��� ������� � ������
.(� &����� � ��� � ���� ������ �#������ � + A � ��� � + A � � !���� �
������ �� ��� � � �� ������ ���� ���� � ��� � � ��������� ������
�� ��� �� � ��� ����� ��� �#��� $�� �� ��� ��� �� � � ��� � � � �
����� �������� �� ��� ������ M� ��� ������#�� �� E'F �� ��������� �����
.)� ��� ������ �#������ �� ������� ����� � �� E.(F ���� � *Z� ������
����� ��� ����� �������� �� ��� ���� �� � ��������
.G� �������� E.)F �� ���� ��� �������� � ����� �� ���� �� � ����������
��� � ������ ��������� ���������� �#������ ��� ��� �����������
�����
.,� D���� + ������ �� � ��� � ����� ����� ���������� ��� ������
�#������ + A � 8 � ��� � + A � � ���� �� � � 8 � � A � � ��-� � �
����� ��� � � ������ �#������ ��� � � �� �� �� �� �������� ���� � � ��
�� �� �� ���� ���� � ��� � ��� ������������ �� �� �� ���������� �����
������� ���������
.1� �������� E.,F �� ������� ��� ��������
*9� �� � �� ������ �#������ � + A � � ���� � �� �#������ � + A � ���� �
��� ����� � � �������� � A � � ��
*.� !��� � ����� � �� � ��� ����� E*9F� �
�������� �� �������� � ����� . �� � ��� ��� �������� ���� ���� ����
��������� ��� ������ �� ��� ��� ������� ����
��+
���� ��������� ����� � ���� �� ��
16:43 30 Oct 99
���(0 �&�� �������� � ���
**� ����������� ���� � �A � � � � � � ������ � � +*�� ����� � ��� �� ���� � � � � � � � ��� ���� ( � ������� � +
*'� ����� � �� ���� � �� � � � � � � � ��� ���� ( � ������� �
����� � �� � +
*(� �� ����������� ���� ���
����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� +*)� ����� � ��� ���� � � � � � � � � � ��� ����� � � ������� � +
*G� ����� � ��� ����� � � � � � � � � ��� ���� ( � ������� � +
*,� ����� � �A � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� +*1� ���� ��� ����� � � �
��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ����� � � ������� � +�
�9� ����������� ���� � �A � � � � � � ��� ���� ( � � � +�.� ����������� ���� � � � � � � � � � ��� ���� ( � � � �
������ 4��� ��� ������� ���������+ ��� ��� ������� � ������
**� ����������� ���� ��� ���������� �#������ + A � 8 "� ��� + A 8
�� ��� ������������� $�� �� ��� " � � ���� " � A 9��
*�� &����� � �� ���������� �#������ + A 8 "�� M� E.�F �� ���� �
������ �#������ : + A � ��� ��� ����� ������� � ��� � � �� + A � �� (�
���� : + A � ��� + � � " � ���� " + A " �� ������� ��� ��� ��� � �
�#������ � � *Z� ������ ����� &���� �� ��� + � ���� ���� ����������
�#������ ��� ( A �
*'� &����� � ��� ( ���� ���������� �#������ + A 8 "� ��� + A 8
�� ��� � �� ������ �#������ : + A � � ���� � " �: � � " � A 9� �
��� : � A 9� ������� ���� �� �#������ � � *Z� ������ ���� ����
���� �� ��� � �
*(� �� ���� + A � 8 � �������� ����� : + A �� ���� ������� ��������������
$�� �� ��� � � ����� �������� �� : � M� ��� ������#�� �� E'F ��
��������� ������ ����� ��
*)� �� � �� ���������� �#������ + A 8"� � ���� � �� ������ �#������
" + A � ��� ��� ����� � � �������� � A " ��� �
*G� �� � �� ������ �#������ " + A � � ���� ( �� ���������� �#�������
+ A � 8 "� �
*,� D���� ��� �#������ " + A � ��� � + A � ��� ������������� $�� ��� �
��� " � A 9��
*1� !��� � ����� � �� � �� ��� �� � � M� E*GF �� ���� ��� ���� ( �
������� � ��� E.1F �� ���� A � �� � ��� " A ( �� � � M� E,F �� ����
� A � " �
�9� M� E..F �� ���� A � �� � � !��� ����� ��" �A �� � � � � D���� +
�� ( ��� ����� E� � F E+ � F A 9 A E" � F E+ � F� ������� ����� �
�#������ � � *Z� ������ ����� ���� ��� ��� ���� ��� + � " ���
��� ������� �� ���� �� � ��������� �� ��� ���������� �#������
��� ( �
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
�.� &����� � ��� � ���� ���������� �#������ + A � 8 "� ��� + > ?
�� � ���� ( �������� � ��� � �� + A � 8 "� ��� , A 8 �� ���
��� ����� � ��� � � &���� + � , " �� ��� ����� ��� �����
�#������ " E"� � �� 8 � � F A 9 ��� � E"� � �� 8 � � F A 9�� �
������� ���� � � *Z* ������ ���� ��� ���� �� ��� � ��� � � �
�������� �� !��� ���������� ������� ��� ��� ������� �����
.� � ����� ��� � ����� '� � �������� ���� ��� ������
*� �� �������� ����� (� �� �������� ������
�� � ����� ��� � ������ )� �� ����������� �����
������ ���� !� ������� ����� � ��� ���� � ��� ���������� �#������
+ A 8 "� � !�� ��� ������� ���� � � ��� �� � � L�� + � ��� ����
�� ��� ������������� �� � ������� � � &���� " + � � � ��� ������������
� ����� ������ ��� �#������ 9 A " E+ � �F A " E 8 "� � �F � ������ �
� A " E� � F NE" "F � ��� ������� ���� � �� � � ���� �+ � � � A� �
� 8 "� � � � ��� ��� ����� �� � � ��� ������� ��� ����� ��� �����������
����� %��� ��� � � �� � �
���� #� ��� ������� ����� � ��� � ���� � � � � ����� � ��� ����
. �������0 � �� ���������� �#������ + A � 8 "� ��� ��� � � ��� ���
������� � ���� ���� � �� � �
���� -� ?� �� ����� ����� � �� ������ �#������ � + A � � L�� + ��
��� ���� �� ��� ������������� �� � ������� � � ���� + � � A �� ��� ���
����� � � ����� � A � E� 8 ��F A � � ? � �� � ��� � A E� � � � F NE� � F A� � � � �
E� � � � F N��� � ��� ������� ���� � �� � � ���� �+ � � � A ��� � A� �
�� ��� � A �� � � �� N�� � ��
���� .� ��� ������� ����� � ��� � ���� � � � ��� ���������� �#������
+ A � 8 "� � ����� � ��� ���� � ��������
���� 3� �� ����� � � � � ���� � �� ������ �#������ � + A � ��� ����
����� � � ��� ���� ��� ���������� �#������ + A �� �������� � ���
� �� ����� �� ��� �� ��� ���� � �� A � ��� � �� A � � ����� � A� �
� N E� � F A � N�� � ��� � A � N�� � � ��� ������� ����� � ��� � �� � �
��� � ��� A ��E� � �F� A �� ��� � �� A �� � �� N�� � ����� @� " ����� '� ��� E�.F ����� ������� ��� ��� ����������� + ���
, �� �� ����������� ���� ��� ����� ������ �������������� ��� �������
����� ��� ���� � �+ � , � � �
�������� �� ��� �� 4��� ��� ���� � ������ �#������ ��� � ����� � �� ������
����� � ���� �� ������ ���������� �#������<
��� � 4� �� ��� ���� ��� � ���� �� ������ ����� � ������ �#������
��� � <
�����5 ���� !� H���� ������ ���������� �#������ + A � 8 � 8 "�
��� � ����� � � ���� ������� ��� �#������ � A 9 ��� " � A 9 � �� �
��� � �
��
��
� ���
��
�
��� �
��� �
�
9
9
���
��
.
9
���
��
9
.
�� ��
���� ��������� ����� � ���� �� ��
16:43 30 Oct 99
*Z� ������ ���� ��� ���� �� ��� � � ���� � + A � � � � ������ �#������� �
��� � �
���� #� H���� � ������ �#������ � + A � ��� � ����� � � ������
� �> 9� E��� � �> 9 ��� � �> 9 ��� ������� ���������F ��� �#������� � �
���� � � 8 � � 8 � � A 9� U����� ��� � � .Z� ������ ����� ��� � � � � �
�������� � ����� ��������������� ���
���� + A 8 � 8 � � �
�������� �� " ����� ���� � ����� . �� ) ��� �������� ���� ������ �� �����
��������� ��� ������ �� ���� ��-���������� �������� ��������
������ 4��� ��� ��� ����������� ���� 3�� ��� ����� ��� �������
������� �� ������� � ������
���(0
�&�� �������� � ���
.� ����� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � ��� ������� � +
*� ����� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� +
�� ����� � �A ��� � ����� � C 9� � ����� " �� ���
�"N� A � +
'� ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� ���������+
(� ����� ������� ��������� ������ � � � � ���� ��� ��� ����� ���
�����+
)� ������������ ����� �� �"� � � � � � ����� + �� �������������
� "+ +
G� ���� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ � A � +
,� ���� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ���� ��������+
1� ����������� ���� � �A � � � � � � � � � � ��� ����� � �� � +.9� ����� � ��� �� ���� � � � � � � � � � � � � ��� ���� �������� �� �
������� � +
..� ����������� ���� � �A � � � � � � � � � � ������ � � +
.*� ����� � ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� ( � ������� � +
.�� � ����� ��� � ����� � � � � � � � � � � � � � � ��� ������� ����� ����+
.'� �������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ������� ����� ����+
.(� ���������� �#������ ��� ���� � � � � � ������ �#������ ��� � +
.)� � ������ �#������ ��� ���� � � � � � � � ���������� �#������ ��� �� �
��� ��� � ����� �� ��� ������� ���������� �� ��������� ���������� ���
��� �������� �� � ������������ �������� � ����� ��� �� ��� �������� �� ��� ������
�� ��������� ����� �� ����� �� ������� ����� � ��� ������� ����< ���
� "�
"�
� "�
�� ��������� ����� ��� ���� ��
16:43 30 Oct 99
��� ��� � �������� ���� ����� �������� ������ ��� ��� ����� ����
�������� ����
�������� �� &����� �� ������� ���� �� � ����������� � � 5�� ����� �����
�������� �� � ��� ����� ����� �� ���� ����<
������ &����� ���� ��� �� ����������� � A � "� � ���
� ����� + �������� �� � � ���� + ��� ����� � ��� � ����� , ��������
�� � "� � ��� , ��� ����� ��� � ����� $ �������� �� � �����
� �� ����� � � � � ��� 1 ����� 9 ��� . ��� ����
+ A � E. � �F 8 ,� �
, A E. � �F 8 $�5
$ A "E. � 1 F 8 �1 �
���� �#������ ������
+ A �E. � �F 8 � E. � �F 8 $���A �E. � �F 8 E. � �F� 8 $��
A �E. � �F 8 E. � �F� 8 �"E. � 1F 8 �1� ��A �E. � �F 8 E. � �F� 8 "E. � 1F�� 8 �1�� �
&�� � A . � ��� � A E. � �FN�� ��� A . � 1� � ���� �� �� ��� ��� �����
9 ��� .� / ����0
�� A . � �
E. � �F� A E. � �F�
E. � �F A E. � 1F��
E. � �FE. � F A ��1
+ A ��� 8 E. � �F� 8 "E. � �F 8 �E. � �FE. � F
A ��� 8 E. � �F�� 8 �" 8 �E. � F�E. � �F �
��� + ��� ����� ����� �� 8 E. � �F ��� " 8 �E. � F �������� ��
��� � �
��
17:26 30 Oct 99
Concepts�������� ������ �� ���� ������� ��� ������ �
���� ������ �������� ��� ������� ��������� �� ������� ��
����������
����������� �� ��� �� ��������
�� ������ ������ �� ��� �����
������� ������� ����� ���� ��� ���� ���� ���� �� ��� ��
������ �� � ���������� ������ ����� �� ��� ���� ��� ���
��������� ������ ���
����� � ���� ���� �����
������ �� ������� ������� ����
!���� ���� ������� �� ����� ����� �� ����� ��� ����
" ������ ��� � �����#� ����� �������
�������
����� �����
� �� ��������� ��
�������� ��� ������
��������
���� ������ ����� ������ ����� ��������� ������ �� ��� ������ ���� ��
��� ������� ������� ������� �������� ���� ������ ��� ������ �������
� ������ � �� �� ������� ����������� ��� ������ �������� ���� � ��������
�� ������ �� ������� ���������� ��������� ���� ��� ������� � ������
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
���� ������ ���� �������� �� ������� ������� ���� ���� � ��� �������
���� ������� ��� ����� �� �� ���� �� ��� ��� ������ ���� ����� ��
������� ��������� �� ����� ������ !����� ��� ���� ��� �������������
��������� �� ��� � �� ������� � ��� ����� � �� ��� ������� ���� �
������� ����� "�� �� �� ����� ��������� ���� � ��� ������� ������
� ������ #$ ���� �������� ��� ���������� �� �������� � �����%���
������ � ��� ����� �� ����� ���� �� �� ��� �����
&�� ������� ��������� ' �� ( �������� ��� ������ �� ��������) ��� �����
�������� ��� �� ���� ����� ������� ��������� *� �� *# �������� ���
���������� �� ��� ����������� ���� � ������� + � # � �������
����� � ������ ���� ,��� ����� ���������� ��� ���- ����� ��� �����
��������� ����� �� ��� ������ ����������� ������� ��� ���� �����
��������� .����� ����� �� ���������� */ �� +*� ������ ��� ������ �������
��� �� �������� ������������ �������� ��� ������ ������� ���� ��
��������� ����� ���������� �� ��������� �� ��������
��������� � ������ #��0 �������� ��� �� ������� ����� ��������
���� -�� ��� ��� � ���� ������ �� ���������� .����� �����%��� ����
����������������� ��������+��� � ��1� ���� ������ ����� �����
� ������� ������2�� � ������ 3� 4����� ��������� � ��� ������
������ ���� � ���� ����� �����%���� 5��� �� ��� �������������
���������� � ��������� � � * �� ������� ������ �� ��� ���� ����
�������� �������� "�� ����� %���-�� ���� �� �� ���� ���� ����������
�������� .����� ������ �� ���� �� ��� � �� �������� �� ������ ��������
��%���� ������� ���������� ��� ����� �� ������ ��� ����� �� ���
��������� 6��� ������� �� �������� ��������� � ���������� ���
�������� ����� ������� ��� � ���� ���� ���� ���-� !����� ������
�� ��� �� �� ���� ��� ���� �� ��� ���������� � ��� ��� ��� ���������� �����
������ ����� ����� �� &��������� �������� ��� ����� �� ���� �������
7��������������������������� ������� 8��� �������� ������
��� ������� ��������� ������ ������� ��� ������� ���� ������� ����
Basic exercises
��� ����� ��� ��������� � ���� ������ ��������� ��� ���� ���� ����� ����
������� ����� ��� ��� ��������� �� ������� � ��� �� �� ��� �������
. �������� ������� �� �������� �� ��� ������� ���� ������� ��� �������
���� ������� ���� ���� � ��(� ����� ���� ��������� ������ ������ �������
� ��' � ��/� �������� � ����� �� ����� ������� ���������� �� � ������
���� �������� �� ���� �� �������� �� �� �������� ���������� �� ������ ��
�������� �� 3������ � ����� ���� ���� ���� �������� ������ �
������ ������� 3������ ��� �������� ����� � �������)
$ $
$
$
$
+
$
$�����
�����
� � 0
� � �
�� � 0
0 � �
� � �
� � 0
0 � �
�� � 0
�
��
�� : �� �
�
��� : �
�
��
�� : �� �
�
��� : �
$ $
$
$
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
Figure 5.11.1�������� �
�
��
��� �
� ��
�
������� � � � � � � � � ������ � � � � � � � � � �
����������� � � � � ;��� ���� � � � � � � �
����������� � � � � ���������� � � � � � �
������ � � � � � � � !
,���� �� ����� � ������ ����� ���� ������ ���������� "���������) ���
;��� ���� �� � ����������
0�*'�
"�������� 4��� ���� � < � � ��� < +0�� ��� ��������� � <
*� < *� ���� � < �� =�������� �������� �� � < > �0?� ��� ����
��������� �� � < � � @� : � : �A < � � @+ : A� 4��� ��� ����������� �� � �
����� ������ �� ��� ������� �� ��� ���������� � < � � < � � @� : � A <�
> � � � � � ? � � < � � � < �� ��� ���������� �� ����� ������ �� ���� � �
������ �� ��� ����� ���� �� < � � ��� ������� �� � � �� ��� �� ���� ��
�� � �� �� � < � �� � < � �� � ��� �� � < � � �� < � � � �%���� � <� � � �
�� ������ � < � B� < � � @�� : A� ��� ������ ! < >� � �?� �%����� � <�
� @� � �A < � @� � �A ����� � < � B@� � �A < � � @+ � A � � < � B@� � �A <� � � ��
� � @� : A� ��� ��������� �������� � � � ����� ��� ���� ���� � � <�
��
>0� � ? � � < >� �0?� � ��� ���� �%������ �� �
< <
� < � < �
���� ��� � ��� ����� ����������� ��� ;��� ���� � � �� ������
< �
��� ������ � < �� � ���� ������ �� ��� �������� �%����� ������ ���
� < * � � ����� � < >�� * � ?��
>��00�0�*'?� C �������
������� � � � � � � � � � � � � � � � � > � � � � �?� �
����������� � � � � � � � � � � � � > � � � � �?� �
$ $
$
$
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
����������� � � � � � � � � � � � � �
������ � � � � � � � � � ! � � � � � � > � � @�� : A� � � @�� : A?� �
������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � @�� : A�
;��� ���� � � � � � � � � � � � � � >�� * � ?
���������� � � � � � � � � � � � � > 0�0? � �
�������� � ���� ���������� ������ ������ �� ����� ���������� ���
�������� ��� ��������� ������� ��� ���������� �� ������� �� � ����������
!�� �� �� �� ���� � ����� ������ ��������� ���� ���� ������ ��������
� ������� ���� �������� &�� ������� ��� ��������� ������ �����
�� ������ � ���� ��� ��� ���� �� ��� �������� �� �� ��� � ��� &�������
�������
��� ��� �������� ���� ��� ��� ����� ������� � ����� �������
C��� ����� ����� ������ ��������� ��� ��� ����� �������� ���� -�� ��� ���
�������� � ������ #��0� &�� � ������ ���� ������� 3����� ����
���� ������ ���� ��� ������� ���� � ������ �����*�
�������� � =���� ��� ���� ���������� ��������� � ����� ��������
��������� ���� ���� � ������ �����*�
"�������� ��� ���� �������� ��
�� < > � � � � � � � ?� �
� �
� � < > � � � � � � � ?� �
� �
� � < > � � @� : � A �0?�
� �
� ��� ����������� ��������� # � $ � � � �� ��� ����������� �����
��� � � � �%�����
# ) @� � � A : � < � : @ � � � A� �� � � �
* � � � *� � < � � �� � � �� �
$ ) * � � � *� � < � � �� � � �� �
� ) � < � � @� : � A ��
� �
�
� ��
� �
� �� �
�
Figure 5.11.2�������� *
� � ��
� � 0
D �� � ��
D �� � 0
� � ��
�
�� � *��
��
� � 0
� � ��
�� � ��
*� 0
0 � ��
�
� � ���
�� � ��
*��
�� *�� � �� ���
�� *�� � �� ���
* �� �� : �� � @�� : �� A
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
��� ���������� � < > �� �? �� # � $ E��� ������������ �� ��� �����
E�������� ��� ����� ��� �%������ ���� ����� ��������� *@� � � A� <� �
� � � � ����� �� �%������ �� � < � � @� : � A� ���������� � ���� � � )� � � �� � �
��� ���� ��������� ��������
��� ����� �������� � � � ��� ������ �� B� � �� B� � ����� � � �
��� ������� ���� � ������� � � � ��� � � � �%������ �
) � < @� B� A@� � � A ) � < @� B� A@� � � A �� � � � � � � �
����� ���������� < >� � �? �������� ��� �%���� @� B� A@� � � A <� � �
@� B� A@� � � A � ���� �@� � � A B� < 0� �� � < 0� ���������� ����� � � � � �
� ��� ������� ��� ������� � ) ��� �������� ��������
��� ����� � � � � � � ������� � � � � � � ������ �%������ � �
� ) <�
<
� � : @*� � � A � � � � < 0� � � � �
� ) � � : @*� � � A � � � � < 0� � � � � �
� ) <�
<
*� � : @� : � A � � @� : � A � < 0�� � � � � �
"� ������� ��1��*� ����� ���� ��� ����� ���� ������ ������� ��
������ �
��� < 0�
@��� ����� ��� �� ��� ��� �� ��� ����� ����A ����� ��� ����� �������� �
��� ��� ��������� ������� ������ ����� ����� �� ����� �������� ����
������ ��� ������� ��� ��� ������ �� ��� ��������� �� ��� �����������
!����� ��� �������� � ��� ������� � ��� �� �� ���� ������� ����
��������� �� ��� ��������� ������� �� ���� ���� ��� ������
�!�
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
������� �� ���� �� � ��� � �� � �� ������ ����������� ������� ������
17:26 30 Oct 99
Figure 5.11.3�������� +
�������� � =���� ��� ��� %��������� � ������ �����+� ������ ���� ���
����������� �� � ��� %����������� �� ��� ���� �� �������� �� �%����
"�������� ��� ������ �� ������� ���� � ��� ����� �� "� ��������
+�'��/� +�'��(� � ��� 4.4 �������� �������� ���� ������ �� ��� ����
������� � �� � ���� ����� ���� � � � .� ��� � ��� %������������ �
������ ��� ���� ���� �� �� �� ��� � � ���� ���� � ��� ������ ! � ����� �
���� ��� ���� � �� �� ��� ��������� � � �� ��� ����� ���� �
� $ ����� ��� � � � 8�� ��� �������� �� ������� � � ��� .4.�
�����ence theorem to show that the four segments are congruent.The diagonals of the quadrilateral of incenters are thus congruent, perpendicu-lar and bisect each other. Use the SAS theorem to show that it’s square. �1
��� ��� �������� �� ���������� ��� ������� F�� ��G
�������� �� ��� ������� ���� �� ����%�� ���� ������� �������� � �
� � � � ���� ��� ������������ � ����� % �< � � & �< � � � ' �< � � 4���
��� ��� ���� ���� �� �%&' �� ������ �� ����� �� ��� ������ ������� �
����� ������� �� ������� ���� ���� *�
� �
�
�
� ��
�
Figure 5.11S.1�������� # �������
���
�(
��
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
Figure 5.11S.2�������� � �������
�
�
� � � ���
�
� ��
"�������� C ������ ����4��� ����� �� ������ �� ������ ��/���
�%'� < �%�� < �)( �� ������� ��/��� 5�������� ( < (' �� ���� H H
��� ��/�*� �
�������� �� 4��� ��� ����� � � � � � � � ( � ������� ��/�� �� ���
� ������ � ����� ��������� �� � E��� ��� ��� ����� �� � � � �� �
����� ����������� �� ������������ "���������) ,���� ���� ��� ����
� �� � � ( �������� I�
"�������� J�� * ����� ��� ����������� � � ������ ����4�*� ���
���(*< � � ��%( < ����(< ������ "� ��� ��������� ������ ����������
(* < �* � �� * ���� � ��� ����������� �������� �� � C� ������� ���
* �� ��� ������� ��� 3������ � � ( ��� � ��� ������ � ���� �������
� � ��� ���� �� � � ( �� ����������� �� ��� ���� ��� � � �
�������� 1 �� �� �� �� ��%������� ��� ������ ������ �������
��������� � ���� ������� �� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ��� ������
��%����� � ��� ���� ���� ���������� �� ��� ��������
�������� � J�� � � � � � � �� ��� ������ �� ��� ����� �� ��� � � �
��� ���� ��������� � � 4��� ��� � � � > � : � : � > � ��
� � �
"�������� C ������ ��'��� �� : �� ? �� $ ��� ���
� �� : � �� ? � �� �
� �
4��������
� �� : � �� ? �� �
� �
� �� : � �� ? � �� �
� �
.���� ����� ����� ��%�������� ��� ���
� � @� : � : � A ? � : � : ��
� � �
� : � : � ? � � � �� � ��
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
.���� ��� > �� � : � ���$ ��� ���
� > � � � : � � � ��� �
4��������
� > � � � : � � ��� �
� > � � � : � � � ��� �
.���� ����� ����� ��%�������� ��� ���
� : � : � > � � �� � �
Exercises on tetrahedra
5��� �� ��� ��� ��������� ������� ������� � ���� ������ ��� �����
�������� ����� !�� � ������ ���� �� ����� ���� � ��� ����� �
�������� '� ������ � � ��� ��������� 8�������� ��� ����� ��������
�������� ��������� ���� ���� � ��� ���� ��� ������� C ����� �����
���� � �������� /� ��� ���� ���� �������$ ��� ���� � ��� ��� �������
�� ��� ��������� ������� ����� ��� ��������� ���� ���� ������� ����
��������� �� ��� ���� ��� ������� ���� ��� �������� ������ ��� ���
������� ����� ��� ���� ��� ������ ������� �� ������2� ������� �����
�������� ������������ ��������(� ��� ��� � ��������� �� ����������
���� �������� C�� ������� ���� ������� ������ ��������� ����� � ���
����� �� ������� ��(�* � � �������� #�1�1�
�������� �� C��� � ����� ����� �������� ���� �� ��� ���� ����������
��� ���������� � ����� �������� � ������ ������� � ������ ����
8�� �������� � ������� � ���� �� ������� � �������� 7���� ���
������� �� ��������� �� ��� ��������� ��� �������� �� ��� ������ � ���
�������� �� ��� �����
"�������� ��� ����������� ��������� � ��� ��������� �������� ���
������������� ����$ ������ ��� ����� � ������� ���� ���� �����
��� ��������� ���� � ��� ������������ � �������� �� ��� ���������) ���
������ �� ��� ������������� � ��������� �������� ���������� �� ���
������ �� ��� ������� �� ��� �������� ���� ���� �� ��� ������� ����
E��� �������� �� ��� ���������E � � �� ��� �� ���� ��� ������ �� ����
�������� ���� ��� ������� �� ��� ��� ����� ������� �� ��� ����� �������
���� �������� �� �������� ������ �
�������� �� ���� �������� �������� ����� �������� �������� ��������
4��� ��� ������� ���� �� ��������� ���� ��������� ��� �����
����� ��� ������� �� �� �������� ��� ��� ������ &����� ��� ��� ����
��������� ������� ������ �������� � ��������������
��� �
��(�
��(���)
��� ��)
���� �������� ��
� ����� ��� � � �� �� ����� �� ��� ����������� ��� � ���� ���� ! ��"#$ ������ #��
17:26 30 Oct 99
� ��
� �
� �
� � �
� ��
� �
� �
� � �
Figure 5.11.4 ��� ��������
���� �� &��� ������������ � ���� ���� �� ��) � � � �)���
� ��������� � �������� ��� �������� ���) � ��� �� �) � �
��������� �� ������ �����#� 4��� ��� ������� �������� ��� ��) �
����)�� � ��� ����� ��������� ���) � �� ���������� ���� ��
���� ���� �������������
���� � ���) �� ����� ������ �� ��� ���� �� � �� �� �������� 4���
��� ���) �� ������� �� � ��� �� ��� ���� ���� � ��� �����������
�� ��� �������� ���� ����
���� � 4��� ��� ��� ������� ���� �� ������� ��������� ��������
� ��� ����� ������������
���� �� 4��� ��� �� � ��� ���� �� ������� ���� �� ���������
��������� ��� ���� ��������
���� �� ��� ���������� �� ��� ���� ������� ���� �� ������� ���������
�� ����� ��� ����������� 4��� ��� ��� ����� ������������ �� ��� �����
���� �� �������� ����� �� ������� ��������� �������� � ��� �����������
"��������+���� , ��� -� ����� �� ������� ������ ��� ��� ����� ��� ��) ��
� �� �) �� ����� �� ���� ����� ��� ���� ����� ���������
+��� .� J�� ���) �� ������� ��������� ���� ��� ������)�� �
�� ��� ����������� �� ��� � �� �) � ������� ��� ������������ ���
����� ����������� ���� ��� � � � �� ���� � ������ �� � <
�� � < �) �� "� ��� @�A� � ��) � �� �� ��� ������� ��� ������� � �
4�������� ���� ��� � ��� ����� ������� �����
+��� /0 &�� ��� ������ 1� ��� ( ����� ��� ���������� �� ��� ��������
��� ���� ��� ������� ��� ������� 1� 4������ � ���� �
���� � ��� �� � ��) ��)�� �� �� � < ��)���)� � ����
�� ������ �� ��� ����������� �� � ����� �� ����� ����
�� �������� ���� �� ��� ����������� � ���� ����� ���) �� �����������
��(� ��(�
��)
��(�
��+ ��(� ��+ �+ �
��
�+ ��� ��)
!�2� �
�
!�2� �
�1�1
�1�1
�
1�1�
�
1�1�
�
1�1�
�
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
���� ����� ���� �� �������� C� ����� ��� �� ������� ���� ����� ���
����� ��� �� �������� ���� �� � �� �������� �� �� ��� ���� ���
+��� �� ���� � ��) � ��� � ���� � �)� �
�� � ����� ���� �� ����� ��� ��� �� ������� �� ���� ���� ���� �
���� + � < ��)���)� � ��� �� ��� ���������� ��
�+�� ������ � � � � ���� � � ��� ���
���� � ��� ����� ����������� �� � � �
�������� �� F�������� ��� �%������� �� ��� �������� ����� ����������
�� ��������� � )
@A ��� �������� �� ��� ���� �� � �� ���� � �����
@�A ������� ������ ���� �� �� ����� �� � �
@� A ��� ���� �� ��� ������ �� ��� ����� ���� �� �������� ����� ��
� �� �%���
"�������� J�� � �� � � ! �� ! ����� ��� �������� � �������� � � �
�� ��� ���� �������� �������� 1 �� 1 �� �
.����� @A� �� ��� ��� � � � ����� � ���� 2 � 4��� � � �
� ��� � � # � $ � � � �� �������� ! 2 ! � � ��� � �
������������ � � � ������� ! � ! �� ���� 11 1 � � � � �
11 1 ��� � ��� ! 2 ! � ��������� � � �������� � ���� � �� � � � �
��� ����� �� ������ � ���� �� �� ���� ���� ������ �������� �
7���� ��� ������ ���� �������� ��� � � # �� ���� ��� � �
�� ��� ����� ���� @A ������� @�A�
3������ @�A ��������� ������� @A� ��� ��� ���� �� �� ���� ��� @A
������� @�A� .����� @A� ���
1 2 < 2 1 2 1 < 1 2� �� �� � �� � � ��
1 2 < 2 1 2 1 < 1 2� �� �� � �� � � ��
1 1 : 1 1 < 1 2 : 2 1 : 1 2 : 2 1� � � � � �� �� � � �� �� �
< 1 2 : 2 1 : 1 2 : 2 1� �� �� � � �� �� �
< 1 1 : 1 1 �� � � �
4�������� ���� ��� �%��� 1 1 : 1 1 � ����� @A ������� @�A�� � � �
��� ��� ���� �� �� ���� ��� @�A ������� @A� 4������ � �������
� ���� + � ���� ��������� �� ��� �� ��� ���� ���� �� ��� � �
@1 �� 1 A � @1 �� 1 A � @1 �� 1 A � � @1 �� 1 A �� �� ��������� ;��� � � � � � � �
����� @�A� �� ���
@1 �� + A : @+ �� + A : @+ �� 1 A� ��� ��� ��� ��� �
: @1 �� + A : @+ �� + A : @+ �� 1 A� ��� ��� ��� ��� �
< @1 �� 1 A : @1 �� 1 A� � � �
< @1 �� 1 A : @1 �� 1 A� � � �
1�1�
�
� ��� �
� � ��� �
� � ��) �
) � ���
� ��)
) ���
� ���
� �� �
��� �)� �
��
� ��� �
� � ��� �
� � ��) �
) � ���
� ��)
) ���
� ���
� �� �
� ��� �
� � ��� �
� � ��) �
) � ���
� �� %
% �� ��� �� %
% ���
� ��)
) ���
� ���
� �� �
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
< @1 �� + A : @+ �� + A : @+ : 1 A� ��� ��� ��� ��� �
: @1 �� + A : @+ �� + A : @+ �� 1 A �� ��� ��� ��� ��� �
4��� @1 �� + A < @+ : + A : @+ �� 1 A �� ��� ��� ��� ��� �
@+ �� + A : @+ �� 1 A : @1 �� + A��� ��� ��� � � ���
: @+ �� + A : @+ �� 1 A��� ��� ��� �
< @1 �� + A : @+ �� + A : @+ �� 1 A : @1 �� + A �� ��� ��� ��� ��� � � ���
5�������� @1 �� + A < @+ �� + A : @+ �� 1 A < @+ �� 1 A � ��� ��� ��� ��� ��� � ��� �
@+ �� + A : @+ �� 1 A : @+ �� + A : @+ �� 1 A��� ��� ��� � ��� ��� ��� �
< @1 �� + A : @1 �� + A �� ��� � ���
@+ �� 1 A : @+ �� 1 A < @1 �� + A : @1 �� + A ���� � ��� � � ��� � ���
"��
@+ �� 1 A < @+ �� 1 A @+ �� 1 A < @1 �� + A��� � ��� � ��� � � ���
@1 �� + A < @+ �� 1 A @1 �� + A < @1 �� + A �� ��� ��� � � ��� � ���
��
@+ �� 1 A : @1 �� + A < @+ �� 1 A : @1 �� + A��� � � ��� ��� � � ���
@+ �� 1 A : @1 �� + A : @1 �� + A : @+ �� 1 A < 0��� � � ��� � ��� ��� �
*@+ �� + A < 0���� ���
��������� + < + E��� ��� � � � ����� � ��� ��� �������� ��� � �
!�� � ������ ��� ����� ����� ������� ��� ��� ��� ����������
@�A ������� @A� �
Exercises on Menelaus’, Desargues’,Ceva’s, and Feuerbach’s theorems
��������� ���� ���� ����� ������ ��������� �� � �� �������� �� ����
������� ������� ���� �� ������� �������� �� ������ ����� � ������
������ .����� ������ �� ������� ���� ���� ������ �������� �0 ������
5������ ������� �� %����������� 3 ��� ������2� �� �� ���� �������
���� ���� �� ���� ��������I
