MetNum6-Integrasi Numerik Baru

5/23/2018 MetNum6-Integrasi Numerik Baru

1/52

INTEGRASI NUMERIK

Nana Ramadijanti


2/52

INTEGRASI NUMERIK Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting

yaitu integral dan turunan(derivative)

Pengintegralan numerik merupakan alat ataucara yang digunakan oleh ilmuwan untukmemperoleh jawaban hampiran(aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak

dapat diselesaikan secara analitik.


3/52

INTEGRASI NUMERIK Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

Fungsi yang rumit misal :

dxex

x x5.02

0

23

sin5.01

)1cos(2

Cxxxdxx

Cxdxx

Cbaadxbax

Cbaa

dxbax

Ca

edxe

Cn

axdxax

axax

nn

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1


4/52

INTEGRASI NUMERIK Perhitungan integral adalah perhitungan

dasar yang digunakan dalam kalkulus,

dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah

yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dansumbu x.

Penerapan integral : menghitung luas danvolume-volume benda putar


5/52

Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

i

i

b

a

xfcxfcxfc

xfcdxxf

x0 x1 xnxn-1x

f(x)


6/52

0

2

4

6

8

10

12

3 5 7 9 11 13 15

Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti

saat awal belajar integral

penjumlahan bagian-bagian.

Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat danlebih mendekati jawaban eksak.

Dasar Pengintegralan Numerik


7/52

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dxxfdxxfIb

an

b

a )()( Nilai hampiran f(x)dengan polinomial

n

n

1n

1n10nxaxaxaaxf )(

Dasar Pengintegralan Numerik


8/52

fn(x) bisa fungsi linear fn(x) bisa fungsi kuadrat


9/52

fn(x) bisa juga fungsi kubik atau

polinomial yang lebih tinggi


10/52

Polinomial dapat didasarkan pada data


11/52

INTEGRASI NUMERIK Luas daerah yang

diarsir L dapat

dihitung dengan : L =

b

a

dxxf


12/52

Metode Integral Reimann

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35


13/52

Metode Integral Reimann Luasan yang dibatasi y = f(x) dan

sumbu x

Luasan dibagi menjadi N bagian padarange x = [a,b]

Kemudian dihitung Li : luas setiap

persegi panjang dimana Li=f(xi). ix


14/52

Metode Integral Reimann Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan

dituliskan :

Dimana

Didapat

in

i

i

n

n

xxf

xxfxxfxxfxxfLLLLL

0

3221100

210

.....

n

ii

b

a

xfhdxxf0

hxxxx n ...210


15/52

Contoh Hitung luas yang dibatasi y = x2dan

sumbu x untuk range x = [0,1]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x**2

1

0

2dxxL =


16/52

Contoh

Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

Secara kalkulus :

Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052

385,085,31.0

00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0

)(.10

0

i

ixfhL

.....3333,0|3

1 10

31

0

2 xdxxL


17/52

Algoritma Metode IntegralReimann:

Definisikan fungsi f(x)

Tentukan batas bawah dan batas ata

integrasi

Tentukan jumlah pembagi area N

Hitung h=(b-a)/N

Hitung

N

iixfhL

0

)(.


18/52

Metode Integrasi Trapezoida

Aproksimasi garis lurus (linier)

)()(

)()()()(

10

1100i

1

0i

i

b

a

xfxf2

h

xfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

L(x)


19/52

urTrapesium

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

xfxf2x2fxf2xf2

h

xfxf2

hxfxf

2

hxfxf

2

h

dxxfdxxfdxxfdxxf

n

1n

2

1

1

0

x0 x1x

f(x)

x2h h x3h h x4

n

abh


20/52

Metode IntegrasiTrapezoida

iiii

iiii

xffL

atau

xxfxfL

.21

.2

1

1

1

1

0

iiLL

nnn

i

ii fffffh

ffhL

12101

0

1 2...22

22

1

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2


21/52

Algoritma MetodeIntegrasi Trapezoida

Definisikan y=f(x)