�������� ��� .���� ����� �� ��� ���� � ������ ������� � ����� �� ��� ��������
�������� =���� ���
< ��
"�������� J�� % <��
� ���� ���� �� � ���
< < @��A@��A < �� �
��� ��� ���
� �� '
' ���
� �� %
% ���
� �� &
& �� �< �
��
���
��
���
��
��
��) ��� ��(
��� ��( ��� �() ���
�)�
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
%�&���� ���' ���(� � ���# ����� � ���� �� ���� ��)������� ������$ ��� �� � ������
� ��� ���� �������� �� �������� �� * ������ ����� �� )������� �������
17:26 30 Oct 99
��
�
� �
� � �
�
Figure 5.11.5�������� �0
�������� ��� . ���������� �� ��� ������� ����� ����� �� ��� �������
������� �� ����� ����� �������� �������� ������ �� ��� ������� ��� � ��� ���
���� �� ���� ������ � ����� �������� �������� ������ �� ������� �
�������� ����� �� ���� ������ 3������ ����� �������� ��� ��� �� �����
��� ������ ���������� ������ 4��� ��� ����� ����� ���������� ��
���� �� �������� ,�� ���� ����� ���������� ������I 3��������
�� ����� � ������ ���������� ������I
"�������� 8�� ���� �����)
� � � � � � � ������� ���� ������ � �� �� $� � �
� � � � � � � � ����� ����$� � �
% � � � � � � � � ������ ���������� ����� �� � � � $� �
& � � � � � � � � ������ ���������� ����� �� � � � $� �
' � � � � � � � � ������ ���������� ����� �� � � � �� �
��� % � & � � ' ��� � � < � � < � � � < � C� ����� �� ���
��� ���� ��� ������ ������ C� ��� ���� ����� �� ���� � ����� �� ���
�������� �������� � ���� 5������ ������� �� ���� )
< ���
��� ������� ���������� �� % � & � � ' �
C� ��� ���� �� ������� ��� ����� ���������� ������ � ��� ����� ��
������ ������ ��� ����� ������ �� ������� �� ��� ��� ���
���$ ��� ��� ��� ���� ���� � �� ����� "�� ����� ��������� ��
���������� ������ ���� ������� ��� � ����� ���� ��
�������� �� 3������ ����� ) �� �( �< � �� �� � ��� ���� ���� ��������
����� �������� �� ���� � 4������ ���� � � � ��
��������$ ��� ���� � �K� ���� � �K� �
���� � �K� 4��� ��� �K� �K� � �K �� ��������
�+3 ��"
��� �+3 ��� �3�
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
� �
��
�
�
� � � � �
Figure 5.11.6@� �� �A@� �� � A < @� �� � A �������� �#
�� @� �� + A < � �������� ��� *
�
��
��
�
�
� � � � �
Figure 5.11S.3
"�������� .���� F�������� ������� �� ���� � �)�( � �
�������� �� F�� ��� ���� � ������ ����+ � ������� ��� �����
����%����� �� ��� � ���� ���� �� ������ �� ����������� �� ��� ���� ����
4��� ���� ����������� ���� �� ����� ����� ������ �� ������ ����1�
��� �������� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� ������ C����� ��� ������ ���
��������������F�������� ������� �� ���� ��� ���� �����%�� �� ���������
"�������� 7���� ��� ��������� ����� �������� ���� ��� ��������
��� �� F�������� ������� � ������ ��+�� ����� �� ��� ������ ���� &��
���� �� ��� ��� ���������� �� ���� ���� � � ��� �� ����� �
�������� ��� &����� �����1 ������� ��������� �������� ��� ����������
��������� �� ����� � ��� � � ������� �� �������� ����� J�� � �
+ �� ��� ����� � � ���� ��������� 0 � �� � ������ � ��� �<� ������� � � � ���� 3 �< � � � L��� � ����� � � � �
� � ��� � � � � � � �� ��� � � � �
���� �� 4��� ���
@� �� � A@� �� � A < @� �� � A �
���� �%���� �� ������ ������� ��� ��� ��� ��� ��� ���� � ���������
�� ���� ������ ������� �� � 3 �
���� � ;�� ������� ��� -�� F�������� ������� ��� �� ��� �%����
� ��� @�A� 3����� ���� 3 � �< 3 �� � � 3������� � � ������� ��
��� ��������� ���� 3� � ���� �� 3� 4��� ��� F�������� ������� �������
� < � ��
���� � 4�� � ��� @*A� ��� �� ������ ��� � �< � � ������� ��
������ 3� �< � � �� � �������� �� ������� �� ��� ��������� ����
3 � � � � ���� �� 3 � �
��
��<�3
��<�+
��
�3� �+3 �
��% ���
%�+ �&� ��� �
��3� ��� � ��� �
� ��� �
� �� '
' ���
��'4
�'�4
��'�
�'��
��'4 � ��'�
�'�4 � �'��
��4�
�4��
� �� %
% ���
��4�
�4��
� �� &
& �� �
��4�
�4��
4%
�%
4&
�&
4'
�'
�4
4%
�&
�&
�'
'�
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
"�������5 +��� ,� ���3 H ���� � ��3+ H ���� � ��
�
C ������ �����1� ����� � � � �� ���� � ��� ��� ���� �� � � +�
���� ������� @� �� �A@� �� � A < @��A@�� A < @�+A@�� A < �� < @� �� � A�
!�� ������ ����- ��� ��� �������� ������� ���- ��� �������� � ��� �����
����� ����
+��� -� @4�� &����� ����4�+�A &�� ��� ���������� % �� � �
J�� $ < � � ��� ��� ���������� & �� $ � � .���� F��������
������� �� �+3% � ���& �� ��� � � ���� & ���� � � .����
F�������� ������� �� �%�3� � �&��� �� ��� � � ���� <
� �� � < � ��
+��� .� 4����� �� ��� @*A� �
C ��� �/(( ���- (���������� �� ��������� F��� M������ ������ ���
�� �������� ��������� ����� ������� ������� ������ ��� �� ������
����� � ��� ����� � �������� ��� � � � ��� �� ��� F��������
������� � � ��� �������� �������� �� ����� ��� ������� �� ��� ������
M� ����� ������ ��������� � ������� �� ��� ����� ������� ������
���� �� ����� �������� ���� ��� ��������� ������
�������� �� ���������� ����� �� �� ����� 3���� �������� � ������
�� ��� ��� ������ � ������ ��#� C �������� �1� ��� � ���� ��� ��� ������
�� ������ ���� ������ ��������
�������� ��� =���� ������� @�A �� 3���� ������� �� ��������� �����
�� ��� �� ��� ��� ������� ��� �-� �� ���� � ������ ��#��� 3 ���
����� ��� ������ �� ���� �� � �� �������� @��A �� @6�AI
"�������� < <
< < �
4��������
< < �
5��������� ��� ����� �� �������� �������� ��� ��� ������� �� ����� ��
���� ����� �������� � ��������� �� ����� �
�������� � � =���� ��� � ������ ��#���
: : < � < : �
4%
�%
4&
�&
4'
�'
��4�
����
��4�
����
��4�
����
����
����
�����' ��&
�4
4%
*�
�%
�1
%�
�4
4%
*� : �1
�% : %�
*1
��
����
* � :�
7< � � :
�
�:�
�
���� �������� ��
+�� �� � �� ������ ��������������� ������� ���#��
17:26 30 Oct 99
Figure 5.11S.4�������� �1 ��������
��� *
��
��
� � �
�
"�������� 4% B�% �� ��� ���� �� ��� �������� �� ��4� � ���� �
���� ���� ��� ���� �� ����� ���� 4����� ������� ���� ��� ��� ����� ��������� ��
: : < : :
< < ��
�� ������ ��� ����� �%����� �������� � � ������� � � � � ������
����4�#� C� ��������� � � ����� * � 1� ��� ��*4 H
�%�4 � ��14 H �%�4 � ��
< < < < � �
�������� �' �� ������� �� ��� �� ������� ��'��� �� ����� ��� ��� ��
��� �� ��2� ��� �������� ����� �� �� � 7 ��� ��� ��� ���������
� ��������� ���E��� ��� ��� < � � @� : � : 7A ��
�������� ��� 4��� ��� �� ��'4 � ��%4 � � ��&4 � ������ ��#��
��� �%�� ���� ��� 4 �� ��� ������� �� ���� �
"�������� J�� � < ��'4 < ��%4 < ��&4 � � < �% B%� � � <�
�& B&� � � 7 < �' B'� � �� ��� �'�4 < � B7 � �%�4 < � B� � �
�&�4 < � B� � ��� ���% < �@���% A )
�
5��������� ���� ����� �� �7 B� � ��� ��� * �7 : � < ��7 : �7 : 7� � "� 3����
�������� ��7 < �� ��
�7 : � < � : 7� �
��
��� �
%��
%� �
�
�
��� �
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
4��������
7� : 7 < � : ��
�� : � < � : �7 �
.���� ��� �������� ����� �%����� ������
�� : �7 : 7� : � : � : 7 < + : �� : �7 : 7� �
���� � : � : 7 < +�
,������ ���� �� ��������� ��� � ����� � � � � 7 � 4������ � > 7
E���� ���� ��� �� ����������� C� ���� � ��� �
��� � � > 7 � �
����� ��� + > � : � : 7 � C� 7 � �� ��� � � � � � > �� � ����� ���
� : � : 7 > +� ���� � > � > 7 � �� � < � � � 7 < � : $ � ����� 0 > >
� � 0 > $ � ��������� � < + � � � 7 < � : � $ � ��
� < � �7 < @� � A@� : � $A@� : $A �
.���� ���� ������ ��� �%���� ������ � $ : $ : $ < : $ � ����� � � �
� $ : $ : $��
*$� �
� $ : $��$� �
� : $��
�
� : 7 < * � : $��
+
� < + � @� : 7A��
0
E����������G ��������� 7��� � �� � < � < 7 < �� ��� ��� % � & � �
' �� ��� ���� �������� �� ���� � �
�������� ��� 8��� ������� � �����%��� ��������� � ������� ��� �
��#� �������� ��� ����� �� ������ �� ��� ��� �� ��� ����� �� �������
!�� �� ����� ��� ��� ����� �� ������ �� ������ �� ��� ��������
"�������� 7����� ���� �� ���� �� ������ � <�� � ��� �������
��� 7����� ��� ����� ����� ��������� ;�� ������ ��� ������� � � ��
� � � � � �� ������ � : � � ��� ���� % � ���� ���
< �
��� �������� � �� ��� �� ��� ����� ������ ������� ����� ��� ����
� %� �� ��� ����� �� ������ �� ��� ������ �� ������� ���� � � � 4��������
�� ���� � ��� ����� ��� ��������� �� �������� ���������� ��� ����� �� ������
�� ��� ��� �� ��� ����� �� ������ �� ��� ������ �� ��� ����� ��������
�������� ��� &���� ��� ����� �� &��������� ������� ���� � ������ ���0
�� ������ ��� ��� &������� ������ �� � ������ �� ���� ��������
�� ��� ����������
"�������� ;�� ������� �
� �� '
' ���
� ��'
�'
' ���
�'
�� ����'
�� �����
�� ��'��
�� �����
� �� %
% ���
�� ����%
�� �����
�� ��%��
�� �����
� �� &
& �� �
�� ����&
�� �����
�� ��&��
�� �����
�� ����'
�� ��'��
�� ����%
�� ��%��
�� ����&
�� ��&��
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
Plane trigonometry
4����� ��������� ���� ���� ����� �������� ��� ������� �� ���
����������� ������ � ������ +��+ � ������� � ���� ��� ��� ���
��������� ����� ���� �������� ���� �� ��� � �������� �������
������� ������ ������ �������� �������� ������� ��� ����� �� ���
���� ����- �� ������ ����� �������� *0 ������ ��� ����������� � ������
��� ���� 5������ ��������
�������� �� ,���� 5������ ������� � ����� �� ������������ �������
�� ���� ���'� �'��� ���%� �%��� ���&� � �&�� � ������ ��#���
M�� ������ ��� ���� ����� ���� ���������� � �������� �� ������� ��
��� ��� ��� �� ��� ������� �� ������� � �� ����I
"�������� 3����� �������� ������� &�� �������� ����� +� 1�
� % � ����� ��� ��� �� �+3� �� �� ��� �� ��� N+ � 1� % � 1 O � ;���
��� ���� � ���� � � ���� �� ��� ��� ��� ���� 3����� ����� �
��� ���� ���� �� ���� � ����� �� ��� �������� �������� ��� ���� ���
�������� ������� � ����� ����� "� ��� �� �� �����
< <
< < �
����� 5������ ������� ��
� �
��� ��� ��� �������� ������2� � ������� ������� ��� ��� ��� ��
��� ����������� ������ ������� ����� P������ ��������Q ���� ����
��� �� �������� ��� ������ ����@�A �� ���@�A �� ������ ��� ������
���� .4.� 444� 4.4� �� 44. ��� ��� ��� �� ������ ���� ����� ���
P��������Q ���� �� ��������� ���� ��� ������ ������ 44. �� ���������
���� �������� ��� ������ ��%����� !�� ��� ��������� ����� ��
��� ��� � �������� #�1�*�
�������� �� ���� �� F���� �������� ��� �������� ��� ������
��� ������ � ���� ������ �� ���� ���� .4. �� ��� � � <
�
�� ���
�
�� ���
� �� ���
�� ���
� �� ���
�� ���
1� �� ���
�� �0�
1� �� '��
�� �0�
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
�� � � ��� � 3������ � ���� ���� ���� ������ ��� �������� 0� >
��� � ��� > �/0�� � 0 > � � C� � ������� ������� �������I C� ���
� ��� ���� ����- �� � ��� ����� ��� ����� ���� �������� ���I F���
����� ���� �������� ��� ��� �� ����
��� � ���
��� 1� '��/�� (� �0��
���� � 4�� ������� ��� 444 �� � < ��� �� � � < ��� 5��� ����
���� ������ � �������� ����� ��� ������� 0 > � � � � � I ��� ���� ���
����� � ��� �� ����
� � �
'0 1� /*
'0 ��* /*
'0 ��+ /*
�#/ 1� /*
���� � 4�� ������� ��� 4.4 �� � � ��� � � � � 5��� ���� ����
������ � �������� ����� ��� ������� 0 > � � � � 0� > ��� > �/0�I��� ���� �������� � ��� �� ���
� ��� �
'0 �0� /*
"�������5 +��� ,� C� ��� ���� �� ����� ���
��� : ��� : ��� < �/0� ��� < �/0�� ��� � ���
<
� < � < �
R��� �� ���� ��� ������ ��� ������� ��� : ��� > �/0�� ���� ���
�� ������ ����� ����� ������ ��� ������� &�� ��� ����� �� ����
��� < �/0�� ���� '�� < �0�
� <��
'0 � <��
/*�
��� ����� ��� �� ����� ������ ��� : ��� < �(0� ? �/0��+��� -� C� ��� ���� �� ����� ���
� < � : � � *�� ��� ���� � �
� �� � � : � �
*��
� � : � �� � �
*��
� �� � � : � �
*��
� �� � � : � �
*��
'0�� 1�� : /*�
* �/* �'0
'0� : 1��� /*�
* �'0 �1�
� � : � �� *�� ��� ���
� � � : � � : � �
*��
� � � ��� ���
�
/*� : '0�� * �'0 �/* ��� �0�
/* � '0 ��� �0�
�
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
��� < ����� ��� < �����
��� < �/0�� ��� � ��� �
R��� �� ���� ��� ������ ��� �������� � > � : � � � > � : � � � � >
� : � � ��� ����� ������� ���� : � �� �%������ �� �
��@� : �A ) ���� �
��� �� � � � : ����*�� � ��� � �
�����
���������� ���� ������� ���������� �� ��� < �/0� �� �� ������ �� ���
������ ����� ������� ��� ����� ������� ���� : � �� �
��� : � ��
�%������ �� � � � ��� � ��� ��� @� � �A � � ��� �
��:��
���������� ���� ������� ���������� �� ��� < 0� �� �� ����� ������
�� ��� ������ ����� ������� &�� ��� ����� �� ����
��� < �������
#(�(�
��� < �������
'#�'�
��� < �/0�� ��� � �����
���#��
��� ����� � ����� �� ���� �� ����� ������ � � : � $ ��� �������
������ � ? � : � �
+��� .� C� ��� ���� �� ����� ���
� < �
��� ����� �� ���� ��������� �� � ������� ������� �� ��������
��� ��� -�� � � ��� � ��� ��� 444 ��������
��� < ����� < �����
��� < �/0�� ��� � ��� �
&�� ��� ���� �� ����
� <��
1��*�
��� < �������
���#�
��� < �/0�� ��� � �����
'#�1�� �
��
�� ���
�
�� ���
�
� �� ���
�
�
�� ���
�
�� ���
� �� ���
�� ���
/0 �� �00�
(0
(0 �� ���
�� �00�
/0 �� /0�
/0
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
�������� � F���� �������� ��� �������� �� �������� ����� �� ���
������ ��� ������ � ���� ������ �� ���� ���� 44. �� � <
�� � � < �� � � ��� � .������� �� �������� #�1�* ����� �� � ���� ���
�������� ������� ���� ��� � ��� � � � < �� � 3������ � ���� ����
���� ������ ��� �������� 0 > � � � � 0� > ��� > �/0�� C� � �������
������� �������I C� ��� � ��� ���� ����- �� � ��� ����� ��� �����
���� �������� ���I F�������� ���� �������� ��� ��� �� ����
� � ���
/0 (0 �00�(0 /0 �00�/0 /0 /0�+0 10 +0�+0 10 */�*/ 10 */�
"�������0 C� �� �� ����� �� ������� �� ���� �� ��� ������ ���� �� � <
���� �� ��� ������ ����� � ��� �� ���� ������ � ? �� C ��� ����
������� ��� �� �������)
< ��� < ����
��� < �/0�� ��� � ���
< � < �
C� ��� ����� �� ���� ��� ���� ��������� ���� ��� ����� �������
�����
(0� ��� ���� E��� ������� ���� �� ��� @�A E����� ���
@� B�A �� �����
�� ��� � �� ������ ��� ������ ��� ����� ���� �� �����
������� ��� ? ���� �� ��� < �/0�� ��� � ��� ����� ����� ���
������� ����� ��� > 0�� &�� �� ��� @*A� ���� ��������� ������
��� < ������
1��
��� < �/0�� �00�� �����
�(�
� <��
+0�
&��� ���� �� ������� �� �� ����� C� ���� � ������� ��� �� �������
� �����
��� � ���� �� ���� �� ����� � ��� �������� ��������
��������� ���� ����� ��� �������� &�� �� ��� @+A ����
��� < ���� < /0�
/0 �� *0�
�� /0�
�� � �
10�� +0�
�� ���
�
�� ���
�
� �� ���
�
� �� ���
�� ���
10 �� */�
+0
+0 �� ���
�� */�
��@� S � A
���@� S � A
�� � ��� � S ��� � �� �
��� � ��� � � �� � �� �
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
��� < �/0�� /0�� /0� < *0�
� <��
*/�
;�� ��� � < � �� ��� � C� � < � � ������� ��� �� �������) ��� < (0����� < (0�� ��� � � � < � F� ��� @#A �������� ���� ��������
�
��� < (0�
��� < (0� � +0� < 10�
� < � �*�
C� � ? � � ����� �� ������ ��� ��������� ;��� ����� ���
< �
;�� ��� � < ���� � �� ��� ��� < � > (0� �� ��� <� �
�/0�� � ? (0� ��
��� < �/0�� ��� � ���
� < �
F� ��� @�A �������� ���� �������� �
� < �����
��� < ���
'0� �� ��0���
�/0�� �� �
��� < �/0�� */�� �����
/*� �� #*�
� <��
1+ �� #+�
C� ��� ����� �� ���� ��� ���� ��������� ���� ��� ����� �������
��� > (0� ��� � > � �� ��� E��� ������� ���� �� ��� @1A E�����
��� @� B�A �� ��� ? �� � ��� ������ ��� ������ ����� ���� �
�������� � F����� ���������� ��� ������� ��� �@� S � A � �����
�� � � � � � � � ��� ������ ��� � *� � ����� �� � � � F�����
������ ��� � � � � � ����� �� �� � � ��� � ��� ������ ��%���� �
S ����
"�������0
�@� S � A < <
�� � ��� �
��� � ��� ��
��� � �� �
��� � ��� �
��� � ��� �
��� � ��� �
�� �� � �� �
��� � ��� �
�� �
��� �S
�� �
��� �
��� �� �
��� �
�� �
��� �
� � S � �
���
� � � �
� � � � �
� � � � � �
* � �
� � ���
��D �
��� D�
�� D�
��� D�� * �
� : ��� �
*
�� �
� : ��� �
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
< <
<
� *� < <
��� < * �� � � � ��� � � � < � * � ��� � � �� � � �
<
< � � � � � ��
�������� �� 4��� ��� ��� � < 0� �� *� ��� ������� �������� 2 �� ������
� E����� ������6 ��������E���� ��� ��� �� � � ��� �� <
2 @��� �A � F����� ��� ��������� ������ 2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A � �� ��
,���� ��� ��� ������� ��� 2 �� 2 � �-���� ����� ������ � �������� ������ �
������ ���� ������� � ��������� ,�� ����� �� ��� ��� ��������
��-� ���� ��� �� ��I
"�������� F���� 2 @ �A < � � 2 @ �A < � ��� �� � � �� ���� �
2 @��� �A < ���@0�A � 2 @��� �A < ���@��A ��� �� � � ����� ��� �������� �
� ) ����8� � ���������� 2 �� ������ � ��� ��� 2 @��� �A <� � �
����� ��� ��� �
�� ���� ��� � < 0� �� ;�� ��� � �� ������ ? � � ������� � �� �����
��� �� ���� � ��� �������� ������ ����� ��� � �� ���� ���� &����� ��
��� ���
���@� : �A� : ���@� � �A�
< @��� �� ��� � � �� �� �� �A : @��� �� ��� � : �� �� �� �A
< * ��� �� ��� �
���@� : �A� < * ��� �� ��� � � ���@� � �A�
< *2 @��� �A ��� � � 2 @��� �A � ��
;�� ����� 2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A � �������� �� ������ � : �� �� ��
3������
���@� : �A� < 2 @ ��� �A � ��
����
��2@��� � A
� � ��
< 2� @��� � A @��� � A � � ��
< �2� @7� A ���
< ����
�������
� � ��
< �� �� �� < �� �� $� < 0 �
�
��:
�
��:
�
� <
�
�<
�
�:
�
�:
�
�
��:
�
��:
�
� <� � �
�:� � �
�:� � �
�<
+� � *�
�<�
�<
�
�
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
���������� � �� ���� ��� � < � : �� "� ��������� ���� ���� ��� �� � <�
0� �� *� � � � � &�����
2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A� � �
< * � � ��
2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A < * �@*� � �A � �� � �
�
< #� � +��
2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A < * �@#� � +�A � @* � � �A� � �
� �
< /� � /� : �� �
2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A < * �@/� � /� : �A � @#� � +�A� � �
� � �
< �1� � *0� : �� �� �
. ���� ������� ���- � ���� �������� ����� ��� 2 �� ��� ��� �
�� ��� � ��� ��� � �� ����
&�� $ < 0� � � � � � � � ��� � < @ � � A� � � < ��� � � ��� 0 >� � �����
� > TT T > � > �� �� � ? TT T ? � � 5�������� 2 @ � A < ��� �� <� � � � � �� �
���@$ : � � A� < 0� 4��� 2 �� ������ � � �� �� � ���� � �����) ����
� � � � � � � � ��� ����� �� ��� ��������� 2 � ��� ������ ����� ����� �� � �
����� ������ ���� ������ � ������ ����� ��� 2 � &�� $ < �� � � � � � � � ��� < � � � 7 < ��� � ��� 0 > > TT T� � � �
�
> > � � �� 7 ? TT T ? 7 � 5�������� � � �� �
4��� 0 > > �� �� �< 0� �� 2 �@7 A < 0� ��� ���� ������ �� 2� � �
����� � 7 � � � � � 7 �� ��
!�� ����� �-� ������ ������ ���� �� � ����� �� ��� � ��� ���
�� ��� �� ��� ��� �� ������ ��� ��� ������� ��@*��A � ��������
� �� � � �
�������� �� J�� � � � � � � �� ��� ������ �� ���� $ � � � � ���� � �
������ � �����������$ � ��� ��$ � ��� �������������$ � �� � � �� ��� ������ �� ��� ��������� =���� ���� �
� � � � < �� � ��
� : � : � < #� : � � � : � � : � � < � �� � � � � � � � ��
"�������� "� �������� ��(�#� +�/�(� M����� ������� � ������� �������
�
�:
�
�:
�
<
�
*�:
�
*�:
�
*�<�
�<
�
�
� ����� <�
�
�
� � �
�
� � �
�
� � �<
��
��
< ��
�
� � �:
�
� � �:
�
� � ���
�
� @� � � A N @� � � A : @� � � A O : @� � � A @� � � A N� � @� � � A O
�
� @� � � A� : @� � � A @� � � A�
�
�
�
���
�
��� : � �� : ����
����� <
�
�
�����
�
� �����
� ���
� �
� � � : � � : � �
*��:� �
� � � : � �
*��:� � : � �
� � �
*��
� @� � � : � � : � � A : � @� �� � � : � � A : � @� � : � �
� � � A
*���
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
, ���� �� ��� �� �� ������ ������ -���� .�� /+�� �� ����0 ��� 1���� 2�������
/+�� �� ���'0 �
17:26 30 Oct 99
� : � : � � �� � �
<
�@� � �A@� � �A : �@� � �A@� � �A
: �@� � �A@� � �A � @� � �A@� � �A@� � �A< �
�@� � �A@� � �A@� � �A
<
<
< N� � �� : � � �� � �� : ��O < < #� �� �
"� ��� ����� �%���� �������� � ���� ��������
� � : � � : � � < < < < � � �� � � � � ��
�������� � =���� ��� ��� ��� �� ��� ������ �� ��� ������� �� ��� ����
�� ������ �%��� � ���� ��� ���� �� ��� ������ �� ��� ������������
"�������� 8�� ��� ����� ����� ���� ����� J�� � �� ��� ���
� � < ��� ��� : ��� ��� : ��� ���� "� ��� �� �� �������
� <
< �
���� ��� �������� ���� ��� ����� � �������� ����� �� ������
�� �� ��� �� ��� �� � ������ �� �� � : � � � < *@� � �A� !�� ��� %������
� � : *�� � � : � < � � @� � �A� � � � �
#@� � � A @� � � A � *@� � � A : *���
*���
#� @� � � A @� � � A @� � � A
����
#��
����
�
����
���
�
�
����
�
��
��
��
�
�
� � �
�
�
�
�
�
%
D * �D / � + � �� � �0 � * �
���� �������� ��
��"�$ ������ 344�
17:26 30 Oct 99
< @� � : � : �A@� � � : �A < #@� � �A@� � �A
� ������� *��� � "� M����� ������ � �������� ������ � ��(�#�
� <
< � : < � : < � : #�
< � : < � : < � : < � : � �
�������� *' ����� ��� �� ��������� ���� ��������� ���� �������
�����* � ����� �� ���� � � � �� � � � �������� �� ��������� �� �
��� ��� �������� R ��� ,���� ������� ��� .��������� �� 4���
����� ���� ���� �����%�� ���� */0 5��� �� ��������� �� +�� .���� ��)�
��0 ��� .������ �������� 3������ =������ �������� �� ������
������ �� ������� ��� ����� �� ���� �� ����� ��� ��� � <
��� *�� +�� � � � � ��� ������ ������ ����� ��� �� ��� ����� ��������
��� ���� ���������� ���� ������� �����* �� ������� ���� � ��������
��� ������ ��� ��� ��������� �� ��� ��� �������
�������� �� ���� �� F����� ������� ������� ��� ���� � � � �� � ��� �
� ����- ���� ���� ���� ���������
���� � 4��� ��� ��� � ��� < * ��� : ��� � ����� : < � � @� : � A�
� � < � � @� � � A ��
���� � 4������ 0� > � > � > (0�� =���� ���
* ��� : ��� > ��� �
���� �� 3����� ���� @*A � @+A �� ���� ��� ��� 0� > � > � > � > (0��
��� > ��� > ��� �
���� �� 8�� � � � � � < �� � �� ��� � � � � ��� @#A� ���� ��� ����� ���� �
�������� � ��� @�A� �� ������� ����� ,���� ��� ������ ��������
�����I
"�������5 +��� ,� 8�� ��+0� < � � � ���+1� < � � @� : A @��� ��������� �
#�(��A� ��� =������� �������� � ��� ����� ��������� � ��� ���
������� �� ������
����� � � <��
0�(((1�'+*��
� : ����D�
*
��
�/0�
*�
�
��
�/0�
*�
�
*�
�
� � �
�
� � �
�
�
�
�� �� �
�� ����
<�� ���
�� ����
<�� ���
�� ����
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
5����� ���6$ ��� �� ���"�
17:26 30 Oct 99
��� � � � <��
0�((((�#+*'��
+��� -� 8�� ��� ��� ������ � ��������� ������� � ������
+��� .� &����� : ? � � 4����� �� ������� �����*� ��� > @� B�/0�A� �
@� B�/0�A� > �� � ����������
* ��� : ��� > * ���� ��� > *@��� :A < ����
> �� ���� < ���� < ��� �
+��� /� &��� � > � � ��� @+A ��� ���
��� � ��� > ��� �
����� ����� ��� > ��� � ��� ����� ��%����� �� ������ ���������
+��� �� ,��� ��� ��������� ������� � � � � � � � ��� @#A ������
0�0�'#��*(/��
� � ���� ��> ����> � � �� � ����
0�0�'#�*'(#�� � � �
4� ������
0�0�'#�* ���� ����� > �0 � ��
Spherical tr igonometry
���������������� ����������������� ��������� �� �������� �����������
���� � ��� ������ #�( ���������� &�� ������� ���� ������ �� ���
��������� ��-����� C ���� �������� ������ ��� ����� ��� ��� ��
������� ������� � ������ �� ��� ������ ��� ������� ���������
C�� ������� ������ ���� ������ �� ��������� �����) �������� ��������
������� C�� ��������� �� ���� ��� ������ ��� � �� ��� ��
����� ������� �� ������2� �� ���� � ����� �������� �������� �
�� ������ ������ ��� ���� ���� ���� �B�� ������ ����� ������ �����
��������� ������� ������ ��� ������� � 5���� "������� ����� ��� ���
����� ��������
�������� �� ���� �� =���� ��� �� �� ���� ��� �������� ������
���� )
�
�� ���'
�� �'��
�� ���%
�� �%��
�� ���&
�� �&��
�� ���'
�� �&��
�� ���%
�� �'��
�� ���&
�� �%��
�� ���&'
�� ��&'�
�� ���'%
�� ��'%�
�� ���%&
�� ��%&�
�� ���&'
�� ��%&�
�� ���'%
�� ��&'�
�� ���%&
�� ��'%�
���
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
���� � =���� 5������ ������� ��� �������� ���� ) C� % �& �' ��
����� � ��� ���� ������� ������ ����� ��� � � % �& �' ��� � � � �
���� ������� ���
< ��
"�������� +��� ,� J�� � �� ��� ����� �� ��� ������ � �� ��� ���
����������� �� ��� ������� � � � � J�� � � �� ��� ���� ��������
� � ��� ������� � ) �� ��� ���������� �� ���� ��� ���� ����������
��� ��� ����� �� 3������ �������� ������� ��)� � ��)� ������� ���� ��� ��) < (0�� "� �������� #�(�#� �� ��� �� ��� <
��� ��) < �� ��� �� ��� � ���� ������ ��� ��� �� �� ����$ ��� �����
��� ������� ���������
� �
+��� -� 8�� ��� �� �� ����� ��� P5����� �������Q ��
<
< < � T � T � < �� �
�������� */ �������� ���� %������� ��� ����� �-� ���� ��� ��� ��
����� ������ ���� ���� �� 5������ ������� ������ ��� P��������Q ���
� ��� ��� ���� ���� �������� �������� .�� ����� � ��� 5����� �������
�� ����� �� �� ����� ��� :� ����� �� �� � � ��� ���� C� �� ��������
�� �-� ���� ���������� ���������� � ��� ������I C� ����� �������
�� ���� ���� �� 5������ �������I C� ����� �������� ���� �� 3����
�������I
�������� *( �� ���� ������� � ������2���� =��� � � * ��%����
������ ������ ���� ��� ����� �� ������ ����� C ��� * ��� ������
�������� � ��� ��� ������� � ����������� �� � � ��� ����
������� ���� ���� ��� � ��� � ��� ��� ��������� ��� ��� ���
����� ���� �� ��� �������
�������� �� ���� �� 3������ �������� ������ ���� � ������
� ���� ����� � � ��� ����������� �� ��� ������� � ��������� � �
��� ������ �� ���� � ��� ��� ���� �� ��� � � $ ��� �� ��� F����
� � � � � ��������� 4��� ��� ��� � �� � � � ���� ����� ����
� � ���� ���� ���� �������� ���� �� � ����� ��� ����� ������ ��
���� � 4��� ��� ���� �� � ��� ��� ���� ������ �� ���� �� ��
���� � J�� ��� ��� � �� �� ��� ������� �� ��� ��� �� ��� ���� ������
�������� ��� � �� � � �� 4��� ���
��1 �
���� ��� ������� ��� ������� ��� ���
���� ��� ��� ���
��� � ���
���
���� ��� ����
���
������
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
�� < �/0�� ��� ���� < �/0�� �
� ������ ������ ������� ��� ��� ������� �� ��� ����� ��� � �����
���� � J�� �� �� � � �� ��� ������� �� ��� ��� �� ���� ��������
� � � � � � � 4��� ���
� > � : � ���: ��� > ��� : �/0�� > � : � ��� : ��� > ���: �/0�� > � : � ��� : ���> ��� : �/0��� : � : � > +10�
���� �� 3������ ��� �������� ������� � ���� ����� ) &�� ������
1 �� ��� �������� ������� ����� ���������� �� � ���� ������ ��
����� 1 �I F� ���� @�A �� @+A ��� �� ��� �-� �� �� ���� �� ����� �������
����������I ,�� �� ��� ��� �� �������� ������ ���� ����� � � ���
��� �������� ����� �� � ����� �� < � U � � ����I
"�������5 +��� ,� &��� ��� ��������� �� ��� � � � � ��
� � � � �� ��� � ��� ��� ���� �� ��� �
� � � � � � ��� � ��� ��� ���� �� ��� �
� � � � � � ��� � ��� ��� ���� �� ��� �
C� ��� ��� � �� ���� ����� ���� � � ��� � � � � ��
� � � � � � ����� �� ����� ���� � E����������G ;��� ���
��� ��� ��� � ��� �� F����
� < ��� ������
� �< ��� ����� ����
��� � � � � � � � � � � � � ��� � ��� ��� ���� �� � �
����� .� ���� � &����� ����4��� � � � � ��� � ��� ��� ���� �� ���
���� � ��� ��� ���� �� ������ C� ������� ��� � < @��A�� 4�������� � <
@� �A� � � < @��A��
+��� -� ��� ��� � ������� � ����� ������� �� � ��� &�����
����4�1 ������� ��� ��� ����� ������ �� ����$ � ������ ����4�'� ���� �������
J�� � < ����� � $ <
����� � �� ��� � � � $ � � J��
�K �� � ���� �� $ � ��� ��� ���� �� � ��� � � � � �K
�� � ���� �� � � ��� ��� ���� �� � ��� � � � ��� �K �
�K ��� � ��� ��� ����� �� � � $ � � �� � ��� ;��� �� ������
�� ��� ������� ��� ������ �� ��� � ���� �� � ��� � ��� �
���� �� � ��� � ���������� �� < ������ � <
(0� � ��� ���K < (0� � @���K��K � (0�A � ������ ����4�1� ��
(0� : ��� ���K < (0� : @(0� � ���K��KA � ������ ����4�'�
��� �� ����� �%��� �/0�� ��� � C� ����� � �� ������ ��� ��� � �-�
�K < �� � �K < � � � ��� ��� ��� ������� ;�� ���� �� �� ��� ����
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
��
��
� �
�
Figure 5.11S.5 Figure 5.11S.6�������� *( �������� �������� *( ��������
=�� @�A) ��� ��� � =�� @*A) ���� ����� �
��
� ��
��
�
Figure 5.11S.7�������� *( ��������
��� @*A) ������ ����� �
����
�
��
��
�
������ �� ��� � < ��� < �/0�� ����� !�� � ������ ��� ������ �������
���������
+��� .� C�%������� � > � : �� � > � : �� � � > � : � �� �������������
�������� �������� ���������� .���� ���� �� ��� ���� ������)
��� : ��� < @�/0�� ��A : @�/0�� ��A< +10�� @�� : ��A > +10�� �� < +10�� @�/0�� ��� A �
� : � : � < @�/0�� ����A : @�/0�� ��� �A : @�/0�� ��� �A< �#0�� @���� : ���� : ��� �A > �#0�� �/0��
+��� /� ;�� ������� �
�������� �� =���� ��� ������ ��� ��� �������� ������ ���� ) C�
� � � � � � �� ��� ������� �� ��� ��� �� ���� �������� � � � � �
� � ���
��� � < ���� ���� : ��� ��� ��� ��� �
��� ��� < ���� ��� ��� ��� : �� ��� �� ��� ��� � �
"���������) =���� ��� ����� �%���� ������������� !�� �� ��� �� �������
��� ��� � < (0� ��������� &�� ��� ������ ���� �������� *(�
������
��� ���
�+
��
�+
��
+�
��
+�
��
��� ���
���
������
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
"�������0 &�� ��� ���� + �� ��� ����������� �� � � ��� ���
� � ��� ������� +� .����� �� ������ �%�� �� ������ ��
$ ��� �������� ��� �� ��������� ����� ��� ��
�� ���� � �
���+� < ���� � ����� < �� .���� ��� ��� �� �� ������ �� ��+�
� ���� )
@�� A < @+� A : @+�A � *@+� A@+�A ��� ���� � � �
@�� A < @�� A : @��A � *@�� A@��A ��� � �� � � �
4������ ����� �%������ 4��� ����� ������
��� � < : ������
< ���� ���� : ��� ��� ��� ��� �
��� ����� ���� �� ��� �������� �� �� �������
;�� ������� �� �%�� �� ������ �� � �� ��� � < (0�� C� < �
��� ��� � < (0�� ��� < � � � ��� ����� ���� �� ��� �� ������ .�����
�< � &�� ��� ���� 3 �� ��� ����������� ���� � �� � C� 3 < +�
��� � < � < (0� � ��� ������� �%���� ������ .����� 3 �� +� &��
��� ���� � � �� ��� �+3� �� �������� ��� �3� � � ��
�3� � � 5��������
��� ��� ��� < �� ����� ��� ���+3< @+� B�� A@�� B+� A < �� B��
< ��� ����� < ��� ��
��� ������� �%�����
�� ����� ��� ����� ���� �� ��� ��� ���� ��� ����� ���� �� ��� ����
������)
���� ��� < ���@�/0�� ��A < �����
< ����� ����� : ���� ���� ��� ����< ���@�/0�� ��� A ���@�/0�� ��� A
: ��@�/0�� ��� A ��@�/0�� ��� A ���@�/0�� �A
< @���� ��� A@���� ��� A : �� ��� �� ��� @���� �A
< ��� ��� ��� ��� � �� ��� �� ��� ��� � � �
�������� �� C����� ��������� *� � ** ��� �������� �������� C�����
���������� �� 4.. � ... ��� ����
"�������� ;�� ������� �
�������� � ���� �� &��� ��� �������� ��� ��� ��� ����� �������
���� 4 &������ �� "������� � 3������������ .����� ��� ��� ����
�� ������ ���� ����� � < +(�( ������
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
���� ;������� ;��������
4 &������ +'�#1� ; �**�*�� ,
"������� ##�*�� ; *1�0'� �
3����������� #+�++� 4 �'*�#0� �
M�� �� ��� ��� ��� ���� ����I
���� � &�� ��� ������ �� ��� ������ �� ������� �� ��� ��������
������ ������ �� ����� ������� F������� ��� ������ �� ������ ��� �����
� �� �� ��� �� ��� ������
"�������5 +��� ,� ,��� ��� ;���� =��� � � 4 &������ � "�������
���� �������� ������ ��"� ���� �������� ��� ������� � � � �
� � )
��� < �**�*�� : *1�0'� < �#/�+*�
� < (0�� ##�*�� < #��+��
� < (0�� +'�#1� < �*��#� �
"� ��� �������� �� �� �������
��� � < ��� � ���� : �� � ��� ��� ������0�0�+0
���
(+�0#������ ������ ���� " �� � < �� � B�/0�
��1#*/ ������
,��� � � 4 &������ � 3����������� ���� �������� ������ ��"�
���� �������� ��� ������� � � � � � � )
��� < +10�� @�**�*�� : �'*�#0�A < 1#����
� < (0� : #+�++� < �++�++�
� < (0� � +'�#1� < �*��#� �
��� � < ��� � ��� � : �� � �� � ��� ������0��'(�
���
�00�+*������ ������ ���� " �� � < �� � B�/0�
��1(+* ������
+��� -� ,��� � � "������� � 3����������� ���� �������� ������
���� ���� �������� ��� ������� � � � � � � )
��� < �'*�#0� � *1�0'� < �#1�++�
� < (0� : #+�++� < �++�++�
� < (0�� ##�*�� < #��+��
��� � < ���� ��� � : ��� �� � ��� ������0�(�#�
���
��1�0/������ ������ ���� � �� � < �� � B�/0�
���0'/� ������
;�� ������� ��� �������� ������ ���" ) ���� ��� @�A�
���
�00�+*� ���
(+�0#� ���
��1�0/��
��� � � ��� � ��� �
�� � �� �
��� : ��� : ��"
�/0�� � � � �
�00V
#�
��� : ��� : ��"
�/0�� �
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
"� ��� �������� �� �� �������
��� < �������
�*#�*��
4��������
�����
�**�(� ��"��
�10����
��� �� �� ���
�� ��� ���� ��
� +��1V�
��� ���� ������ ����� ���� "������� �� 3����������� ������� ��� "��-
4�� ����� �� !����� �������� ����� ��� 3��� 4� � ��� C��
� .��� ������� �� W���� ������� ����� =-���� ����� �� ;����
� ����� C��� ������� ��� "� �� "��� � ��� ����� �� 4����� �����
�� 6-��� ������� ��� ����� 4� � ��� .������ ������� ����� ��
3����� � ����� ������� ��� ��� 4� �� ;�� X����� 4���� C����
&��� 3����������� �� 4 &������� ��� ��� ���� ����� ����� ����
��� 3��- C���� � ������� ��� �%���� �� 3������� C����
7������ ���� 4 &������ �� "�������� ��� ��� ���� ����� ������
�� 3����� ���� 3��� ;�������� ����������� � "��� C���� ����
����� L����� � ��� ;������ 4�� � ��� �� ����� J�-Y����
� ,��� �� 7���� �
Analytic geometry
C ��� ������ #��0 ���������� ��� ���������� ���� -�� �� ����� �������
� ������� ����������� �� �� �������� �����%��� ��������� � ������
+� !�� ���� �-�� �� ���� ������ ����� ��������� ��� �� ��� �������� ��
���� ������� ������
�������� � 7������ ����� ����� �� � ��� ����� �� ������ ��1� � ������
����� �������� � ��������� ����� ��������� �� �������� �����
@���� �� ��� �� ��� �� ����� ��������) ���� ������� % � & � �� ���
������ ' ���� ��� % � ' < 0 < & � ' �A
"�������� ��� ��������� �������� �� ��-� #� �0� � �# � ��������� #��0��
� #��0�* � �� �������� #��0�1� ��� �� � �� ��������� � ��������
2��$ /� =���� +�3 �� �� ������� ��� � ��� ���N+3� O < 0�
�� ���
������
���
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
2��$ ,<� F������ ���� ���� �%����� % < �� : � � % < �� : ) ��
������ ��� � ��� � U � < 0�
2��$ ,/� L��� ���������� ���� � �� � ��� ������� � �� � �� ��� �
� ��� �%����� % < �� : � � % < �� : � � ��� ���N��% O <
���N��� O �� ���� �%���� ��� ��� ��� ������� � � �
�������� /0,<0=5 ���� ,� ��� ��� ���� �������� �%����� % <
�� : �� : � �� ���� �%���� ���N��% O < ���N��� O � �
�������� �� ����� � ������� ��� ���� -�� ��� ��� ������� �
�������� ++)
2��$ )
��6�� )�������� �� ����
�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � ����� ���$
*� ���� � � � � � � � � � � � � � � � ����� ������� ���$
+� ����� + �3 �� � ��� � � � � ������� + � 3 ��� � ��� ���
���� �� $
#� ����� + �3 ����� ���� � � � � � ������� + � 3 ��� � ��� ���
��� � ��� �� � ��� ���� �� � � ����� ���$
�� �������� ����� + �3 �� � � � � �� �� �+3� $
1� ������ ����� + �3 �� �" � � ������ �� ��������� +3�" �
������� ��� �� ��� ��� ��� ��� ���� ��� ���������� ���������
� � � � � ��� � �� � � ��� ��� ���� ������� �� ���� ��� ��� � ���
�� �����
������ �
��� �� ��� ������� ��� ��� ��� ����� ��� ����� ��������� � �� �
� ��� � �� � � ��� ��� ���� ������� �� ��� ��� ��� ��� � ��� � �
���� �� ��� ������� �� ���� ��
��� �� ������ � ��� � �� �� ��� ���� ���� �� ���� ��� ���� �� ����
��� �������� ! ��� ��� �������� ! ��"� ��� ���� ���� ���� ������
� � �� � � ��� ������ ���� � �� � �� �������� ������� ���
��� �� ������ � ��� � ������� ��� ��� �� �� ��� ���� ����
�� �� ���� �� ���� ��� ��� ! ��� ��� ��� ! ��"� ��� ���� ����
��� �� ����� � � � �#� � �$ � #� � �$� ��
��� �� "���� � � ���N+�3���"� O � ����� ������ + � �� " � ���
������ ���� + �� " �� ������ ������ ��� �
��� ��� ��� ��������� ������ ��� ������ ���� � �������� * �� �����
��� � �� �������� �� ���� ������ ��������� F�������� ������� �� �����
�� ���� �� 5������ �� 3����� ��� ������ �� ������ ������ ��������
�������� ���� ���� ����� �� ������� ��� ��������� ����� ������� ����
�%&
% �� 2
2 �� &<
� � �
�
��� ��� ���
" < �� : @� � � A�2 < �� : @� � � A �* < �� : @� � � A�
@ � �� * A @� �� " A @� �� 2 A
@* �� � A @" �� � A @2 �� � A<
� � �
�
� � �
�
� � �
�
��� � ��� � @� � � A�� @� � � A�� � ��� � @� � � A��
@� � � A �� � ��
��" ��2 ��*
�� @� � � A �� � ��� ����� @� � � A
�� � �� � �� � �� � ��� �� �
�� ��� � ��� � �� ��� @��� � ��� � �� A
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
���� � �������� ������ �� �������� ������$ ����� ���� ������ �
�������� �%����� � ������ ����� �-�� ��� ���� ���������
�������� �� =���� 5������ � 3���� �������� ��������� &����� ����
��� �� �� �������� ���� 2 < � % : @� � �A& � � � �< 0� ���
�
8�� ������� ��-� ���� �� �������� 5������ �������� � ��� ��� �������
� �������� � ������ ��1 �� ������ ��� ����� ����� �� �������
�� ����� ���� ��� ����� �����
"�������� 8�� ��� �������� ������ � ������ �����*� R����� ��� �%����
��� @% �� 2 AB@2 �� & A �� ����-�� ��� ���� �� ��� ������� � ����
����� ;�� ���� ����� �� � � � ����� �� ��� �������� ��������
� ������ ����� " �2�* �< � �� �� � ���� �� ���
��� ���� � � � � � �< 0� ��� 5������ �������� ��� �������� � ���
������ �%��� �� �� � ��� �� � : � : � � �� � �� � �� < �$ � " � 2 � �
* ��� � ��� ��� � ���
0 < ��� N" � *�2 � * O
< ���
< @� � � A � @� : � : � � �� � �� � �� � �A�� � �
��� ������ 5������ ��������
J��� � � � ��� � � � �%�����
� @� � �A� : @� � � �A � � � � @� � �A < 0� � � � �
� � � : @� � � : � �A � � � � � < 0� � � � � �
� � : @�� � �� : � A � � � @�� � �� : � A < 0�� � � � � � � �
�� ������� �������� ��� � ���
0 < ���
< �� @� � � A @� � � � � � � : �� : �� : �� � *���A �� � �� �
� < 6 � �
6 �� � � < 6
� �
6 �
� < � � �
� �� � � <
� � �
� �
7 < 6� � �
� � 6� � 7 < �
� � 6
� � 6
6� �
6 �� :
6 � �
6 ��
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
"�� 5������ ������� �%��� :� ��� � ���
� � � � � � � : �� : �� : �� � *��� < 0�
��� ������ 3���� �������� �
�������� � =���� F�������� ������� ���������
"�������� ��� �������� ��� � ������ ��+�� �� ������ ����� !�� �
������� ����� ��� ��� ������ ���� 3����� �� � �������� ������ ����
����� � � ���
�� < �� � � < 6� � � < �
��� ���� �2��� ����� � � 6 � � ;����
; < � : �@� � � A < � � : � �@� � � � � A
> < � : �@� � � A < � � : � �@�� � � � A
� < � : 7 @� � � A < �� : 7 �@� � � �� A
��� ���� ����� � � � � 7 � � � � � � � 7 �� ��� �������� �� �%����� �����
; < @� � � A� : � � < 6 @� � � �A� : � ��
> < @� � � A� : � � < @� � � �A� : � � ��
� < @� � 7 A� : 7 � < � @� � 7 �A� : 6 7 �� �
���� ; �%���� �����
N@� � �A � 6@� � � �AO� : N� � � �O� < 0�
C� �� �� ����� ����������� �� � � � ���� �2���� ��� �� �� � �
� ����� �� ���� �������� �� ��� ������ �� � � � ����� �� �������
���� � � ����� ���� ��� ���� !�� � ���� �������� ���� ��� > �
� �%������ � ���
� � � < 6 @� � � �A � < � �
� � � < @� � � �A � < � � �
� � 7 < � @� � 7 �A 7 < 6 7 ��
����� ��� �%����� �����
; < @� � � A� : �� <
� � �
� �� : �
� �
� ��
�� � 6
� � 6� : 6
� � �
� � 6�
> <@� � � A @6 � A
@6 � �A@ � � A;:
@� � A @� � 6 A
@6 � �A@ � � A�
@� � � A @6 � A
@6 � �A@ � � A:
@� � A @� � 6 A
@6 � �A@ � � A< � �
��� � � ����
��
��
� : ��
�
��
��
� : ��
�
��
��
� : ��
�
��
��
� : ��
�
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
����� ����8��
17:26 30 Oct 99
> < @� � � A� : �� <
� < @� � 7 A� : 7� <
@ 6 � A; < 6 @� � A� : @ 6 � �A�
@ � � A> < @� � � A� : � @ � �A�
@ � � 6 A� < � @� � 6 A� : 6 @� � �A�
@� � �A@6 � A; � @6 � �A@ � �A>
< @� � �A6@� � A� � @6 � �A�@ � �A�
< �@� � A@� � 6A�
���� ; � > � � � �� �������� @C� 6 < �� ��� � < � � < ; < � �
��� ������ ����� ������ C� < � � ��� � ����� �� �� ���A �
C �������� *� ��� ���-�� ������� ����� ������ �� ��� ���� ����������
��������� � ����� ��������� ��� �� ��� ��� ��������� �������� C�
������ ����� ����� �� ����� �������� ���� ������ ��� ������� ���
��� ������ �� ��� ��������� �� ��� ����������� ��� ������� �� ����� �����
���� ��� ��������� ��� ��� ��� ����� ������� �� ���� ���� �� � ����
������� ��� ������� ���������� &�� ���� ���- � �������� +/� ��� �����
���� ��� ��$��� ���� ��-�� ������ � ��� ����� C� �� ��� �� �����
��� ��� ����������� ��� ��� ������ J���� ��� �� ������ ��� �������
��� �� ������ ��������� �� ��� ������ !�� ��� �� -�� �����
���� ���� � ����� �� ��� ����� ������� ������������
�������� �� =���� ��� ��� ��������� ������� ��������� �� ��� ������
�� �������� *�
"�������� 8�� ��� �������� ������ � ������ �����*� &�����
��� ��� < � �� ��� <
��� ��� < �� ��� < �
� � ��� ���
�� ���
�� : ��
� : ��
�
��
� � ��� ���
�� ���
��
� : ��
� � ��
��
�� : ��
� : ��
�
��
�� � ��
� : ��
�
��
��
� � ��
� : �� ��
� : ��
� : �� ��
� : ��
�
�� � �� : ��
� : ��
� : ��
� : ��
�
�� � �� � ��
� : ��
� � ��
� : ��
�
� *�� �� � *��
� � * ��
� : ��
� ��
� : ��
�
� *�� �� � *��
� : * ��
� : ��
� ��
� : ��
�
� * ��
� @�� � �� A� �� : �� : ��
� : ��
� � ��
� : ��
�
�# ��
� @�� � �� A�
�� : �� : ��
� : ��
� � ��
� : ��
�
*
���! ��
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
;���� ��� ������ �� ��� �� � �� ��������� ��
� � � ��� < <�
�� � � ��� < � < � ��
���� ��� �� � �� ��������� ��� �%�����
� < @� � � A � < @� � � A �� �
�%���� ����� ����� �� ������ ��� � ����� ���
� < �
5������� ��� ��� � ������ �� ���� ������ ��
�
������ � ���������� ��� ������� ��� ���
�
;�� �������� ��� ��� � ������ ��
�
������ � ���������� ��� ��� � ������� ��� ���
� <
< �
��� �� � �� ��������� ���� � ���� ! < >� � �?� ;���� ��� �������
< � � � < >� ��� ?� �
< ! � � < >� � � � � ?�
< � � � < >� ��� ?� �
�� ��������
�� � � �� @ � � �� A
��
� : ��
� � � : @ � � �� A�
�� � � �� @ � � �� A
��
� : ��
� � � : @ � � �� A�
�� � � �� @ � � �� A
��
� : ��
�
�� � � �� @ � � �� A
��
� : ��
�
��
� : ��
� ��
� : ��
�
�� : �� : ��
� � ��
� � ��
� � ��
�
*
�
� & ��
� ��
� & �
�
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
��� ����! <
��� ����! < �
�� ���� ��� ! ���� � ��� �� ��������� ��� ���� ������ ���
< �
4��������� ��� ��� ���� � ����� �� ���������� �� � ��� ����� �� �����
�� ��� �%����� ��� ��� �� � �� ���������� ����� � �������� ���
���� �� ��� �������� �%���� ��������� !����� ��� ��� ��� ������� �%����
�� �%������ ��
� @� � � A < : @� � � A �� �
"�� ����� � ��� �%������ ��
� < �
����� �� �������� ������� �
�������� �� ���� ��� �������� ���� ��� ������� ����� ����� ���
��� ������� �� ���� �� ������� ���� �� ��� &������� ������� C� ��������
������� ��-� &��������� ��������� ����� @�/**A� "�� ������ ��������
�� ������ ����� ������� �� ������ ��� ��������� ��������� ����� ��
&��������� ������� �� ����� ����� �����������
"���������) 8�� ��� �������� ������ � ������ �����*� ����
� < >� �0? � < >� �0? � < >0� � ?� � �
� > 0 � ? 0 � ? 0�� � �
8�� ��� ����� ���������� � ��� ��< � � ��� �� <
� ���� ����������� � ������ � � � �� � : � � � : � �� � � � � �
� � � �
���������� "� ��������� ������� � � � � ������ �� � � � � �� �
� � ��� �����2� ��� ���� �� �%��� ������ !�� � ���� �������� �������
� ���� ��������� ���� �� ���� � � � � �
&����� ������� ��� ������ � �� ���� � ��� ��������� �� ��� ������
! � � ��������� �� *� � +'� 4����� ��� ��� ����������� � �� ����
�� �� �� ��� �%����� ������� � ���� ������� 4��� ��� ����� ������
������� �� ������ �� ���� ���� ���� � � � ��� ����������� �� < � � ��� �
@�� � �� A ��
�� � �� : � : �
� D ��� <� � ��� ���
�� ���<
� :��
�
��
�
<�� : �
���
�� : �
��@� � �� A
�� �
�� : ��
�
# �� ���<
�
#��
�
< ��
# ���
��� �
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
������ ������� ��� ��������� �� ��� ����������� �� �� ��� ����� �������
&������ ���� ��� &��������� ������ �� ������� �� ��� �%���� @!� �A <�
@� � ��A � &����� ������� ���� �%���� � �@� � � � � � � � �A < 0� ������
� � �
� �� ����� ������ ���������� ��������� !�� �� ��� ��� �����
������� �� ������� ��� ����������� �� � E��� ������� �������� ��
�1/ �����E� ������ ��� ������� �� 2����
"�������� �� ��� ��� ������ � �� ���� � ��� ��� ��� ��� ��� ��
�� � ����� ��� �������������)
� � @� � � A � < � T � � @� � � : � : �A� �
� � � � �
� < �
��� ������ ! < >� � � ? �� ��� ���� � ��� �� �������� ���� � < � �� � �
�� ��� � � ����� ������� ��� ���������� ������
���� ��� �%���� ��
� <
� ��� � ��� � < � � ����� ��� � < � )�
� < � :� �
.������� �� ��� �� �� ����� ��� ���� �� ��� ����� �� ���� �� ����
�� ��� ��� �� ��� ������ �� ��� �������� ��� �� ��� �������������
*� � ����������
� � < � �� < � � @*�A <� �
��� ���� �������� �� ���� ��
�� < > � � � � � � � ?� �
� �
� � < > � � � � � � � ?� �
� �
� � < > � � @� : � A� 0?��
� �
��� ����������� �������� �� ���� �� ��� ����� ������ �� �%����
� < � � @ � � � : � � � A < � � @� : � A� � � �
� � � �
�� : ��
#
���� ����
# ��
+1��
� �� � � � � � � � �0��
� ��
�
�1@�� � �� � � � � A� @�� � � A�
/�� � � : � � � : /�� ��
�
�1@�� � �� : � : � A
�� ���� ���� � �� ��� � ��������
17:26 30 Oct 99
�
�
I
O�
r
R�
Figure 5.11S.8C������ ���� �������
��� ���� ������ ! �� �
� ���� � ���� �����
� > �� � !� � < �� � � �
� ��� ����������� � � < >� � � ? �� ��� ���� � ���� ��� �%�������� � � �
���� � � � � �� �� ��� � � ����� ��� �%����� �
N � � � � � O : N � � � � � O < N � � � � @� : � AO : N � � 0 O �� � � � � � � � � � �� � � � � � �
� ���
� < � < �� � � �
�� ����� ��� ������� � � � ���� ������ ! � �� � ���� � �
�� �� ������� ����� � � ������ ����4�/� ���� ������ ��������� �� ����
��� !� � < � � � � � ����� �� �%������ �� @!� �A < @� � � �A �� �
4��� � < � � ���� ����� ���
@ � � � A : @� � � A < @� � � �A� � � � �
� � �
@ � � � A � * � � : � < �* �� � : � �� � � � � � �
� � �
@ � � � A < * �@ � � � �A � @ � � � � A� � � � � � �
� � �
@ � � � A < @* � � � � � �A@ � � � �A �� � � � � � �
�
����� � � � � � � � � � � �� ���� �� ������ ��������� � � � �
Using algebra software, compute
(x � x ) = = � ,I O �
2
(2 r � y � R �) ( y � R �) = = � .O � O �
The numerators are homogeneous polynomials in x , x , y , a , and bA B C
with 31 and 14 terms. The desired equation � = � holds just in case
(Numerator of �) � (x � x + a + b) (x + b) (Numerator of �) = 0.B A A2
This polynomial has 4 × 3 × 14 = 168 terms. Use algebra software to verifythat it’s zero. �
���� �������� ��
17:26 30 Oct 99
!�� �� �� �� ������ �������� +/ � ��� ���) =���� ��� ��� ���������
�� �������� ���� �� ��� &������� ������� � ��������� ��� �������
&������� ���� �� ��� ��� ������
��
19:34 30 Oct 99
Concepts������ �����
���� ���� ������� �� ���� � ������� � �� �������
��������� ���� ������� ��� ����������
�������� ��� ���� �������� ������
������� �� ������
����������� ������� ������� ��� ����������
�������� ���� ������
����� ��� ����� ������������� �������
�� ������ �������
����������������� ������
���������
�������
����� �����
�� ��������� ��
����� ����������
� ��� ������������
���� ����������� ���� �������������� ������ ������������ �� ��� �������
���� ����� ��������� � ���� ����� ��� ��� ������� �������� �� ��� ��������
���� � ������� ������� ��������� �� �� � � ������������ ���������
�� ����� ��� �� ��� ���� �
������� � �������� ���� � � ���� �������
19:34 30 Oct 99
���� �����! �����"#�� �����#��� ������� $������ �����#��� �����
� ��� ����������� � ��� �"#���� �� ����������� ���� �# ��� �� ��
��� ����#����� ��"#���� �� #�� ��� �������� ������� � ��� ����� ��� �����
�� ��������� ��� �������� �#���� �� ��� ���#��� ������� ��� ������
����� %#� ����� ����#����� ���� #����� � ������ ��� ��#�� ����#��
����� ����� �� ��� ����� � �� ��� ����#����� �� ��#������ ����� &���
� ��"#��� ���������� ���������� ����� �� � ������ �� ���� ����
'� �# ��� ���#���� ��� �����#�� #�� ��������� ���������
���� �������� ����� �� ���� ������ �� � ��� !������ ��������� ���
���� #�#�� �� �������� ����� ���#�� �� #��� ��������� ������������
����� ��� �� ��� #����� #��� �� ����� ������ �� �� ��� ����� �����������
���� !�������� ����������� ����� (������� )� ����� ��� �� ��� ���
�������� � ��� ��������� �����#�� ������ ��� ��#�� �� ��������� �#��
�#������ ����� � ��������� ���#�#�� � � ��������� ��� ������� ���
��� ���� ��#���� � ��#����� �� !������ � *����� + ������ ��� �����
�� ���������� � ����������� �� ����� ��������� ,��� �� ��� ���������
� ���� ������ � �� ������� � ����� -�#��� ��� ��� � ������ +�+�
Basic exercises
(�������� � � ������ ���� ������� ���������� ��� ��� �� ��������
���� � !����� �� .#�� ����� � !������ � /�� ������ �������� � ���
�� ��� ��� �# � � ��#� �#����� � � � ����� ���������� ��
�#�.������� � ��� �# � ��� � � � !����� �� ���� ��� �# � ���
���� ��� � �� � �� ���� ������� � � �# �#�� ������� ������
�� �� 0 �������� �#����� ����� ���������� �� �#�.������� �#� ��� �����
� �� �� ��#�� &�����! ��� ��#���������� ��� �������� � �# ���#��
�������� � �#����� ����� ����� � �!�� �� ��� � ��� �����
����� -�# ���� ��� ���� �� ��� �� ��� ��� ��"#���� ���������� ����
� �#��� ���� ���#��� � ����� ������ ��� �� ���� ���������
��� ��� �� �����! � ���� �!�������� �� �#� �#� ������� ��
��#���������� �� �� � ������ � ��� ��!�� ��� ��� � ����
������ �� !������ � � ��� ��� �#�� ����� �� #�������
�������� �� 1���� ��� ��� ����������� ����������� �� ��� � ����
�#�� �� � �� �� ����� ���������� �� ������������
�������� *������ ����������� ����������� � � � � '� �� 2
�� � ��� 3�� 43�� 4 2 3�� 43�� 4 2 � 3�� 4� 2 �� � 2 �� 2 � � �� ��� �
�� ������������ '� �� �� ������������ ��� ���� 2 � � ���� ��� 2 � 2���
� � ���� �� 2 �� 2 �� � ���
���� ������ ��
19:34 30 Oct 99
�������� � *������ �#����� � 0 � �� � � 0� � �� �� ��� �� 0� ���
��� �� 1���� ��� �� � � �� �#�.������� ��� � �#�� �� �#�.������� /��
������ ����� �� �� �#�.������� �#� � �� ������ �#�.������ �� �.�������
��� � 1���� ��� �� � � �� �.������� ��� � �#�� �� �.������� /��
������ ����� �� �� �.������� �#� � �� ������ �.������ �� �#�.�������
��� � 1���� ��� �� � � �� ��.������� ��� � �#�� �� �#�.������ �
� �.������� /�� ������ ����� � � �� ��.������� �#� ������ � ��
� ���
�������� *�#���������� �� �������� � ��!��� � � �
(�� �� ��� ���� �� �� � � �� �� �� ��� �������� � �
���������� � ���� ������� ��!�� �������� �
���� �� '� � � � � ��� � 2 � � 3�4 ��� ���� � � �
���#�� � � �� �#�.������� �� � 2 � 3 � 3�44 �
���� �� '� � � � � � � � �2 � � ��� � � 3� 4 �2� � � � �
� � 3� 4 ���#�� � � �� �.������� �� � 3 � 3� 44 �2� �
� 3 � 3� 44 � �� � 3� 4 �2 � 3� 4 �� � �
���� �� ���� ������� ������� ���� ���� 3�4 �
3 4� �
��������
� �
������
�
������
� �
(�������� ) �6 ������ ���� �#����� ���� ��#� ���� �#������
'� ���� ������ �� ���� ���� � ��� ���� �� ������ 7 �� + ���#�� ��
���� �#����� ��������� ����� �� ���������� �� ������������ � ��� �����
�#���� ������ ����� ���� �� ������� 8� ������ 7 �����#��� ����������
����#!� ����� �"#����� �������� ��� ���#��� � ����� ��������� ��#�� ���
��� ���������� � ��� ���� ������ ��� ����� �� ����� ����� #�� ������
*������ ��#�9#�� �������������� ����������� � �����������
�������� � *������ ����� � � ������ � � � ��� ���� �#����
� � �� : � ��� ��� �� ������� ����� � 2 �� )� &��� ��� ������
�������� �� �"#�����0
34 � �� ���������� 3�4 � � �� : � �� �.�������
3�4 � � �� : � �� ��.������� 3�4 � � �� : � �� �#�.�������
�������� '� � �� ���������� ��� 2 �� : � �� � �� �� � 2
� 3 � � 4 � �� � � �� : � �� ��.������; ��#� 34 ������� 3 �4� *���� ��
3 �4 ������� 3�4 � 3�4� *������� � �� � �� �� ���������� ��� � ������
* ����� ����� ������� ������� � � � �#�� ��� �� 2 �� 2 ! � ��� � � �
�� : � 2 �� : � � �� � � �� : � �� �� �.������� ��#� ���34 �������� �
���3�4� �� 3�4 ������� 34� � 34 �� 3�4 �� �"#������
/��� � �#����� � � �� : � �� �#�.������� ��� ��� " 2 � �� � �����
������ � �#�� ��� �� : � 2 # : � � ����� # �� ��� "�� ���#� ��� � � �
��� ������ ����� # � ��#� �� 2 # ��� ��� " � �� �$ 2 # � ����� $� �
�� ��� ����� ���� ���#�� � �� � � '� ������� ��� ��� � ��� $ 2� �
��� ����� ��� �� ��� ���� �
19:34 30 Oct 99
��� �$ 2 ��� # 2 �� �� ��� � �2 <� ���� � �� ���������� ��#� 3�4 �������
34� �� ��� ��� �"#������ ���� �
�������� �� ��� � 2 �� )� &��� ��� ��� �!� �� ���� �#����
� � �� : � ��� ��� �� ������ �� ����� ���� ���� �� ��� ������
����� '����� ���� �� � ��.������= �%%�����0 /���� ������� ��� �#����
� 0 � � �� �
�������� /�� " 2 � �� � ��� # �� ��� ���� ���� �������� � � ����
" �� ���� ��� �� 2 �3� # : >> > : � # 4 2 � �# : >> > : � �# ��� ���� � � � � � � �
���� � 2 ?� � � � � � � @� '� �# 2 >> > 2 �# 2 ! � ��� �� 2 ! ��� �� � �� � � �
� ��� �!� �� � ������� �� ! ����
&#����� �# �2 ! ��� ���� " � '� �# � � � � ��# �� ��� � ��� %� � �
����#!� ! � ��� � �# � � � � � � �# �� ��� � % � ���� �� ���� �� �� � � �
*������� � �� � �� ���� � % � ��� � 2 ��# 2 �3�# 4 ��� ���� ����� �
� � �� � ���� � ��� �!� �� � � ��� ��� ��� �!� �� ����� ��� ��� % �
&#����� ! � �# � � �# �� �������� ��� ���� & � " � '�� �
�# � � � � ��# �� ��� � ��� � ����#!� ! � ��� � �# � � � � � � �#� � � � � �
�� ��� � � � ���� �� ���� �� � *������� � �� � �� ���� � � � ���
� 2 ��# : �# 2 �3�# : # 4 ��� ���� ����� � � � �� � ���� �� � � �
��� �!� �� � � ��� ��� ��� �!� �� ����� ��� ��� � 3��� ����� ���
�� � 2 4�
&#����� ! ��# � � � � ��# �� ������ 3�� � 2 )4� '� � �� � �
����� ��� � 2 � �# : � �# : � �# 2 �3� # : � # : � # 4 ��� ���� ���� � � � � � � � � � � �
��� � � � � � � � �� � ���� � ��� �!� �� � � ��� ��� ��� �!� �� �� � �
�� ��� ����� �����
��� �!� �� � � �� :� ������� �� �� ������� �� ��� ���� � : �� �����
� ���� � ��� �!� �� �� &� ���� ��� ���� �� ���� ��� 3��� ����� ���
�� � 2 4� �� ��� ����� �����
�������! �� �������� )� � �� ��.������ ��� � 2 � ��� �!� �� ���
����� ���� �� ��� � 2 ) � ��� �!� �� ��� ����� ����� �
������� 7�7�) ����� ��� �# � �� ���!�� ��� ��!�#��
�� ���� ������� ; ��� #�"#���� �������� ������� 7� �A� � � ���
�# � �� ��� � �� �� � � ��� ����� ������� ��"#���� �# �� ��!��
���!�� � ����� ������ �� ��������� -�#�� ���� ��� #�"#���� �� �#
������ ���!�� � ���� �� �� �������� �� � ��� ��#�� ���� #��
�� ��� ��!������ ����� �� ������ ���������� ��� �� ��� ��� �� ��������
� ��� ��#�� �� �"#������ ���!�� ��� ����������� -�#��� ����#��
���� ����� � ����� ����������� � ������ A� ' �������� � �# � ��#�
��� ��� "#����� ��� ������� ������� ��!���� �� ������ � ������
)� � ��!��� �� ��� �� �� ����� ������ ��� ��������� ��� ������� ���
�� ���������
�� ��
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
�������� �� &��� ��� �� � � � �� ��!���� �� ��� ��� ��!��� ���
������� ������ � �#�� ��� �B � C 2 �� *�#�� ����� �� ����'� �������
� �#�� ��� � B � C 2 � = *�#�� ����� �� ����� ��������=
�������� ��� � 2 � � 2 � ��� % �� ��� ��� �����! � �
! �� ��� �������� � ' �� ��� ��������#�� ��������� % ���� 7�7�
������� ������� � �#�� ��� ( 2 � 3�4 � � 2 � 3� 4 ; �������� � 2
� � �� � 2 � ��� ���� ��� " � �� � �� ������� �� � �� �������� '�
��� ����� � ����� ����� ��� � 2 � � ' ��� ������ ��� � 2 % �� ' � ������
���� ���� ������ �� " � � ��� � 2 � � � ' ��� ��� ���� ���( �� � �
�������!��; ��� � �� ��� ��� �#� ��#� ��� ������
'� � �� ������ ��� ��� � ��� � � ��� � � � � � � � � � ��� �
����� ���� ���������� ��� �� � ��� � � � ��� ��� �� �������� �����
�� ����� ��� /�� �� ������� � ��� � ��� � � ��� �� ��� ���
��� ������� �� �� � �� �� � ) � ) � ) �� � � D���� � �� ��� �#��� �
� � �� ������� �
�� ��� ��!��! �� ������ 7�) �# �� ��� �� ��� ��� �������� ��� ����
�� ���� �� ����� �� ���� � ������ ��� % � ��������! �� �� ���
����� ����� %� �� �# ����� ���� ���������� ���������� �� ��� �"#���
�� ������� � ��������� !���� (������� 7 ����� ��� ��� ����������
����� ��� ������� �#���� ������ � ����� -�# ��� ���������� ���#�#�
�� ���� ���� ��� �#����
�������� �� *������ ������ �#��� � ����� � � � �� � �
3&�� ��!#�� 7������4 &#����� ���� ! ���� � �
�! : !� �� �� : ��
��� ���� ���� � � � ��� % �� ��� �!�� �� � ! � ������ �����
* � + � % �#�� ��� *�!�+� 1���� ��� �*!� 2 �+!� � �%%��E
���� 0 D�� �������� � ���� ���� ����� ��� % � ���!� ! � &���
�� ������� ������� ������������ �#���� , � ��� ������ � �����!