Tentukan batas bawah (a) dan batas

atas integrasi (b)

Tentukan jumlah pembagi n

Hitung h=(b-a)/n

Hitung

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2


22/52

Aturan Simpson 1/3

Aproksimasi dengan fungsi parabola

)()()(

)()()()()(

210

221100i

2

0i

i

b

a

xfxf4xf3

h

xfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

x2h h

L (x)


23/52

1xx

0xx

1xx

h

dxd

h

xx

2

abh

2

baxbxaxlet

xfxxxx

xxxx

xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxL

2

1

0

1

120

2

1202

10

1

2101

20

0

2010

21

,,

,,

)())((

))((

)())((

))(()(

))((

))(()(

)()(

)()()()(

)(21

2

0xf

2

1xf1xf

2

1L

Aturan Simpson 1/3


24/52

)(

)(

)()()(

)(

)( 212

0 xf2

1

xf1xf2

1

L

1

1

23

2

1

1

3

1

1

1

23

0

1

12

1

0

2

1

1

10

1

1

)23

(2

)(

)3

()()23

(2

)(

)1(2)()1)(

)1(2

)()()(

hxf

hxf

hxf

d

h

xfd(hxf

dh

xfdLhdxxfb

a

)()()()(210

b

a

xfxf4xf3

hdxxf

Aturan Simpson 1/3


25/52

Aturan KomposisiSimpson

x0 x2x

f(x)

x4h h xn-2h xn

n

abh

...

hx3x1 xn-1


26/52

Metode Integrasi Simpson

Dengan menggunakan aturan simpson, luasdari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dansumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

atau dapat dituliskan dengan: nnnn ff

h

ff

h

ff

h

ff

h

ff

h

ff

h

L 11243322110 2

32

3...2

32

32

32

3

n

genapi

i

ganj ili

i ffffh

L

0 243

N = 0 n

L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln


27/52

Cara II(Buku Rinaldi Munir)

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2yang melalui ketiga titik tsb

0

2

2000

2

2002 !2

)()(

!2

)()()( f

h

hxxf

h

xfxf

h

hxxxf

h

xxfxp


28/52


Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

02

00

0

2

00

0

22

2

3

0

2

0

2

00

2

2

2

2

3

0

2

0

2

0

0

2

200

2

0

2

2

0

322

3

422

4

4

6

8

2

42

|462

!2

)(

)(

fhfhxhfL

fhh

fhxhfL

fh

h

h

hf

h

hxhfL

fh

x

h

xf

h

xxfL

dxfh

hxxf

h

xfL

xdxpdxxfL

hx

x

h

hh


29/52


Mengingat

Maka selanjutnya

010 fff

)4(3

33

4

3

33

2

3222

)2(3

)(22

210

210

012010

012010

fffh

L

fh

fh

fh

L

fh

fh

fh

hfhfxhfL

fffh

ffhxhfL

0120112010

2 2)()( ffffffffff


30/52

Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik

)()()()(

)()()()()()(

3210

33221100i

3

0i

i

b

a

xfxf3xf3xf8

h3

xfcxfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

x3h


31/52

)())()((

))()(()(

))()((

))()((

)())()((

))()(()(

))()((

))()(()(

3

231303

210

2

321202

310

1

312101

320

0

302010

321

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxx

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxL

)()()()(3210

b

a

b

a

xfxf3xf3xf8

h3

3abh;L(x)dxf(x)dx

Error Pemenggalan

3

abh;f

6480

abfh

80

3E

4

5

45

t

)()()( )()(

Aturan Simpson 3/8


32/52

Metode Integrasi Gauss

Metode Newton Code (Trapezoida,Simpson) berdasarkan titik2 data

diskrit. Dengan batasan : H sama

Luas dihitung dari a sampai b

Mengakibatkan error yang dihasilkancukup besar.