< �#�� ��� ��� � � � � ���� � 2 ?� � � @ ���� � .#�� � ���� � �
� 2 , 3� 4 �� �
Figure 6.11.1(������� 7
�
� �
� � � �� �� ��
��
� � � �
3�� � �� 4� : 3�� � �� 4
� 3�� � -� 4� : 3�� � -� 4
�
���
3��� 4� : 3��� 4
�
�-�
3�-� 4� : 3�-� 4
�
�(
����3� 4�
���3� 4
����3� 4
����3� 4
����3� 4 �
���3� 4
��� ����� ��� �� ��� ���� �
�� ������� � ��� �� ������� ������ ��� ��������� ��� �������� ���! �"#$ ��%�
���� "&'�
19:34 30 Oct 99
�������� ��� � . ?� � � @� � 2 ?- � - @� � ������� ��� �#����� � � �
�3� 4 2 �� : �� 2 : ��
��� < 2 � �3<4 ���� �3� 4 �� ����#� ��� � 2 <� ��� ������ �
�����*!� � �����+!�
2 : 2 <� �
��� ��� �������� ������ �# �� #�� �����"#� ���� ������ 7�) ��
������ /!��� �������� ������ �� ���!�� !������ ������� �
������ ��A�
�������� �� &��� ��� �� �� ���!��� ���� �������� � � � � / � ���
��!�� �� �#�� ���( � ��� ������ ���!�� �� ��� �������� ����������
�%%�����0 &��� ����� ��� ��� !��� � � ��� �������� � : / :
/� �� 2 3�� 4 ����� �
�������� ��� ��������� �3� 4 2/� :� : / �� �������� ��� �
� � � / ��� � ���� ��� �3� 4 �� ��� ��� �� ��������� ���!��
� � � ����� �������� !�� �� ���#�� ��� � � �����
����� ��!�� ��� ��!�� �� � ���� ������� �3� 4 2 3�� 4 ����� � �����
�� �����F�� ��� � �� ������� �� � ���� ��� ��� � �� ��� ���� �� ���
����#�� ����#!� � � &������ � � / �#�� �� ��� ���� �� ��� �����
����#���� ��
Classifying isometries
,��� ��������� #��� ���� ����! �� �# �� ������ ������� � ���
��� ������ ������� ���� ��� ������ �� �� �� ����� � ��� �� �����������
� ������� ��� �������� � ��� ��!����� ���#�0
0�� � ������
��������� ���
������� ������
������ ����� � !�� �������
!���� ��������� ��� � �������
(�������� A � G �� ��������� �#��� #�� ���� ����������� �� ����� ����
���������� �� ���������� � !�����
�� �
�� �
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
�������� �� &��� ��� ������� � �� ��� �� � �� �� � 2 �� ��� ����
������� � �
�������� *���� � �� �� ���� $ ��� ����� ��� ��� �������
� �� ������� ���� ������ + �� ������ ���� !�� ������� �2
<�� ' ��� ����� ���� ��� � �� ��� ������� ���� ������ � �+� ' ��� �������
��� � �� ��� ������ ��#� ��� ��� ����� ���� !�� ������� � � ��
' ������ ���� � 2 �� � �
�������� �� &��� ��� ���� ��� ������� �� ��� ���������� �� ��� �����
������ �����������
�������� H������ � �������� �� ����������� �� ��� ���
����������� '� � �� !���� ��������� ���� ��� % � ��� � 2 � � ��� �����
������� � ���� ������ ������ �� %� ���������� � 2 � � ��� ���� �����
! � � � % � �� � 2 � � � 2 � � � ����� ' �� ��� ��������#�� ��� �
% ����#!� ! � �
�������� ��� 1���� ���#�� ���� ������� 7�G�) � ����#�! ��� ������ ��
���������� 7���+ � 7���A � � F�! ��� !��� ������ � ��� ����
������� ������ �����#� �������! �� �"#���� �� ������������
�%%�����0 %� ����#� ��#� ��� ��%�� �� ��� !�� ��������� -�# ����
��� �� !�� �������� ��� ��� ���#�� � ��� �������� '� �� �������� ����
������ 7�� �� ������ 7�G ���#�� �������� ���!��� �� !�� ��������
��� �������� ������ �� �� ��� �� ���������
�������� *������! ������ � �������� ������� ����������!
!��� ������ � ������ ���� � ��������� /�� ��� ������� �������
�������� !�� �� ���!��� �
(������� �� ������� ��� �����#� ���#�� ��� �# � #�� � ������
���� ��������� �� ��� ��� ��� �� !���� ����������
�������� ��� &��� ��� ��� ��� �� !���� ��������� � 0 � � � � �������
�� ��� �������� �� �� ��!���� �
�������� *���� � �� �#�� �������� ��� � ��� ���� *������� � ��
� �� ������ + � ��� % � $ ���� � % � ��� � 2 $ � � �+�
���� � % � � � 2 � : + � � $ �� ��� ������� �� � �
�������� �� *����#�� ���� ��!�#� �� ��� �� �������! ������� 7�G� �
�� ���� ��� �������� ���� �� ���� ��� �� ����� � ��� ����#� �����������
� ����� ��� ��!�� �� ��!�� �� ������ ������ �� ����� ������ ���� ���
�� �� ����� �����1�� ������ I�� ���������� ��� �������� ����� ����=
I�� ���������� ��� ����� ����� �� ���� �� ����� �� �����=
�!+
��
���
��
���
��
���
��� ����� ��� �� ��� ���� �
�� �(���� � � ��� �� ��)����� ��*+ ��#,$ �-� ��
19:34 30 Oct 99
��������
(���� #�� ��� 0��� ��� ��
3<4 � �� ����
3�4 � J ' 0 ' 2 % �� ' % K�
3 4 � ���� + �2 ! J ' 0 ' � K�
3 ��4 � ���� ��� )7<� �2 <�� �A<� ���� �
3 �4 � J ' 0 ! � ' K
3)4 � � ���� + �2 ! J % K� �
��� ����� ���� �� ���� 3<4 � ��� ����� ��� % � *��� 3�4 �� ��� ��
�������� ����� ����� ��� ����� ���� ������ ����� �� ������ 3 4 � 3)4
���� ����� ������ �
��� �����! ��������� #��� ���� ����! � ���� ���� ��� ��"#���
�# �� ������ ����#� ���������� ������! �� ��� ������ �������� �������
����� ����� ������ �� ����� �������� � ���� �����#���� � ������
��������� ��������� �� � � � *� �'�� �����2
�������� � � ��� + + > > >+ �� ����� ��� !� � � � � � � � ��� � � � � �
��� ���#��� �� ��� ����������! ������ !���� �� ��� ������ + ����
�� � � ���� ���#�� � ���#� + � 2 + � ���� ��#!� ��� �� � � � � � �
�
��� �� ����� ��� ��������� 3&�� ��!#�� 7���� ��� ������ ���� � 2 6�4
*������ ��������
� ���� �������
� ���� �������
� �
� ���� �������
� ��� � 2 �� ��� �� ������� ������ � ���� ����� + � !�� �������� �
� *����� ��� ������� � � � � > > >� � �� � � � � � � � �� �
�
�� � �
� �
� �� � �
� ��
� �� �
� �� �
� � �
�� �
Figure 6.11.2(������� �)
���
���
��� �
��� ������ ���
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
�������� ��� ���������� � �� ��� � ����� � � �� ���� ������ ��#��
� ���� !�� ��������
� 2 3 : >> > : : 4 ��� )7<�� � � ��
2 3�A<�� � )7<�4 ��� )7<� 2 3�A<��4 ��� )7<�
���� �� <� �� � �� ���� �� �A<� �� ���� ���� ��#� � 2 � �� � �� ��� �
� 2 �� � �� ���� �
�������� ��� *����� ��� ���������� �� !���� ���������� ���� ��������#��
��� % � ' � ������� + � 3�
�������� ���� % � ' ���� � ���� !� ��� � 2 ! : � �+ � 4 2�
! � � �3 � � 5 2 ! : � �+ � � �3 � �� ��� �!45 �� ����!�� � ���� � �
!���� ���������� �� � 2 � � 2 � � � � � 2 � � 2 � � � � ���� � � � � �
� � 2 � � � � � � 2 � � � � � 2 � � � 2 � 2 � � � � � � � � �� ��
�������� ��� *����� ��� ����������� �� ��� ��������� ����� ��� �����
�������� ��� � ��� ������� ���� ������ ?�� @� � ���� �������
�������� *������ ��� ����� �������� ��� ' � ��� ���!� ! � ��� �����
* 2 ?�� <@� + 2 ?<� �@� � ��� 3 2 ?�� @� % ������� 7�+� � � 2
� � �� !���� ���������� &��� � 3! 4 23 � � 3* 4 2* :3� ��� ����� �
� �3 � � � 3* : * : 3 4 2 * : � �3 ��� � ��� ���� ��� ��� �� ������� � �
���� ��� ��� � 2 �� &��� � 3+ 4 2 �+ : 3 � � �� ������ 3 � + 2 * ��
&������ � � 2 � � �� !���� ���������� &��� � 3! 4 2 * � + ��
� 3* 4 2 * � + � ��� ����� � �* � + � � �* � + ��� � ��� ���� ���� �
��� �� ��������� ��� ��� � 2 ��� &��� � 3�+ 4 2 * � + � � �� �������
* � + � 3�+ 4 2 * � �
�������� ��� ��� �� -� � � ����� ��� ���� �����! ��� ��!�� ��������
�������� � � � � � ( �� ���( � ��� � � 6 � � 0 ����� ��� ���� ��
��� ����������! ����#���� &��� ��� � � 0 ��� � ��� ��� �� � 2
� � � � *����� � ���� � �
34 ��� 2 ��� 2 7<� 3�4 ��� 2 ��( 2 6��
3�4 ��� 2 ��� 2 6�� 3�4 ��� 2 )<� � ��( 2 G<��
�������� % ������� 7�+� � � 0 � � � � �� !���� ���������� � ���� �
- � � � �� �� 2 � � � 3�4 2 � � 3�4 2 � 3�4 � � � �������� ��� ���� � � � � �
������� � �� ���� � ��� ��� % � ,�������� � 2 � � � �� !������� � �
��������� ���� ��� ��� ���� �� � ��� ��� �!#���� 0 ���� � % � ����
���#�� ��������� ��� ��� ��� ������� 34 �� 3�4� ����� ������� �� 2
34 ��� 3�4
3�4 3�4 � �
��������
��������
��������
��
��� ����� ��� �� ��� ���� �
��*���� �(���� � ����� �� ������ ��� ��� �� ��( .���� �'/! �''��
19:34 30 Oct 99
Constructions
/������! ���� �������� ������ �� !������ � �#�� ��� ��� ����
������ �� �����#���! �����.����#��� ��#� ������� ���� ����� �������
�� ����!����!� � ��������� ' ���� (#������ ������F��� �� ���������
������ � ��#� �� .#�� ����� �����#������ ����� �� �� ��� ���� �
����� �� ����� ���� ���� �� ������ ���� ���#�� ��� ��� � ��!�� � ���
����������������� ��� ��� ���� ���������� �������� ���!� ����
�������� !������ ��� ��� ����� ������ (�� � �� ������ � ���������
������������ �������� �� ������������ �#� ��� ���������� � �������
����� �#��� ��#���� � ���� ������ ���� ���� ��!�� � ����� �� �� �# ����
��� �� ���� �����#�������������!����!����������� �����������
� ���� ��� � �
�������� ��� &#����� �# �� �� ���� ��� � ��� ��� ���� ��!��� �
���� ���� % � ' � � " �� �������� ����� �� ������ ��� � � � � ��!#��
7����)� 8�� �� �# ��� ��� ���� � � % � ����� �# �#�� ��=
�%%����� 0 �� ���� ������ ��#�� ������
�������� /�� � 2 � 3� 4 � � 2 � � 3� 4 � � � 2 � � � 3� 4 � �� � � � � � � � �
��� � �� ��� ���������� �� % ���� � /����� � ���� ������ % � � �
� ����#� ��! � B C 2 � L���� �� ���� ������ ' � ���� 4�
� ����#� ��! � B C 2 � ��� �� ���� ������ " � ���� 5�
� ����#� ��! � B C 2 � ��������� �� ���� ������ � � ��
�������� ��� *������ ������� ���� % �2 ' � ����� ����� �� 4 �
� 5� /�� ��������!��� ��� ��!��! � % � ���! � '� �#��
��� �� 4 � � 5 �� ��� �������� �� ��� ��!����� * ����� �� ����
�� �� �#�� ���= I�� �� % 2 ' �� % � '=
�������� ��� � �� ��� ���! ���� � '� ��� ���� �� ��� ����� ��!����
� ��� �� �� ��� ������ �� � 3� 4 � ����� �#�� ��� � � B'C � ��� ����� �
�� ��� ����� ��!���� � ��� �� �� ��� ������ �� � � 3� 4 � ����� �#��� �
�
�
�
�
Figure 6.11.3(������� �+
��� �
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
��� � � � B'C � ��� ���� �� ��� ����� ��!��� �� ! 2 � � � 3� 4 � ������ � � �
�#�� ��� � " 2 � � � B'C� ��#� ! �#�� ��� � " %� &��� " � '� ������� � �
����� �� �#�� ��� #���� % 2 ' �� % � '� ' ���� ��������� ��� �������
� ��� �� " � ' ; �� " 2 ' � �# � ������ ���� ! � % � �
M�� �#� ���#��� �� �������� �+ ��"#��� ��� ��� ���� �� ����!#��=
1����� ��� *�#�� �# ����� �� �� ��� �� ����� ��� !�� ���� ����
#���� �� ��!��= 1����� ��� �# � �# �� �#��� ����� ����
����� !��� ���� ���� (������� �A ����� ���� ��������� � �����
�� 4� �5� * �# ����� �� �� ��� �� #���� �� �����= (��������
)6 � )� ������� ����� ��� !�� ���� �� ���� �����
�������� ��� *������ ��� ������� � ��� ��� ���� �� ��� % � /�� ����
� � % �#�� ��� �!��� ����#!� � �� ��� ������� ��� �"#� !��� ����
% � 8��� �#�� ����� �� �����= �%%�����0 H������ �� �� ��� �������
����� % � � � ��!#�� 7����6�
�������� *�� �� ������ � � ��� ����� � � � ��� �� 2 � B C � � � ���
��� ���������� �� % ���� �� ��� ��#� ����� �!��� �� � � ��� �
�������� �� *������ ��� ����� � � � � ��� ��� ���� �� ��� % �
/�� ����� ! � �� � 4 � % �#�� ��� ��!�� 2 ��4�� � �%�
%����� 0 *������ �������� �G�
�������� ��� �� ��� ������ ���� ����� � �!�� �� % � � � 2
� 3� 4� � ' �� ��� �!�� �� ����#!� �� ��� ���� � ��� ��� �����
�� � � 3������ �!�� �� � � � � � � �� �������4� ��� � ��
��� ���������� �� % � ' � �
�������� �� *������ ���� � � �������� ������� � � ����
��� ����� 4 � 5 � � �#�� ��� ��45 �� �"#������� D���
��� ������� � �� � � �� ���#��� ��������= 8��� ���#����
� ����� ��= �%%����� 0 $ ����� �1� ������� �#�� 4 ���=
Figure 6.11.4(������� �G
��� ����� ��� �� ��� ���� �
19:34 30 Oct 99
�������� 5 2 � 34 4 �� � 34 4 � ����� � �� ������ ��#� � ������
!�� ������� 7<�� ��#� 5 ���� � � � � B C �� � B C � (����
�� ��� ����� ������� ��#�� �������� ������ ���� �� �� � ��� ��� #����
�� ����������� �� ��� #���� �� ���#����� �
�������� � 9��� ���( ���� ��� ? G<�� ��� ����� ( � ( �� �
��� ��!� �������� ( � ����� � � � � ��� ��!�� �������� � �� �
� �#�� ��� � � ( ( �� ����!�� � ( ( 2 3� ( 4 �� � � � � � � �
�������� &����� ���� �� ������� �� ��� ��!� �������� � � � ����
(� �� ��� ���� �� ��� ��������#�� ���� �� �� ��� ��!� ��� � ��������� �
( � /�� ��� ���� (� � � �#�� ��� ��(��(� � ( �(� 2 3��(�4 �� � � � � � �
/�� ��� ���� �� �#�� ��� ����(�(� �� ����!��� ��� % �� ��� ���� � � � �
����#!� � � �� � /�� ��� ���������� � �� % ���� ��� ��!� ������ �
���� � � 1�� ' � � ����#!� � � /�� ��� ���������� � �� ' ���� ���� �
��!� �������� � � /��� � ��� ��� ���� ( � ( �� ��� ��������#���� �
�� � ����#!� � � � � �� �
�������� � *������ ���� � � ��� ������� � � � #����
� @ <� /�� ����� ( � � � � �#�� ��� (���� � �( N�� 2
� � 8��� ���#���� ��#�� ����� ��= M�������� � ��������� � �# ��
��� ��� � �� ����� � ��� ����� ���#��� �� ��������� �%%������ 0 $
����� �1� ������� �#�� ( ���= M�������! � �� ������#��; �# � ��
�� ���� ��� ����� � ����������! �� ������ ���#�� ���� �� ����� (
� � � � � ��� ������ �� �#� ���������� � �� ������!
� ��� ���#��� �� ��� ��������
�������� ��� � �� ��� ������ �� �������� ���� ����� � � ����
� � ��� ( 2 �� 3�4� �� ( �#�� ��� � ���� � �� B C� ����� �������� �
�������� ������ ���� �� �� � ��; ��� #���� �� ����������� �� ��� #����
�� ���#����� &#����� � ��� ������ ! � � ; ��� 4 2
!3� � �4 : �� � '� � �� �#�#�� ��������� ��� � �� #�#�
���� ����� 4 � '�� ��� ��#�� �� �!�� �� ��� ��� ����� �����
�!��� �� � ; ��� �#��� ��#�� �� �!�� �� ����� ��� �����
������ �!���� 3����� �!��� �� �������� � ��!#�� 6�7�6�4 ' ����
��� ��� � �� ��� � ���� �#�#�� ��������� �
Exercises on equations
(�� �������� #��� ���� ����! �� ����������� ��� �"#��� ��2��:�
�� ���������� � 0 � � ��� ' ��������� 6 �� 7 ��� ������� �� �����
�� ��� ��� �"#������� ��� ��� ������ �� � � ��
������ �����
���� ������
�����
�����
������� ����
����� �������
����
����
��
� ��
��
� ����
�� �� ��
�
��
� ��
� ��
� ��
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
�������� �� ��� ������� ��#� ��� ���� / 2 ?�� @ ��� �� ��� ���
� � � 2 < ��� ��� ��� � � � 2 ��� M������� ����� �"#����� ��#���� � � �
�� ��#� ������ ������
�������� ��� ����� ������ �� � �� �� ��� !��� ���� ��� ����� ��
��� ����� �� 2 � �� � ��� � ��A�6)6G� � 2 : �A<� ��� � ��
�7���7���� (�� ������ �� �"#��� � � �� 2 � � : � ��� �� ��#� ���
� ���� ������ � � &��� ��� ��� ��� ������ / 2 � / : � � �� � 2�
/ � � / � /�� ��� ������ �� �"#���� �
� � 2 � :
����� ��� �����
� � 2 � : � �
�������� �� *������ ���� � 2 ?� � � @ �2 ! � ��� ��� % � �
����#!� ! �
��� �� &��� ��� � �� ������
� 2 # � 7 � ����� 7 2 �� 2 ��
��� � *������ ��� ��� ' ����#!� ���� 4 � &��� ��� � 0�
� � � � �� �"#���
� � 2 �� : 74 �
��� � /�� �"#��� ��� ��� ��������� ����� ��� ��� ' ���� �"#�
��� � : � 2 )�� �
��� �� /�� �"#��� ��� ��� !���� ��������� ���� ��� ' �
������ ? ���@�
�������) ���� �� ��� ���#��� ��� ���� ��� �� ������ � ��� ���
��� 3 4�
���� �� �� 2 � : �� ��� ���� ���� � � ��� ������� $ 2 � � 3� : � �4 2�
� : � � �� ���� � ' � �� < 2 � 3$ � 4 4 2 � � : � � �� � � � 4 � ��� � � � � �
� 2 � � 3� � 4 4�
� � 2 � � �� 3� � 4 4���
� ��
� ��
� ��
� ��
� ���� ��
��
��
��
��
� ��
� ��
� ��
���� � ���� ��
���� � ���� ��
� ��
� ��
� ��
��
� �� ��
�� �� ��
�
��
��
� ��
� ��
�
� ��� � �
� ����
��
�� � �
� � �
�
�
�
��
�
�
��
��
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
��
��
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
��
��
�
�
�
�
��
�
��
�
��
�
�
��
��
�
�
��
�
�
�
��� ����� ��� �� ��� ���� �
19:34 30 Oct 99
2 � � � : �
2 � � : �
2 � � : �
2 � � : �
2 �
���� �� ' ����� ����#!� 4 2 ?�� �@ � ' � ����� � 2
?�� @� ��#� � � 2 �>� : > 2 ���
7 2 2
� 2 # � � �7 2�
� �74 2 2�
� � 2 � : �
���� 8� ��� !���� ��������� �� ��� ���������� �� �� ��� ��������� ��
��� 3)4 � ��� ������� � ���� ������ ? ���@� �� ��� �"#��� ��
� � 2 � : : 2 � : � �
�������� �� *������ ����� � 2 ?�� <@� � 2 ? � <@� � ( 2 ?<� @�
� ��� ���� � � 0 �� ��� ����#��� �� ���( ����#!� � � ( �
�������! �� ������� ��A��� ���( E ���0�
��� �� /�� ��� �"#���� �� ��� �������� � 0 � � � � ��� ���
���( ��� ���0�
�
��
�
�
��
��
�
�
�
�
� �
� �
� �������� ����������
����������� � ��������� �
�
�
34��� 2
�
��� :
�
���
��� 2 ��
��� :
�
���
3�4��� 2
�
��� :
�
��� : �
��� 2 ��
��� :
�
��� � �
3�4��� 2
�
��� �
�
���
��� 2 ��
��� �
�
���
3�4��� 2
�
��� �
�
��� : �
��� 2 ��
��� �
�
��� � �
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
��� � I���� ��� ����=
��� � (������ � � ���������� �� ���� �� �� �� �����0 ����������
�������� ������� !���� ���������� ������� � ���������
��� �� /�� ��� ��������
�%%�����0 ��� ������ �� �������� � ������ ��� � ���� ��� ���#���
�� � ���� �� ��� ���� �"#���� � ��� #����� -�#��!�� �� �� �����
��� ��� ��� 3�4� ��� ���� � 3)4� $� �# ��#�� ����� 3)4 ����� !���������� �
��� �� 3�4�
�������) ���� �� � �� �"#��� �� 2$� : + ��� ���� ����� $ �
������ + � H�!�� �"#���� � 2$� : + � � 2$� : + � � 0 2$( : +
� � ���� �� ��� ���� �"#���� � ��� ������ �� $ � � � &���� ����
�� ���
$ 2 + 2 �
���� �� ���$ 2 � � � � �� � �� ��� � � � �� ��� �"#�� �� ��� ���� � �� �
�� � 2 � � ��
���� �� (������ �
� � 2$� : � 2 � � ��
���������� � �� ��� ���������� �� 3�����4 ��� ������ ��#� ! ���� !��
���������)��� ��� ��� ��������� � ��� ��!�� � 2 � � ��� ��������� �
���� ����� ! � ���� � � � � 3���4 ��� ������� ���� �����
��� ?�� �@�
���� 8� �� ��� ��� ������� � � ����� �"#��� � 2$� : � �� !�� � 2
3# �$ 4 � 2 ?7�� @� ���
(������� + ��� �# �� ������ ��#� ������������ /����� ���� ���
��� ��� ����������� ��� �# ��� ��� ��� ����� � �� � ��� ������ ��������
���� ���������� D�� ����O ��� ��!�� �� ��� ���� �#� �� �# ����#��
���� ����������
�������� �� &��� ��� ����� ��� �������! � ����� �� �"#���� ���������
������� � � � ������ ���
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
��
��
�
�
�� 2�
��� :
�
��� : �
�� 2 ��
��� :
�
��� � ��
��
��� :
�
��� 2 ��
��
����
�
��� 2 � �
�� 2�
��� �
�
���
�� 2 ��
��� �
�
��� �
��
��� �
�
��� 2 <
��
��� �
�
��� 2 < �
��� ����� ��� �� ��� ���� �
19:34 30 Oct 99
�������� *�� ����� ����������� � �� � � ����������� � ��� � ��
��� ������� ���� ������ ?����@� ���
� 2 � 2 �
-�# � ����� ��� �� 2 �� 2 # 0 ����� �� �����!�� �������� ��#�� �
� � � �� ����������� � �� �� � 2 � � � � 2 �� � *���#�� ��� � 2
� � ���� 2 �� �� ���� ��� � � � �� ��� � � � � �� ����
&��� � ����� ��� ���!� !� ���� ������ ��#� ! ���� !�� �������
� ��#� � �� ��� ����� � ������ � ������ 7�A� �� ��� 2 � � ���
�� 2 � � � � ���� � ��)��)�� % ������� 7�G�)� � �� ��� ������ �����
!�� ������� � *���#�� ��� ��������� � � � �� ��� ����� �� �
� �����! ��� �"#��� � 2 � 3� 4 0
��� ���
-�# !�� � 2 ?� � � �� � � @�� �
&��� � ����� ��� ���!�� ���� ��������� ����� ��� % ����#!� !� 1����
� � % �� �����0
��� ���
���� � ���� �� �"#���� �� ���#��� '�� ���#��� ������� �� �� �����
� 2 ?� � � @ �#�� ��� � 2 � � � ��#�� % �� ��� ��� ���� �"#��� � 2� � � �
��� ����� � 2 ?� � �@�
��� !���� ��������� � ��� ��� ���!� �� ! � 2 ?����@ � ��� ����
* 2 ?�� <@ �� * � 2 ? � � �� � �@� % �������� ��� �������� 4 2�
� � 3! : ! �4 2 ? � � �� � � @ � 5 2 � � 3* : * �4 2 ? � � �� � � @ ��� � ���� � � � ��
��� ' � ����� ��������� �� �"#��� � 2 4� : 53� � 4� -�# � �������
��� �� � 2 �� : 5 � /��� � � �� ������ 4 � � 4 2 � � �� � ��
������ �������������� ��#�������������#��� ��� ������Classifyingisometries ����!� �� ����� ���� �# ���� ���� ��� �� ���� ���� �����
�"#����� %#� ��� ��!�� �� ��� �������� � �
�������� �� *����� ��� ����������� �� ��� �� ������ ��#� ����
? � )@ � ��� ������� ���� ������ ?6� �@� � ���� �������
� �
� �
< ��
�� <
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
�������� ��� 2 �� � � �� ��� ������ ����#!� !�� ��#� ����
���!�� ��� � �� ��� ������� ���� ������ � 2 ? � )@� % ������� 7�G����
� 2 �� � 0 � � � 3� � � 4 : � �� ��� ������ ����#!� !�� ��#�� ���
� � ��� � �� ��� ������� ���� ������ + 2 ?6� �@� ���
�� 0 � � � 3� : + � � 4 : � �� 0 � � � 3� � � 4 : � : + �� �
% ������� 7�G�)� ��� ��� ���� ������� ����#!� !�� � ����� ������
� / �� ����� ��������� ����� �# � ����#�� � �����! ����
� �����0
2 � 3 : + � � 4 : � / 2 � 35 � � 4 : � : +� �
3� � # 4 2 � 3� � + 4 � �3� � # 4 / 2 � � � � � +� � � �
� ?� A7�6+� G�7A@ / 2 ?� A �6+� )6�7A@� �
�������� �� *����� ��� ����������� �� ��� �� ������ ��#� ����
? � )@ � ��� 6� ������ ��#� ���� ?�� 7@� � ���� �������
�������� ��� � 2 6� � � �� ��� ������� ���� ������ 4 2
?�� 7@� % ������� 7�G���� � 2 �� � 0 � � � 3� � 4 4 : 4 �� ��� ������� ���
����#!� !�� � ��#� 4 � *������ ��� ������ � � ��� �������� A
���#���� % ������� 7�G�)� ��� �����������
� 2 � � 0 � � � � 3� � 4 4 : � 34 � � 4 : �� � �
� 2 �� 0 � � 3� � � 4 : � 3� � 4 4 : 4� � �
�� ���� �� �������� ����� ������ � / �� ����� ��������� �����
�# � ����#�� � �����! ���� � �����0
2 � � 3 � 4 4 : � 34 � � 4 : �� � �
3� � � # 4 2 � � 4 : � 3� � 4 4 � �� � � � �
2 ?6�)+G � ��6 ��@
/ 2 � � 3/ � � 4 : � 3� � 4 4 : 4� � �
3� � � # 4/ 2 � � � : � 34 � � 4 � 4� � � � �
/ 2 ?6�6 ��� ��)+G @� �
�������� �� *����� ��� ����������� �� ��� �<� ������ ��#� ��� ���!�
� ��� ��������� ����� ��� ��� ���� �"#��� � : � 2 �� � ���� �������� �
�������� �� ��� ��� �"#��� �� ��� ���������� ��� �������� 6� ���
3 4� ���� � 2 ?�� �@ � 4 2 ?�� <@� !����! � � 2 ��
7 2 74 2 � � 2 �
H�������� � ��� � � �� 9 � � ������ � ��� � � � � � ��#���
�� ������� ����������� � � �� 2 �� � : � � '��� !���� ������������
��� �������� 5 2 � � 3� : ��4 � � 2 � � 34 9 4�4 ��� � ��� ���� L#����� �
��� ����� ��� �� ��� ���� �
19:34 30 Oct 99
��� ������� �������� ��� ��� �"#��� � 2 �3� �<�4 � : ��<G�A� ���� �
������ �� 5 � � 5 2 ?�<�<+G )� <�<G66 @�
�� �� ����������� � � �� 2 � �� : � � � '��� ��� !���� ��������� ��
���� ��� �������� 5 2 � � 3� : � �4 � � 2 � � 34 9 4 �4 ��� � ���� �
���� L#������ ������� �������� ��� ��� �"#��� � 2 �3� 6<�4 � :� �
<�G�G�� ��� ������ �� 5 � � 5 2 ?�<�<G66 � <�<+G )@� �
� !�������� ���������� � �������� ���� ����� �� ��!#�� �����
�� ����������! ��!#������ ��!�������� � ����� ����� -�# ��#��
��� ���� ������-� ������ �� ��� ����������-� �� ��� ������� ��� ��1'��
������� ����� ������� ���� #��� � � ��� !������ � &#����� ��� ��!#��
�� �������� � ����; ��� �� �� ��� ��!�� � ���� � ���� ���������
?� � � @ ������� �� ��� ����� � ���� �� ��������� ?� �� � �@ �������� � � �
�� ��� ������ ��������� ���� � �� ��������� �����,�� ����� ��� ���
��� �������� ��� ?� � � @ �� ?� �� � � @� &��� ����� ��!�� �'�� � ���� � � �
���� !�������� ���������� ������0 1���� �� ��!#�� � ��� ��� ����
�������! �������� ����� -�# ��#�� ��� �� ��� ����� ������������ ��
��� ��� ���� ��� ��'�1��� �� ����� �� ���� �� "��1� ��� &#����� �#
�� �� #�� ��� �������� � ����� �� ����� �������� ������ �� ����
�������� '��� #�#�� �� �� ��� ��� ������� � ��� �������� ��
��� ��� �����; ���� ��� �� ��� ������� ��������� ��� �# � ������
�"#��� ��� � � 8�� �� �# #�� ��� �� ��� �"#���� ��� �����
��� ����������! �������� ���� ?� � � @ � ?� �� � � @ �� ���� � =� � � �
3����� ����������� ���� �����#���� ���� ���!��� �������� ������
#��� ��� ����! Transforming coordinate systems � ������ 7�G�4 /�!#���
� � �#� ����� � �� ��������� � �"#���� ��� ����� ��� ��� �������
��� �� ����� � �� � � 8�� �� �# ������ �"#��� ��� ������ ��� � �� �� ��� � � � � �= (������� )� �������� ���� ������� �� ����� � �
�������� -�#��� ��� �� ������ ��� � ��� �� #�� ��� �"#��� �� � �
��� �� ��� ������� -�#��� ��� ��� ��� �# ������� �"#���� ��� ��������
��!#��� ������ � ������� ��� ��� ��!�� �"#���� �� ���� �� ��������
�"#�����
�������� �� &#����� ���� � ������ �� �#� �����*����� ��������
� ���� ���� ���!� ! � �#��� #��! #����� �� ����
0 ���!� ! � 2 ?)� @�
0 #�� ���� *� ��� ��� ����� ��� ������ ����� � ���� �� !� � ���
��� ����#!� ! � ���� ����� �� �
0 #�� ���� + � ��� ��� ����� ��� ������ ���� � ���� �� ! ��
� ���� � 2 ?� � � @ �� ��������� � � � � � ������� �� ���� ������ � � �
���� � �����
��� �� /�� ����#�� ��� � � � � � � ����� �� � � � �� � � �
���
���2
�� <
< �
���3�6��4 ���3�6��4
��3�6��4 ���3�6��4
�� � )
�� �
��� 2 ��
��� �
�
��� :
�
�
��� 2 ��
��� :
�
��� :
�
�
�� 2 ��
���� �
�
���� : )
�� 2 ��
���� :
�
���� : �
�
�
� �
��� 2 ��
� ��� � � �� � :
�
�
��� 2 ��
� ��� � : �� � :
�
� � �
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
��� � /�� ��� �"#��� �� ��� #�� ������ ���� ����� ! � �����
�� ��� #����� �������� � ����0 � �#�� ��� � �� � �� �� � ��� � � ����� ��� �"#�����
��� � � 2 � �� ��� �"#��� �� ����� � � /�� ��� �"#��� ��� ��
� � ����� �� ��� #����� �������� � �����
��� �� � 2 ��� � � � 2 �� � ��� < �� � ? � �� �������� �"#�� �
���� ��� ������� � � /�� �������� �"#���� ��� � � ����� �� ���
#����� �������� � �����
�������) ���� �� ��� ������� � � � � ��� ��� ! �� * �� � + � ��
! � * 2 ?�� <@� � + 2 ?<� �@ �� � �� � ����� % �� ��� ����� ������ ��
���� ��� � � �� ��� ������ ���� !�� ������� �6�� ��#� ! �
��� ���
� � 2
���� �� �� ���� ��� #����� �"#��� ��� � �#�����#�� ����� ����������
��� � � � � ��� �"#��� � : � 2 �0 �# !�� � � : � � � �� � �� � � � � � �� � � �
� � : � 2 <��
���� �� ��� ��� �#�����#��� � � 2 � ����� ��� ������� #����� � ��
�"#���0 � � : � �� � : � � � �� � � +� � : �6 2 <�� � � � � �� �
���� 8� �� ������ ��� #����� �"#���� ��� ��� �������� �#�����#�� ���
!��� �������� �"#���� ��� ��� �"#���� ��� �� � �� 0 �# !��� �
Reflection calculus
M#��! ��� �G <� 9����� ������ ���������� ��� �� ����#��� �
������ ���������� �� ��� ��!#��� � ����� �� �"#���� ������! ��������
���� �� ���� � ��� ����������� ��� ����� ��� ��������� #��� ���� ����!
�����#�� ���� ������� -�# � ����� ���� � ���#���! �"#����
������
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
2 ��
���
���
�
��
�
��
�
2 ��
���
���
���
���
�
��� ����� ��� �� ��� ���� �
19:34 30 Oct 99
������� ������� �� ��� �� ������ �� !"##$ ��� � � ��������%
� ����� � ���� �� &��� &�� '$ ���� ������ �� ��� ��� ������ ���
��� ��������� �� ������% ����� �������� ��� (�%�% �� !#�) ���� �
��������� � �� �������� �������% � ����� � ������ �� *�������
��� ������$ ������ � �������� ����� +���������� �� ���$ ���� ��������
�� �������������� � �� ������$ � � ������ �� ������������ �����%
'� !#�# �� ������ ,�������������� (� �� �� ���-% ����� �� ���
������ ��- � �� �������� �������$ ����������� ���� &������ �����-�$
��� �������� � ���� �� ������������ ����� ��� ������� �������%
'� !#))$ �������� � ��� .�/� ������ ������ �� �� ���������$ �� ��������
�� �� �������� ������� ���� ����� � ����� ��.�/� ��� ��� �����-��
.�/� ������� �������� �� ��� ������% ��� ��������� ��������� ���
�������� ��� ����� �����% ����� ����$ �� �������� ������$ � �
���- ������� ����- �� !#)0%
������! ����������� ��� �#��� ��������� � �������� ������ �!��
��� -�# ���� ��� �� #�� ��������� ��������� � -�# � ��� ���� ������
�,������ �������
�������� � &��� ��� ��� ����� ! � �� � 4 � ��� ����������
� � � �� ��� �#� ��#� ���� 5 2! � � :4 � � !�54 �� 3������� �
��!�����4 �������!���
�������� &��� ! � � 2 5 � 4 � !�54 �� 3������� ��!�����4
�������!��� �������� � � � � � �� �"#� � ������� 7�6��� � �
���� � � � 2 � � � � �
�������� � M������� ��� ��!#�� ������ � ����� � � � � ( � � : ���
����� � � � � � � 2 � � �%%����� 0 H��� ���� ��������� � � � � �
�������� ���� �"#��� �� �"#����� �� � � � 2 � � ��� �� � � � �� � � � �� � �� � �
3� � : 4 : 3� � : 4 : 3( � : 4 2 ! � �� � : � : ( 2 ): � � �� : 2
� � 3� :� :( 4� 8��� ��� ��!#�� ������� �� ���( � ��� ������� : ����
�� �� � ( �� ��������; ��������� �� ������� �� ����� ������� �����
� ����� P���!�Q� �
�������� �� *����#�� ���!� ���� !��� ��!� �������� $ ���
$ � '� �� #�"#�= 9�����F� �#� ���#��� �� ��� �� ��� !�� ���� �����
��!���
�������� M���� ��� ���!��� �������� � � �� � � � ��� � 2 � �
� � �� ��� ��� ��!� �� ������� $ � ��� � �� ������� �� �
�
��
���3�� 4
��
�
��
�
��
�
��
�
������
����
���
� ���
���
���
���
�
��
�� �3�� 4
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
������
���
���
���
���
�
��
�� �3�� 4
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
���� � 2 $ � $ : $ � $ : $ � /#������ � 2 ��� � 2 � � � � � ���
< �� )� ��� ���!� �� #�"#�� ���� �����"#� !�����F�� �� ��������
��� !� ���� ��� #���� �� ������ !��� ���������� ��� �� ��!�
��������� �
�������� �� I�� � �# �����#�� "#�������� ���� !��� ��!�
��������= I�� �� �� #�"#�= 8�� ��#� ���!�= �%%����� 0 I��
��� �� ��!#�� �� ������ � ��� �������� �� ��� ��!�� �� "#��������=
$� ���!�=
�������� % �������� 6��� ��� ��!� �������� �� "#�������� ����
�������!��� *������� � �� ����� $ �� $ ���� �������!���� �
��� $ � $ 2 $ � $ � �� $ � $ : $ � $ 2 ! � ���� ����� � � � � � � �
� �� ������� ��
2 2 . � 2 � �
-�# � �#��� "#�������� � � � �� ����� ��!� �������� �� $ �� � �
$ � �����! � 2 ��� � 2 < �� �� ���
��� ��!� �������� $ �� $ �� ���!� � � � �� ����� � �
�"#��� $ �$ :$ �$ :$ �$ 2! � ���#�� � �� ������� �� ���� � � � �
�������
2 �
������#�� ��������� �� ��� ������ � *������� � �� ����� $ �� $ ����� �
��� �"#���� ��� �# � �#��� ���!� � � � �� ����� ��!��������� �
�� $ �� $ � ������! ���� � � �����! � 2 ���� ���
� 2 < �� 6� �
(�������� )6 � )� �� ������ ������ �� �������� �+ � �������� � ��
�������� �A� * �# ��!�� ��� ���!� � ���!� � ��� -��������
�����= -�# �� � ��� �#������ !�F�! ��� ������ ����� �� ����#��!
���� ��� �����O
� ���������� �� ��� ��������� ���#�#� � ���#��� ������ ���� �� ����
�#������� � ������ �G))� (�������� )7 �� )G �� �������� ���� ������
6 �� ��� �����
�������� �� *������ ����� � � 4 � ���� % � ' � � ��� �������
� 2 � � � � � D��� ��� ������� � ��� ����� � ���� �� � 2 �=� � �
�%%����� 0 /����� ������ � � � � � �� � �
�������� /�� ��� ���� ! � 5 �� ��� ��������#��� " � � ��
% � ' ����#!� � � ���
� � 2 � � � � 2 � �� � � � � ��
� � 2 � � � � 2 � � �� � � � � � � � �� � ��
��� ����� ��� �� ��� ���� �
19:34 30 Oct 99
����� �� !���� ���������� ���� ��� " � � � ������� 3! � � 4 �
35 � 4 4 � L��� � 2 � �� � �� �� � � 2 3� � 4 � ���� ������� ��� � ���
�"#����� �� " 2 � � 3! � � 4 2 � 35 � 4 4� ���� �� ����� �� � ��
�� ! � � � 4 � � 5 �� ������� � ! � � 2 4 � 5 � �
�������� �� 1���� ��� ����� �������� � ���� % � ' ��
�"#�����0
34 % � ' ;
3�4 ��� ��� ���� �� � � � � � � 2 � �#� � � � �2 � ;� � � � � �
3�4 ��� �� ���� �� � � � � � � 2 � �#� � � � �2 � �� � � � � �
�������� ���#�� % � ' � ������� ������ ���� � � ��� 4 �
5 �� ��� ����������� �� % � ' ���� ��� ��������#�� " �� % �
' ����#!� � � % ������� 7�6��� � � 2 � � � % �������� ) � � � � 2� � � � � �
� � � 2 � ��� ���� ���� ! � &��� � � 2 � �#� � �2 � � *������� �
34 ������� ������� 3�4� *���� � ������� 3�4 ������� ������� 3�4�
�� ����� ��� ������� 3�4 ������� ������� 34� ��#�� ��� 3�4 �����
� 34 ����� � ���#�� ���������� � �������� D��� ��� ��#������
� 2 � � ��#�� �� ������� ������ ���� !�� ������� � � � � �
������� 7�G�)� � � � 2 �� ��#�� �� ������� � ���� �F���� � �
������ + � �� ���� ������ ���� !�� ������� : �A<�� �������!� �
�� �� ��#�� �� � �� ���� ������ ���� !�� ������� � '� ��
������ �������� �������� ���� ��� ��#����� �� �� 2 � �#� �� �2
� = ��� �������� ��� ���� �� � 2 � �#� � �2 � � ����� �� ����� ����� �
��������� ��� ������� ��� ���� �� � <� �#� �N <���� )7<�� ����
� �A<� � �� 2 � ��� ���� ���� ! ; �#� ��� � ��#�� ��� �� ��
��� ������� � � � ����� �� ����������� ��� ��#������ ��� �����
��� �� ����������� �
�������� �� *������ ���� ���� � � - � � � � ��� �������
� 2 � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �
1���� ��� � �� ��� ������ �� � �� �� �� -� � � �� �������� �� ����
��������� ���!�� ���� ��!�#�� ��!�� � - � � � �%%����� 0 '���
�� �� ���� ��� ���������� ������� � 2 � � I�� ������� ���!���
������� ��� ��� % ����#!� ��� ���� �R � (R �� ��� ����#��� ������
���#�� �� - � � � I�� �� % � �= I�� ������� �� � 2 � � � =� � �
�������� '� � � - � � � �� ��������� ��� � 2 � ��� ���� ����
� � � ������� 7�6�+ �� 7���7� ����������
� 2 � � � � � � 2 � � � � 2 � � 2 � � 2 � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �
L����#�� ��� ���� ���!��� % �������7�+� � � �� !���� ���������
���� ��� % � ������ + ������ �� % 0 � 2 � � � �� 2 � � ��#��� � ��
� 2 � � ��� � � � � 2 � �� � �� ��� �� �� �
���� ������ ���
�� ������� �� � 1�� ���� 2��� ��� ��$ 3������ 4�� �� ���� �)�� ��� �� �1�������
� �� ���� � ���5 ���� 2�� ��� ���� � $ � $ ��� � $ �(���� 2�� �1������ ��6� � � 7 � ���� �
���� �� � � � � � 7 � ��� ��� ����*�8�� 2��� ���� � � �
19:34 30 Oct 99
� ��� 2 ��� �
� �� 2 ���� �
� � 2 � � �� �� �� �
% ������� 7�+��� ���� �"#��� ����� �� � �� �� � �� ������ �� +
���� ��� � � % � '��� �� �� ��� ��� � � % �� � �� �� ��� ���!�� ��
��������� � ����������
��� ���#��� �� ��������0 � ��� ����� ��!���� ���������� �������
� 2 � � % ��� ������ ��������� ���!#���� ������� � 2 � � *������� �
�� � 2 � � ��� ��� ���� �� ������ �������� �� ��� � � ��� ����� ���
��� ����� ��!��� ������� ��� ����� ���!�� �� ���������� �
�������� �� &��� ��� ��� ���� � � - � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�������� ��� ���������� � 2 � � � � � 2 � � � �� !���� ������������ � � � � �
�� � 2 �� � � 2 �� �� ��������� ��������� �� 2 �� � �� ��� � 2� �� �
�� ' ���� �"#��� �#�����#�� ��� ��������� �� � � � ��� ��� ���������
�� � � � �� !�� ��� ������� ���#��� �
Exercises on the definitions of isometry and similarity
��� ��� ��� ��������� �� ������� ���� �#����� ��� �� ��� ���
�� ������ �#� ����� 3�����!� 4 ����� �������� �� ���������� ��
������������
�������� ��� &��� ��� �#���� � 0 � � � � ���� ��� ��� �� ������
��� ��������� ������ �� ������� � ��� ��� ���� ��� � �������� ���
� � � 2 � ��� �� � � � ���#�� ��� � �� �.������ � �#�.�������
�%%����� 0 /�� �#�.������� � !��� � �# �#�� ��� � �#�� ��� 2
��; ������ ��� ����� � � 4 � ������� ��� ���������� �� �� � �
� 4 ��
�������� � � 2 � ������� < 2 � � � 2 � � ���� � 2 ; ����������
� �� �.������� �� ����� ��� ���� �#�.������� ������ ���� � -�# �#��
��� ���� � �#�� ��� � � 2 � /����� ������ ������� ����� � �
4 � *������ ��� ������� � � � ���� ������ � � 4 � ���� � 2
�� � � 2 4�� &��� � : � ��4� 2 �4 � ��� ������� �������� � �� ��
��� ������ ������! � ������� ��� �#� �"#�� �4 �� ��� '� �������
�� �� ���������� � � ��� � �� � : � �4 � 2 �� : �4 2 � : � 2 �4 2
� �4 � � � � : 4 � 2 � : � � ����� �� � � � ���� ��� ������ � �
� 4� � ��� ��� ������ � ���� � �� ���� � � 2 � L�� �#����� �
��� ����� ��� �� ��� ���� �
������* ��� 9��6����6� �'! �'"$ �������(�
:� ����2�� ��� �� ���2� � �� ���� ������� ��� ���������; �� 2�� � ��� 2��� �� ������
���2�( ���$ ������� ��� �� )�� �� �� � ���������� ���� �2 �� ��������� ����� *��8 �� �$
)�� ���� �� �� �� ����� � 2��� �� ������� ������� *��8 ������$ )�� ����
� �����
��� �(�����$ <���� �"#$ ������ -��
19:34 30 Oct 99
� � ��� ��� ������� ����������� � � � � ��� ��� ������� � �� �
� �� ���� ������ � � � 4 � � ���� � � � ��� ��� �������
����������� � / � ���#�� � : � @ ��4� 2 �4 � %#� ��� ��� �������
��!�� � � � � � ��� ��� � � � ��� ���#�� � �� � 2 �� 2 � �� � � �
4�� � 2 4� 2 � ��� � 2 � � � ���������� ������ � � 2 � � � 2 / ��� � � �
� � 2 / � � � 2 � �� �
�������� ��� ��� � �� �������� #���� � � �� �#���� ���� ���
��� �� ������ �#�� ��� � � � 2 � 3� 4 ��� �� � � � 1���� ��� �
�� �������� ���� ���� �� �%%����� 0 D�� �������� 6<�
�������� ��� � �� �������� ���� ���� � � ��� � 2 �� �� ��
�#���� ���� ��� ��� �� ������ ��� ��������� �������� % �������� 6<�
� �� ������� � �� � 2 � �� �������� ���� ���� � � ���
'��� �������� �� ���� ��� ��������� �� ������� � �������� ���
�#����� �� ����� ��������� �#!!���� /�� ������� ������ �� ��� �������
�� ������� � ������ � ���� ��� ��� ������� � . � �� � ��
�� � � � 2 � �������� ��� � �� ������� �
Dilatations
� ���������� �� ��� ���������� � 0 � � �� �#�� ��� ��� ��!� %� 2�
� B % C �� ��� % �� ��� ������ �� �"#� �� %� ��� ��� ��#� ��������� ��
���� ������ ������� ��� ����� �� ��������� ����� �� � �.�� ���� �
���� ������F���� �� !������ � -�# ���#�� ����� ���� �����#� #��!�
����� ������� ���� � ���� -�#� ���#���� ���� ������� ����� �� ���
������� ������� ��� ������������ ������� 7��<�A� ���� #���� ��� ����� �
��� ����� ��"#���� � � ���� ' �#� ���#���� �� ��������� 6) �� 6�� �#���
�������� �� #�� ��� ���#��� � ��� �������! ����������
�������� �� 1���� ��� ��� �������� ���� ���������� !��#�� $�
��� ����#� � ��� �� ���������� � ����������� ��������� � ���� �������
����� �� �������� � ����� ��=
�������� ��� ��� �������� ���� !��#� ������� ���� ��� ��� ���
������� �� ;�� �� �"#������ ������ � ��� ��� �� �� ����� ���
������� !��#� ���#��� �� ��������� ��� �#��� ��������� �
�������� �#� � !���� ����������� � � ������� ������ ��� �#��� �
���
�� ��
��� �
���
�������� �
���� ������ ���
19:34 30 Oct 99
�������� � � &��� ���
34 ��� �� ������� ���� ��� ������� �������� �� ��� ������ � �
3�4 �� � � � �� �������� � � 3� 4 2 � 3� 4 ��� ��� �������
����� � � ��� � 2 � �
�%%������0 /�� 34 ���� ����� ��� ������� � 0 � � � � ���� �������
�������� � � 4 ����� ���� ���� ��� � � ��� ������� ����� ��
��� ���� L��� ��� ��� ����#!� ������� �� ����� � ���� � ���
����� ���� �� ������
�������� &#����� � �24� �� 2 �� � 4� 24� ��� 5 �� ���� ��
������� ���� � � 4� � ������� ��� ���� % 2 � ' 2 � ���
%� 2 % ���#�� % � �� ������ �� �"#� �� % � � ���� � % � % ��
&������ � '� 2 ' � �� 5 � 5 � ��� � % � '� '� 5 � �2 5 � ��� % 2
' � � 5 ��#�� �� ������� ���� � � 4 � ����������O ��#� � �����
���� ���� 5 �������� ���� � � 4 � L�� �#����� � �� ���� ����
���� ���� � � 4 � ��� �!#��� �� ��� ������#� ��!��� ���� 4
� 5 ������� � 5 � � ������� ��� � ����� � � 1�� 34 �� �������
�� ����� 3 �4� ��� ��� � � �� ���������� ��������� �� ���� ��� ������ ����
�������� ��� &��� ��� ���� ������� � 0� ��� ����� �� �������
�� �������� �%%�����0 /�� � � 4 �#�� ��� ���4�4 �� "#������
���� ��� ���� ��� �� ��� �� �������!���
�������� &#����� � �� ������� �#� �� �������� ������� ����
� ��� ����� �� �2 � ; ����� % 2 � ��� �� ���� � % � % � � �� % � 2
% � &����� ���� 4 �� � % � �� ��� � �24 � � ����� ' 2 � ���
'� 2 �2 ' � 4� �2 4 � M���� " 2 � ��� 4 � ���� � " � "��
�� " 2 "�� '� " ���� ������ �� �"#� �� % � ��� �� �4 �4 ��#�� ��
3������ ��!�����4 �������!��� ������� �� ������� � �#�� ���
� 3� � 4 2 � � � 34 �4 2 4 � � ��� ������� �� ��#�� ��� �������
�������� � � 4 ; � �������� 6)� �� ��#�� �� ��� ������ � � ��#��
�� ��� ������� � � ����������O ���������� " �� ������ ������ ����
�"#� �� % � �� % " �� ���� ! � ��� ! 2 !� ���#�� ! � !� ����
��� � % 2 % � � � " 2 "�� �
�������� ��� 1���� ��� ���� ������� ����� �� ������� ��
��������� ������� �� ��� ���������� �� �������� �� ������ ����
��� ��� �#� ��#� ��� ������
�������� &#����� � 0 � � � � �� ������� �#� �� �������� %
�������� 66 �� �� ������� ! � &����� ���� � �2 ! � � ������� ���
�������� �� ������ � ���� ����� ! � ���� � 2 !� N!� �� �� ���
�� 2 � 3� 4 �� �� 2 � � 3� 4� ��� ��� ������� � � �� � � � �� ���� � �� �
���� �������� ! � � � �� ���� ��� ������ � ��#� � 2 � �� � � � �
���
20:02 30 Oct 99
Concepts���������������� ���������
�����������
����������� �� �������� ���� ��� ���� ����������� ��� ���� �����
����� ����
����������� �� ������������ ������������� ��� ���������
���������� ���������� ��� ������������� ���� ����� ���������
������ �������� ��� ����� ����� �� ����������� ���� ����� ���������
���������� ��������
���������������� ��������
�������
��������
�� ������ � ��
����������� �����
� ������� ���
����������
���� ����� ����� ����� ��� ��������� ������� � ��� �������� ������
������� � ���� �������� ��� ����� ����� ��� �� ��� �������������� ����
������ �������� ������� ������ ������ ���� ��� ������� Commuting reflec-tions and half turns�Conjugacy exercises� ��Classifying isometries� �����
���
���
���
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
��� ��������� ������ �� � ��� ��������� ������ �������� �� ������
� ���� ������� �������� � ��� ��������������� ��� ����������
���������� �� ������� ��� ������ ��������� ����� ��������� �������
���� ��� ��� ���� ������ ���� � ����������� ��� ��������� ����
��� ������ Exercises on equations ��������� � � ���� ��� ��������� ��
�������� ��������� ��� ��!����� � ���� ��� ���� � ��� ��!����
������ ���������� � �������� ���������� �� ���� ����� � ������ �����
��� ����� � ���� ����� "���� �������� � ��� ������������ �������
�� ���� ���� #���� � ��������� $ �� % �� ���� ���� ��� ������
Reflection calculus ������ �������� �� ����� ���� ������ � ��� ������
� ���� ��� "���� ������ ��� ����� ����������� ���������� �
������� %�
General exercises
&�������� ' � ( ��� �� ������� ���� ������ ��� ������� ������ � ����
��������
�������� �� )��� ������ *�'�+, ��� � ������ ���� ��� ������
������� �� ��� ������ � ������ � , -������ ��� ��� � ������ %�.�*�
� ���� �� #�� � ���� � ������ ����� ������� �������� � ������
� � � � �� ��� ���� � ������ � �������� � � � / ������ *�'�(�
���� ��� � �� ������ &��� ��� � � � � � ���� ���
�� ��� ��� � � � � / ������ *�'�.� � �� ������ #���� � ���� ���
� � ���� ��� �� ��� ���� � � � �� � � � �
� � / ������ *�'�.� � �� ������ �
�������� � )��� ������ *�+�(, 0 ����� � ������� ���� � ��������
� ���� ��� � 1 � � � ��� ���� � �� ������������ � ��� ����� � � � �����
� ���� ��� ���� � ��� � �� ������ �, -������ ��� ��� � ������ *�+�'�
� ���� �� ����� ���� ��� ����� �� �������� ������ ��� �
� ����� ������ ���� �� ��������������� ������ ��� ��� ����� #�����
������ � �1 � � � �� � ������������ � � � �� � �� � � ��� �� 2� 3 �1�
� � 2� 3 �� � ��� � � ��� � � � ����� ������ � �1 � ���
� ���� � � ��� � ���� ������������ ��� �� 2� 3 �1 � � 2� 3 �� � ���� �
� � � ��� � � � �
�������� � )��� ������ *�$�', 0 �������� � ������� ���� � ������
� ���� ��� � 1 � � � 1 � � � �� �������� � ��� ���� � � � �����
�� � , -������ ��� ���� � ������� *�+�. �� *�+�+�
��� ��������� ���
20:02 30 Oct 99
� ���� �� ����� ���� � �� � ������ ��� � � ����� �������
���� �� ��������������� -� ��� ��� ����� ��� � � �� �� ���� ��������� �
������� � ��� ��� ����� �
&������� + �� ��� �������������� ���� � �������� %�''�4�
�������� �� ��� ���� � ������ � �� ��� �� �� � �� � 1 �� �� ���
������ � �
� ���� �� 0 ��� ������ � �� � ����� ���� ����� � �� ����
��������� � 5�� � �� ��� ����� ���� ����� � �� �� ���� ����������
� � � ��� � 1 �� � 6������ � �� �� ��� ������ ���� ��� ����� �
� � � �
&�������� $ �� % ������ �������� �� ���� ������ ������� ������
���� � ����������� ��������� ���� ��� ����� %�'' �������
Exercises on the definitions of isometry and similarity �� Dilatations� -�
���� ����� ���� � ������ �������� �� � � ����� ��� ������ � �����
�� ��� � ����� ��������
�������� �� #������� �� ���� �������������� ������ � ���������
%�''�+78%�''�+' ��� �������� � ������ �� ��������� �
� ���� �� ��� ���� � �������� %�''�+7 �� ����� � � 1 � � ������� 7 1
� �� � 1 ��� ���� � 1 � 9 �������� � �� ��������� � ���� ���� ����
����������� ������ � ��� �� "� ���� ��� � ��� � ���� ���� � � 1 ��
#����� ������ � ������� ���� � � � � �� � � ����� ������ � ��
��� �� �� ����� �������9 �� ��� ����� ��� �:�� ������� � � :
���� ��� ������ ��� ���� ��� ����� ���� ���� �� ; �� 1 � �� � ;
���� 1 ���� 1 �� � ����� ���� �� ����� 6����� ��� ������� ���� ������
� � � � �� � �� ����� � 1 ��� � 1��� � �� � 1 ��� � ����� ���������
�� � ����� ��� ��� � � ��� ��������� � � � ��� ��������� �������
���� ������ ��� �� �� �� �� ��� ���� ����� ����� ��� ���� �����
� ����� 2<���� ���� � ������=3 ���� � ���� � �� � � ��������� �
� ���� ��� � �� � �� ���� � � � �� ������� � ��� � � � ���� ����
� 1 � 2� 3 �
��� ���� � &������� %�''�+' �� ��� ����9 ��� ����� �� ����� � �����
�������� �
�������� � #������� �� ���� �������������� ����� � ���������
%�''�+.8%�''�+$ ����������
� ���� �� ��� ��������� %�''�+. � +$ �� ����� ������� ��� ����� ����
� ��������� �� �������� � ������� �
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
Commuting reflections and half turns
��� ������ � ���� ������ ���� ����� ��������� �� ���� ����
������:��� ������� ����������� ���������:���� ���� �� �� ��� ��
� ����� %�(� ���� ����� ��� �� �������� ���� � ��� ���� � ���� ��������
- �������������� ������ ����� ��� ��� � ��� � ������� �����������
���������� 0 ������� �������� � ����� ����������� ���� ����
������ ��� ������� ������ � ���� ������� ���������� � � ��� ������
� � ��� �������� - ����� ��� ���� � ���� ������� ��� ����������
� ���� ���� ������ /�� ��� ��������� � ��!���� ��� ��� �����������
�������� � ��� ��� �������� ���� � ����������� � �� ����������
�������� �� ��� ���� ��� ������� � � � �� ��� ��������� ��� �
��� �������� ���� ����� .2� � � 3 � �� ��� ��� ������ �����
� 1 � �
� ���� �� / ������ *�+�+� � 1 � � 2� ; � 2� 33 � � � 2� 3 1 .� � � ��� �
�� ��� � � �������� � � 2� 3 1 .� � � � ��
� � 2� 3 1 .� � � 2� 3 1 .� � 2.� � � 3 1 � ; .2� � � 3 �� � �
��� ��������� ������ ���� ��� .2� � � 3 1 .2� � � 3 :���� ���
� 1 � � �
�������� �� ��� ���� ��� �� ���� ��������� � �� � ������� �
���� ��� � ���� � � �� � ���� ���� � � �� ��� ���� ��� ���� ���� �
��� � � � ������ � �
� ���� �� 5�� � 1 ���� � � ���� � � 2� 3 1 � 2� 3 � -� � ��� � � ���� � �
� � ��� ������ ��� � 2� 3 � � ������ *�+�+9 �������� � � 2� 3 �1� � �
� 2� 3� ���� � � �1 � � � -� � � ��� � � ��� � 1 � � 1 � � � � � � � � � � � � �
������ *�+�(� ���� � � 1 � 1 � � � �� � � � �
�������� �� ��� ����
���� �� � ���� ��� � ������� ���� � ���� �������� � �� ��� �
� �� � ���� � � � � � � 9
���� � �� � ���� � � � ��� � � �� ��� �������� ����� ��� ����� �
������������ � � ������ � 9
���� � �� � � � � ��� � � �� ��� �������� ����� � �� � �� �
� ���� �� ��� � ���� � ���� ������ ������ � � ������ *�+�( �� ���
������������ � � � ��� � ���� � � � /�� ���� ����� ��� � � 1 � � �� � � � �
�������� ��� ��� ���� � ��� �������� � �� � ���� ��� � ������� �
�� �� � �� � ���� � � �� � ���� ���� � � �� ��� �������� � ���� �
���� � � � ������ ��
��� ��������� ���
20:02 30 Oct 99
� ���� �� 5�� � 1 ���� � � ���� � � 2� 3 1 � 2� 3 � -� � ��� � � ���� � �
� � ��� ������ ��� � 2� 3 � � ������ *�+�+9 �������� � � 2� 3 �1� � �
� 2� 3 � ���� � � �1 � � � -� � � ��� � � ��� � 1 � � 1 � �� � � � � � � � � �
� ������ *�+�(� ���� � � 1 � 1 � � � �� � � � �
�������� ��� ��� ���� ���� ���� � �� � ���� ������� ���� � ��� �
� ������ �� �� � �� � � � � �� � ���� ����� � � �� ��� ��������� �
����� ��� ��������� � � �� � �
� ���� �� 5�� � �� ��� ��� ������������ � � �� � � �� � 1
���� � � ���� � � 2� 3 1 � 2� 3 � -� � �� � ������������ � � � � ����� � �
� ��� � ��� � � ��� ������ ��� � 2� 3� � ������ *�+�+9 ���������
� � 2� 3 �1 � 2� 3 � ���� � � �1 � � � >� ������ � � � � � ���� �� � � � � � �
� ��� � � �� ������ ��� ����� � �� � ������ � ������������
� � �� � � ��� � � 1 � � � � 1 � � 1 � �� � � � � 1 � 1� � � � � � � � � � � � ���
� � � �� �
Conjugacy exercises
��� ������ ������� � ����������� ��������� ���� ��������� �
������� ������ ���� ���� ������ � ����� %�?� ���� ������� ��
������� �� ����������� ������� ������ ��� ������ �� �������� ���
%7� ������ ������������ ������ ������ ��������� ��� ������
������ ���� ����� ����� ��� ���� �� ���� � �������������� ��������
���� &������ ������ � ������� * ������ ��� ��� �������� ������
�������, ��� ������ ����� ��� ��� �� � ����� *�'� �� ������� *�.�$�
*�(�(� �� *�(�$� #������ ������� ���� ������ ������� ����� ���� ���
������ �� ����������� ��� ��� ������ ���� �� ����������
&������� '. ���� ����� ���� ��� ���� ���������� ��� ���� ���� �� ���
��������� ���� �������� ����� ������ ��������
�������� �� ��� ���� � � � 1 � �� � � � 1 � �� � � � �� � � � � � �� �� �
��� �� � ��� � � �� � ������ � � ������ �, 6����� �������=
� ���� �� � � � �� �� �� ������������ 0���� ��� ��� � ���������
%�?�4 � ��� ���� � 2� 3 �� ��� ��� ������� �������� � � � � �� ��� �����
������������ �� ��� ������� �������� ��� ��� � @ � A � 0� � ��� �� �
� ��� ��� � ��������� ���� ���� ���������� �� � � �
�������� �� B������� ��� ������ ����� � � ����� ���������
� ���� �� 0 ����� �������� �� � ������ 1 � � � � ����� ����� � �
� �� � ��� � ���� � � -�� ������� � � ������ � , � � � � ��
�� 1 � � � � � 1 � � � � � � � � � 1 � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � �� �
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
����� �� �� �� ��� � � @� A� ��� ������� �� ���� � ����� ������������
����� .2� � � � �3 ��� ��� ���� ����� �� .2� � � 3 � ��� ����� � �
C������ � ����� �������� � 1 � � � ���� ����� .2� � � 3 ��� ���� �
���� ����� �� � �������� � ���� ����� ����� ��� � �������� � �����
� ���� ���� � @� A 1 � � ��� ��� �������� � ���� ���� � � 2� 3 1 � � ��
����� ��� ����� � ���� ��� ��� ������������ � � ������ � ����
���� �� � 2� 3 1 � � >� ��� � � �� � � � ���� � 2� 3 1 � � � 2� 3 1 � � ��
� @� A 1 � � -� ����� ���� � 1 �� � - ������ � �� � ������� ��� ���
� ���� ������ � � ��� � ��� ���� ������ � ��� !�� � � �����
� �� �" � ���� � � �
�������� ��� B������� ��� ������ ����� � � ���� ���������
� ���� �� 0 ���� �������� �� � ������ � 1 � � � � ����� ��� � �
� ���� ������ � ��� � � � � -�� ������� � � ������ � ��
��� 1 � � � � � 1 � � � � � � � � � 1 � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� �
����� � @ A � � @� A � � @� A �� � @ A �� � @� A ���� ������ � @ � A �
��� �������� ����� ����� � � @ A �� � @� A ���� ��� ���� ��������
�� ���� ����� � �� � � � ��� ������� �� � ���� �������� ����
��� ���� ���� ��������� �� ���� � � � C������ � ���� ��������
� 1 � � � ���� ��� ���� ���� ��������� �� � �������� � ���� ������ � �
����� ��� � �������� � ����� � ���� ���� � @� A 1 �� ��� ��� ��������
� ���� ���� � � @ � A �� ��� ��������� � 1 � �� � � �� ����� ��� �����
� ���� � ���� ���� �� � @ A 1 � �� �� � @� A 1 � � >� ��� � � �� � �
� ���� � @� A 1 � � � @ A 1 �� �� � @� A 1 � � -� ����� ���� ��� 1 � ���
- ������ � �� � ������� ��� � � � ���� ������ � � ��� � ��� � ����
������ � ��� �� �" ���� ����"��� �
�������� ��� B������� ��� ������ ����� � � ������
� ���� �� 0 ����� �� � ������ � 1 � � � � � ����� ���� � ��� � � �
� ��� � ����� � �� � � -�� ������� � � ������ � , � � � � ��
��� 1 � � � � � � 1 � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � �
1 � � � � �� � � � � �� � � � � �
����� �� �� �� ��� � � @� A �� � @� A� ��� ������� �� ���� � �����
���� ����� .2�� � � �3 ��� ��� ���� ����� �� .2� � � 3 � ��� ����� �
�� ��� �������� ����� ����� � � @� A �� � @� A ���� ��� ������������
�� ���� ����� � � �� � � � ��� ������ ���� ��� ���� ���� ����������
C������ � ����� � � � � � � ���� ��� ���� ���� ��������� ����� � �
����� .2� � � 3 ��� ��� ���� ����� �� � �������� � ���� ����� �����
��� � �������� � ����� � ���� ���� � @� A 1 � ��� ��� ��������
� ���� ���� � � 2� 3 1 � � ��� ��� ����� � ���� ��� ������������ �
������ � ���� ���� �� � 2� 3 1 � � #���� � ��� � �� ��� ������ � ���
���
��� ��������� ���
20:02 30 Oct 99
�������� ����� � ���� ������ � �� � � ���� � �� � @� A 1 � � �� ���
� � � � � � � � ���� � 2� 3 1 � � � 2� 3 1 � � �� � @� A 1 � � -� ����� ����
� 1 �� � - ������ � �� � ������� ��� � � �� � � ��� � �����
�� ��� �� �" ���� ����"��# � !�� � ��! �� �" �����
� ���� � � � �
Classifying isometries
&������ � ���� �������� � ����� �������� ��� ������ �� � ������� �
� �������� �� � ������� ���� ��������� � ���� �������� �� �
������� � � ����� �� � ������� ���� ��������� �� � �����
�� � ������� � � �������� �� � ������� ������ D��� �����
���� � �� ������� ��� ���������� &�������� '% � '4 ���� � ���
��������� D��� ���� � ��������� ��� ��� ������ �������� ����
������ � �$� ������E
�������� � � D����� ��� ������� � � �������� �� � ���� ��������
��� ��� ��� ������E
� ���� �� #�� ������� ���� � �� � �� � ���� ������ � ����
���� ��� ������� �� � 1 � � � � #�� ��� ����� � �� � ������� � �
� �� � ������������ � � � ���� � 1 � � � � ��� � � � � ��� � �
���� � ��� ������������ ����� � � ������ *�+�.� � �� � �����
��������� 2 �� � � ��� ������3 -� � � � � �� ������� � �� ���������
� ���� �� � ���� ��������� �
�������� ��� D����� ��� ������� � � ����� �� � ���� ��������
��� ��� ��� ������E
� ���� �� #�� � ���� � �� ������� ����� �� � ������ � ���
� ���� ���� ��� ������� �� � 1 2� � 3� � -� � � � ��� � � � �� �� � �
���� ���� � ��� ������������ ����� �� � ������ *�+�. � ����
�� � ����� ��������� / ������ *�+�(� ���� ������ ��� � ����� ���
� � � ��� � ���� � � ��� �� � ����� ������������� - ���� ����
����� � ���� �� � ��������� / ������ *�+�( ���� ������� ���� � �� �
�� � ���� � ���� � � � �� � ���� ��� ������������ ����9 �
���� ���� ������ *�+�$ ���� ���� ���� � �� � ���� ��������� �
�������� ��� D����� ��� ������� � � �������� �� � ����� ���
��� ��� ������E
� ���� �� / ������ *�$�(� ��� ������� �� � ������ -� ���� �� �
�����:������ ������� ����� � � � �� � ���� � ��� ������������
���� ���� ���� �� � ��� �������� ��� � �� � ��� �� ��� � �� �
�� � �������� �� � � �� � ������ ��� ��� ��� ������ �� ������ �
���
� � � ��
� ��� �
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
������� �� ��� ����� � � � � 1 � � � /�� ��� ������� � � � �� � � � � �
�������� � �� � ������� ����� � ������ �� � ��������
� � ������� ��� � ���� �� ��� �������� � � � ���� ��� ������ � �������
������� ���� � � �
&�������� '% � '4 ��� ���� ��� � � ������� � ����������� � D��
� ��������� � ��� ������ ��� � ��� ������� �� ���� ��� �����
��������E C�� � ��� �������� ��� � ���� � ������ �������
��������:������ �, ��� ������� � �� ������� - �� �������
��� ��������� �� ������9 ��� ������ %�?�(� - ������ ������ � ���� �����
��� ������ ������� &������� '? ����������� ��� ��������
�������� ��� D�� � �� ������ ������E D����� ����� �������
� ���� ���� �� � ������E
� ���� �� -� ������ � �� � ���� ���� � �� � ������� ���
� 1 � �� � � � 1 � @�A � ������ *�(�$� ���� � 1 � � � ���� � � � ����
� �� ��� �������� ����� � � F������� ��� ���� � � �� � ����� � 1
� � ���� � � � �� � �� ��� �������� ����� � � ���� ������ ������
�� �� � �� ��� ���� ��� ���� ����� � ��� ��� ��� ���� ���� ����
������������ ����� - ��� ����� ���� � � �� � ����� ���� ��� ���
����� - ��� ����� � � �� ��� ���� ��� ���� ��� ��� ������������ �
��� �����
��� ������� � �� ������� ������ � �� � �� � ������
-� ���� �� � ��������:�� �������� ��� � �� � �� ��� ���� ���� ����
������� �������� ����� -� ���� �� � �����:�� �������� ��� � �� �
�� '7� ������ 2���� ��� ���� ����3 ���� ������� �������� ����� 2G����
��� ���� � ����� ������� �� � ���� ��� ���� ���� � ��� �����3 -� ����
�� ������:�� �������� ��� � �� � �� ��� ���� ���� ���� ��������
���� � �� � ���� � ��� ������������ ���� �
Exercises on equations
0� � ����������� ������������ ������ � ��� ���� � ���������
� ����� ������� ����� ��� �������� ��� ��� �������� � �������
���� ����� ������ ��� ������ � ���������� � ������ ��� �������� �������
� ��� ���� ��������� � � � ��� ������ ��� � ��������� ��� ���������
���� ���� ������ ������ ��� ���������� �������� - ��� ����� ��� �����
������� � ����������� �������� %�''�.$� � ������ �!����� �� ����
��������� �� ���� ���� � ����� � ��� �!����� � ����� ������ �� �����
�������� �� 6����� � ��� � 1 H � � � � � I �1� �� ��� ���� � �� � �
������ � � ��� ���� � ��� �������
���
� � � �� ��
� ����
� � ��
� ��� � �� �� �
� � � � ��
� ��� � �� �� � �
� � ��
� ���� �� �� �
�
� ���� �� ��
��� �
'
� ��� � 2� �� 3
.
� ��� � 2� �� 3 �
.
� ��� �� �
.
� ��� �� �
.
� ��2�� � 3�
.
� ��2�� � 3�
�% ;.
� ��& � . % �
'
� ��& �
��� ��������� ���
20:02 30 Oct 99
������ � ��� �� �������� & 1 �� � >� ������ ��� ���� � �
���� � , � � � � ��� �!�����
�
� ���� �� � � 1 � ; � �� ��� ������ � ��� ������ ' 1
� � 2� ; � �3 1 � ; � � � ���� � � �� �
7 1 � 2' � �3 1 � � ; � � � � � � � �
�
>� ����� ��� ������ �������� 2� � 3� �� ��� ������ ������ �2� � 3 1
2�� 3� 1 &� � �� �������� 2� � 3� 1 &� � "� ��� ��� �������� ��
� � � ��� �������� � ��� ��������� �
�������� �� #�� � �!���� �� ��� ���� ��� � � � � ���� ��� ��� �
���� ���������� �!����� � 1 �� ; � � ������ � , J�� ��� ������ & 1
�� �������� � �������� .7�
� ���� �� ���� � � �� ��� ������ ' 1 � � 2� ; � �3 ���� � ��
� �� ��� � ���� ����
' 1 � ; ��
7 1 � 2� �' 3 1 � 2� � � � �� 3 1 � 2� � � 3 � �2� � 3
� 1
� � 1 .' � � 1 .� � � ; .��
1 .� � � ;
1 .� � � � ;
1 .� � � � ;
1 ; � �
���
� �
�� � � � � � �
� � � �� � � �
� � � � � � ��
�
� � �
�
� �
� � � ��
��� �
�
��
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
��
�
��
�
�
�
��� �
�
�
� � �
�
� �
�
�
�
��
�
��
��
� � �
�
��
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
��
�
��
�
�
� �
�
�
��
�
��
�
� � �
�
��
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
��
�
��
�
�
� �
�
�
��
�
��
�
�
�
���
�
�
�
��
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
��
�
��
�
�
� �
��
�
��
�
���
��
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
- ������ �� ���������� � ����� ����������� ���������� � ������
����������� ��� ����� �!������ ����� ����� ��� ������ ����������
J�� ������������ ������� �������� �������=
�������� � #�� �!����� ��
2�3 ��� �������� ����� ��� ���� � ���� �!����
( ; .( ; (( 1 +9� � �
2�3 ��� ����� �������� ���� ����� � �� ����� H(��.� � �I9�
2� 3 ��� ���� ��� ���� ��� ��� ������ ���� H'� '� .I ��
H.� '� 'I�
� ���� �# ���� )� � ������ ������ � � H'� '� 'I� �� � � � �����
� 1 H'� .� (I� ���� � � 1 'K' ; .K. ; (K( 1 '+�
�
���� *� ��� ����� �������� �� ��� ������� � � � ��� �������� ��
���� 2'3 �� ��� �������� � ���� ����� H(��.� � �I� � ��� �!���� ���
�
+ 1 �
7 7 '
7 ' 7
' 7 7
, 1
(
.
(
�� ���
�����
��
� �
�
���
�
�
�
��
�
��
�
���
��
��
�
��
�
�
�
��
�
��
�
��
��
�
�
���
�
��
�
��
�
��
�
���
�
���
����� ��� �����
������ �� � ������
����� �� ��� ���� �
� �
��
��
��
��
�
��
�
��
��
��
�
��
������
������
������
��� ��������� ���
20:02 30 Oct 99
���� -� #��� ��� ����� � �������� .'� ��� �!���� �� �� 1 +� ; ,�
�����
� �
�������� � 6����� ��� ���� � � �������� ..� ��� ���������� ��
� � �� � ���� ��� ������� ����� �� ��� ��� � � � ������ � � #��
�!����� ��
2�3 ��� ����� � , � � � � ���� � ���� ���� � � ����
���������� �������� � ��� ������� ������9
2�3 ��� ���� �������� �� ��
������ �, ��� �!���� ��� ��� ��� � � 1 +� ; , �� ��� ������ +
�� ��� ����� , � #�� ��� ���� � � ����� � ����� ��� �������
�� ����� � �� ��� #�� ��� ��� �!����� � � 1 +� ; , �������
� � ���� � ������ ����� �!����� �� ��� ������ ������ � + �� ,� ���
���� ���
� ���� �# ���� )� #�� � �� �� �� ��� ���� �L �� �L ��
���� ���� ��L 1��L 1 '� ��� � 2� 3 1� �� � 2�L3 1 �L� 5�� � 1
H'� .� (I �� �L 1 � � � � ���� �L 1 '� . 1 � ; � ���� � ����
� 2. 3 1 . � 6����� ���� � 1 �L��L �� ��� /0 1 2�L � � 3 M �L� �
���� L � � �� /L 1 '� 5�� �L 1 � 2� 3 � ���� � 2�L3 1 �L� / �
�������� .7� �L 1 1� ; .&� � ����� 1 1 % � .& �� & 1 /L2/L3 � �����
�� ��� ������ � + �� , ��� �!����� � � 1 +� ; , ���� � 1 � � �L�
. � �� �L� � ���
�
� � �
����� ������ ������
�� �� ������� ������
������� ������ ��� ���
� �
�����
������
�����
(� � �� (� � ��
(� � �� (� � �� �
(� � � �� � ��
(� � � �� � ��
(� � � �' � 7 �
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
���� *� ���� �� ���� 2'3� ������ � 2. 3 1 .� � . � "� ���
� �
��� ���� �� ��������� ���� ���� ������ ��� � � ������� � ������
� ��������� � ���� ��� �!����� � ������ � ������ �
� ������ ��� ����� ��� ���� ������ � ��� ������������ ������9
� ��� � �!���� �� ��� �����:�� �� ��� �9
� ��� ��� �����:�� �� ��� �9
� ��� � �!���� �� ��� ����:�� �� ��� �:�� ������ � ����� �
������� � ������� �� � ��� ��� � ��������� ���� ����������
� ������� � ������������� � �� ��� � ��� ������� � ����� ����
� � ������ � , � � �� 1 +� ; , � #� � ������� ���� ���� � ���� ���
����� � ���� � 1 � � :���� ��� � 1 +� ; , � � 2% � + 3� 1 , � -� % � +
�� ���������� ������� ���� � ������ � � G��������� ������ ��� � ���� �
� �!������� � �� ����� � �� ������ ��� ������ ������ � �����
��� ��� ������ "� �����
� ������ � ��� ����� �!���� �!������� � 7 1 ' :������� �
������9
� ������ ��� � ���� � ����� ���!��� �!������ ���� �!������� � 7 1 7
:!�� ��� �� �����9
� ������ �� � �� ������� �!����� �� � ������� � ���� ���������
� ���� � �������� ���� �!���� � ( ; � ( ; � ( 1 � 9� � � � � �
� ������ �� � � ������� �!���� �� �� �!�����
����� N �� �� � O 1 N'� .� ( O : � �� ����� ���� � ����������
�!����� �� � ��� � �������,
� ��� ����� ���� � � � ������ � # �� ���� � ���� ���� �� ;�
���� � �1 � � ����
+2�� ; � 3 ; , 1 ��L ; � ��
�������
��� ��������� ���
� ������ � ������� ��� � �� � ���� �������
20:02 30 Oct 99
����� �L 1 +� �� �� 1 +� ; ,� ���� � ���� ��� ��� � � ������
� � � ��� � � � ������ � �� -� ����� ���� � � � � ���� � ����
�L �� � ������ �������� � �� /�� � ��������� ������ � � � �� ���� � ����
�L 1 P�� ��� ����� ���� � ����� ����� ���� �� � ��� ��� ������ �
���� ���� �L 1 P�� ���� ��� ����� � ����� +� 1 P� :���� ���
2+ P % 3� 1 � � ����� ��� ��� ���� � �� ����� � 1 � �� #� ���� ��
��� � �� � � ���� ��� � � �
� � � � 1 +� ; , � � 1 2+ � % 3� ; , 1 ��
�� ��� � � "� ���� ���� ��� � ����
2 % � + 3� ; �� 1 ,
� ����� ����� �!����� � ��� ����, � �� ��� ������ � � �
���� ������ �������� �� ����� ����� ������ ����� ������ ���
���� � ����� ���� #� ����� ������������ ���������� �� ��� ������
��� ������ �� ������ � ��� ��� ���� � � � ����� � , � � � � 1 +� ; ,
���� ��� ������� Q����� � ����� ���������� �� ���� ������� ��������
���� � ������� ���� � � ���� � �������� ���� ����� ��
� � � � 1 � 1 2� �3� � � ��
+� ; , � � 1 @+2+� ; , 3 ; , A � @+� ; , A
2+ � .+ ; % 3� 1 2 % � + 3,�
2 % � + 3 � 1 2 % � + 3, ��
"� �� ��� ��� ���� � � � ����� ���� ������� ����� � ����=
"� �� ����� � � ��������� � � +� ; , ���� ���� � � �������
++ 1 � % 9 ��� ������� ��� ��������� ������ � � � +� ; � , � � � �� �
����� ��������� ��� ������ � ����� � ����� �������� � ��� (��� ����
���� ���� ��������������� ������� ���� ����������� ����� ���������
"� �$� �� ���� � ���� �� ��� ��������� � ��� � � ���������
���� ������� �����������
"� � ��� ����� ���� ������ � � �������� � � ������� �����������
�� ��� ������� ����������� B ��� ��������� ���� �� � �= 6��� ����
������� ������ �� �� ��������� �������� "���� ���� ����� ������ �������
� ��� ������������ �������� � ������ ������� ��� ������� �����
� 1 7� D��� ���������� ������� ����������� ���� ���� ��� � 1 7 (������
� ���� ���� � ������ �� ���� � �� �� ���� ����� - ��������� ����
�� �� � �������� ������� -��� ������� ���� � ��� ����� � �������
�������� ���� ���� ���� ������ � ��� ������ ���� /�� �� ���������
������ ����� ������� � � �� ������ ������ ���� � �������� ������
��� �� ���� ���������� ����� ���� ����� �� �!�������
�
��
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
��
�
��
�
�
��
��
��
���
��
��
��
���
��
���
��
��
���
���
��
���
��
��
����
�
���
����
��
�
����
�����
����
�����
���
����
����
�
���
�����
����
�
�% . (
. �( %
( % .
���
���
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
�������� �� #� ������������� + ����� ���� ��� �!���� �� 1+� ������
� ������ � ��������� � , � � � �� �� ������� ���
2�3 2�3
2� 3 2�3 �
� ���� �# ���� )� 6��������� ++ 1 ++ 1 % �� ��� + 1 �' ���� ����
� �� � ����������� �� ������ :���� ��� � ��� � ���� ��������� �����
��� ������� ����� � ���� � 1 � � ����� ��� �!������� ����� �!����
( ; .( ; (( 1 7� � ��� ������� � � ��� ��� ���� ��� ���� � ����� � �
���� �!����� ���� ��� � 1 � ������ *� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 ' ���� ���� � �� � �����
���� � ��� ������ ��� ����� ����� ��� ������� ����� � ����
� 1 �� ����� ��� �!������� � ���� ( ; � ( 1 7� ( ; � ( 1 7� � ���� � � ��� �
���� ��� �!���� � 1 ��� ����� � 1 H� � � � � � 'I� 5�� �� ��� ��������� �
�� � ��� ����� � 1 H*� 7� ''I �� ������������ � ��� ����� � � 1
H� � �� �� � �� �� � ��I �� �� ��� � 1 � � � � ���� � M � � �� � ���������� � ��� �
�������� � � � � ��� ���� ��������� �����2� � � 3 '*'�4���
���� -� 6��������� ++ 1 % � ��� + 1 �'� �� ���2+ � % 3 �1 7 ���� ����
� �� � ���� �������� ���� ����� � �� ���� �������9 ���� � �
��������� �� , � � ��� 1 + � �� � ����� ���� ��� ���� ���� �� � ���
����� ��� ���� ���������� ����� ��� ������� ����� � ���� � 1 ��� �����
��� �!������� � ���� ( ; � ( 1 7� ( ; � ( 1 7� � ��� ���� ��� �!���� � � ��� �
�� � 1 �� � ����� � 1 H� � �� � � 'I� 5�� �� ��� ������� �� � ����� �
����� �� ��� ���� � ���� �!���� �� 1 7� ���� ��� ''( ; $( � *( 1� � �
7� ��� ��� � 1 H*� 7� ''I ���� � � � � � 1 H� � �� �� � �� �� � ��I���� � ���
�� �� ���� 1 � � � � ���� � M � � �� � ������� �������� � � � � ����
���� ��������� �����2� � � 3 '*'�4���
���� 2� 6��������� ++ 1 +?% ���� ���� � + �� ������� C������ �
��� � + 1 ' �� 2 � +3 1 % � � ��� ���������� � � � +� �� ���� � � �
���� ��� ���� � ��� � ������ � � -�� ������� ��� ��� ������ � � 1
� +� � ����� ���� ������� ����� � ���� ����� ��� �!������� � ���
��� ( � � � ( 1 7� ( � � � ( 1 7� ���� � ��� �!���� � 1� � � �� �
� H � � � � � � 'I� ���� � �� ��� �������� '47� ����� ���� � ����� �
���� *� �
����
��
���
����
��
�
����
����
����
�����
���
����
����
��
���
�����
����
�
�?$'4 �%$$ $.%
�*'7 ?+*7 �'7$$
�++? �'7?7 �?+4.