33/52


Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang[-1,1]

Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1menjadi m. trapezoida

Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilaitersebut sehingga error integrasinya min

2

)1()1()1()1(

2

)(

1

1

h

ffffh

dxxfI

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI


34/52


Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah inidianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikutdijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2

; f(x) = x3

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

0

32

0

21

1

1

33

22

3

11

1

1

22

22

2

11

1

12211

1

1

21

dxxxcxc

dxxxcxc

dxxxcxc

dxcc

Didapat

3

1

3

1

1

21

21

xx

cc


35/52


Persamaan dibawah ini dinamakanmetode Gauss Legendre 2 titik

)3

1()

3

1()(

1

1

ffdxxf


36/52

Transformasi

Range [a,b] [-1,1]

X u f(x) g(u) dx du

b

a

i dxxfL )(

1

1

)( duugLi


37/52

Transformasi

duab

dx

uabbax

aububax

aabux

abuax

u

ab

ax

2

2)()(

2

2))(1(2

))(1(22

2

1

a bx

-1 1u


38/52

Transformasi

du

uabba

fabduug

1

1

1

1 2

)()(

)(2

1

)(

1

1

)( duugLi

)()()(2

1)(

21

21 abuabfabug


39/52

Analisa

Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes(Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien

dalam operasi aritmatika, karena hanyamembutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.

Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebihdahulu menjadi

1

1

)( duug


40/52

Algoritma Integrasi KuadraturGauss dengan Pendekatan 2 titik

Definisikan fungsi f(x)

Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel :

Tentukan fungsi g(u) dengan:

Hitung

)(2

1

2

1abuabx

)()()(2

1)(

21

21 abuabfabug

3

1

3

1

ggL


41/52

Contoh Soal


42/52

Metode Gauss Legendre 3Titik

Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari denganmembuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilaitepat untuk 6 buah fungsi berikut :

Dengan cara yang sama didapat

)()()()( 332211

1

1

xfcxfcxfcdxxfI

543

2

)(;)(;)(

)(;)(;1)(

xxfxxfxxf

xxfxxfxf

53;0;53

9

5;

9

8;

9

5

321

321

xxx

ccc


43/52

Metode Gauss Legendre 3Titik

53

9

50

9

8

5

3

9

5)(

1

1

gggduug


44/52

Algoritma Metode Integrasi GaussDengan Pendekatan 3 Titik


45/52

Metode Gauss n-Titik


46/52

Beberapa Penerapan IntegrasiNumerik

Menghitung Luas DaerahBerdasarkan Gambar

Menghitung Luas dan VolumeBenda Putar


47/52


Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandaiatau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak.Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnyaadalah 100.000 mm atau 100 m.

Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam halini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000

0 105

6

3

15

9


48/52


Dari tabel di atas, luas area dapat dihitungdengan menggunakan 3 macam metode:

Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5.7322

15

1160

ii

yyyh

L

5.7316

0

i

iyhL

74243

160

genapii

ganjili

i yyyyh

L


49/52

Menghitung Luas dan VolumeBenda Putar

Luas benda putar:

Volume benda putar:

b

ap dxxfL )(2

b

a

p dxxfV 2

)(


50/52

Contoh :

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4bagian bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu

dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

Bagian I:

Bagian II:

4cm

6cm

7cm

12cm

7cm

5cm

I II III IV

satuan dalam cm

56)7)(4(2 IL

196)7)(4( 2 IV

288)12(122 IIL

345612122 2 IIV


51/52

Contoh :

Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagianarea , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

Pada bagian II dan IV: dan

Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

1082

2

2)(4

150

iiIVII yyy

hLL

5.118722

4

1

225

20

iiIVII yyy

hVV

IVII LL IVII VV


52/52

Contoh :

Luas permukaan dari botol adalah:

Luas = 1758.4 cm2

Volume botol adalah:

Volume = 18924.78 cm3

4.1758

560

10828810856

IVIIIIII LLLLL

60245.118734565.1187196

IVIIIIII VVVVV

Documents

MetNum6-Integrasi Numerik Baru