���
��� ��������� ���
20:02 30 Oct 99
�������� �� #� ������������� + �� ������ , ����� ���� ��� �!����
�� 1 +� ; , ������ � ������ � ��������� � , � � � �� �� ������� ���
2�3 ���� + �� �������� .+2�3� , 1 H � � � � � I9� ��
2�3 ���� + �� �������� .+2�3� , 1 H$� %� *I9
2� 3 ���� + �� �������� .+2�3� , 1 H � � � � � I9� ��
2�3 ���� + �� �������� .+2� 3� , 1 H � ��� � � �� �� � ���I9�� ���
2�3 + 1 , 1 H � ��� � � �� �� � ���I9�� ���
2� 3 + 1 , 1 H?%4� ++7��%'%I�
� ���� �# ���� )� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 �' ���� ���� �
�� � ����� � ���� ��������� C������ �� �� ��� ������ � � � �� � ����
� ��� ��������� ����� ��� ������� ����� � ���� � 1 � � ����� ���
�!������� ����� �!���� ( ; .( ; (( 1 +� � ��� ������� � � ���� � �
��� ���� ��� ���� � ���� ���� �!����� ���� ��� � 1 � ������ *� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 �' ���� ���� � �� � �����
� ���� ��������� C������ �� �� ��� �������� ���� ����� � 1
H � � � �� � I� � � �� � ����� �������� ���� ����� � �� � ��� ����� ��� �� �
� �� ���� � ��� �������� � � +� ; , � � �� � ����� ��� ��������
����� � ���� � 1 +� ; , � � �� ����� ��� �!������� ����� �!�����
( ; .( ; (( 1 '?� � ��� ����� � � �� ��� ���� ���� ���� �!������ � �
���� -� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 ' ���� ���� � �� � ������
����� ��� ������� ����� � ���� � 1 � � ����� ��� �!������� � ����
( ; � ( 1 � � ( ; � ( 1 � � � � �� � ����� ���� ���� � ���� � � ��� �� �
�!���� � 1 �� ; � � ����� � 1 H� � �� � � 'I �� � 1 H � � � � 7I� 5���� � ��
������ ��� ������� �� � ��� ����� � 1 H*� 7� ''I �� ������������
� � � �� � ���� � � � � �� ������������ � ��� ��� ������ ����
� �� 3 �� ;�� �� �� 3�3� 1 � � � � ����� M�� �� � ����������������
� � � � ��� ���� ��������� �����2� � ��3 '*'�4���
���� 2� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 �' ���� ���� � �� � �����
� ���� ��������� C������ ���2+ � % 3 �1 7� � � ��� ������ � ����
���9 ���� � ���� ��������� ����� � 1 � � ����� ��� ����� 3 1
H � ��� � � �� �� � ���I� ��� ���� � ������ � ��� ������� � �� , � � ����� � �� ��
-������� ��� �!���� � �� ������� ���� � ������ ������ �� ����
�� ��� ������� ����� � ���� � 1 ��� ����� ��� �!������� � ��
��� ( ; � ( 1 7� ( ; � ( 1 7� � � ��� �!���� � 1 �� � ����� � 1� � � ��� �
���
���
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
H� � �� � � 'I� 5�� �� ��� ������� �� � ��� ����� ��� �!���� �� 1�� �
�3 � ���� �� ''( ; $( � *( 1 ++� <���� � 1 H*� 7� ''I �� ������������� � �
� � � � � �� ������������ � ��� ��� ������ ���� 3 �� 4 � 3 ;
� � �� �� 4�4 � 1 � � � � ���� � M � � �� � ������� �������� � � � ��
��� ���� ��������� �����2� � � 3 '*'�4���
���� 5� 6��������� ++ 1 % � ��� + 1 '� �� + �1 % ���� ���� � �� �
����� ��� � � ��������� C������ ���2+ � % 3 1 7 ��� , �1 � � ����
����� ��� �������: � �� � � ������ 0 ��� � ���� ��� ���� �
���� � ����
��� � � � 1 � � � �
@+2+� ; , 3 ; , A � @+� ; , A 1 @+� 6 , A � �
2+ � .+ ; % 3� 1 2% � +3,�
2+ � % 3 � 1 �2+ � % 3, ��
����� ���� ������� ����� � ���� ����� ��� �!������� � ���� ( ��
� �� ( 1 � ��� � ( ; � �� ( 1 � � ��� � � � ��� ���������� �!����� ����� ��� ������� � �
� 1 �� ; 3 � ����� � 1 H � �� �� � �� � 'I �� 3 1 H � ��� �� � ��� � 7I� ��� ����� ������
)�� 3 ���� ��� ����� � ��� ����� � � �� � 1 3 � � 3 1 H� � ��� ����
� ��� �� � ���I� 5�� � ������ ��� ������� �������� ��� ����� � 1���� ��
H''� 7��*I �� ������������ � �� � � �� ������������ � ��� ��� ������
���� 3 �� 4 � 3 ; � � �� �� 4�4 � 1 � � � �� � ����� �
� M � � �� � ������� �������� � � � � ��� ���� ���������
�����2� � ����3 '**�'��� �
���� 7� 6��������� ++ 1 ?$$$ % ���� ���� � ����+ �� ������ �� � �
� �� � �������� ����� ���� ���� � 1 ?$$$� ����� ��� ����� � ����
� � 1 � ����� ��� ������ 3 1
H � �������� ����� �� � �������� ����� �� � �������� �����I���� �������� ������������ � ������������
H7�'7'��7�7+%��7�7%+I�
#� ���� � ��� ����� �� � 3 1 �2� � 3 3� ����� ���� ������� �����
� ���� ����� ��� �!������� � ����
( � � �� ( � � ��������� 1 7� � ����������
( ; � �� ( ; � ��������� 1 7�� ���� �� ������ �
���� ��� ���� � ��� �!���� � 1 �� ; � � �����
� 1 H � �� �� � �� � 'I H7�%(%��'*�*.*� 'I� ���
� 1 H � ��������� �� � ��������� � 7I H7�'+.��'�'4?� 7I����������� �� ������ �
5�� ������ ��� ������� �� � ��� ����� � 1 H''� 7��*I �� ������������
� � � � � �� ������������ � ��� ��� ������ ���� 3 �� 4 �
3 ; � � �� �� 4�4 � 1 � � � �� � ���� � M � � �� � ������� �������� �� �
� � � ��� ���� ��������� �����2� � � ��3 '**�'�� �� �
��� ��������� ���
20:02 30 Oct 99
Reflection calculus
R��� �� � �� �������� �������� ���� �������� ��������� � ������
�������� ������ ���� ��� ��� ������ ��������� ��������� ����
�������� � ����������� ���������:���� �� ��� ��������� �� ����
����� /������ � ��� ������� ������ � ����� ��������� ��� � � ������
�� ����� ���� ����������� ��� ���������� � �� �" ������ �����
��� � ��� �� �� ����� �������� ��� ����������� ������� ���
������� %�+�*� %�$�%� �� %�*�.� �� �������� %�''�(.� ����� ����� ������
�������� �� � ���� ��� ���������� �������� ��� ��� �������� �� �����
����� .%� .*� �� .?� ��� �������� �������� .4 �� � ������ � �����
*�$�. ���� ���� ��� �� �������� .?�
�������� � ��� ���� �� � ���� �� � � �� � � ��� �������
� � � �� ��� �������� ����� ��� � 1 � � � ; � � �� ���� �� �� � �
2������ ���������3 �������������
� ���� �� ���� �� � 2������ ���������3 ������������ �������
� �� 1 � � � � ��������� � � �� � � ��� �!��� � �������� *� ����� � �
� � � 1 � � �� � �
�������� �� ��� ���� ��� ������� � � ��� ��������� ����� �����
����� �� ����������� � ���� ����� �����,
2�3 ��� ��� ��� ������������ � � ����� ��� � � �
2�3 ����� ��������� ����� � ��� � � �
2�3 ��� ��� ������� �������������
0�� ��� ���� � ����
2�3 � �� ��� �������� ����� � ���� ������������ � � � ��
2�3 � �� ��� �������� ����� � ���� ������ � � ��
2�3 � �� ��� �������� ����� ��� ��������� � ��� ����� ������
� ���� �� #����� ������ ��� ����� ����� �� �� �� ��� ��� ����������
��� � � � �� �������� � �� ���� + � , � �� 8 � )�� 9 1 + � , ; 8
���� � 9 ��� � �� ��� ���� ������������ � � ������ 9 � ��� � �
� � � � ��
� � � 1 � � � � � � � 1 � � � � 1 � � 1 � �� � � � � � � � � � � � � � � �
>������� ����� ��������� ����� �� ������ � ��� + �9 ������
��� ���� � � � ������ + �� ��� ���������� � � : � �� � ���� � �
� � �� � ��� ���������� � � � ��� ��������� ����� � � � � �� ���
��� 2�����������3 ��������� � � ����� � � : � �� � � / ������
*�.�'� �� ��� ��� � ������ + � � � ��� ��������� � � � � �������
���� ��� 2�����������3 �������� � � � � 5�� � �� ��� ���� �����
����� � �� �� ���� ��� ��� ��� �� ����� ��� ���� � � �����
���
��� 2� 3
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
� ����� ���� � � /�� � 2� 3 1 � 2� 3 1 � 2� 3 �� ��� ���� � � � � �� �
�� ���� �� ��� ������ � ���� � 1 � �� �
������ ������ ��� ��� ������� ������������ �� ����� ��������� ��
� ��� � � ��� � � � 1 � � ������ *�+�+�� � � �
6������ � ������ � �� ������������ -� � 1 � ��� ��� ����� ����
� ��� ������������ ��� � ����� ��������� ����� � ���� � ������
� �1 �
-� � � � ��� � � �� � �������� � ���� � �1 � � / �������� '%�� � �
� 1 � � �� � ����� ��������� �� � 1 � � � ���� ���� ������������ � 1� � � �
� �� ��� ���� � � � � � 1 � 1 � � 1 � � � ��������� � � � � � � �� � � � � � �
�
-� � �� �� � ��� � � ��� � � �� � ����� � ���� �� ���� � 1� �
� � �� �� �� ������������ ���� � �������� ����� � ���� � � � ����
� � -� � 1 � � ��� � � 1 � 1 � � 1 � � � �� � � � � � �� � ���� � � � � �
���� � �
>� ������ � 1 � � ������ � ��� � � 9 ��� � 2� 3 1� �
� � 2� 3 1 � 2� 3 1 � 2� 3 � -� � 2� 3 1 � � ��� � 1 � �� � ���� � �� � �
� � ���� �� G��������� ��� ������ � � ���� �� - ������
����� � ���� � � � � 1 � � 1 � � � ��� ���� ��� ���� ��� ��� ����� � �
��������� � � ������ � � ��������� � � � � � � � � �� � ���� ���
#���� � � � � � ������� � �� ���� � � �� � � �������
� � 1 � �� ������������ �� �
�������� �� 0������ � ����� *�$�.� �� � ���� : �� � ��� ������
�� � � �� � ������ #��� � ��� ����� �� ���� ���� ������ � ���� �
�����,
� � � 1 � �� �� � �� � � � 9� �
� ���� � �������� �� �� � �� � � � 9
� ���� � ����� �� �� � �� � � � 9
� �� ���� � � ��������� ��� ��� ���� �� ��� ��� ������ ����������
��� � : �� � � �� ��� ���� ��������� �� � � � 9
� �� ���� � � ������ ��� ��� ����� �� � � � �
� ���� �� � 1 � � �� � ������ �� � 1 � �� �� � �� : 1 � �� �
-� : � � � ������ � ���� � � : � � 9 ���� � , �� 8 ��� ����������
� � ���� ����� ����� ��� � 1 � � � � 1 � � � / �������� * ������ ���� � � � �
�������� ���� ����� .2, � 8 3 �
G ��� ���� ���� �� � �� � �������� � � ��� :� 1 � @�A � / ���� ��
�������� ���������� � � 1 � 1 � � � � 1 � � ���� :� 1 : � ������ � � �� �
: � �� ���� � �� � �������� �� �� � �� : � �� �� � ���� ���� ��� �����
�� .2, � 8 3 � �� ����������
-� : �� � �� � ��� � � ���� � � � ��� ����� ������������ � : � �
������ � � ��� � 1 � � � � 1 � � � � ����� ���� ��� ��� � � : �� � � � � �
���� � �
��� ��������� ���
20:02 30 Oct 99
� � -�� ���� ��������� �� ����� ��� ������� � � � ��� �������� �����
����� � � �� �
-� : �� � ��� ����� ��� ���� � ��!�� ��� ������������ ���
� ���� ��������� ���� �� ���� , �� 8 � B��� � � �� ��� �����
��������� � � ���� : �� � � / ��� ��� � ����� *�$�.� � �� � �����
���� ���� � �� ����� .2, � 8 3 � �� ��� ���� ��������� �� ����� ���
������� � � � ��� �������� ����� ����� � � �� � ���� � �� �
����� �� �� � �� : �� � �� � ���� �� � ���� ���� ��� ���� �� ����
��������� ��� ��� ��� � �� ��������� �� ����������
#���� � �� � �� � � ��������� ��� ���� �� ���� ��������� ���� ���
���������� �� �� ���� � � ������ ��� ����� ��� ��� ���������� �
�������� �� ��� ���� ��� ������� � � ��� ���� ���� ���� �����
���� �� ����������� � ���� ����� �����,
2�3 ��� ���� ��� ������� ������������� �
2�3 ��� ���� � ���� �� ��������� �
2� 3 ��� ���� � ��� ������������ ��� " �
��� ��� ���� � ����
2�3 � 1 � �
2�3 � �� ��� ���� ��� ���� � ��� � �
2� 3 � �� ��� ���� ��� ���� � ��� � � " �
� ���� �� ������ ���� �� �� �� � ���������� ������������� ������
�� ��� � � �� ���� � � �� � ��� ����� ������ � ������������
� � �� � � ��� � � � 1 � � � � � 1 � � � 1 � � 1 � �� � � � � � � � � � � � �
>���� ������ � � � � �� ������ � ��� � � / �������� .4� � � ��� �
� �������� � ���� ����� � � �� � � 1 � � � ����� � 1 � @ �A� ����� � � � ��
� � � 1 � � -� � ���� �������� ��� � � � � ��� � ��� ���� ��������� � � �
� � � 1 � �� ��� ��� � � �� � 1 � 1 � � � � -� � ���� �������� � � � � � � � � ���
��� � � � � ��� � ��� ���� �������� � � � 1 � �� ��� ��� � � ����� � � �
� � 1 � � � � � � 1 � � � �� � � � 1 � � � 1 �� � � � � � � � � � � � � �
������ ������ ���� � � � � �� � ���� � ��� ������������ ���
" � / �������� .4� � � �� � ������ �� ������� � ��� � � " ���� ����� �
� � 1 � � � ���� � � � 1 � � ����� � ����� 2�3 � 2�3� � �� ��� ����� � � � � � � �
��� � � ���� ���� �� ����������
6������ � ������ � � � �� ������������ -� ���� ��� ������ � ���� � �
� � 1 � � �� � � � � � ��� ������� ������������ � �������� .4� -�� � �
� � � 1 � �� ��� ��� � � ��� � � 1 � � � -� � � � � ��� � ��������� � � � � � � �
.4� � � 1 � � �� � ��������� ���� � � � � G��������� � �������� .4�� � � �
� � 1 � � �� � ����� ��� � � ��������� �� ��� ���� " �� ������� � � �
������� � � � � � � � �� � � �
&������� (7 �� ��� �������������� ���� � �������� %�''�?�
��� �������� ��� �� ���������� � ������������
20:02 30 Oct 99
�������� �� ��� ���� ���� ������ � �� ��� ������� � �� �����
������ ���������� ������ � , 6����� ��������� ��� ������ � ��� �
������ �
� ���� �� -� � �� � ����� �������� ���� ����� �� ��� � 1 � � �� ����
�������� � ���� ����� �������� � �� ��������� � 1 � � �� ��� ����� �
� �� � � � � � 1 � � � 1 � � � ����� � �� ��� ��� ������ �� � � � �
������������ � � �
-� � �� � ���� �������� ���� ����� � � ��� � 1 �� �� ��� ������
� ���� ���� ������������ � � � ��������� � 1 � � �� ��� ������ �
� � � � � � � 1 � � � 1 � � � ����� � 1 � �� � �� � � � �
-� � �� � ����� ���� ���� � � ��� � 1 �� �� ��� ����� � ���� ����
� �� ��� �������� ���� ����� �������� � � � ��� � 1 � � �� ���� �
����� �� � ������ � � �� � 1 � � �� ��� ����� � � � � � �� �
� 1 � � � � 1 � � � � 1 � � � ����� � �� � ��� ��� ���������� �� � � � � � � � � �
�� � ���� � � �
D���� � ��� '?.7� �� ���� '?(7� ��� ����������� ��������
��������:��� ���� ������ � ����� %�'':S������ ����� �������
�������� ������ �������������� !������� ������� )��B� ����
��� Q� /��� �������� ���� �������� �� � ���� ���� � ��������� �� ���
���������� � '?(+� -� ���� �� ���� �� ��� ����������� ����������
������ ������������9 �������������� ������� ��� ������� ���
����������� 0� ���� ��� � ������� ��������� ������� ���������
�� ��� ��������������� �������� ������� ��� ����� � ������� �����
������ ��������� ��� �� � ��� � ����� ����� ��� ���������� �
����� ���� �������� ������� 6��!���� � ��� � ������� ����
�������� ������� ����� ������ ��� ������ ���� � ����� � �������
��� �� ���� ����� &�������� (' �� (. ��� ���� ���/��� '?(+� ��� ���
����� ������� � ��� ����������� �������� �������� ��������� �
����� %�''�
�������� �� B������� ��� ������ ����� � ���� + � , � 8 � �� ; ��
����� � � � � � � 1 � � #�� � ������ ������ ���� ���� + �� � � � �
, � 8 � 9 � �� ; � ������ � , F��� ���� �������
� ���� �� ��� ����� ������ �� ������ � ��� ����������� ��������
%�''�((, ; ���� �� ��� ������ � �+,8 � -�� ��� �� ��� �����
-� + � 9 ��� �������� ��� � � � � � � � � 1 � ���� ��� ���� � � � � � �
������ ������ � ��� ������� ���� �� ����� T��������U -� + � 9 ���
������ ��� � �������� ��� ��� ������ ������ � ����� ���� �� �����
T��������U -� + � 9 ��� ������� ���� ��� ��������� +,89 ����
��� ������ ; � �
���
���
��� ��������� ���
20:02 30 Oct 99
�������� � ���� �� J��� ���� ������ ���� � �� � ��
� � � � 1 �E� � � �
���� � J��� ���� ������ � ��� � �� ���� � �� �
�� � � � � � � 1 �E� � � � � �
���� � J��� ���� ������ � ��� � �� ���� � �� �
�� � � � � � � 1 �E� � � � � �
���� �� J��� ���� ������ ���� � �� � � ����� ����� ����
� �� � ���� ���� � � 1 � � E� � � �
���� �� J��� ���� ������ ���� � �� � � ����� ����� ����
� �� � ���� ���� � � � � 1 � � E� � � � � �
������ � , &������� .4 �� ��������
� ���� �# ���� )� ���� � 1 � � �� ���� ���� �!���� ���� �� �� � � �
�� � �� ��� ������ � � ���� ���� / �������� .4� ���� ������ ���� ���
� 1 � � � � � �
���� *� ��� �!���� ���� �� �� � �� � � 1 � � � 1 � � � 1� � �� � � � � � � � ��
� � � / ������ *�$�'� ���� ������ ���� ��� � 1 � � � � �1 �� �� � � ��
�� � � �
���� -� � 1 � � � �� ���� C������ � �1 � ���� � ���� �� ���� � � �
�������� � � � ���� ��� �!���� ���� �� �� � �� � 1 � �� ���� � �
��� � � ���� �� � � 1 � � � / �������� .4� � � �� � �������� ����� � � � � �
��� � � � � �� � ���� ���� ��� �������� ����� .2� � � 3 �� ��������
� � ��� ������������ � � �� �� �������� ��� �!���� ���� ���� ���
� 1 � � � � �1 � �� �� ������������ � ��� ��� �������� � � �
���� 2� / ��� ������� �� ���� 2(3� � �� � ����� ���� ���
� � � �
���� 5� � � � � �� � ����� �� � � �� � ��������� � � �� �� � � �
����� �� �� � �� � ��� ���� ��������� 7� � '47�� / �������� .4�
���� ������ ���� ��� � 1 � � � � �� �������� � � ��� ������������
� � � �
���
20:48 30 Oct 99
Concepts�������� �� ����� ��� ��������� ��������
������� ������������ ���� �������� �����
������� � ������ ���� �����
������������
����� ������
���������
���������� ���� �����
��������� ���������� �����
��������� �����
� ������ ��������
������� ��� �� ������� ������� ��������
������� � ��������
�������
���� ����� ��
��������� ��
���� ����������� ���� ������������ ������ �� ������ ���� �� ��� �������
����� ����� ��� �� �� �������� ��� ������� ���� �� ������� �� ��� � ���
�� � ����� ��������� ����� � ����� �� ����� ��������� ����� �����
������� � ������ ������ ���������� ��� ��� � ����� �
��� ������
20:48 30 Oct 99
�������� ������� ������� � ��� ����� � ����� � ������ ��������
����� � ����� ������ � ��� ��� ��� ��� ������� � ���� ���� ���������
����� ����� ��� ������� ������� �� � ������� ������ ������ �� �
������� ����� ������ �� ������ ����� � ��� ������� ��������� ����
� ��� ��������� �������� ���� ���������� � ������ �������� �� �������
� ������ ���� �� �������� �� ������� �� ����� ��� ����� �� ��� �!������
� ���� ����� �� �� ��� ���������� ��� ��������� � ������ �������� ���������
����� � ��� ������ ����������� ������ ���� ��� � � ��� ������
General exercises
��� ����� ��� ��������� ������� �� �� "����� ���� �� ������� �� � �����
�� ���� ��� #�� �� �������� �� ������� �� ������ �������
������� ��� � ����� �� ������� �� ������� � ��� ����� � ���
�� � ����� ����� ��� ������ ��� ����� $��� � �����
�������� �� %����� &�'�( ����� ���� ��������� �"$����� )�����"� �����
� ��������� �� � ����� ������ ��� ����� ������* +���� ��� ��������
��� ���� ����� � ����� � ���*
��� ���� ,�� ���"��� �
�������� � %�� � ������"� ���� ������� �� ��������� � ����� �
�����"�� �� ����� � ������ &�'�(�
��� ���� ,�� ���"��� �
Exercises on polygons and polygonal symmetry
� ��������� - �� ' ����� ������ �������� ������� �� � ����� � �����
� � ��� ������� � ������ ��� ��� ������� ����� ����
��� ��������� ����� �� �� ��� ���� �� ����� ���"� � ���� ��"$���� �
���� ��� ����������� "����� ������ ��� ��� � ����� ������� ���
��� ��� ��������� ��������� ��� ���� �� ������ ��� �� ������ ���� �����
�� ������&�(� ��.� ��� ������� "����� ������� �� ������ ������
��� �� ���� ����� � ��� �� ��� ��� ����� ��������� � ������ -�
�������� � ������ ��� � ����� ������ �� ��� ������ � ������ &�'�/�
���� ��� 0 ��������� 1��"���� 1������� ������ +������� � ���
�������� �� ��� ����������� 2���� 0�����
��� ���� 34 � � � � � ��
3"4 � � � 3�4 � � � �� �
3�4 � � � 3�4 � � � � � �� �
��� � ������ ���
���������� ��� ������ �
���� ���� ���� �
20:48 30 Oct 99
Figure 8.5.1 Figure 8.5.25�������� � ����� %��� � �������
34
3"4 3�4
3�4 3�4
������� ������� �
�������� �� +����� �������� 7�� � 8���. ������� ������� �� �����
� ����� ������� 2�� ��� ���� � ������� � ������ �� � ���� 5��
"��� ������� � ����� ���"���*
��� ���� ���������� ������ �� ����� �
�� � �
��� ����� ��� ���� ��� �� ������� ���� ����� �� ��� �� � ����� ������
"� ��������� ��������� �
�������� �� 0���� ������� � ������ � ������� ��� ���� %��
������� �� ������ �� ������ ���� � �� � � ����� ������� ���� �
��� ������
���������� ��� ������ �
20:48 30 Oct 99
� 9 /� -� :� ���� 8� �� �� � ���� � � �� �� +������ ����� ���������
�� ������ �� ����� ���. ��;
3 4 5�������� �"$����� � � ������ &�'�(�
3" 4 +���� ������ ��������� %�� ������ ������� ���� ����
�� ����� ���������
3� 4 ,���� "����� � ����� ����� � ������ � #�� .�� �� ��
�� ���� �����*
3� 4 7����� � � ������ &�'�-�
3� 4 <�� ����� %�� ������� ���=�� ����� ��� � ������ &�'�:�
3� 4 ������������; ����� � "��������
3� 4 >����� �� �� ��� ���� " ��������� 0 �������� �����
������ � ������ &�'�'� 3���� ���� "���� ���� ������ � �����
�������� � ���!����� ��""���4 #���� � ����� ������
������� �� � ��� ��������� ���� $� � ������ &�'�? ������"
����!�� ���"��* %�� ����� ������� ���� ������ ���������
3�4 %������� ������� �����"����
��� ���� 3 "4 1 ������ ��"���� ��� � � ����� � ��� 0�� ��
���� 2�0� ����� � +�� @�����A ����� ��� ��� ����� ������
3�4 %��� � ���� ��� ��� ������ ��� �� ��� �� ������ �
��� ���� ���� �
3�4 � � ������ ������ � ��������
���
Figure 8.5.3 Figure 8.5.40 ������� ����� =�� ����� ����
����� �� ��
��� �� ��� ��
��� �� �� ��
�� �� ���� ��
��� � ������ ���
���������� ����� ��� �
����� ��� ������ ����� ����� �� �
20:48 30 Oct 99
Figure 8.5.5 Figure 8.5.6���� " ������ ����!�� $�� �
3� 4 ��� ���� �� "����� � ������ ������ ���� ������� "�� �������
�� ������� � � ��� ����� �������� ������ ����� ���� �� "��. ����
� ����� ������ � ��� BBB���� B B B ������ ���� ��� $� ��� �� ���� ���
� �� ������ � ������ ��� ������� ����� ����� �� ��� ��� �� �
� ����� � ��� "����� �� ��� �������� ����� �� � � ��� ������ �������
�� �� � � ��
�������� � %�� ��� ������� ��� ��� ������� �� � ����� ���� ������
� ��� ������
��� ���� � ��� � 9 ?C� �
� 9 C �� '� " ��� ��������� � ������ ?�&� �
�������� �� ���� �� %�� ����� � � � �� � ����� ��"����� �� �
� �����* � ��� ���� ���� ��"������ �� ���������� �� ��* ��� ��� �
�� ��$����*
���� � 0�� � ��� ( ��� � � � �� �
���� � 0�� � ��� ( ��� � � � �� �
���� �� 5�� � ��"������ �� � �� � �����*� ��
��
��
��� ������
20:48 30 Oct 99
��� ���� � � �� � ����� �� ��"����� �� � �� � ����� �� �� � � �
�� �� � ������� � � � ��� ��� ������� $��� �� � ��"������ "�� � D��
� ��"������� � � � ������ ��� ������ ��"������� �� � ��
�������� �� 0������ ��� � �������� �� ������ ������ ��� �� � ��� �
����� � �������
���� �� 0��� ��� � �� ������ �� ��� ����� �� �� �������� #�� ��
��� �������� �� �� � ������ �� ���� ��� � ������*
���� � 0��� ��� � �� ������ �� ��� ������ ���� �� �� �������
� � �� ���� #�� �� � �� ���*
��� ���� ��� �� 2�� ��� 000 �������� ��������� �� ��� �������� ���
� ������� ��� ���� ��� � ������ �� ��� ���� ��� � ������� ��� ��� ��
����� "� ������E������� ��!��� ����"���
��� �� �� � �� ������� ��� ������ �� �"������ >��������� �������
���������� �������� � �� � � ��� ����� � �� ��� ������� ������� -�(-�?�
���� ���� ���������� ������� ���� 9����� ���� �� 9��� ���� �����F
�������� ���� ��� ������� � ������� ��� �� ����� �� ������� �� �
�� ���� �� � �� ���� � ����� "� ������E������� ��!��� �������� �
�������� �� ���� �� )���� ��� ���� �� ����� �� ������ ������ ��� ��
� � ����� ���; ���� �� ����� �� �� ������ %����� ���� ��� �� ��� ����
���� � ��� ����� ������ "� ����� ��������� ��� ������� ����� � ��
����� ��� ����� ��� ������ ������� � ��� ��"�� �� ������ ,��
�� ��� �� ����� ��� ���� ��������
���� � 7�� � "� ��� ��� �� ������ ������ ��� �� � � ��� ���������
)����� ����������E �������� ��� ��������E��� ������� � ����
������� ������ ��� �������� �� ��� ������ ���� ���� ���� ��� ��
�� ��� ��� ������������ � ������ -�&� ����� ���; ����� ���� �� �����
�� �� ������ � �� ���""� ���� ��� ��������� ����"�� ���������
�� ����� ��� " �������� �� �������� �� ���� �� ������� �������
�"$������� �� � �� �����E��� ��� ��� �������� ���� ��� � �������� �����
�� ���� ���E��� ���"��� �� �������� ������ ��� �� ��������� � "��.�
� ���������� ������� G ��� ������� ��� ������ � 0���� (H&'�
��� ���� ��� �� � ��� �� ���� ����� ���� ������G ������ � �������
���� � ������ ����� �� ��� �� ���� ���� ����� ����� ����
��� �� ���� �� � � >�� �� ����� ������ � �� ��� ������ �����
��� �� ,�� ���"��� �
Exercises on frieze groups
I�������� (C �� (/ ������ ��� ��������� �� ������� � ������
� ����� �������� ����� ������ ��� ��������� ����� ��� ����������
��� � ������ ���
���� ���� ���� ������ ! �"�# ��$ ��� ������� $������ �� �����%� ��$ $����� �
20:48 30 Oct 99
���
���
� �
���
���
Figure 8.5.7%��� ������ ��������
"����� ��$��� � �������� �� ������ ������� � �������� ��� ���
�� �������� ��� ������"�� ������� ������� I������� (' �.� �� �� ������
������ ����������� ���� ���� ������ �� ��� �� � ������ &�/�
�������� ��� ������ ��� � ����� ������ �� ��� ������� � ������ &�'�J
���� ������ �������� �� ��� ������� � ����������� 2���� 0�����
��� ���� 34 B B B B B B 3� 4 B B B����B B B
3"4 B B B���� B B B 3�4 B B B B B B
3�4 B B B���� B B B �
�������� ��� +����� ������� ���������� ���� ������� ������� �� ��� ������
��� 7�� � 8���. ���"���� ���� ��� � ������ �� ����� � ��������
:� #���� ������� �� ��������� ��� ���� ��� ������ ��� ������� �� ���������
��������� * #���� ������ ������ ��� �� �����* + �� �������� �������
�� ����� ���� ������� ����� �� �������* #���� ����*
��� ����
� B B B���� B B B � B B B � � � � B B B � B B B���� B B B � B B B� � � � B B B � B B B���� B B B �
B B B���� B B B � B B B B B B � B B B���� B B B � B B B����B B B � B B B����B B B �
B B B����B B B � B B B����B B B�
� B B B���� B B B � B B B � � � � B B B � B B B���� B B B � B B B� � � � B B B � B B B���� B B B �
B B B���� B B B �
��� ������
20:48 30 Oct 99
� B B B���� B B B � B B B� � � � B B B � B B B ���� B B B � B B B B B B � B B B���� B B B �
B B B��������B B B � B B B����B B B �
� B B B���� B B B � B B B� � � � B B B � B B B B B B � B B B B B B � B B BB B B �
B B B���� B B B � B B B B B B � B B B B B B �
� B B B B B B � B B B� � � � B B B � B B B���� B B B �
� ��� BB B B B B ������ ����� ������� B B B����B B B � ��� ����� ��� ����
��� � � ����� �� � ��� �� ���� � �� ��� B B B %��� � �
� � �
� � B B B �
��� BB B���� B B B ���� �� B B B B B B � �
�������� �� 0���� ������� � ������ �������� +������ �����
��������� � ������ �� � ���. ��;
34 "����� ������ � ������� � ��� �� ���.�G
3"4 ������ ��������G
3� 4 ����������� ������� ������ "�������� � ������G
3�4 ������
%�� ������� ���������� �� ���� �������
��� ���� ,�� ���"���
�������� �� � ������ &�/� ������ ������ �� ��������� ��� ��$���
������� �� ������ ������� "� ����������������� "��� ��$����� )�����
���� ��� ����������� ������� ����� ���; �� ����� ��� ��� �� ����� ������
�������������� �������� � ����� ������ ����E����������� �������
�������� ���� ��� ������ �
��� ���� ��� BB B���� B B B � B B B B B B � � BB B B B B ������ ��
����������G ��� ����� ���������� � ��� �� ����� �������� ���
BB B���� B B B ������ ���� ����� �� ��������� ��� BB B���� B B B �
BB B���� B B B ������ �� ����������G ��� ���� � ���������� ���
B B B���� B B B ������ ���� ������� ��������� ��� �������� ���������
����� �� ����� ���� ����������� ������;
B B B���� B B B B B B���� B B B B B B���� B B B B B B���� B B B �
�� �"�� ����������� ���� BBB����BBB ����� �� BBB BBB ������
�� ���������� �� ��� ����� �� �"�� ����������� ����
BBB BBB ����� �� BBB B B B ����� �� ���� BBB���� B B B ����� ��
BBB����BBB ������������� ���������� �� ������������ ��� �����������
�������� ��� � ��"��� � �� ����� � ������ �� �� �� � ������ ��"�����
�� � ����� � � %�� ������� ����� � ���� ������� ����� �� �������
" ��� �������� �� ����� ������G ��� ����������� ������� �����
�� ������� " ��� �������� �� ��� ������ � ����� ���������� %��
��� � ������ ���
��$������ �&&�%���� ��%�$��� ����$ �$ � %�������� ��� �'������ ��� �� �� %������ (���&�������
������ $������ ��$������$ �� )���� �� �� ��*�� ���+�!�� ������,�$ ���� ����� $��%��$
-����� ��� &���,� ����� ���� ��� ���$�.� �$� ��� $��� /��$���� �& ��%� ���%� �� ��%� ��0���
$� �� %�� � ���� �&&�%���� 1�� ��$ ����� �$ ����0�� %��$������ ������� ���� ��� ��������2
%��� ������� � 3 � ��� �4 � 5�� �� ��0� �� �$� �$ ��� �$ ����0� /��$����$ �� %��$$�&�
� �����%���� $��%����6&�� �'������ ������ �������
20:48 30 Oct 99
������� ���� � ���� � �����"�� ��� ��� �� ��� ��$��� ������ �� ������
������� #���� ��� ���������� ������� ����* #���� ��� �������
���� �������� ����� �� ���������*
��� ���� +������
7 ������� ������� � �
7 ������� ���� � �� � � � � � � �
7 ������� ����� �� � � "�� �� � � �
7 ��� ����� ��������� � ���� ��� � � ������ � � � �� �
5��� ���� ������� ����� >� ��� ������� ������ ��� ����������
�� �������� ������� �����
!����� ��� !����� ��� ��
!���� �� �" ������ ����
B B B���� B B B � � � � � �� � �
B B B���� B B B � � ��
B B B���� B B B �
B B B���� B B B � � � � � � � � � �� � � � �
B B B B B B � � � � � �� � �
B B B B B B � � ��
B B B���� B B B � �
�������� ��� 0��� ����� �� ���� ��$��� ������ �� ������� � J K
/ � �� ���� "� �����"�� �� ������ ������ ���� � ���� ����� �����������
!�������� )���� ���� ���� ��� ������� G �� �� .��� ��� !������� �
������ � �����"����
��� ���� 0�� ������ &�'0�(� �
Exercises on wallpaper groups
����� ���� ��������� �������� ������ ������ ��� ������� �� ��� ��������
���������� ������ ����� � � �� ���� ������� �� � ����� � �����
��� ��� �� �������� ��� ������"�� ����� ������� I������� /C ����������
��� ��"����� ����������� "����� ������� ������� �� ����� �� ��
��� ��� ���� ������ �� ������"� �� �� ������� ����� ����� ����
���� � ������� �� ������ �� ���� �� ����� ���� ���������
�� ��� �� ������ ������� �������
��� ������
��� �� 8����� �� �� ���0���� ��$������� $�������$ ������� �� �
" � # �$ �� 9������ ��$��� &��� :��� �� � " # ��� "% # ��� ;�� ��������$ ��� "�# ��
" < # � =�����$� ������ ��� �� ��$���$� &��� ;��$�� ��� ;��$�� >� �? ��* @�� ������
������$ ��� ����� %������������$ ������ ���$� ����� ��������$� ��� �%��$� �& �����
&��%��������� �� �%��$� ����� $���$ &��� A���� ����$ ������� ��� ����� @��$�
�������$ ��� ��$����� �� � ������� �� ����� ����� %����B
20:48 30 Oct 99
� ��$��� �
�������������� � ���������������� �
�������� � ��������� �� � ��� � � B B B���� B B B
���� � ���� ���� � ���� ���� � ����B B B���� B B B B B B���� B B B B B B���� B B B B B B���� B B B B B B B B B B B B B B B
� ; ���" ���% � ; ��� ��"��� ���%
� ; ���&� ��"��� ���% � ; ����'�� �� ��"��� ���*
Figure 8.5S.1I������� (' ��������
34 3 "4
Figure 8.5.8 ( part 1 of 3 )I����� ������� ������
��� � ������ ���
20:48 30 Oct 99
3�4 3�4
3�4 3� 4
Figure 8.5.8 ( part 2 of 3 )I����� ������� ������
�������� � � ������ ��� � ����� ������ �� ��� �� ������� ������
� ������ &�'�&�
��� ���� 34 �(�� 3"4 �(�� 3� 4 �) 3�4 �* 3� 4 �*�
3� 4 �� 3� 4 �)� 3�4 �� 3 � 4 ��� 3 $ 4 ��� �
��� ������
20:48 30 Oct 99
3�4 3�4
3�4 3 $4
Figure 8.5.8 ( part 3 of 3 )I����� ������� ������
�������� ��� +������� ������� �� �� ������ �� ������� ������ ����
������� ������� �� ��� ������ �� ��������7��� 8���.� �� + ������ ���"����
��
���� �
���
��
����
���
����
��� � ������ ���
20:48 30 Oct 99
2�� ��� � ������ �� ����� � �������� :� #�� �����"��� ��� ������������
������� ��� � �� ����� ����� �� ������� �������� � ��������� 2��
������ "��� � ��� �� ���� ������� �� ��!������ �� ��� ������ � �� �
"������� ������ � 3 ��� ������ ��� �� ������ �� ��� � �� ����� �����4
��� ���� �� ; ��� �� ; � � � �� ; ���
��� � � � � ���
��� � � � ���
�� ; � � � �) ; +������� ��� �)� ; � � �
� � � ������ &�-�/ � � � �
� � � ����� ���� ���� � � �
� � �
�( ; +������� ��� �(�� ; �(��;
������ &�-�(H
����� ���� ����
�* ; �*� ; �*�; � � � �� � � �� �
� �
� �� �
� �� �
�� ��
�� ; ��� ; � � � ��� ; ���
� � � � ���
� � � ���
��� ; � � ��� ; ����
� � ����
� � ����
� � ���� � �
�������� ��� 2�� ���� "��.�� ���������� ��� ��"�� � �������� �
��������� ����� �� ������� ������� �� ������� ������� � ���������
��� ������� �� ��� ������ �� ���������� � �������� (?� +������ �����
������ �� ������ �����
��� ���� ,�� ���"��� �
�������� ��� 0������ � � � �� ��� ������� �������� ��
������� ������ � � ������� ������� � � � � � � � � � 0���� � � �
��� � ������ ��� ����� �� �� �������� � � ��
� �� ��
�9 C�
��
�����
��
�����
��� ������
C�� (�'���� ��� 8�$�� ��*!� $�%���� � * �
20:48 30 Oct 99
��� ���� ����� �������� ������ ��� ������� ����� �� � ��
�� ��� �� ������� � � � ����� ����� ������� � � + ���� ���
� � 9 G� �
��� ��� �� � �� �� ��� �� � � � ����� ����� � � + ���� ���
�� L �� 9 3 �� L +� 4� L 3 �� L +� 4� �� � � �
� � � �
0��� � � �� �!������ �� ��� ��� ���� �� ���� ������� ���� �!���
�!����� � 9 �� L +� � � 9 �� L +� � ��� ����� �� ����������� � � �
���� �!����� ����� ��� ������� ������� �
�������� �� +������ �(�� � ���( ������ � � � � 0��� ���
��� �� ���������� �� ��"����� �� ��� ������ %�� ����� ��� �� �������
����� ������ ���� ���� ������� � ����� ���; %�� �(�� ����� �����
���( ������ � ���� �����
��� ���� )����� ��� �� ���� ����� ������ ���� ��� �(�� ����� �
� ������ &�-�/C �� ��� ��� ���( ����� � ������ &�'0�/� 0��� �� �
���������� � ���� � ���� � ����� �� �� � ����� �� � � ���
��� ��� ���( � ����� ����� � �� �� ��"����� �� ��� �(�� �����
� �� � � ��� ��� ������� ������ �� ������ &�-�/( ����� ������ &�'0�- �
����� ��� �(�� ����� �� ��"����� �� ���( ������ �� ������� ���
� �� ���������� �� ��"����� �� � �
>� ��� ����� ���� �� ������ �� ������� ������ ��� ���� ������� ;
��� �� � ���� ���� ���� �� ���������� ����� �� ������ ������
����������� "����� ������� &�-�(( � &�-�(/ 3�� � ��4 � "�����
������� &�-�/H � &�-�/& 3 ��� � ���4 � ��
Figure 8.5S.2 I�������
���� ������ &�-�/C
Figure 8.5S.3 I�������
���� ������ &�-�/(
-
��� � ������ ���
C�� C������%$ >�� ����? � (��$������ ���� C����� ����%�����$ ��� � ��� �� (����%�2��
��� ���$$ ����+��� � �� ���� ��%��� �������$ �& ���$� %������$
C������ "�� 4# ��%�������� ���$� $��%�&�%�����$ @�� ���� ������� �� ������ ������
��������� ����2��� �����$���� ��� ������� �& ��� �������� ���� ��$� � %��������
��&&����� $��%�&�%�����$ %���� �����%� � ����� ���� $��$ �� �%���$
20:48 30 Oct 99
�� ����� �������� �� ����� ����"�� �� ��� ������ ! @� ���� �
� ������� �A ������ , �� ��� � ����� ����� � �� ! �� ����������
�� ��"����� �� ��� � ����� ����� � �� ,� �� �������� &�'�/C "�����
���G ���� �����"�� ��� ��� ����� �� ���������� �� ��"����� �� ��� ������
�� ��� ��� ������� ��� �������� � ����� ����������� ��� � ���� ���
���� ��� ���� ��� � ���� � ������� ������� �� ��� ��� ������ �������
������ ���� ������� ������ ��� ��� ��������� �� ��������� ���
� ������������ ��� � ����� ���������� �� ������� �������
Exercises on polyhedra
1����� �� ��� "��� ����� ��� ���� �� ��� ����� �������� ��������
��������� �������� �� ���"��� 0��� ��� ��� ������ ��� ���� ����
��!���� ����"� � ������ ���� ����� ��� ���� ����� ���� ���������
� ����������� ��� ���� ��� ��� ������ ��� ������� ���� �� �� ������
����� �� ��� ��� ���� ��������� 5������� ������� ������ � �� ��������
������ ���� ��������� ��������
���.� ������ ���������� ��� ������� ����� ������ � ��� ���� ������
- ����� ���.� ����� ��� ��� ����� �� ����� ���"���E�������& -���&��
�� "���E���� ����� ��� �� � ��� ���� �� ���� �!������� ������� ����
����� ������� ����� �� - ������ +�� ��� �� �!������� ������ .
� � ������ &�'�H �� ��� � �������� 2�� ����� ������ ���������� ��
������� ��� . ���� ����� - L � � -�&J ������ � �� ����� ������
� � � � � � �� ��� �������� � � ��� ���� ��� �����/ ������� . ��
�
������
���
���
� ���
�
Figure 8.5.9 I!�������
������� ��� �������
������� �������
� ������ �� !��
�� �
Figure 8.5.10 I!�������������� ��� ��� ������
��� ������
C����%��� ���� ���$ �� ����������� �& ��� ����� �$ $����� �$$����� ��
20:48 30 Oct 99
����� ����� ���� ����� $��� ���� ����� �� ��������� ����� �����
2�� ��� �������� . � ������� �� �.� ���� ������ . � ���� �����
��.� � � � � � � � � #��� ����������� � �� ��� ����� ��� ����� ��
����/ #��� ����� ��. ��� ������� ���� ����� ����� �����������
�� ��� ����� ������ 2�� �� ���� ���.� ������� ����� ���� �������
� � ��� ������� � � � � � � � � 1.� ������� ���� ��� ��� �������
������� �� ������� � ������� ��� ������ ���� ������� . �� ���
�������� ��� �������� �����"�� ������ &�'�(C� �� ��� ��������
���� � ���� �� ��� ��� ������� 2�� ���� � �������� �"� ����
(� � ���� ��""�� "�� �� ���� ���� �� ��� ������ ������ �� ����"����
������ ��������� ���� �������� �"�� ��� �"� �.� ��� ����� ���� ��
���� � ������� "�� ����� �����"�� �������� ��� ��� �� ���������
�������"� � � ������
��� ������ �.� ����. �� �������� �!���� ������� �������
���� �""�� ����� ���� ��� ��� ���� ������ � �!���� ����� �� ��""��
"�� �� ��� ��������� � ��� #�� ����� ����������� ��������������
�� � �������"�� �� ��� �� ������� �� ��� ����� �� ��� �����������
�������� �� 1.�� ��������� ������������ �� ��� ��� ���� ���������
� ������ &�:�
��� ���� ,�� ���"��� �
�������� � )�����"� ��� �������� ������������ ������� �� �����"��
����;
34 �� ������ ������������� ��� ������ �� ��� �������� ������
3"4 �� ��"����� ��� ����������� �� ��� ��� $���� ��� ��������
���������
3� 4 �� ������ ������������ ��� ������ �� ��� �������� �����
3�4 �� ������ ���������� ���� ��� ������ �� ��� ��������
�����
3� 4 �� ������ ��������� ���� ��� ����������� �� ��� ���
$���� ��� �������� ���������
��� ���� 0�� ������ &�'0�:� �
� ������� ����� ��� ����� ��� ����� �� ����������� ���� �� ���
����� � ��� ��� �� �� ��� 0 � ���� �������� ���� ���� �� ����� �� 0
��� ��� ����� �� �� ��� ����� ����� ��� ����� 0 � %�� ������� ������
&�'�(( �� 0������� ����� �� ��"�� ���� ����� �� ��� ����� �� ���
0� ��� ������� �!��� �� ��� ���� �� 0G ��� ����� ��� ��� �� ��� ��������
���� I������ � 0������� ����� ��� ��� ����� ���� � ���� �������
��� � ������ ���
20:48 30 Oct 99
��� ���
�� � ! ���� ���� ������� ���� ������
!�
� ��������
�� �� ! ������� ���� ���� ������� ���� ���� ������� !
������� ������� �� ��� ������� �������
�� ��� �� ��� ����������
� ���������
Figure 8.5S.4I������� // �������
��� ��� ��� � � ( ��� ��� ������ � ��������� �"����� �����
���������� ��� ��� ����� ��� ������
�������� � #� �� ��� ��� �� 0������� ������ ���������� �� �����1
��� ����* 1.�0������� ������ ��� ��� ������ ��� ����� ��"���������
����"�� ����������� �!������� ������� � ������ ������ �
��� ������ �!��� �������� � ��� ���������� �������� �������
������
��� ���� #��� ��� ��� ������������ ���� � � ���� ��� ����������
�������� �� ���� �� ���� �� ��� ���� ����� "� �"������� %����� &�'0�'
����� � ��� ������� �
�������� �� +������ ������ ��� �� � ���� � ������ )�����"� ���
���� �� ��� ����� ����� ���� "�� � � ��� ����������� �!�������
� ����� ��� ����� � ��������
��� ���� ��� ����� � ��� ���� �� ��� �� ��� �����G ��� � ����
�� ��������� ��� ��� �� ��� ������� �� ���������� ���� /� .����� �
Figure 8.5.11 0�������
����� �� ��"�
��� ������
20:48 30 Oct 99
��� #������ ��� #������
���������� �������
� � #������
��� ������ � �������
��� #������
��� ��� ������� � � #����
��� ������
��� �$���������
���������� �����
��� �$���������
���������� ���������
Figure 8.5S.5 ( part 1 of 2 )0������� ������; �������� &�'�/- �������
��� � ������ ���
D�%��� >��4 ? ��!*� ��� E999� �����$����� �� ��
20:48 30 Oct 99
� � � �$���������
��������� ����� ��������� ���������
� % � �$���������
�&� �$����
��������� ���������� �����
� �� '������������ ���������
Figure 8.5S.5 ( part 2 of 2 )0������� ������; �������� &�'�/- �������
�������� �� ���� �� %������� ��� ��������� ���� ��� ������ &�: �����
Regular polyhedra� ������� ������ �������� � ����� �������� ��
��� ����� ���� ��������� M( � ��� ��� �� +����� �������� � �����
7���� ����� � ��� ����� �� � ��� ���� ��� �������� �� ������ ���������
� � %�� ��� ��������� �� ��� �������� �� ��� ���� �� � � � ���� ���
��� ���� ��� �������� �� ������ ����������� ����� ���; ������ ���
��� ���� ������ ��� ��� ����� �� ������� ��� �� ������ �����
E��� �������� :�H�( � ������ '�'�
���� � +����� ���� ����� ��� ������ ���������� ������ ����
I����������
��� ���� ��� �� >� ��� �� ��� �������� �� ������� � 9
K � � � � � � � �N� > ��� ����� ����� ������ � �
� 9 K � ( � � CN � 9 KC� � ( � N � 9 K( � � C� N�
(
-�( L
-� C C�
-�( L
-
�
-�( L
-� C
3����
�4 3�
���
�4
�����
���
� � - L (
H
3����
�4 3�
���
�4
�����
���
/ 3 � (4
H
(
) )
* )
+ )
��� ������
20:48 30 Oct 99
����� 9 �� � L � � � ����� �� ��� �������� �� ��� ��������� ���� �
���� ���� ������� � � ,����"���� ��������� ���� �� �2��
� ����� ����� 2 9 KC� ��( L N � � 9 K�( L � C� N� ���� ��������
� � �� 9� �
9
���� �� �� ����. ��� � � 9 � � � ���� ������� �� ����� ����� �� � �
���� ��� ��� �������� �� ��� ��������� ���� �� �!������� ���� ���
������ ��� ���� � 9 K� � ( � � CN ����� ������ �� ��� ���� ���������
���� ���� � ��2� � ��� ������� �� ��� ����� ��
� 9 ��
���� �� �� ����. ��� � �� � �� ������ ���� ������� �� ����� ����� �
�� ���� ��� ��� �������� �� ��� ���� ��������� ���� ��� ���� �����
������ �� ������ ���� ��� ���� ��� �������� �� ����������� ���
�� ����� ����� �� ����� � � 9 � � � ��� ������ �� ��� ��� "������ �
�
� � � � � � � � ��� "����� � � � � � � � ��� � � � �
9 � 9 �
����� �� �!�� "����� / 3 � (4 � 3 � - L (4 9 L � ( 9 C� � ��� ���� �
�� ����� ������ �!��� � � � � � 9 ��� (C&�� �� � �� � �� �������� ��� �
�
������ ������ � ��� ���������� �� ������� �
�������� � )���� ��� ����� ����&��� � � ��������&��� 3 �� ������
��� ����� � ��� ������ 3 D� �� �� (� ��� ������ �� �� ��������� %��
��� ������ ��� ����� ������ ������ ��� ���� ����� )� ��� �������
$����� ������ ���� ��� ��� ������ ���������� �� ���� ��.� �������
������*
��� ���/ � ���� ����� ��� ������� �� G 4 ������G � ��� ����
�����G 5 ���� �������G � ! � � � � - ��� �������� �������
� ������� �� ����
�������� '�((�J� ��� ������ ���������� � ���� � � �� ��� � �����
4 �� ��� �������� ! � 0��� �4 9 3 � �! 9 � � �� ������� ��� 3 D� 9
-� %�� ��� ��"�� 3 9 � � � � � 9 � � �� �� 3 D� 9 �� �
%�� ��� ������ ��������� 3 9 � � � � � 9 � � � � <���� ������� �
��!5� ����� ! � 5 ��� � ��� ��� ���� �� ���� � � � � � ��
� ������� � � �� � ������� ������� ����� � 9 � � � � ���� 3 D� 9 �� �
������ ������ ����� �� �������� � 9 � � � D� -?� � - 9�
� � �D�� -?�� 2�� ���� ����� ��� �-?� � ��-?� �������� ���� ���������
:�H�( �� " �������� ���"� �������� 7���� ������ &�'0�? � ������
�� � � �
) ) )
�� � � �
-
�� � � �
��� � ������ ���
20:48 30 Oct 99
�� � � �
�
� � �� ��
� � �
� � � �
� " �
�
"�
���
� �
Figure 8.5S.6 �� ���
������ ����������
�
����
� ��
�� �
� �
� � �
" �� �
�
" �
� �" �
�
Figure 8.5S.7 �� ���
������ ���������
����������� %����� ����� ��� /� L /� L /� 9 (&C� �� ��� � L � L � 9
HC�� ���� �545 � �� �������� � � ������� ������� �����
1 L 31 � � � �4 9 3� L -4 � 0���� ���� �!���� ��� ��� �������� ���� 1 � ���� � � �
� 9 1 � � �� ��� � � 3 9 � L - �� ��� 3 � � ���� �������� � � � � �
3 D� 9 � 32�� ���"� ������� �� ������� ��� �������4
� �!������� ������� ��� �� ��� ������ ��������� �� �������
� 9 � � � � �� � 9 � � � 9 � � � � - 9 � � � 9 � � � � 7���� ������� � � � �
&�'0�J � ������ ���������� %����� ����� ��� /� L /� L /� 9 (&C� ��
��� � L � L � 9 HC�� ���� �545 � �� ��������� ��� ����������
������"�� � ��� �������� ������ ��� �� �� ����� ��� 1 � � � �
3 � "�� ��� ��� ���� 3 D� 9 � � ����� �
������&��� 3 D�
<����� ��������� -
+�"�� ������ �������� (�J
<����� ����������� ��������� (�-
� ���� ������ ��� ���������� � ��������� �� �+����� ��
���������O �
�������� �� %�� ��� ������ ��� ������ ������� ��� ������� ���
"����� �$��� ����� 3 ������ ��� ���� �������� ��� "������ ������
�� �� �� "���� ���� $���� �������4
��� ���� %�� ��� ���������� ������� ����� ������ �4!5 3����
��� ����� �� �������� /?4 ���� ! � 5 �������� 4 ; ��� � �������
�� ��� ��� ������� � � �� ��� �� � � � � � ��� ��� � "����� �����
������� ��� ������� ������� ���; ��� � 9 � � � �� � 9 ����� � � JC�'-��� �
�
�
��
��
'
(' � -
?
��� ������
20:48 30 Oct 99
%�� ��� ��"�� ��� ������� ��� �� HC�� ��� ��������� ���� ��� �����
Regular polyhedra � ������ &�: ����� ��� ��� ������� ��� �� ��� ������
��� �� ���������� �� ��� �� ��� ���������� ���� ���� ����������
(CH�:J�� %�� ��� ���������� ��� ������� ��� � �� ������� "
��!5�!� � ������ &�'0�?� ��� ��������� ������"�� � ��� ������� ��
�������� /? �����
� 9 / ����� � D1 9 / ����� ((?�'J��
%�� ��� ��������� ��� ������� ��� � ��������� " ��!5!� � ������
&�'0�J� ��� ��������� ������"�� � ��� ������� �� �������� /? �����
� 9 / ����� � D1 9 / ����� (-&�(H�� �
�������� �� ��� ������ � ������ &�: ��� �������� ��� � �����
����� �� ��� ������ ��������� �� ������ ������� ������������
#�� �� ��� ����� ���*
��� ���� MHC� ���� ���������� ���� ��� $���� �������� �� ��������
������ �
�������� �� ���� �� I�� � ����� �� ��"� �������� ��� ���� ����
������������������������ ��� ���� ����� ������� � �������� ���������
"�$������� ���� ����� ����������� 7"�� ��� ��� � ������ ���
�������� ��� ��� ������� �������� � ��� ������"� ���� "�$�����
��������� �
���� � )�����"� � ����� ��� ��� � �������� �� ��"��
��� ���� ��� �� ����� �� /: ���������� H �� ����������� �� (' ����
"� ���� ���������� ���� ����� ��� ��������� & 9 : P / �� ����� ���
������� ���� "����� �������� ��������� ? 9 - P / ��� ������� ������
�� ����� ��� ������ �� �� ��� ��������� ����� ��� ��"��� ������ �
�������� �� )���� ��� ���� �� ����� �� ����� ��� ������ 0��� ���
��� ������� �� ����� ���� ���� + �� ����� ���� ���� �� ��� ��
��� ��� �����*
��� ���� I�� ��� 0 �� ����� ��� ����� ��������� ��� ����
, � ���� ��� �� �������� �� �� � ��� ��� ��� �� � , � ��� �������
�� �� � , � ���� ����� "����� ��� ��� ���� ��� ������� ���
�������� ��� ��� ���� � ����� � � ��� ������� �� �������� &�'�H� ���
���� �� � � �� ��!����� ����������� �� ��� ��� ��������� ��� ��� �����
���� �
��� � ������ ���
20:48 30 Oct 99
���������� ,�������� -� �� �������� .�� ��� �� /01) �� ,���&��� ��
2���3 4� ������� �� 5����� ������ /0+67/0+) ��� �� ��� � �� �����8
� �� ��� ��� ������� �� /0++ � �� 5������ ������� 2� &������� ���
4����3 4� ������ ��� ��3'3 �� ��� 9��������� �� :���;�� �� /00/ ��� ���
������ � � ���������<� �������������� �� ��� ���� �� �� �����8
��� � ��� ���� ������� �� ��� � ��� .��� ���� �������� �&� ���
������ � ��������� � � ��� ���� ��� ���������3 � ������ ������ � � ��
������������� �� 4���� �� /0=) ��� ���� ����� �� /=6(3
�������� �� ����� ��� ��� ����������� ����� ������� ��� �����
���� � ��������� � ������ � " �����
34 /� �� -� 3"4 /� �� -"
3� 4 -" �� ? L � 3�4 -� �� ? L �
3� 4 ?� �� (/ L /� �� (/ L -� 3� 4 /� �� : L " �
��� ����
34 +��� ��� ��� ������� �� ��� ����� ������ /� � ������ ���� ���
������ � ���� ����� ������ "����� ����� �� � ���� ����� ����� �
��� �������
3"4 +��� ��� ��� ���� "����� ��� ����� ������ /� � ������ ���� ���
��� � ���� ����� ������ "����� ����� �� � ���� ����� ����� �� ���
����
3� 4 34 � ��� I������ �������� � � � L " �� � L " 9 / L � ��
3�4 3"4 � ��� I������ �������� � � � L � �� " L � 9 / L � ��
3� 4 3�4 � ��� 34� ?� �� (/ L /� �� (/ L -� �
3� 4 3� 4 � ��� 3"4� /� �� : L � � � �� : L " � ��
�������� � 0��� ��� ����������� ����� ������� ��� ���������
��� � ���� �� ��� ���� ����� �� ��� ������
��� ���� >��������� ������ ��� ��� ���� "����� ��� ���� �� ���
/� � ����� ���� ��� ��� � ���� ��� ������ ���� /� �� ?" � ��� �����
�� �������� -(� ��� - �� ��� �������� ����� ��� ���� ��� "������ � ��
-" �� ? L � � �
�������� � ���� �� 0��� ��� � ����������� ����� �������
��� ����� �� ����� ���� ������
���� � %�� ��� � �� ����� ���� ��� ����� ���� ����� � �����*
��� ���� ��� �� �� � 9 J � ��� ����� �� �������� -(� ��� " ����
/ � - �� ��� ��������� (: 9 /� �� -" �� ? L � 9 (-� ����� �� �������"���
��� �� %�� � K ? ������� � ��� ������ %�� ��� � � ?� ��� � 9
� � � G � ���� ����� "�� �� � ����� �� ������ � ������ %�� � 9 J�
��� ������
20:48 30 Oct 99
������� � ���� ��� ������ %�� ��� � N J� ��� � 9 � � 3� � -4� � � �����
����� "�� �� � ����� �� ������ � � - ������ ��� � �� �� ��� �������
���� ����� ��������� ����� ������� �� ���� ����� ��� ��� ��������
�"$��� �� ����� ����������� ����� ������� ��� ������ �� �
������ �
�������� �� � I����� ����"�� �� ��� �� ������ ������ � ��� �����
�� ������ ������ � ������� ��� ��� ��� �������� �� ��� ���
����� �� ��������� " ������ � ��� ����� �� ���������
������� " ������ � ������� %���I������ �������� ������ ���
� ������ � ������ ���� "� ����� 5��� �������� � �����
�� �����* 5�� �� ��� "�� ������ �� ��� ������ ��� ����* #���� ���
� ����� ����� �� ��� "��* )�� ��� 0������� ������
��� ���� 7�� " � " ����� ��� ��"��� �� ������ � �������� �
�� ��� " L " 9 " � ��� ����� �� �������� -(� Q���� ��� ����� ������� �
��� ��� "����� ����G ����� ��� /� 9 '" L ?" � ��� ����������� ������ �
����� ���� � ��� ������� +��� ��� ��� ������� �� ��� ����� ������
/� 9 -� � I�� ������ ���� � ����� �� ������ ���� �� � 9 '" � 0�����
����� ���� �!����� ���� I������ �� ��� " 9 (/� " 9 /C� " 9 -/� � 9 HC�� �
� � 9 ?C� ��� � �.� ��� "�� " ������� ������ ����������
�� �� � � ����� ������ %����� &�'0�& ����� 0������� ����� ����
��� "��� �
�������� �� %�� � ������"� � ����� �� �������� ���� ����� ����
��� ���� ������ ��������
��� ���� 2�� ��� ����� �� �������� -( � ��� � � � � � � ������ � �
��� ��"��� �� �������� ������ ���� -� :� � ' ������ I������ �������
����� � � � L & 9 /� ���� � 9 � L ?� Q���� ��� ���� ������ �����G �����
��� &B- 9 /� � ���� � 9 (/ � � 9 ?� Q���� ��� ������� ������
�����G ����� ��� -� L :� L '� 9 /� 9 /: / ���� �!���� �� ��������� � �
K� � � � � N 9 KC� ?� CN� K(� :� (N�� � � K/� /� /N� � K-� C� -N� ��� ����� ���
����"�� ������ ��������� ��� � ���� ��� ��� ����� � ��� ��������
Figure 8.5S.80������� ����� ���
I����� ����"��
�
�3
�� ��
�� �� ��
��� � ������ ���
@��$ ����������� ��$ $������ &��$�6�� ���$� �� �����6 F��$������� "���!# � ���� �������
����������� ��� 0�� ��� :������ "����# @���� ����%�����$ �����$$�� ������%�$ �&
A����� ��� ���%� $�%����� $%���� ���%���$ @�� ������ ������$ ����� ��� ���������
�� $����$� � ��$�����%� �� C����$� ����$
20:48 30 Oct 99
��� ������"� ��� �����E������� � � �� ����� ��� �������� ��.�
���� �� ���� ��� ����� ���� � 9 � 9 � 9 /� ���� ��� ������� � �
�������� 6�� � � 3 ��� ���� � 9 � ������ ����
��� � �� 3 � � �� ���� � ���� ���3 � �� 3 �
���.� ��.� ������ ��������� ���G ��� � ����� ����� �� � � �� �
� ��� ����� ������ ������ ���� ����� � ����� �� ����� �7����� �
�������� � 0��� ��� ������� � ����� ��������� ���� �� :�����
� �� -����� ���������
��� ���� �� ���� ��������� � �������� ��� :����� ������ 4 �����
"� �$��� �� ����� ���� '����� �������� 8 � � � 9 � � 2 � I�� �� ���
���� �48� � �4�9 � �492 � � �428 ����� ���� ��� ���� ��������
4 ���� ����� ��� �������� ���� ����� ����� ��� ����� ���� ����
�8�3 � ��9 � �92. � � �28: � �� 3 9 . �� 9 : � ��� 3 9 9
. 9: � ���� �� �� ����� ����� ����� ��� � ���� �� ��� ����� �� �����
�!����� ����� �.� 8 � � � 9 � � 2 :������ ���� 3 � � . � �
: ���� "� �������� ����� ����� ���� ���� ���� ��3 � �9. � �2.:�
� �8:3 � ��� �� �������� � ������ ���� ��������� �� �� ���������
��� �� ��� ���������� �������� �!��� �������E����� ��.�� �� ���
�!��� � ���� ���� "�� 3.: � �� ����� ��� �� ���� ������� �����
����� "� :������ �� � ���� ��� ����� ������� ��������� ��� '������
I�� �� ����� ����� "� ������� ���� ��� ����� � ���� 3 � � . � �
: � �� ��� ����� �.� ���� ����� ����� " ���� �� ��� ����� �
�������� �� 0��� ��� ����� ��������� � ���� ����� ��������� ���
:����� � ��� '������ ���� "� ������� ��.� ��������� &�&�����&���
� ������ &�'�(/� 0��� ��� ����� ����� �� ��������� ���� ����
������������
��� ���� I������ �������� � ���� ��� ������� ������ ,� :�����
������ 4 � "� ��������� " '����� ��������� %�� ���� ��� �$���
��� �� '����� �������� ����� ��� ����� ����"�� �������� ����
4 � ���� ��� �������� '����� �������� ����� ��� ����� :�����
����"��� ��� ��!����� ���� �� �������� ������ ����� ����� ���� "�
�������"����:����� ��������� 1.� ��� ����"���� �� ����� �!�������
������� � � ������ &�'0�&� ���� ��� ����� ������ $���� �����"� �� ���
����� ������� ��� ����� � � ,�� $�� ��� ��� ����"����
��������� �����"� � ��� ����� � � � � %��� ��� ��������
�� �0
��� ������
��&&����� &��'��� ����$ ��� ����2$����� ����������� �& �'��%�$� �! ��
20:48 30 Oct 99
Figure 8.5.120����� ����������
�
� � �
%����� &�'0�H
@���A ������ ���
��������� �� ��� �� ����� ���� �� ���� ����� ���� "� ��� �� � � >�������
� ���� ����� ������ 0 $���� " ����� �� � � � � � � � � � �� � � � �
� � �� 0 ���� :����� � � � �� ����� @�����A �� ���� ������ ���������
���� ��� ��� ����� ��������� � ���� ��� ��� ���� �� �$��� :�����
��������� ������ ���������" '����� ��������� ��������� "� ��� @����A
������ ��������E��� ����� ������ ���E��� ��� ����� ����� $����
� � � � � � � 0 �
)� ��� ���� @����A ����� ��� ��������* ��� ����� �� ������ ���������
���� ��� ��� ����� �� ���� � ������ &�'0�H� ���� �� ����� ���� �����
� � �0 9 C� �� ��� ���� ���� �� 9 C � �0 N C� � ���� �� ��
���� �0 ���� ����� ��� ��� �� ; ��/ 3)����� �� ��� ����������
"����� ����� !������� �� ��������� � ��� ���� ���������4 ���������
�� ���� "� "�� �� ���� ��� ��� �� ��� ������� � ��
�������� ,�� ��� 5 � 6 "� ����� ��������� � ������� �������
������� ��5� � ��6�� � ������� ��������
3�5 4 L 35� 4 9 � 9 36� 4 L 36� 4 �� � � � �
%��� �5 96� ������� 5� 96�� ���� ���5 9 �6��� � ����� 9F
/����5 9 /��6�� 9����0� ��� ��� ��� @����A ��� �������� �������� � �
�������� �� ������ ��� � ����� ������ �� ��� ��"��������� ����"��
����������� ��� �������� � ������� &�:�/' � &�:�/?� � ��� 0�����
�����������
��� ���� +�"��������� ����"�� �����������
���������� �������� �!��� ����� � � � � � � ��
)��������� �������� ������� ����� � � � � � � ���
0����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �
��� � ������ ���
>��* ? �� � $�%���� � � ��
20:48 30 Oct 99
����� .�� ��� ���� 1*> 3�3 �� ?����� ��� �� ���� ����� ����
�������3 ������ ����� ��� ���� �� &��. ��� ��������� � ����� .�
.�� �������� ��� �������� ������ � � ��� ����������3 ��� ��������� ���
������� ������ .�� ��� �� ?����� ������ ����@� ���� ��� �� �������
� ���� ���� ��� ��� ���3 ?��� � �����@ ��� ���� �� )== 3�3 ���� ��������
� ������� ����� ���� �������� � ?����� ��� ����� ����� � � �� ���
? ����� .�� � �� ������ ����� ��� ����� ���� )1> 3�3
9���� ����@� ���� ��� ��� ? ����� �� ��� ��� ����� ������� ��
� ��� � �������� ��� ��.A �� .�� ������� ��� ���� ����������3 ��� ���8
���� �� ����� ���������� ��� ������ .� ���� ��%� ��� ������ ��
������� ��������� � �� ���@� ����� ��� ���� ���� ���%� �3 ? ������8
���� .�� ��� ���������� � ������� ��� ��������� ?� ����� ��������
.� .�� � ��%� ������ � � ����@� .� �����3
����@� .������� ��� �� ��� �� �������� ��� ������� ��� ����
���������� � ��%� ������ � � .������ �������� ���� ��� �3 ���� �� ����
��$������ ��� ��������� ��� ����� ��� �������� ��� ����3 ���� .�� ��
������ � ��������� ��� � ��������� � ������� ��� �������� �� ���
.�&�3 ��� ���� ������� �� �� ��� ������� �� ���� �� .�� � ����
������ ��� .��� ��� ������� � ������ ������� ���������� �����
���� ��� ������� ��� ����� ��� ���� ���� ������ ����� � ���������
��� ������� ��������3
�� ���� .�� .������ ������ )+07)10 3�3 ������ ��� ������� �� ��� ���
����� ��������3 �� )+0 ��� )+/ 3�3 ���� ������� ����� �� �� ��� ��� �� ����8
��� ����� .���� ����������� .��� ���������� ����� � ��� ��� ��� �� �
����� ��� ����� ��� ����� ����� �� �����3 ?��� �������� ��� � �� �����
�� .�� ��������� ��� ���������� .�� ����� ���� ��� ������ ��� ����
��� ����� ?� �����3 ����@� ����� �� ���������� .��� ����� �����;�� ���
����� �� ������ ������� ����� �� ��� ���������� ������ � � ��� ����
.������� ��� � ��� ��������� �� .�& ���� ��� � ����� �� ��� ? �����3
����@� �������� ������� .�� ?������� .� ��� ��� ? ����� � ��� ���
.� � �� ��� :� ���3 ��� ? ����� �.���� ������� �� ������� � �����
�33 (*=3
�������� �� +������� ��� ����� ���� � � ����� ������ � �����
�� �� �� ������ &�:�-C� 0��� ��� �� �������� �����1 ��� ���� ���� � ��� � � � � � � � ����� �������� �� �� �
��� ���� %�� ����� ��� ����� ���� � � ����� ������ ��� ��������
&�'0�(C� ��� �������� @�����A ������ � �������� ��� ��� �����
��� ����� ���
�������� ��� +������� ��� ���� ���� � ����� ������ � � � � � � �� �
� � � � ������"�� � �"�� &�:�/���
��� ������
20:48 30 Oct 99
Figure 8.5S.10 ��� �����
���� � � ����� �������
��� ���� %�� � � ��"� ���� 7 � �� ������ ������� � ��� ��
�������� ������� ����� %�� � � ��"� ���� �� ������ ������� � �����
�� �������� ������� ����� %�� � � ��"� ���� $ ������ ������� � ����
�� �������� ������� ����� %�� � � ��"� ���� � motifs centered on a pair��
of opposite vertical faces and �� motifs centered on the other two. �
�������� ��� 2�� ���� "��.�� ���������� ��� ��"�� � �������� ���������
������ � "������� � ��� ����"������ �� ��� ������� � ������
������� �� ��� �������� �� �������� � ����� ������ � �����"���
I��� ��� �������� � ��������� ( � /�
��� ���� ,�� ���"��� �